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Mecânica Vibratória 2010/2
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3. Vibrações livres sem amortecimento Assim, pode-se observar a partir da figura, como funciona uma vibração livre, onde está representado o sistema massa/mola. Considerando que a mola (constante k) está presa a um suporte superior e a sua extremidade inferior atinge a posição L. Após é colocada a massa na extremidade da mola. Como esta massa possui um peso devido a ação da gravidade e este exerce uma força sobre a mola, esta é alongada de uma distância y0. Esta é a posição de equilíbrio do sistema massa/mola.
Logo, conhecendo-se a constante de mola k, e a força exercida pelo peso, que será a força exercida sobre a mola (Fm), pode-se calcular o deslocamento inicial y0.
0ykFm = k
Fy
m=0
y0L kk
m
Figura 1 – Sistema massa/mola. Considerando agora o sistema em equilíbrio, a partir de uma perturbação na direção vertical, e considerando que deslocamentos laterais não ocorrem no sistema, pode-se observar uma vibração livre sem amortecimento. Assim, estando a massa m em repouso, dando um impulso para baixo na massa, esta desloca-se de uma distância –y, no momento da máxima elongação da mola. Após inicia o movimento contrário, passando pelo ponto de equilíbrio e realizando um deslocamento contrário y.
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y
-y
kkk
m
m
m
Figura – Sistema massa/mola em perturbação.
O ciclo é o movimento que a massa móvel completa, saindo de um ponto de referência e retornando a este ponto após percorrer uma trajetória.
m
k
Figura – Ciclo.
A freqüência (f) é o número de ciclos executados na unidade de tempo.
tempociclosnúmerofreqüência=
tnf = HzHertz
s==
1
O período (T) é o tempo gasto para realizar um ciclo.
fn
tT
1== [ ]s logo, T
f1=
A amplitude [Y] é a máxima distância que o móvel em movimento vibratório alcança, em relação a posição inicial de equilíbrio.
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-YY
m
m
m
k
Figura – Amplitude (Y).
Elongação é a distância de um ponto qualquer da trajetória, no qual o móvel
se encontra, em relação a posição de equilíbrio. A freqüência natural (fn) é a freqüência própria do sistema, ou seja, quando
o sistema vibra livre de forças de excitação. É a freqüência de uma vibração livre.
Quando a um corpo ou um sistema de corpos interligados é imposto um deslocamento inicial em relação à posição de equilíbrio e em seguida ele é abandonado, ele vibrará com uma freqüência conhecida como freqüência natural.
Freqüência natural amortecida (fna) é a freqüência própria do sistema, com a presença de atrito.
Sempre que a freqüência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a freqüência da força externa atuante, ocorre o fenômeno conhecido como ressonância que resulta em grandes deformações e falhas mecânicas. 3.1 Vibrações livres não amortecidas longitudinais (vlna) Este tipo de vibração considera que o sistema sofre apenas uma perturbação inicial, possui deslocamento longitudinal, neste caso na direção vertical e não possui atrito no sistema que resulta no amortecimento da vibração. Equações do movimento e da freqüência natural O sistema considerado possui uma massa m, presa a uma mola suspensa de constante k.
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Fst
Fst = k y
k
P = m g
m
k kL
yst
m
k
-y
Em equilíbrio estático tem-se:
∑ =0F 0=− PFst PFst= k
Pyst=
Em condições dinâmicas:
∑ = amF amF =− amFFstP =−− amFPP =−−
amyk =− 0=+ ykam 0=+ ym
ka 0=+ y
m
ky&&
02
2
=+ ym
k
dt
yd 0=+ y
m
ky&&
A solução geral desta equação diferencial é:
+
= t
m
kCt
m
ksenCy cos21
+= 4cos3 Ct
m
kCy
Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias que dependem das
condições iniciais do movimento. Esta solução é considerada geral porque representa todas as possíveis soluções que se particularizarão pelos valores assumidos pelas constantes arbitrárias.
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3.2 Soluções particulares para equação diferencial das Vibrações Livres não Amortecidas Longitudinais (VLNAL) Com deslocamento inicial Condições iniciais: A massa é liberada de uma posição afastada do ponto de equilíbrio (y = y0), com velocidade inicial nula ( 0=y&& ), no instante inicial com t
= 0.
Y
Ponto de partitda t=0
wt
y
ππ/2 3π/2 2π0
y
Yy0m
k
y
+
= t
m
kCt
m
ksenCy cos21
+= 43 Ct
m
ksenCy
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3.3 Freqüência natural e velocidade angular natural na VLNAL Wn é a freqüência circular natural do sistema vibrante (ou a velocidade angular de um ponto em MCU cuja projeção executa um movimento idêntico ao do sistema vibrante).
Para uma vibração onde t = tn e θ = 2π
nn
TW
π2= n
nW
Tπ2=
m
kWn=
m
k
Tf
nn
π2
11 ==
3.4 Método prático para a determinação da freqüência natural Considerando a deformação estática da mola com a colocação da massa de peso P, tem-se:
k
mg
k
Fy
stst == onde
g
y
k
m st= como 2nW
k
m =
stn
y
gW = e
sty
gfn
π2
1=
EXERCÍCIOS. Exercício 1: Um ponto material está em movimento harmônico simples com uma amplitude de 0,1 m e um período de 0,6 s. Encontre a velocidade máxima e a aceleração máxima. Exercício 2: A análise do movimento de um ponto material mostra uma aceleração máxima de 30 m/s2 e uma freqüência de 120 ciclos por minuto. Supondo que o movimento é harmônico simples, determine: a) a amplitude; b) a velocidade máxima. Exercício 3: O colar A está preso à mola ilustrada e pode deslizar sem atrito na barra horizontal. Se o colar for afastado 75 mm de sua posição de equilíbrio e liberado, determine o período, a velocidade máxima e a aceleração máxima do movimento resultante.
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Exercício 4: Um colar de 5 kg está preso a uma mola de constante k = 800 N/m. Se ao colar é dado um deslocamento de 50 mm de sua posição de equilíbrio e liberado, determine o movimento que se segue: a) o período; b) a velocidade máxima do colar; c) a aceleração máxima do colar.
Exercício 5: Com os dados do problema 19.6, determinar a posição, velocidade e aceleração do colar 0,20 s após ter sido liberado. Exercício 6: Um colar de 40 N está preso a uma mola de constante k = 1000 N/m. Se ao colar é dado um deslocamento de 0,05 m para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado da sua posição de equilíbrio, determine: a) o tempo necessário para o colar mover-se 0,075 m para cima; b) velocidade e aceleração correspondentes do colar.
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COM VELOCIDADE INICIAL Situação inicial: a massa m é impulsionada com uma velocidade inicial 0y&
a partir da posição de equilíbrio (y = 0) no momento em que se inicia a contagem dos tempos.
y
k
m
Y
y
0 2π3π/2π/2 π
y
wt
Ponto de partitda t=0
Y
00 0 === yyyt &&
+
= t
m
kCt
m
ksenCy cos21
+= 4cos3 Ct
m
kCy
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COM DESLOCAMENTO E VELOCIDADE INICIAIS Situação inicial: A massa m será impulsionada com uma velocidade inicial
0y& a partir de uma posição afastada do equilíbrio de um vetor y0.
y0θ
Yyn/Wn
w2Y
ππ/2 3π/2 2π0
wt
sen wt y0 wt
yo cos wt
wt
ynWn Y
y0 Situação inicial: 000 yyyyt && ===
+
= t
m
kCt
m
ksenCy cos21
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+= 4cos3 Ct
m
kCy
A equação demonstra que a elongação y, é o resultado da soma das projeções de dois fasores de módulos wy /0& e y0 defasados de θ0= 2π, ou ainda
graficamente pode ser obtida, pela projeção do fasor resultante y.
)cos( 0θ−= tWYy n
20
20 )/( yWyY n += & e
0
00
yW
ytg
n
&=θ
Obs.: a máxima elongação ocorre quando (Wn - θ0) = 0
nn
Wt
0θ=
Observa-se ainda, que as equações deste caso, servem também para os dois
primeiros, bastando para isso considerar igual a zero a velocidade inicial no primeiro caso, e no segundo caso, o deslocamento inicial. EXERCÍCIOS Exercício 1: Um bloco de 50 kg de massa move-se entre guias verticais. O bloco é puxado de 40 mm para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado. Para cada combinação de molas determinar o período de vibração, a velocidade máxima e a aceleração máxima do bloco.
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Exercício 2: Um bloco de 35 kg de massa está suspenso pelo arranjo de molas. Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a máxima velocidade e aceleração do bloco se a amplitude do movimento é de 20 mm.
Exercício 3: Um bloco de 35 kg de massa está suspenso pelo arranjo de molas. Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a máxima velocidade e aceleração do bloco se a amplitude do movimento é de 20 mm.
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Exercício 4: O período de vibração do sistema ilustrado é de 0,8 s. Se o bloco A é removido, o período é de 0,7 s. Determine: a) o peso do bloco C; b) o período de vibração quando ambos os blocos A e B tiverem sido removidos.
‘
Exercício 5: O bloco mostrado na figura foi deslocado verticalmente para cima sua posição de equilíbrio e liberado. Determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a velocidade e a aceleração máximas para um movimento com amplitude de 25 mm.
Exercício 6: O bloco mostrado na figura foi deslocado verticalmente para cima sua posição de equilíbrio e liberado. Determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a velocidade e a aceleração máximas para um movimento com amplitude de 25 mm.
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VIBRAÇÕES LIVRES DE CORPOS RÍGIDOS Método da equação diferencial Deve-se estabelecer a equação diferencial do movimento. A freqüência circular natural wn, será a raiz quadrada do coeficiente da variável dependente. Assim, se C for este coeficiente, a equação diferencial será:
02
2
=+ yCdt
yd onde: Cwn= logo,
ππ 22
Cwf
nn ==
A equação diferencial pode ser obtida a partir de vários modos. A PARTIR DA SEGUNDA LEI DE NEWTON
A análise de vibrações de um corpo rígido ou de um sistema de corpos rígidos que possui um único grau de liberdade é análoga à das vibrações de um ponto material.
Uma variável apropriada tal como uma distância x ou um ângulo θ, é escolhida para descrever a posição de um corpo ou de um sistema de corpos.
O objetivo final é obter uma equação do tipo:
0=+ ym
ky&& ou 0=+ ϕϕ
yI
Kt&&
sendo possível deduzir a freqüência circular natural. A partir da segunda lei de Newton é possível escrever:
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∑ = ymFy && que deve resultar numa equação da forma 02 =+ ywy n&&
∑ = ϕ&&yIM que deve resultar numa equação da forma 02 =+ ϕϕ nw&&
Para determinar o período de pequenas vibrações de uma placa plana que oscila em torno de um ponto, tem-se:
Pθ
CGCG
bb
2b
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Exercício 1: Um cilindro de peso P e raio r está suspenso por um laço de corda. Uma extremidade da corda está presa diretamente a um suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma mola de constante k. Determine o período e a freqüência de vibração do cilindro.
Exercício 2: A barra uniforme ilustrada pesa 40 N e está presa a uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Se a extremidade A da barra é abaixada 0,05 m e liberada, determine: a) o período de vibração; b) a máxima velocidade da extremidade A.
Exercício 3: Uma correia é colocada na borda de um disco de 15 kg de massa, e em seguida presa a um cilindro de 5 kg e a uma mola de constante k = 600 N/m. SE o cilindro é deslocado 50 mm para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) período de vibração; b) a máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é suficiente para impedir a correia de deslizar sobre a borda da polia.
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Exercício 4: Uma placa quadrada uniforme de massa m é mantida num plano horizontal por um pino B e está presa em A a uma mola de constante k. Se ao canto A é dado um pequeno deslocamento e liberado, determine o período do movimento resultante.
Exercício 5: Um orifício de 75 mm de raio é aberto num disco uniforme de 200 mm de raio, que está preso a um pino sem atrito em seu centro geométrico O. Determine o período de pequenas oscilações do disco.
Exercício 6: Uma biela é suportada por m gume no ponto A; o pe´riodo das pequenas oscilações, observado, é de 0,945 s. A biela é então invertida e suportada pelo gume no ponto B, e o período das pequenas oscilações observado é de 0,850 s. Sabendo que ra + rb = 0,2875 m, determine a localização do centro de massa.
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Exercício 7: Um volante de 3 kN tem um diâmetro de 1,2 m e um raio de giração de 0,5 m. Uma correia é colocada ao redor da borda e presa a duas molas, cada uma com constante k = 15 kN/m. A tensão inicial na correia é suficiente para impedir o escorregamento. Se a extremidade C da correia é puxada 0,025 m para baixo e liberada, determine: a) o período de vibração; b) a máxima velocidade angular do volante.
Vibrações torcionais
Estando um disco rigidamente preso a um eixo, se este disco for girado de um ângulo ϕ através de um momento torçor Mt e Kt a constante elástica.
ϕ
ϕKtMt −= ∑ = ϕ&&yIMt sendo Iy o momento de inércia.
ϕϕ &&yIKt =− que se transforma em: 0=+ ϕϕ KtIy &&
0=+ ϕϕyI
Kt&& 0
2
2
=+ ϕϕyI
Kt
dt
d ou ainda 02 =+ ϕϕ nw&&
onde y
nI
Ktw =
Kt = Momento por um ângulo de torção θ
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Kt
I
WT
y
nn ππ
22 ==
y
nn
I
KtWf
ππ 2
1
2==
Exercício 1: Um disco circular, pesando 100 N e de raio 0,20 m, está suspenso por um arame. O disco é girado e em seguida liberado; o período de vibração de torção observado é de 1,13 s. Uma engrenagem é então suspensa do mesmo arame e o período de vibração observado é de 1,93 s. Supondo que o momento do binário exercido pelo arame é proporcional ao ângulo de torção, determine: a) a constante de torção do arame; b) o momento de inércia baricêntrico da engrenagem; c) a velocidade angular máxima alcançada pela engrenagem quando é girada de 90 ° e liberada.
Exercício 2: Um disco uniforme de 200 mm de raio e 4 kg de massa está preso a um eixo vertical que é rigidamente preso em B. Sabe-se que o disco gira de 3° quando um momento estático de 4 Nm é aplicado. Se o disco é girado de 6° e em seguida liberado, determine: a) o período de vibração resultante; b) a velocidade máxima de um ponto na borda do disco.
Como é necessário determinar o momento de inércia do corpo sujeito a rotação, tem-se a seguinte tabela para fornecer as informações.
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Figura – Momento de inércia de massa.
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A PARTIR DO PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
Neste Caso, a equação diferencial obtida é levando-se em consideração que
a energia mecânica do sistema (Em) permanece constante. Ou seja, somando-se a energia potencial elástica (Epe), energia cinética de translação (Ect) e a energia cinética de rotação (Ecr), o resultado é uma constante no tempo.
Devido a esta constância, a derivada da Em em relação ao tempo resultará nula. Assim:
EcrEctEpeEm ++= e ( )EcrEctEpedt
d
dt
dEm ++==0
Após a substituição de cada um dos tipos de energia pelas respectivas
equações e algumas operações, obtém-se a equação diferencial do movimento na forma:
02
2
=+ yCdt
yd
assim, o procedimento é semelhante ao caso anterior.
Cwn= ππ 22
Cwf
nn ==
Assim, para resolver o problema, devem-se considerar duas posições
particulares do sistema. 1 – O deslocamento do sistema é máximo: Ec1 = 0 e Ep1 é expressa em
função da amplitude; 2 – O sistema passa por uma posição de equilíbrio: Ep2 = 0 e Ec2 é expressa
em função da velocidade.
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Em seguida o sistema é expresso como: 2211 EcEpEcEp +=+
θ
2b
bb
CGCG
θP
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EXERCÍCIOS Exercício 1: Determinar o período de pequenas oscilações de um cilindro de raio r que rola sem escorregar no interior de uma superfície curva de raio R.
Exercício 2: O movimento da barra uniforma AB é guiado pela corda BC e pelo pequeno rolete A. Determine a freqüência de oscilação quando a extremidade B da barra recebe um pequeno deslocamento horizontal e, em seguida, é liberada.
Exercício 3: A barra AB de 8 kg de massa está aparafusada no disco de 12 kg. Sabendo que o disco rola sem escorregar, determine o período de pequenas oscilações do sistema.