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1. Introdução

Existem indícios de que os primeiros conhecimentos de Geometria

foram desenvolvidos por volta de 2000 a.C. pelos babilônios, e

cerca de 1300 anos a.C. pelos egípcios, na tentativa de resolver

problemas do cotidiano, como a demarcação de terras ou a

construção de edifícios. No entanto, foram os gregos, por volta de

600 a.C., os primeiros a sistematizar e organizar tudo que se

conhecia sobre o assunto até sua época.

O principal trabalho dos gregos foi feito por Euclides, por volta de

300 a.C., que escreveu um tratado de Geometria, chamado

Elementos.

A preocupação central de Euclides em sua obra é a

demonstração de propriedades geométricas com o auxílio da

Lógica.

Da mesma forma que Euclides, iniciamos este livro apresentando

neste capítulo os conceitos primitivos, definições, postulados e

teoremas, que serão básicos para o desenvolvimento da

Geometria, aqui chamada euclidiana, em homenagem ao seu

principal organizador.

2. Conceitos Primitivos, Definições e Notações

Por que nem tudo pode ser definido em uma teoria?

Sempre que definimos algum elemento em uma teoria, usamos,

como ferramenta de linguagem, outros elementos já definidos

anteriormente.

A Base da Geometria

3

Exemplo

“Triângulo é a reunião de três segmentos consecutivos

determinados por três pontos não colineares”.

Essa definição só pode ser apresentada após o conhecimento

dos conceitos de: reunião, segmentos consecutivos e pontos não

colineares; e esses conceitos só podem ser apresentados a partir

de outros, e assim por diante.

Porém, essa seqüência de conceitos previamente apresentados

não pode ser prolongada indefinidamente. É necessário

estabelecer um ponto de partida, isto é, alguns conceitos devem

ser adotados sem definição (conceitos primitivos), para que todos

os demais possam ser apresentados a partir deles.

São conceitos primitivos na Geometria euclidiana:

• Ponto (indicado por letra maiúscula latina)

Exemplos

Reta (indicada por letra minúscula latina).

Exemplos

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Plano (indicado por letra minúscula grega)

Exemplos

Estar entre: um Conceito Primitivo

A noção de estar entre é um conceito primitivo que obedece às

seguintes condições:

1o) Se P está entre A e B, então A, B e P são distintos dois a dois.

2o) Se P está entre A e B, então A, B e P são colineares (estão na mesma

reta).

3o)Se P está entre A e B então A não está entre B e P, e B não está entre

A e P.

4o) Se A e B são dois pontos distintos, então existe um ponto P que está

entre A e B.

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Exemplos

Definição de Segmento de Reta

Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a

figura (*) constituída por eles e por todos os pontos que estão

entre eles.

Exemplo

O segmento de reta determinado por A e B é representado por

𝐴𝐵 , dizemos que A e B são suas extremidades, e representamos

por AB a medida de 𝐴𝐵 ,.

𝐴𝐵 = 𝐴, 𝐵 ∪ {𝑃 𝑃 𝑒𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑒 𝐵}

(*) Para apresentarmos a teoria da Geometria de modo mais

sucinto, admitiremos alguns conceitos como conhecidos, como o

de figura (conjunto de pontos não vazio).

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Segmentos Congruentes

Definição – Dois segmentos de reta são chamados congruentes

quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade.

Exemplo

Os segmentos de reta 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 , da figura, têm medida 4 cm,

portanto são congruentes.

Indica-se: 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷

Divisão de Segmento

Definição 1 – Se P é um ponto que está entre A e B, dizemos que P

divide interiormente 𝐴𝐵 numa razão𝑘 =𝑃𝐴

𝑃𝐵.

Exemplo

Na figura abaixo AP = 5 cm e PB = 6 cm, então:

P divide 𝐴𝐵 na razão 𝑘 =𝑃𝐴

𝑃𝐵=

5

6.

7

Observação

No exemplo acima, o ponto P divide o segmento de reta 𝐵𝐴 na

razão 𝑘′ =𝑃𝐵

𝑃𝐴=

6

5.

Definição 2 – Se A é um ponto entre P e B, ou B é um ponto entre

A e P, dizemos que o ponto P divide exteriormente 𝐴𝐵 na razão

𝑘 =𝑃𝐴

𝑃𝐵.

Exemplo

Na figura abaixo PA = 3 cm e AB = 5 cm, então:

P divide 𝐴𝐵 na razão 𝑘 =

𝑃𝐴

𝑃𝐵=

3

8.

Observação

No exemplo acima, o ponto P divide o segmento de reta 𝐵𝐴 na

razão 𝑘′ =𝑃𝐵

𝑃𝐴=

8

3

Ponto Médio de Segmento de Reta

Definição – Ponto médio de um segmento de reta é o ponto que

divide o segmento interiormente na razão 1.

Exemplo

Na figura 𝐴𝑃 ≅ 𝑃𝐵 , então P é o ponto médio de 𝐴𝐵, pois P divide

𝐴𝐵 na razão 𝑘 =𝑃𝐴

𝑃𝐵= 1.

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