LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DE POSIÇÃO E POLIEDROS CONVEXOS

1) Quantos pontos você acredita que existam no espaço?

Quantas retas? Quantos planos?

2) Se r é uma reta oblíqua ao plano , quantos são os

planos que contêm r e são perpendiculares a ?

a) 0 b) 1

c) 2

d) 4

e) Infinitos.

3) Considerando a figura abaixo, onde a reta r é

perpendicular ao plano e s é uma reta desse mesmo plano,

assinale o que for correto e some as alternativas:

01) r e s são perpendiculares;

02) r e s determinam um plano perpendicular a ;

04) O triângulo é equilátero;

08) ;

16) A soma dos ângulos e é .

4) Na cadeira representada na figura abaixo, o encosto é

perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão.

Sendo assim,

a) Os planos e são paralelos;

b) é segmento de reta comum aos planos e ;

c) Os planos e são paralelos;

d) é um segmento de reta comum aos planos e

.

5) Sobre a posição relativa de planos no espaço, é correto

afirmar:

a) Se os planos e são perpendiculares a um plano ,

então é paralelo a ;

b) Se dois planos, e , são paralelos entre si, então a

interseccção de qualquer outro plano com estes é um

par de retas paralelas;

c) Por uma reta r perpendicular a um plano passam apenas dois

planos, e , perpendiculares a um plano ;

d) Por um ponto não pertencente a um plano passam

infinitos planos paralelos ao plano ;

e) Dois planos, e , paralelos a uma mesma reta r são

paralelos entre si.

6) Sejam e dois planos paralelos e seja r uma reta de . Assinale a sentença verdadeira:

a) Toda reta de é paralela a r;

b) Toda reta perpendicular a é perpendicular a r;

c) Não existe em uma reta paralela a r;

d) Se s é uma reta de , não paralela a r, existe em uma reta

concorrente com s e paralela a r;

e) Se s é uma reta de , não paralela a r, existe em uma reta paralela a s, que é paralela a r.

7) Sobre retas e planos no espaço, verifica-se:

01) Se uma reta é paralela a um plano , qualquer plano que

contém r é paralelo a ;

02) Dois planos paralelos a uma reta r podem ser paralelos

entre si;

04) Duas retas no espaço são sempre concorrentes ou paralelas

ou coincidentes;

08) Uma reta ortogonal a duas retas de um plano é perpendicular a esse plano;

16) Por uma reta perpendicular a um plano passa uma

infinidade de planos perpendiculares a ;

32) Três pontos não alinhados determinam um plano.

8) Leia as afirmativas abaixo e escolha a alternativa correta:

I. Dados um plano e dois pontos A e B fora dele é sempre

possível passar por A e B um plano perpendicular a ;

II. Dadas retas reversas a e b não existe nenhum plano

equidistante das duas retas;

III. Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio ( ), elas

são paralelas ou reversas.

IV. Quatro pontos distintos e não coplanares determinam

exatamente planos.

V. Se dois planos forem perpendiculares, todo plano

perpendicular a um deles será perpendicular ao outro.

São verdadeiras:

a) Apenas uma afirmação;

b) Apenas duas afirmações;

c) Apenas três afirmações;

d) Apenas quatro afirmações;

e) Todas são falsas.

9) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma

das afirmações abaixo. Caso seja falsa justifique ou dê um

contra-exemplo.

a) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano então ela é

perpendicular ou ortogonal às retas desse plano.

b) ( ) Se duas retas r e s têm um único ponto em comum e r

está contida em um plano , então s e têm um único ponto

em comum.

c) ( ) Duas retas paralelas distintas determinam um plano.

d)( ) Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas

entre si .

10) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma

das afirmações abaixo. Caso seja falsa justifique ou dê um

contra-exemplo.

a) ( ) Se r e s são retas distintas então .

b) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um

plano então ela é perpendicular ao plano.

c) ( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum.

d) ( ) Se uma reta e um plano têm um ponto em comum , então

são secantes .

11) Observando a figura, dê as posições relativas entre:

12) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das

afirmações abaixo. Caso seja falsa justifique:

13) Observando a figura e simplesmente contando, determine

o nº de faces, o nº de arestas e o nº de vértices do poliedro

convexo.

____ faces

____ arestas ____ vértices

O poliedro satisfaz a relação de Euler?

14) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) Num poliedro o nº de faces é o dobro do nº de arestas.

b) Existe poliedro com três faces.

c) Todo poliedro tem 8 vértices.

d) Um hexadecaedro tem 6 faces.

e) Uma aresta é a intersecção de duas faces.

15) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) Um dodecaedro tem duas faces.

b) Uma face é a intersecção de duas arestas.

c) Um pentadecaedro tem 15 arestas.

d) Existe poliedro que tem quatro faces.

e) Todo poliedro tem no mínimo 12 arestas.

16) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que

tem arestas.

17) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de

todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem

vértices.

18) Determine o nº de faces de um poliedro convexo fechado,

sabendo que o nº de arestas excede o nº de vértices de

unidades.

19) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem

faces hexagonais, faces octogonais e faces

quadrangulares.

20) Determine o nº de arestas e o nº de vértices de um icosaedro regular, sabendo que todas as faces do icosaedro são triangulares.

21) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de

todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem

vértices.

22) A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na copa

de foi inspirada em um conhecido poliedro convexo formado

por faces pentagonais e faces hexagonais, todas regulares.

Pergunta-se quantos vértices possui tal poliedro.

23)

24) Um poliedro convexo de arestas e vértices só possui

faces triangulares e quadrangulares. Determine quantas faces

triangulares e quantas faces quadrangulares ele possui?

25) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde

a do número de arestas e o número de faces é três unidades

menos que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os

vértices e as arestas desse poliedro.

26) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares,

quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces

quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem arestas e

vértices, e que o nº de faces quadrangulares é igual ao nº de

faces triangulares.

27) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares,

quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces

hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem arestas e

vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de

faces triangulares.