Disciplina: Automação e Informática Industrial

Prof. Antonio Carlos Bergamaschi – Fev/2015

Engenharia Mecânica Ênfase Mecatrônica

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Modelagem Matemática:

• É a descrição matemática (quando possível) das

características dinâminas de um sistema.

• Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas

que determinam o valor das variáveis de saída a partir de

valores das variáveis de entrada.

• Sistemas são representados por blocos funcionais que

representação relações de transmitância entre as suas

variáveis de saída com as de entrada.

• Tais relações de transmitância podem ser representadas

por equações diferenciais lineares e por outras relações

matemáticas.

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Modelagem Matemática:

• Os sistemas lineares, por exemplo, são sistemas

representados por equações diferenciais lineares.

• Uma equação diferencial é linear se os corficientes da

mesma são constantes ou são funções somente da variável

independente.

• Um sistema é dito linear quando são comprovados ao

mesmo o princípio da superposição:

• PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO: A resposta produzida pela

aplicação simultanea de duas forças de excitação diferentes

na entrada de um sistema deverá ser igual à soma de suas

duas respostas individuais obtidas na saída do mesmo.

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Modelagem Matemática:

• Numa análise experimental de um sistema dinâmico, se a

causa e o efeito são proporcionais considera-se o sistema

linear.

• Conceito de Função de Transferência: É a relação de

transmitância da Tranformada de Laplace da variável de

saída (resposta) em relação à Tranformada de Laplace da

variável de entrada (função de excitação).

• As Funções de Transferência são usadas para caracterizar

as relações de entrada/saída na modelagem matemática

dos sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT).

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Funções de Transferência:

• Considere o sistema linear invariante no tempo, definido

pela seguinte equação diferencial, onde y é sua saída e x a

sua entrada:

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Funções de Transferência:

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Funções de Transferência:

G(s) = Y(s) / X(s) Y(s) = G(s).X(s)

X(S) = Transformada de Laplace de Entrada

Y(S) = Transformada de Laplace da Saída

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Modelagem de Sistemas Mecânicos

As leis fundamentais que governam os sistemas

mecânicos são as leis de Newton:

1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento

tende a manter o seu estado inicial.

2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é

igual ao produto de sua massa pela sua aceleração.

3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual

módulo e direção, mas com sentido oposto.

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Modelagem de Sistemas Mecânicos – Seja o Sistema Massa

Mola Amortecedor de um sistema mecânico físico

representado abaixo:

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• A lei fundamental que rege os sistemas mecânicos é a

Segunda Lei de Newton, sendo a mesma aplicada a

quaisquer sistemas mecânicos, ou seja:

• No sistema massa mola amortecedor mostrado, as seguintes

forças interagem para o equilíbrio do sistema:

• Força externa aplicada ao sistema Fe para o deslocamento s

da massa m, ou seja: F externa = Fe

• Força exercida pela mola, em reação à força aplicada Fe ao

sistema, será uma força proporcional à deformação da mola,

causada pelo deslocamento s da massa m, ou seja:

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Força de atrito exercida pelo amortecedor, também em

reação à força aplicada Fe ao sistema, sendo esta força

proporcional à velocidade v da haste do amortecedor

(parte móvel) em meio ao atrito viscoso, provocado pelo

deslocamento s da massa m, ou seja:

• Onde: b é o coeficiente de atrito viscoso;

v é a velocidade da haste móvel do

amortecedor.

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

Modelagem matemática do Sistema mecânico Massa MolaAmortecedor

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Obtenção da Função de Transferência do Sistema

modelado:

Com: G(s) = Y(s) / X(s) Y(s) = G(s).X(s)

Sendo: X(S) a transformada de Laplace do sinal de

entrada e Y(S) a transformada de Laplace do sinal de

saida do sistema.

Exemplo de Modelagem de Sistemas Físicos

• Obtenção da Função de Transferência do Sistema modelado:

• A Função de Transferência obtida demonstra uma relação

de transmitância de um sistema de segunda ordem, para

uma resposta de deslocamento S da massa M a uma

força externa aplicada Fe.

• G(s) = S(s)/Fe(s)