8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 7A 8.1–INTRODUÇÃO – PVIs 8.2–MÉTODOS DE PASSO...

8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIASParte 7A

8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s

8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES

8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO

8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR

8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR

8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.1. Introdução

Seja um PVC de segunda ordem dado por:

onde são constantes reais conhecidas, tais que nem , nem , sejam nulas, simultaneamente.

222

111

)()(

)()(

contorno no condições seguintes as com

,,

bybbya

aybaya

yyxfy

222111 ,, , ,, baba

22 , ba11 , ba


O PVC de segunda ordem dado, tem a forma mais geral possível.

Quando os valores de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Dirichlet. Quando os valores da derivada de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos

um problema de Neumann.

2211 )(a e )( byaya

2211 )(b e )( byayb

P.G. Dirichlet (1805-1858) e K.G. Neumann (1832-1925)


Para o PVC de segunda ordem

onde , dizemos que o PVC é homogêneo e a solução trivialé solução.

0)()(

0)()(

contorno no condições seguintes as com

0

22

11

bybbya

aybaya

y

0 e 0,, 21 yyxf0)( xy

8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização

A idéia básica do Método de Diferenças Finitas transformar o PVC em um sistema de equaçõ-es algébricas, aproximando as derivadas por Diferenças Finitas.

Considere o intervalo do PVC dado porFazemos . Fazendo uma partição Regular, sejam n subintervalos iguais de compri-mento

.,baxbax n0 xe

n

abh


Assim,

Notação:

Se for linear em o sistema algébrico a ser resolvido será linear e podemos utilizar o Método de Lagrange para resolvê-lo.

Se for não-linear em o sistema algébrico a ser resolvido será não-linear e podemos utilizar o Método de Newton para resolvê-lo.

hkxyxyy kk 0

nkhkxk ,...,1,0 com x 0

),,( yyxf yy ,

),,( yyxf yy ,


As aproximações mais utilizadas para de-rivadas primeiras são:

h

yyxy iii

1 Diferença avançada

h

yyxy iii

1

h

yyxy iii 2

11

Diferença atrasada

Diferença centrada


Graficamente: aproximação por diferença avançada

h

yyxy iii

1

1ix ix 1ix

Derivada correta

Derivada

aproximaday

x


Graficamente: aproximação por diferença atrasada

h

yyxy iii

1

1ix ix 1ix

Derivada correta

Derivada

aproximada

y

x


Graficamente: aproximação por diferença centrada

h

yyxy iii 2

11

1ix ix 1ix

Derivada correta

Derivada

aproximada

y

x


Note que cometemos um erro ao aproximar a derivada pelas fórmulas discretas apresen-tadas. O erro cometido, da fórmula de Taylor, é

Assim:

1

21

11

, onde

!2

ii

iiiiiii

xx

xxyxxxyxyxy

ixy

iiii

i xxhh

yyxy

1

1 onde

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização

Definição: Dizemos que é , se existeuma constante .

Da definição, se , então a expressão de diferença avançada, para aproxi-mar são de ordem , pois

)(hg phOphCC g(h) que tal0

1, onde ii xxMy

ixy 1O h

hMh

yh

yyxy iii 22

g(h) 1

1, onde ii xx


Analogamente, da definição, se

então a expressão de diferença atrasada, para aproximar é de ordem , pois

ii xxMy , onde 1

ixy 1O h

hMh

yh

yyxy iii 22

g(h) 1

ii xx , onde 1


Enfim, para diferença centrada temos que:

Somando as aproximações

hxxhxx iiii 11 e pois

6!2

6!23

1

2

1

3

1

2

1

hy

hxyhxyxyxy

hy

hxyhxyxyxy

iiiii

iiiii

., , , e 1111 iiiiii xxxx


De modo que, a aproximação por diferença cen-Trada é de ordem . A fórmula de diferen-ças centradas é mais utilizada.

2O h

11

211

11

3

11

122

62

iiii

i

iiiii

yyh

h

xyxyxy

yyh

hxyxyxy


Discretização de derivadas segundas. Novamen-te a partir da série de Taylor, expandindo até a terceira ordem

Somando as aproximações:

!4!3!2

!4!3!24

14

32

1

4

14

32

1

hy

hxy

hxyhxyxyxy

hy

hxy

hxyhxyxyxy

iiiiii

iiiiii


)( ordem da erro com

2

:por dada é segunda derivada a para oaproximaçã uma Logo

!42

22

11

4

14

142

11

hOh

xyxyxyxy

hyyhxyxyxyxy

iiii

iiiiii

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear

Exemplo 1: PVC linear

Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos decomprimento h, segue que

Como conhecemos

resta calcular

1)1(

0)0( com 2

y

yxxyxyxy

1,....,00 nxx

1)()1(

0)()0( 00

nn yxyy

yxyy

1211 ,.....,,)( nyyxyy


Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja:

e

sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

h

xyxyxy iii 2

11

2

211

h

xyxyxyxy iiii

iiiiiii xy

h

yy

h

yyy

112

11 2


Como reescrevemos a equação discreta

A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno, escreve-se como:

Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

hixi

31

21

112

11

121

2

hiyhyhyh

xyh

yy

h

yyy

iii

iiiiiii

321

2 12 hyhyh

31

22 1121 hnhyhyh nn


Temos que resolver o seguinte sistema linear

Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver, vejamos matricialmente:

321

2 12 hyhyh

31

22 1121 hnhyhyh nn

22 para 1121 331

21 niihhnyhyhyh iii


Reescrevendo matricialmente o sistema linear

onde

11

222

222

11

00000

0000

......

0000

00000

nn

nnn

da

cda

cda

cd

A

11 para 1

21 para 1

11 para 22

n-iha

n-ihc

n-ihd

i

i

i


Note que matrizes tridiagonais são esparsas e neste caso não é conveniente utilizar métodos diretos para resolvê-las, ou seja, Método de Gauss, LU, Cholesky, entre outros. Métodos diretos provocam o preenchimento da matriz, ou seja, durante o processo de eliminação, os erros de truncamento, geram não-nulos em posições onde antes, originalmente, tínhamos termos nulos.

Em matrizes esparsas deve-se utilizar métodos iterativos tipo Gauss-Seidel, associados a técnicas especiais para o armazenamento da matriz, as quais tiram proveito de sua esparsidade.

ija


Resolvendo o sistema linear iterativamente por Gauss-Seidel, para , temos erros de ordem

x Sol. Numer. Sol. Exata Erro

0.1000 -0.2720 -0.2713 0.0007

0.2000 -0.4911 -0.49 0.0011

0.3000 -0.6641 -0.6629 0.0013

0.4000 -0.7969 -0.7956 0.0013

0.5000 -0.8947 -0.8935 0.0012

0.6000 -0.9620 -0.9610 0.0010

0.7000 -1.0029 -1.0020 0.0009

0.8000 -1.0208 -1.0203 0.0006

0.9000 -1.0190 -1.0187 0.0003

.10 21.0h


Novamente por Gauss-Seidel, com , e erros de

x Sol. Numer. Sol. Exata Erro0.0500 -0.1428 -0.1427 0.0001

0.1000 -0.2715 -0.2713 0.0002

0.1500 -0.3870 -0.3868 0.0002

0.2000 -0.4903 -0.49 0.0003

0.2500 -0.5821 -0.5818 0.0003

0.3000 -0.6632 -0.6629 0.0003

0.3500 -0.7342 -0.7339 0.0003

0.4000 -0.7959 -0.7956 0.0003

0.4500 -0.8489 -0.8486 0.0003

0.5000 -0.8938 -0.8935 0.0003

.... .... .... ....

0.8000 -1.0204 -1.0203 0.0001

0.8500 -1.0219 -1.0218 0.0001

0.9000 -1.0188 -1.0187 0.0001

0.9500 -1.0114 -1.0113 0.0001

.103 305.0h

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear

Exemplo 2: PVC não-linear

Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos decomprimento h, segue que

Como conhecemos

resta calcular

5)1(

1)0( com

y

yyxysenxyxy

1,....,00 nxx

5)()1(

1)()0( 00

nn yxyy

yxyy

1211 ,.....,,)( nyyxyy


Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja:

e

sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

h

xyxyxy iii 2

11

2

211

h

xyxyxyxy iiii

iiiiiii yxyseny

h

yyy

2

11 2


Como reescrevemos a equação discreta

A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno, escreve-se como:

Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

hixi

02

2

132

1

211

iiii

iiiiii

yyhiysenhy

yihysenyh

yyy

021 213

12 yyhysenh

05)1(2 13

12

2 nnn yhnysenhy


Temos que resolver o seguinte sistema linear

Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver. Utilize um método quase-Newton, porexemplo, para resolvê-lo.

22 para 02 132

1 niyyihysenhy iiii

021 213

12 yyhysenh

05)1(2 13

12

2 nnn yhnysenhy

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas

Quando temos condições mistas do tipo

uma idéia é utilizar diferenças avançadaspara descrever e deste modo a com-dição de contorno escreve-se como:

eyy 300

0y

1

3

313

10

1001

0

h

yehy

ehyyheh

yyy


Exemplo 3: PVC linear com condição mista

Discretizando a EDO

A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno,

com 2 xxyxyxy

eyy 3)0()0(

31

21 121 hiyhyhyh iii

1

3 10

h

yehy

321

2 311 hehyhyh


Exemplo 3: PVC linear com condição mista

Discretizando a EDO

A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno,

com 2 xxyxyxy eyy 3)0()0(

31

21 121 hiyhyhyh iii

1

3 10

h

yehy

1)1( y


Note que ao aproximar a derivada primeira na condição de contorno por diferença avançada, cometemos erros da ordem de .

Poderíamos ter aproximado a derivada, na condição de contorno, por diferença centrada e com isto garantido erros da ordem Neste caso, temos que incluir um ponto a mais (x-1,y-1) nossa tabela e temos um sistema nxn

)( 1hO

).( 2hO

32232 101

110

ehyhyyeh

yyy


Então temos o sistema

com a condição

A primeira equação (i=0), utilizando a condição no contorno, escreve-se como:

31

21 121 hiyhyhyh iii

322 101 ehyhyy

31

210

21 121 hxhyhyhyh

Cuidado: deduzida para i=1,2,..,n-1

310

210 12)3(221 hyhyhehyhyh

310

2 )3(12222 hehhyyhh


Enfim, temos que resolver o seguinte sistema linear

Temos um sistema de n equações, tridiagonal, a resolver.

31

22 1121 hnhyhyh nn

21 para 1121 331

21 niihhnyhyhyh iii

310

2 )3(12222 hehhyyhh

Trabalho Final

Seção 11.4 – Burden – Faires

Exercício 1 – CarolinaExercício 3 a – EvertonExercício 3 a – José Exercício 3 a – JoãoExercício 3 a – Vinícius

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