A complexidade do pensamento matemático e a qualidades das aprendizagens: um caso com...
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*Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto Promover o Sucesso em Matemática (contrato PTDC/CPE-CED/121774/2010). Propomos um modelo de análise para as respostas dos alunos, sustentado nas teorizações de Tall sobre o pensamento matemático, na taxonomia SOLO e no modelo da teoria da atividade de Engeström que conduz à conjetura que o pensamento matemático pode ser visto de duas formas diferentes: de forma processual como um processo memorizado e/ou um procedimento e de forma proceptual. A análise que suporta a criação do modelo e sua sustentação é realizada com base na complexidade matemática das respostas dadas em situação de aprendizagem. Neste poster observa-se uma fase intermédia do processo, com a utilização do modelo para analisar respostas a uma questão que envolve raciocínio matemático usando relações entre lógica e expressões numéricas. Referências. Biggs, J. & Collis, K. (1982). Evaluating the quality of learning. London: Academic Press. Engeström, Y, Miettinen, R. & Punamäki, R-L (Eds) (1999). Perspectives on Activity Theory. Cambridge: Cambridge University Press. Gray, E. & Tall D. (1994). Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of Simple Arithmetic. The Journal for Research in Mathematics Education , 25 (2), 116–140. A complexidade do pensamento matemático e a qualidade das aprendizagens: um caso com quantificadores, números e lógica* Fernando Luís Santos 1 & António Domingos 2 1 Instituto Piaget & UIED FCT-UNL, ([email protected]) 2 Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa & UIED FCT-UNL, ([email protected]) Níveis (Taxonomia SOLO) Pensamento matemático Ação do aluno Abstrato (Extended abstract) O aluno conceptualiza a um nível superior ao requerido na própria aprendizagem. Pode generalizar para novas áreas. Pensamento proceptual Proceito, conhecimento significativo e conhecimento derivado. Teoriza, generaliza, apresenta hipótese, reflete. Relacional Indica uma orquestração entre factos e teorias, ação e objetivos. Compreensão de vários componentes que são integrados conceptualmente. Pode aplicar o conceito a problemas familiares ou situações de trabalho. Compara, explica as causas, integra, analisa, relata, aplica. Multi-estrutural Indica compreensão de limites, mas não de sistemas de rede. Compreende os vários componentes, mas de uma forma discreta. Tem uma coleção de ideias ou conceitos sobre o assunto, mas ainda desorganizadas. Não é capaz de relacionar itens de uma lista. Pensamento processual Procedimento e conhecimento memorizado. Enumera, classifica, descreve, lista, combina, trabalha com algoritmos. Uni-estrutural Compreensão concreta e minimalista de uma área. Focalizado num tópico conceptual em detrimento do panorama geral. Identifica, memoriza, realiza procedimentos simples. Pré-estrutural Não demonstra compreensão. Não consegue relacionar. O modelo foi aplicado no contexto do raciocínio matemático analisando a utilização de quantificadores e operadores lógicos em expressões numéricas, que apesar de ser um tópico pouco trabalhado fora do ensino superior, permite evidências de vários tipos de pensamento matemático e relações que os alunos estabelecem em relação a estes objetos matemáticos. Foram selecionados três alunos que pelas suas respostas evidenciam tipos diferentes de raciocínio como forma de salientar a utilidade do modelo de análise. Neste episódio um dos investigadores foi também o professor. Sistema de atividade - aluno Sistema de atividade - professor Modelo de análise Nível SOLO esperado: relacional Aluno A. Artefacto Objeto ↔ Simbólico com erros. Memorização de procedimentos. Regras Objeto ↔ Resposta incompleta e diferente do esperado. Nível SOLO: uni-estrutural Pensamento processual, com evidências de conhecimento memorizado. Aluno B. regras ↔ objeto artefacto objeto ↔ Texto sem representação simbólica. regras ↔ objeto artefacto objeto ↔ Resposta diferente do esperado. Nível SOLO: multi-estrutural Pensamento proceptual, com evidências de conhecimento significativo. Aluno C. Sem contradições. Texto, simbólico. Sem contradições Resposta esperada e mais completa. Nível SOLO: relacional. Pensamento proceptual, com evidências de conhecimento significativo. Aluno Resposta Conteúdos, processos e procedimentos Professor Taxonomia SOLO, proceito, bifurcação proceptual Conhecimento expresso Conhecimento avaliado Conhecimento do conteúdo Normas sociomatemáticas Curso de Educação Básica Papel do aluno Normas sociomatemáticas Formação inicial de professores; Educação matemática Lecionação, avaliação e investigação Resposta O enunciado da questão é o seguinte: Indique o valor lógico e negue de seguida as seguintes expressões, explicando de forma detalhada como chegou aos resultados: a ¿ A escolha das duas alíneas permite a identificação e a triagem dos dois tipo de pensamento a analisar, nomeadamente o pensamento processual e o pensamento proceptual, procurou-se neste caso, um tipo de questão que fornecesse evidências de bifurcação proceptual, o que ocorreu em alguns dos casos analisados. A questão foi identificada como relacional recorrendo à taxonomia SOLO, onde seriam esperadas respostas dentro do contexto utilizando os dados relevantes e que os conceitos fossem identificados na descrição escrita da resposta. Para o exercício em si, seria de esperar mais do que a utilização de processos e procedimentos. Apesar do estudo relatado neste texto ainda estar em desenvolvimento, já evidencia alguns resultados interessantes. Mostrou que existem diferenças significativas entre os vários tipos de resposta dada pelos alunos, salientados pelas dimensões do modelo de análise. Os alunos que ultrapassam a bifurcação proceptual evidenciam, e relata-se nas transcrições das suas respostas, um conhecimento significativo dos objetos matemáticos e mesmo das regras, processos e procedimentos necessários para resolver as questões apresentadas, em linha com as teorizações de Gray e Tall (1994) sobre o proceito.
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*Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto Promover o Sucesso em Matemática (contrato PTDC/CPE-CED/121774/2010).
Propomos um modelo de análise para as respostas dos alunos, sustentado nas teorizações de Tall sobre o pensamento matemático, na taxonomia SOLO e no modelo da teoria da atividade de Engeström que conduz à conjetura que o pensamento matemático pode ser visto de duas formas diferentes: de forma processual como um processo memorizado e/ou um procedimento e de forma proceptual.
A análise que suporta a criação do modelo e sua sustentação é realizada com base na complexidade matemática das respostas dadas em situação de aprendizagem. Neste poster observa-se uma fase intermédia do processo, com a utilização do modelo para analisar respostas a uma questão que envolve raciocínio matemático usando relações entre lógica e expressões numéricas.
Referências. Biggs, J. & Collis, K. (1982). Evaluating the quality of
learning. London: Academic Press.Engeström, Y, Miettinen, R. & Punamäki, R-L (Eds)
(1999). Perspectives on Activity Theory. Cambridge: Cambridge University Press.
Gray, E. & Tall D. (1994). Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of Simple Arithmetic. The Journal for Research in Mathematics Education, 25 (2), 116–140.
A complexidade do pensamento matemático e a qualidade das aprendizagens: um caso com quantificadores, números e lógica*Fernando Luís Santos1 & António Domingos2
1Instituto Piaget & UIED FCT-UNL, ([email protected])2Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa & UIED FCT-UNL, ([email protected])
Níveis (Taxonomia SOLO)Pensamento matemático
Ação do aluno
Abstrato (Extended abstract) O aluno conceptualiza a um nível superior ao requerido na própria aprendizagem. Pode generalizar para novas áreas. Pensamento
proceptual Proceito, conhecimento significativo e conhecimento derivado.
Teoriza, generaliza, apresenta hipótese, reflete.
RelacionalIndica uma orquestração entre factos e teorias, ação e objetivos. Compreensão de vários componentes que são integrados conceptualmente.Pode aplicar o conceito a problemas familiares ou situações de trabalho.
Compara, explica as causas, integra, analisa, relata, aplica.
Multi-estruturalIndica compreensão de limites, mas não de sistemas de rede. Compreende os vários componentes, mas de uma forma discreta.Tem uma coleção de ideias ou conceitos sobre o assunto, mas ainda desorganizadas. Não é capaz de relacionar itens de uma lista. Pensamento
processual Procedimento e conhecimento memorizado.
Enumera, classifica, descreve, lista, combina, trabalha com algoritmos.
Uni-estruturalCompreensão concreta e minimalista de uma área. Focalizado num tópico conceptual em detrimento do panorama geral.
Identifica, memoriza, realiza procedimentos simples.
Pré-estruturalNão demonstra compreensão.
Não consegue relacionar.
O modelo foi aplicado no contexto do raciocínio matemático analisando a utilização de quantificadores e operadores lógicos em expressões numéricas, que apesar de ser um tópico pouco trabalhado fora do ensino superior, permite evidências de vários tipos de pensamento matemático e relações que os alunos estabelecem em relação a estes objetos matemáticos. Foram selecionados três alunos que pelas suas respostas evidenciam tipos diferentes de raciocínio como forma de salientar a utilidade do modelo de análise. Neste episódio um dos investigadores foi também o professor.
Sistema de atividade - aluno Sistema de atividade - professor Modelo de análiseNível SOLO esperado: relacional
Aluno A. Artefacto Objeto↔
Simbólico com erros.Memorização de procedimentos.
Regras Objeto↔Resposta incompleta e diferente do
esperado.
Nível SOLO: uni-estruturalPensamento processual, com evidências de conhecimento
memorizado.Aluno B.
regras ↔ objetoartefacto objeto↔
Texto sem representação simbólica.
regras ↔ objetoartefacto objeto↔
Resposta diferente do esperado.
Nível SOLO: multi-estruturalPensamento proceptual, com evidências de conhecimento
significativo.
Aluno C. Sem contradições.Texto, simbólico.
Sem contradiçõesResposta esperada e mais completa.
Nível SOLO: relacional.Pensamento proceptual, com evidências de conhecimento
significativo.
Aluno Resposta
Conteúdos, processos e procedimentos
Professor
Taxonomia SOLO, proceito, bifurcação proceptual
Conhecimento expresso
Conhecimento avaliado
Conhecimento do conteúdo
Normas sociomatemáticas
Curso de Educação
Básica
Papel do aluno
Normas sociomatemáticas
Formação inicial de professores; Educação
matemática
Lecionação, avaliação e investigação
Resposta
O enunciado da questão é o seguinte:
Indique o valor lógico e negue de seguida as seguintes expressões, explicando de forma detalhada como chegou aos resultados:
a¿
A escolha das duas alíneas permite a identificação e a triagem dos dois tipo de pensamento a analisar, nomeadamente o pensamento processual e o pensamento proceptual, procurou-se neste caso, um tipo de questão que fornecesse evidências de bifurcação proceptual, o que ocorreu em alguns dos casos analisados.
A questão foi identificada como relacional recorrendo à taxonomia SOLO, onde seriam esperadas respostas dentro do contexto utilizando os dados relevantes e que os conceitos fossem identificados na descrição escrita da resposta. Para o exercício em si, seria de esperar mais do que a utilização de processos e procedimentos.
Apesar do estudo relatado neste texto ainda estar em desenvolvimento, já evidencia alguns resultados interessantes. Mostrou que existem diferenças significativas entre os vários tipos de resposta dada pelos alunos, salientados pelas dimensões do modelo de análise. Os alunos que ultrapassam a bifurcação proceptual evidenciam, e relata-se nas transcrições das suas respostas, um conhecimento significativo dos objetos matemáticos e mesmo das regras, processos e procedimentos necessários para resolver as questões apresentadas, em linha com as teorizações de Gray e Tall (1994) sobre o proceito.
