1

APOSTILA DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA

Deus d a todos uma estrela, uns fazem da estrela um sol. Outros nem conseguem v-la.

Helena Kolody)

PROF ANA PAULA HEIMERDINGER

2

1. MATRIZES

Muitas vezes, para designar com clareza certas situaes,

necessrio formar um grupo ordenado de nmeros que se apresentam

dispostos em linhas e colunas numa tabela. Essas tabelas so chamadas na

Matemtica de matrizes. Com o advento da computao e a crescente

necessidade de se guardar muita informao,as matrizes adquiriram uma

grande importncia. Para termos uma idia dessa importncia, basta saber que

o que vemos na tela do computador uma enorme matriz. Atualmente so

largamente utilizadas as resolues de imagem de 600 x 800(600 linhas, 800

colunas), ou 768 x 1024 (768 linhas e 1024 colunas) nos monitores de

computador. A utilizao de matrizes no para por a. Alm das aplicaes de

bancos de dados, utilizada no estudo de vetores e em outras situaes

1 .1 Conceito de Matrizes

Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e

colunas. As filas horizontais de uma matriz so chamadas de linhas e as

verticais de colunas. Uma matriz que tenha m linhas e n colunas se diz m por

n, e se escreve m x n.

Os elementos de uma matriz podem ser nmeros (reais ou complexos),

funes, ou ainda outras matrizes.

Exemplo 1

Ao recolhermos dados referentes ao nmero de carros vendidos por uma

agncia durante uma semana. Podemos dispor na tabela:

Dias da semana

Modelo

2 3 4 5 6

I 20 3 10 5 7

II 1 0 4 9 6

III 11 7 8 2 13

Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas da tabela, podemos

escrever:

3

Usaremos sempre letras maisculas para denotar matrizes e as letras

minsculas para representar seus elementos. O elemento vem acompanhado

de dois ndices, sendo que o primeiro indica a linha e o segundo indica a

coluna. So utilizadas notaes de colchetes, parnteses ou duas barras.

A matriz A do tipo 3 x 5.

1.2 Representao genrica de uma matriz

Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 1

mn ijmn

j n

j n

ij ini i

mnmjm m

A a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

A representao de uma matriz m x n ser abreviada por:

ijmn

A a

onde: i linhas (1, 2, 3,...,m)

j colunas (1, 2, 3,..., n)

1.3 Tipos de matrizes

Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja

pela quantidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus

elementos, tm propriedades que as diferenciam de uma matriz qualquer. Alm

disso, estes tipos de matrizes aparecem freqentemente na prtica e, por isso

recebem nomes especiais.

4

1.3.1 Matriz linha. toda matriz constituda por uma nica linha. do tipo 1 x

n.

Ex.:

1.3.2 Matriz coluna. toda matriz que apresenta uma nica coluna. do tipo

m x 1.

Ex.:

1.3.3 Matriz nula. aquela em que aij = 0, para todo i e j.

Ex.:

1.3.4 Matriz quadrada. aquela cujo nmero de linhas igual ao nmero de

colunas ( m = n). No caso de matrizes quadradas Amn , costumamos dizer que

A uma matriz de ordem m.

Ex.:

A diagonal principal de uma matriz quadrada formada pelos

elementos i = j. No exemplo acima seriam os elementos a11 = - 1; a22 = - 1 e

a33 = 1.

A diagonal secundria de uma matriz quadrada conjunto de todos os

elementos em que i + j = n + 1. No exemplo acima teramos a13 = 0 , a22 = - 1

e a31 = 2.

1.3.5 Matriz diagonal. toda matriz quadrada em que todos os elementos que

no pertencem diagonal principal so iguais a zero.

Ex.:

5

1.3.6 Matriz identidade aquela em que os elementos da diagonal principal

so iguais a unidade, e os demais elementos so iguais a zero. Denotamos

uma matriz identidade por In.

1.3.7 Matriz triangular superior. uma matriz quadrada em que todos os

elementos abaixo da diagonal so nulos, isto , m = n e aij =0 para i > j.

Ex.:

1.3.8 Matriz triangular inferior. aquela em que m = n e aij = 0, para i < j.

Ex.:

1.3.9 Matriz transposta. a matriz de ordem m xn obtida a partir de uma

matriz de ordem m x n, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.

Indica-se a transposta de A por At.

Ex.:

1.3.10 Matriz simtrica. aquela onde m = n e aij = aij. Observa-se que, no

caso de uma matriz simtrica, a parte superior uma reflexo da parte inferior,

em relao a diagonal.

Ex.:

6

1.3.11Matriz anti-simtrica. uma matriz de ordem m, onde os seus

elementos dispostos simetricamente em relao diagonal principal so

opostos, e os elementos da diagonal principal so nulos.

Ex.:

1.4 Igualdade de matrizes

Duas matrizes A = mnij

a e B = rsij

b so iguais , A = B, se elas tm o

mesmo nmero de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos

correspondentes so iguais (aij = bij).

Ex.1:

EXERCCIOS

1) Construa as seguintes matrizes:

a) A = 23)( xija em que aij = 3i j

b) B = 31)( xijb em que bij = 2i j

c) C = 33)( xijc em que cij = i j

d) D = 42)( xijd em que dij = 3i x 2j

e) E = 34)( xije em que eij = 3i / 2j

2) Determine a, b, c e d na matriz identidade abaixo:

7

800

013

501

d

b

ca

3) A tabela de resfriamento do ar a seguir mostra como uma combinao de

temperatura do ar e velocidade do vento faz uma pessoa sentir mais frio do

que a temperatura real. Por exemplo, quando a temperatura de 10 C e o

vento est a 15 Km/h, isto provoca uma perda de calor pelo corpo igual a

quando a temperatura est a 18 C sem vento. Identifique qual este

elemento e monte a matriz deste problema.

F

Km/h 15 10 5 0 - 5 - 10

5 12 7 0 - 5 -10 - 15

10 - 3 - 9 - 15 - 22 - 27 - 34

15 - 11 - 18 - 25 - 31 - 38 - 45

20 - 17 - 24 - 31 -39 - 46 - 53

4) Sejam

A = [aij] = [

]

B = [bij] = [

] , preencha as lacunas

a) A tem tamanho ______por______ e BT tem tamanho ______por______.

b) B tem tamanho ______por______ e AT tem tamanho ______por______.

c) a32=_____, a23=_____, b12=_____, b21=_____

d) aij = 3 para (i,j) = _______, bij = 1 para (i,j) = _________.

1.5 Operaes com matrizes

Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos

certas operaes.

8

Ex.: Considerando as tabelas, que descrevem a produo de carros de

modelos I e II, nas cores azul, verde e branco, de uma indstria automobilstica

nos meses de janeiro e fevereiro de um mesmo ano.

Produo de Janeiro

Modelo

Cor

I

II

Azul 200 190

Verde 180 150

Branco 120 100

Produo de Fevereiro

Modelo

Cor

I

II

Azul 220 205

Verde 210 170

Branco 130 110

1.5.1 Adio e subtrao

A soma de duas matrizes de mesma ordem Amn = ijmn

a

e Bmn =

ijrs

b

, uma matriz m x n, que denotamos por A + B, cujos elementos

so as somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto , A + B =

ij ijmn

a b

.

Ex.: A produo de carros de modelos I e II, nas cores azul, verde e branco, de

uma indstria automobilstica nos meses de janeiro e fevereiro de um mesmo

ano.

9

Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:

i) A + B = B + A (comutativa)

ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa)

iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m x n.

No caso de subtrao, o procedimento adicionar a primeira matriz a

oposta da segunda.

Ex.:

1.5.2 Multiplicao por um escalar

Seja Amn = mnij

a e k um nmero, ento definimos uma nova matriz: k.

A = mnij

ak. .

Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m x n e nmeros k,

k1 e k2 temos:

i) k( A + B) = kA + kB

ii) (k1 + k2)A = k1 A + k2 A

iii) 0 . A = 0, isto , se multiplicarmos o nmero zero por qualquer matriz A,

termos a matriz nula.

iv) K1 (k2 A) = (k1 k2) A

Ex.:

1.5.3 Multiplicao de matrizes

Sejam Amn = ijmn

a

e Bmn = ijrs

b

. Definimos A . B = uv mpc

10

onde 1 1

1. .

n

uv un nvu vuk kvk

c a b a b a b

Observaes:

i) S podemos efetuar o produto de duas matrizes A m x n e Bs x p se o nmero

de colunas da primeira for igual ao nmero de linhas da segunda, isto , n = 1.

Alm disso, a matriz-resultado C = AB ser de ordem m x p.

ii) O elemento cij (i-sima linha e j-sima coluna da matriz produto) obtido,

multiplicando os elementos da i-sima linha da primeira matriz pelos

elementos correspondentes da j-sima coluna da segunda matriz, e somando

estes produtos.

Ex.1: Dadas as matrizes:

24

13

12

A e

40

11B . Calcule A . B.

Ex.2: Dadas as matrizes:

012

123

111

A e

212

642

321

B . Calcule A.B e B.A

Ex. 3:Um fabricante de mveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo de montagem e outro de acabamento. O tempo necessrio para esses processos dado (em horas) pela tabela:

Montagem Acabamento

Cadeira 2 2

Mesa 3 4

O fabricante tem uma fbrica em A e outra em B. Os preos por hora para cada um dos processos so dadas pela tabela:

A B

Montagem 9 10

Acabamento 10 12

Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?

11

Propriedades:

i) Em geral AB BA

ii) AI = IA = A (elemento neutro da multiplicao)

iii) A( B + C) = AB + AC

iv) ( A+ B) C = AC + BC (propriedade distributiva)

v) ( AB) C = A ( BC) (propriedade associativa da multiplicao)

vi) (AB)t = Bt At (observe a ordem)

vii) 0.A = 0 e A . 0 = 0

As leis de cancelamento no valem para a multiplicao de matrizes.

Isto , se AB = AC, ento no verdade, em geral, que B = C.

Se o produto AB for a matriz nula, no se pode concluir, em geral, que A

= 0 ou B = 0.

5.6 Potncias de Matriz

Se A uma matriz n x n e se k um inteiro positivo, ento Ak denota o

produto de k cpias de A.

fatoresk

k AAAAAA ......

Exemplo: Seja a matriz

31

12A , achar A2 e A3.

EXERCICIOS

1) Dadas as matrizes,

12;4

2

1

;

112

103

102

;

411

314

012

DCBA

12

Calcule se possvel:

a) 3 A + B

b) (A 2B)t

c) A . C

d) B . C

e) (C . D)t

f) 3D . A

g) D . B

2) Seja

012

2 2

x

xA . Se At = A, ento x = .......

3) Verdadeiro ou falso?

a) ( ) (- A)t = - (At )

b) ( ) (A + B)t = Bt + At

c) ( ) Se AB = 0, ento A = 0 ou B = 0

d) ( ) (- A) (- B) = - AB

e) ( ) Se A e B so matrizes simtricas, ento AB = BA

f) ( ) Se AB = 0, ento BA = 0

g) ( ) Se podemos efetuar o produto A.A, ento A uma matriz quadrada.

4) Ache x, y, z e w se

10

01

43

32

wz

yx

5) Dadas

0152

1123

2112

2121

1112

0141

;

134

312

231

CeBA mostre que

AB = AC.

6) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno,

mediterrneo e colonial. A quantidade de material empregado em cada tipo

de casa dada pela tabela:

13

ferro madeira vidro tinta tijolo

moderno 5 20 16 7 17

mediterrneo 7 18 12 9 21

colonial 6 25 8 5 13

a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrneo e

colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material sero

empregados?

b) Suponha agora que o preo por unidade ferro(kg), madeira (m3), vidro(m2),

tinta (galo) e tijolo(milheiro) sejam respectivamente, R$ 2,00; R$ 100,00;

R$ 20,00; R$20,00 e R$ 100,00. Qual o preo unitrio de cada tipo de

casa?

c) Qual o custo total do material empregado?

7) Determine os valores das incgnitas, para que as matrizes sejam iguais:

a)

1

9

3 yx

yx b)

98

642223 yx

yx

8) Determine os elementos x e y, sabendo que uma matriz diagonal:

a)

yxx

yyx

3

52 b)

zy

xxyz

x

30

961

002

9) Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar insetos daninhos. No

entanto, parte do pesticida absorvida pela planta. Os pesticidas so

absorvidos por herbvoros quando eles comem as plantas que foram

pulverizadas. Suponha que temos trs pesticidas e quatro plantas, e a

quantidade de pesticida (em miligramas) que foi absorvido por cada planta est

representado na tabela abaixo:

14

Suponha agora que temos trs herbvoros e o nmero de plantas que cada

herbvoro come por ms est representado na tabela seguinte

Determinar a quantidade de cada tipo de pesticida absorvido por cada

herbvoro.

10) Considere os dados da tabela a seguir, que relacionam as quantidades de

vitaminas C, D e E a trs tipos de alimentos, I,II e III.

Alim. \ Vit C D E

I 2 0 1

II 3 1 2

III 1 2 4

a) Expresse os dados por meio de uma matriz.

b) Sendo A a matriz obtida no item a, e se

1

4

2

13xB corresponder s

quantidades ingeridas de vitaminas C, D e E, qual a quantidade ingerida de cada alimento?

15

2 DETERMINANTES

a resoluo de matrizes quadradas associadas a um sistema de

equaes lineares.

2.1 Determinante de matriz quadrada de 2 ordem

O determinante de uma matriz quadrada de 2 ordem sempre igual a

diferena entre os produtos dos elementos da diagonal principal, pelo produto

dos elementos da diagonal secundria.

222221

1211

x

mnaa

aaA

Exemplo : Calcule o determinante da matriz de ordem 2.

a)

53

26

b)

42

13

2.2 Determinante de matriz quadrada de ordem 3.

2.2.1 Regra de Sarrus

O determinante de uma matriz quadrada de 3 ordem obtido pela regra

de Sarrus. Dada uma matriz quadrada A, de ordem 3, para calcularmos o seu

determinante, basta repetirmos ao lado da 3 coluna as duas primeiras colunas

de A e adicionarmos o produto da diagonal principal com as suas paralelas e

subtrairmos o produto da secundria e de suas paralelas.

33333231

232221

131211

)(

x

mxn

aaa

aaa

aaa

A

Exemplo: Determine o determinante da matriz de ordem 3.

16

a)

325

213

472

a)

204

132

113

2.3 Determinante de matriz quadrada de ordem igual ou maior que 3.

Para definir o determinante de matrizes quadradas nxn para 3n ,

introduzimos o conceito de menor complementar e cofator.

2.3.1 Menor Complementar

Definio: Dada uma matriz mxnijaA o menor complementar o determinante Di j que se obtm quando se retira de A a i-sima linha e a j-

sima coluna.

Exemplo:

Se

987

654

321

A , ento

2.3.2. Cofator

Definio: Dada uma matriz A (ai j), quadrada de ordem n, Nn e 2n ,

denominamos cofator de aij, o produto de ji )1( pelo determinante Di j ,

obtido anteriormente.

ij

ji

ijDA .)1(

Exemplo:

Se ,

987

654

321

A ento

2.3.3 Teorema de Laplace

17

Definio: Seja mxnij

aA , o determinante de A, denotado det (A), o

nmero definido por

n

jininiiiiijij

AaAaAaAaA1

2211)det(

Exemplo:

1) Calcule o determinante de ordem igual a 3, ou de ordem superior a 3 ,

utilizando o mtodo de cofatores.

a)

731

421

321

A

b)

4321

3201

2654

0132

B

Igualmente, se pode calcular um determinante de ordem n = 5, 6, 7, ...,

10,..., 20 etc. desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo

processo que se calcula um determinante de 4 ordem. Entretanto esse

processo, por envolver um nmero excessivo de operaes, torna-se quase

impraticvel, sendo necessrio o auxlio do computador.

2.4 Determinantes de Matrizes com Linhas e Colunas com todos os

Elementos Nulos

Se a matriz A possui uma linha ( ou coluna) constituda de elementos

todos nulos, o det(A) = 0.

Ex.:

18

2.5 Determinantes de Matrizes Triangulares

Se todos os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo

lado da diagonal principal forem nulos, o determinante da matriz ser igual ao

produto dos elementos dessa diagonal.

483

052

001

N , det N = (- 1). 5 . 4 = - 20 det(N) = - 20

2.6 Propriedades de Determinantes

I) Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante

nulo.

Ex.:

II) Se na matriz A duas linhas (ou duas colunas) tm seus elementos

correspondentes proporcionais, o determinante nulo ( dois elementos

so correspondentes quando, situados em linhas diferentes, esto na

mesma coluna, ou quando, situados em colunas diferentes, esto na

mesma linha.

Ex.:

19

III) Se trocarmos de posio entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma

matriz quadrada, o determinante da nova matriz o oposto do

determinante da primeira matriz.

Ex.:

341

513

312

M , temos det (M) = - 5.

Trocando de posio, por exemplo, a 2 e a 3 coluna de M, obtemos a

matriz

431

153

132

N o determinante igual a 5, que o oposto do det (M).

IV) Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna)

por um nmero real k, ento o determinante da nova matriz o produto

de k pelo determinante da primeira matriz.

215

125

1110

A temos det(A) = 20.

Escolhendo, por exemplo, a 1 coluna de A e dividindo os seus

elementos por 5 ( o que equivale a multiplic-los por 5

1 ), obtemos a matriz

211

121

112

B .

det (B) = 4 ou seja, 5

1 det( A).

V) O determinante de uma matriz quadrada A igual ao determinante de

sua transposta At , ou seja, det (A) = det (A)t.

20

510

412

321

A

543

112

021tA

2.7 Teorema de Binet

Se A e B so matrizes quadradas de mesma ordem, ento:

)det(.)det().det( BABA

EXERCICIOS. 1) Calcular os seguintes determinantes, fazendo uso das propriedades:

a) 43

25

b)

32

63 c)

4164528

5931

0000

1264

d)

4100

0202

0021

0001

e)

4000

3300

2220

1111

f)

185

642

321

g)

2000

12200

2293

10

33313

21

2) Determine o escalar k para o qual a matriz A =

535

113

21 k

singular.

3) Resolva as seguintes equaes:

a)

101

121

12

x

= 0 e) 1

3

28

13

x

x

b) 0

139

124

12

xx

c)

x

x

x

x

213

132

321

2

92

d) 12

0

114

312

xx

x

4) Sendo A . X = B , onde A =

13

12 e B =

23

21 calcular det(X).

5) Calcular det(X), sabendo que 2A + X = B A onde A =

021

210

321

e B =

401

132

110

.

6) Sabendo que a =

213

122

131

22

31

be , efetue a2 - 2b.

22

7) A =

3000

0100

2120

3001

e B =

3453

0212

0021

0001

, calcule: det )(AB .

8) O valor do determinante

1113

1123

1111

2112

:

a) 4 b) 4 c) 2 d) 2 e) 0

9) Sendo A = 33xij

a onde aij = 2i j e B 33xij

b onde

jise

jisebij

2

1

calcular os determinantes das seguintes matrizes:

a) At . Bt b) (A + B)t c) At - Bt

10) Determine a soluo da equao 52

222

22

xx

x

.

11) Sejam as matrizes: A = (aij) de ordem 2 com aij = 2i j2 , B = (bij) de ordem 2, com bij = aij + 1 e C = (cij) de ordem 3 , com cij = i2 j2. Calcule quando existir:

a) det (3C) b) det (A B) c) det (A.B) d) det C2

2.8 Determinantes para matrizes de ordem superior Verificamos at o momento que para matrizes maiores da ordem 4 podem ser calculadas suas determinantes atravs do teorema de Laplace, mas, fazendo isto manualmente, iriamos utilizar-se de muito tempo e trabalho. O esforo computacional envolvido no mtodo tradicional (teorema de Laplace) de clculo de determinantes muito grande. Portanto, vamos relembrar um tipo de determinante e uma propriedade das determinantes:

23

Se todos os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo

lado da diagonal principal forem nulos, o determinante da matriz ser

igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

483

052

001

N , det N = (- 1). 5 . 4 = - 20 det(N) = - 20

Se trocarmos de posio entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma

matriz quadrada, o determinante da nova matriz o oposto do

determinante da primeira matriz.

Ex.:

341

513

312

M , temos det (M) = - 5.

Trocando de posio, por exemplo, a 2 e a 3 coluna de M, obtemos a

matriz

431

153

132

N o determinante igual a 5, que o oposto do det (M).

2.8.1 Determinantes por Eliminao Gaussiana Em aplicaes prticas, os determinantes costumam ser calculados usando alguma variao da eliminao gaussiana. Para tal, calculamos a det (A) reduzindo A forma escalonada por linhas. Como a forma de escada de uma matriz quadrada uma matriz triangular, o mtodo de eliminao de Gauss fornece um mtodo para o clculo do determinante: Comeamos por ver o efeito de cada uma das operaes elementares no determinante de uma matriz: Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, ento det (B) = - det (A). Exemplo: Tipo II: Se

24

multiplicarmos uma linha da matriz por um nmero real diferente de zero ento multiplica-se o determinante pelo inverso desse nmero. Exemplo: Tipo III: Se adicionarmos a uma linha da matriz outra linha multiplicada por um nmero real o determinante no se altera. Exemplo: Vimos qual o efeito no determinante nas operaes elementares nas linhas da matriz. Para calcular o determinante de uma matriz comea-se por reduzir a matriz a uma forma de escada, assinalando as alteraes que ocorram no determinante. Como a forma de escada de uma matriz quadrada uma matriz triangular, o determinante desta obtm-se, como foi referido atrs, multiplicando os elementos da diagonal principal. Este mtodo pode ser usado para matrizes de qualquer ordem, tambm de ordem dois ou trs. No exemplo, vamos ver um procedimento para calcular o determinante de

A = [

] reduzindo A forma escalonada por linhas.

Agora, faa voc mesmo os prximos exemplos:

25

26

3 MATRIZ INVERSA Na aritmtica usual, cada nmero no-nulo a tem um recproco a-1(=1/a) com a propriedade a.a-1=a-1.a=1. O nmero a-1 o inverso multiplicativo de a. 3.1 Matriz inversa de uma matriz quadrada Se A uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanho que A tal que A.B=B.A=I, dizemos que A invertvel ou no-singular e que B uma inversa de A. Se no existir uma matriz B com essa propriedade, dizemos que A no-invertvel ou singular. A condio A.B=B.A=I no alterada quando trocamos A com B. Portanto, A invertvel e B uma inversa de A, e B invertvel e A uma inversa de B. Por isso, correto dizer que A e B so inversas uma da outra quando valer a condio AB=B=I. Ex: Sejam as matrizes,

A= [

] e B=[

]

Ento AB=[

]. [

]=[

]=I

BA= [

]. [

]=[

]=I

Assim, A e B so invertveis e cada uma a inversa da outra. OBS: Em geral, uma matriz quadrada singular se possui uma linha ou uma coluna de zeros. 3.2 Propriedades das inversas I. Se A uma matriz invertvel e se B e C so ambas inversas de A ento B=C, ou seja, uma matriz invertvel tem uma nica inversa. II. A matriz A invertvel se, e somente se, a det (A) 0. III. Se A e B so matrizes invertveis de mesmo tamanho, ento AB invertvel e (AB)-1=B-1A-1. IV. Se A invertvel e n um inteiro no-negativo, ento:

(a) A-1 invertvel e (A-1)-1=A

(b) Na invertvel e (An)-1=A-n=(A-1)n

(c) kA invertvel para qualquer escalar no-nulo k e (kA)-1=k-1A-1

V. A inversa de uma matriz triangular inferior uma matriz triangular inferior. VI. A inversa de uma matriz triangular superior uma matriz triangular superior. VII. Se A uma matriz simtrica inversvel, ento A-1 simtrica. VIII. Se A uma matriz inversvel, ento A . AT e AT .A so tambm inversvel.

IX. det (A-1)=

se det(A)0.

3.3 Matriz inversa de uma matriz 2x2

Seja a matriz A =[

] invertvel se, e somente se, ad-bc0 e, nesse caso, a

inversa dada pela frmula

[

] [

]

27

OBS: Em terminologia de determinantes, uma matriz A de tamanho 2x2 invertvel se, e somente se, seu determinante no-nulo e, nesse caso, a inversa pode ser obtida permutando entre si as entradas da diagonal A, trocando o sinal das entradas fora da diagonal principal e dividindo todas as entradas pelo determinante. Ex: Em cada parte, determine se a matriz invertvel. Se for, encontre a inversa.

(a) A=[

]

(b) A=[

]

Exerccios:

1) Encontre, se possvel, a inversa da matriz dada:

a) A=[

]

b) B=[

]

c) [

]

d) [

]

2) Seja a matriz A=[

]. Calcule:

a) A2

b) A-2

c) A2-3.A+I, onde I a matriz identidade.

3) Dadas as matrizes A= [

] e B= [

]. Calcule:

a) (A.B)-1

b) A.A-1-I

c) (2.B)-1

3.4 Clculo de uma matriz inversa de ordem n

A matriz inversa calculada pela seguinte relao:

Exemplo: Calculando a matriz inversa de A=[

]

Calculando-se o determinante da matriz A: [

] = 136

28

A matriz de cofatores calculada como sendo: Cof(A)=[

]

A matriz adjunta ,a matriz dos cofatores A transposta:

Adj (A) = [Cof (A)]T = [

]

Com isso temos:

[

]

[

]

Obs: Uma matriz triangular inversvel, se e somente se seus elementos na diagonal principal so todos no-nulos. Agora, calcule voc mesmo por este mtodo:

834

301

210

3.5 Procedimento para inverso de matrizes, por Gauss. Se uma matriz A pode ser reduzida matriz identidade, por uma sequncia de operaes elementares com linhas, ento A inversvel e a matriz inversa de A obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequencia de operaes com linhas. Na prtica, operamos simultaneamente com as matrizes A e I, atravs de operaes elementares, at chegarmos matriz I na posio correspondente matriz A. A matriz obtida no lugar correspondente matriz I ser a inversa de A.

(A:I)--------->(I:A-1) Exemplos:

Seja A=[

]

Coloquemos a matriz junto com a matriz identidade e apliquemos as

operaes com linhas, para reduzir a parte esquerda (que corresponde a

A) forma escalonada linha reduzida, lembrando que cada operao

deve ser efetuada simultaneamente na parte direita.

(

|

)

Trocando a primeira e segunda linhas, obtemos

29

(

|

)

Agora, somamos quarta linha a primeira e segunda, a primeira linha

multiplicada por -2.

(

|

)

Multiplicamos a segunda linha por -1 e adicionamos terceira, obtendo

(

|

)

Trocamos o sinal da terceira linha e, subsequentemente, anulamos o

resto da terceira e da quarta coluna.

(

|

)

Finalmente, obtemos a identidade esquerda e a inversa de A direita.

(

|

)

Portanto,

A-1=

Seja A=[

], calcule sua inversa:

Exerccios:

1. Determina (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo, usando

o mtodo da Adjunta

30

a) A=[

]

b) A= [

]

c) A=

100

821

2873

100

431

072

d) A=

011

101

337

341

431

331

2. Determina (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo, pela definio de inversa:

a) A=

524

012

321

568

6710

345

b) A=

325

120

112

4110

215

318

c) A=

110

101

011

2/12/12/1

2/12/12/1

2/12/12/1

d) A=

113

202

541

24/112/1

341

24/92/1

31

4. Sistemas de equaes lineares

4.1 Equao linear

Toda equao da forma: b xa ... xa xann2211 denominada

equao linear. Na equao acima, temos: a1, a2, ... , an so nmeros reais chamados coeficientes x1, x2 , ..., xn so as incgnitas b o termo independente

A soluo de uma equao linear com n incgnitas a seqncia de

nmeros reais ou nupla n ,...,, 21 que, colocados respectivamente no lugar de x1, x2 , ..., xn , tornam verdadeira a igualdade dada.

Quando o termo independente b for igual a zero, a equao linear denomina-se equao linear homognea.

Uma soluo da equao homognea 5x 3y = 0, por exemplo, a dupla (0, 0).

4.2 Definio:

Um sistema de equaes lineares uma coleo de equaes lineares

envolvendo o mesmo conjunto de variveis.

Um sistema geral de m equaes lineares com n incgnitas (ou

variveis) pode ser escrito como

Aqui, so as incgnitas, so os coeficientes

do sistema, e so os termos constantes.

A "chave" colocada esquerda das equaes uma forma de lembrar que

todas as equaes devem ser consideradas em conjunto. A seguir so

apresentados alguns exemplos de equaes lineares.

Exemplos

32

um sistema de trs equaes, nas variveis x,y e z.

um sistema de trs equaes e duas variveis x1 e x2.

um sistema linear formado por uma nica equao e trs variveis , e .

Uma soluo de um sistema uma seqncia de nmeros (

1 2 3 , , ,.........., )n que satisfaz as equaes simultaneamente.

4.3 Matrizes associadas a um sistema linear

Matriz Incompleta: a matriz formada pelos coeficientes das incgnitas.

Matriz Completa: a matriz , que obtemos ao acrescentarmos matriz

incompleta uma ltima coluna formada pelos termos independentes das

equaes do sistema.

A=

11 12 1

21 22 2

1 2

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

a a a

a a a

a a a

B

a a a b

a a a b

a a a b

n

n

m m mn

n

n

m m mn m

.....

.....

: : : :

.....

.....

.....

: : : : :

.....

Obs: Podemos dizer que um sistema satisfaz a seguinte equao matricial:

A.X=B onde

33

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

.

ou A . X = B onde

mnm

n

aa

aa

A

1

111

a matriz dos coeficientes,

nx

x

X 1

a matriz das incgnitas e

mb

b

B 1

a matriz dos termos independentes.

Uma outra matriz que podemos associar ao sistema

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

que chamamos matriz ampliada do sistema.

Exemplo:

523

445

134

321

321

321

xxx

xxx

xxx

EXERCICIOS:

1) Expresse matricialmente os sistemas:

a)

253

0

12

cba

ca

cba

34

b)

542

13

02

2

tzyx

tzy

tyx

tzyx

2) Escreva as equaes dos sistemas associados s matrizes dadas, em cada

caso:

a)

7

4.

13

52

b

a

b)

3

2

1

.

601

253

014

p

n

m

4.4Solues de sistemas lineares

Uma soluo de um sistema linear uma n-upla de valores s = (s1,s2,....,sn)

que simultneamente satisfazem todas as equaes do sistema.

Cada equao de um sistema linear tem trs variveis que determinam um

plano. Uma soluo do sistema corresponde a um ponto na interseo desses

planos

Exemplo

Considere os sistemas de equaes lineares apresentados acima.

35

tem como sua soluo (1, 2, 2).

Todas as possveis solues de um sistema linear ser chamada de

conjunto soluo, sendo geralmente denotado por S. Uma frmula que

descreva todos os vetores do conjunto soluo chamada de soluo geral.

Dessa definio, decorre que o conjunto soluo de um sistema linear a

interseco entre os conjuntos solues de cada equao do sistema (ANTON

& BUSBY).

Um sistema linear dito consistente se possui alguma soluo. Caso contrrio,

chamado de inconsistente.

Em geral, para qualquer sistema linear existem trs possibilidades a respeito

das solues:

Uma nica soluo: Neste caso, existe apenas uma soluo especfica

(uma certa n-upla). O conjunto S tem um nico elemento.

Geometricamente, isto implica que os n-planos determinados pelas

equaes do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do

espao, que especificado pelas coordenadas da soluo (as

"entradas" da n-upla). O sistema dito possvel (existe alguma soluo)

e determinado (existe uma nica soluo);

Ex: Dado o par ordenado (2,3) e o sistema a seguir:

{

Podemos dizer que o par ordenado (2, 3) a nica soluo do sistema,

Nenhuma soluo: Nesta situao, no existe qualquer n-upla de

valores que verifiquem simultaneamente todas as equaes do sistema.

O conjunto S vazio. Geometricamente, os n-planos correspondentes

36

as equaes no se intersectam (so paralelos). O sistema dito

impossvel (no existe soluo).

Ex: {

No existe nenhum par ordenado que satisfaa as equaes do sistema

acima.

Infinitas solues: As equaes especificam n-planos cuja interseco

um m-plano onde . Sendo este o caso, possvel explicitar um

conjunto S com infinitas solues. O sistema dito possvel (existe

alguma soluo) e indeterminado (sua quantidade infinita)

Ex: {

Podem existir inmeras solues para o sistema mostrado acima.

Algumas solues possveis so: (1, 1, 2), (0, 2, 4), (1, 0, 1) ...

Solues de sistemas lineares

Em geral, para qualquer sistema linear existem trs possibilidades a respeito

das solues:

Uma nica soluo:

37

Nenhuma soluo:

Infinitas solues

38

Existem dois tipos de mtodos de solues de sistemas lineares: Mtodos diretos Fornece soluo exata aps um nmero finito de

operaes. Soluo assegurada para a matriz de coeficientes no-singular:

Mtodos diretos {

Mtodos Iterativos Processo de aproximao iterativa da soluo. A

convergncia assegurada sob certas condies.

Mtodos Iterativos

{

{

{

MTODO DE GAUSS

Consideremos o sistema Ax=b em que A uma matriz quadrada nxn:

As operaes elementares

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

.

39

so as seguintes:

1) Permutaes entre linhas;

2) Multiplicao de linhas por um escalar 0;

3) Adio de linhas do sistema.

O mtodo de Gauss consiste em transformar o sistema em uma matriz

triangular superior.

Ex: {

[

].[

]=[

]

[

] ~

[

] ~ [

]

Deixamos em uma matriz triangular superior, para obtermos o resultado do

sistema, aplicamos o mtodo de retrosubstituio:

{

->

->

->

->

->

->

->

-> =1

S={1, -1, 2}

MTODO DE GAUSS-JORDAN

Este mtodo consiste em transformar o sistema em uma matriz

identidade, seguir escalonando a matriz:

[

] ~

[

] ~

[

] ~

[

] ~ [

] {

S={1, -1, 2}

EXERCCIOS:

40

1) Resolva utilizando escalonamento e retrosubstituio:

a)

91

74

107

ca

cb

ba

b) Trs pacientes usam, em conjunto, 1830 mg por ms de um certo

medicamento em cpsulas . O paciente A usa cpsulas de 5 mg, o paciente

B , de 10 mg, e o paciente C, de 12 mg. O paciente A toma metade do

nmero de cpsulas de B e os trs tomam juntos 180 cpsulas por ms.

Qual a quantidade de cpsulas que o paciente C toma por ms?

c)

733

822

542

zyx

zyx

zyx

.

d) O curso de lgebra, no semestre passado, teve trs provas. As questes

valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Rafael,

que acertou 4 questes na primeira prova, 5 na segunda e 3 na terceira, obteve

no final um total de 15 pontos. Joana acertou 3 na primeira, 4 na segunda e 4

na terceira, totalizando um total de 15 pontos. Por sua vez, Leandro acertou 5

na primeira, 5 na segunda e 2 na terceira prova, a tingindo a soma de 14

pontos no final. J Fernando fez 4 questes certas na primeira prova, 6 na

segunda e 3 na terceira . Qual foi o total de pontos de Fernando?

e) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e

castanha-do-par. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da

castanha de caju, custa R$20,00 e quilo de castanha-do-par, R$16,00. Cada

lata deve conter meio quilo da mistura e o custa total dos ingredientes de cada

lata deve ser R$5,75. Alm disso, a quantidade de castanha de caju em cada

lata deve ser igual a um tero da soma das outras duas.

a) Escreva o sistema linear que representa a situao descrita acima.

b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas,

de cada ingrediente por lata

41

g) Em um restaurante so servidos trs tipos de salada: A, B e C. Num dia de

movimento, observaram-se os clientes X, Y, Z. O cliente X serviu-se de 200g

de salada A, 300g da B e 100g da C e pagou R$5,50 pelo seu prato. O cliente

Y fez seu prato com 150g de salada A, 250g da B e 200g da C, e pagou

R$5,85. J o cliente Z serviu-se de 120g de salada A, 200 da B e 250g da C e

pagou R$5,76. Qual o preo do quilo das saladas A, B e C, respectivamente?

h) Uma loja vendeu um certo componente eletrnico, que fabricado por trs

marcas diferentes: A, B e C.

Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durante

trs dias consecutivos, revelou que:

no 1 dia, foram vendidos dois componentes da marca A, um da marca

B, e um da marca C, resultando um total de vendas igual a R$150,00;

no 2 dia, foram vendidos quatro componentes da marca A, trs da

marca B e nenhum da marca C, num total de R$240,00;

no ltimo dia no ouve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco

da marca B e trs da marca C, totalizando R$350,00.

Qual o preo do componente fabricado por A?E por B?E por C?

2) Analisar e resolver os sistemas:

a) 2 7

2 3 3

x y

x y

b)

x y z

x y z

x y z

3

2 0

3 2 6

c)

x y z

x y z

x y z

2 1

2 3 4

3 3 2 0

d)

x y z

x y z

x y z

3 2 1

2 2

4 3 1

e)

2 3 7 1

3 5

2 0

x y z

x z

y z

f)

632

02

582

zyx

zyx

zyx

g)

02

543

932

zyx

zyx

zyx

42

h)

1wy

7zw2x

5zw4y2x

2zwyx