8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 3 8.1 – INTRODUÇÃO – PVIs 8.2 – MÉTODOS DE...
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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 3 8.1 – INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.2.1 – MÉTODO DE EULER 8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR 8.2.3 – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5 – EDO’s DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDO’s 8.6 - PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje
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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIASParte 3
8.1 – INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.2.1 – MÉTODO DE EULER
8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR
8.2.3 – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5 – EDO’s DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDO’s
8.6 - PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
hoje
8. EDO’s8.2.3 – Métodos de Runge-Kutta
Vimos os métodos de Euler, Euler Inverso e Euler Aprimorado para resolver problemas de valores iniciais (PVI’s)
Estes métodos são classes de méto-dos de Runge-Kutta como veremos.
00 com , yxyyxfy
8. EDO’s8.2.3 – Métodos de Runge-Kutta
Carl David Runge (1856-1927) - Físico alemão – Trabalho de 1895 sob soluções numéricas de EDO’s.
M. Wilhelm Kutta (1867-1944) – Matemático alemão – Aprimorou o método em 1901 ao estudar aerodinâmica se aerofólios.
8. EDO’s8.2.3 – Métodos de Runge-Kutta
A idéia dos métodos que estudaremos é aproveitar as qualidades dos méto-dos das séries de Taylor eliminando o seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f(x,y).
Os métodos de Runge-Kutta de ordem p caracterizam-se pelas propriedades:
1- São métodos de passo um;2- Não calculam derivadas;3- Em mesma ordem, as fórmulas de
Taylor e Runge-Kutta são semelhantes.
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 1ª ordem
O método de Runge-Kutta de 1ª ordem é o método de Euler ou de Taylor de 1ª ordem:
onde
Note que (1) satisfaz as três porpriedadesdos métodos de Runge-Kutta.
(1) 1 h,yxfyy nnnn
.][dx ,1
nn
x
x,yxfhyxf
n
n
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Os métodos de Runge-Kutta de 2ª or-dem devem ter fórmulas que devem ser semelhantes às fórmulas do Méto-do de Taylor até termos de segunda ordem em h.
Consideremos o método de Euler aprimorado ou fórmula de Heun
(2)
2
,, 111 h
yxfyxfyy nnnn
nn
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Reescrevendo a fórmula de Heun
1- Observando que para calcular usamos apenas , então dize-mos que o Método de Euler Aprimorado é de Passo Um ou de Passo Simples. 2- O Método de Euler Aprimorado não tem derivadas de f(x,y).3- Resta verificar a terceira condição.
(2) 21 yhy,hxf ,yxf h
yy nnnnnnn
11 nn xyy nn xyy
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Resta verificar se a fórmula de Heun
é semelhantes às fórmulas do Método de Taylor até termos de segunda ordem em h. Da fórmulade Taylor de y(x) em x=xn+1
(2) 21 yhy,hxf ,yxf h
yy nnnnnnn
!2
!2)()()()(
2
1
2
1
hyhyyy
hxyhxyxyxy
nnnn
nnnn
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Calculemos a fórmula de Taylor de 2ª ordem.
)(!3
to truncamende erro
,,,2
,
)(,)(,)(,
)(,
2
1
2
1
yh
)E(x
yxfyxfyxfh
yxfhyy
fffdx
dyxyxfxyxfxyxf
dx
dxy
xyxfxy
n
nnnnynnxnnnn
yxyx
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
No Método de Euler Aprimorado trabalhamos Com .
nn
nnxy
nyynxx
nnnynnnxnn
n
yyxx
yyxxf
yyfxxf
yyyxfxxyxfyxfyxf
yxyxf
, e , com
,
,2
1,
2
1
,,),(),(
),(x de tornoem )(, Expandindo
22
n
nnn yhy,hxf
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Segue que:
e o Método de Euler Aprimorado escreve-se
22
n
,,2,2
,,),(),(x
nyynxyxx
nnnynnxnnnn
yfyffh
yhyxfhyxfyxfyhyhf
nnn
nnnnnnn
,yxf h
y
yhy,hxf ,yxf h
yy
{2
21
},,2,2
,,),(
22
nyynxyxx
nnnynnxnn
yfyffh
yhyxfhyxfyxf
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Enfim
Logo, o Método de Euler Aprimorado é um método de Taylor de 2ª ordem e portanto, devido às 3 propriedades verificadas, também é um Método de Runge-Kutta de 2ª ordem.
,),(,),(2,2
,),(,2
),(
23
2
1
yynnxynnxx
nnynnnnxnnnn
fyxffyxffh
yxfyxfyxfh
yxfhyy
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
A Fórmula geral de Runge-Kutta de 2ª ordem tem a forma:
No caso do Euler Aprimorado
(3) ,),( 21211 nnnnnnn yhbyhbxfahyxfahyy
1,2
1,
2
12121 bbaa
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Questão: A expressão (3) sempre é seme-lhante a fórmula de Taylor com termos até segunda ordem em h?
Realizando um procedimento semelhante àquele realizado para o Método de Euler Aprimorado, verificamos que os parâmetos devem ser tais que
(3) ,),( 21211 nnnnnnn yhbyhbxfahyxfahyy
2
1,
2
1,1 221221 babaaa
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 2ª ordem
Como temos um parâmetro arbitrário, tomamos, por exemplo,
de modo que a fórmula de Runge-Kutta de 2ª ordem escreve-se como:
),(2
,2
),(11
nnnnnnnn yxf
w
hy
w
hxfwhyxfwhyy
wbbwawa
2
1,1 2112
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 3ª ordem
De forma análoga podemos construir a fórmula de métodos de Runge-Kutta de 3ª ordem. SejamPVI’s do tipo então uma fórmula de Runge-Kutta de 3ª ordem escreve-se como:
4
3,
4
3
2,
2 ),( onde
4329
23
121
3211
Ky
hxfK
Ky
hxfKyxfK
KKKh
yy
nn
nnnn
nn
00 com , yxyyxfy
8. EDO’s8.2.3 – Runge-Kutta de 4ª ordem
De forma análoga podemos construir a fórmula de métodos de Runge-Kutta de 4ª ordem. SejamPVI’s do tipo então uma fórmula de Runge-Kutta de 4ª ordem escreve-se como:
342
3
121
43211
, , 2
,2
2,
2 , ),( onde
226
KyhxfKK
yh
xfK
Ky
hxfKyxfK
KKKKh
yy
nnnn
nnnn
nn
00 com , yxyyxfy
8. EDO’s8.2.3 – Comentários sobre Runge-Kutta
FÓRMULAS DE RUNGE-KUTTA
1ª ordem:
2ª ordem: particular
3ª ordem:
1 h,yxfyy nnnn
,,2 111 nnnnnn yxfyxfh
yy
),(2
,2
),(11
nnnnnnnn yxf
w
hy
w
hxfwhyxfwhyy
4
3,
4
3 ,
2,
2 , ),(
4329
23
121
3211
Ky
hxfK
Ky
hxfKyxfK
KKKh
yy
nnnnnn
nn
8. EDO’s8.2.3 – Comentários sobre Runge-Kutta
FÓRMULAS DE RUNGE-KUTTA
4ª ordem:
Com1: As fórmulas de Runge-Kutta são médias ponderadas de valores de f(x,y) em pontos no intervalo .
342
3
121
43211
, , 2
,2
2,
2 , ),( onde
226
KyhxfKK
yh
xfK
Ky
hxfKyxfK
KKKKh
yy
nnnn
nnnn
nn
1 nn xxx
8. EDO’s8.2.3 – Comentários sobre Runge-Kutta
FÓRMULAS DE RUNGE-KUTTA
Com2: As somas ;
podem ser interpretadas como um coeficiente angular médio.
Com3: Problema do passo fixo pode ser resolvido com o desenvolvimento de Métodos de Runge-Kutta adaptativos, os quais ajustam o passo de modo a manter o erro de trun-camento local num nível de tolerância fixado.
4321 226
KKKKh
321 4329
KKKh
8. EDO’s8.2.3 – Exemplos de Runge-Kutta
Exemplo 1: Para o PVI dado, estime . PVI:
a) Runge-Kutta de primeira ordem.
Assim
1000)0( com 04.0 yyy)1(y
nnnn
nnnn
yh hy yy
yx,yf h,yxfyy
04.0104.0
04.0 onde
1
1
..3,2,1 para 100004.01
............................................................
100004.0104.01
100004.012
12
1
kh y
h yh y
h y
kk
8. EDO’s8.2.3 – Exemplos de Runge-Kutta
Definindo a partição do intervalo (0,1)
8108.1040)1( :exatoValor
7277.104010001.004.011.0
604.1040100025.004.0125.0
4.104010005.004.015.0
1040100004.011
1010
44
22
1
y
yh
yh
yh
yh
8. EDO’s8.2.3 – Exemplos de Runge-Kutta
b) Runge-Kutta de 2ª ordem. Euler aprimorado.
Analogamente ao Runge-Kutta de 1ª ordem
21
1
1
04.02
04.01
04.004.004.02
,,,2
hhyy
yhyyh
yy
yxfhyhxfyxfh
yy
nn
nnnnn
nnnnnnnn
100004.02
04.01 2
k
k
hhy
8. EDO’s8.2.3 – Exemplos de Runge-Kutta
Definindo a partição do intervalo (0,1)
8108.1040)1( :exatoValor
8107.1040100004.02
1.01.004.011.0
8101.1040100004.02
25.025.004.0125.0
808.1040100004.02
5.05.004.015.0
8.1040100004.02
104.011
10
22
10
4
22
4
2
22
2
21
y
yh
yh
yh
yh
8. EDO’s8.2.3 – Exemplos de Runge-Kutta
c) Runge-Kutta de 3ª ordem.
4
304.0,
204.0,04.0
4
3,
4
3 ,
2,
2 , ),(
4329
13
121
23
121
3211
KyK
KyKyK
Ky
hxfK
Ky
hxfKyxfK
KKKh
yy
nnn
nnnnnn
nn
8. EDO’s8.2.3 – Exemplos de Runge-Kutta
c) Runge-Kutta de 3ª ordem.
1 para 8107.1040 224.4148.4034029
11000 :Logo
224.418.404
3100004.0
8.402
40100004.0,40100004.0
4329
Sendo
1
3
21
32101
hy
K
KK
KKKh
yy
8.2.3. Métodos de Runge-KuttaExercícios
Exercício: Utilize o Método de Runge-Kutta de 1ª, 2ª, 3ª e 4ª ordens, para calcular valores aproximados da solução y(x) do problema de valor inicial no intervalo [0,2].
Utilize partições h=0.5 , h=0.25 e h=0.1
1)0( com 41 yyxy
