A envolvente

Universidade Federal da ParabaCentro de Cincias Exatas e da NaturezaDepartamento de Matemtica Mestrado Prossional em Matemtica emRede Nacional - PROFMAT

A Envoltria

por

Jos Luiz Lucena Travassos

sob orientao do

Prof. Dr. Napolen Caro Tuesta

Trabalho de Concluso de Curso apresentada ao Corpo Docente do Mestrado Prossional em Matemtica em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisito parcial para obteno do ttulo deMestre em Matemtica.

agosto/2013Joo Pessoa - PB

O presente trabalho foi realizado com apoio da CAPES, Coordenao de Aperfeioamento de

Pessoal de Nvel Superior.

A Envoltriapor

Jos Luiz Lucena TravassosTrabalho de Concluso de Curso apresentada ao Corpo Docente do Mestrado Prossional em Matemtica em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisitoparcial para obteno do ttulo de Mestre em Matemtica.rea de Concentrao: Geometria.Aprovada por:

Prof. Dr. Napolen Caro Tuesta

-UFPB (Orientador)

Prof. Dr. Lizandro Snchez Challapa

- UFPB

Prof. Dr. Miguel Fidencio Loayza Lozano

agosto/2013

- UFPE

AgradecimentosQuero agradecer a Deus que esteve ao meu lado nos momentos de dvidas eansiedades.Aos idealizadores desse programa de mestrado nacional, que enfrentaram muitotrabalho para p-lo em prtica, e aos professores do Departamento de Ps-graduaoem Matemtica da UFPB-Profmat pelo exemplo de dedicao e competncia, emespecial ao meu orientador Napolen Caro Tuesta.Aos companheiros de curso que ao longo desses dois anos de muitos estudosestavam sempre dispostos a ajudar a todos, em especial a: Larcio Francisco Feitosa;Charleson Clivandir de Araujo Silva e Luis Rodrigo D'andrada Bezerra, pelas crticase sugestes.A minha esposa Ana Silva Lima Travassos, pelas horas de digitao, carinho,conforto e aos meus lhos Henrique Luiz e Isabela pela pacincia e disposio aajudar, principalmente no ingls.

Dedicatria

minha me Lilia, a primeira incentivadora da minha caminhada e ao meupai Lula, pelo apoio de sempre. minha esposa Aninha, pelo carinho, incentivo e dedicao. Aos meus lhosHenrique e Isabela, melhor presente deDeus na minha vida.

Resumo

Com auxlio do softwere GeoGebra, como recurso didtico para ilustrar umafamlia de curvas e sua Envoltria.No primeiro captulo apresenta alguns exemplos de obteno da equao de umafamlia de curva (segmentos, retas, circunferncia) e algumas Envoltrias (reta, circunferncia, parbola, elipse, hiprbole, lemniscata equiltera, cardiide) dessasfamia de curvas, como tambm a deduo de algumas propriedades da parbolae da hiprbole.No segundo captulo apresentamos um procedimento para a determinao daequao dessa envoltria com alguns exemplos de manipulaes algbricas paradetermin-la.

v

Abstract

An introduction to the family of curves and their Engaging, which is the sameas Envelope (term used in English) or wrap.The rst chapter presents some examples of obtaining the equation of a familyof curves (segments, lines, circumference) and some Involving (line, circle, parabola,ellipse, hyperbola, lemniscate equilateral, cardioid) family of these curves, as well asthe deduction some properties of the parabola and the hyperbola.The second section presents a procedure for determining the envelope of thisequation with some examples of algebraic manipulations to determine it.

vi

Sumrio1 Famlias de Curvas em R2

1

1.1 A equao de uma Famlia de curvas em R . . . . . . . . . . . . .1.1.1 Segmento de comprimento constante . . . . . . . . . . . . .1.1.2 Segmentos que determinam tringulos retngulos de rea constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3 Segmentos de soma constante . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.4 Ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.5 Circunferncias com centro numa reta . . . . . . . . . . . . .1.1.6 Circunferncia e um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.7 Vo de um avio supersnico . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Famlia de curvas e suas envoltrias . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Segmento e a perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Circunferncia com centro numa circunferncia . . . . . . . .1.2.3 Trajetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4 Parbola de Segurana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.5 Propriedades da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6 Zona de audibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.7 Algumas propriedades da hiprbole . . . . . . . . . . . . . .1.2.8 Lemniscata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.9 Cardiide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

..

12

................

456781012121314161822232829

2 Clculo da Envoltria

31

2.1 A diferenciao e a equao da Envoltria . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Interseo de uma famlia de curvas . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Curva discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 A astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4 Segmento que determinam tringulos retngulos de rea constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.5 Segmento e soma constante . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.6 Segmento e sua perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.7 Circunferncias de raio R e centro numa reta . . . . . . . . .vii

....

31323639

....

42434546

2.1.82.1.92.1.102.1.11

Circunferncias com centro numa CircunfernciaA Hiprbole como envoltria . . . . . . . . . . .A Elipse como envoltria . . . . . . . . . . . . .Lemniscata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....

....

....

....

....

....

....

....

A

47484952

55A.1 Introduo . . . . . . . . . . .A.1.1 Retas e circunfernciasA.1.2 Elipse . . . . . . . . .A.1.3 Parbola . . . . . . . .A.1.4 Hiprbole . . . . . . .A.1.5 Lemniscata . . . . . .A.1.6 Cardiide . . . . . . .A.2 Noo de limite e derivada . .A.3 Derivada Parcial . . . . . . .

.........

.........

Referncias Bibliogrcas

.........

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.........

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.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

555557585860616363

64

viii

IntroduoA Envoltria data de 1678 quando C. Huygens apresentou um trabalho a academia de Cincias de Paris em um relatrio , intitulado Trait de ila lumire quedeterminou a envoltria de uma famlia de circunferncias como caso particular deuma epicicloide, a nefroide. O termo envoltria que hoje chamado s veio aparecerem 1795, quando G. Monge usou em sua obra Appication de l'analyse la gomtrie. fascinante pela simplicidade da ideia e o grande campo de aplicao, na fsica,em problemas de mximos e mnimos, em economia, em matemtica nanceira,engenharia, etc. Meu primeiro contato foi atravs de um livro "La Envolvente"deBoltianski, indicado pelo meu orientador, Napolen Caro Tuesta, para a partir destefazer um trabalho e apresentar para obter o ttulo de mestre pela UFPB.Este trabalho trata de alguns exemplos de famlia de curvas e de como determinarsua "envoltria", didaticamente viabilizado pelo avano tecnolgico da computao,ou seja, o uso do softwere GeoGebra. No primeiro captulo so estudados algunsexemplos de famlias de curvas, retas, circunferncias, parbolas e algumas envoltrias como a parbolas de segurana, a zona de audibilidade, entre outras. Nosegundo captulo estudamos o clculo das envoltrias citadas no primeiro captulo.

ix

Captulo 1Famlias de Curvas em R2Este captulo dividido em duas sees. Na primeira seo estudaremos algunsexemplos de famlias de curvas em R2 e suas equaes. Para ilustrar essas famliasvamos usar o GeoGebra ativando as funes de rastro e animao para algumasfamlias de segmentos, retas, circunferncias e parbolas. Na segunda seo, vamosapresentar algumas envoltrias (ou envelopes) de uma famlia de retas, circunferncias, parbolas, elipse, hiprbole, lemniscata e cardiide.1.1

A equao de uma Famlia de curvas em

R2

Denotemos com x e y as coordenadas usuais em R2 . Uma famlia de curvas emR2 pode ser representado por meio de uma equaof (x, y, 1 , 2 , ..., m ) = 0

(1.1)

que (alm de x, y) contm m parmetros 1 , 2 , ..., m juntamente com m 1relaesg1 (1 , 2 , ..., m ) = 0, g ( , , ..., ) = 0,212m................. gm1 (1 , 2 , ..., m ) = 0

(1.2)

Uma famlia de curvas em R2 com 1 parmetro pode ser representada atravs deuma equao da formaf (x, y, ) = 0.(1.3)Uma famlia de curvas em R2 com 2 parmetros pode ser representada atravs

1

Captulo 1

A equao de uma Famlia de curvas

de duas equaes da forma(

1.1.1

f (x, y, , ) = 0,g(, ) = 0.

(1.4)

Segmento de comprimento constante

Tomemos um segmento de comprimento constante k em que suas extremidadesdeslizam nos lados de um ngulo reto.

Figura 1.1:Sejam A e B os pontos extremos desse segmento de comprimento k, e que deslizempelos eixos das coordenadas.O ponto A deslizando no eixo das abscissas e B deslizando no eixo das ordenadas,A = (, 0) e B = (0, ). O segmento AB est contido na reta de equao y =

x + que tambm pode ser escrito na forma dey + x = 0.

Os parmetros e se relacionam, pelo Teorema de Pitgoras, atravs da equao2 + 2 = k 2 .

Para cada escolhido teremos um e consequentemente uma reta determinada,com isso, temos tambm agora uma famlia de retas de equao

2

Captulo 1


f (x, y, , ) = y + x = 0

(1.5)

g(, ) = 2 + 2 k 2 = 0

(1.6)

Figura 1.2:

3

Captulo 1

A equao de uma Famlia de curvas1.1.2

Segmentos que determinam tringulos retngulos derea constante

Vamos estudar uma famlia de retas que determinam tringulos retngulos comos eixos de coordenadas de rea constante igual a k > 0.

Figura 1.3:Vamos escolher semelhantemente ao exemplo anterior os eixos das coordenadas eos pontos de interseo com os eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente,A = (, 0) e B = (0, ). As retas de equao (1.5), os parmetros se relacionamdiferente do exemplo anterior. Neste caso, e , so catetos de um tringulo

= k , portanto = 2k . Logo a famlia retngulos de rea igual a k, ou seja,2determinada pelas equaes:y + x 2k = 0

(1.7)

2k = 0.

(1.8)

Figura 1.4:4

Captulo 1

A equao de uma Famlia de curvas1.1.3

Segmentos de soma constante

Considere a famlia de segmentos que determinam um tringulo retngulo comum ngulo reto determina os eixos coordenados e cuja a soma dos comprimentosdos catetos uma constante k.

Figura 1.5:Como no exemplo anterior vamos escolher o ngulo reto dos eixos de coordenadas,os pontos A e B como extremidades desses segmentos. O ponto A deslizando noeixo das abscissas e B deslizando no eixo das ordenadas, A = (, 0) e B = (0, ).Para determinar as equaes dessa famlia vamos utilizar a equao da reta suportedesses segmentos e a relao entre os parmetros e , ou seja, a equao da retadeterminada pelas intersees com os eixos y = x+

e a equao que relacionam e + = k.

Assim, o sistema de equaes abaixo determinam essa famlia de segmentos :y + x = 0

(1.9)

+ k = 0.

(1.10)

5

Captulo 1


Figura 1.6:1.1.4

Ponto e reta

Um ponto A que se move livremente sobre uma reta est ligado a um pontoF, exterior reta. A reta perpendicular ao segmento AF, em A, vamos examinara famlia de todas as retas perpendiculares. Escolheremos o ponto A no eixo das

Figura 1.7:abscissas, assim suas coordenadas so (, 0) e o ponto F xo no eixo das ordenadas6

Captulo 1


(0, p) a famlia de retas perpendiculares ao segmento AF, para cada correspondeuma reta de ponto P=(x, y) obtemos um tringulo retngulo FAP, logo, AP 2 +AF 2 = F P 2 e escrevendo a equao(x )2 + y 2 + 2 + p2 = x2 + (y p)2

Desenvolvendo temosx2 2x + 2 + y 2 + 2 + p2 = x2 + y 2 2py + p2

Simplicando obtemospy x + 2 = 0

(1.11)

que a equao dessa famlia de retas.

Figura 1.8:

1.1.5

Circunferncias com centro numa reta

Um exemplo geometricamente simples e que ca claro que para encontrarmos aequao de uma dessas circunferncia escolheremos um raio R e o centro de coordenadas (, ) numa reta l sem perda de generalidade vamos escolher para essa reta lo eixo das abscissas e portanto a ordenada = 0, o centro da circunferncia (, 0)e sua equao (x )2 + y 2 = R2 ,

que tambm pode ser escrita na formax2 + y 2 2x + 2 R2 = 0.

7

(1.12)

Captulo 1


Figura 1.9:Para cada valor escolhido do parmetro , obtemos uma circunferncia dessafamlia, por essa razo a equao (1.12) chamada de equao da famlia de circunferncia de raio R e centro no o eixo das abscissas. Essa equao formada pelasvariveis x, y e o parmetro .

Figura 1.10:

1.1.6

Circunferncia e um ponto

Neste exemplo tomaremos uma circunferncia de raio 2a de centro no ponto F1e escolhemos outro ponto no interior desta F2 que est a uma distncia 2c de F1 eum ponto A pertencente a circunferncia, construmos o segmento de F2 A, no seuponto mdio traamos um reta perpendicular.Nos interessa agora a equao da famlia de todas essas retas L. Vamos escolherF1 e F2 pertencentes ao eixo das abscissas de coordenadas c e c, respectivamentee com isso o eixo das ordenadas a mediatriz desses. O ponto A de coordenadas(, ) e um ponto M, pertencente a reta, de coordenadas (x, y), a mediatriz lugargeomtrico de todos os pontos que esto a mesma distancia de A e F2 , ou seja,M F2 = AM ou M F22 = AM 2 , que o mesmo que(x )2 + (y )2 = (x + c)2 + y 2

8

Captulo 1


Figura 1.11:desenvolvendo essa equao obtemosx2 2x + 2 + y 2 2y + 2 = x2 + 2cx + c2 + y 2

2 + 2 2x 2y 2cx c2 = 0

(1.13)

Como o ponto A pertence a circunferncia de raio 2a, podemos relacionar , naequao( c)2 + 2 = 4a2

que desenvolvendo os parnteses e simplicando obtemos

Figura 1.12:9

Captulo 1


2 + 2 2c + c2 4a2 = 0

(1.14)

E juntando as equaes 1.13 e 1.14 obtemos as equaes dessa famlia de retas(

1.1.7

2 + 2 2x 2y 2cx c2 = 02 + 2 2c + c2 4a2 = 0

Vo de um avio supersnico

Um avio voa a uma altura h da superfcie terrestre com uma velocidade supersnica, isto acima da velocidade do som no ar v. Nos perguntamos quais ospontos na regio da superfcie terrestre um observador j ouviu ou vai ouvir o somdo motor do avio?A velocidade do som no ar u de aproximadamente 343 m/s ou 1234,8 km/h,sendo considerada a velocidade mnima para que qualquer corpo consiga ultrapassara barreira do som. Considera-se de supersnica a velocidade do corpo entre 1486km/h e 6192 km/h e de hipersnica acima de 6192 km/h. Suponha que a superfcie

Figura 1.13:terrestre perfeitamente plana sobre a qual voa o avio com velocidade v e alturah so constantes. Tomemos na superfcie terrestre uma reta l, a qual paralelaa trajetria retilnea do avio num certo instante t, orientada da direita para aesquerda. Chame de B o ponto onde se encontrava o avio a t segundos atrs, deA o ponto na superfcie terrestre perpendicularmente abaixo do ponto B e de O aorigem na superfcie terrestre perpendicularmente abaixo do avio aps t segundos.Um avio com velocidade supersnica o rudo do motor se propaga no ar em todasas direes sob uma esfera de raio ut e centro em B (ver g. 1.14) a interseocom a superfcie terrestre uma circunferncia de raio u2 t2 h2 e centro em A. Amedida que diminui vamos obtendo crculos menores at que ut = h, ou seja, umponto entre O e A (g. 1.15).Sendo o ponto O, cento do sistema de eixos, e o ponto A de coordenadas (, 0)10

Captulo 1


Figura 1.14:

Figura 1.15:cada uma das circunferncias dessa famlia satisfaz a equao(x )2 + y 2 = u2 t2 h2 ,

onde = vt e ento fazendo t = podemos substituir na equao acima obtendova equao2

u2 2 2x + x2 + y 2 + h2 = 0,v2

com isso a equao dessa famlia de circunferncias

u2 21 2 2x + x2 + y 2 + h2 = 0.v

11

(1.15)

Captulo 1

Famlia de curvas e sua envoltria1.2

Famlia de curvas e suas envoltrias

Denio 1 Dada uma certa famlia de curvas em R2 , chamamos de Envoltria

dessa famlia de curvas, a curva que em cada um de seus pontos tangente comalguma curva da famlia.Para tornar mais claro, vamos examinar alguns exemplos a seguir de maneiraGeomtrica e ou Algbrica.1.2.1

Segmento e a perpendicular

Tomemos um ponto A qualquer no plano e um segmento AB,de comprimento R,passando por B tracemos uma reta perpendicular ao segmento AB.

Figura 1.16:A famlia de todas as retas perpendicular ao segmento AB uma circunfernciade raio R com centro em A, a qual ser a envoltria dessa famlia de retas.

Figura 1.17:Note que o ponto B o ponto da circunferncia que toca a reta perpendicular aosegmento AB, ou seja, para cada reta existe um ponto B que toca a circunferncia,assim todas as reta so tangentes a circunferncia de raio R e centro em A.12

Captulo 1

Famlia de curvas e sua envoltria1.2.2

Circunferncia com centro numa circunferncia

Uma famlia de circunferncia de raio r com centro em uma circunferncia deraio R. A circunferncia de raio r com centro no ponto A, conforme a (1.1), tem a

Figura 1.18:equao(x )2 + (y )2 = r2

Tomemos a famlia de circunferncia exposta na Fig.1.18. Adotemos o ponto O comoa origem do sistema de coordenadas. Seja A um ponto que pertence a circunfernciade raio R com centro na origem das coordenadas. Atribuiremos a abscisa de A oparmetro e sua ordenada pelo parmetro , ou seja, o ponto A = (, ). Entoos nmeros e satisfaz a relao2 + 2 = R2

As equaes acima determinam a famlia de circunferncias que estudamos. Precisamente a equa co de uma circunferncia de raio r e que exige que seu centro13

Captulo 1

Famlia de curvas e sua envoltria

(, ) e pertena a circunferncia de raio R e centro no ponto O. Eliminando os

parnteses e passando todos os termos para o lado esquerdo voltamos a escrever asequaes acima na forma

x2 + y 2 2x 2y + 2 + 2 r2 = 0,

(1.16)

2 + 2 R2 = 0.

(1.17)

A primeira destas equaes, alm de x, y, contm dois parmetros e ; a segunda equao vincula estes dois parmetros. Esta ser a forma que vamos examinara famlia de circunferncia.A envoltria desta famlia composta por duas circunferncias com raios R + re R r (g.1.18).1.2.3

Trajetrias

O movimento de um corpo lanado sob um ngulo em relao a horizontal.Um corpo lanado no verticalmente descreve uma trajetria prxima de umaparbola devido a ao de foras que encontramos na natureza, por exemplo a forada gravidade e a fora da resistncia do ar. Um projtil descreve uma trajetriachamada de curva balstica, desconsiderando a resistncia do ar, a trajetria deum projtil descreveria uma parbola. Na Fig.1.19 a curva tracejada representa aparbola e a curva contnua a curva balstica.

Figura 1.19:Vamos estudar a partir daqui a trajetria descrita pelo lanamento de um projtilconsiderando apenas a fora da gravidade e desprezando a fora da resistncia do are outras foras menos signicativas.Seja v o mdulo da velocidade instantnea, esta velocidade tem duas componentes, uma horizontal e uma vertical, que sero representadas por vx e vy respectivamente, tal quev 2 = vx2 + vy2

14

Captulo 1


, esta velocidade tem a direo e o sentido variveis ao longo dessa trajetria. Adireo tangente em cada ponto da trajetria e o sentido o mesmo do movimentodo projtil.Chamaremos a fora de gravidade P = mg constante e com direo vertical esentido para baixo. Da a velocidade sofre ao da acelerao de gravidade g apenana componente vertical, ou seja, como a componente horizontal perpendicular a gno sofre variao e sua intensidade constante.Considerando o sentido positivo na vertical para cima e na horizontal para adireita, a componente vertical tem movimento retardado na subida e acelerado nadescida, que na Fsica do ensino mdio chamamos de Movimento UniformementeVariado e a horizontal Movimento Retilneo Uniforme, atribuiremos a velocidadeinicial vo , logo as equaes das velocidades so:

vx = vxo ;

(1.18)

vy = vyo gt.

(1.19)

determinam o mdulo da velocidade em cada instante.Vamos agora estudar a posio do corpo em cada instante, adotaremos A o pontoinicial de lanamento de coordenadas (0, yo )

Figura 1.20:y = OB altura acima da superfcie da Terra e x = OF a distncia horizontal e

as equaes de posio do corpo so:

x = vx t;gt2.y = yo + vyo t 2

15

(1.20)(1.21)

Captulo 1


A altura mxima H ocorrer quando vy = 0, ou seja, quandovyog

t=

(1.22)

e substituindo em (1.15) obtemos2vyoH = yo +2g

(1.23)

Vamos ao lanamento de um projtil por um canho de um certo ponto O nasuperfcie da terra para a direita sob um ngulo com horizontal a uma velocidade inicial vo , desprezando a altura do canho em relao a superfcie terrestre,analogamente para a esquerda, termos o ngulo 180o .O alcance mximo X ocorre quando y = 0 e yo = 0, ou seja, de (1.15)vyo t

quando t = 0 instante inicial et=

gt2=022vyog

(1.24)

obteremos o alcance mximo X em funo de vxo e vyo ao escrever esta expressocomoX=

(vyo )2 + (vxo )2 (vyo vxo )2v 2 (vyo vxo )22vxo vyo== oggg

encontraremos a distancia mxima quando vyo vxo = 0, ou seja, quando vyo = vxoque signica = 45o ; essa distncia X=

vo2g

(1.25)

duas vezes maior que a altura mxima H.1.2.4

Parbola de Segurana

A parbola de segurana limita uma zona em que qualquer projtil lanado temsua trajetria sob essa parbola e todo alvo que esteja fora dessa parbola no seralcanado.A envoltria de todas as trajetrias possveis do lanamento de um projtil, sobas condies que estudamos, a parbola de segurana, que vamos determinar suaequao, considerando sua altura mxima e seu alcance mximo e levando em conta

16

Captulo 1


Figura 1.21:que o canho encontra-se na origem do eixo de coordenadas.y = v0 t

gt22

Vamos estudar a parbola de segurana para x > 0, o ponto inicial ser o pontode altura mxima e portanto sua equao sob a ao da gravidade aps t segundosdo lanamento sery=

gt2v022g2

ex = vo t.

Figura 1.22:Queremos mostrar que as trajetrias dos projteis lanados sob as mesmas condies j mencionadas anteriormente no cruza a parbola de segurana.17

Captulo 1


Tomemos agora a equao do lanamento do projtil sob um ngulo do pontoO, ou seja,gt022

y 0 = vyo t0

ex = vxo t0

.Fazendo OF = vo t = vxo t0 , que igual a t0 =y y0 =

vot e substituindo na equaovxo

gt2gt02vo2 vyo t0 +2g22

, obtemos:

vo21 2gt2vyo gt2 vo 2vo 2vyo= g 2 t2 vo t+vo 2gvo t + g 2 t22g2vxo2 vxo2gvxovxo=

v v 2 v 2 ii1h 2vyo1h 2vyoo 2vo 2gvo t + g 2 t2vo 2gvo t + g 2 t2 o 2 xo1 =2gvxovxo2gvxovxo v 2 i1h 21hvyo i2vyoyo=vo 2gvo t + g 2 t2=vo gt>02gvxovxo2gvxo

Conclumos ento que a parbola de segurana envolve todas a trajetrias e que svtoca em um ponto, quando y = y 0 , ou seja, quando vo = gt yo , para o instantevxo

vo vxot=.gvyo1.2.5

Propriedades da parbola

Usaremos a parbola de segurana para vericar duas propriedades da parbola.A primeira propriedade, que usada como denio da parbola, refere-se a distncia, ou seja, a parbola o lugar geomtrico dos pontos equidistantes de um dadoponto O e de uma reta dada d (g. 1.13). O ponto O chamado o foco da parbolae a reta d, diretriz (ver g. 1.23).Queremos mostrar que a distncia de O a T igual a distncia de T a reta d,assim

OT = x2 + h2 =

s(vo t)2 +

v2o

2g

2 2

gt2

=

s v2o

2g

+

gt2 2v 2 gt2v2= o += o h.22g2g

vo2Vamos considerar como diretriz a reta y =que o dobro da distncia dog

18

Captulo 1


Figura 1.23:foco, o ponto O. Ento a distncia do ponto T a diretriz d :T S = SF h =

vo2hg

, com isso encerramos a primeira propriedade.

Figura 1.24:Vamos estudar agora uma outra propriedade que diz respeito ao ngulo. A lei deSnell-Descartes, o ngulo de incidncia igual ao ngulo de refrao, considerandoo mesmo meio (ver g. 1.24).Temos que mostrar que< F T N =< OT M

, para isso vamos determinar a tangente de cada ngulo. Seja MN a reta tangente aparbola de segurana no ponto T. A direo da tangente e da velocidade no pontoT so iguais, vx = vxo = vo , vyo = 0 e portanto vy = gt, ento:tg < F T N =

vxvovo== .vygtgt

19

Captulo 1


Antes de determinar tg < OT M vamos escrever algumas relaes:

Figura 1.25:

tg < OT F =

xvo t= 2vogt2h2g2

Da trigonometria, a tangente de dois ngulos suplementares so simtricos e quea tangente da soma de dois ngulos o quociente entre a soma das tangentes porum menos o produto das tangentes. Passamos ao clculo da tangente do ngulo< OT M . Vejamostan < OT M = tan (180o < OT N ) = tan < OT N = tan (< F T N + < OT F )=

tan < F T N + tan < OT Ftan < F T N + tan < OT F=1 tan < F T N tan < OT Ftan < F T N tan < OT F 1

O numerador :vo tvo=2 +gtgt2g2

vo2gt2)2g2v2gt2gt( o )2g2

vo gt2 + vo (

vo2

vo 2 2 vo2 g 2 t2vo vo2 g 2 t2(g t +)( +)g22g 22==vo2gt2v2gt2gt( )gt( o )2g22g2

20

Captulo 1


O denominador :vo2 tvo2

vo2gt2)2g2vo2gt2gt( )2g2

vo2 t gt(

gt2gt( )2g2

1=

vo2 g 2 t2vo2 g 2 t2+)t( +)22 =22v2gt2v2gt2gt( o )gt( o )2g22g2

t(vo2=

Finalmente, reunindo numerador e denominador, obtemos :tan < OT M =

vo.gt

essa propriedade da parbola que nos permite armar que, se esta tem umasuperfcie lisa espelhada, um facho de luz paralelo ao eixo de simetria da parbolaconvergem para o foco da parbola, e da mesma forma se temos um ponto de luz nofoco da parbola essa luz reetida paralelamente ao seu eixo, ou seja, no primeirocaso a antena parablica e no segundo caso um farol, so exemplos de aplicao dasuperfcie parablica.

Figura 1.26:

21

Captulo 1


Zona de audibilidade

Suponha um ponto M pertencente a um dos crculos de centro A=(, 0) e raio h2 , portanto M de coordenadas (x,y) e pertencente a regio de audibilidade,ou seja, satisfaz a equao

u2 t2

(x )2 + y 2 u2 t2 h2 ,

fazendo = vt podemos escrever a equao(x vt)2 + y 2 u2 t2 h2

que o mesmo que(v 2 u2 )t2 2vxt + (x2 + y 2 + h2 ) 0.

(1.26)

Como estamos supondo que t > 0, a equao acima tem descriminante 0, ouseja,(2vx)2 4(v 2 u2 )(x2 + y 2 + h2 ) 0.

Desenvolvendo essa equao obtemos4v 2 x2 4v 2 x2 4v 2 y 2 4v 2 h2 + 4u2 x2 + 4u2 y 2 + 4u2 h2 0,

ou seja,4v 2 y 2 4v 2 h2 + 4u2 x2 + 4u2 y 2 + 4u2 h2 0,

e simplicando e agrupando(v 2 u2 )y 2 (v 2 u2 )h2 + u2 x2 0,

e dividindo por (v 2 u2 )h2y2x2 1,(v 2 u2 )h2h2u2

e agora fazendo c =

vhvh, j que v > u e c => h, obtemosuux2y2 1.c2 h2 h2

(1.27)

Assim, o ponto M pertence a regio de audibilidade(M1 ) formada pelos pontosque satisfazem a equao (1.27) para x > 0 e y > 0, e a igualdade acontece quando22

Captulo 1


Figura 1.27:M esta na fronteira dessa regio (M2 ).1.2.7

Algumas propriedades da hiprbole

Observe que se o ponto M0 de coordenadas (x0 , y0 ) se estiver na fronteira dahiprbole a relao (1.26) transforma-se na igualdadey2x2=1c2 h2 h2

(1.28)

e supondo um determinado t para um dos crculo, teremos entot=

e ainda maisOA = vt =

vx0 u2

v2

c2 x 0v 2 x0=v 2 u2c2 h2

Reta tangente a uma hiprboleVamos agora encontrar a equao da reta tangente a hiprbole no ponto M0 ,tome um ponto D, interseo da tangente com o eixo da abscissa, e o ponto Npertencente ao eixo da abscissa e a perpendicular N M0 .Passemos ao valor da tangente de ngulo ADM0c2 x o xo22NAOA ONh2 xotg < ADMo = tg < N Mo A === c h= 2.N MoN Moyo(c h2 )yo

Passemos agora ao valor da interseo da tangente com o eixo da ordenada, b,na equaoh2 xoy= 2x+b(c h2 )yo

23

Captulo 1


Figura 1.28:M0 tanto pertence a tangente como a hiprbole (1.28), logo devemos consideraras equaes com x0 , y0h2 x2oyo = 2+b(c h2 )yo

onde

yo2 h2 x2oh2 x2o.b = yo 2=(c h2 )yoyo c2 h2 h2

Finalmente,b=

h2yo

, e consequentemente, a equao da tangente ca na formay=

h2 xoh2x.(c2 h2 )yoyo

y

Multiplicando ambas partes por o2 , obteremos a equao da tangente numa formahfcil de lembrar (compare com a equao da hiprbole (1.28)):xo xyo y= 1.c2 h2h2

Assntotas de uma hiprboleVamos escrever a equao das assntotas da hiprbole. Tome as reta OS , OT ,inclinadas em relao ao eixo das abscissas em um ngulo e h = 0, o crculo decentro em A e raio ut o ponto E pertencente a reta OS e a este crculo. Da podemosdeterminar:OE =

OA2 AE 2 =

v 2 t2 u2 t2 = t v 2 u2

24

Captulo 1


Figura 1.29:,etan =

AEut1hu1= =r===r22222OEt v uv uc h2v2c211u2h2

.Como as assntotas passa no ponto O, suas equaes, OS e OT, so respectivamente,y=

,e

hxc2 h2

hy = xc2 h2

Propriedade do ponto mdioEscolhendo um ponto arbitrrio M0 pertencente a hiprbole, queremos mostrarque se P1 OS e P2 OT , o segmento P1 P2 tangente a uma hiprbole, entoM0 ponto mdio. . O ponto P1 satisfaz a equao da reta tangente (1.2.7) ecoordenadas x1 , y1 , satisfaz a equao da assntota OS, ento podemos escrever:y1 =

hx1c2 h2

e substituindo o nmero y1 na relaox o x1yo y1 2 =12hh

c2

25

(1.29)

Captulo 1


Figura 1.30:obtemos

x1yo x o= 1.hc2 h2c2 h2xyMultiplicando ambas as partes desta relao por 2 o 2 + o e aproveitando ahc h

relao

encontramosmultiplicando por

x2oyo2=1c2 h2 h2xxoyo 1=+hc2 h2c2 h2c2 h2 camos com

c2 h2x1 = xo + y o.hDe maneira anloga se pode calcular a abscissa x2 do ponto P2 ;x2 = xo y o

c2 h2.h

(1.30)

(1.31)

Das relaes (1.32) e (1.33) obtemos agorac2 h2x1 xo = x o x2 = y 0hEm razo dos pontos P1 , Mo e P2 pertencerem a mesma reta e por semelhana,P2 M0= 1, se conclui que o ponto Mo o centro do segmento P1 P2 . Desta forma, oM0 P1

segmento tangente a hiprbole, entre as assntotas, reduzido a metade do ponto decontato.26

Captulo 1


Propriedade da reaSob as mesmas condies da propriedade anterior, calcularemos a rea do tringulo OP1 P2 .

Figura 1.31:Baixemos do ponto P2 uma perpendicular P2 H sobre a reta OS . Ento a reaS do tringulo OP1 P2 tem o seguinte valor:11S = OP1 .P2 H = OP1 .(OP2 .sen2) =22 x x 1 sen2112= sen2.= ..x1 x22coscos2 cos2

como

2sencosh1 sen2.== tg = .222 cos 2cos c2 h2

ex1 x2 = x2o yo2

x2yo2 c2 h2o22=(ch)= (c2 h2 )h2c2 h2 h2

De tal modo, qualquer tangente da hiprbole que corta o ngulo entre as assntotas,determina um tringulo que sempre tem a mesma rea e que precisamenteS = h c2 h2

.

27

Captulo 1


Lemniscata

Descrevemos a lemniscata de Bernoulli1 como a envoltria de uma famlia decircunferncias com centro numa hiprbole. Uma hiprbole equiltera de equao

Figura 1.32:x2 y 2 = k 2 e seja C uma circunferncia com centro nessa hiprbole passando peloponto O, a origem do sistema. Seja (, ) um ponto dessa hiprbole, a circunfernciapem raio igual a 2 + 2 equao de C do lado direito da hiprbole, ser:(x )2 + (y )2 = 2 + 2

o mesmo quex2 2x + y 2 2y = 0

Que a equao dessa famlia de circunferncia.

Figura 1.33:1 A lemniscata foi descrita pela primeira vez em 1694 por Jakob Bernoulli em um de seustrabalhos na Acta Eruditorum. Al a denominava de leminisco, lemniscus em Latin para "tapendente", ta que adornava a coroa dos vencedores de certas competies da antiguidade.

28

Captulo 1


Cardiide

O nome de cardiide1 derivado da palavra grega kardioedides para em forma decorao, onde kardia signica corao e eidos signica forma, embora seja realmentea forma mais como o contorno da seo transversal de uma ma.

Figura 1.34:Uma famlia de circunferncia com centro numa circunferncia de raio R e quepassa em um ponto xo. Escolhamos o ponto xo na origem do sistema O a circunferncia de raio R e centro no ponto A = (R, 0) de equao (x R)2 + y 2 = R2 euma circunferncia com centro em (, ) de raio r de equao(x )2 + (y )2 = r2

, onde r a distncia de O ao centro desta, logo r2 = 2 + 2 , ou seja, a circunfernciatem equao(x )2 + (y )2 = 2 + 2

A equao da envoltria dessa famlia de circunferncia a cardiide, que emcoordenadas polar se escrever = 2R(1 + cos),

(1.32)

para encontrar a equao cartesiana, fazendo x = rcos ; y = rsen e x2 + y 2 = r21O

cardiide foi inicialmente estudado por Ole Christensen Roemer em 1674, em um esforopara tentar encontrar o melhor projeto para os dentes da engrenagem. No entanto, a curva no foidado o seu nome, at um matemtico italiano, Johann Castillon, usou em um artigo em 1741.

29

Captulo 1


Figura 1.35:na equao (1.32), obtemosp

xx2 + y 2 = 2R 1 + px2 + y 2

, multiplicando a equao por

px2 + y 2

x2 + y 2 = 2R

p

x2 + y 2 + 2Rx

que o mesmo quex2 + y 2 2Rx = 2R

px2 + y 2

e agora elevando ao quadrado, nalmente obtemos a equao cartesiana da cardiide(x2 + y 2 2Rx)2 = 4R2 (x2 + y 2 ).

30

Captulo 2Clculo da EnvoltriaEstudaremos agora de uma forma geral como determinar a equao da envoltriade uma famlia de curvas, para isso de se esperar que usemos a diferenciao, que a ferramenta usada para determinar a tangente num certo ponto (x0 , y0 ).12.1

A diferenciao e a equao da Envoltria

Lema 1.1 Suponha que f (x, y, ) um polinmio. Vamos escrever em potnciasde f (x, y, ) = p0 + p1 ( + ) + p2 ( + )2 + p3 ( + )3 + ...

(2.1)

onde os coecientes p0 , p1 , p2 , p3 , ... so polinmios de x,y. Entof (x, y, + ) f (x, y, )= f0 (x, y, ) + ...

(2.2)

0onde fx,y,(x, y, ) signica a soma de todos os termos que no tem e as reticncias indicamos os termos restantes, cada um dos quais contm um fator ou umapotncia deste. O polinmio ca parecido com

f0 (x, y, ) = p1 + 2p2 + 3p3 2 + ...

(2.3)

1

Prova.Seja f (x, y, ) um polinmio de grau n. Ento1f (x, y, + ) f (x, y, )= [p0 + p1 ( + ) + p2 ( + )2 + p3 ( + )3 + ...]1 Boltianski,1 f 0 (x, y, )

V. G., La Envolvente, pp. 56-70. a derivada parcial com respeito a do polinmio f (x, y, ).

31

Captulo 2

A diferenciao e a equao da Envoltria[p0 + p1 + p2 2 + p3 3 + ...] ==

p1 [( + ) ] p2 [( + )2 2 ] p3 [( + )3 3 ]+++ ...= p1 + p2 [(2 + )] + p3 [(32 + 3 + 2 )] + ...= p1 + 2p2 + 3p3 2 + ... + os termos que tem .

2.1.1

Interseo de uma famlia de curvas

Seja C a envoltria de uma famlia e L uma curva dessa famlia que toca aenvoltria num ponto T. Essa famlia de curva pode estar nos dois lados da envoltria(ver g.2.1 ) ou pode estar todas de um lado da envoltria (ver g.2.2 ), este tipoque estamos estudando. Chamemos L' uma dessas curvas, prxima de L, e toca aenvoltria no ponto T'.

Figura 2.1:As curva L e L' tero pelo menos um ponto de interseo M e a medida que L'se aproxima de L o ponto M se aproxima do T. Lembremos que C o conjuntosde todos os pontos (T) que tocam alguma curva dessa famlia de curvas, ou seja,se determinamos esses pontos, tambm determinamos a envoltria dessa famlia decurvas. Como L e L' esto prximas, podemos atribuir uma distncia entre elas,to pequena quanto se queira. L uma curva de equao f (x, y, ) e L' de equaof (x, y, + ) e o ponto (x0 , y0 ) de interseo entre elas satisfaz ao tanto a equao

32

Captulo 2


Figura 2.2:de L como de L', satisfaz ao sistema(

Ento obtemos

(

f (x, y, ) = 0f (x, y, + ) = 0

f (x, y, ) = 0f (x, y, + ) f (x, y, ) = 0.

Dividindo por a segunda equao e aplicando o lema 2.1, podemos escrever(

f (x, y, ) = 0f0 (x, y, ) + ... = 0.

Teorema 2 Cada ponto da envoltria satisfaz a equao que se obtm das relaes(

f (x, y, ) = 0f0 (x, y, ) = 0.

(2.4)

ao eliminar o parmetro .

Teorema 3 Suponha que a famlia de curvas est determinada pelas equaes (1.4).Ento cada ponto da envoltria satisfaz a equao que se obtm das relaes

f (x, y, , ) = 0,g(, ) = 0, 0 0f .g g0 .f0 = 0.

33

(2.5)

Captulo 2


excluindo os parmetros e

Prova.Para provar a frmula 2.5 ns vamos examinar duas curvas prximas L e L' denossa famlia. Suponhamos que a curva L corresponde aos valores e , e a curvaL' corresponde aos valores prximos dos parmetros + 1 e + 2 . Desse modo,as equaes da curva L e L' se escreve na forma(

(L)(L0 )

f (x, y, , ) = 0,f (x, y, + 1 , + 2 ) = 0.

(2.6)

ao mesmo tempo que os valores escolhidos dos parmetros satisfazem a relao (1.4),ou seja(g(, ) = 0,g( + 1 , + 2 ) = 0.

(2.7)

juntemos a equaes 2.6 e 2.7, obtemosf (x, y, , ) = 0, f (x, y, + , + ) f (x, y, , ) = 0,12g(, ) = 0,g( + , + ) g(, ) = 0.1

2

ou, que igual a:

f (x, y, , ) = 0,f (x, y, + 1 , + 2 ) f (x, y, , + 2 )+f (x, y, , + 2 ) f (x, y, , ) = 0,g(, ) = 0,g( + 1 , + 2 ) g(, + 2 ) + g(, + 2 ) g(, ) = 0

(2.8)

As primeiras relaes que se examina com um sistema de equaes em x, y,determinam o ponto de interseo de L e L'. Em razo da frmula (2.2) podemosescreverf (x, y, + 1 , + 2 ) f (x, y, , + 2 ) = 1 (f0 (x, y, , + 2 ) + ...),f (x, y, , + 2 ) f (x, y, , ) = 2 (f0 (x, y, , ) + ...),g( + 1 , + 2 ) g(, + 2 ) = 1 (g0 (, )) + ...,g(, + 2 ) g(, ) = 2 (g0 (, )) + ...

34

Captulo 2


Assim as relaes (2.8 ) voltamos a escrever na forma

f (x, y, , ) = 0,g(, ) = 0,001 (f (x, y, , + 2 ) + ...) + 2 (f (x, y, , ) + ...) = 0,1 (g0 (, + 2 ) + ...) + 2(g0 (, ) + ...) = 0

(2.9)

Termos que contm reticncias aqui so o termos que contm os fatores 1 ou 2 .Multiplicando a terceira relao por1 (g0 (, ) + . . . ) 2 (g0 (, + 2 ) + . . . )

e a quarta relao por1 (f0 (x, y, , ) + . . . ) + 2 (f0 (x, y, , + 2 ) + . . . )

e somando, depois de subtrair as relaes semelhantes e agrupando, obtemos(21 +22 )[(f0 (x, y, , +2 )+. . . )(g0 (, )+. . . )(g0 (, +2 )+. . . )(f0 (x, y, , +2 )+. . . )] = 0

o nmero 21 + 22 , absolutamente, diferente de zero, ja que se 21 + 22 = 0 implicaria1 = 0 e 2 = 0, e consequentemente, as curvas L e L' so coincidentes, o que no verdade. Assim, a ltima relao se pode dividir por 21 + 22 , e obtemos(f0 (x, y, , +2 )+...)(g0 (, )+...)(g0 (, +2 )+...)(f0 (x, y, , +2 )+...) = 0.

Esta relao, conjuntamente com a primeira das relaes (2.9) , nos proporciona ospontos de interseo de las curvas L e L'. Se aproximamos a curva L' de L, ou seja,se escolhemos os nmeros 1 e 2 cada vez mais prximo de zero, temos que a ltimarelao , no limite, passa ser a equaof0 (x, y, , )g0 (, ) g0 (, )f0 (x, y, , ) = 0

, ou seja, se transforma na ltima relao (2.5). Esta, conjuntamente com a primeira das equaes (2.5) , nos permite achar aquele ponto no qual a curva L toca aenvoltria. Assim, atribuindo a relao obtida das primeiras equaes (2.9 ), acharemos o sistema de equaes (2.5). O ponto no qual a curva L toca a envoltriadeve satisfazer esse sistema. Portanto por L se pode admitir qualquer das curvasda famlia, ento qualquer ponto da envoltria deve (para certos e ) satisfazer osistema (2.5), que o que arma o teorema 3.

35

Captulo 2


O leitor, que conhece a noo de determinante e os teoremas fundamentais sobreequaes lineares, pode aceitar como verdadeiro o seguinte teorema.

Teorema 4 Se a famlia de curvas determinada pelas equaes (1.1) e (1.2),ento qualquer ponto da envoltria satisfaz a equao que resultante da equao(1.1), adicionar (1.2) a relao

00f2f1

(g10 )1(g10 )2

(g 0 )(g20 )2

2 1

....

..

00 (gm1 )1 (gm1 )2

.........

0fm(g10 )m(g20 )m

......

0(gm1)m

...

=0

e eliminamos do sistema de equaes os parmetros 1 , 2 , ..., n .Quando m = 1 este teorema se reduz ao teorema 2, e quando m = 2 se reduz aoteorema 3.2.1.2

Curva discriminante

Nos Teoremas 2 e 3 comentamos que qualquer ponto da envoltria satisfaz aequao obtida com a eliminao dos parmetros nas relaes (2.4) ou (2.5). Nsno dizemos que a envoltria determinada pela equao obtida, e apenas dizemosque em qualquer ponto da envoltria satisfaz esta equao. Isso no um acaso. Ofato encontra-se em uma curva determinada atravs da equao obtida eliminandoos parmetros em (2.4) ou (2.5)( esta curva chamada de curva discriminante ),alm da envoltria, pode conter um nmero de pontos que no pertencem a esta.Que representa essa curva discriminante? Para responder a esta pergunta sereferir (sem claricao, mas todos os argumentos pode ser feito usando a noode derivada que introduzimos acima), que pode representar uma curva determinadapor uma equao. Suponha-se que f(x, y) qualquer polinmio em x, y. O lugargeomtrico de pontos no plano, cujas coordenadas satisfazem a equaof (x, y) = 0,

se chama curva algbrica. A reta uma curva algbrica, j que sua equao temforma y = kx + b, ou y kx b = 0. As relaes (1.3) ou (1.4) permitem chegar aconcluso que a circunferncia , a hiprbole , a parbola , so tambm exemplos decurvas algbricas.A curva algbrica dizemos que lisa se em cada ponto podemos traar umatangente. A reta, a circunferncia, a parbola e a hiprbole so curvas lisas. Maspode acontecer que a curva algbrica pode conter pontos especiais, que atribuiu36

Captulo 2


pontos crunodales (onde a curva corta a si mesma) pontos tacnodos (onde a curvatangente a si mesma) e pontos isolados. Assim, por exemplo, a curva determinadapela equao(x2 + y 2 )2 2a2 (x2 y 2 ) = 0

(esta chamada lemniscata de Bernoulli, g. 2.3) corta-se, a curvay 2 x4 = 0

(g. 2.4) tem um ponto de autocontato na origem das coordenadas, e a curva deequao(x2 + y 2 )(y x 1) = 0,

formada por pontos pertencentes a reta y x 1 = 0 (ou seja, y = x + 1) e, almdisso, o ponto O (origem das coordenadas), perto da qual no h outros pontos destacurva (g.2.5). Qualquer curva algbrica ou no contm pontos especiais, isto , lisa ou tem apenas um nmero nito de pontos especiais, que a divide em pedaosisolados lisa, e no outros pontos especiais, para alm daqueles listados acima, acurva algbrica no pode ter.Suponha agora que h uma famlia de curvas algbricas determinados pela equao (1.3) ou (1.4). Se qualquer curva L de nossa famlia tem um ponto crunodal T(g.2.6) acontece que a curva L', "prxima"da primeira, obrigatoriamente corta acurva L em um ponto M prximo do ponto T. Portanto, a razo com a ajuda doqual estabelecemos

Figura 2.3: Lemniscata de BernoulliTeorema 2 ou 3, que demonstram que as coordenadas do ponto T satisfazem asequaes (2.4) ou (2.5), ou seja, o ponto T pertence curva discriminante.Assim, os pontos de crunodales de cada curva da famlia deve pertencer a curvadiscriminante. Da mesma forma, qualquer ponto isolado da curva L tambm deve37

Captulo 2


Figura 2.4:

Figura 2.5:

Figura 2.6:pertencer a curva discriminante. De tal modo a curva discriminante no s contma envoltria, mas contm todos os pontos especiais de nossa famlia. Acontece queisso j est esgotando todos os pontos da curva discriminante, ou seja, a curva discriminante incluem a envoltria e o lugar geomtrico de todos os pontos especiaisde todas as curvas de famlia, que estudamos (Fig. 2.7). Se, pelo contrrio, foramexaminados uma famlia de curvas que no tm pontos especiais, ento a curva dis38

Captulo 2


Figura 2.7:criminante contm nada mais do que a envoltria, neste caso a curva discriminantecoincide com a envoltria. Nos exemplos discutidos abaixo todas as famlias socompostas por curvas que no tm pontos especiais. Portanto, vamos apenas encontrar a curva discriminante, j que nos casos que estudamos esta coincidir com aenvoltria, ou seja, limitaremos a eliminao dos parmetros das equaes (2.4) ou(2.5).2.1.3

A astroide

Antes de prosseguir com o prximo exemplo vamos apresentar uma curva interessante chamada astroide.

Figura 2.8:

39

Captulo 2


Tomemos uma circunferncia de raio R e outra de raio 1/4R que rola, semdeslizar, no interior da maior. Fixemos um ponto A na circunferncia menor atrajetria que o ponto A faz uma curva chamada astroide.

Figura 2.9:Suponha que a circunferncia de raio R tem centro na origem do sistema, o pontoA pertencente a circunferncia de raio r, tem inicialmente a posio (R,0), girandono sentido horrio ela percorrer numa volta2r = 2

RR=42

, ou seja, a quarta parte de uma volta da circunferncia de raio R, a curva que oponto xo A da circunferncia de raio r descreve o que chamamos de astroide.Figura 2.10:Tomemos um segamento de comprimento L. Faamos deslizar suas extremidadesnos eixos das abscissas o ponto A, e no eixo das ordenadas o ponto B. Vamos atribuirpara as coordenadas de A = (, 0) e para B = (0, ), a reta AB ter equaoy = x+

podemos exibir as retas dessa famlia de retas comoy + x = 0, e2 + 2 L2 = 0.

40

Captulo 2


Pelo Teorema 3, encontraremos a envoltria dessas retas eliminando os parmetros e no sistemacompletando o sistema de trs equaes, encontrando as derivadas parciais eescrevendo na forma def0 g0 f0 g = 0

,f0 = y ; f0 = x

eg0 = 2 ; g0 = 2

simplicando completaremos o sistema de

y + x = 0

(2.10)

2 + 2 L2 = 0

(2.11)

y x + 2 2 = 0

(2.12)

Multiplicando a primeira equao por ( ) e terceira equao por () e somando,obtemos(2 + 2 )x = 3

, que o mesmo que L2 x = 3 , da camos com = (L2 x)1/3

.Para encontrar o valor de , multiplicamos a primeira equao por e a terceiraequao por e somando, obtemos(2 + 2 )y = 3

, que o mesmo que L2 y = 3 , da camos com = (L2 y)1/3

. Substituindo os valores de e na segunda equao do sistema, obtemos(L2 x)2/3 + (L2 y)2/3 = L2

41

Captulo 2


, dividindo tudo por L4/3 , nalmente encontramos a equaox2/3 + y 2/3 = L2/3

, que a envoltria dessa famlia de retas, e consequentemente, segmentos que sotangentes a essa astroide.2.1.4

Segmento que determinam tringulos retngulos de reaconstante

Vimos no Captulo 1 a equao da famlia desses segmentos soy + x 2k = 0 2k = 0.

Seguindo a armao do teorema ( ) vamos determinar as derivadas parciaisf0 = y; f0 = x; g0 = ; g0 =

, e agora exibimos a equaof0 g 0 f0 g0 = y x = 0.

Resolveremos o sistema composto pela trs equaesy + x 2k = 0 2k = 0x y = 0

Substituindo y por x na primeira equao obtemosx = k

analogamentey = k

multiplicando os dois resultados obtemosxy = k 2

42

Captulo 2


e usando a segunda equao do sistema, chegamos a2kxy = k 2

simplicando, temos a equao da envoltria dessa famlia de curvas, que umahiprbolexy =

k2

Figura 2.11:

2.1.5

Segmento e soma constante

Voltamos agora ao problema da famlia de segmentos que tem suas extremidadesno sistema de eixos e que a soma de suas coordenadas uma constante k.Como j foi mostrado (1.9 e 1.10 as equaes abaixo determinam essa famlia desegmentos.y + x = 0+k =0

Fazendo = k e substituindo na equao da reta e simplicando teremosuma equao apenas com um parmetro, no caso . Obtemos:(k )y + x (k ) = 0ky + (x y k) + 2 = 0

43

Captulo 2


e ento podemos aplicar o Teorema 2:f (x, y, ) = 2 + (x y k) + ky = 0

(2.13)

f0 (x, y, ) = 2 + (x y k) = 0

(2.14)

Multiplicando por (2) a primeira equao e por a segunda equao e somando,eliminamos o termo de grau 2 na primeira equao, camos com:(x y k) 2ky = 02 + (x y k) = 0

Agora fazendo =

(xyk)2

e substituindo na primeira, obtemos

(x y k)(x y k) 2ky = 02

, multiplicando por 2(x y k)2 4ky = x2 + y 2 + k 2 2kx 2xy 2ky = 0

somando e subtraindo 4xy ,x2 + y 2 + k 2 2kx + 2xy 2ky 4xy = 0(k x y)2 = 4xy k x y = 2 xyx + 2 xy + y = k ( x + y)2 = k

Figura 2.12:

44

Captulo 2


e nalmente

x+ y = k

a equao da envoltria2 dessa famlia de segmentos.2.1.6

Segmento e sua perpendicular

Lembremos que neste exemplo, ns temos um ponto xo F, um ponto A quevaria de posio numa reta xa. J determinamos a equao dessa famlia de retasperpendiculares ao segmento AF, que escrevemos aqui sua equaof (x, y, ) = py x + 2 = 0,

encontraremos a equao da envoltria, como tem um ponto xo e uma reta xa,esperamos que seja uma parbola.

Figura 2.13:Seguindo o que diz o teorema, para encontrar a equao da envoltria, bastaderivar essa equao e eliminar o parmetro . Vamos passar ao clculo da derivadaf0 = x + 2

fazendo =

xe substituindo na equao de f (x, y, ) e multiplicando por 424py 2x2 + x2 = 0

2

um caso particular de uma hipoelipse (ou curva de Lam) matemtico francs Gabriel Lam(1795 - 1870) que generalizou a equao da elipse | xa |n + | yb |n = 1.

45

Captulo 2


, ou seja,4py = x2

a equao da parbola como envoltria dessa famlia de retas.2.1.7

Circunferncias de raio R e centro numa reta

Uma famlia de circunferncias com raio R e centro numa reta l (g.1.1).Como j vimos a equao (1.12) dessa famlia x2 + y 2 + 2x + 2 R2 = 0

Escreveremos a equao da famlia de curvas na forma polinomialf (x, y, ) = 0,

(2.15)

onde f (x, y, ) a parte esquerda da equao (1.1)Apenas duas retas tangenciam cada uma das circunferncias dessa famlia, soparalelas a reta L, as Envoltrias dessa famlia de circunferncias, ou seja, as retasy = R e y = R.Conhecendo a equao dessa famlia de circunferncia vista no Captulo 1, vamosagora exibir a equao da sua envoltria, escrevendo na formaf (x, y, ) = 0

e derivando em relao a obtemos(

x2 + y 2 2x + 2 R2 = 0,2x + 2 = 0.

Figura 2.14:Fazendo = x na primeira dessas equaes obtemosy 2 R2 = 0

46

Captulo 2


e da apenas duas retas y = R e y = R, ou seja, so as Envoltrias dessa famliade circunferncias.2.1.8

Circunferncias com centro numa Circunferncia

J vimos as equaes da famlia de circunferncias de raio r com centro numacircunferncia de raio R.

x2 + y 2 2x 2y + 2 + 2 r2 = 0,

(2.16)

2 + 2 R2 = 0.

(2.17)

A terceira equao conforme o Teorema 3 :(2.18)

x + y = 0

Para determinar a envoltria vamos isolar os temos que tem , de um lado daigualdade.x2 + y 2 + R 2 r 2x + y =2x + y = 0

Elevando ao quadrado ambas equaes x2 + y 2 + R 2 r 2 2(x)2 + 2xy + (y)2 =2(x)2 2xy + (y)2 = 0

Somando as duas equaes e fatorando(2 + 2 )x2 + (2 + 2 )y 2 =

x2 + y 2 + R 2 r 2 22

Que o mesmo que4R2 (x2 + y 2 ) = (x2 + y 2 + R2 r2 )2

Desenvolvendo o parnteses4R2 (x2 + y 2 ) = x4 + y 4 + R4 + r4 + 2x2 y 2 + 2x2 R2 2x2 r2 + 2y 2 R2 2y 2 r2 2R2 r2

Simplicandox4 + y 4 + R4 + r4 + 2x2 y 2 2x2 R2 2x2 r2 2y 2 R2 2y 2 r2 2R2 r2 = 0

47

Captulo 2


Somando 4R2 r2 e fatorando(x2 + y 2 R2 r2 )2 = 4R2 r2

E nalmente as equaes das envoltrias dessa famliax2 + y 2 = (R + r)2

ex2 + y 2 = (R r)2 .

Figura 2.15:

2.1.9

A Hiprbole como envoltria

Vimos que a equao da famlia de circunferncias

u2 f (x, y, ) = 1 2 2 2x + x2 + y 2 + h2v

, e agora tomando sua derivada parcial em relao a que denotaremos porf0 (x, y, )

u2 = 2 1 2 2xv

48

Captulo 2


que podemos escrever na forma , de acordo com o Teorema 2 devemos eliminar ou2 parmetro , para isso faremos 1 2 x = 0 e assim obtemosv

x

=

1

u2v2

e substituindo em f (x, y, ) obtemos2x2x2+ x2 + y 2 + h2 = 0u2u21 21 2vv

que o mesmo que

v 2 + v 2 u2 x2222+x+y+h=x2 + y 2 + h2 = 0u2v 2 u21 2v

da obtemos

x2 u 2+ y 2 + h2 = 0v 2 u2

dividindo por h2 camos comy2x21=0(v 2 u2 )h2h2u2uv

e nalmente fazendo c = h obtemosx2y2=1c2 h2 h2

que a equao de uma hiprbole como a envoltria dessa famlia de circunferncias, embora no nosso problema o lado direito da hiprbole, quando x > 0, seja asoluo.2.1.10

A Elipse como envoltria

Retomando a famlia de retas geradas a partir de uma circunferncia e um ponto,as quais expressamos pelas equaes abaixo

49

Captulo 2


Figura 2.16:

2 + 2 2x 2y 2cx c2 = 0

(2.19)

2 + 2 2c + c2 4a2 = 0

(2.20)

determinemos a terceira equao de acordo com o Teorema 3 derivando em relao a e a f0 = 2 2x; f0 = 2 2y ; g0 = 2 2c e g0 = 2 que ( x) ( y)( c) = 0

(2.21)

tambm podemos escrever como( c)y = (x c)

e na forma de equao de uma reta L'y=

cxcc

Antes de escrever a envoltria C dessa famlia de retas vamos examinar algumaspropriedades. Escolhemos ento um ponto A de coordenadas , que satisfaz asequaes 2.19, 2.20, 2.21 e consequentemente vai existir um ponto T de coordenadasx,y que satisfaz a reta tangente L e a envoltria C. Temos ento A, T e F1 pertencentes a mesma reta L', j que suas coordenadas tambm satisfaz a equao dessareta, logoAT + T F1 = 2a

, raio da circunferncia.

50

Captulo 2


Figura 2.17:Como todo ponto de L equidistante a A e F2 , ento AT = T F2 e da obtemosT F1 + T F2 = 2a

, ou seja, a primeira propriedade a envoltria C o lugar geomtrico dos pontos emque a soma das distncia a dois pontos xos F1 e F2 igual a uma constante, quegeralmente dada como denio da elipse.A segunda propriedade tem haver com os ngulos que a rela L faz com as semiretas T F1 e T F2 . Os pontos F2 e A so simtricos em relao a reta L, portanto< M T A =< M T F2 . A reta L' intersepta a reta L no ponto T, logo os ngulos0 T F so opostos pelo vrtice, da\MT A e T\1< M T A =< T 0 T F1 =< M T F2

Isso signica que o raio de luz que sai do ponto F2 em direo a F2 T , ao reetirna reta L segundo a lei "o ngulo de incidncia igual ao ngulo de refrao",seguir em seguida pelo segmento T F1 . Embora a rela L toca a elipse no ponto Te, por consequncia, a reexo do raio no ponto T da reta L equivalente a reexoda prpria elipse no ponto T . Pois assim, se colocarmos em um dos focos da elipseuma fonte puntiforme de luz mostra que cada raio , convergir para o segundo foco,51

Captulo 2


Figura 2.18:

ou seja, todos os raios reetidos se reuniro ( "enfocaram", daqui a denominao"foco") no segundo foco da elipse (Fig. 2.19).Para nalizar, desenvolvendo a relao que obtemos na primeira propriedade, aequao da elipse que examinamos tem a forma dex2y2+=1a2 a2 c 2

. Esta equao tambm pode ser obtida de (2.19), (2.20), (2.21) eliminando osparmetros e .Geralmente escrevemos b2 = a2 c2 e a equao se escreve na forma:x2 y 2+ 2 = 1.a2b2.1.11

(2.22)

Lemniscata

De vrias maneiras podemos obter a equao da lemniscata, mas vamos agoraobter como uma famlia de circunferncia, que passa pela origem, com centro numahiprbole. Escolhamos um ponto na hiprbole P = (, ), ento como j vimos aequao dessa famlia de circunferncias tem equaof (x, y, , ) = x2 + y 2 2x 2y = 0,

52

Captulo 2


Figura 2.19:como P pertence a hiprbole, podemos relacionar os dois parmetros pela equaog(, ) = 2 2 k 2 = 0

e determinando as derivadas parciais, temos a equaox + y = 0

Da primeira equao temos(x2 + y 2 )2 = (2x + 2y)2= 42 x2 + 8yx + 4 2 y 2 = 42 x2 + 4yx + 4yx + 4 2 y 2

Fazendo y = x , obtemos42 x2 4 2 x2 + 42 y 2 + 4 2 y 2 = 4x2 (2 2 ) 4y 2 (2 2 ) = 4(2 2 )(x2 y 2 )

mas, da 2 2 = k 2 , portanto(x2 + y 2 )2 = 4k 2 (x2 y 2 )

que a equao da lemniscata, com isso a lemniscata a envoltria dessa famlia decircunferncias com centro na hiprbole.

53

Captulo 2


Figura 2.20:

54

Apndice AA.1

Introduo

Apresentaremos agora algumas equaes tratadas na Geometria analtica do ensino mdio e usamos nesta dissertao.A.1.1

Retas e circunferncias

O ponto vamos representar como um par de coordenadas no plano, por exemplo,A=(4,3).A reta vamos representar por dois pontos AB, e a equao da reta no planocartesiano representada nas formas: cartesiana(ou Geral) e reduzida (ou Am).Se temos dois pontos A e B, vamos determinar a reta AB. Vamos representar acoordenadas do ponto A por xA , yA e as coordenadas de B por xB , yB .A equao Cartesiana (ou Geral) da reta pode ser calculada usando um pontovarivel P=(x, y) e os dois pontos que j conhecemos A e B. Como os trs pontospertencem a reta AB, a tangente dois a dois destes pontos so iguais, ou seja,yA yBay yA==x xAxA xBb

, da fazendo b(y yA ) = a(x xA ) e eliminando os parnteses, obtemos:by byA = ax + axA

que o mesmo queax + by = axA + byA

fazendo c = byA + axA chegamos a equao:ax + by = c

Para escrever a equao Am (ou Reduzida), basta dividir por b e isolar o y, ou

55

Apendice

Introduo

seja,

cay = x+bbab

e chamando m = e n =

cchegamos a forma:by = mx + n

, onde m chamado de coeciente angular, pois a tangente do ngulo de inclinaode reta, e n chamado de coeciente linear, que a interseo da reta com o eixo y.

Denio 5 Lugar Geomtrico um conjunto dos pontos que tem uma mesmapropriedade.

Assim podemos dizer que a Circunferncia o lugar geomtrico dos pontosque esto a mesma distncia (raio da circunferncia) de um ponto dado (centro dacircunferncia).A circunferncia de centro (, ) e raio R, representada pela equao:(x )2 + (y )2 = R2 .

Figura A.1:

56

(A.1)

Apendice

IntroduoA.1.2

Elipse

A Elipse o lugar geomtrico dos pontos em que a soma das distncias a doispontos xos (focos) uma constante.A elipse de focos A e B, centro (, ), considerando 2a o comprimento do eixomaior, na horizontal, 2b o comprimento do eixo menor, na vertical e 2c a distnciafocal, representada por(x )2 (y )2+= 1,a2b2

onde os parmetros a, b e c se relacionam pela equaob 2 + c 2 = a2 .

Figura A.2:

57

(A.2)

Apendice

IntroduoA.1.3

Parbola

A Parbola o lugar geomtrico dos pontos equidistantes a um ponto xo (foco)e uma reta (diretriz).Uma parbola de foco F (a, b + p), vrtice V = (a, b) e diretriz y = b p, onde2p a distncia do foco a diretriz, representada por(x a)2 = 4p(y b)

(A.3)

Figura A.3:

A.1.4

Hiprbole

A Hiprbole de focos A e B o lugar geomtrico dos pontos em que a diferena,entre as distncias do foco A e a do foco B, uma constante.Uma hiprbole de centro (, ), seja 2c a distncia focal e 2a distncia principale 2b distncia secundria, tal que a2 + b2 = c2 , representada por(x )2 (y )2= 1,a2b2

onde os parmetros a, b e c se relacionam pela equaoa2 + b 2 = c 2 .

Rotao de eixo comum aparecer a hiprbole equiltera na formaxy = k

58

(A.4)

Apendice

Introduo

Figura A.4:, vamos mostrar que uma hiprbole com uma rotao de eixo.

Figura A.5:Vamos considerar dois eixos um com eixos xy e outro com eixos xy , o segundorotacionado no sentido anti-horrio de uma ngulo . As coordenadas do ponto Ano sistema de eixos xy chamamos de xA, yA e no sistema de eixos xy chamamos dexA, yA.Vamos escreverxA = xAcos yAsenyA = xAsen + yAcos

Agora para um ponto qualquer de coordenadas x,y e x, y , escrevendoxy = (xcos ysen)(xsen + ycos) = k

59

Apendice

Introduo

Figura A.6:

x2 cossen y 2 cossen + xycos2 xysen2 = k

(x2 y 2 )cossen + xy(cos2 sen2 ) = k

Na ltima equao escolhemos um valor de que anule o termo xy , ou seja, = 45o, da obtemos(x2 y 2 )cos(45o )sen(45o ) = x2 y 2 = 2k

equao de uma hiprbole rotacionada de 45o em rela ao eixo xy.

A.1.5

Lemniscata

A lemniscata uma curva plana denida a partir de dois pontos dados F1 e F2 ,conhecido como focos , a uma distncia de 2a um do outro como o lugar geomtricodos pontos P, de modo que P F1 .P F2 = a2 . A curva tem uma forma semelhante aoalgarismo 8 e smbolo para representar innito.

Denio 6 A Lemniscata o lugar geomtrico dos pontos P, cujo produto dasdistncia a dois pontos xos ( focos) igual a a2 .

Sejam F1 = (a, 0) e F2 = (a, 0) os focos da lemniscata de centro O = (0, 0), ousejapp(x + a)2 + y 2 . (x a)2 + y 2 = a2

60

Apendice

Introduo

Figura A.7: Lemniscata de Bernoulli[(x + a)2 + y 2 ].[(x a)2 + y 2 ] = a4[x2 + 2ax + a2 + y 2 ][x2 2ax + a2 + y 2 ] = a4[(x2 + y 2 ) + (a2 + 2ax)][(x2 + y 2 ) + (a2 2ax)] = a4(x2 + y 2 )2 + (x2 + y 2 )(a2 2ax) + (x2 + y 2 )(a2 + 2ax) + a4 4a2 x2 = a4(x2 + y 2 )2 + (x2 + y 2 )2a2 4a2 x2 = 0(x2 + y 2 )2 + (x2 + y 2 2x2 )2a2 = 0(x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 y 2 )

a forma cartesiana da lemniscata. Fazendo x = rcos e y = rsin, obtemos aequao polarr2 = 2a2 cos2A.1.6

Cardiide

Figura A.8:61

Apendice

Introduo

A cardiide denida pelo percurso de um ponto na circunferncia de umcrculo com um raio R que rola sem escorregar sobre um outro crculo de mesmoraio.Equao cartesiana(x2 + y 2 2Rx)2 = 4R2 (x2 + y 2 ).

Equao polarr = 2R(1 + cos)

62

Captulo 2

Noo de limiteA.2

Noo de limite e derivada

Vamos estudar limite das funes polinomiais f (x) = an xn + an1 xn1 + ... +a2 x2 + a1 x + a0 chamemos de limite L de f(x) para x quando se aproxima de b, erepresentar por:lim f (x) = L

xb

tal que, para um certo x0 , L = f (x0 ).Exemplo 1: Seja f (x) = 3x 5, o lim 3x 5 = 3.4 5 = 12 5 = 7x4

Exemplo 2: Seja f (x) = 5x2 4x2, o lim 5x2 4x 2 = 5.(2)2 4.(2)2 =x2

20 + 8 2 = 26

Denio 7 Uma funo de domnio D contnua num ponto x0 de seu domnio,se somente se:i) existir o valor de f (x0 );ii)existir o lim f (x)xx0iii)f (x0 ) = lim f (x)xx0

A funo polinomial um exemplo de funo contnua em

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