a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b1b1 a 11 x 1 + MatrizesConceitos Básicos A= a11a11 a12a12 a13a13...

a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 +

Matrizes Conceitos Básicos

A= a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n...... a2n

a31 a32 a33 a3n...

... ... ... ...

...

am1 am2 am3 amn...

Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Consideremos o sistema

... +

a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2

a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...

am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm



874100245210221

3x5

a13= 2

a34= 7


Amxn = [aij]mxn

As matrizes podem ser classificadas segundo:

A natureza dos elementos

A forma


Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:

Rectangular

Quadrada

Coluna

Linha

Se o número de linhas é diferente do número de colunas

Se o número de linhas é igual do número de colunas

Se o número de colunas é igual a um

Se o número de linhas é igual a um

53

054421252043201

33

231310201

13

101

31221

Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m


Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:

Real

Complexa

Nula

se todos os seus elementos são reais

ijij aAa :

se pelo menos um dos seus elementos é complexo

CaAa ijij :

se todos os seus elementos são nulos

0: ijij aAa

100251

10251

i

000000



Triangular Superior

Triangular Inferior

0: ijij ajiAa

uma matriz quadrada em que os elementos abaixoda diagonal principal são nulos

uma matriz quadrada em que os elementos acimada diagonal principal são nulos

0: ijij ajiAa

5000620003007211

5103022000250001



Diagonal

Escalar

0: ijij ajiAauma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos

5000020000000001

uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

ij

ijij

aji

ajiAa 0:

2000020000200002



Simétrica

Densa

Dispersa

5740723243010211

se os elementos aij são iguais aos aji

se a maioria dos seus elementos são não nulos

se a maioria dos seus elementos são nulos

645046633

BAc

Matrizes

Soma de Matrizes

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de

342015321

A

303031312

B

3 3 6

6 4 05 4 6

A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

njmibac

BACMCMBA

ijijij

nmnm

,,1,,1;

:,

Operações com Matrizes

Matrizes

ABBAMBA nm ,


goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa

A soma de matrizes do mesmo tipo

)()(,, CBACBAMCBA nm

AOAMOMA nmnm :

OBAMBMA nmnm :

Matrizes Operações com Matrizes

goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa

A soma de matrizes do mesmo tipo

Assim o conjunto M mxn forma um

Grupo Aditivo Comutativo

Matrizes

Produto por um escalar

Sejam A uma matriz e um escalar

O produto de por A é uma matriz C

342015321

A

91260315963

3 A

que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por

njmiac

ACMAMA

ijij

nmnm

,,1,,1;

:


do mesmo tipo de A

Matrizes

AA


e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo

AAA )(

BABA

AA1

Matrizes

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n...... a2n

a31 a32 a33 a3n...

... ... ... ...

...

am1 am2 am3 amn...


Consideremos o sistema

a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 + ... +

a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2

a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...

am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm

= b1

b2

b3

...bm

x1

x2

x3

...

xn


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

=

2x3


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15 29


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15 29 27



Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

cujos elementos são dados por:

mxp

n

kjkkiji bac

1

e escreve-se C=AB.

nxp.

O produto de matrizes não é comutativo

Matrizes

CBACBA


Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A, B e C, e um escalar.

CBCACBA )(

CABACBA

BABABA


Transposição de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:

jiji ab mjni ,....;,..., 11

e escreve-se B=AT

5305442

12520

43201

A

35014

523

452

420

201

TA

Matrizes

AATT


Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B e um escalar.

TTT BABA )(

TT AA

TTT ABBA

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