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EDIVALDO PINTO DOS SANTOS FUNÇÃO AFIM y = ax+b: A ARTICULAÇÃO ENTRE OS REGISTROS GRÁFICO E ALGÉBRICO COM O AUXÍLIO DE UM SOFTWARE EDUCATIVO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PUC/SP São Paulo 2002
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EDIVALDO PINTO DOS SANTOS
FUNÇÃO AFIM y = ax+b:
A ARTICULAÇÃO ENTRE OS REGISTROS GRÁFICO E
ALGÉBRICO COM O AUXÍLIO DE UM SOFTWARE EDUCATIVO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC/SP
São Paulo
2002
EDIVALDO PINTO DOS SANTOS
FUNÇÃO AFIM y = ax + b:
A ARTICULAÇÃO ENTRE OS REGISTROS GRÁFICO E
ALGÉBRICO COM O AUXÍLIO DE UM SOFTWARE EDUCATIVO
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora da Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação
do Prof. Dr. Benedito Antonio da Silva.
PUC/SP
São Paulo
2002
Banca Examinadora
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter-me dado forças para concluir este trabalho.
Ao Professor Dr. Benedito Antonio da Silva, pela competência na
orientação e paciência em mostrar o melhor caminho a seguir.
Ao Programa de Estudos Pós-Graduados da Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, que através de sua coordenadora me ofereceu a
oportunidade de estudar e concluir este Mestrado.
Ao Professor Dr. João Bosco Laudares, que aceitou fazer parte da banca
examinadora e pela colaboração com sugestões enriquecedoras.
À Professora Dr. Janete Bolite Frant, que com muita simpatia apresentou
valiosas sugestões e críticas.
Aos Professores e colegas do Programa, que tornaram possível a
conclusão deste trabalho.
A Adriana pela revisão de meu trabalho.
Aos meus familiares pelo carinho, apoio e incentivos constantes e ainda,
pelas alegrias desfrutadas nos momentos em família.
Em especial, ao programador e irmão Edinelson Santos, pela ajuda na
construção do software usado nesta pesquisa.
À minha esposa Helena de Paula pelo amor e apoio constantes, pelo
respeito e pelas conversas sempre confortantes e incentivadoras.
Aos meus tesouros, Ricardo e Letícia que, de certo modo, compreenderam
a minha ausência.
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo estudar a aquisição de saberes
relacionados aos coeficientes da equação y = ax + b pela articulação dos registros
gráfico e algébrico da função afim, com o auxílio de um software construído
especialmente para esta finalidade. Para atingir este objetivo foi elaborada uma
seqüência didática baseada em alguns princípios da Informática na Educação e
na teoria de Raymond Duval (1999), que considera importante para as
representações gráficas o procedimento de interpretação global, e leva em
consideração a discriminação de variáveis visuais pertinentes e a percepção das
variações correspondentes na escrita algébrica. A seqüência foi trabalhada com 5
duplas de alunos da 2ª série do ensino médio de uma escola particular em São
Paulo. Os resultados obtidos revelam que houve uma evolução em relação à
construção de significados dos coeficientes da representação algébrica da função
afim associados a sua representação gráfica, isto é, a reta correspondente. A
investigação evidencia que o ambiente informático estabelecido possibilitou uma
nova forma de trabalhar com os alunos, de avaliar seus desempenhos, enfim, de
desenvolver o processo de ensino-aprendizagem da função afim, mais
especificamente da conversão do registro gráfico para o algébrico.
ABSTRACT
The porpose of this work has objective study the aquisitions
conected to the equation coeficients y = ax + b from the graphics registers
articulation, with the function to help with a software specially build for this finallity.
To get this objective was elaborated one didatic sequency based in some in
priciples of Informatic Education and in the Raymond Duval (1999) teory, who
considers the procidment of global interpretation important to the graphics
representation, and take in count the discrimination of visual varials pertinents and
the perception about variation correspondent in the algebric write this sequency
was worked with five groups of two students from the second grade on a private
high school in São Paulo. The right results shour that happended and evolution
from this students into the construction of means from the funtions to associated at
its graphics representations so, this is about the correspondent line. The
investigation proves that the informatic ambient got a new way of teach, to work
with students, to know their grade, to desenvolviment a new traching process of
learn the functions, more especific, in the conversion from the graphic register to
the algebric.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................... 9
CAPÍTULO I ......................................................................................................... 11
Problemática ..............................................................................................
............................................................................................................................. 11
Fundamentação Teórica.............................................................................
............................................................................................................................. 16
CAPÍTULO II ........................................................................................................ 28
Informática na Educação............................................................................
............................................................................................................................. 28
CAPÍTULO III .......................................................................................................
............................................................................................................................. 37
Procedimentos Metodológicos ..................................................................
............................................................................................................................. 37
CAPÍTULO IV .......................................................................................................
............................................................................................................................. 50
Descrição e Análise da Experimentação....................................................
............................................................................................................................. 50
1) Pré-teste.......................................................................................
............................................................................................................................. 51
2) 1ª Sessão informática (preliminar) ...............................................
............................................................................................................................. 56
3) 2ª Sessão informática (jogo) ........................................................
............................................................................................................................. 71
4) Pós-teste ......................................................................................
............................................................................................................................. 85
CAPÍTULO V........................................................................................................
............................................................................................................................. 88
Análises finais e Conclusões......................................................................
............................................................................................................................. 88
1) O desempenho de duas duplas............................................................
............................................................................................................. 88
2) Considerações finais ............................................................................
............................................................................................................. 94
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS.....................................................................
............................................................................................................................. 97
ANEXOS ..............................................................................................................
............................................................................................................................. 99
9
INTRODUÇÃO
O presente trabalho insere-se na linha de pesquisa Tecnologias da
Informação e Educação Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, e tem
por objetivo estudar a aquisição de saberes relacionados aos coeficientes da
equação y = ax + b, por meio da articulação dos registros gráfico e algébrico da
função afim, com o auxílio de um software educativo, por alunos da 2ª série do
ensino médio de uma escola particular em São Paulo.
Em nossa experiência em sala de aula como professor no ensino médio
desde 1991, pudemos perceber que os alunos apresentam, em geral, dificuldades
ao lidar com os saberes das relações entre as representações gráficas e
algébricas da função afim. Pesquisas realizadas nessa área confirmam tais
dificuldades. Diante de tal situação e desejando investigar as reais
potencialidades do computador no processo ensino-aprendizagem elaboramos,
baseados na tese de Antonier Dagher, defendida na França no ano de 1993, um
software educativo que servirá de suporte para atender nosso objetivo.
Assim como fez Dagher, construímos para a pesquisa um software do tipo jogo,
sendo que uma reta aparecia na tela do computador, e o aluno tinha por objetivo
encontrar a equação da reta correspondente. Tal software propicia mais precisamente,
o estudo dos processos de aprendizagem ligados à construção de significados dos
coeficientes da equação associados a uma reta, num referencial dado.
A pesquisa apoiou-se teoricamente nas noções de registros de
representação de Duval (1999), de transposição informática de Balacheff (1994) e
em alguns princípios norteadores da Informática na Educação.
Trabalhamos no segundo semestre de 2001 com 5 duplas de alunos,
aplicando um pré-teste e um pós-teste para serem executados somente com
papel e lápis. No intervalo entre os testes, realizamos sessões de ensino num
ambiente informático, visando fazer com que o aluno compreendesse a relação
dos coeficientes da equação associada a uma reta.
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No capítulo I, apresentamos a problemática e a fundamentação teórica que
norteou esta pesquisa.
No capítulo II, apresentamos e comentamos alguns princípios gerais
referentes à Informática na Educação.
No capítulo III, descrevemos os procedimentos metodológicos que
utilizamos nesta pesquisa, apresentando o software por nós elaborado.
No capítulo IV, fizemos a descrição e análise da experimentação,
explicitando: o pré-teste, as sessões informáticas e o pós-teste.
No capítulo v, apresentamos as análises finais e as conclusões.
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CAPÍTULO I
PROBLEMÁTICA
Nossa experiência em sala de aula possibilitou-nos constatar que muitos
alunos encontram dificuldades no estudo da função, confundindo equação com
função, não admitindo que ela pudesse ser representada por mais de uma
sentença na sua forma algébrica, não compreendendo a conversão de sua
representação gráfica para a algébrica, etc.
Diversas pesquisas comprovam tais dificuldades, sendo que algumas
propõem seqüências de ensino para melhoria desta situação. Destacamos
algumas que tratam das relações entre as representações algébricas e gráficas
de uma função, uma vez que o presente estudo voltou-se para este tema.
Markovits et al. (in: Kieran, 1992), ao terem investigado o efeito do contexto
(matemática versus ciências) sobre os resultados de tarefas que requeriam que 20
estudantes da 1ª série do ensino médio desenhassem gráficos de função que
passassem por pontos não colineares dados em um plano cartesiano, observaram
que a maioria dos alunos forneceu respostas lineares. Isto é, quase todos os
gráficos eram segmentos de reta. Ao fazer um levantamento sobre outros resultados
da pesquisas que envolviam gráficos de funções, avançaram ainda mais nesta
questão ao constatar que os conhecimentos adquiridos pelos estudantes ficavam
compartimentalizados, mostrando sua incapacidade de estabelecer relações entre
as informações de diferentes representações.
Oliveira (1997), fez um estudo sobre a transposição didática do conceito
de função e elaborou uma proposta de abordagem do ensino-aprendizagem
deste conceito. A autora constatou que a mudança de registro de representação
no estudo das funções dava-se de maneira incompleta, tanto nos livros didáticos,
como na atual Proposta Curricular para o Ensino de Matemática dos 1º e 2º
graus, o que reflete na atuação dos professores em sala de aula.
No referido trabalho, foram entrevistados 17 professores de matemática do
Estado de São Paulo. Dentre os principais resultados obtidos por um questionário
12
aplicado, podemos destacar: que o material mais utilizado pelos professores no
ensino das funções é o livro didático; uma das maiores dificuldades dos alunos
com relação às funções é na sua representação gráfica; uma das mudanças de
registro de representação que eles menos utilizam ao ensinar funções é a do
gráfico para o algébrico e uma das desvantagens do uso das mudanças de
registro de representação (apontadas pelos professores) é o tempo curto para
uma melhor compreensão do assunto, por parte do aluno.
As dificuldades dos estudantes no estudo de funções também têm sido
investigadas em pesquisas que envolviam o uso de informática. Tais pesquisas
procuraram, geralmente, analisar o impacto de computadores e calculadoras gráficas
na formação do conceito de funções, tema este que será abordado a seguir.
Souza (1996), fez um estudo investigatório sobre o potencial da calculadora
gráfica no ensino de funções quadráticas. A pesquisadora elaborou uma proposta
didático-pedagógica enfocando os aspectos visuais e empíricos aplicando-a a
estudantes do ensino médio de Rio Claro-SP.
A pesquisadora aplicou um pré-teste, uma seqüência de ensino e um pós-teste
a alunos da 1º série do ensino médio de uma escola particular. Foram escolhidos os
protocolos de dois estudantes para analisar os seus desempenhos. Entre os
resultados da pesquisa, destacamos que, segundo a autora, a visualização e a
experimentação tiveram um importante papel na compreensão da função quadrática
pelos estudantes e o trabalho com gráficos de funções quadráticas permitiu-lhes
relacionar mudanças nos gráficos das funções com alterações nos coeficientes, tema
que não é normalmente tratado em sala de aula.
Schwarz (In: Kieran, 1992), desenvolveu e avaliou em Israel o modelo de
representação tripla (TRM), um ambiente computacional. Esse software
possibilita a representação de funções por meio de gráficos, tabelas e
expressões algébricas. O TRM foi concebido para evitar algumas dificuldades,
tais como: apego exclusivo à linearidade, ou seja, muitos alunos têm a
concepção errada de que toda função é linear; dificuldade de transferir
informações entre representações tabulares, algébricas e gráficas; inabilidade
para ver funções como um objeto matemático, etc.
13
O pesquisador e sua equipe atribuíram o sucesso dos resultados obtidos
com seus alunos ao programa TRM, principalmente ao fato do software permitir a
transferência de dados de uma janela para outra, possibilitando assim uma maior
integração das três representações. Assinalaram ainda, que os professores eram
orientados em aspectos didáticos e tecnológicos do TRM.
Borba e Bizzeli (1999), em um artigo que analisou o conhecimento
matemático e o uso de software gráfico num projeto de pesquisa intitulado
“Que matemática o químico utiliza em suas diversas atribuições?”, concluíram
que a simples utilização do programa gráfico não é suficiente para que o aluno
consiga resolver um problema de maneira correta, sendo necessário que ele
tenha conhecimento dos conceitos matemáticos envolvidos na resolução do
problema.
Segundo os pesquisadores, o estudo mostrou que uma ênfase muito
maior deve ser dada ao aprendizado de idéias de escalas, gráficos de
funções, equação da reta e coeficientes angular e linear de uma reta
(compreensão e interpretação gráfica).
Meira (1995), pesquisou o uso de um software gráfico, denominado Grapher,
para o ensino de funções, esperando que o mesmo funcionasse como um ambiente
de exploração onde os estudantes de 8a série pudessem registrar e manipular dados
coletados em pequenas experiências relativas a mecanismos físicos diversos.
Todos os estudantes envolvidos na pesquisa participaram de um
treinamento de familiarização com o software. O pesquisador constatou durante
as entrevistas que oito dos nove pares de estudantes nunca usaram o software
como ferramenta para a resolução de problemas sobre funções.
O pesquisador concluiu que o design do Grapher enfocou a análise das
tarefas que este poderia supostamente resolver, sem considerar
adequadamente: o contexto de sua utilização; a história de seus usuários e; o
que estes poderiam efetivamente construir com o software. Dessa forma,
demonstrou acreditar que realizar os objetivos de utilização de um software
educacional envolve projetar a ferramenta de forma a refletir as práticas e
atividades nas quais seus usuários participam regularmente.
14
Dagher (1993), em sua tese, abordou o problema da conceitualização
das relações entre as representações algébricas e gráficas das funções. No
estudo bibliográfico, o autor analisou alguns programas educacionais da
França e dos Estados Unidos. Dos programas pesquisados, nenhum permitia
o registro automático (feito pelo computador das ações dos alunos) esperado
na interação aluno/máquina.
Juntamente com Olivier Artigue, elaborou um software educacional com
o objetivo de proporcionar uma ajuda eficaz na aprendizagem da articulação
entre os registros algébricos e gráficos das funções afins e quadráticas,
especialmente permitindo interações dificilmente realizáveis no ambiente
papel/lápis. Esse software, chamado Functuse, que serviu de suporte para a
pesquisa, funcionava como um jogo: uma curva aparecia na tela do
computador e o aluno tinha como objetivo encontrar a equação
correspondente.
Trabalhou com dois grupos equivalentes ao 1º e 3º ano do ensino médio
no Brasil. Realizou um pré-teste e um pós-teste somente com papel/lápis. No
intervalo entre os testes foram realizadas sessões de ensino num ambiente
informático. A análise dos dados recolhidos foi feita por métodos de análise
estatística qualitativa e a análise fina das fichas dos alunos.
Em suas conclusões, Dagher apontou que o efeito da sessão
informática foi positivo, pois possibilitou a uma boa parte dos estudantes uma
melhor capacidade de precisar ou estimar os valores dos coeficientes das
funções afins e quadráticas, a partir de suas representações gráficas. Tal
experimentação tende ainda a comprovar que a articulação algébrica e gráfica
de representação das funções, que é de difícil concretização no ensino
tradicional é, no entanto, susceptível de saltos qualitativos importantes por
meio da interação de curta duração com o ambiente informático.
As dificuldades de aprendizagem dos alunos referentes à construção do
conceito de função, amplamente constatadas em pesquisas, a importância
desse conceito em matemática, além da necessidade de se conhecer um
pouco das reais potencialidades do computador no processo ensino-
15
aprendizagem da matemática, nos levaram, com base na tese de Dagher, a
trabalhar com os registros de representação gráfica e algébrica da função
afim.
Definiremos a seguir o problema dessa pesquisa:
Elaborando atividades que trabalhem, com o auxílio da informática, as
relações entre as representações gráficas e algébricas da função afim, é
possível proporcionar ao aluno uma melhor compreensão da conversão do
registro gráfico para o algébrico?
E assim como fez Dagher, construímos um programa (com algumas
adaptações e acréscimos em relação ao software Functuse) para servir de
suporte ao estudo da questão apontada, sendo suficientemente fácil de utilizar
de modo a permitir experimentações de curta duração; o software construído
também é do tipo jogo, onde uma reta aparece na tela do computador, e o
aluno tem como objetivo encontrar a equação correspondente, com um certo
número de bônus e algumas ajudas oferecidas pelo programa, que será
melhor descrito posteriormente.
Entre os acréscimos feitos ao Functuse, citamos o fato de termos criado
uma janela preliminar ao jogo, pela qual o aluno, através da visualização,
animação, experimentação e interpretação, trabalha com atividades voltadas
para as mudanças do registro algébrico para o gráfico, para que melhor
compreenda os significados dos coeficientes da função afim.
Para que houvesse evolução cognitiva do aluno na conceitualização da
articulação entre registros gráficos e algébricos das representações da função
afim, acreditamos ser importante colocá-lo numa situação informatizada,
usando um software elaborado especificamente para esta pesquisa, onde ele
compreendesse o papel desempenhado pelos coeficientes dessa função e
utilizasse tais conhecimentos nas mudanças desses registros. Tais
conhecimentos serão descritos posteriormente.
Assim sendo, nossos objetivos consistiram em elaborar atividades para
que o aluno melhor compreenda os significados dos coeficientes da equação
16
associados a uma reta na articulação visada e identificar e analisar as facilidades e
dificuldades que o aluno se depara ao utilizar o software da pesquisa.
Dessa forma, o presente estudo tentou responder as seguintes questões:
• A ferramenta informática, pelas suas capacidades gráficas, calculatórias e
de animação, pode proporcionar um ambiente de aprendizagem propício
para o aluno construir seu conhecimento a respeito da conversão do
registro gráfico para o algébrico da função afim?
• O uso de um software do tipo jogo ajuda na aprendizagem
matemática, de modo que fora do ambiente informático o aluno seja
capaz de utilizar tal aprendizagem?
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Para que nossos objetivos pudessem ser atingidos, o presente estudo
foi elaborado com base em elementos teóricos que fundamentam as pesquisas
em Didática da Matemática, destacando-se as noções de transposição
informática (Balacheff, 1994) e de registros de representação (Duval, 1999).
No próximo capítulo, apresentaremos alguns princípios gerais norteadores de
nossa pesquisa, referentes à Informática na Educação.
1. Transposição Informática
Chevallard (1991) chama de transposição didática o conjunto das adaptações
e transformações que o saber científico sofre em seu processo de ensino. Da
escolha do saber à sua adaptação ao sistema didático, existe todo um processo
gerador de deformações, que termina no que chamamos de saber escolar.
A transposição didática deve ser adaptada e estendida com a introdução da
informática nesse processo. Essas adaptações e extensões deram origem ao
conceito de transposição informática (Balacheff, 1994). O esquema a seguir,
apresentado por Balacheff (1991), resume o que é a transposição informática.
17
Gráfico 1 - Esquema da transformação de um dado conhecimento num contexto em que sãoutilizados recursos informatizados (Balacheff, 1991, p. 191).
O esquema acima mostra as principais transformações que um
determinado conhecimento deve passar a fim de se tornar um conhecimento dos
alunos num contexto em que são utilizados recursos informatizados. Este
esquema explicita os principais termos da transposição informática.
Na transposição didática, a transposição do conhecimento por ensinar em
conhecimento ensinado sofre adaptações relacionadas a concepções do
professor (sua epistemologia, concepção de ensino, etc.). Já na utilização de
dispositivos informatizados, há outra transformação no conhecimento por ensinar
antes de tornar-se conhecimento ensinado, sendo este o conhecimento
implementado. Este refere-se, não só às concepções do professor, mas também
às representações do software e sua interface, ou seja, tal conhecimento sofre
outras adaptações relacionadas à concepção e realização do software.
Conhecimento deReferência
Conhecimento aEnsinar
“Os autores”
Especificações...um conceito de conhecimento...um conceito de ensino
Implementação...representação interna...interface
ConhecimentoImplementado
ConhecimentoEnsinado
Conhecimento dosalunos
Transposição Didática
Desenvolvimento do Dispositivo Informático
Interação Didática
18
Tendo em vista que no presente estudo foram utilizados recursos
computacionais nas atividades propostas para conceituar os elementos
necessários às mudanças da representação gráfica para a algébrica da função
afim, deve-se considerar como referência teórica a transposição informática, o
que significa que o aluno esteve em contato, não só com as concepções do
professor a respeito dos diversos conceitos, mas também com as representações
do software e sua interface.
2. Registros de Representação
Duval (1999) parte do fato que a aprendizagem matemática constitui um
campo de estudo privilegiado para análise de atividades cognitivas fundamentais, tais
como: a conceitualização, o raciocínio, a resolução de problemas e a compreensão de
textos. Tais atividades requerem a utilização de outros sistemas de expressão e de
representação além da língua natural ou das imagens, sendo estes: gráficos
cartesianos, figuras geométricas, diagramas e fórmulas algébricas, entre outros.
No que se refere aos sistemas semióticos, o autor afirma que nem todo
sistema semiótico é um registro de representação. Para que um sistema
semiótico possa funcionar como um registro de representação é necessário que
preencha outras funções além da comunicação, tais como a de tratamento e a de
conversão.
Para o autor, a atividade intelectual consiste na elaboração e na transformação
de representações semióticas. Assim, define tratamento como a transformação de
uma representação em outra, dentro do mesmo registro. O tratamento é, então, uma
transformação estritamente interna a um registro. Por exemplo: algoritmos de
operações aritméticas com escrita decimal, com escrita fracionária, com a resolução
de equações ou sistemas lineares, ou ainda, os tratamentos puramente figurativos
ou visuais, tais como figuras geométricas, gráficos, esquemas, etc.
O pesquisador chama de conversões às operações que transformam uma
representação pela mudança de registro, como, por exemplo, a passagem do
registro gráfico para o de escrita simbólica e vice-versa.
19
Duval explora o funcionamento e as condições de aprendizagem das
representações gráficas. Nas representações, destaca a forma, determinada
por uma organização semiótica, e o conteúdo representado. Explica que as
representações gráficas são representações semióticas, da mesma forma que
as figuras geométricas, a escrita algébrica ou as línguas, que têm leis de
organização próprias e que lhes permitem representar funções ou outros
objetos matemáticos.
Segundo ele, dá-se maior importância ao conteúdo representado, do
que a forma como isto se dá, ou seja, um objeto matemático não deve ser
confundido com a representação que se faz dele. Na matemática, os objetos
não são acessíveis independentemente do recurso a uma linguagem, a
figuras, ou a esquemas. O autor indaga: como um indivíduo em situação de
aprendizagem pode não confundir estes objetos com a representação que se
faz deles, se os mesmos não são acessíveis fora desta representação? No
caso dos gráficos, indaga o autor: é suficiente ver para chegar ao conteúdo
representado?
Duval examina a questão, ressaltando a necessidade de se considerar,
simultaneamente, dois registros de representação:
“É levando-se em conta simultaneamente dois registrosde representação, e não isoladamente, que se pode analisar aimportância das representações semióticas na atividadecognitiva matemática. Melhor dizendo, é na passagem de umregistro de representação para outro que se pode observar aimportância da forma de representação”
O autor explica que essa passagem corresponde a operações que são de
natureza diferente daquelas de um tratamento, que transformam uma representação,
permanecendo no interior de um mesmo registro. Tipos de tratamento não devem ser
confundidos com operações de conversão. Enfatiza a importância da coordenação de
registros para a aprendizagem das representações gráficas e que esta deve centra-se
nas operações de conversão com suas variáveis cognitivas e não sobre as de
tratamento. Segundo suas conclusões:
“O problema das representações gráficas não concerne àdiferenciação entre a forma e o conteúdo representado, mas a
20
discriminação das unidades significantes constituindo a forma,isto é, a discriminação dos valores visuais pertinentes e nãopertinentes à figura-forma” (Duval, 1999).
O citado autor explica que os valores visuais pertinentes são aqueles cuja
variação resulta numa mudança dos valores categóricos dos parâmetros na equação
correspondente. Por exemplo, em uma função afim: y = ax + b, os valores categóricos
são: para o coeficiente angular a, os valores positivo ou negativo e maior ou menor
que 1 e, para o coeficiente linear b, os valores 0, positivo ou negativo.
Segundo o autor, pode-se realizar a discriminação dos valores visuais
fazendo variar um fenômeno e observando as eventuais variações de outro. No caso
da função afim, pode-se variar o sentido de inclinação da reta (de ascendente para
descendente, por exemplo) e observar a mudança no valor de a (de positivo para
negativo).
A discriminação de variáveis visuais pertinentes e a percepção das variações
correspondentes na escrita algébrica, foram estudadas por Duval (1988) em um
artigo intitulado: “Gráficos e Equações: a articulação entre os dois registros”.
Neste artigo, Duval (1988) coloca em evidência a existência de dificuldades dos
alunos do ensino médio em relação à conversão do registro gráfico para o algébrico
e vice-versa. O autor leva em consideração que a razão profunda das dificuldades
identificadas por diferentes pesquisas que testam os alunos quanto às tarefas de
leitura e interpretação de representações gráficas, reside no desconhecimento das
regras de correspondência semiótica entre o registro das representações gráficas e
de escrita algébrica, e que, a titulo de exemplo, na passagem de uma reta à sua
expressão algébrica, a abordagem ponto por ponto, freqüentemente favorecida no
ensino, constitui um obstáculo e é proposto uma descrição sistemática das variáveis
visuais levando em consideração o procedimento de interpretação global.
O autor identifica, a princípio, três tratamentos heterogêneos das
representações gráficas, explicitando em seguida as variáveis visuais pertinentes,
correspondendo às características significativas de uma escrita algébrica e
ilustrando a pertinência de sua análise, mostrando alguns resultados de uma
enquete por ele elaborada.
21
a) Tratamentos heterogêneos das representações gráficas:
Os três tratamentos das representações gráficas identificadas são: o
procedimento de pontuar, o procedimento de extensão do traçado e o procedimento
de interpretação global das propriedades figurais. O procedimento de extensão
corresponde às atividades de interpolação e extrapolação. Nos dois primeiros
procedimentos, não se consideram as variáveis visuais pertinentes da representação
gráfica e o tratamento fica orientado para pesquisa de valores particulares, sem que
tivéssemos convencionado sobre a forma da escrita algébrica. A propósito do terceiro
procedimento, o autor afirma que: “com esse procedimento, não estamos mais na
presença da associação 'um ponto - um par de números', mas da associação
'variável visual da representação – unidade significativa da escrita algébrica”
b) Variáveis visuais e características significativas da expressão algébrica
No que se refere às variáveis visuais e as unidades simbólicas
significativas, Duval afirma:
"A discriminação das unidades próprias a uma expressãoalgébrica é relativamente evidente. Há:
• os símbolos relacionais (< , > , = , ...)
• os símbolos de operações ou de signos (+ , -)
• os símbolos de variáveis
• os símbolos de exposição, de coeficiente e de constate."
Entre as características figurais, o autor distingue duas variáveis gerais e
três variáveis relativas aos casos onde o gráfico é um traçado simples (reta ou
parábola). Segundo ele:
“As variáveis gerais são:
• A implantação da tarefa que se destaca como figurasobre fundo: um traço ou uma zona.
• A forma da tarefa: o tratamento traço, que delimita ounão uma zona, é reta ou é curva. Se é curva, é abertaou fechada”.
A análise das três variáveis particulares se resume no quadro seguinte, limitado
ao caso das retas que não são paralelas ao eixo das abscissas (ou eixo dos x):
22
Tabela 1 - Análise das três variáveis particulares em casos onde o gráfico é um traçado limitadoao caso das retas não paralelas a um dos eixos (Duval, 1988).
As observações feitas por Duval sobre essa tabela lhe permitem afirmar que:
“Não há congruência entre a direção da reta no planoreferente e o coeficiente que determina essa direção na escrita deexpressão algébrica. Pois em todo valor de coeficiente dado (2 ,½, -2 , ...), é necessário destacar duas propriedades distintas.Relativamente a 0 e relativamente a 1”.
Continua, adiante, o autor:
“A diferença do processo de pontos, ou mesmo do deextensão representativa, é que o processo de interpretação exigeque centremos nossa atenção sobre um conjunto de propriedadese não mais sobre os valores particulares tomados um a um”.
Em seguida, propõe uma abordagem de articulação entre a representação
gráfica e a escrita algébrica, afirmando:
“Uma apresentação explicita e sistemática das variáveisvisuais significativas não só centra a atenção sobre acorrespondência entre representação gráfica e escrita algébrica,mas ela permite encontrar diretamente a expressão algébrica depropriedades geométricas: perpendicularidade ou paralelismo deduas retas por exemplo.”
Ainda analisando a tabela anterior, o autor em questão afirma que para as
retas não paralelas aos eixos há somente 18 apresentações gráficas que sejam
Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas correspondentes
Sentido da inclinação: traço ascendente coeficiente > 0, falta do símbolo –
traço descendente coeficiente < 0, presença do símbolo –
Ângulos com os eixos: divisão simétrica coeficiente =1, pelo coeficiente escrito
ângulo menor coeficiente < 1
ângulo maior coeficiente > 1
Posição sobre o eixo y: passa acima acrescentamos uma constante, signo +
passa abaixo subtraímos uma constante, signo –
passa à origem pela correção aditiva
23
diferentes visualmente de forma significativa. A cada uma dessas representações
Gráfico 2 – Apresentações algébricas correspondentes a 18 apresentações gráficas diferentes.
No caso a< 0, há mais 9 representações gráficas correspondentes.
Para o autor, é suficiente praticar o procedimento experimental mais
clássico: fazer variar uma unidade significativa da escrita deixando todas as
outras constantes e ver o que se passa no outro registro (ou modificar cada
variável visual, deixando as duas outras constantes e ver as modificações de
escrita). Assim, por exemplo, a oposição entre y = x e y = -x se articula na
unidade de uma imagem visual e, essa imagem se dispõe às modificações que
têm sua correspondente escrita algébrica.
No que concerne as variáveis gerais, indicam as correspondências
seguintes:
T
Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas correspondentes
- implantação da tarefa -zona > , < ...
-traço =
- forma da tarefa -traço reta analisando a variável = 1
-traço curva analisando a variável > 1
corresponde uma equação particular:
Sentido da inclinação Coeficiente angular Coeficiente linear exemplos
0 (zero) y = x
=1 + y = x + 1
- y = x - 1 0 (zero) y = 2x > 0 > 1 + y = 2x + 1 - y = 2x – 1
0 (zero) y = ½ x <1 + y = ½ x + 1
- y = ½ x – 1
abela 2 - Variáveis visuais.
24
c) Enquete ilustrativa:
Esta enquete foi realizada para estabelecer as dificuldades encontradas
pelos alunos do 2o ano, no reconhecimento de expressões algébricas,
correspondendo aos traçados, ou às partes hachuradas do plano. Os resultados
permitiram dar uma interpretação de alguns erros típicos identificados pelos alunos.
A experiência evidenciou as dificuldades ligadas à falta de competência em
relação à discriminação das variáveis particulares e das variáveis gerais.
Em relação às dificuldades ligadas às variáveis particulares, ao exercício
seguinte: “designamos por x a abscissa e por y a ordenada de um ponto M do
plano referente. Indicar a qual expressão algébrica (E1 , E2 , ..... ou E10) cada uma
das retas D1 , D2 , .... D5 correspondem”.
y D3
x
= x+2= x -2= 2x≥ x +2 = 2
essão...........................
essão...........................
essão...........................
essão...........................
essão...........................
D1 y
x
y D2
x
Y D4
x
Y D5
x
E1: y ≥ x E6: y E2: y > x E7: y E3: y = x E8: y E4: y = -x E9: y E5: y = 0 E10: x
Respostas:
A reta D1 corresponde a expr
A reta D2 corresponde a expr
A reta D3 corresponde a expr
A reta D4 corresponde a expr
A reta D5 corresponde a expr
Figura 1 - Exercícios variáveis particulares
25
Menos de um aluno de cinco resolve os 5 itens e somente 60% vêem
uma diferença de sentido de inclinação da reta associada à diferença entre y =
x e y = -x.
A respeito das dificuldades ligadas as variáveis globais, as tarefas que
consistem em hachurar sobre o plano os conjuntos definidos verbalmente ou a
associar a cada uma das cinco zonas hachuradas, uma expressão algébrica entre y
=x; y > x; y < x; y = -x; xy >0; x > 0; y < 0 ..., as porcentagens de resultado são:
F
s
r
Y
x>0
51%
Y
x
xy>0 25%
Y
y >x 25%
X
Y y=x y>x
38% x
A
Hachurar o conjunto os pontos
que tem um Abscissa positiva.
B...que tem uma ordenada
negativa
C
...cuja abscissa e ordenada
são de mesmo sinal.
D
:... cuja ordenada é
superior à abscissa.
E
E
... cuja ordenada é
superior à abscissa.
Y
X 67%
Y
67%
x
Y
56% x
Y
19%x
Y y=x
x38%
igura 2 – Exercício de variáveis gerais
Duval ressalta que, no caso A e B, nas dua
emântica entre as três representações: algébrico,
esultados nas quatro questões são da mesma orde
Y
y<0 61%
x
s tarefas, há congruência
discursivo e gráfico, e os
m de grandeza. No caso C,
26
há congruência semântica para a 1ª tarefa mas passa do todo para segunda, a
taxa de resultado cai pela metade quando passamos da 1ª para a 2ª.
Não há mais congruência semântica no caso D e a taxa de resultado é
muito baixa mas quando reduzimos a não congruência, mo caso D a taxa de
resultados dobra.
A conclusão que o autor tira é essencialmente orientada para o ensino,
como testemunha o escrito seguinte:
“No visto das análises precedentes, parece que umaaprendizagem do processo de interpretação global não podefazer a economia de um estudo puramente matemático. Poisé nesse quadro que a articulação entre valores de variáveisvisuais e propriedades conceituais relativas a esses valorespode ser mostrada por si mesmo. A significação dos gráficoscartesianos, e por conseqüente sua leitura, depende dapercepção dessa articulação. Quando o gráfico representaas grandezas heterogêneas, o procedimento deinterpretação global duplica em uma interpretação dasgrandezas presentes”.
d) Comentários:
A discriminação das variáveis visuais significativas pertinentes produz
um problema anexo, relativo às variáveis visuais significativas não
pertinentes. No caso de reta e da expressão: y = ax + b, o ponto de
intersecção da reta com o eixo das abscissas, por exemplo, desempenha
um papel “perturbador” na associação variável visual e característica da
expressão algébrica. Em compensação, esse papel desvia outro de
fundamental importância na correspondência visual algébrica quando se
trata de uma equação de forma x/m + y/p = 1. Uma situação análoga surge
no caso das expressões do segundo grau: as formas P2 (y = A(x-p)2 + Q) e
P3 (y = A(x-r) (x-s)) não são associadas às mesmas variáveis visuais
significativas pertinentes, e no caso de P1 (y = Ax2 + Bx + C), não há
congruência entre o signo de B (no entanto ligado à abscissa da soma) e a
posição da soma sobre o eixo das abscissas.
27
Pudemos, assim, constatar como a análise das congruências permite
prestar conta da complexidade dos processos que podem ser colocados em
jogo na aprendizagem das relações entre registro algébrico e registro gráfico.
Essa análise deu ainda a impressão de haver permitido o desígnio dos saberes
do domínio dessas relações que pareciam “mais acessíveis” por visualização do
gráfico que de outros.
No próximo capítulo apresentaremos e comentaremos alguns princípios da
Informática na Educação, com a finalidade de enriquecer a nossa fundamentação
teórica.
28
CAPÍTULO II
A INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO
Neste capítulo discutiremos fatores relacionados à crescente presença
da informática na educação. Inicialmente, apresentaremos um resumo histórico
da informática na educação no Brasil, em seguida, comentaremos sobre os
recursos relacionados ao uso das novas tecnologias no processo ensino-
aprendizagem.
1. Breve visão histórica da informática na educação no Brasil
As considerações contidas neste item referem-se ao artigo de Valente e
Almeida (1997), denominado Visão Analítica da informática na educação no
Brasil: a questão da formação do professor.
A história da Informática na Educação no Brasil data de mais de 20 anos.
Nasceu no início dos anos 70, a partir de algumas experiências na UFRJ,
UFRGS e UNICAMP. Em 1975, foi produzido o documento Introdução de
Computadores no Ensino do 2º Grau, financiado pelo programa de
Reformulação do Ensino (PREMEN/MEC) e, no mesmo ano, aconteceu a
primeira visita de Seymour Papert e Marvin Minsky ao país, os quais lançaram
as primeiras sementes das idéias do Logo.
Entretanto, a implantação do programa de informática na educação no Brasil
inicia-se com o primeiro e segundo Seminário Nacional de Informática em Educação,
realizados respectivamente na Universidade de Brasília em 1981 e na Universidade
Federal da Bahia em 1982. Esses seminários estabeleceram um programa de atuação
que originou o EDUCOM e uma sistemática de trabalho diferente de quaisquer outros
programas educacionais iniciados pelo MEC.
O EDUCOM foi um projeto proposto pelo Governo Federal para iniciar a
discussão sobre informática e educação. Cinco universidades: UFPe, UFMG, UFRJ,
UFRGS e UNICAMP participaram desse projeto. Em Campinas, na UNICAMP, o
NIED, Núcleo de Informática Aplicada à Educação, se responsabilizou pelo EDUCOM
29
do Estado de São Paulo. A proposta original deste projeto consistiu, basicamente, no
uso da linguagem Logo com alunos de 2º grau das escolas públicas.
Outro projeto, o FORMAR, foi desenvolvido também na UNICAMP em 1987 e
1988, com participantes de vários lugares do país. O objetivo deste projeto era formar
recursos humanos para a informática educativa, e como resultado foram criados os
centros de Informática Educacional, os CIEDs em 17 estados do país.
Mais recentemente, por meio do PROINFO e dos Parâmetros Curriculares, o
Governo Brasileiro tem indicado a necessidade do uso das novas tecnologias nas
escolas, afirmando que devem “apontar a necessidade do desenvolvimento de
trabalhos que contemplem o uso das tecnologias da comunicação e da informação,
para que todos, alunos e professores, possam delas se apropriar e participar, bem
como criticá-las e/ou delas usufruir” (Oliveira, 1997, p. 11).
No entanto, a introdução da informática na educação segundo a proposta
de mudança pedagógica, como consta no Programa Brasileiro de Informática na
Educação, exige uma formação bastante ampla e profunda do professor. Não se
trata de criar condições para o professor dominar o computador ou o software,
mas sim auxiliá-lo a desenvolver conhecimento sobre como o computador pode
ser integrado ao desenvolvimento desse conteúdo.
Atualmente, pesquisadores e educadores estudam diferentes formas de
utilização da tecnologia dentro de um ambiente de aprendizagem, investigando o
processo de aprender e as características da cognição frente ao computador,
dando uma atenção especial ao uso do computador e suas possibilidades de
utilização como ferramenta pedagógica e também como meio de entender como o
processo de aprendizagem se desenvolve a partir de tais estímulos.
2. Recursos relacionados ao uso das novas tecnologias no processo
ensino-aprendizagem
As tecnologias, em diferentes formas e usos, constituem um dos principais
agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos
meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das pessoas.
30
A velocidade e o caráter permanente destas mudanças, bem como a
quantidade de informações disponíveis, requerem cada vez mais do ser humano
uma nova postura e o desenvolvimento de habilidades para conviver e
compreender a sociedade, hoje chamada de sociedade do conhecimento
(Valente, 1999).
Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e
aprendizagem são influenciadas, cada vez mais, pelos recursos da informática.
Nesse cenário, insere- se mais um desafio para a escola: de como incorporar ao
seu trabalho, tradicionalmente apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de
comunicar e conhecer.
Os computadores estão cada vez mais inseridos nas escolas. Tal fato, no
entanto, não significa a ocorrência de mudanças significativas no processo de
ensino e aprendizagem. Assim, o computador pode ser utilizado para reforçar
práticas pedagógicas tradicionais. Nesta abordagem, conhecida como
instrucionista1, o computador é utilizado para transmitir informações e conteúdos,
mantendo o aluno passivo no processo de aprendizagem.
Por outro lado, o computador pode auxiliar a construção do conhecimento
e a compreensão de uma ação. Existem softwares com maiores e menores
possibilidades de recursos para facilitar esta compreensão. No entanto, a criação
de um ambiente de aprendizagem que facilite a construção do conhecimento e o
desenvolvimento de habilidades de pensar, necessárias aos estudantes desta
nova sociedade, não depende somente do software escolhido. O fator decisivo
para o estabelecimento deste ambiente é o professor, sua ação, a metodologia
utilizada e sua compreensão sobre Educação.
Este novo paradigma não está preocupado somente com a introdução dos
computadores nas escolas, mas com a postura do professor e as atitudes do professor
e do aluno, com os ambientes de aprendizagem criados, entre outros fatores, ou seja,
em toda a metodologia utilizada pelo professor, pois o “apreender” não está restrito ao
software mas reside na interação professor-aluno-software.
1 Termo utilizado por Valente para designar o que ele chamou de “Informatização dos métodos tradicionaisde ensino” (Valente, 1993, p. 32).
31
O que se pretende não é a informatização do processo ensino
aprendizagem, mas sim, uma transformação no processo educacional, o que
significa uma mudança de paradigma educacional, que promova:
“A aprendizagem ao invés do ensino, que coloca ocontrole do processo de aprendizagem não mãos do aprendiz, eque auxilia o professor a entender que a educação não ésomente a transferência de conhecimento, mas um processo deconstrução do conhecimento pelo aluno, como produto de seupróprio engajamento” (Valente, 1993, p. 40).
O ciclo descrição-execução-reflexão-depuração
O ciclo descrição-execução-reflexão-depuração2 é uma seqüência de
ações realizadas pelo aluno ao resolver determinado problema utilizando o
computador.
Quando este aluno resolve o problema por meio do computador usando uma
linguagem de programação, está metaforicamente “ensinando o computador” a
resolver este problema, pois que inicia pensando na solução e representa no
computador os conhecimentos e as estratégias que considera necessários à
resolução do problema por meio da descrição de uma seqüência de comandos, ou
seja, por meio de um programa que será executado pelo computador de modo que
este lhe forneça um resultado. Ao observar tal resultado, o aluno reflete sobre o que
foi apresentado e se não estiver de acordo com suas hipóteses, tem a possibilidade
de repensar aquilo que foi realizado, depurando assim sua idéia inicial.
Ao realizar a descrição da solução de um problema, o aluno faz descrição
formal e precisa da resolução, utilizando tanto conhecimentos a respeito dos
conceitos envolvidos no problema, estratégias de aplicação destes conceitos, quanto
conhecimentos sobre a linguagem que utilizará para explicitar os passos da
resolução.
2 Ciclo proposto inicialmente por Valente, para compreender a interação entre aluno e computador em umaatividade de resolução de problemas, utilizando a linguagem de programação Logo (Valente, 1993, p. 34).
32
Este programa é executado pelo computador fornecendo um retorno fiel e
imediato, o que possibilita ao aluno verificar suas idéias e conceitos, refletir sobre o que
foi produzido e, caso constate erros durante a análise do programa, poder encontrar a
origem do mesmo e corrigi-lo, depurando assim o seu programa. Neste momento,
pode buscar mais informações sobre os conceitos envolvidos, repensar sua estratégia
de resolução, ou mesmo buscar novas informações sobre a linguagem ou sobre
computação. Estas informações são assimiladas e transformadas em conhecimentos,
sendo utilizadas para alterar a descrição realizada anteriormente. A partir daqui,
repete-se o ciclo descrição-execução-reflexão-depuração.
Na seqüência de ações descrição-execução-reflexão-depuração, o erro
passa a ter um papel fundamental, pois quando a resposta ou o retorno dado pelo
computador não é satisfatório, ou é diferente do esperado, o aluno vai depurar
suas idéias, passando a refletir sobre os conteúdos envolvidos. Os desequilíbrios
causados pelos “erros”, ou seja, pela não verificação de sua hipótese, levam o
aluno a refletir e a buscar novas informações que devem ser incorporadas como
parte de seu conhecimento e aplicadas à resolução do problema. Tanto a reflexão
como a busca de novas informações favorece a construção do conhecimento,
uma vez que “os conhecimentos derivam da ação” (Piaget, 1975, p. 37).
“O aluno gera conhecimento quando reflete sobre asrespostas obtidas e sobre as idéias que deram origem a essasrespostas. Essas reflexões, segundo Piaget (1977), permitem oaprimoramento de esquemas mentais e, portanto, a construçãode conhecimento” (Valente, 1999).
O computador pode, dessa forma, ser um importante recurso para
promover a aprendizagem. No entanto, esse ciclo descrição-execução-reflexão-
depuração não ocorre simplesmente colocando o aluno frente ao computador,
pois, como dito anteriormente, o aprender não está restrito ao software mas
consiste na interação professor-aluno-software. É difícil imaginar um processo
educativo que não conte com a mediação dos professores.
Para poder contribuir com o processo de construção do conhecimento, o
professor deve compreender a idéia do aluno para poder intervir no momento
certo, compreender o nível de desenvolvimento, ter uma postura de mediador, ou,
33
em outras palavras, de "facilitador da aprendizagem", e para isto deve conhecer
teorias de aprendizagem que lhe dêem suporte para assumir esta mediação
(Valente, 1996). Deve assim, o professor, ter saberes tanto sobre o conteúdo,
como conhecimento didático deste conteúdo.
Portanto, a mudança pedagógica aqui proposta consiste na passagem de
uma educação totalmente baseada na transmissão da informação e na instrução,
para a criação de ambientes de aprendizagem nos quais o aluno realiza
atividades e constrói o seu conhecimento.
Uma das vantagens assinaladas por vários autores (Borba, 1995;
Schoenfeld, 1995; Souza, 1996; Villarreal, 1998) a respeito do uso do computador
no processo ensino-aprendizagem de funções, consiste no fato dos ambientes
computacionais favorecerem abordagens matemáticas mais experimentais,
caracterizadas pela formulação, rejeição, verificação e reformulação de hipóteses,
bem como geração de padrões e antecipação de resultados.
Calculadoras gráficas e softwares que possibilitam o traçado de gráficos de
funções têm sido utilizados de forma acentuada nos últimos anos. As atividades,
além de naturalmente trazerem a visualização para o centro da aprendizagem
matemática, enfatizam um aspecto fundamental: a experimentação (Borba, 2001).
Borba (2001) afirma que os softwares e as calculadoras gráficas, permitem
que o aluno experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas
experimentais de biologia ou de física. Como exemplo, ele cita uma
experimentação com gráficos de funções quadráticas do tipo y = ax2 + bx + c, em
que os alunos do curso de graduação em Biologia deveriam verificar que
alteração ocorria no gráfico dessas funções quando um determinado coeficiente
era alterado. Borba assinala que:
"Divididos em grupos, os alunos geram váriasconjecturas e conseguem desenvolver argumentos para váriasdelas. Em um dado momento, o professor coordena umasocialização dos resultados obtidos. É nesse momento que"conjecturas locais", levantadas em sala de aula, são debatidas.Elas são descartadas ou são mantidas e ganham novasargumentações que lhe dão apoio a partir da fala dos colegas edo professor". (Borba, 2002, p.35).
34
Muitos pesquisadores (Tall, 1994; Borba, 1996; Confrey, 1996) afirmam que
dentre as potencialidades que o computador oferece para a Educação Matemática, o
processo de visualização por ela favorecido ocupa um lugar privilegiado. Ao mesmo
tempo, a importância da visualização no ensino, aprendizagem e construção dos
conceitos de função é indicada como fundamental por vários autores (BORBA, 1996;
Gravina, 1998; Dagher, 1993 e outros).
Borba (1993) argumenta que a mídia tradicional no âmbito matemático, o
lápis e o papel, favorece a abordagem algébrica de questões matemáticas. Já a
mídia computacional privilegia abordagens onde a visualização tem papel
fundamental. Este mesmo autor assinala que na educação matemática, tem sido
uma tradição nos modelos de ensino e de aprendizagem enfatizar o conhecer de
um dado fenômeno primordialmente através da álgebra ( Borba, 1995, p.72).
Neste sentido o computador vem possibilitar a quebra da "hegemonia" das
expressões algébricas, valorizando a visualização (Borba, 1995, p. 74).
Borba & Confrey (1996) afirmam que o raciocínio visual é a forma de
cognição potencialmente poderosa que implica dar aos estudantes o tempo, a
oportunidade e os recursos para que os mesmos possam elaborar construções,
investigações, conjecturas e modificações. Perante as possibilidades oferecidas
pelo computador, a visualização é salientada pelos autores como de crescente
importância na Educação Matemática.
Referindo-se aos papéis complementares do visual e do simbólico na
matemática, Tall (1996) assinala que uma concentração sobre os símbolos
pode conduzir a uma abordagem que privilegia a memorização de
procedimentos, que vão se complicando quando o número de regras aumenta. Por
outro lado, a concentração exclusiva sobre o visual pode dar idéias sobre o que
acontece em contextos restritos com um limitado poder de generalização. Nesse
sentido, o computador pode ser um realizador de tarefas algorítmicas complexas,
mas também pode gerar um ambiente que permita relacionar o visual e o simbólico.
Esta possibilidade de coordenar representações múltiplas (gráficas,
numéricas e algébricas), que é favorecida pelo computador, foi também assinalada
por Borba (1995), que afirma que a Matemática visual ou discreta, favorecida pelo
35
uso de computadores, constitui-se em um modelo que poderia atrair aqueles
estudantes que rejeitam, explicita ou implicitamente, a hegemonia da álgebra.
Segundo Borba (1994), os trabalhos com softwares de representações
múltiplas, baseado em visualização de gráficos, tabelas e fórmulas, se mostraram
como fontes relevantes para investigações matemáticas dos estudantes.
O recurso dos jogos
Piaget (1975) dirige-se aos que estão à procura de alternativas didáticas
às metodologias tradicionais, propondo o jogo como atividade particularmente
poderosa porque:
a) permitiria o confronto dos pontos de vista, importante para o
desenvolvimento do conhecimento lógico-matemático e indispensável
para o progresso científico;
b) estimularia as ações físicas e a atividade mental dos alunos;
c) proporcionaria oportunidade para elaboração de regras, observações de
seus efeitos, comparações e modificações de diferentes procedimentos;
enfim, possibilitaria um clima de “cooperação”, no sentido piagetiano da
palavra, ou seja, “operar junto”, “negociar” para chegar a um acordo
que pareça adequado.
Para ser útil no processo educacional, segundo Kamii e Devries (1991), um
jogo deveria:
“1. Propor alguma coisa interessante e desafiadora paraque os alunos resolvam;
2. Permitir que os alunos possam se auto-avaliar quantoao seu desempenho e;
3. Permitir que todos os jogadores possam participarativamente do começo ao fim do jogo.”
Valente (1997), afirma que os jogos educacionais implementados no
computador também podem ser analisados em termo do ciclo descrição-
execução-reflexão-depuração.
36
De acordo com o referido autor, os jogos apresentam uma dificuldade:
“Têm a função de envolver o aprendiz em umacompetição e essa competição pode desfavorecer o processode aprendizagem: por exemplo, dificultando o processo detomada de consciência do que o aprendiz está fazendo e, comisso, dificultando a depuração e, por conseguinte, a melhora donível mental”.
Afirma ainda que os jogos podem ser bastante úteis enquanto criam
condições para o aluno colocar em prática os conceitos e estratégias que
possuem. No entanto, o aluno pode estar usando os conceitos e estratégias de
forma correta ou incorreta e não estar consciente de que isto está sendo feito.
Para que haja a compreensão, é necessário que o professor documente as
situações apresentadas pelo aluno durante o jogo e, fora da situação, discuta-as
com o aluno, recriando-as, apresentando conflitos e desafios, com o objetivo de
propiciar condições para o aprendiz compreender o que está fazendo.
O software elaborado para a nossa pesquisa e que apresentaremos de
forma detalhada no próximo capítulo, é do tipo jogo. Este funciona no sentido do
registro gráfico para o algébrico, sendo que a principal tarefa proposta consiste
em associar uma reta traçada previamente pelo professor, à sua expressão
algébrica.
Em resumo, para a nossa pesquisa, o ciclo descrição-execução-reflexão-
depuração, a visualização, a experimentação e o recurso ao jogo, serão
considerados como processos importantes para o estudo das relações entre os
registros gráficos e algébricos das funções afins, usando o software educativo
Funcplus.
Levaremos em consideração que um software é educativo quando for
utilizado com intuito levar o aluno à aprendizagem de conceitos relacionados com
conteúdos curriculares.
37
CAPÍTULO III
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A presente pesquisa baseou-se no estudo das relações entre os registros
gráficos e algébricos da função afim. Dessa forma, elaboramos um software
educativo denominado Funcplus, cuja construção foi baseada no Functuse, software
utilizado na tese de Antonie Dagher, defendida na França em 1993.
Trabalhamos com alunos do ensino médio, tendo aplicado um pré-teste e um
pós-teste somente com papel e lápis, e tendo, no intervalo entre estes, realizado
sessões de ensino utilizando o Funcplus, com objetivo de proporcionar ao aluno uma
melhor compreensão dos coeficientes da equação associada a uma reta na
articulação visada.
Neste capítulo procuraremos apresentar os procedimentos utilizados na
pesquisa e seu delineamento metodológico, buscando responder ao problema de
pesquisa apresentado anteriormente.
1. População
Foram escolhidos 10 alunos em fase de conclusão do 2º ano do ensino médio
de uma escola particular em São Paulo. Tal escolha efetuou-se por dois motivos, a
saber:
• O fato de termos trabalhado com esses estudantes nos dois primeiros
anos do ensino médio, facilitou o agendamento do pré-teste, pós-teste e
da sessão informática.
• Tais alunos estudaram, sem o auxílio da informática, as funções afins no
1º ano do ensino médio e os sistemas de equações lineares no 2º ano.
Sendo assim, queremos investigar se houve, por parte desses alunos,
compreensão do papel dos coeficientes dessas funções.
Uma dupla de alunos foi escolhida para uma análise das estratégias utilizadas
pelos mesmos durante toda a pesquisa: pré-teste, sessões informáticas e pós-teste,
caracterizando assim um estudo de caso.
38
2. Experimentação
Com o uso do software (Funcplus), Foram elaboradas atividades para duas
sessões informáticas. Os alunos em questão trabalharam individualmente com o
programa durante uma sessão de uma hora, para que se familiarizar com o
software, realizando pequenas tarefas propostas por nós. Em seguida,
participaram, em duplas, de duas sessões informáticas, tendo cada uma a
duração de uma hora. Essas sessões foram precedidas e seguidas por um teste
executado com papel e lápis, para verificar os conhecimentos sobre a articulação
dos registros algébricos e gráficos da função afim.
1ª sessão informática (preliminar): Nesta sessão, os alunos tinham que
responder a uma seqüência de questões abertas. Questões essas em que os
alunos, com a ajuda do software, experimentam, refletem e discutem com o
parceiro da dupla, e age de modo a solucioná-las (registram as respostas no
computador ou no papel sulfite).
O objetivo dessa sessão é explorar os conhecimentos dos alunos a
respeito da representação gráfica da função afim, a partir de suas representações
algébricas. Este é um trabalho preliminar para que na segunda sessão informática
(jogo) os alunos possam ter condições de converter os registros gráficos em
registros algébricos. As atividades enfocam, principalmente, o papel dos
coeficientes nas expressões algébricas da função afim.
Procuramos, inicialmente, favorecer a formulação de conjecturas, de
questionamentos e de validação ou não dos resultados, por parte do aluno. O
professor pesquisador assumiu o papel de orientador do processo, gerenciando
as atividades dos alunos, fazendo intervenções individuais quando necessárias e,
ao final da sessão, institucionalizando os conceitos estudados, após uma
discussão das conjecturas feitas pelos alunos, validando-as ou não.
2ª sessão informática (jogo): Nesta sessão os alunos tinham que participar de
um jogo.
O objetivo é explorar os conhecimentos dos alunos a respeito da
representação algébrica da função afim, a partir de suas representações gráficas.
39
As atividades enfocaram a discriminação de variáveis visuais pertinentes e não
pertinentes, com intuito de determinar a equação correspondente à reta dada.
Nesta sessão, o aluno poderia, eventualmente, utilizar as ações
tradicionais de cálculo matemático, usando papel e lápis, “montar” uma
equação, escrever e resolver um sistema de equações, etc.
Para análise dos protocolos dos alunos levamos em consideração o
saber que se manifesta na relação entre uma propriedade de um coeficiente e
uma característica gráfica. Essa relação deve poder ser acessível por “simples
leitura” do gráfico.
Essa análise pode adaptar-se bem à automatização do trabalho do
aluno no ambiente de nosso programa, em que as interações aluno/máquina
são gravadas.
Observamos que também foi a partir desses saberes que os testes
foram construídos. Analisamos a priori as atividades associadas ao programa,
os saberes colocados em jogo nessas situações, bem como as possíveis
estratégias dos alunos. Definiu-se como “estratégias observáveis” as
sucessões de ações dos alunos com o programa. Posteriormente, realizou-se a
análise dos resultados, também em termos dos saberes em questão.
Os testes serviram para avaliar o efeito da sessão informática sobre os
conhecimentos dos alunos. A comparação dos resultados do pré-teste e pós-
teste visa avaliar globalmente a aprendizagem.
3. O Programa
Apresentamos o software Funcplus elaborado por nós, sendo, como já foi
dito, uma adaptação de um software francês construído por Olivier Artigue e
Antonie Dagher, chamado Functuse. Este último originou-se do trabalho de
doutorado deste último no ano de 1993 na Universidade de Paris VII, na França.
Descreveremos os princípios gerais que guiaram a concepção do
programa e as características principais das atividades deste.
40
Concepção
Princípios gerais:
• Nossa pesquisa baseia-se no estudo experimental da interação
aluno/programa.
• Numerosas pesquisas colocam em evidência a dificuldade cognitiva na
articulação entre os registros algébricos e gráficos do objeto função.
• Partindo da hipótese que as possibilidades gráficas e dinâmicas do
computador podem ajudar a compensar as insuficiências do ensino
usual nesse domínio, construímos, baseados da tese de Dagher, um
programa centrado na articulação dos registros gráficos e algébricos da
função afim.
• As pesquisas mostraram que predomina no ensino, a passagem do
registro algébrico para o gráfico, associada às tarefas de abordagem
pontual do gráfico e os inconvenientes de uma determinada dominação.
Desejamos prioritariamente construir um programa funcionando do
gráfico para o algébrico e favorecendo uma abordagem global do
gráfico (Duval, 1988).
Atividades
Precisaremos as características principais das atividades do programa,
considerando os seguintes itens:
a) Tipo de programa: É um programa do tipo jogo, mas possui uma atividade
preliminar ao jogo, em que o aluno terá que responder a questões abertas.
b) O tipo de atividades que o programa vai propor ao aluno: O programa permite
colocar em prática tarefas de articulação entre os registros gráficos e algébricos de
uma função. Desejamos realizar as seguintes atividades:
• Responder a questões abertas, propostas pelo professor com a intenção de
utilizar o potencial de visualização, animação e dinâmico do programa.
41
• Dada a representação gráfica de uma função num plano cartesiano
ortogonal, deve-se encontrar sua expressão algébrica sob uma forma
previamente estabelecida.
c) Tipo de funções que serão tratadas pelo programa: O programa permite
o tratamento das funções afins, as mais usuais no ensino médio. Essas
funções são escolhidas pela riqueza dos efeitos gráficos ligados às mudanças
de seus coeficientes.
d) Tipo de expressões algébricas das funções utilizadas: A forma da
expressão algébrica de uma função f utilizada no programa é a cartesiana
y = f(x).
e) Tipo de funcionamento previsto no programa: O programa deve registrar
automaticamente todas as ações do aluno e determinar os tratamentos desses
registros permitindo um retorno em tempo real para o professor e o aluno.
Deve ainda, funcionar, depois da atividade preliminar, de maneira flexível sob a
forma de jogo, sendo que o professor deverá elaborar uma seqüência de
atividades ajudando a construir a articulação algébrica/gráfica coletivamente ou
em pequenos grupos.
f) Equilíbrio gráfico/algébrico: As pesquisas mostraram que a representação
algébrica é privilegiada pelo ensino e as competências dos alunos sobre as
tarefas de passagem entre os dois registros algébrico e gráfico são fracas. O
programa visa favorecer essa articulação. Na tarefa preliminar, cada vez que o
aluno fornece uma expressão algébrica, o programa deve, portanto, traçar a
representação gráfica correspondente.
Descrição
a) Estrutura do programa:
Está o mesmo dividido em três módulos, sendo estes apresentados a
seguir, partindo da tela de abertura abaixo representada.
42
Figura 3: Tela Principal do FuncPLus
1) Cadastro:
Figura 4: Item Cadastro
• Professor: consiste em cadastrar os professores, que receberão
uma senha de acesso ao sistema e a todos os seus módulos.
• Aluno: procedimento onde o professor cadastra os alunos, que
receberão uma senha de acesso à sua atividade preliminar,
atividade jogo e análises (histórico e estatística).
• Atividade preliminar: procedimento onde o professor cadastra as
atividades (questões abertas) que serão, por sua vez, respondidas
pelos alunos.
43
Figura 5: Tela de Atividades, com algumas atividadescadastradas
• Atividade jogo: consiste em o professor cadastrar as atividades
que farão parte do jogo do qual os alunos irão participar, definindo
o tipo de função, a quantidade de bônus, o registro algébrico e as
coordenadas das retas correspondentes. O software permite
trabalhar com as funções afins e quadráticas, mas esta pesquisa se
restringe às funções afins; Os bônus são créditos dados ao aluno
para cada questão do jogo, e equivale ao número de tentativas
possíveis para o aluno chegar à resposta correta; as coordenadas
são determinadas a partir do quadrante pelo qual a reta passa e
dos pontos de intersecção da mesma com o eixos dos x e dos y.
Figura 6: Tela do item Atividades (jogo) com algumasfunções cadastradas
44
2) Análise (somente para a atividade jogo):
Figura 7: Item Análise.
• Histórico: através deste item o professor terá acesso às ações
detalhadas do aluno, em relação a cada questão do jogo, a saber:
os bônus dados, os bônus restantes, o tempo, o número de
consultas feitas pelo aluno às coordenadas e os valores certos e
errados registrados dos coeficientes angulares e lineares.
Figura 8: Tela do item Histórico
• Estatística: através deste item o professor terá acesso, no final do
jogo, à quantidade total (numérica e percentual) de erros, acertos,
traços solicitados e coordenadas consultadas de cada aluno.
45
Figura 9: Tela do Item Estatística
• Evolução: através deste item o professor terá acesso, no final do jogo, ao
desempenho do aluno em relação aos sinais e aos valores absolutos dos
coeficientes angulares e lineares por eles escolhidos durante o jogo. Esse
desempenho será mostrado através de gráficos por coeficiente.
Figura 10: Tela de Evolução
Esses gráficos são construídos a partir das seguintes observações:
a) Sinal dos coeficientes angulares e lineares da função afim: 1) Sempre
certo; 2) Errado em algum local, mas certo no final; 3) Certo em algum
local, errado no final; 4) Sempre certo.
b) Valor absoluto dos coeficientes angulares e lineares da função afim: 1)
Sempre correto; 2) Errado em algum local, mas certo no final; 3) Certo
em algum local, mas errado no final; 4) Sempre Errado.
46
O gráfico da evolução dos conhecimentos reagrupa para cada um
dos coeficientes às representações gráficas dos conhecimentos em relação
aos saberes em questão. Trata-se de representações cartesianas em que
as questões ficam representadas no eixo das abscissas e os níveis de
conhecimentos no eixo das ordenada.
3) manutenção: Este item é exclusivo do professor, servindo para exclusão de
alunos, professores e atividades (preliminar e jogo) registradas pelo professor.
b) Descrição do programa:
• Atividade preliminar:
O professor propõe aos alunos questões abertas, registradas previamente
no computador, e com a ajuda do programa estes experimentam, refletem,
discutem com o parceiro e registram suas respostas (usando o computador ou
uma folha de papel sulfite).
Figura 11: Início da atividade preliminar
• Atividade (jogo):
O programa traça na tela a repr
ao aluno para encontrar uma expr
determinada. O aluno possui para ca
bônus.
Figura 12: Tela da Atividade preliminar
esentação gráfica de uma função e pede
essão algébrica sob uma forma pré-
da atividade uma certa quantidade de
47
O programa coloca à disposição do aluno algumas ajudas para encontrar a
resposta: um meio de inspeção pontual do traçado por fixação das coordenadas
de pontos desse traçado. Cada consulta acarreta a perda de bônus. O professor
estipula previamente algumas coordenadas que poderão ser consultadas pelos
alunos durante o jogo.
Uma vez que o bônus dado ao aluno é esgotado, e se a resposta não é
correta, o programa fixa a resposta correta. No caso do aluno não acertar a
questão, aparecerá na tela do computador a expressão algébrica correspondente
ao gráfico dado.
Figura 13: Tela de Atividades (jogo)
• Outras características do programa:
a) tipo de função: trata-se de função afim e os tipos de expressão são:
• y = ax + b
• y = (1/a) x + b
O software permite trabalhar apenas com valores inteiros. Dessa forma,
utilizamos a expressão y = (1/a)x + b para que o aluno percebesse a variação
gráfica para coeficientes angulares entre 1 e -1.
b) janela tabela/expressão algébrica: Na atividade preliminar, os
alunos poderão se utilizar dessa janela para confirmar suas respostas a
respeito de algumas questões, mais especificamente as que relacionam pares
48
ordenados (coordenadas) ou um valor dado de coeficiente com suas
expressões algébricas3.
O objetivo aqui é explorar os conhecimentos dos alunos no que diz
respeito ao reconhecimento de quando um ponto pertence ao gráfico de uma
função afim, ou seja, ao substituirmos os valores da abscissa e ordenada desse
ponto na expressão algébrica equivalente, irá tornar a sentença verdadeira e a
resolução de equações para se obter o coeficiente angular de uma função afim
dada por sua representação algébrica, a partir de uma coordenada e um valor fixo
do coeficiente linear.
c) tipo de eixo de referência: Trata-se de um sistema centrado nos eixos
ortogonais; os coeficientes são designados pelas letras minúsculas e são do tipo
inteiros compreendidos entre –15 e +15.
d) tipo de realização informática: a ferramenta de desenvolvimento é
Delphi, a linguagem de programação é Pascal.
e) marcação do tempo: O tempo utilizado em cada ação é registrado.
f) tipo de sessão: trata-se de uma sessão de trabalho preparada
previamente pelo professor.
g) ajuda à memória: os últimos valores dados aos coeficientes lineares e
angulares propostos pelos alunos serão conservados. Sem perder bônus, em
cada questão esses valores poderão ser consultados.
h) histórico da sessão: mostra a sucessão dos exercícios, das ações,
dos tempos, associados e os bônus dados e restantes de cada exercício.
i) estatística da sessão: mostra o número de exercícios tratados, o
número de exercícios certos, o número de pedidos de traçados e o número de
coordenadas consultadas.
j) Avaliação automática (evolução do aluno): essa avaliação conduz,
em tempo real, aos gráficos específicos de tipo de expressão, mostrando para
3 ver questões 11 e 12 da atividade preliminar em anexo.
49
cada coeficiente a evolução dos conhecimentos manifestado na sessão
informática.
Obs: as características descritas da letra "e" em diante são próprias da tarefa 2.
No capítulo seguinte, apresentaremos com detalhes a experimentação:
pré-teste, sessões informáticas e pós-teste. E mostraremos alguns resultados.
50
CAPÍTULO IV
DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA EXPERIMENTAÇÃO
Neste capítulo damos uma descrição da experimentação e fazemos uma
primeira análise dos resultados. A seqüência didática compõe-se de um Pré-teste, uma
sessão informática preliminar, uma segunda sessão informática (jogo) e um pós-teste.
Nos dois testes estão destacados os saberes em jogo e para cada sessão
informática apresentamos uma análise a priori. Em relação às 4 atividades, são
apresentados os resultados obtidos.
A experimentação tem por objetivo principal estudar a aprendizagem dos
alunos quanto à relação entre os registros gráficos e algébricos da função afim,
trabalhando num ambiente computacional.
Os alunos que dela participaram são voluntários e ela se desenvolveu em
três etapas: pré-teste, sessões informáticas e pós-teste. Em todas as fases da
experimentação a função trabalhada pelos alunos foi a afim. A forma de
expressão algébrica da função, sendo y = ax + b e y = (1/a)x + b.
O software permite trabalhar apenas com valores inteiros, dessa forma
utilizamos a expressão y = (1/a)x + b para que o aluno percebesse a variação
gráfica para os coeficientes angulares entre -1 e +1.
Como foi dito no capítulo anterior, propõe-se ao aluno tratar a questão da
associação reta-equação, utilizando as ações do programa: fixar coordenados, traçar
uma reta, etc. Eventualmente, o aluno pode também lançar mão de ações de cálculo
matemático, usando papel e lápis (formar uma equação, escrever um sistema de
equações, resolver um sistema de equações) e também de ações matemáticas de
leituras e de estimativas (ler as coordenadas, ler um coeficiente, estimar um coeficiente).
Acreditamos que no ambiente informático, o efeito dinâmico das variações
gráficas acompanham as variações na expressão algébrica. A experimentação,
cujo objetivo principal é de dar os meios de verificar nossa hipótese, deve nos
permitir evidenciar, em particular, a manifestação ou não de conhecimentos a
evolução ou não desses conhecimentos. A análise dessas situações deve,
portanto, fornecer um meio de reconhecimento do conhecimento, permitindo sua
identificação a partir das observações e a detenção das mudanças.
51
Temos a ambição de que a análise dos trabalhos em aula, em termos de
conhecimentos, possa se fazer “automaticamente”. Isso passa pelo
reconhecimento automático dos conhecimentos a partir das informações
registradas pelo programa, sendo os registros feitos coeficiente por coeficiente.
Pois, no item “histórico” do programa, o professor terá acesso às ações
detalhadas do aluno, em relação a cada questão do jogo: os bônus dados, os
restantes, o tempo, o número de consultas feitas pelo aluno às coordenadas e,
principalmente, os valores certos e errados registrados dos coeficientes angulares e
lineares. Conforme ilustração na figura 6.
Saberes e testes
Para a elaboração dos testes, procuramos identificar os saberes
elementares em jogo nas relações entre os coeficientes algébricos e as
características gráficas das funções afins. Foi com base nesses saberes que
construímos as questões propostas nos testes.
Saberes e análises dos resultados
A análise da produção dos alunos apresentada nos testes permite interpretar os
resultados em termos de conhecimentos, antes e depois das sessões informáticas e
indicar os saberes que parecem mais conhecidos, os saberes menos conhecidos, os
saberes mais afetados pelas sessões informáticas.
Trata-se de dois tipos de análise: as análises estatísticas elementares dos
resultados do pré e do pós-teste e uma análise qualitativa dos trabalhos dos
alunos. Na segunda sessão informática, essa análise qualitativa foi feita em uma
dupla, a partir das informações recolhidas automaticamente pelo software e dos
rascunhos feitos, por ela, usando papel e lápis.
1. PRÉ-TESTE
O objetivo do pré-teste é fazer um diagnóstico a fim de colocar em evidência as
interpretações dos alunos do ensino médio sobre os coeficientes da função afim.
52
Trabalhamos com 10 alunos do 2º ano do ensino médio de uma escola
particular em São Paulo.
Os saberes que desejamos observar são os ligados às relações gráfico-
algébricas das funções afins, cujas representações gráficas são associadas ao
sistema de coordenadas cartesianas (plano cartesiano). Segundo Duval (1988),
Esses saberes exprimem uma relação entre uma propriedade de um coeficiente e
uma característica gráfica.
Esses são em geral os saberes nos quais interferem os coeficientes lineares e
angulares, levando-se em consideração o sinal, a ordem de grandeza, alguns valores
particulares, assim como as relações entre diferentes valores dos coeficientes.
Saberes visados da função afim (y = ax + b)
Coeficiente angular:
a é o coeficiente angular da reta. No gráfico cartesiano, está associado à
inclinação da mesma e seu sinal está associado ao crescimento da função.
a) Sinal do coeficiente angular: Trata-se dos saberes referentes ao
crescimento e decrescimento da função, cujo gráfico é uma reta.
a é positivo ↔ a função cresce
a é negativo ↔ a função decresce
b) Ordem sobre os valores do coeficiente angular: relativo à inclinação da
reta em relação ao eixo dos x.
Trata-se dos saberes ligados a várias retas, que colocam em jogo o
valor de suas inclinações. Sendo a reta r1 dada por y = a1x + b1 e r2 dada
por y = a2x+ b2, tem-se:
Se a1 e a2 são positivos e a1 < a2 ↔↔↔↔ a inclinação de r1 é menor que a
inclinação de r2 .
Se a1 e a2 são negativos e a1 < a2 ↔↔↔↔ a inclinação de r1 é menor que a
inclinação de r2 .
c) Valor particular do coeficiente angular a:
a é nulo ↔↔↔↔a reta é paralela ao eixo x.
53
d) Relações particulares entre valores do coeficiente angular:
a1 = a2 ↔↔↔↔ r1 e r2 têm mesma inclinação e são ambas crescentes ou
decrescentes.
a1 = -a2 ↔↔↔↔ r1 é crescente e r2 é decrescente ou vice-versa.
Coeficiente linear:
b é o coeficiente linear da reta. No gráfico cartesiano, corresponde à ordenada
do ponto onde a reta corta o eixo dos y. Os saberes associados a b são:
a) Sinal do coeficiente linear:
Trata-se dos saberes relacionados ao ponto de intersecção I da reta
com o eixo dos y.
b é positivo ↔ I está acima do eixo das abscissas.
b é negativo ↔ I está abaixo do eixo das abscissas.
b) Ordem sobre o coeficiente linear:
b1 < b2 ↔↔↔↔I1 está mais abaixo que I2.
c) Valor particular do coeficiente linear:
b é nulo ↔ a reta passa pela origem.
d) Relações particulares entre valores do coeficiente linear:
b1 = b2 ↔↔↔↔ r1 e r2 cruzam o eixo das ordenadas no mesmo ponto.
b1 = -b2 ↔↔↔↔ I1 e I2 são simétricos em relação à origem.
Descrição do pré-teste
O pré-teste consta de 4 exercícios, cada um deles composto de 2
questões. Cada um dos saberes visados corresponde a uma só questão. As
correspondências entre as questões e itens dos exercícios propostos e os
saberes são mostradas nas tabelas seguintes:
Exercícios I: Observe o quadro 1 e responda:
1) Dentre os coeficientes angulares a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , quais são iguais?
2) Dentre os coeficientes lineares b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , quais são iguais?
54
Exercício I Questão 1 Questão 2
Saberes O coeficiente a igual O coeficiente b igual
Exercícios II: Observe o quadro 2 e responda:
1) Quais os coeficientes angulares a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 são:a) positivos,
b) negativos e c) nulos.
2) Quais os coeficientes lineares b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 são: a) positivos, b)
negativos e c) nulos.
Exercício II Questão 1 Questão 2
Saberes O coeficiente a positivo(item 1)
O coeficiente b positivo(item 1)
Saberes O coeficiente a negativo(item 2)
O coeficiente b negativo(item 2)
Saberes O coeficiente a nulo(item 3)
O coeficiente b nulo(item 3)
Exercícios III: Observe o quadro 3 e responda:
1) Colocar os coeficientes angulares a1 , a2 , a3 , a4 em ordem crescente:
2) Colocar os coeficientes lineares b1 , b2 , b3 , b4 em ordem crescente:
Exercício III Questão 1 Questão 2
Saberes A ordem do coeficiente a A ordem do coeficiente b
Exercícios IV: Observe o quadro 4 e responda:
1) Dentre os números a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , escrever as duplas de
números que são simétricos:
2) Dentre os números b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , escrever as duplas de
números que são simétricos:
Exercício IV Questão 1 Questão 2
Saberes O coeficiente a simétrico O coeficiente b simétrico
55
Resultados do pré-teste
Aparentemente os alunos ficaram surpresos com o tipo de tarefa que foi
proposta e a maioria deles não sabia como responder, alguns deixaram em branco,
outros deram respostas que não tinham nenhuma relação do que lhe fora proposto.
Conforme pesquisas já citadas, a conversão do registro gráfico para o algébrico
da função afim não é, geralmente, colocada em destaque, o que, acreditamos ter
influenciado no resultado desse pré-teste, que propunha exatamente tais questões.
Os resultados globais encontram-se na tabela e no gráfico a seguir.
Tabela de Acertos e Erros do Pré-teste
Questões Acertos % Erros %
I-1 4 40 6 60
I-2 2 20 8 80
II-1a 2 20 8 80
II-1b 2 20 8 80
II-1c 3 30 7 70
II-2a 2 20 8 80
II-2b 2 20 8 80
II-2c 2 20 8 80
III-1 0 0 10 100
III-2 4 40 6 60
IV-1 2 20 8 80
IV-2 2 20 8 80Tabela:porcentagem de acertos e erros dos alunos frente às questões do pré-teste.
Conforme levantado na problemática e mostrado no gráfico abaixo, os
alunos, em geral, têm grandes dificuldades na articulação do registro gráfico para
o algébrico da função afim. Dessa forma, iremos com o auxílio da informática
56
propor atividades para levar o aluno a uma melhor compreensão dos conceitos
envolvidos nessa articulação.
Gráfico do número de Acertos e Erros nas questões do Pré -Teste
0
2
4
6
8
10
12
I-1 I-2 II-1a II-1b II-1c II-2a II-2b II-2c III-1 III-2 IV-1 IV-2
Questões
Nú
me
ro d
e A
cert
os
e E
rro
s
Acertos Erros
Gráfico 3: Número de acertos e erros nas questões do pré-teste
2. 1a SESSÃO INFORMÁTICA (PRELIMINAR)
Introdução
A primeira sessão informática se desenvolveu em 17 de dezembro de
2001, com 10 alunos voluntários da 2ª série do ensino médio de uma escolar
particular em São Paulo. Foi realizada em duplas e colocou em destaque a
articulação dos registros gráficos e algébricos, insistindo sobre o sentido:
algébrico gráfico.
57
O objetivo principal desta sessão foi proporcionar aos alunos a aquisição
de conhecimentos necessários para um bom desempenho na próxima sessão
informática (jogo).
Com o uso do software Funcplus, criado exclusivamente para esta
pesquisa, elaboramos atividades (15 questões abertas) que procurassem,
inicialmente, favorecer a formulação de conjecturas, de questionamentos e de
validação ou não dos resultados, por parte do aluno.
O aluno acessa através do editor de texto do software os enunciados das
questões, que aparecem na tela do computador. Conforma figura abaixo.
Figura 14: Tela de Atividades, com algumas atividades cadastradas
Em seguida, minimiza a tela e acessa a tela de atividade preliminar. Ver
figuras a seguir:
Figura 15:Início da atividade preliminar Figura 16: Atividade preliminar
58
As questões podem ser respondidas na própria tela do computador ou no
papel. O professor pesquisador assumiu o papel de orientador do processo,
gerenciando as atividades dos alunos, fazendo intervenções individuais quando
necessárias e, ao final de sessão, institucionalizando os conceitos estudados,
após uma discussão das conjecturas feitas pelos alunos, validando-as ou não.
Sabe-se que, para um estudo mais completo da passagem do registro
algébrico para o registro gráfico é necessário que sejam levados a efeito outras
atividades, dentre elas, as que partem de situações contextualizadas conforme
sugere Duval (1988, p. 252), a apresentação de um fenômeno físico, econômico
ou biológico dá talvez um interesse maior para o estudo das relações: gráficos e
álgebra.
No entanto, já que o objetivo principal desta pesquisa é a relação gráfico �
algébrico, nos parece razoável trabalhar somente com essas questões.
1) Análise a priori
Para cada questão, faremos uma análise a priori, e apresentaremos e
comentaremos alguns resultados da atividade.
Destacaremos alguns pontos importantes mencionados na fundamentação
teórica que nortearam a elaboração e análise das questões propostas:
• “Certas características do computador como capacidade de animação,
facilidade de similar fenômeno, contribuem para que ele seja facilmente
usado na condição de meio didático” (Valente,1995)
• De acordo de Duval (1999, p.13), para que aluno discrimine as unidades
significantes de uma representação gráfica, é elementar, em todo método
experimental, a mudança de uma só variável mantendo constantes os
valores das outras variáveis.
• Borba (1995) afirma que o computador tem grande potencial para ajudar a
desenvolver habilidades no trabalho com gráficos, apresentado uma
oportunidade de descobrir não somente o que são os parâmetros, mas
59
também os efeitos de mudá-los, assim como experiência em desenhar
mais de um gráfico no mesmo conjunto de eixos.
• “Calculadoras gráficas e softwares que possibilitam o traçado de
gráficos de funções, têm sido utilizados de forma acentuada nos últimos
anos. As atividades, além de naturalmente trazerem a visualização para o
centro da aprendizagem matemática, enfatizam um aspecto fundamental:
a experimentação” (Borba, 2001).
Estratégias e Objetivos Específicos de cada questão
As questões 1, 2, 3 e 4 tinham por objetivo levar o aluno a perceber que
por meio da variação do coeficiente linear seria possível realizar translações
verticais da reta e que ele corresponde à ordenada do ponto em que a reta corta o
eixo dos y. Para essas questões o coeficiente angular permaneceu fixo, e ao
variar o coeficiente linear, pretendíamos que os alunos verificassem:
Questão 1: a translação vertical da reta.
Questão 2: as seguintes variações do coeficiente linear.
• Se b for positivo: a reta estará acima do eixo das abscissas;
• Se b for negativo: a reta estará abaixo do eixo das abscissas;
• Se b for nulo: a reta estará passando pela origem dos eixos.
Questão 3: a ordem de grandeza do coeficiente linear, de tal forma que:
• Partindo-se de um b fixo, ao se aumentar os valores de b a translação
vertical da reta ocorrerá de baixo para cima (tomando como referência o
eixo das ordenadas).
• Partindo-se de um b fixo, ao se diminuir os valores de b a translação
vertical da reta ocorrerá de cima para baixo (tomando como referência o
eixo das ordenadas).
Questão 4: que o coeficiente linear da reta corresponde graficamente à ordenada
do ponto onde reta corta o eixo dos y.
60
Estratégia dos alunos prevista para a resolução das questões 1, 2, 3 e 4
Esperávamos que a estratégia utilizada pelos alunos para resolução dessas
questões fosse a manipulação intensiva do software e o uso da animação
oferecida pelo mesmo para que tivessem a oportunidade de descobrir, através da
visualização, o que acontece com esse coeficiente ao variá-lo, mantendo o
coeficiente angular constante.
Dessa forma, acreditávamos que os alunos não teriam dificuldades em
reconhecer o significado geométrico do coeficiente linear e dos saberes
associados a ele (o sinal de b, a ordem sobre b e a translação vertical da reta).
Provavelmente alguns alunos poderiam errar ao responder a questão 3, pois a
mesma necessitava de uma comparação de números inteiros negativos e isso
costuma trazer dificuldades aos alunos.
O objetivo com as questões 5, 6, 7 e 8 foi levar o aluno a perceber que o
coeficiente angular é responsável pela inclinação da reta em relação ao eixo dos
x, no sentido anti-horário. Para essas questões o coeficiente linear permaneceu
fixo, e ao variar o coeficiente angular, pretendíamos que os alunos verificassem:
Questão 5: a variação da inclinação da reta em relação ao eixo dos x.
Questão 6: a relação do crescimento e decrescimento da reta com o sinal do
coeficiente angular; e a relação do coeficiente angular a com a reta, no caso em
que a é zero.
Questão 7 : a ordem de grandeza dos valores do coeficiente angular, de tal forma
que:
• Partindo-se de um valor fixo, a = 1(bissetriz do 1o e 3o quadrante), ao se
aumentar os valores de a, a reta se aproximará do eixo dos y.
• Partindo-se de um valor fixo, a= -1(bissetriz do 2º e 4º quadrante), ao se
diminuir os valores de a, a reta também se aproximará do eixo dos y.
Questão 8 : que o coeficiente angular da reta no gráfico cartesiano, está
relacionado à inclinação da mesma em relação ao eixo dos x.
61
Estratégia dos alunos prevista para as questões 5, 6, 7 e 8
Esperávamos que a estratégia utilizada pelos alunos para resolução dessas
questões fosse a manipulação intensiva do software e o uso da animação
oferecida pelo mesmo para que tivessem a oportunidade de descobrir, através da
visualização, o que acontece com esse coeficiente ao variá-lo, mantendo o
coeficiente linear constante.
Acreditávamos que os alunos teriam dificuldades em reconhecer o
significado geométrico do coeficiente angular. Pois, Segundo Oliveira (1997,
p.76), questões como aqui foram propostas são diferentes das que geralmente
são apresentadas e enfatizadas pelos professores e nos livros didáticos.
Destacamos duas dificuldades: a primeira, referindo-se a comparação de
números inteiros negativos, citada anteriormente e a segunda, referindo-se à
própria natureza do coeficiente angular no sentido de que a relação deste com um
valor numérico específico não é explicito no gráfico cartesiano.
Questão 9 : O objetivo com essa questão foi levar o aluno a comparar, em cada
caso, as retas e perceber as variações gráficas resultantes das mudanças
dos coeficientes, nas equações correspondentes:
• Quando b1= b2 e a1 = -a2, implica que as retas têm a mesma inclinação, mas
são simétricas em relação ao eixo dos y.
• Quando a=1 e b=0, a reta é a bissetriz dos 1o e 3o quadrantes e se aumentar
o valor de a, no caso a=3 e b=0, a reta fica mais próxima do eixo dos y.
• A situação é a mesma do item anterior, só que para valores negativos de a.
• Quando a1 = a2 e b1= -b2, os pontos de interseção das retas com o eixo dos y,
são simétricos em relação à origem.
• A situação é a mesma do item anterior, só que para valores negativos de a.
Estratégia dos alunos prevista para a questão 9
Acreditávamos que os alunos não teriam dificuldades em perceber as
simetrias e variações dessas retas. Pois, o fato do aluno traçar duas retas de cores
diferentes no mesmo plano cartesiano, poderia favorecer essa compreensão.
62
Para a resolução das questões 10, 11, 12 e 13 os alunos, além da
visualização gráfica, poderiam utilizar o papel e o lápis para efetuar cálculos
algébricos. Com essas questões pretendia-se que os alunos adquirissem
habilidades para a próxima sessão informática (jogo). Apesar de não ser nosso
objetivo principal.
Questão 10: o objetivo foi que o aluno percebesse que o ponto de intersecção da
reta com o eixo dos x, equivale à raiz da função e que para encontrá-la
algebricamente, basta igualar y = o e resolvê-la.
Estratégia dos alunos prevista para a questão 10
Acreditávamos que os alunos teriam dificuldades em responder essa
questão. Pois, segundo (Duval, 1988), o ponto de intersecção da reta com o eixo
das abscissas, desempenha um papel “perturbador” na associação variável visual
e característica da expressão algébrica.
Questão 11: o objetivo desta questão foi verificar se os alunos reconheciam quando
um par ordenado pertence à representação gráfica de uma função afim,
substituindo esses novos valores na correspondente representação algébrica.
Estratégia dos alunos prevista para a questão 11
Acreditávamos que os alunos teriam dificuldades em responder essa
questão, pois, provavelmente não entenderiam que basta substitui esses pares
ordenados na equação e verificar se a sentença tornar-se-ia verdadeira ou não.
No entanto, considerávamos bem provável que com a ajuda do software eles
compreendessem melhor essa questão.
Questão 12: essa questão tinha como objetivo levar o aluno a substituir na
equação y=ax+b os pontos e os coeficientes lineares dados, para achar
algebricamente os respectivos coeficientes angulares.
O aluno deveria ser capaz de “ler” no gráfico cartesiano o coeficiente linear,
consultar um par ordenado (coordenadas), e assim encontrar algebricamente o
coeficiente angular (substituindo os valores na equação y= ax+b).
63
Estratégia dos alunos prevista para a questão 12
Acreditávamos que os alunos poderiam ter dificuldades em responder essa
questão, principalmente, no que diz respeito à resolução de uma equação do
primeiro grau. Esperávamos o software, pudesse facilitar tal compreensão.
Questão 13: o objetivo aqui foi verificar se os alunos interpretariam que se tivermos
dois pontos (coordenadas) e substituirmos os valores na equação y = ax+b,
formamos um sistema cuja solução determina os coeficientes a e b.
Estratégia dos alunos prevista para a questão 13
Acreditávamos que os alunos não teriam dificuldades em responder essa
questão, pois que estavam concluindo a 2a serie do ensino médio, de modo que
estudaram recentemente os sistemas de equações lineares, o que poderia facilitar
a resolução desta questão.
As questões 14 e 15 tratavam da função afim com escrita y = (1/a)x + b.
Utilizamos esta expressão para que o aluno percebesse a variação gráfica para
os coeficientes angulares entre -1 e +1, pois, o software permite trabalhar apenas
com valores inteiros.
Questão 14: o objetivo foi verificar se o aluno percebia a ordem de grandeza dos
valores do coeficiente a, de tal forma que:
• Partindo-se de um valor fixo a=1, ao se aumentar o valor de a, a reta se
aproximará do eixo dos x.
• Partindo-se de um valor fixo a=1, se diminuir o valor de a, a reta também
se aproximará do eixo dos x.
Questão 15: O objetivo com essa questão foi levar o aluno a comparar, em cada
caso, as retas e perceber as variações gráficas resultantes nas mudanças
dos coeficientes, nas equações correspondentes.
Estratégia dos alunos prevista para as questões 14 e 15
Acreditávamos que os alunos teriam dificuldades para responder as questões,
pelo fato de termos números fracionários envolvidos nas mesmas. Esperávamos que
com a ajuda do software eles compreendessem melhor essa questão.
64
2) Resultados
Destacamos algumas respostas dadas por alunos em cada questão,
analisando brevemente as mesmas. Selecionamos aquelas que julgamos melhor
descrever as situações com vistas na próxima sessão informática (jogo).
Agrupamos questões de acordo com o conteúdo trabalhado. As questões de 1
a 4 referem-se ao coeficiente linear da função afim; as questões de 5 a 8 referem-se
ao coeficiente angular da função afim e as demais foram analisadas individualmente.
Questão 1:
Nas questões 1, 2 e 3 atribua um valor qualquer para a.
1) Considerando a função y = ax + b. O que acontece com areta quando você varia o b? (use a animação).
• “Ela vai atuando paralelamente” (Cris/Carol).
• “A reta se move para cima e para baixo” (Augusto/Débora).
• “A reta se desloca” (Carol/Luciana).
Questão 2:
2) O que se pode afirmar a respeito do gráfico da função y = ax + b,quando b é positivo? Quando b é negativo? E quando b vale zero?
• “Quando b é positivo, a reta se move para esquerda; quando b é
negativo se move para a direita; quando é nulo fica em cima do
eixo do plano cartesiano” (Carol/Luciana).
• “Se o b for aumentado a reta, varia para cima, paralelamente em
relação aos eixos sendo a sua inclinação a mesma e se o b for
negativo ela varia para baixo em relação aos eixos” (Ale/Mari).
Questão 3:
3) Considerando as funções do tipo y = ax + b. O que acontece comos seus respectivos gráficos, nos seguintes casos:
a) Quando b = 1 e quando b > 1 (use retas diferentes no segundocaso);
b) Quando b = -1 e quando b < -1 (use retas diferentes no segundocaso).
65
• “As retas ficam paralelas, o valor de y aumenta e x diminui; b) As retas
ficam paralelas, o valor de y diminui e o de x aumenta” (Cris/Carol).
• “As retas são paralelas, mas a reta 2 se desloca para a esquerda
quando aumentamos seu valor do b; b) As retas são paralelas, mas a
reta 2 se desloca para a direita (Parte negativa do eixo x) quando
diminuímos o valor de b” (Carol/Luciana).
Questão 4:
4) Que relação você vê entre o valor do coeficiente b e a reta?
• “Ele está relacionado ao valor em que a reta cruza o eixo y” (Ale/Mari).
• “O valor de b é igual ao valor de y na reta” (Cris/Carol).
• “Dependendo do valor de b a reta se desloca para a esquerda (parte
negativa do x) ou para a direita (parte positiva de x)” (Carol/Luciana).
De acordo com as nossas expectativas, todas as duplas, de alguma forma
concluíram que houve um deslocamento da reta (translação vertical). No entanto,
a dupla Carol/Luciana, não conseguiu responder corretamente que o coeficiente
linear corresponde à ordenada do ponto em que a reta corta o eixo dos y.
Analisando as respostas dadas, percebemos que algumas apresentaram
vícios que podem ser resultados dos procedimentos didáticos até então vigentes,
como, por exemplo: “a reta varia paralelamente em relação aos eixos”. Verificamos
aqui que os alunos se referem aos eixos como os eixos tivessem uma única direção.
Outro exemplo: “quando b é nulo fica em cima do eixo do plano cartesiano”. Aqui
talvez o aluno queira se referir ao ponto de encontro dos eixos x e y.
Na questão 3, diferente do que foi previsto, os alunos não tiveram
dificuldades ao comparar números inteiros negativos.
Mesmo com a ajuda do software, a aquisição do conhecimento do
coeficiente linear não ocorreu com todos os alunos.
Questão 5:
Nas questões 5, 6 e 7, atribua um valor qualquer para b.
5) Considerando a função y = ax + b. O que acontece com a retaquando você varia o a? (use a animação).
66
• “A reta gira 3600” (Cris/Carol).
• “A reta fica fixa em um ponto b e gira” (.Luciana/Carol).
• “A reta varia a sua posição e inclinação, mudando assim o seu
ângulo em relação ao eixo y”.(Ale/Mari).
Questão 6:
6) O que se pode afirmar a respeito do gráfico da função y = ax + b,quando a é positivo? Quando a é negativo? E quando a vale zero?
• “a positivo, o x será negativo; a negativo, o x será positivo; a
igual a zero, a reta fica paralela ao eixo x”. (Luciana/Carol).
• “Quando a é positivo ela se move no sentido anti-horário, quando
a é negativo ele se move no sentido horário e quando o a é nulo
ele fica reto” (Augusto/Débora).
Questão 7:
7) Considerando as funções do tipo y = ax. O que acontece comos seus respectivos gráficos, nos seguintes casos:
a) Quando a = 1 e quando a > 1 (use retas diferentes nosegundo caso);
b) Quando a = -1 e quando a < -1 (use retas diferentes nosegundo caso).
• “a) A reta se aproxima do eixo y; b) A reta também se aproxima do
eixo y” (Cris / Carol).
• “a) A reta 2 se aproxima do eixo y; b) A reta 2 se aproxima do eixo
y” (Luciana/Carol).
Questão 8:
8) Que relação você vê entre o valor do coeficiente a e a reta?
• “Se aumentarmos o valor se do coeficiente a, a reta gira para a
esquerda, se diminuirmos ela gira para a direita” (Carol / Luciana).
• “a é responsável pela mudança de posição e inclinação da reta”
(Ale / Mari).
Percebemos com essas respostas que houve um relacionamento do
coeficiente angular com a inclinação e rotação da reta.
67
No que diz respeito ao coeficiente a igual a zero, o sucesso foi total. Mas, a
experimentação feita para um único valor para o coeficiente linear, possibilitou
conclusões incorretas como na primeira resposta da questão 6.
Pelo menos parcialmente a experimentação possibilitou uma melhor
compreensão do coeficiente angular da função afim.
Questão 9:
9) Considere as duplas de funções:
a) y = 2x e y = -2xb) y = x e y = 3xc) y = -x e y = -5xd) y = x + 1 e y = x - 1e) y = -3 x - 6 e y = -3x + 6
Trace seus gráficos com cores diferentes e escreva, de cadaitem,qual a mudança ocorrida em suas posições gráficas.
• “a) A reta 1 é crescente e a reta 2 é decrescente; b) As 2 retas são
crescentes e a 2a está mais próxima do eixo y; c) As 2 são
decrescentes e a 2a está mais próxima do eixo y; d) As 2 são
paralelas sendo o x da 1a negativo e da segunda positivo, as 2
são crescente” (Carol/Luciana).
Este exemplo mostra uma melhor compreensão existente em relação ao
crescimento e decrescimento da função, bem como o paralelismo e aproximação
ao eixo dos y. No entanto, há um erro na maneira de descrever o zero (ou raiz) da
função do afim (letra d)
Questão 10:
10) Considere as funções:
• �y = x – 2• y = -2x + 6
Trace seus gráficos e determine:
a) Quais os pontos em que as retas cortam o eixo x. Anote osresultados.
b) Que relação existe entre os pontos A(2, 0) e B(3, 0) e as retas?
c) Como é possível saber algebricamente qual é o ponto deintersecção da reta com o eixo x?
68
• “a) Na parte 1 o x é igual a 2 e na reta 2 o x é igual a 3; b)
Determina a posição da reta em relação aos eixos x e y; c) Com
função y = ax + b devemos igualar o y a 0” (Luciana / Carol).
Como foi previsto na análise a priori a questão foi problemática para todas
as duplas, com exceção daquela do exemplo anterior. Mesmo assim encontramos
comentários errados (letra b) e incompletos (letra c). Este fato pode ter sido dado
pela dificuldade de associação das variáveis significativas pertinentes a e b com o
ponto de intersecção da reta com o eixo dos x.
Questão 11:
11)Verifique quais dos pontos1 A (10, 12), B(0,4) e C(-2, 0) pertenceao gráfico da função y = x + 2? Explique sua resposta. (Use ajanela “tabela/expressões algébricas” do programa paraconfirmar sua resposta).
• “Os pontos A e C pertencem a função” (Ale/Mari).
• “A e C pertencem a função, pois substituindo os valores de a e b,
x e y, achamos uma igualdade” (Débora/Augusto).
Esta questão estava ligeiramente confusa para algumas duplas, mas, com
a ajuda do programa tornou-se de fácil compreensão, pois, na “janela:
tabela/expressão algébrica” o aluno tem a oportunidade de verificar quando um
ponto pertence a uma reta. Usando o mouse do computador ele registra em uma
tabela os pontos dados e em seguida solicita a substituição dos valores das
abscissas e das ordenadas desses pontos no registro algébrico da função em
questão e, finalmente o software confirma, através de cálculos algébricos se a
sentença é verdadeira ou não. Se for verdadeira aparece a mensagem como no
exemplo: “o ponto A(10, 12) pertence ao gráfico da função de registro algébrico y
= x +2”.
Questão 12:
12)Uma reta passa pelo ponto P(1, -3). Encontre o valor docoeficiente a da função do 1º grau, quando o coeficiente b forigual a 3. (confirme sua resposta usando a janela“tabela/expressões algébricas” do programa)
Repita o procedimento acima para o ponto M(2, 7), quando ocoeficiente b for igual a -3.
69
• “ y = ax + b y = ax + b
-3 = a1 + 3 7 = a2 + -3
-3-3 = a1 7 = 2 a – 3
a=6 7 + 3 = 2 a
10 = 2 a a = 5” (Luciana / Carol).
O programa facilitou a compreensão dessa questão e todas as duplas a
acertaram. Isto será importante para a próxima sessão informática (jogo).
Questão 13:
13)Com as coordenadas dos pontos A (-1, 1), B(1, 5), forme umsistema de duas equações do tipo y = ax + b, e responda comopoderíamos encontrar a equação da reta que passa por essespontos?
• “ 1 = -1x + b
5 = 1x + b Substitui o valor de x e y e acha o valor de a e b”
(Luciana / Carol).
Como já havíamos previsto quase todas as duplas acertaram a questão,
devido possivelmente aos conhecimentos adquiridos sobre sistemas lineares em
sala de aula, com exceção da dupla acima que apesar de ter comentado
corretamente, fez a substituição incorreta.
Questão 14:
14)Considerando as funções do tipo y = (1/a)x + b. O que acontececom os seus respectivos gráficos, nos seguintes casos:
a) Quando a= 1 e quando 1< a < 8 (use retas diferentes nosegundo caso);
b) Quando a = -1 e quando -1 < a < -8 (use retas diferentes nosegundo caso).
• “a) A reta esta ficando paralela a x; b) A reta também esta ficando
paralela a x só que com o sinal negativo” (Cris / Carol).
• “a) Quando maior o valor de a mais a reta “deita”, se aproxima do eixo
x (sentido horário); b) Quando diminuímos o valor de a mais ela se
aproxima do eixo x (no sentido anti-horário)” (Carol/ Luciana).
70
Percebemos que as duplas responderam de forma correta essa questão.
Não houve comentários sobre os ângulos formados pelas retas e o eixo x.
Questão 15:
15)Considere as duplas de funções:
a) y = x e y = (1/5)xb) y = -1x e y = (-1/4)x
Trace seus gráficos com cores diferentes e escreva, de cada item,qual a mudança ocorrida em suas posições gráficas.
• “aqui não é pra fazer a mesma coisa que na questão anterior”
(Augusto/Amanda).
Com esta pergunta constatamos que a questão 15 poderia ter sido
suprimida da atividade.
Explicitamos os saberes que foram colocados em jogo nesta atividade e
institucionalizados ao final da 1ª sessão Informática. Sublinhamos que os saberes que
norteiam o objetivo principal do nosso trabalho estão mais especificados no capítulo 3.
O coeficiente linear da função afim, é a ordenada do ponto em que a reta
corta o eixo dos y.
O coeficiente angular da função afim como sendo a tangente do ângulo em
que a reta forma com o eixo dos x, no sentido anti-horário.
A representação gráfica da função y = x é a bissetriz (reta que divide um
ângulo ao meio) dos quadrantes impares do plano cartesiano.
A representação gráfica da função y = -x é a bissetriz dos quadrantes pares
do plano cartesiano.
A raiz da função afim, é o valor da abscissa do ponto em que a reta corta o
eixo dos x.
Se um ponto pertence a uma reta, então ao substituirmos os valores de
suas coordenadas na equação correspondente à reta, verifica-se a veracidade da
sentença matemática.
71
Se conhecermos as coordenadas de um ponto da reta e um dos seus
coeficientes, podemos escrever uma equação e ao resolvê-la encontraremos o
outro coeficiente.
Se conhecermos as coordenadas de dois pontos de uma reta, podemos
escrever um sistema de duas equações com duas incógnitas e ao resolvê-lo,
encontraremos os coeficientes lineares e angulares da reta.
Além disso enfatizamos que a tangente do ângulo de 45º e de 225º é igual
a 1, e a tangente do ângulo de 135º e 315º é igual a -1.
3. SEGUNDA SESSÃO INFORMÁTICA (JOGO)
A segunda sessão informática se desenvolveu em 18 de dezembro de
2001, com os mesmos alunos que participaram da primeira. A atividade aqui
desenvolvida pretendeu colocar em destaque, através de software tipo jogo, as
relações entre os registros gráficos e algébricos da função afim, com questões
que enfatizam o sentido: gráfico � algébrico.
A sala de informática dispunha de 5 computadores. Os 10 alunos trabalharam
em duplas e receberam lápis e papel para rascunho de suas produções.
Para esta sessão o aluno entrava no “menu aluno”, escolhendo a atividade
(jogo). Em seguida, aparecia na tela do computador uma reta de cor verde
previamente cadastrada pelo professor.
Figura 17: Tela de início da atividade jogo Figura 13: Tela de Atividades (jogo)
72
O aluno através da opção “traço” poderia escolher valores para os
coeficientes a e b. Escolhidos estes valores, automaticamente aparecia na tela
a reta correspondente a estes coeficientes na cor branca. A meta do aluno era,
assim, descobrir valores para os coeficientes a e b de tal modo que a reta
obtida coincidisse com a proposta do professor.
Para atingir esse objetivo, o aluno contava com ajudas oferecidas pelo
software, tais como: consulta as coordenadas e ajuda à memória. Esta última
exibia os últimos valores atribuídos aos coeficientes. Correspondente a cada
reta, foram cadastradas previamente coordenadas de pontos a ela
pertencente, que podiam ser consultadas pelo aluno.
Para cada questão, o aluno recebia bônus: quatro para cada uma das
três primeiras questões e três para cada uma das demais.
A cada tentativa errada o aluno perdia um bônus, acontecendo o mesmo
para as coordenadas. A consulta à memória era livre, não acarretando perda
de bônus.
Cada questão era finalizada se a reta do aluno coincidisse com a reta
previamente cadastrada ou se os bônus se esgotassem. Em ambos os casos,
aparecia na tela a representação algébrica da reta estabelecida pelo professor.
Por meio do histórico, o professor tinha acesso às ações detalhadas do
aluno, em relação a cada questão do jogo, a saber: os bônus dados, os
bônus restantes, o tempo, o número de consultas feitas pelo aluno às
coordenadas e os valores certos e errados registrados dos coeficientes
angulares e lineares.
Além disso o item “análise” fornecia dados para a análise estatística dos
resultados, bem como a evolução do desempenho do aluno.
1. Análise a priori
Para Duval (1988), considerando as retas não paralelas aos eixos x e y,
há somente 18 representações gráficas que sejam diferentes visualmente de
73
forma significativa e a cada uma dessas representações corresponde uma
equação particular. Para o caso do coeficiente angular positivo temos a tabela
seguinte:
Objetivos específicos e estratégias
O objetivo desta atividade é fazer variar as retas nas mais
diferentes posições (18) em relação ao plano cartesiano e assim,
verificar se o aluno através do estudo preliminar e das ajudas
oferecidas pelo programa, consegue fazer a articulação do registro
gráfico para o algébrico.
Para cada equação estabelecida previamente pelo professor,
existem algumas coordenadas pertencentes à reta resultante. A
finalidade é que os alunos às consulte e forme equações ou sistemas
de
Foram propostas as 18 representações gráficas diferentes da função afim
no plano cartesiano correspondentes a 18 representações algébricas. Juntamente
com esses registros algébricos da função afim, escolheu-se algumas
coordenadas de pontos pertencentes às retas representativas, para que o aluno
pudesse consultá-las durante o jogo.
Na tabela abaixo figuram, na primeira coluna, as equações previamente
registradas no software, e, na segunda coluna, as coordenadas dos pontos
correspondentes.
0 (zero) y = x
=1 + y = x + 1
- y = x - 1
0 (zero) y = 2x
> 0 > 1 + y = 2x + 1
- y = 2x – 1
0 (zero) y = ½ x
<1 + y = ½ x + 1
- y = ½ x – 1
No caso a< 0, há mais 9 representações gráficas correspondentes.
Sentido dainclinação
CoeficienteAngular
CoeficienteLinear Exemplos
74
Registro algébrico estabelecidopreviamente
Coordenadas determinadas pelo professor
1) y = 5x –5 (2;5), (-2,-15), (1,0), (0,-5)
2) y = -x -7 (-8;1), (-1,-6), (2,-9), (-7,0), (0,-7)
3) y = -6x (-1;6), (2,-12), (0,0)
4) y = 1x +3 (2;5), (-1,2), (-4,-1), (0,3), (-3,0)
5) y = 4x +8 (1;4), (-1,12), (3,-4), (-2,0),(0,8)
6) y = -3x –6 (-3;3), (-1,-3), (1,-9), (-2,0),(0,-6)
7) y = x (2;2), (-3,3), (0,0)
8) y = - x +5 (1;4), (-1,6), (6,-1), (5,0), (0,5)
9) y = 2x +4 (1;6), (-1,2), (-3,-2),(0,4), (-2,0)
10) y = 4x (1;4), (-2,-8), (0,0)
11) y = x –4 (5;1), (-2,-6), (1,-3),(4,0), (0,-4)
12) y = -x (-3;3), (2,-2), (0,0)
13) y = 1/5x (5;1), (-10,-2), (0,0)
14) y = -1/7x +1 (-7;2), (14,-1), (7,0), (0,1)
15) y = 1/4x –3 (16;1), (-4,4), (4,-2),(12,0),(0,-3)
16) y = -1/2x (-2;1), (4,-2), (0,0)
17) y = 1/3x +2 (3;3), (-9,-1), (0,2), (-6,0)
18) y = - 1/6 x –2 (-18;1),(-6,-1), (6,-3), (-12,0)e(0,-2)
As 12 primeiras questões são do tipo y = ax + b, e as 6 últimas são do
tipo y = (1/a)x + b.
Possíveis estratégias dos alunos
Não se tratou aqui de explicitar uma lista a priori de todas as estratégias
possíveis, mas de elencar as que nos pareceram as mais susceptíveis de serem
utilizadas pelos alunos.
75
Recordamos inicialmente, através da tabela seguinte, os saberes
colocados em jogo no pré-teste e na 1ª sessão informática, que também fazem
parte do pós-teste e da 2ª sessão informática: sendo a o coeficiente angular e b o
coeficiente linear da representação algébrica da função afim e sendo a reta r1
dada por y = a1 x+b1 e r2 dada por y = a2x+b2.
a1 = a2 Inclinações iguais Retas paralelas
b1 = b2 Valores iguais de b Retas transversais no mesmo ponto doeixo dos y
a positivo Inclinação positiva A reta “sobe”
a negativo Inclinação negativa A reta “desce”
a nulo Inclinação nula Reta paralela ao eixo dos x
b positivo b > 0 Reta transversal ao eixo dos y, acimado eixo dos x
b negativo b< 0 Reta transversal ao eixo dos y, abaixodo eixo dos x
b nulo b=0 Reta passa pela origem
a ordem a1 < a2 (positivos) e a1 < a2
(negativos)r1 é menos inclinada que r2
b ordem Ib1 I< Ib2 I r1 transversal ao eixo dos y abaixo doponto em que r2 transversal ao mesmo
a oposto a1 = -a2 r1 e r2 são simétricas em relação auma paralela ao eixo dos x
b oposto b1 = -b2 r1 e r2 transversais ao eixo dos ysimétricas em relação a origem.
Tabela : saberes colocados em jogo nos testes e nas sessões informáticas
Indicamos os conhecimentos fundamentais colocados em jogo,
diretamente, por cada uma das estratégias possíveis, iniciando com a exposição
de uma lista dos mesmos.
76
Catálogo dos conhecimentos específicos:
1) Resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita.
2) Interpretação da pertinência de um ponto de coordenadas (x0, y0) a uma
reta, por meio da substituição dos valores na equação.
3) Resolução de um sistema de 2 equações lineares e 2 incógnitas.
4) O coeficiente linear b é a ordenada da intersecção da reta com o eixo y.
5) O coeficiente angular a é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo
x, no sentido anti-horário.
Estratégias
a) Estratégias pontuais: Chamamos estratégias pontuais as que são
baseadas na utilização exclusiva e explicita das coordenadas dos
pontos na pesquisa dos coeficientes.
i) Estratégia pontual de base: consiste em consultar as coordenadas
(x1, y1) e (x2, y2) de 2 pontos da reta e encontrar o coeficiente linear e
o coeficiente angular escrevendo um sistema de 2 equações com 2
incógnitas, cuja resolução dá os coeficientes procurados.
Conhecimento 1,2 e 3 do catálogo.
ii) Estratégia pontual elaborada: consiste em “ler” a ordenada b
(coeficiente linear) do ponto de intersecção com o eixo y, consultar
uma coordenada e encontrar o coeficiente angular escrevendo uma
equação com uma incógnita, cuja resolução dá o coeficiente
procurado. Conhecimento 1 e 2 do catálogo.
Assim, essas estratégias exigem dos alunos habilidades algébricas.
b) Estratégias globais:
i) Estratégia global de leitura: leitura do coeficiente linear e do
coeficiente angular. Conhecimentos 4 e 5 do catálogo.
77
ii) Estratégia global leitura/estimativa:
• Leitura do coeficiente angular a estimativa do coeficiente linear b.
Conhecimentos 5 do catálogo.
Esta leitura ficou prejudicada pois não foi possível inserir
no software uma grade quadriculada no plano cartesiano, fato que
facilitaria em alguns casos do coeficiente angular. Porém, talvez
essas leituras sejam possíveis a partir das bissetrizes dos
quadrantes ímpares e pares do plano cartesiano.
• Leitura do coeficiente linear b e estimativa do coeficiente angular
a. Conhecimentos 4 do catálogo.
iii) Estratégias por ensaio/erro: é a estratégia de pesquisa dos
coeficientes por tentativa.
As estratégias globais exigem as capacidades de observação, de inspeção
gráfica e das competências relativas ao significado dos coeficientes. De acordo
com diversas pesquisas, em particular Duval (1988), o cálculo algébrico não é
suficiente para a compreensão da relação entre os coeficientes angulares e
lineares e as características gráficas das funções afins.
Seguem-se as análises dos resultados apresentados por uma das duplas,
previamente escolhida. No capítulo seguinte apresentamos uma sucinta descrição
do desempenho de outras duas duplas.
Dupla 1: (Carol/Luciana)
Resultados:
Questão 1:
Registro algébrico coordenadas
y = 5x - 5 (2,5), (-2,-15), (1,0), (0,-5)
78
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0001 4 2 00:01:59 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:37 3 -5 E
00:01:22 5 -5 A
Estratégias adotadas pela dupla: 1ª) global de leitura/estimativa e 2ª)
pontual elaborada.
A dupla inicialmente “leu” corretamente o coeficiente linear e estimou o
coeficiente angular a = 3, acabando por errar nessa tentativa. Em seguida,
consultou a coordenada (2, 5), e como já havia lido o coeficiente linear, escreveu
uma equação cuja resolução deu o coeficiente angular procurado.
Percebeu-se aqui uma falta de compreensão em relação ao coeficiente
angular, já que na primeira tentativa a dupla optou pelos valores a = 3 e b = -5, e,
como possuía 2 bônus, poderia continuar usando a estratégia leitura/estimativa,
pois tinha um valor do coeficiente angular próximo ao estipulado previamente.
Esta fuga da estratégia global,ou seja, aquela baseada nas variáveis visuais e
características significativas da expressão algébrica, pode ter sido ocasionada
por medo de gastar os bônus. Como afirma Valente (1997). Um jogo pode criar
bloqueios nos alunos no processo de aprendizagem.
Questão 2:
Registro algébrico coordenadas
y = -x - 7 (-8,1), (-1, -6), (2,-9), (-7,0), (0,-7)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0002 4 1 00:01:52 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:43 4 -7 E
00:00:26 -3 -7 E
00:00:43 -1 -7 A
Estratégias adotadas pela dupla: 1ª) global de leitura/estimativa, 2ª) global
de leitura/estimativa e 3ª) pontual elaborada.
79
A dupla inicialmente “leu” corretamente o coeficiente linear e estima o
coeficiente angular a = 4, acabando por errar a tentativa, e, em seguida, continuando a
estimar o coeficiente angular a = -3, agora somente com o sinal correto. Finalmente,
consultou a coordenada (-8, 1), e como já havia lido o coeficiente linear, escreveu uma
equação cuja resolução deu o coeficiente angular procurado.
Percebeu-se aqui uma certa evolução em relação ao sinal do coeficiente
angular, uma vez que na primeira tentativa a dupla optou pelo valor a = 4, e, na
segunda tentativa mudou o valor de a para -3, acertando o sinal do coeficiente
angular. No entanto, por já ter gasto 3 bônus, resolveu partir para a estratégia
pontual elaborada.
Questão 3:
Registro algébrico coordenadas
y = -6x (-1, 6), (2,-12), (0,0)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0003 4 3 00:01:36 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:01:36 -6 0 A
Estratégia adotada pela dupla: pontual elaborada.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e consultou a coordenada
(-1, 6) e escreveu uma equação cuja resolução deu o coeficiente angular
procurado.
Percebeu-se aqui um certo domínio do saber relacionado ao coeficiente
linear nulo, mas a dupla parece não ter o domínio do saber ligado ao coeficiente
angular da função afim decrescente com o a < -1.
Questão 4:Registro algébrico coordenadas
y = x + 3 (2,5), (-1, 2), (-4,-1), (0,3), (-3,0)
80
Histórico
Estratégia adotada pela dupla: pontual elaborada.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e consultou a coordenada
(2, 5), escrevendo uma equação cuja resolução deu o coeficiente angular
procurado.
Percebeu-se aqui um certo domínio do saber relacionado ao coeficiente
linear positivo. No entanto, a dupla não mostrou o mesmo domínio para o
coeficiente angular, pois recorreu sempre aos cálculos algébricos.
Questão 5:
Registro algébrico coordenadas
y = 4x + 8 (1,4), (-1, 12), (3,-4), (2,0), (0,8)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0005 3 2 00:00:58 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:58 -4 8 A
Estratégia adotada pela dupla: pontual elaborada.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e consultou a coordenada
(-1, 12), escrevendo uma equação cuja resolução deu o coeficiente angular
procurado.
Atividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0004 3 2 00:00:39 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:39 1 3 A
81
Percebeu-se aqui um certo domínio do saber relacionado ao coeficiente linear
e habilidades algébricas na resolução de equação do 1º grau por parte dos alunos.
Nada se pôde concluir a respeito dos saberes que envolvem o coeficiente angular.
Questão 6:
Registro algébrico coordenadas
y = -3x - 6 (-3,3), (-1,-3), (1,-9), (-2,0), (-6,0)
Histórico
Atividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0006 3 2 00:00:50 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:50 -3 -6 A
Estratégia adotada pela dupla: pontual elaborada.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e consultou a coordenada (-3, 3),
escrevendo uma equação cuja resolução deu o coeficiente angular procurado.
Percebesse aqui um certo domínio do saber relacionado ao coeficiente
linear negativo. Continuamos sem poder analisar os saberes que envolvem o
coeficiente angular.
Questão 7:
Registro algébrico coordenadas
y = x (2,2), (-3, 3), (0,0)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0007 3 3 00:00:19 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:19 1 0 A
Estratégia adotada pela dupla: global de leitura.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e o coeficiente angular.
82
Percebeu-se, finalmente, um certo domínio do saber específico para a reta
(bissetriz do 1º e 3º quadrante), cuja representação algébrica possui o coeficiente
angular igual a 1.
Questão 8:
Registro algébrico coordenadas
y = -x + 5 (1,4), (-1,6), (6,-1), (5,0), (0,5)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0008 3 2 00:00:50 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:30 1 5 E
00:00:20 -1 5 A
Estratégias adotadas pela dupla: 1ª) global de leitura/estimativa; 2ª) global
de leitura.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e estimou erroneamente o
coeficiente angular a=1, lendo em seguida, de forma correta, o coeficiente angular.
Acredita-se que o erro na primeira tentativa se tenha dado por falta de
atenção, pois logo em seguida, sem precisar recorrer aos cálculos algébricos, os
alunos relacionaram corretamente o coeficiente angular com a reta em questão.
Acreditamos que o ciclo descrição-execução-reflexão-depuração, explicitado no
capítulo 1, tenha feito parte deste processo, pois a dupla descreveu o valor a=1e o
software executou mostrando a reta correspondente, de modo que os alunos
refletiram e perceberam que se tratava da bissetriz dos quadrantes pares cujo
coeficiente angular vale -1, depurando assim suas idéias.
Questão 9:
Registro algébrico coordenadas
y = 2x + 4 (1,6), (-1,2), (-3,-2), (0, -2), (-2,0)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0009 3 3 00:00:30 0
83
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:30 2 4 A
Estratégia adotada pela dupla: global de leitura.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e o coeficiente angular.
Percebeu-se aqui uma certa evolução em relação aos saberes ligados ao
coeficiente angular, já que na primeira tentativa, sem consultar as coordenadas, a
dupla acertou o valor do coeficiente angular, que não era da bissetriz dos
quadrantes ímpares, nem dos quadrantes pares.
Questão10:
Registro algébrico coordenadas
y = 4x (1,4), (-2,-8), (0,0)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0010 3 2 00:00:58 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:58 4 0 A
Estratégia adotada pela dupla: pontual elaborada.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e consultou a coordenada
(1, 4), escreveu uma equação cuja resolução deu o coeficiente angular procurado.
Percebeu-se aqui uma volta aos cálculos algébricos, deixando-nos em dúvida
em relação aos reais conhecimentos dos alunos a respeito do coeficiente angular.
Questão 11:
Registro algébrico coordenadas
y = x - 4 (5,1), (-2,-6), (1,-3), (4,0), (0,-4)
Histórico
84
Atividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0011 3 3 00:00:21 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:21 1 -4 A
Estratégia adotada pela dupla: global de leitura.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e o coeficiente angular.
Percebemos um domínio em relação aos saberes ligados ao coeficiente
angular, já que na primeira tentativa a dupla acertou o valor desse coeficiente sem
precisar consultar as coordenadas, não sendo o coeficiente angular da bissetriz
dos quadrantes ímpares, nem dos quadrantes pares.
Questão 12:
Registro algébrico coordenadas
y = -x (-3,3), (2,-2), (0,0)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0012 3 3 00:00:28 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:28 -1 0 A
Estratégias adotadas pela dupla: global de leitura.
A dupla “leu” corretamente o coeficiente linear e o coeficiente angular.
Percebeu-se novamente um certo domínio do saber específico para a reta
(bissetriz do 2º e 4º quadrantes) cuja representação algébrica possuía o
coeficiente angular igual a -1.
Questão 13:
Registro algébrico coordenadas
y = 1/5x (5,1), (-10,-2), (0,0)
HistóricoAtividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
85
0013 3 1 00:00:40 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:12 3 0 E
00:00:09 4 0 E
00:00:19 5 0 A
Estratégia adotada pela dupla: global de leitura/estimativa.
A dupla inicialmente “lê” corretamente o coeficiente linear e estima o
coeficiente angular a = 3, acabam por errar a tentativa, em seguida, continuam a
estimar o coeficiente angular a = 4. E por último, sem precisar de cálculos
algébricos “ler” corretamente o coeficiente angular.
Percebeu-se aqui alguma evolução pois os alunos adotaram uma estratégia
global mais organizada coeficiente por coeficiente, em relação ao coeficiente angular.
Questão 14:
Registro algébrico coordenadas
y = -1/7x +1 (-7,2), (14,-1), (0,1), (7,0)
Histórico Atividade Bônus Dados Bônus Restante Tempo Total Coordenadas
0014 3 1 00:02:40 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:49 6 1 E
00:01:51 -7 1 A
A partir da questão 14, a estratégia adotada fica sendo a pontual
elaborada, com exceção da questão 16. Em relação a tal fato, deve-se verificar o
histórico em anexo.
Pré-teste/pós-teste (Carol/Luciana): Os resultados do pós-teste mostram
um progresso discreto da dupla. Luciana com um sucesso global associado ao
conjunto dos conhecimentos que são colocados em jogo pelos testes, passando
de 40% antes da sessão informática a 57% depois, e Carol passando de 38%
para 55%.
86
Aparentemente pelo fato deles terem recorrido bastante aos cálculos
algébricos, não parece suficiente para uma evolução clara em relação aos
significados do coeficiente angular.
4.4) PÓS-TESTE
O pós-teste foi aplicado dois meses após o pré-teste, e tinha como
principal objetivo verificar, através de papel e lápis, os conhecimentos dos alunos
na articulação do registro gráfico para o algébrico da função afim, depois do uso
do computador.
O pós-teste foi feito com as mesmas questões do pré-teste, mas com
outras representações gráficas da função afim. Os resultados globais e a
comparação entre pré e pós-teste encontram-se a seguir:
Tabela de Acertos e Erros nas Questões do Pré-teste e Pós-teste
Questões Acertos % Erros %
Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós
I-1 4 7 40 70 6 3 60 30
I-2 2 9 20 90 8 1 80 10
II-1a 2 7 20 70 8 3 80 30
II-1b 2 7 20 70 8 3 80 30
II-1c 3 8 30 80 7 2 70 20
II-2a 2 10 20 100 8 0 80 0
II-2b 2 10 20 100 8 0 80 0
II-2c 2 10 20 100 8 0 80 0
III-1 0 4 0 40 10 6 100 60
III-2 4 7 40 70 6 3 60 30
IV-1 2 7 20 70 8 3 80 30
IV-2 2 6 20 60 8 4 80 40 Tabela: porcentagem de acertos e erros dos alunos frente às questões do pós-teste.
87
Gráfico de Acertos e Erros do Pré-teste e Pós-teste
0
2
4
6
8
10
12
I-1 I-2 II-1a II-1b II-1c II-2a II-2b II-2c III-1 III-2 IV-1 IV-2
Questões
Ace
rto
s e
Err
os
Acertos Pré Acertos Pós Erros Pré Erros Pós
Os resultados mais expressivos foram os resultados obtidos nas
questões que envolviam o coeficiente linear b. Mas, percebemos que a
seqüência (sessões informáticas) possibilitou uma evolução da
interpretação do coeficiente angular a. Sublinhamos que a dificuldade
concernente a alguns saberes do coeficiente angular resiste ao efeito da
sessão informática.
Um grande sucesso, portanto , aos saberes que estão ligados às
propriedades de paralelismos das retas, da simetria com relação aos eixos
e o sinal do coeficiente linear e angular.
Entre pré-teste e pós-teste houve globalmente um progresso claro: o
sucesso global associado ao conjunto dos conhecimentos que são
colocados em jogo pelos testes, passando de 22,5% antes da sessão
informática à 76,6% depois.
88
Os conhecimentos relativos ao coeficiente angular ficam parciais no
pós-teste, de acordo com uma hierarquia de dificuldades que está a seguir:
Sinal < valor absoluto < ordem
89
CAPÍTULO V
ANÁLISES FINAIS
1. O desempenho de duas duplas
Apresentamos uma sucinta descrição dos "trabalhos" de duas duplas,
que chamamos de dupla 2 e dupla 3, durante a segunda sessão informática
(jogo), comentando seus desempenhos no pré-teste e no pós-teste,
ressaltando-se não se tratar da dupla cujos resultados foram descritos no
capítulo anterior.
A escolha das duplas se deu em função de uma delas ter utilizado
mais vezes as estratégias globais e a outra, na maioria das tentativas, as
estratégias pontuais.
A dupla 3, que se utilizou principalmente das estratégias globais fez
uso de leituras dos coeficientes linear e angular, tendo ainda feito estimativas
sobre um deles quando outro era desconhecido e também pesquisou os
coeficientes por ensaio/erro.
A dupla 2, onde predominaram as estratégias pontuais, em geral
utilizou-se das coordenadas, conhecendo um coeficiente, escreveu uma
equação do primeiro grau, tendo resolvido-a descobrindo o outro coeficiente.
Além disso, também lançou mão da raiz da função, “montando” a equação
correspondente para, conhecendo um coeficiente, descobrir o outro. Desse
modo, a dupla deixou de perder o bônus correspondente à consulta à
coordenada.
Dupla 2 (Augusto/Amanda):
Questão 1:
Registro algébrico Coordenadas
y = 5x - 5 (2,5), (-2, -15), (1,0), (0,-5)
90
Histórico:
Atividade Bônus Dados Bônus restantes Tempo Total Coordenadas
0001 4 0 00:02:28 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:08 5 5 E
00:00:43 5 5 E
00:00:25 5 6 E
00:01:12 5 5 E
A dupla começou a sessão (jogo) utilizando a estratégia global de
ensaio/erro, não tendo mostrado nenhum domínio dos saberes relacionados aos
coeficientes angulares e lineares desde a primeira questão, errando-a.
Questão 2:
Registro algébrico Coordenadas
y = x - 7 (-8,1), (-1, -6), (2,-9), (-7,0), (0, -7)
Histórico:
Atividade Bônus Dados Bônus restantes Tempo Total Coordenadas
0002 4 3 00:01:43 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:01:26 1 -7 E
00:00:17 -1 -7 E
Continuando com a estratégia global na questão 2, a dupla leu e digitou o
coeficiente linear corretamente desde o início, tendo ainda, determinado
corretamente o valor absoluto de a, embora tenha errado o sinal do mesmo. Em
seguida, o sinal foi corrigido e o coeficiente angular determinado de forma correta.
Percebeu-se aqui um domínio do saber relativo a b e aparentemente um domínio
em relação ao a.
91
A partir da questão 3, a estratégia adotada passa a ser a pontual, ou seja,
a dupla lia o coeficiente linear, consultava uma coordenada e escrevia uma
equação cuja resolução dava o coeficiente procurado.
Esta dupla, na maioria das questões utilizou uma estratégia pontual não
prevista por nós, pela qual se utiliza da coordenada do ponto de intersecção da
reta com o eixo dos x, sem perder o bônus.
Nas questões 7, 12 e 13 é feita uma leitura e digitação correta dos dois
coeficientes. Acredita-se que esses acertos em relação ao coeficiente angular se
tenham dado em virtude do estudo feito na primeira sessão informática a respeito
das bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares.
Pré-teste/pós-teste (Augusto/Amanda): os resultados do pós-teste
mostram um progresso manifestado nos saberes relativos ao coeficiente b. No
entanto, em relação ao coeficiente angular, houve pouco progresso, a não ser a
respeito do coeficiente a nulo. Augusto, com um sucesso global associado ao
conjunto dos conhecimentos que são colocados em jogo pelos testes, passando
de 35% antes da sessão informática a 54% depois, Amanda passando de 29%
para 56%.
Dupla 3 (Ana/Cristiane):
Questão 1:
Registro algébrico Coordenadas
y = 5x - 5 (2,5), (-2, -15), (1,0), (0,-5)
Histórico
Atividade Bônus Dados Bônus restantes Tempo Total Coordenadas
0001 4 2 00:01:45 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:21 1 -5 E
00:01:24 5 -5 A
92
Estratégias adotadas pela dupla: 1ª) global de leitura/estimativa e 2ª
pontual.
A dupla começou a sessão (jogo) utilizando a estratégia global,
demonstrando compreender logo na primeira tentativa o significado de b,
estimando o coeficiente a = 1, errando a estimativa. Em seguida, consultou a
coordenada (2,5) e, uma vez que já havia lido e digitado corretamente o
coeficiente b, escreveu uma equação cuja resolução dava o coeficiente angular
procurado. Aqui nada se pôde afirmar a respeito dos saberes relativos ao
coeficiente angular.
Questão 2:
Registro algébrico Coordenadas
y = x - 7 (-8,1), (-1, -6), (2,-9), (-7,0), (0, -7)
Histórico:
Atividade Bônus Dados Bônus restantes Tempo Total Coordenadas
0002 4 1 00:05:43 0
Tempo a b Erro/Acerto
00:01:44 -2 -7 E
00:01:01 -1 -5 E
00:02:21 -1 5 E
00:00:37 -1 -7 A
A dupla provavelmente utilizou a estratégia de tentativa/erro, errando as 3
primeiras tentativas. Na quarta, "leu" corretamente o coeficiente b e o coeficiente
a. Não sabemos se ela para encontrar o a usa a estratégia tentativa/erro ou se
percebe o paralelismo da reta estipulada pelo professor com a bissetriz dos
quadrantes pares.
93
Questão 3:
Registro algébrico Coordenadas
y = -6x (-1,6), (2, -12), (0,0)
Histórico:
Atividade Bônus Dados Bônus restantes Tempo Total Coordenadas
0003 4 1 00:02:47 1
Tempo a b Erro/Acerto
00:00:44 -3 0 E
00:00:11 -4 0 E
00:01:25 -5 0 E
Estratégia adotada pela dupla: 1ª) à 3ª) global, e, 4ª) pontual.
A dupla "leu" e digitou corretamente o coeficiente linear e estimou o
angular de forma organizada. No entanto, errou a questão, pois, ao utilizar o
último bônus para consultar a coordenada, não teve a oportunidade de digitar o
valor encontrado algebricamente, por uma falha do software.
Percebeu-se aqui o domínio dos saberes relacionados ao coeficiente linear
nulo e do sinal do coeficiente angular. Imaginamos que o baixo número de bônus
possa ter proporcionado uma fuga da estratégia global.
A partir da questão 4, a estratégia adotada passa ser a global, com
exceção das questões 6 e 14. Em relação a tal fato, deve-se verificar o histórico
em anexo.
Pré-teste/pós-teste (Ana/Cristiane): os resultados do pós-teste mostram
um progresso manifestado nos saberes relativos aos coeficientes a e b. O
trabalho com a utilização, em maior quantidade, da estratégia global, parece ter
implicações sobre os conhecimentos ligados ao coeficiente angular. Cristiane,
com um sucesso global associado ao conjunto dos conhecimentos que são
colocados em jogo pelos testes, passando de 26% antes da sessão informática a
84% depois, Ana passando de 24% para 92%.
94
Conclusões:
A análise das estratégias dos trabalhos dos alunos registrados nos
fichários informáticos, os rascunhos, os testes, as observações do professor
sobre o desenrolar do curso e as sessões informáticas mostraram que, em
primeiro lugar, os alunos escolhiam predominantemente as estratégias pontuais,
às vezes se enganando nos cálculos algébricos e raramente chegando ao
sucesso na sessão (jogo). Mesmo quando eles acertavam com estabilidades
como foi o caso da dupla 2, tal sucesso aparentemente não produziu efeito sobre
o resultado do pós-teste, não progredindo verdadeiramente entre pré-teste e pós-
teste.
Além disso, a análise mostrou que alguns alunos entre os que mudavam
das estratégias pontuais passando para as globais, chegaram a apresentar um
sucesso no pós-teste, como foi o caso da dupla 3 (Ana/Cristiane), que concretizou
esse sucesso em sessão apresentando notável progresso entre o pré-teste e o
pós-teste.
Os resultados tirados da experimentação nos permitiram mostrar alguns
limites da contribuição da ferramenta informática na aprendizagem:
1) A dificuldade de entrar no jogo durante a sessão coloca em
evidência a necessidade de um tempo maior com objeto em
estudo: a reta-equação, bem como, coma familiarização com
o programa antes do jogo;
2) Em alguns casos, os saberes manifestados com estabilidade
na sessão jogo não foram utilizados no pós-teste. Portanto, a
transferência da aquisição da sessão pós-teste não é efetiva;
3) Um baixo número de bônus estipulado por questão, parece
ter proporcionado uma fuga das duplas em relação à
estratégia global. Assim, percebemos os bloqueios criados
pelo medo de gastar o bônus. Talvez, se tivéssemos
estipulado um maior número de bônus, as duplas não iriam
95
recorrer tanto aos cálculos algébricos e poderiam analisar
melhor o significado do coeficiente angular na sessão (jogo);
4) O sucesso com a estratégia pontual, como é o caso da dupla
2, não conduziu a um progresso pré-teste/pós-teste.
Acreditamos que tal estratégia aparecia como um obstáculo à
aprendizagem da articulação algébrico-gráfica. Em
compensação, com a estratégia global, vimos como os alunos
(por exemplo, a dupla 3), quando chegavam a abordar a
questão pelas tentativas, formulando conjecturas,
apresentavam uma boa capacidade de estimar o coeficiente
angular.
2. Considerações Finais
O presente estudo tentou responder às seguintes questões:
• A ferramenta informática, pelas suas capacidades gráficas,
calculatórias e de animação, pode proporcionar um ambiente de
aprendizagem propício para o aluno construir seu conhecimento por
meio da conversão do registro gráfico para o algébrico da função afim?
• O uso de um software do tipo jogo ajuda na aprendizagem dos
conceitos matemáticos, de modo que fora do ambiente informático o
aluno seja capaz de utilizar tal aprendizagem?
Os resultados que sobressaem do conjunto deste trabalho são:
a) As observações efetuadas no pré-teste mostram a insegurança dos
alunos em face às tarefas que lhes parecem quase sem sentido. No
pós-teste essas tarefas visivelmente ficaram mais acessíveis.
b) As experimentações tendem, portanto, a comprovar que a aquisição de
saberes relacionados aos coeficientes da equação y = ax + b por meio
96
da articulação dos registros gráfico e algébrico da função afim, em
geral resistente ao ensino usual, é no entanto, susceptível de saltos
qualitativos importantes via a interação aluno/software, ainda que de
curta duração, com um ambiente informático.
c) Pesquisas mostram que situações contextualizadas poderiam favorecer
o estabelecimento de conexões mais profundas a respeito da
conversão do registro gráfico ao algébrico. Não as utilizamos neste
estudo, porém, visando maior eficácia de aprendizado acreditamos que
um trabalho utilizando tais situações poderia ser desenvolvido em
complemento a este;
d) O registro das interações aluno/máquina, integrando o programa pelos
alunos, nos deu acesso a dados que permitiram identificar os
fenômenos dificilmente perceptíveis nos ambientes usuais;
e) A aquisição de saberes se deu inicialmente em situações de
aprendizagens, nas quais as atividades exigiam a participação ativa do
aluno. Em geral, isto se deu por meio de uma atividade de resolução de
problemas no computador, na qual o aluno pôde realizar o ciclo
descrição-execução-reflexão-depuração. O aluno teve que articular
saberes e estratégias já conhecidas e ainda buscar novos saberes.
Desta forma, os alunos puderam agir, expressar-se e desenvolver o
seu próprio pensamento, dando um encaminhamento lógico às suas
idéias, buscando soluções diferenciadas e criativas.
f) A visualização e a experimentação tiveram um importante papel na
compreensão de alguns saberes ligados aos coeficientes da função
afim. A visualização desempenhou o papel de guia em algumas
investigações dos estudantes. Como ressalta Borba (2001), a
importância da visualização não deve ser utilitária, no sentido de ajudar
na compreensão da álgebra como ela realmente é ou resolver os
problemas da educação matemática; a visualização deve ser vista
como um modo particular de conhecer, dentre muitos, que é parte da
atividade matemática.
97
g) O jogo apresentou-se como uma forma interessante de resolver
problemas, pois permitiu que estes fossem apresentados de modo
atrativo e favorecendo a criatividade na elaboração de estratégias de
resolução e busca de soluções. Possibilitou a construção de uma
atitude positiva perante os erros, no decorrer da ação do aluno, sem
deixar marcas negativas e contribuiu para um clima de cooperação
entre os alunos.
h) Essa pesquisa foi certamente limitada: a um tipo preciso de software, a
um domínio matemático específico e se referiu a um problema
específico. Mostrou que a ferramenta informática bem gerada, pode
construir uma ajuda real à aprendizagem. Podemos pensar que as
aprendizagens obtidas aqui, poderiam acontecer sem o ambiente
informático no quadro do ensino usual. Nós não o negamos.
Queremos, no entanto, insistir sobre o interesse que pode apresentar
para o ensino um programa que sabemos que permite ao aluno, de
forma autônoma, aprofundar certas aprendizagens escolares;
i) Esse trabalho mostrou, enfim, como as familiaridades construídas via
ambiente computacional podem conduzir a uma melhora na
capacidade de precisar e estimar os coeficientes do registro algébrico
de uma função afim;
j) Duas questões podem ser levantadas para futuros estudos a partir
desta:
1) Avaliar a qualidade dos conhecimentos construídos no ambiente
informático com outros tipos de função;
2) Estudar as similaridades existentes entre os processos de
aprendizagem num ambiente "tradicional" e os processos
identificados por nossa pesquisa.
98
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SOUZA, T.A. Calculadoras Gráficas: uma proposta Didático-Pedagógica para o
tema funções quadráticas. Dissertação de mestrado. UNESP-SP, 1996.
VALENTE, J. A. Por Que o Computador na Educação? In: Computadores e
Conhecimento: Repensando a Educação, Campinas: Unicamp, 1993.
VALENTE, J. A.; ALMEIDA, F. J. Visão Analítica da Informática na Educação no
Brasil: a questão da formação do professor. Revista Brasileira de Informática
na Educação – nº 1, set/1997.
100
Anexo 1
Pré-teste (função afim)
Em todos os exercícios que seguem, para um número natural n a reta rn
tem para equação y = anx + bn onde an e bn são números reais.
Nos anexos estão os quadros e em cada um deles estão representadas
retas de equação y = anx + bn
Exercício I: Observe o quadro 1 e responda:
1) Dentre os coeficientes angulares a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , quais são
iguais?___________________________________________________
2) Dentre os coeficientes lineares b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , quais são
iguais?___________________________________________________
Exercícios II: Observe o quadro 2 e responda:
1) Quais os coeficientes angulares a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 são:
a) Positivos__________________________
b) Negativos_________________________
c) Nulos_____________________________
2) Quais os coeficientes lineares b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 são:
a) Positivos__________________________
b) Negativos_________________________
c) Nulos_____________________________
Exercícios III: Observe o quadro 3 e responda:
1) Colocar os coeficientes angulares a1 , a2 , a3 , a4 em ordem crescente:-
_________________________________________________________
2) Colocar os coeficientes lineares b1 , b2 , b3 , b4 em ordem
crescente:_________________________________________________
Exercícios IV: Observe o quadro 4 e responda:
1) Dentre os números a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , escrever as duplas de
números que são opostos: ___________________________________
2) Dentre os números b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , escrever as duplas de
números que são opostos:___________________________________
101
Anexo 2
Retas
Quadro 1:
Quadro 2:
r2 r3 Y r6
0 X r4
r5
r1
r4 r2 Y r5 r3
0 X r4
r5
r1
102
Quadro 3:
Quadro 4:
r4 r2 Y r1
r3
0 X
r6 r2 Y r3 r4
r1 r5
0 X
103
Anexo 3
Função afim (y = ax + b)
ATIVIDADE 1 (PRELIMINAR: RETAS)
Com a ajuda do programa, responda as questões abaixo:
Nas questões 1, 2 e 3 atribua um valor qualquer para a.
1) Considerando a função y = ax + b. O que acontece com a reta quando vocêvaria o b? (use a animação).
2) O que se pode afirmar a respeito do gráfico da função y = ax + b, quando b épositivo? Quando b é negativo? E quando b vale zero?
3) Considerando as funções do tipo y = ax + b. O que acontece com os seusrespectivos gráficos, nos seguintes casos:a) Quando b = 1 e quando b > 1 (use retas diferentes no segundo caso);b) Quando b = -1 e quando b < -1 (use retas diferentes no segundo caso).
4) Que relação você vê entre o valor do coeficiente b e a reta?
Nas questões 5, 6 e 7 atribua um valor qualquer para b.
5) Considerando a função y = ax + b. O que acontece com a reta quando vocêvaria o a? (use a animação).
6) O que se pode afirmar a respeito do gráfico da função y = ax + b, quando a épositivo? Quando a é negativo? E quando a vale zero?
7) Considerando as funções do tipo y = ax. O que acontece com os seusrespectivos gráficos, nos seguintes casos:a) Quando a = 1 e quando a > 1 (use retas diferentes no segundo caso);b) Quando a = -1 e quando a < -1 (use retas diferentes no segundo caso).
8) Que relação você vê entre o valor do coeficiente a e a reta?
9) Considere as duplas de funções:a) y = 2x e y = -2xb) y = x e y = 3xc) y = -x e y = -5xd) y = x + 1 e y = x - 1e) y = -3 x - 6 e y = -3x + 6
104
Trace seus gráficos com cores diferentes e escreva, de cada item, qual amudança ocorrida em suas posições gráficas.
10)Considere as funções:
• �y = x – 2
• y = -2x + 6
Trace seus gráficos e determine:a) Quais os pontos em que as retas cortam o eixo x. Anote os resultados.b) Que relação existe entre os pontos A(2, 0) e B(3, 0) e as retas?c) Como é possível saber algebricamente qual é o ponto de intersecção da
reta com o eixo x?
11)Verifique quais dos pontos4 A (10, 12), B(0,4) e C(-2, 0) pertence ao gráfico dafunção y = x + 2? Explique sua resposta. (Use a janela “tabela/expressõesalgébricas” do programa para confirmar sua resposta).
12)Uma reta passa pelo ponto P(1, -3). Encontre o valor do coeficiente a dafunção do 1º grau, quando o coeficiente b for igual a 3. (confirme sua respostausando a janela “tabela/expressões algébricas” do programa)
• Repita o procedimento acima para o ponto M(2, 7), quando o coeficiente bfor igual a -3.
13)Com as coordenadas dos pontos A (-1, 1), B(1, 5), forme um sistema de duasequações do tipo y = ax + b, e responda como poderíamos encontrar aequação da reta que passa por esses pontos?
14)Considerando as funções do tipo y = (1/a)x + b. O que acontece com os seusrespectivos gráficos, nos seguintes casos:a) Quando a= 1 e quando1< a < 8 (use retas diferentes no segundo caso);b) Quando a = -1 e quando -1 < a < -8 (use retas diferentes no segundo caso).
15)Considere as duplas de funções:a) y = x e y = (1/5)xb) y = -1x e y = (-1/4)x
Trace seus gráficos com cores diferentes e escreva, de cada item, qual amudança ocorrida em suas posições gráficas.
4 Ponto P(x, y): é um ponto do plano cartesiano que possui a abscissa x e a ordenada y. Sendo x e y ascoordenadas do ponto P.
105
Anexo 4: Histórico, evolução e estatística da 2ª sessão informática(jogo)
HISTÓRICO DAS ATIVIDADES (jogo) Professor :VALDAO Aluno(a) : AMANDA/AUGUSTO (Dupla 2) Função do Tipo :1 - f(x) = ax + b
Atividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0001 4 000:02:28 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:08 5 5 0E00:00:43 5 4 0E00:00:25 5 6 0E00:01:12 5 5 0EAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0003 4 300:01:55 1Tempo a b cErro/Acerto00:01:55 -6 0 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0004 3 300:00:57 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:57 1 3 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0005 3 300:00:46 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:46 -4 8 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0006 3 300:01:05 000:01:05 -3 -6 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0007 3 300:00:16 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:16 1 0 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0008 3 300:00:35 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:35 -1 5 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas
106
0009 3 300:00:37 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:37 2 4 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0010 3 200:00:33 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:33 4 0 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0011 3 300:00:23 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:23 1 -4 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0012 3 200:00:27 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:27 -1 0 0A
HISTÓRICO DAS ATIVIDADES (jogo)Professor :VALDAOAluno(a) :AMANDA/AUGUSTO (Dupla 2)
Função do Tipo :2 - f(x) = (1/a)x + b
Atividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0013 3 000:02:24 0Tempo a b cErro/Acerto00:01:39 2 0 0 E00:00:33 2 0 0 E00:00:12 3 0 0 EAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0014 3 300:01:24 0Tempo a b cErro/Acerto00:01:24 -7 1 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0015 3 200:01:10 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:53 -4 -3 0E
107
00:00:17 4 -3 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0016 3 200:00:56 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:56 -2 0 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0017 3 200:01:01 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:50 -3 2 0 E00:00:11 3 2 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0018 3 300:01:09 0Tempo a b cErro/Acerto00:01:09 -6 -2 0A
HISTÓRICO DAS ATIVIDADES (jogo)Professor :VALDAOAluno(a) :ANA/CRISTIANE (Dupla 3)
Função do Tipo :1 - f(x) = ax + bAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0001 4 200:01:45 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:21 1 -5 0E00:01:24 5 -5 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0002 4 100:05:43 0Tempo a b cErro/Acerto00:01:44 -2 -7 0E00:01:01 -1 -5 0E00:02:21 -1 5 0E00:00:37 -1 -7 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0003 4 000:02:47 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:44 -3 0 0E00:00:11 -4 0 0E00:01:25 -5 0 0
108
EAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0004 3 100:03:05 0Tempo a b cErro/Acerto00:02:12 -2 3 0 E00:00:13 2 3 0 E00:00:40 1 3 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0005 3 200:02:57 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:17 -1 8 0E00:02:40 -4 8 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0006 3 000:09:34 1Tempo a b cErro/Acerto00:03:42 -1 6 0E00:05:31 -1 -6 0EAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0007 3 300:00:08 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:08 1 0 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0008 3 300:00:57 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:57 -1 5 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0009 3 300:02:36 0Tempo a b cErro/Acerto00:02:36 2 4 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0010 3 100:01:19 0Tempo a b cErro/Acerto00:01:01 2 0 0 E00:00:09 3 0 0 E00:00:09 4 0 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0011 3 200:01:48 0Tempo a b cErro/Acerto00:01:16 1 4 0 E
109
00:00:32 1 -4 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0012 3 300:02:06 0Tempo a b cErro/Acerto00:02:06 -1 0 0A
HISTÓRICO DAS ATIVIDADES (jogo)Professor :VALDAOAluno(a) :ANA/CRISTIANE (Dupla 3)
Função do Tipo :2 - f(x) = (1/a)x + b
Atividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0013 3 200:00:24 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:09 4 0 0 E00:00:15 5 0 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0014 3 100:02:04 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:20 -3 1 0E00:01:44 -7 1 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0015 3 000:01:48 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:19 1 3 0E00:01:20 3 -3 0E00:00:09 -4 -3 0EAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0016 3 300:00:31 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:31 -2 0 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0017 3 300:00:29 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:29 3 2 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0018 3 200:00:33 0Tempo a b cErro/Acerto
110
00:00:15 -4 -2 0E00:00:18 -6 -2 0A
HISTÓRICO DAS ATIVIDADES (jogo)Professor :VALDAOAluno(a) :LUCIANA/CAROL (Dupla 1)
Função do Tipo :1 - f(x) = ax + b
Atividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0001 4 200:01:59 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:37 3 -5 0 E00:01:22 5 -5 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0002 4 100:01:52 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:43 4 -7 0 E00:00:26 -3 -7 0E00:00:43 -1 -7 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0003 4 300:01:36 1Tempo a b cErro/Acerto00:01:36 -6 0 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0004 3 200:00:39 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:39 1 3 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0005 3 200:00:58 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:58 -4 8 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0006 3 200:00:50 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:50 -3 -6 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0007 3 300:00:19 0Tempo a b c
111
Erro/Acerto00:00:19 1 0 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0008 3 200:00:50 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:30 1 5 0 E00:00:20 -1 5 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0009 3 300:00:30 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:30 2 4 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0010 3 200:00:58 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:58 4 0 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0011 3 300:00:21 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:21 1 -4 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0012 3 300:00:28 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:28 -1 0 0 A
HISTÓRICO DAS ATIVIDADES (jogo)Professor :VALDAOAluno(a) :LUCIANA/CAROL (Dupla 1)
Função do Tipo :2 - f(x) = (1/a)x + b
Atividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0013 3 100:00:40 0Tempo a b cErro/Acerto00:00:12 3 0 0 E00:00:09 4 0 0 E00:00:19 5 0 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0014 3 100:02:40 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:49 6 1 0 E00:01:51 -7 1 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas
112
0015 3 200:01:00 1Tempo a b cErro/Acerto00:01:00 4 -3 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0016 3 100:01:35 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:20 -1 0 0E00:01:15 -2 0 0AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0017 3 200:00:45 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:45 3 2 0 AAtividade Bônus Dados Bônus Restante TempoTotal Coordenadas0018 3 200:00:53 1Tempo a b cErro/Acerto00:00:53 -6 -2 0A
113
114
115
116
117
118
119
