A equação de Black-Scholes com ação impulsiva

A equação de Black-Scholes com açãoimpulsiva

Everaldo de Mello Bonotto

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 27 de Maio de 2008

Assinatura:

A equação de Black-Scholes com ação impulsiva

Everaldo de Mello Bonotto

Orientadora: Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de

Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para

obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática.

USP - São Carlos

Maio/2008

Aos meus pais,

Heleno e

Maria.

Agradecimentos

Agradeço a Deus por sempre estar presente em minha vida.

Aos meus pais, que me deram a oportunidade de estudo e graças aeles pude conquistar mais

uma etapa em minha vida. À minhas irmãs que sempre estiveram incentivando-me e torcendo por

mim.

Às professoras Eti, Lúcia Spegiorin, Ilza e Adelcira, que sempre acreditaram em mim e sempre

me ajudaram para meu egresso da universidade.

Aos meus amigos e professores do curso de graduação em Licenciatura Plena em Matemática

pela UNESP de Presidente Prudente. Não posso deixar de citaros professores José Roberto,

Biroca, Suetônio, Marcelo Messias e Maria Raquel que sempreme ajudaram e me apoiaram a

continuar os estudos, e, os alunos Angela, Rodrigo e Tacianaque são meus verdadeiros amigos

que fiz na graduação. Em especial à Profa. Dra. Monica Fürkotter, pela sua orientação, amizade e

incentivos.

Aos professores do ICMC pelo ensino de qualidade e aos funcionários do ICMC pelo excelente

trabalho que é desenvolvido neste instituto.

Aos meus amigos de minha turma de doutorado Aldicio, Andréa,Juliano, Nivaldo, Sandro

e Thiago, pelo companherismo e pelos estudos em grupo. Em especial aos amigos que sempre

estiveram presentes em minha caminhada nos momentos de diversão: Ana Carla, Daniela, Esdras,

Fernando, Graziela, José Paulo, Michele, Nivalda, Sadao, Ricardo, Sandra, Sandro e Tatiane.

Nivaldo e Suelen, obrigado pela amizade sincera que temos. Passamos por ótimos momentos

durante esta temporada em São Carlos.

A todos meus amigos de Derry na Irlanda do Norte. Este último ano de meu doutorado foi

muito gratificante. Tive a oportunidade de conhecer uma novacultura e valiosas amizades como os

amigos Aaron, Amy Rawle, Brandon Kastner, Chichi, Daiana Webster, Emmet Colton, Erin Smith,

Francis Ward, Kai-Yu Tseng, Karla Muñoz, Kevin e Laura Fowler, meus amigos da igreja Corner-

stone: Abdul, Claire Collins, Claire, Jasper, Jessica, Kirstin, Mappi, Mawusi, Nadege, Stephen

Brown e Wendy. Não posso esquecer de citar Vicent, Pauline, Hilda, Cris, Billy e Anna pela

amizade e hospitalidade.

Estar longe da família e dos amigos é uma situação difícil de se lidar. No entanto, agradeço

a família Graham: Bernie, David, Michael e Richard que me adotaram como um integrante da

família e me proporcionaram uma excelente estadia na Irlanda do Norte.

Ao meu supervisor, o prof Dr. Patrick Muldowney da University of Ulster, Irlanda do Norte.

Pat Muldowney e sua esposa Marie foram grandes amigos e agradeço a eles por tudo o que eles

fizeram por mim.

Sou extremamente grato à minha orientadora, a professora Dra. Márcia Federson, que foi de

fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho. Amizade, paciência e disposição

são poucas das qualidades que ela possui. Com certeza não teria trabalhado em diferentes áreas

simultaneamente com um outro orientador! Obrigado por tudoe por ter aceitado a me orientar.

Ao CNPq e a CAPES pelo apoio financeiro para realização deste trabalho.

Agradeço a todos os meus amigos que contribuiram de alguma forma para a realização deste

trabalho.

Resumo

Impulsos são perturbações abruptas que ocorrem em curto espaço de

tempo e podem ser consideradas instantâneas. E os mercados financeiros

estão sujeitos a choques bruscos como mudanças de governos,quebra de em-

presas, entre outros. Assim, é natural considerarmos a açãode tais eventos

na precificação de ativos financeiros. Nosso objetivo neste trabalho é obter-

mos uma formulação para a equação diferencial parcial de Black-Scholes

com ação impulsiva de modo que os impulsos representem esteschoques.

Utilizaremos a teoria de integração não-absoluta em espaçode funções para

obtenção desta formulação.

Abstract

Impulses describe the evolution of systems where the continuous devel-

opment of a process is interrupted by abrupt changes of state. Financial

markets are subject to extreme events or shocks as government changes,

companies colapse, etc. Thus it seems natural to consider the action of these

events in the valuation of derivative securities. The aim ofthis work is to ob-

tain a formulation for the Black-Scholes equation with impulse action where

the impulses can represent these shocks. We use the non-absolute integration

theory in functional spaces to obtain such formulation.

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 7

1.1 Fundamentos do mercado financeiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7

1.2 Mercado de derivativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

1.3 Opções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 O problema para apreçamento de uma opção de compra Européia . . . . . 14

1.4 O Modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

1.4.1 Conceitos da Teoria de Probabilidades . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15

1.4.2 O processo de Wiener ou movimento browniano . . . . . . . . .. . . . . 18

1.4.3 O Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.4 Hipóteses do modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20

1.4.5 Obtenção da equação diferencial de Black-Scholes . . .. . . . . . . . . . 21

1.4.6 A fórmula do preço de uma opção de compra européia . . . . .. . . . . . 23

11

12 SUMÁRIO

2 Integração em Espaços de Funções 27

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

2.2 A integral de Henstock em espaços de funções . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 29

2.3 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 36

2.4 A integral de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41

3 Integral de Wiener para um processo com impulsos 47

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47

3.2 A Função volume para um processo com impulsos . . . . . . . . . .. . . . . . . 48

4 Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos 65

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65

4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo . . . . . .. . . . . . . . . . 66

4.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 A equação de Black-Scholes com ação impulsiva 79

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79

5.2 A função distribuição de probabilidades para um processo impulsivo . . . . . . . . 81

5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 85

5.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96

Referências Bibliográficas 99

Introdução

Um ativo financeiro é uma reivindicação por algum pagamento epode ter a forma física de um

pedaço de papel no qual é escrito um contrato legal que especifique a reivindicação. Tais ativos são

negociados freqüentemente: comprados e vendidos. É importante estabelecer o valor monetário,

aqui e agora, de um ativo financeiro visto que, se seu valor correto não for conhecido, então ele

não pode ser negociado de maneira justa.

Uma nota bancária (dinheiro) também é um pedaço de papel que sinaliza um valor monetário.

E seu valor está escrito sobre ela. Isto também acontece com um cheque. Por outro lado, o valor

monetário de um conjunto de ações de uma empresa pode ser estimado através do número total

de ações emitidas pela empresa e do valor total da empresa dado por seu balancete. Este valor é

determinado pelo mercado de ações e é reportado diariamenteem jornais.

Mas existem outros tipos de ativos financeiros cujos valoressão mais difíceis de serem deter-

minados. Este é o caso, por exemplo, de contratos futuros e deopções. Os contratos futuros e as

opções são fundamentais no entendimento de derivativos, ouseja, ativos cujos valores dependem

do valor de outros ativos.

A partir dos trabalhos de F. Black e M. Scholes ([5]) e R. C. Merton ([23]), ganhadores do

Prêmio Nobel de Ecônomia em 1997, começou-se a entender a estimativa para o valor de opções.

O modelo conhecido como equação de Black-Scholes para apreçamento de opções européias (eu-

1

2 Introdução

ropean call options) usa a integral de Lebesgue e o cálculo de Itô para modelar os processos

envolvidos.

O contexto de Black-Scholes é bastante flexível. As considerações mais críticas são transações

em tempo contínuo e dinâmica contínua de preços de ativos. Quando esta última consideração é

satisfeita, o preço dado pela equação de Black-Scholes podeser justificado como uma aproximação

assintótica para o preço “arbitrado" sob uma transação discreta, quando o intervalo da transação

tende a zero. Mas preços de ativos são realmente contínuos?

Em geral, assume-se que qualquer contrato escrito será honrado. Em particular, quando um

governo ou empresa possui um título, ignora-se a possibilidade de quebra do contrato na maturi-

dade. Entretanto quebras de contrato acontecem. Há alguns anos este fato foi ilustrado, de forma

dramática, pelas crises de crédito na Ásia, América Latina eRussia. Se uma empresaA possui

uma quantidade substancial de ativos de débitos da empresaB, então uma quebra deB pode im-

plicar numa queda repentina no preço das ações da empresaA. E como é possível incorporar estes

efeitos ou choques de mercado no modelo de Black-Scholes?

Pela sua própria natureza, quebras são imprevisíveis. Se assumirmos que não há qualquer

informação que nos ajude a prever os tempos de quebra ou outros choques do mercado, então tais

tempos podem ser modelados por uma variável randômica de Poisson. Isto significa que o tempo

entre choques é distribuído exponencialmente e o número de choques no tempot, denotado por

Nt, é uma variável randômica de Poisson, com parâmetroλt para algumλ > 0. Entre os choques,

assume-se que o preço de um ativo segue o movimento brownianogeométrico (veja [3] e [9]).

Um modelo típico para a evolução do preço de um ativo de risco com choques ou saltos é dado

pordStSt

= µdt+ σdWt − δdNt, (1)

ondeWtt≥0 eNtt≥0 são independentes eµ, σ eδ são constantes. Aqui,µ é a tendência (drift),

σ é a volatilidade (volatility), Wtt≥0 é um movimento browniano geométrico,Stt≥0 é um

martingale eNtt≥0 é um processo de Poisson.

A fim de dar sentido à equação (1), considera-se sua formulação integral. Neste caso, é preciso

definir a integral estocástica com respeito aNtt≥0. Escrevendoτ(i) para o i-ésimo tempo de

salto no processo de Poisson, define-se

Introdução 3

∫ t

0

f(u, Su)dNυ =n∑

i=1

f(τ(i)−, Sτ(i)−).

Para tratar de modelos mais gerais, é preciso estender a teoria do cálculo estocástico a fim de se

incorporar os processos com saltos. Em [9], isto é feito paraa equação (1), onde se usa o cálculo

de Itô.

Sabe-se que a equação de Black-Scholes é dada por

∂f

∂t+ rx

∂f

∂x+

1

2σ2x2∂

2f

∂x2= rf,

ondef = f(x, t) denota o valor de um ativo derivativo dependendo do valorx de um ativo

subordinado no tempot, er é a taxa de juros livre de risco. Em qualquer tempo no “futuro", x ef

são variáveis randômicas eσ é relacionada com o desvio padrão dex em tempos sucessivos.

O modelo básico de Black-Scholes ([5]) assume que a variávelrandômica,x(t), possui in-

crementos de tempo que são estatisticamente independentesum do outro e têm distribuição log-

normal tal queln x(t′

) − ln x(t′′

) é distribuída de forma normal com médiaµ(t′ − t

′′

) e variância

σ2(t′ − t

′′

). Estas considerações implicam a existência de uma medidaP sobre o espaço amostral

subordinado,Ω, sobre o qual os processosx ef estão definidos.

Um tratamento (veja [3]) para a estimativa do ativo derivativo, em termos dos valores do

ativo subordinado, estabelece a dependência def sobrex e t como uma esperança:E(f) =∫

Ωf(x, t)dQ, ondeQ é uma medida sobreΩ para a qual, primeiramente, a tendênciaµ do pro-

cessolnx é substituida pela taxa de juros livre de riscor e, em segundo lugar, o processof é

um martingale sob a medidaQ, dandof = E(f). Este método de análise é conhecido como

precificação de risco neutro (livre de risco) e a teoria matemática relacionada ao método envolve

o Teorema da Extensão de Kolmogorov, o cálculo de Itô para equações diferenciais estocásticas,

o Teorema de Radon-Nikodym e o Teorema de Girsanov. Porém, seusarmos a integral de Hen-

stock em lugar da integral de Lebesgue para calcularmos a esperança, o mesmo resultado pode ser

conseguido por métodos elementares. Veja [32], por exemplo.

Em ambas as formulações de Lebesgue e de Henstock, o espaço amostralΩ para o processo

de precificação pode ser tomado como sendoR∗(t, T ]+ , comx : (t, T ] → R∗

+ no espaço amostral.

Nas duas formulações, a consideração básica para o modelo deBlack-Scholes descrita acima dá a

4 Introdução

seguinte expressão paraP(I),

∫ v1

u1

...

∫ vn

un

n∏

j=1

exp

(ln xj − ln xj−1) − µ(tj − tj−1)

2σ2(tj − tj−1)

2

2πσ2(tj − tj−1)−1/2dxjxj

,

ondeI = x : uj ≤ x(tj) < vj , j = 1, 2, ..., n, t = t0 < t1 < t2 < ... < tn = T e escrevemos

xj parax(tj). Quando a integração de Lebesgue é usada nesta etapa, o Teorema da Extensão de

Kolmogorov é aplicado para podermos estender o domínio deP, além dos intervalos cilíndricos

I, a todos os conjuntos mensuráveis do espaço amostral e, quando usamos equações diferenciais

estocásticas para representar o processo de precificação, oTeorema de Girsanov produz a mudança

de medida necessária para alcançarmos a precificação de risco neutro.

Por outro lado, o uso da integral de Henstock requer, somente, que a medida esteja definida

sobre intervalos cilíndricosI. Logo, para se obter a medidaQ necessária para a precificação de

risco neutro, tudo que é necessário é um argumento simples dandoQ(I) como segue

∫ v1

u1

...

∫ vn

un

n∏

j=1

exp

(ln xj − ln xj−1) − r(tj − tj−1)

2σ2(tj − tj−1)

2

2πσ2(tj − tj−1)−1/2dxjxj

(veja [29] e [31]). Desta forma, as expressões paraP e Q diferem, somente, na substituição da

tendência,µ, pela taxa de juros livre de risco,r. Um argumento elementar demonstra que a integral

de Henstock com respeito aQ dá uma solução da equação de Black-Scholes, [29]. (Um argumento

análogo é usado em [24] e [28] para se obter soluções de Henstock para equação de difusão e para

equação de Schrödinger.) Mais do que isto, a taxa de juros livre de risco e a volatilidade não

precisam ser contínuas por partes. Basta que sejam contínuas exceto num conjunto de medida

de Lebesgue zero ([29], Prop. 11) e isto aproxima melhor a condição real vivida pelo mercado

financeiro.

A seguir, descrevemos os tópicos da presente tese e os resultados principais.

No Capítulo 1, apresentamos a teoria base do modelo de Black-Scholes. Na seção 1.1, um

breve resumo de alguns conceitos em Finanças é apresentado.Na seção 1.2, descrevemos um

mercado de derivativos. Na seção 1.3, definimos um contrato de opções e exemplificamos um

contrato de opção de compra e um contrato de opção de venda. Finalizamos com a Seção 1.4,

apresentando o modelo de Black-Scholes. Para isso, dividimos a Seção 1.4 em seis subseções: na

Subseção 1.4.1 descrevemos alguns conceitos da teoria de probabilidades; um processo de Wiener

Introdução 5

é definido em 1.4.2, o Lema de Itô em 1.4.3, as hipóteses do modelo de Black-Scholes em 1.4.4,

equação de Black-Scholes em 1.4.5 e, na Subseção 1.4.6, estabelecemos a fórmula do preço de

uma opção de compra européia.

No Capítulo 2, apresentamos a ferramenta fundamental que iremos utilizar no modelo de

Black-Scholes, isto é, integração em espaço de funções. Na Seção 2.1, fazemos uma introdução

sobre a teoria de integração de Henstock. Na Seção 2.2, definimos a integral de Riemann ge-

neralizada em um espaço de dimensão infinita. Algumas propriedades da integral de Riemann

generalizada em um espaço de funções são feitas na Seção 2.3 e, na Seção 2.4, apresentamos a

integral de Wiener.

No Capítulo 3, obtemos a integral de Wiener para um processo com impulsos. Dividimos o

capítulo em duas seções. Na Seção 3.1, fizemos uma introduçãosobre a teoria a ser apresentada no

capítulo e, na Seção 3.2, definimos a função volume para um processo com impulsos e provamos

algumas propriedades para esta função.

Dividimos o Capítulo 4 em três seções. Iniciamos a Seção 4.1 com uma introdução. Na

Seção 4.2, estabelecemos uma equação diferencial parcial com ação impulsiva cuja solução possui

uma representação de Feynman-Kac. Finalizamos o capítulo com a Seção 4.3, apresentando um

exemplo sobre a teoria.

No Capítulo 5, a equação de Black-Scholes com ação impulsivaé estabelecida. Iniciamos o

capítulo com uma discussão sobre a teoria envolvida no modelo de Black-Scholes feita na Seção

5.1. Na Seção 5.2, apresentamos a função distribuição de probabilidades para um processo com

impulsos. Na Seção 5.3, apresentamos o modelo de Black-Scholes com impulsos e finalizamos o

capítulo com um exemplo usando a equação obtida.

CAPÍTULO

1

Preliminares

Neste capítulo, apresentamos o famoso modelo de Black-Scholes para apreçamento de uma

opção de compra européia. Iniciamos apresentando alguns conceitos básicos do mercado finan-

ceiro que usaremos no decorrer deste trabalho. Finalizamoso capítulo com o modelo de Black-

Scholes, que estabelece um fórmula determinística para o apreçamento de uma opção de compra

européia.

1.1 Fundamentos do mercado financeiro

Apresentamos, a seguir, um breve resumo de alguns conceitosem Finanças que iremos uti-

lizar posteriormente. O glosário que apresentamos e o uso dos termos técnicos em Finanças têm

como base os glosários de Baxter& Rennie [3], Bernstein [4], Brealey& Myers [6], Downes

& Goodman [7], Gélédan& Brémond [11], Pindyck& Rubinfeld [33], Siqueira [34] e o site

http://www.bertolo.pro.br/Adminfin/HTML/Dicionario. htm#commodities.

7

8 Capítulo 1 — Preliminares

Um ativo ou bem (asset) é algo capaz de produzir fluxo monetário para o proprietário. É

qualquer bem com valor comercial ou valor de troca pertencente a uma sociedade, instituição ou

pessoa física. Exemplos: imóveis, dinheiro aplicado, ações, jóias, etc.

Valor mobiliário (security) é um instrumento que indica participação em uma companhia

(ações), relacionamento de um credor com uma empresa ou entidade governamental (obrigações),

ou direitos de propriedades representados por instrumentos como opção, direito de subscrição e

bônus de subscrição.

Ação (share) é o valor mobiliário emitido pelas companhias e representativo de parcela do

capital. É o documento que indica ser o seu possuidor o proprietário de certa fração de determinada

empresa. As ações representam a menor fração do capital social destas companhias, ou seja, é o

resultado da divisão do capital social em partes iguais. Quando emitidas por companhias abertas

ou assemelhadas, são negociados em bolsa de valores ou no chamado mercado de balcão. O

investidor torna-se, portanto, sócio da empresa da qual adquiriu ações e os poderes a ele atribuídos

são limitados pelo tipo de ação que comprou e também pela quantidade de ações que possui.

Mercadorias (commodities) são produtos como cereais, metais e alimentos negociados em

uma bolsa de mercadorias ou no mercado à vista.

Dividendo (dividend) é a parcela do lucro da empresa que é distribuída aos acionistas, de

acordo com a quantidade de ações possuídas. Normalmente, é resultado dos lucros obtidos por

uma empresa.

Rentabilidade ou retorno (return) é a medida de ganho financeiro nominal sobre o total do

investimento, expressa em termos percentuais. Exemplo: uminvestimento inicial de R$ 90,00, que

hoje vale R$ 97,00, gerou um ganho financeiro nominal de R$ 7,00 e uma rentabilidade de 7%.

Risco (risky) é o grau de incerteza da rentabilidade de um investimento. Exemplo: afirmar

que um investimento é de alto risco significa que temos pouca chance de prever, com precisão, a

rentabilidade deste investimento. Em contrapartida, esseinvestimento oferece possibilidade de re-

torno superior a um investimento conservador. No jargão financeiro, a palavra “risco" está sempre

associada à probabilidade de ganhos ou perdas acima ou abaixo da média de mercado. O investidor

deve estar atento a essa diferença, porque na linguagem cotidiana a palavra “risco" muitas vezes é

1.1 Fundamentos do mercado financeiro 9

usada para indicar a possibilidade de perda (diminuição) oumanutenção do estado atual, excluindo

a possibilidade de ganho (retorno ou crescimento).

Obrigaçõesou títulos (bonds) é o reconhecimento formal, por escrito, de uma dívida, pelo

qual uma das partes promete pagar certa importância, em determinada data futura, e mais juros,

em datas pré-fixadas, até o vencimento.

Ativo financeiro (financial asset) é qualquer título representativo de partepatrimonial ou

dívida. Exemplos: títulos da dívida pública, contratos derivativos, ações, etc.

Derivativo (derivative) são ativos financeiros cujos valores e características de negociação es-

tão amarrados aos ativos que lhes servem de referência (chamados ativos-base). A palavra “deriva-

tivo” vem do fato que o preço do ativo é derivado de um outro ativo (ativo-base). Exemplo: opção

da Petrobrás, o preço desta opção é derivado do ativo-base “ação da Petrobrás".

Tendência(drift), que representamos pela letraµ, é a taxa de retorno esperada para um ativo

com relação a uma medida de probabilidade.

Volatilidade (volatility), que representamos pela letraσ, é um indicador que mede o risco de

um determinado investimento. Quanto maior a volatilidade,maior o risco para o investidor, com-

parativamente aos demais fundos do segmento em questão. O cálculo deste indicador considera

a dispersão para cima ou para baixo da rentabilidade diária em relação à média da rentabilidade

em determinado período (desvio padrão). Mede, também, o grau médio de variação das cotações

de um título ou fundo de investimento em um determinado período de tempo. Alta volatilidade

significa que o valor da cotação apresenta forte variação.

Venda a descoberto(short-selling) é uma modalidade de negociação em que um negociante

vende algum ativo ou derivativo financeiro que ele não possui, esperando que seu preço caia, para

então comprá-lo, fechando sua posição e auferindo os lucrosda transação. Exemplo: João percebe

que o preço das ações de uma empresaA está muito alto, em R$ 50,00, e que uma queda na cotação

é iminente. João não possui nenhum papel da empresaA. Ainda assim, ele resolve vender 1000

papéis. Sua conta na corretora de valores é creditada em 1000x R$ 50,00 = R$50.000,00. Dias

depois, a expectativa de João se concretiza e o preço realmente cai, chegando a R$ 40,00. João,

então, compra 1000 papéis. Sua conta é debitada em 1000 x R$ 40,00 = R$ 40.000,00. Com isto,

João auferiu um lucro de R$ 10.000,00.


O risco óbvio de tal operação é que a expectativa não se cumprae o preço aumente ao invés de

cair. Se, em nosso exemplo, o preço deA alcançasse os R$ 60,00, João amargaria um prejuízo de

R$ 10.000,00.

Teoricamente, não há teto para o preço de um ativo ou derivativo. Um negociante poderia

amargar um prejuízo infinito em uma operação de venda a descoberto. O lucro, no entanto, é

limitado ao valor creditado no momento da venda, sendo que o negociante somente obterá esse

lucro quando o preço do ativo chegar a zero.

Arbitragem (arbitrage) é a compra de um valor mobiliário e a sua venda simultânea para a

obtenção de lucro sem risco ou a realização de lucro garantido sem incerteza, com uma ou mais

transações no mercado. Arbitragem é a obtenção de lucros comdiferenças de preço quando o

mesmo título, moeda ou mercadoria é negociado em dois ou maismercados. Exemplo: suponha

que dois bancosA eB estabeleçam a taxa de juros ao ano no valor de 8% e 10% respectivamente.

Um arbitrador dever tomar o máximo que puder de espréstimo dobancoA e depositar todo esse

valor no bancoB, uma vez que o ganho de 2% é certo.

Um mercado que é livre de arbitragem não possui oportunidades de lucros certos. Uma opor-

tunidade de arbitragem poderia ser uma estratégia de negociação autoconfiável que iniciasse com

zero e terminasse, numa data futura, com um valor positivo. Um mercado é dito livre de arbitragem

se não houver, de modo algum, tais oportunidades de arbitragem ([3], p. 197).

Custo de transação(transaction costs) são custos da compra e venda de um valor mobiliário,

que consistem principalmente na comissão de corretagem, margem do investidor ou de uma taxa

(como seria, por exemplo, a taxa cobrada por um banco ou por uma corretora para negociar títulos

do governo), mas também inclui tributos diretos, tais como acomissão da SEC nos EUA, bem

como quaisquer impostos de transferência pelo governo e outros impostos diretos.

Banco idealé o banco onde as taxas de juros de depósito e empréstimo são iguais e não há

taxas de serviço e de transação. As taxas de juros também independem do montante do principal.

Mercado perfeito é um mercado sem custos de transação e leilões; nele todos os acordos

são cumpridos; há possibilidade de comprar/vender qualquer montante de cada valor mobiliário;

as transações ocorrem continuamente e há a possibilidade davenda a descoberto ilimitada; há

ausência de impostos; a liquidação é instantânea, a transação ocorre à vista (sem parcelamento) e

1.2 Mercado de derivativos 11

existe um banco ideal constante. No caso das ações, não se considera o dividendo, e dos bonds, o

cupom.

Portfólio (portfolio) é um conjunto de títulos e valores mantido por umfundo mútuo ou por

um investidor. É uma carteira de títulos, isto é, um conjuntode títulos de rendas fixa e variável, de

propriedade de pessoas físicas ou jurídicas.

1.2 Mercado de derivativos

Os mercados de derivativos podem ser caracterizados como inovações financeiras, conforme

destaca A. B. C. Galvão [10], uma vez que surgiram como novos produtos para melhorar a repar-

tição do risco individual e a previsibilidade dos preços. Essas duas funções econômicas são impor-

tantes e o mercado as tem desempenhado nos últimos anos em decorrência da liquidez obtida.

A repartição do risco é viabilizada pelohedge, operação que possibilita a realização de se-

guro contra oscilações de preços. A segunda função corresponde à informação que esse mercado

fornece aos preços a termo dos ativos-base, ou seja, na previsão que esse mercado faz do mercado

à vista.

Assim, pode-se dizer que o mercado de derivativos existe para facilitar a transferência/distri-

buição do risco entre os agentes econômicos, ao mesmo tempo que, pelas expectativas criadas e

graças à lei da oferta e da procura, passa a influir diretamente na formação futura dos preços das

mercadorias e ativos financeiros negociados nestes mercados.

Os derivativos auxiliam na gestão do risco do instrumento a que se referem e estão ligados à

vida das empresas e bancos, tornando-se instrumentos indispensáveis na moderna gestão finan-

ceira.

J. C. Hull [17] define derivativos (também chamados decontingent claims) como produtos

financeiros que têm seu valor derivado de outro ativo, conhecido como ativo-base. Existem três

grupos de derivativos: contrato futuro e a termo, opção eswap.

1. Contrato a termo (forward contract) é um acordo que estabelece que um ativo será com-

prado e vendido em uma data futura estabelecida por um preço fixado no presente.


2. Contrato Futuro (future contract) é semelhante ao contrato a termo com exceção que con-

tratos futuros são transacionados em bolsas e sujeitos à reavaliação diária do preço de referência.

3. Opção (option) são contratos que concedem o direito (não a obrigação) de comprar ou

vender determinado ativo em uma data futura especificada, concedido mediante pagamento de

uma quantia acordada entre as partes. Se o direito não for exercido depois do período especificado,

a opção termina pelo vencimento e o comprador da opção perde aquantia paga para obtenção da

opção.

4. Swap é o jargão utilizado no mercado financeiro para um contrato detroca, seja ele de

moedas,commoditiesou ativos financeiros. Exemplo: se obtivermos um ativo que rende uma taxa

pré-fixada, por meio de um contrato deswap, poderemos trocá-lo por um ativo que renda variação

cambial mais um coupom.

Na próxima seção, vamos nos concentrar em Opções, que é nossoobjeto de estudo.

1.3 Opções

Vimos que um contrato de opção concede o direito (não a obrigação) de comprar ou vender de-

terminado ativo em uma data futura especificada, concedido mediante pagamento de uma quantia

acordada entre as partes. A data na qual o contrato da opção expira é chamada dedata de exercí-

cio ou dematuridade (exercise date or maturity) e o preço estabelecido nesta data é chamado de

preço de exercício da opção(strike price).

Existem diferentes tipos de opções, como a opção americana ea européia. Aopção americana

é uma opção que pode ser exercida em qualquer momento até a data final de exercício. Já aopção

européiaé uma opção que pode ser exercida só na maturidade.

Vamos nos concentrar em opções européias, que é o objetivo dotrabalho.

Existem dois tipos básicos de opções:opção de compraeopção de venda.

Opção de Compra(call option) é a opção que assegura a seu titular o direito, mas não obri-

gação, de comprar um ativo em uma data futura (geralmente 3, 6ou 9 meses), por um preço esta-

belecido. Por esse direito o adquirinte da opção de compra paga ao vendedor da opção, chamado

1.3 Opções 13

lançador, uma comissão denominadaprêmio (premium), que será perdida se o comprador não

exercer a opção até a data concordada. Portanto, o adquirente de uma opção de compra especula,

esperando que o preço das ações-objeto suba dentro do período especificado.

Consideremos o seguinte exemplo apresentado por J. C. Hull em [17]: suponhamos que um

negociante queira comprar um contrato de opção de compra européia de 100 ações da IBM, cujo

preço de exercício é de$ 100 por ação e a data de maturidade é em dois meses. Suponhamosque o

preço ação seja de$5, isto é, o comprador precisa pagar um prêmio de$5 por ação. Suponhamos

ainda que o preço corrente da ação (stock price) seja de$98. Como a opção é européia, o com-

prador poderá exercer a opção somente na data de maturidade.Se na data de maturidade o preço

da ação for menor que$100, claramente o comprador não exercerá a opção, pois não hárazão

em comprar uma ação por$100, sendo que o valor de mercado é menor. Nestas circunstâncias,

o comprador perde todo o investimento inicial de$500. Por outro lado, se na data de maturidade

o preço da ação for maior que$100, o comprador exercerá a opção. Suponhamos, por exemplo,

que o preço da ação seja de$115 na maturidade. Exercendo a opção, o comprador irá comprar

100 ações por$100 cada. Se a ação for vendida imediatamente, o comprador terá um ganho de

$15 por ação, ou seja,$ 1.500,00 (ignorando custos de transações). Quando o custo inicial da

ação é levado em conta, o lucro líquido para o comprador é de$10 por ação, ou seja,$1.000,00.

Consideremos, agora, a situação em que o preço da ação seja de$103 na maturidade. O comprador

também exercerá a opção, mesmo levando em conta que ele irá perder$200. Pois antes peder$200

do que$500 se a opção não for exercida.

O oposto da opção de compra é aOpção de Venda(putt option), que assegura ao comprador o

direito de vender um ativo por um preço estabelecido até a data de vencimento. Os adquirentes de

opções de venda apostam na queda do preço da ação-objeto. Exemplo (Hull [17]): consideremos

um negociante que queira comprar um contrato de opção de venda européia em 100 ações da

Exxon cujo preço de exercício é$70, isto é, ele compra o direito de vender 100 ações da Exxon

por$70 cada. Suponhamos que o preço corrente da ação seja de$66, a data de maturidade seja em

três meses e o preço da opção seja de$7 ($7 por ação). Como a opção é européia, o comprador

poderá exercer a opção somente na data de maturidade. Se na data de maturidade o preço da ação

for menor que$70, o comprador exercerá a opção. Suponhamos, por exemplo, que o preço da ação

seja de$50 na maturidade. Exercendo a opção, o comprador irá comprar100 ações por$50 cada


e, sob os termos da opção de venda, venderá as mesmas ações por$70, realizando um ganho$20

por ação, ou seja,$ 2.000,00 (ignorando custos de transações). Quando o custo inicial da ação é

levado em conta, o lucro líquido para o comprador é de$13 por ação, ou seja,$1.300,00. Caso o

preço da ação seja maior que$70 na maturidade, o comprador não exercerá a opção, pois a opção

não terá valor e o comprador perderá$7 por ação, ou seja$700.

1.3.1 O problema para apreçamento de uma opção de compra Eu-

ropéia

Suponhamos que uma companhia tenha, habitualmente, que negociar em um ativo de risco

intríseco, como o petróleo. A companhia pode, por exemplo, saber que em três meses serão

necessários milhares de barris de petróleo bruto. O preço dopetróleo pode flutuar desordenada-

mente. Mas, comprando opções de compra européia, com preço de exercícioK, a companhia

sabe a quantia máxima de dinheiro que irá precisar em três meses para comprar milhares de barris.

Podemos pensar na opção como um seguro contra o aumento no preço do petróleo. SejaT a dada

de maturidade. O problema de apreçamento, agora, é determinar, paraT e K dados, quanto a

companhia desejaria pagar pelo seguro.

Para este exemplo, existe uma complicação extra, pois custadinheiro armazenar petróleo. Para

simplificar nossa tarefa, vamos primeiramente precificar derivativos baseados nos ativos que po-

dem ser mantidos sem custos adicionais: tipicamente ações da companhia. Igualmente, podemos

supor que não exista benefício adicional para manter as ações, isto é, nenhum dividendo é pago.

Suponhamos, então, que a companhia entra em um contrato que dê a ela o direito, mas não a

obrigação, de comprar uma unidade do estoque por um preçoK em três meses de duração. Quanto

a companhia deveria pagar pelo contrato?

Primeiramente, precisamos saber o valor do contrato na datade maturidade. No momentoT

quando a opção expira (digamos em três meses), denotemos porST o preço da ação subjacente na

maturidade.

1.4 O Modelo de Black-Scholes 15

SeST > K, então a opção será exercida. A opção é, então, dita estardentro do preço (in

the money): uma opção que valeST pode ser comprada por apenasK. O valor da opção para a

companhia é, então,(ST −K).

Se, por outro lado,ST < K, então será mais barato comprar ações no mercado aberto e assim

a opção não será exercida. A opção vale menos e ela é dita estarfora do preço (out of money).

SeST = K, a opção é dita estarno preço(at the money).

O valor de uma opção de compra européia, no momento da expiração (payoff), é dado por

(ST −K)+ := max(ST −K), 0.

Na próxima seção, vamos estabelecer o preço adequado para umcontrato de opção de compraeuropéia, isto é, o preço justo do prêmio (premium), utilizando o modelo de F. Black e M. Scholes.

1.4 O Modelo de Black-Scholes

O modelo matemático desenvolvido por Fischer Black e Myron Scholes no início dos anos 70

foi responsável pelo grande avanço na teoria moderna de precificação de derivativos financeiros.

A facilidade de implementação do modelo aliada aos poderosos resultados, tanto na determinação

de preços de opções quanto de seus parâmetros dehedge, fizeram do modelo de Black-Scholes

um dos mais bem sucedidos da Teoria de Finanças. Além disso, omodelo possibilitou que as

instituições financeiras usassem o mercado de opções com muito mais freqüência e segurança, o

que acabou sendo determinante no sucesso e crescimento que este mercado experimentou desde

então.

Antes de apresentarmos o modelo de Black-Scholes, precisamos introduzir alguns conceitos

da teoria de probablidades.

1.4.1 Conceitos da Teoria de Probabilidades

Definição 1.1.Umamedida de probabilidade, ou simplesmente umaprobabilidadeP, é uma função

real de conjuntos, definida em umaσ-álgebraF de subconjuntos de um conjunto não-vazioΩ, que

satisfaz:


a) P(A) ≥ 0, para todoA ∈ F (positividade;)

b) P(Ω) = 1 (normalidade);

c) P

(

+∞⋃

n=1

An

)

=+∞∑

n=1

P(An), seAn ∈ F , n = 1, 2, ... e An ∩ Am = ∅ para n 6= m (σ-

aditividade).

As condições a), b) e c) acima são conhecidas como axiomas de Kolmogorov.

Definição 1.2.Um espaço de probabilidadeé uma tripla ordenada(Ω, F , P) onde:

a) Ω é um conjunto arbitrário não-vazio;

b) F é umaσ-álgebra de subconjuntos deΩ;

c) P é uma medida de probabilidade.

Na linguagem probabilística, os pontosω ∈ Ω representam os resultados possíveis de um

experimento aleatório, os subconjuntosA ∈ F são chamados deeventose a probabilidadeP é

uma aplicação que atribui graus de incerteza aos eventos deF .

O conceito de independência, a ser definido a seguir, particulariza a teoria de probabilidade

como um ramo distinto na teoria geral de medida.

Definição 1.3.Seja(Ω, F , P) um espaço de probabilidade. Diremos que os eventosA eB emFsãoindependentesse:

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Uma classe de eventosε ⊂ F será chamadauma classe de eventos independentesse, para toda

coleção finita de eventosA1, A2, ..., An emε, tivermos

P

(

n⋂

k=1

Ak

)

=

n∏

k=1

P(Ak).

Definição 1.4.Seελ ⊂ F for uma classe de eventos, comλ pertencente a um conjunto de índices

Λ, diremos queελ : λ ∈ Λ é umafamília de classes independentesse, para cada seleção de

Aλ ∈ ελ, a classeAλ : λ ∈ Λ contiver somente eventos independentes.


No que segue, consideraremos(Ω, F , P) um espaço de probabilidade e(Ω′

, F ′

) um espaço

mensurável.

Definição 1.5.Uma aplicaçãoX : Ω → Ω′

éF −F ′

mensurável, se

X−1(B) = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B ∈ F para todo B ∈ F ′

.

Definição 1.6.Uma aplicaçãoX : Ω → Ω′

que éF − F ′

mensurável é chamada umelemento

aleatóriocom valores emΩ′

(notação:X : (Ω, F) → (Ω′

, F ′

)). QuandoΩ′

= R(Rn) eF ′

=

B(R)(B(Rn)), o elemento aleatórioX é chamadovariável aleatória (vetor aleatório).

Definição 1.7.SejaX uma variável aleatória contínua. Afunção de densidade de probabilidade

deX é uma funçãofX(x) que satisfaz as seguintes propriedades:

1. fX(x) ≥ 0, para todox ∈ R;

2.∫ +∞

−∞fX(x)dx = 1;

3. Para quaisquera, b ∈ R, a < b, temosP(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

fX(x)dx.

A função distribuição de probabilidadedeX é definida por

FX(x) = P(X ≤ x) =

∫ x

−∞fX(y)dy,

para todox ∈ R. Definimos amédiaou ovalor esperadodeX por

E(X) =

∫ +∞

−∞xfX(x)dx,

e avariânciadeX por var(X) = E(X2) − [E(X)]2.

Vamos definir, agora, um tipo especial de distribuição: a distribuição normal.

Definição 1.8.Uma variável aleatória contínuaX é dita terdistribuição normal, com parâmetros

µ eσ2, se sua função densidade de probabilidade for dada por

fX(x) =1

2πσ2exp

(

−(x− µ)2

2σ2

)

,

para todox ∈ R. O valor esperado deX é dado porE(X) = µ e a variânciavar(X) = σ2.

Neste caso, escrevemosX ∼ N(µ, σ2).


Na próxima definição, estabeleceremos o conceito de processo estocástico.

Definição 1.9.Um processo estocásticoé uma estrutura constituida de um espaço de probabilidade

(Ω, F , P), um conjunto não-vazioT e uma aplicaçãoX : T × Ω → R tais que, para cadat ∈ T,

a funçãoX(t, ·) : Ω → R é uma variável aleatória. Em outras palavras, um processo estocástico é

uma coleção de variáveis aleatórias definidas num espaço de probabilidade(Ω, F , P), indexadas

por um conjuntoT.

Para cadat ∈ T,Xt ouX(t) denotará a variável aleatóriaX(t, ·), isto é,X(t, ·) = X(t) = Xt.

A coleção de variáveis aleatóriasX(t) : t ∈ T também será denotada porX. T será chamado

espaço de índices ou parâmetros. Para cadaω ∈ Ω, a funçãoX(·, ω) : T → R será chamada

trajetória, ou realização, ou função amostralcorrespondente aω.

1.4.2 O processo de Wiener ou movimento browniano

Em 1828, o botânico Robert Brown observou um movimento irregular de poléns na água. Hoje,

este movimento é chamado de movimento browniano ou processode Wiener. No início do século

20, aplicações importantes do movimento browniano foram descobertas. A primeira deu-se na

teoria de preços de ações flutuantes por L. Bachelier (1900) [1]. A segunda deu-se na investigação

de propriedades da densidade de partículas em certa posiçãoe tempo por A. Einstein [8]. Detalhes

sobre a teoria de movimento browniano pode ser encontrado em[3], [9], [19] e [21].

A definição formal do movimento browniano é apresentada a seguir.

Definição 1.10.Um movimento brownianoou umprocesso de Wiener, é um processo estocástico

a valores reaisWtt∈T, T = [0, +∞[ ou T = [0, T ] (T ∈ R+), definido em um espaço de

probabilidade(Ω, F , P), satisfazendo as seguintes condições:

1. P(W0 = 0) = 1 eWt é contínua para todot ∈ T;

2. para cadan ≥ 1 e qualquer tempo0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn, as variáveis aleatóriasWt0 ,

Wt1 −Wt0 , ...,Wtn −Wtn−1 são independentes;


3. para0 ≤ s < t o incrementoWt−Ws tem distribuição normal (gaussiana) com média zero

e variânciaσ2(t− s), isto é,

P(Wt −Ws ∈ A) =

∫

A

1√

2πσ2(t− s)exp

(

− x2

2σ2(t− s)

)

dx,

ondeA ∈ Ω.

O parâmetroσ2 na definição acima é conhecido como variância. Um processo com σ2 =

1 é chamado movimento browniano canônico. A existência do movimento browniano pode ser

demonstrada por vários argumentos. Veja, por exemplo, [19].

Definição 1.11.Um processoWtt∈T, T = [0, +∞[ ou T = [0, T ] (T ∈ R+), a valores reais

positivo é ummovimento browniano geométrico, seln(Wt)t∈T for um movimento browniano.

1.4.3 O Lema de Itô

O preço de uma ação é uma função que depende do preço da ação subjacente e do tempo.

Em geral, dizemos que a função preço de qualquer derivativo éuma função que depende do

preço do derivativo adjacente e do tempo. Um resultado importante nesta área foi descoberto pelo

matemático K. Itô, em 1951, conhecido como o Lema de Itô. Antes de enunciar este resultado,

vamos definir oprocesso de Itô.

Definição 1.12.Sejama e b funções que dependem das variáveisx e t, isto é,a = a(x, t) e

b = b(x, t). Umprocesso de Itôé representado por

dx = a(x, t)dt+ b(x, t)dz

onde

a) a(x, t) é odrift ou tendência instantânea do processo de Itô;

b) b2(x, t) é a taxa de variância instantânea do processo;

c) dz é o incremento de Wiener, isto é,dz = ǫ√dt ondeǫ é uma variável aleatória que obedece

uma distribuição normalN(0, 1).


O processo de Itô apresenta as seguintes propriedades estatísticas:

• E(dx) = a(x, t)dt;

• var(dx) = b2(x, t)dt.

Lema 1.13(Lema de Itô). Suponhamos que a variávelx siga um processo de Itô,

dx = a(x, t)dt+ b(x, t)dz. (1.1)

Sejaf uma função que depende do processox e do tempo, isto é,f = f(x, t). Assumamos que

f é uma função de classeC2(R × R+). Entãof segue um processo de Itô que satisfaz a seguinte

equação estocástica

df =

(

∂f

∂xa +

∂f

∂t+

1

2

∂2f

∂x2b2)

dt+∂f

∂xbdz,

ondedz é o mesmo processo de Wiener da equação(1.1).

Na hipótese do Lema de Itô, a taxa dedrift e a taxa de variância do processof são dadas por∂f

∂xa+

∂f

∂t+

1

2

∂2f

∂x2b2 e

(

∂f

∂x

)2

b2 respectivamente.

1.4.4 Hipóteses do modelo de Black-Scholes

Para obtenção do modelo, Fischer Black e Myron Scholes admitiram as seguintes hipóteses:

1. o preço da ação,S, segue um processo estocástico em tempo contínuo,

dS = µSdt+ σSdz,

ondez é um movimento browniano e odrift µ e a volatilidadeσ são constantes. (S é um movi-

mento browniano geométrico);

2. a taxa de juros de curto prazo livre de riscosr é conhecida e constante no tempo;

3. a ação não paga dividendos;

4. o mercado é perfeito;

5. é possível vender a ação a descoberto (short-selling);

6. não existem oportunidades de arbitragem sem risco.


1.4.5 Obtenção da equação diferencial de Black-Scholes

Sejaf = f(S, t) uma função que designa o preço de uma opção de compra européiano

tempot para um certo valor de um ativo adjacenteS. A fim de obtermos um modelo ausente de

arbitragem, uma construção para a equação de Black-Scholesé feita a partir da construção de uma

carteira (portfólio) contendo uma opção e uma certa quantidade∂f

∂Sde ações:

−1 : opção

+∂f

∂S: ações.

Então o valor do portfólio é dado por

∏

:= −f +∂f

∂SS. (1.2)

A variação do valor do portfólio entre os instantest e t+ dt é dada por:

∆∏

= −∆f +∂f

∂S∆S. (1.3)

ComoS satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica

dS = µSdt+ σSdz, (1.4)

pelo Lema de Itô, Lema 1.13, temos

df =

(

∂f

∂SµS +

∂f

∂t+

1

2

∂2f

∂S2σ2S2

)

dt+∂f

∂SσSdz. (1.5)

As versões discretas das equações(1.4) e (1.5) são

∆S = µS∆t+ σS∆z (1.6)

e

∆f =

(

∂f

∂SµS +

∂f

∂t+

1

2

∂2f

∂S2σ2S2

)

∆t+∂f

∂SσS∆z. (1.7)

Substituindo as equações(1.6) e (1.7) na equação(1.3), obtemos

∆∏

= −(

∂f

∂SµS +

∂f

∂t+

1

2

∂2f

∂S2σ2S2

)

∆t− ∂f

∂SσS∆z +

∂f

∂S[µS∆t+ σS∆z],


ou seja,

∆∏

= −(

∂f

∂t+

1

2

∂2f

∂S2σ2S2

)

∆t. (1.8)

Como a equação(1.8) não contém o termo∆z, o portfólio é sem risco durante o intervalo de

tempo∆t. Assim a carteira é isenta de risco nas condições do modelo. Então, pelo princípio da

não-arbitragem, o valor da variação do portfolio deve ser, instantaneamente, o mesmo valor do

portfólio multiplicado pela taxa de juros livre de riscor, isto é,

∆∏

= r∏

∆t.

Substituindo(1.2) e (1.8) na última equação, obtemos

−(

∂f

∂t+

1

2

∂2f

∂S2σ2S2

)

∆t = r

(

−f +∂f

∂SS

)

∆t,

resultando em∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

1

2

∂2f

∂S2σ2S2 = rf. (1.9)

A equação(1.9) é a equação diferencial parcial de Black-Scholes. Ela possui várias soluçõesdependendo do tipo de derivativo que pode ser definido, comS como a variável subjacente. O

derivativo particular que é obtido quando a equação é resolvida depende das condições de fronteiras

que são usadas. No caso da opção de compra européia, como vimos na subseção 1.3.1, a condição

de contorno é

f(ST , T ) = maxST −K, 0,

ondeT é a maturidade,K é o preço de exercício da opção (strike price) eST é o preço da ação

subjacente na maturidade. No caso de opção de venda européia, temos

f(ST , T ) = maxK − ST , 0.

Além dessas condições, quandoS = 0, o valor do contrato se tornaf(0, t) = 0 para todot ∈ ]0, T [

e limS→+∞

f(S, t)

S= 1, t ∈ ]0, T [.

Podemos observar na equação de Black-Scholes, que o valor esperado do preço da ação não é

apresentado explicitamente. O argumento econômico para esse fato é que, em virtude de existir

umhedgeperfeito para a opção, realizado sobre determinada quantidade de ações, nenhum prêmio

por risco deve ser concedido ao investidor, mas somente o retorno de um ativo livre de risco.


Um ponto que devemos enfatizar sobre o portfólio utilizado na derivação da equação(1.9)

é que ele não é permanentemente sem risco. Ele é sem risco somente para um período de tempo

suficientemente pequeno. ComoS et variam,∂f

∂Stambém varia. Para manter o portfólio sem risco,

é necessário variar frequentemente as proporções relativas do derivativo e da ação no portfólio.

1.4.6 A fórmula do preço de uma opção de compra européia

Podemos, agora, determinar o valor de uma opção de compra européia via equação diferencial

de Black-Scholes. Suponhamos que uma ação esteja sendo comercializada por um preçoS. Seja

K o preço de exercício da ação, isto é, o direito de comprar a ação pelo preçoK na data de

maturidadeT . Sejamr a taxa de juros livre de risco eσ a volatilidade, ambas constantes. Vamos

estabelecer o preço da opção no instantet, onde0 ≤ t ≤ T .

Para resolvermos o problema

∂f(S, t)

∂t+ rS

∂f(S, t)

∂S+

1

2

∂2f(S, t)

∂S2σ2S2 − rf(S, t) = 0, t ∈ ]0, T [, S ∈ ]0, +∞[,

f(ST , T ) = maxST −K, 0,f(0, t) = 0, t ∈ ]0, T [,

limS→+∞

f(S, t)

S= 1, t ∈ ]0, T [,

vamos transformar a equação de Black-Scholes em uma equaçãode difusão de calor, que pode ser

resolvida utilizando métodos usuais. Para isso, façamos a seguinte mudança de variável

x = ln

(

S

K

)

e

τ =1

2σ2(T − t)

e escrevamos

f(S, t) = f

(

Kex, T − 2τ

σ2

)

:= Kυ(x, τ). (1.10)

Comot ∈ ]0, T [ eS ∈ ]0, +∞[, entãoτ ∈]

0,1

2σ2T

[

ex ∈ ]−∞, +∞[. Daí, substituindo(1.10)

na equação de Black-Scholes, obtemos

∂υ(x, τ)

∂τ− ∂2υ(x, τ)

∂x2+

(

1 − 2r

σ2

)

∂υ(x, τ)

∂x+

2r

σ2υ(x, τ) = 0. (1.11)


DefinindoA1 =2r

σ2, temos

∂υ(x, τ)

∂τ− ∂2υ(x, τ)

∂x2+ (1 − A1)

∂υ(x, τ)

∂x+ A1υ(x, τ) = 0,

isto é,∂υ(x, τ)

∂τ=∂2υ(x, τ)

∂x2+ (A1 − 1)

∂υ(x, τ)

∂x− A1υ(x, τ).

Agora, consideremos a seguinte mudança

υ(x, τ) = eαx+βτu(x, τ),

ondeα = −1

2(A1 − 1) eβ = −1

4(A1 + 1)2. Então, obtemos a equação de difusão

∂u(x, τ)

∂τ=∂2u(x, τ)

∂x2,

cujas condições de fronteiras são:

• u(x, 0) = maxe 12(A1+1)x − e

12(A1−1)x, 0;

• limx→−∞

exp

(

−1

2(A1 − 1)x− 1

4(A1 + 1)2τ

)

u(x, τ) = 0;

• limx→+∞

u(x, τ)

exp

(

1

2(A1 + 1)x+

1

4(A1 + 1)2τ

) = 1.

Note que, em particular, a segunda condição acima implica que limx→−∞

u(x, τ) = 0.

Note, também, que

u(x, 0) = u0(x) =

e12(A1+1)x − e

12(A1−1)x, se x ≥ 0,

0, se x < 0.

Sabe-se que a solução da equação de difusão é dada por

u(x, τ) =1

2√πτ

∫ +∞

−∞u0(s) exp

(

−(s− x)2

4τ

)

ds,

que pode ser reescrita como

u(x, τ) =1√2π

∫ +∞

−∞u0(x+ y

√2τ ) exp

(

−y2

2

)

dy, (1.12)


onde

u0(x+ y√

2τ) =

e12(A1+1)(x+y

√2τ ) − e

12(A1−1)(x+y

√2τ ), se y ≥ − x√

2τ,

0, se y < − x√2τ.

Substituindo esta expressão em(1.12), obtemos

u(x, τ) = I1(x, τ) − I2(x, τ),

onde

I1(x, τ) =1√2π

∫ +∞

−x/√

2τ

e12(A1+1)(x+y

√2τ)e−

y2

2 dy

e

I2(x, τ) =1√2π

∫ +∞

−x/√

2τ

e12(A1−1)(x+y

√2τ)e−

y2

2 dy.

Analisando estas expressões separadamente, obtemos

I1(x, τ) = e12(A1+1)x+ 1

4(A1+1)2τN(q1)

e

I2(x, τ) = e12(A1−1)x+ 1

4(A1−1)2τN(q2),

ondeN é a função gaussiana dada por

N(y) =1√2π

∫ y

−∞e−

12q2dq

e

q1 =x√2τ

+1

2(A1 + 1)

√2τ ,

q2 =x√2τ

+1

2(A1 − 1)

√2τ .

Lembrando que

u(x, τ) = e−12(A1−1)x− 1

4(A1+1)2τu(x, τ),

x = ln

(

S

K

)

,

τ =1

2σ2(T − t),

A1 =2r

σ2


e

f(S, t) = Kυ(x, τ),

obtemos

f(S, t) = SN(q1) −Ke−r(T−t)N(q2),

com

N(y) =1√2π

∫ y

−∞e−

12q2dq,

q1 =

ln

(

S

K

)

+

(

r +1

2σ2

)

(T − t)

σ√T − t

e

q1 =

ln

(

S

K

)

+

(

r − 1

2σ2

)

(T − t)

σ√T − t

.

Assim, acabamos de provar o resultado seguinte.

Teorema 1.14.O valor de uma opção de compra européiaf(S, t), modelada pela equação de

Black-Scholes

∂f(S, t)

∂t+ rS

∂f(S, t)

∂S+

1

2

∂2f(S, t)

∂S2σ2S2 − rf(S, t) = 0,

com

condição final: f(ST , T ) = maxST −K, 0,

condição de fronteira: f(0, t) = 0

condição assintótica: f(S, t) ∼ S, quando S → +∞,

é dada por

f(S, t) = SN(q1) −Ke−r(T−t)N(q2),

onde

N(y) =1√2π

∫ y

−∞e−

12q2dq,

q1 =

ln

(

S

K

)

+

(

r +1

2σ2

)

(T − t)

σ√T − t

e

q1 =

ln

(

S

K

)

+

(

r − 1

2σ2

)

(T − t)

σ√T − t

.

CAPÍTULO

2

Integração em Espaços de Funções

2.1 Introdução

A integral de Riemann generalizada é uma adaptação da integração de Riemann usual. A idéia

da integral de Riemann generalizada é apresentada como segue. Temos algum domínio que é

particionado por meio de uma coleção finita de conjuntos disjuntos,I, os quais podemos pensar

como “intervalos”, onde|I| denota a medida de um intervaloI. “Encolhendo” as partições,

podemos estimar a integral de Riemann de uma funçãof(x), comx pertencente a um domínio,

formando as somas de Riemann∑

f(x)|I|, com a soma sobre os intervalosI da partição.

Na integração de Riemann usual, em qualquer parcelaf(x)|I| da soma de Riemann, a única

restrição na escolha do cálculo def no pontox é quex deve pertencer ao intervaloI correspon-

dente na partição. A adaptação na integral de Riemann generalizada é fazer uma seleção de cada

intervaloI na partição depender da escolha de cada pontox em∑

f(x)|I|. Que diferença isso

faz? Isso significa que podemos formar as somas de Riemann de uma maneira que ela seja sen-

27

28 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções

sível ao comportamento local do integrando. Por exemplo, sef for uma função que oscila em uma

vizinhança particular, assumindo muitos valores suficientemente grandes, positivos e negativos,

nesta vizinhança, então podemos forçar os termos locais da soma de Riemann a corresponderem

ao comportamento local def . Assim, neste cenário ondef tem um valor positivo em um pontox

e um valor negativo em um ponto próximox′, os intervalos da partiçãoI, I ′ podem ser escolhidos

de tal forma que a soma de Riemann. . .+ f(x)|I|+ f(x′)|I ′|+ . . . “capte” a variação def . Com

isto, produzimos, na soma de Riemann, um efeito de cancelamento na vizinhança dex ex′. Desta

maneira, podemos definir uma integral def , que será igual a integral de Lebesgue def , sempre

que esta última existir. Denominamos esta integral de integral de Riemann generalizada, também

conhecida como integral de Henstock ou integral de Henstock-Kurzweil.

Agora, vamos considerar algumas alterações na integral usual de Henstock. Ao invés de usar-

mos a medida de Lebesgue do intervaloI, |I|, podemos utilizar uma função de intervalos cilíndri-

cosµ(I) e a definição resultante da integral∫

f(x)µ(I) por somas de Riemann continuará válida.

Em um caso mais geral, ao invés de integrarmos o produtof(x)µ(I), podemos integrar funções

h(x, I), tomando somas de Riemann∑

h(x, I), ondex depende da partiçãoI do domínio de

integração.

A discussão feita acima pode ser lida de uma maneira a assumiro domínio de integração

como um intervalo limitado[a, b] tal que cada intervalo particionadoI seja um intervalo real li-

mitado. Entretanto, os argumentos feitos na discussão acima, continuam válidos em um domínio

de integração mais geral, como o espaço multi-dimensionalRn, no qual alguns dos intervalos

particionados não são limitados ou compactos.

O problema que estudamos neste trabalho requer que consideremos uma função do desloca-

mento,xt, no tempot em algum intervalo]τ ′, τ [ e, também, que consideremos a possibilidade de

que, em tempos arbitráriosτ ′ < t1 < · · · < tn−1 < τ , o deslocamentoxtj satisfazuj ≤ xtj ≤ vj ,

para1 ≤ j ≤ n− 1; ouxj ∈ Ij (fecho deIj), onde escrevemosIj = [uj, vj[ exj = xtj , para cada

j = 1, ..., n− 1.

Escrevendo

x = (xt)t∈]τ ′,τ [ e I = x : xj ∈ Ij, 1 ≤ j ≤ n− 1

vamos considerar somas de Riemann como∑

f(x)µ(I). A integral correspondente será denotada

2.2 A integral de Henstock em espaços de funções 29

por∫

f(x)µ(I). O domínio de integração é o conjuntox, onde cadax é uma aplicação da

forma

x : ]τ ′, τ [ 7→ R tal que xt = x(t) ∈ R, para τ ′ < t < τ.

Denotamos este domínio porR]τ ′,τ [, o qual pode ser visto como o produto cartesiano deR por ele

mesmo uma quantidade não-enumerável de vezes. Os intervalos particionadosI são subconjuntos

cilíndricos deR]τ ′,τ [, ou seja, retângulos emR]τ ′,τ [.

A idéia da integração de Riemann generalizada em espaços de dimensão finita esboçada acima

pode ser adaptada para o caso de dimensão infinita. Isto será explicado em detalhes na seção

seguinte.

2.2 A integral de Henstock em espaços de funções

SejaI um intervalo real de uma das seguintes formas:

] −∞, v[, [u, v[ ou [u, +∞[. (2.1)

Uma partição deR é uma coleção finita de intervalos disjuntosI cuja união éR. Diremos que o

intervaloI éassociadoax, se tivermos

x = −∞, x = u ou v, ou x = +∞,

respectivamente.

DenotemosR como sendo a união do domínio de integraçãoR com o conjunto dos pontos

associadosx do intervalo realI, isto é,R = R ∪ −∞, +∞.

Na integração de Riemann generalizada, a convenção é que o domínio de integração seja o

espaço que é particionado por intervalos. Um pontox não é sempre um elemento do intervaloI

ao qual ele é associado. Assim o conjunto dos pontos associadosx podem constituir um conjunto

que difere do domínio de integração. Em nosso caso, o domíniode integração éR e o conjunto de

pontos associados éR.


Definição 2.1.Sejaδ : R → R∗+ uma função positiva definida parax ∈ R. SeI for associado a

x, diremos que o par(x, I) é δ-fino, se

v < − 1

δ(x), v − u < δ(x), ou u >

1

δ(x), (2.2)

respectivamente. Chamamosδ defunção calibre.

Nesta versão de integral, os pontos associadosx de um intervaloI são um de seus próprios

vértices. Em outra versão (veja [16]), os pontos associadossão escolhidos na união dos intervalos

I com seus vértices, isto é, no fecho dosI na topologia dos intervalos abertos. Estas duas versões

são equivalentes sempre que o “integrador” (medida ou função de intervalos) for finitamente

aditivo, pois sex for um ponto interior do intervalo[u, v[, entãof(x)m([u, v[) = f(x)m([u, x[)+

f(x)m([x, v[). Veja [16].

Em outra versão (veja [12]), uma definição equivalente à integral de Lebesgue é construída,

se os intervalos associados a um pontox forem os intervalosI que satisfazem a condiçãoI ⊆]x − δ(x), x + δ(x)[. Neste caso, os pontos associados a um intervalo podem estarfora do fecho

de I na topologia dos intervalos abertos. Em qualquer caso, porém, o domínio de integração é o

espaço que é particionado por intervalos.

SeN = t1, ..., tn for um conjunto finito, comRtj = R e Rtj = R, denotaremosx =

(x(t1), ..., x(tn)) como sendo qualquer elemento do espaço

∏

Rtj : tj ∈ N = RN.

Denotemosx(tj) porxj , 1 ≤ j ≤ n. Para cadatj ∈ N , sejaIj = I(tj) um intervalo da forma

(2.1). EntãoI = I1 × ... × In é um intervalo do espaço∏Rtj : tj ∈ N = RN . Um par(x, I)

é dito serassociadoemRN , se cada par(xj , Ij) for associado emR, 1 ≤ j ≤ n, isto é, sex for

o vértice deI emRN

. Dada uma funçãoδ : RN → R+, um par associado(x, I) do domínioRN

é δ-fino, se cada par(xj , Ij) satisfizer uma das condições dadas em (2.2), dependendo do tipo de

intervaloIj (veja (2.1)). Uma coleção finitaE = (xj , Ij) de pares associados(xj , Ij), onde

cada par(xj , Ij) é associado emRN , é umadivisão de RN , se os intervalosIj forem disjuntos

com uniãoRN . Então a divisão seráδ-fina, se cada par(xj , Ij), 1 ≤ j ≤ n, for δ-fino. Uma prova

da existência de uma divisãoδ-fina para uma função calibreδ dada pode ser encontrada em [16],

Teorema 4.1.


SejaB um conjunto infinito e sejaF(B) a família dos subconjuntos finitos deB. No que

segue, consideraremos o espaço produto∏

t∈B Rt, comRt = R para cadat ∈ B, isto é, o conjunto

de todas as funções definidas emB a valores emR. Preferimos usar, para este produto, a notação

RB que é usual na teoria de processos estocásticos.

Denotemos porx = xB um elemento do espaçoRB

. Sendo

N = NB = t1, ..., tn ∈ F(B),

sejax(N) = x(NB) um ponto(x1, ..., xn) = (x(t1), ..., x(tn)) deRN

. Consideremos a projeção

PN : RB → RN , PN(x) = (x(t1), ..., x(tn)),

e, similarmente, a projeçãoPN : RB → R

N. Então, para cada intervaloI1 × ... × In de RN ,

existem intervalos cilíndricos correspondentesI[N ] := P−1N (I1 × ... × In), os quais formam um

subconjunto deRB. É conveniente denotarmosI1 × ... × In por I(t1) × ... × I(tn) ou I(N) de

forma queI[N ] = I(N) × RB\N . Similarmente, escrevemos

PN(xB) = x(N) ∈ RN, para x = xB ∈ R

B.

Dadosx ∈ RB

eI[N ] ⊂ RB, dizemos que(x, I[N ]) éassociadoemRB, se o par(x(N), I(N))

for associado emRN . Nosso domínio de integração éRB e o conjunto dos pontos associados é

RB

.

Definição 2.2. Uma coleção finitaE = (xj , Ij[N ]) : xj ∈ RB

e N ∈ F(B) de pares

associados é dita ser umadivisãodeRB, se os intervalosIj[N ] forem disjuntos com união igual

a RB. Denotaremos essa divisão porE = (x, I[N ]).

Exemplo 2.3. SejaN = t1, t2 ⊂ F(B). Sejamu11, u

21, u

31, u

41, u

51, u

12, u

22, u

32, u

42 eu5

2 números

reais tais que

u11 < u2

1 < u31 < u4

1 < u51

e

u12 < u2

2 < u32 < u4

2 < u52.

Consideremos os intervalos cilíndricos


I1[N ] = [u11, u

31[×[u2

2, u32[×R

B\t1 ,t2+ ,

I2[N ] = [u21, u

41[×[u4

2, u52[×R

B\t1 ,t2+ ,

I3[N ] = [u31, u

51[×[u1

2, u32[×R

B\t1 ,t2+ ,

I4[N ] = [u31, +∞[×]0, u1

2[×RB\t1 ,t2+ ,

I5[N ] = [u51, +∞[×[u1

2, u32[×R

B\t1 ,t2+ ,

I6[N ] = [u41, +∞[×[u4

2, +∞[×RB\t1,t2+ ,

I7[N ] = [u21, u

41[×[u5

2, +∞[×RB\t1,t2+ ,

I8[N ] = ]0, u21[×[u4

2, +∞[×RB\t1,t2+ ,

I9[N ] = ]0, u11[×[u2

2, u32[×R

B\t1,t2+ ,

I10[N ] = ]0, u31[×]0, u2

2[×RB\t1,t2+ ,

I11[t2] = [u32, u

42[×R

B\t2+ .

Temos11⋃

j=1

Ij[N ] = RB+. Tomandox1(N1) = (u1

1, u22), x

2(N2) = (u21, u

52), x

3(N3) = (u51, u

12),

x4(N4) = (u31, u

12), x

5(N5) = (+∞, u32), x

6(N6) = (u41, +∞), x7(N7) = (u2

1, u52), x

8(N8) =

(0, +∞), x9(N9) = (u11, u

22), x

10(N10) = (u31, 0) ex11(N11) = u3

2, então(xj, Ij[Nj ])1≤j≤11

é uma divisão deRB+, comN1 = ... = N10 = N eN11 = t2. Veja a Figura 2.1.

u11 u2

1 u31 u4

1 u51

u12

u22

u32

u42

u52

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

I8

I9

I10

I11

Figura 2.1: Divisão deRB+.


Divisões de intervalos cilíndricos emRB são definidas de forma análoga.

Agora, vamos nos direcionar para a questão de estabelecermos uma função calibre paraRB, isto

é, uma regra que determine quais pares ponto-intervalo associados(x, I[N ]) serão considerados,

como elementos de uma divisão, para formarem uma soma de Riemann que aproxime do valor da

integral em um espaço de dimensão infinitaRB. Para fazermos isto, definiremos aplicaçõesLB

sobre o conjuntos dos pontos associadosRB

do domínio de integraçãoRB, e aplicaçõesδB sobre

RB ×F(B). Isto nos dará uma classe efetiva de funções calibre.

Definimos

LB : RB → F(B), LB(x) ∈ F(B);

δB : RB ×F(B) → R∗

+, 0 < δB(x, N) < +∞.

Uma escolha deLB e δB nos dá um membro representante das funções calibre

γB := (LB, δB). (2.3)

Diremos que um par de ponto-intervalo associados(x, I[N ]) éγB-fino, se tivermos

N ⊇ LB(x) e (x(N), I(N)) for δB-fino em RN .

Vamos descrever, a seguir, a motivação para esta regra de formação dos intervalos que serão

usados na partição do domínio de integração para as somas de Riemann da integral.

Na integração de Riemann usual, formamos somas de Riemann escolhendo partições cujos

intervalos em dimensão finita possuem lados os quais são limitados por uma constante positiva

δ. Então fazemosδ sucessivamente pequeno. O mesmo é feito na integração de Riemann ge-

neralizada, onde a constanteδ é substituída por uma função positivaδ(x). Em qualquer caso,

estamos escolhendo partições sucessivas nas quais as componentes dos intervalos “encolhem" em

algum sentido. Para a situação em dimensão infinita, procuramos, de uma forma semelhante, como

“encolher" os intervalos cilíndricosI[N ] para os quais partições sucessivas serão escolhidas.

No exemplo seguinte, mostramos diferentes maneiras pelas quais um intervalo cilíndrico pode

ser um subconjunto de um intervalo cilíndrico maior e, portanto, procuramos estabelecer regras

com as quais intervalos de partições sucessivas podem ser feitos sucessivamente pequenos.


SejaB um conjunto infinito de índices. Escolhamost1, t2 ∈ B, t1 6= t2, e sejamRt1 e

Rt2 os espaços coordenados correspondentes de∏

t∈B RB. Sejam[u21, u

31[⊂ [u1

1, u41[⊂ Rt1 , com

u11 < u2

1 < u31 < u4

1. Denotemos

I1 = [u11, u

41[×

∏

t∈B, t6=t1Rt = [u1

1, u41[×RB\t1.

Então o intervaloI2 = [u21, u

31[×RB\t1 é um subintervalo deI1 no qual o lado correspondente

do espaço coordenado “restrito"Rt1 é menor do que o lado correspondente deI1. Este tipo de

“encolhimento" é familiar em integração de Riemann em dimensão finita. Conseguimos obter isso

impondo a condição de que os lados dos intervalos sejam menores do que uma função positivaδ

e, então, tomamosδ sucessivamente menor.

Agora, seja[u12, u

22[⊂ Rt2 e consideremos

I3 = [u21, u

31[×[u1

2, u22[×RB\t1, t2

que é um subconjunto deI2 cujos comprimentos dos lados restritos podem ser os mesmos compri-

mentos dos lados restritos deI2, mas para o qual existe uma coordenada restrita adicional cor-

respondente ao indícet2. Assim, podemos “encolher” sem mudarδ, mas requerendo que o

intervalo em questão contenha coordenadas restritas adicionais. E podemos fazer isso especifi-

cando algum conjunto minimal de coordenadas nas quais o intervalo deve ser restrito. Fazemos

este conjunto minimalL(x) depender do ponto associadox do intervalo em questão, exatamente

como fazemos com a restriçãoδ(x) do comprimento dos lados. O intervalo pode ser restrito na

coordenada adicional fora do conjunto minimal. Assim os lados podem ser tão pequenos quanto

desejarmos, desde que seus comprimentos sejam limitados por δ(x). Então podemos obter o “en-

colhimento” dos intervalos aumentando, sem limite, o tamanho do conjunto minimal, assim como

podemos obter um “encolhimento” fazendo decrescer o comprimento deδ(x) que limita os com-

primentos dos lados restritos.

Podemos fazer ambos os procedimentos de encolhimento acima: maior número de coordenadas

restritas bem como lados menores. SeB for finito, não poderemos aumentarL(x) sem limite.

Neste caso, teremosL(x) = B para todox ∈ RB

. Então a definição de função calibre se reduz ao

caso já descrito em dimensão finita.


Definição 2.4.Uma divisãoE = (x, I[N ]) : x ∈ RB

e N ∈ F(B) do domínio de integração é

γB-fina, ou é umaγB-divisão, se cada um dos pares(x, I[N ]) for γB-fino. Neste caso, denotamos

E por EγB.

O espaçoRB admite umaγB-divisão, ondeγB é dada. Este resultado é enunciado a seguir e

uma prova para ele pode ser encontrada em [14], Teorema 1.

Teorema 2.5.Para qualquer conjunto infinitoB e para qualquer função calibreγB dada, existe

uma divisãoγB-fina deRB.

Suponhamos queh seja uma função que depende dos pares associados(x, I[N ]). Às vezes,

h(x, I[N ]) não é definida para um certo pontox ∈ RB

+ (ou RB) como, por exemplo, para aqueles

x tais quex(t) = 0 ou∞, parat ∈ N . Neste caso, podemos tomarh(x, I[N ]) como sendo zero e

esses termos são omitidos da soma de Riemann.

SeE denotar um conjunto elementar(isto é, um intervalo ou uma união finita de intervalos),

então avariaçãodeh emE será dada por

infγB

supEγB

(EγB)|h(x, I[N ])|

,

ondeEγBé qualquerγB−divisão deE. Em geral, seX for qualquer subconjunto deRB, avariação

deh emRB relativa àX será dada por

infγB

supEγB

(EγB)|h(x, I[N ])|1X(x)

onde1X(x) é a função característica ou função indicadora deX e EγBé qualquerγB-divisão de

RB. Diremos queh é devariação limitada emX, se sua variação emX for finita. Diremos que

h é VBG∗ (ouh é devariação limitada generalizadaemRB), seRB for uma união de conjuntos

disjuntosXj, comh sendo de variação limitada em cadaXj , j = 1, 2, ....

A integral de Riemann generalizada de uma funçãoh de um par associado(x, I[N ]) é definida

como segue (veja [24]).


Definição 2.6.A funçãoh é Riemann integrável generalizadasobreRB, com integralα =

∫

RB

h,

se dadoǫ > 0, existir uma função calibreγB tal que∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈EγB

h(x, I[N ]) − α

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ

para todaγB-divisãoEγBdeRB.

Às vezes, integramos funçõesh(I[N ]) que não dependem dos pontos associadosx das variáveis

I[N ]. Em integração de Riemann generalizada, isto deve ser manuzeado com cuidado. Devemos

pensar no integrando comoh(I[N ]) = h(x, I[N ]) para todox associado aI[N ]. Assim, embora a

variávelx não apareça explicitamente no integrando, os termos∑

h(I[N ]) da soma de Riemann

ainda dependem dosx’s da divisão(x, I[N ]) que determina a soma de Riemann.

Duas funçõesh1(x, I[N ]) eh2(x, I[N ]) sãovariacionalmente equivalentesemRB, seh1 −h2 tiver variação zero emRB([24], página 32). É fácil mostrar queh1 é variacionalmente equiva-

lente ah2, se dadoǫ > 0, existir uma função calibreγB tal que, para toda divisãoEγB, tenhamos

∑

(x, I[N ])∈EγB

|h1(x, I[N ]) − h2(x, I[N ])| < ǫ.

Seh1 for integrável emX ⊆ RB e seh2 for variacionalmente equivalente ah1, entãoh2 será

integrável emX, com∫

X

h1 =

∫

X

h2 (veja [24], Proposição 18, página 32 para uma prova). Este

resultado é importante pois, às vezes, gostaríamos de estabelecer uma propriedade para∫

X

h1, e é

mais fácil fazermos isto primeiramente para a integral∫

X

h2, ondeh2 é “equivalente”, no sentido

variacional, ah1.

2.3 Propriedades da Integral

Em [24], P. Muldowney faz todo o tratamento teórico da integral de Riemann generalizada em

espaços de dimensão infinita. Várias propriedades desta integral são demonstradas em [24]. A

seguir, listamos algumas destas propriedades.

ConsideremosE um conjunto elementar, isto é, um intervalo ou uma união finita de intervalos

emRB.

2.3 Propriedades da Integral 37

Proposição 2.7.Sejaa ∈ R ou C. Suponhamos queh1 e h2 sejam funções Riemann integráveis

generalizadas emE, então:

1. h1 + h2 é Riemann integrável generalizada emE e∫

E

(h1 + h2) =

∫

E

h1 +

∫

E

h2;

2. ah1 é Riemann integrável generalizada emE e∫

E

ah1 = a

∫

E

h1;

3. Seh1 ≤ h2, então∫

E

h1 ≤∫

E

h2.

Demonstração:Sejamα1 eα2 respectivamente os valores das integrais deh1 eh2 emE.

1. Comoh1 e h2 são integráveis emE, dadoǫ > 0, existem funções calibresγ1 = (L1, δ1) e

γ2 = (L2, δ2) tais que∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ1

h1(x, I[N ]) − α1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2

para todaγ1-divisãoEγ1 deE, e

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ2

h2(x, I[N ]) − α2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2

para todaγ2-divisãoEγ2 deE. Consideremos

γ = (L, δ),

ondeL = L1 ∪ L2 e δ = minδ1, δ2, então

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ

h1(x, I[N ]) +∑

(x, I[N ])∈Eγ

h2(x, I[N ])

− (α1 + α2)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

2. Sea = 0, o resultado segue. Suponhamos|a| 6= 0. Pela integrabilidade deh1, dadoǫ > 0,

existe uma função calibreγ = (L, δ) tal que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ1

h1(x, I[N ]) − α1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2|a|


para todaγ1-divisãoEγ1 deE. Então, para esta função calibre, temos∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ1

ah1(x, I[N ]) − aα1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ |a|

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ1

h1(x, I[N ]) − α1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2

e o resultado segue.

3. Usando as notações e a função calibreγ = (L, δ) do item 1., temos

α1 −ǫ

2<

∑

(x, I[N ])∈Eγ

h1(x, I[N ]) ≤∑

(x, I[N ])∈Eγ

h2(x, I[N ]) < α2 +ǫ

2,

isto é,

α1 < α2 + ǫ

para todoǫ > 0. Portantoα1 ≤ α2.

Com isto, a prova da proposição está completa.

O próximo resultado trata do Critério de Cauchy para integrais em espaços de funções.

Proposição 2.8.A funçãoh será integrável emE no sentido da integral Riemann generalizada se,

e somente se, dadoǫ > 0, existir uma função calibreηǫ tal que, seE1 eE2 forem divisõesηǫ−finas

deE, então teremos∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈E1

h(x, I[N ]) −∑

(x, I[N ])∈E2

h(x, I[N ])

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

Demonstração: (⇒) SejaH a integral deh em E. Dado ǫ > 0, existe uma função calibre

γǫ = (Lǫ, δǫ) tal que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγǫ

h(x, I[N ]) −H

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2.

Tomandoδǫ =δǫ2

eηǫ = (Lǫ, δǫ), então para quaisquer divisõesE1 eE2 ηǫ−finas deE, valem

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈E1

h(x, I[N ]) −H

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2

2.3 Propriedades da Integral 39

e∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈E2

h(x, I[N ]) −H

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2.

Portanto,∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈E1

h(x, I[N ]) −∑

(x, I[N ])∈E2

h(x, I[N ])

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

(⇐) Para cadan ∈ N, considere a função calibreγn = (Ln, δn) tal que, seE1 e E2 forem

divisõesγn−finas deE, então∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈E1

h(x, I[N ]) −∑

(x, I[N ])∈E2

h(x, I[N ])

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<1

n.

Podemos supor queδn(x, N) ≥ δn+1(x, N), para todo(x, N) ∈ E × F , n ∈ N, pois caso con-

trário, poderíamos substituirδn por δ′n(x, N) = minδ1(x, N), ..., δn(x, N). Supomos também

queLn+1(x) ⊇ Ln(x), comx ∈ E.

Para cadan ∈ N, sejaEn uma divisãoγn−fina deE. Sem > n, entãoEm também será uma

divisãoγn−fina deE. Logo, vale∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈En

h(x, I[N ]) −∑

(x, I[N ])∈Em

h(x, I[N ])

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<1

n,

param > n. Conseqüentemente, a seqüência

∑

(x, I[N ])∈Em

h(x, I[N ])

m≥1

é uma seqüência de

Cauchy emR. SejaH1 seu limite. Fazendom→ +∞, obtemos

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈En

h(x, I[N ]) −H1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<1

n,

para todon ∈ N.

Logo, dadoǫ > 0, sejaK ∈ N satisfazendoK >2

ǫ. SeE for uma divisãoγK−fina, então

teremos∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eh(x, I[N ]) −H1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤


≤

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eh(x, I[N ]) −

∑

(x, I[N ])∈EK

h(x, I[N ])

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈EK

h(x, I[N ]) −H1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<

<1

K+

1

K< ǫ.

e a prova está completa.

Proposição 2.9.Seh for Riemann integrável generalizada emE, entãoh será Riemann integrável

generalizada emP , para cadaP ⊆ E.

Demonstração:Comoh é integrável emE, dadoǫ > 0, existe uma função calibreγ = (L, δ) tal

que∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ

h(x, I[N ]) − α

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2,

para todaγ-divisãoEγ deE. Para cadaP ⊆ E, temosEγ = E1γ ∪E2

γ tal queE1γ é uma divisão deP

eE2γ é uma divisão deE \ P . Seja, agora,Fγ = E3

γ ∪ E2γ tal queE3

γ é umaγ-divisão deP . Sejam

α =∑

(x, I[N ])∈E1γ

h(x, I[N ]),

β =∑

(x, I[N ])∈E3γ

h(x, I[N ])

e

ξ =∑

(x, I[N ])∈E2γ

h(x, I[N ]).

Então∣

∣

∣

∣

α + ξ −∫

E

h

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2e

∣

∣

∣

∣

β + ξ −∫

E

h

∣

∣

∣

∣

<ǫ

2.

Assim, vale

|α− β| < ǫ,

isto é,∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈E1γ

h(x, I[N ]) −∑

(x, I[N ])∈E3γ

h(x, I[N ])

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ,

ondeE1γ eE3

γ são quaisquer partições deP . Portanto, o resultado segue pela Proposição 2.3.2.

2.4 A integral de Wiener 41

O resultado seguinte é uma versão do teorema da convergênciadominada de Lebesgue em es-

paços de funções. Uma demonstração para este resultado podeser encontrada em [24], Proposição

33.

Teorema 2.10.Suponhamos que, para cada par de associados(x, I[N ]), a sequênciahj(x, I[N ]),

j = 1, 2, 3, ..., seja uma sequência real de funções Riemann integráveis generalizadas emE

que é convergente para a funçãoh(x, I[N ]), quandoj → +∞. Suponhamos queg0(x, I[N ])

seja uma função real positiva definida emI, x, N , que é Riemann integrável generalizada em

E. Suponhamos ainda que, dadoǫ > 0, existam uma função calibreγ1 e um número inteiro

j0 = j0(x, I[N ]) > 0 tais que

|h(x, I[N ]) − hj(x, I[N ])| < ǫg0(x, I[N ]),

para quaisquerj > j0 e (x, I[N ]) ∈ Eγ1 . Seg1(x, I[N ]) e g2(x, I[N ]) forem funções Riemann

integráveis generalizadas emE, e existir uma função calibreγ2 tal que

g1(x, I[N ]) ≤ hj(x, I[N ]) ≤ g2(x, I[N ]),

para cadaj e para cada par de associadosγ2-finos,(x, I[N ]), entãoh será integrável no sentido

da integral de Riemann generalizada emE e

limj→+∞

∫

E

hj(x, I[N ]) =

∫

E

h(x, I[N ]).

2.4 A integral de Wiener

Se0 = t0 < t1 < ... < tn = τ ext for uma função de posição de uma partícula que

segue um movimento browniano, então a probabilidade de que esta partícula, com posição inicial

zero, seja encontrada emuj ≤ xj < vj, no tempotj, 1 ≤ j ≤ n− 1, e emξ, no tempoτ , é

w(I) =

∫ v1

u1

...

∫ vn−1

un−1

ρ(x1, t1)ρ(x2 − x1, t2 − t1)...ρ(xn − xn−1, tn − tn−1)dx1...dxn−1,

onde

ρ(xj − xj−1, tj − tj−1) =

√

1

4πD(tj − tj−1)exp

(

− (xj − xj−1)2

4D(tj − tj−1)

)


para todo1 ≤ j ≤ n, ondex0 = 0, t0 = 0 e D é o coeficiente de difusão que depende da

viscosidade média e das dimensões da partícula, e contém o número de Avogadro.

N. Wiener [35] mostrou que esta função de intervalos,w(I), produz uma medida no espaçoC

das funções contínuasx definidas em]0, τ [, comx(0) = 0 ex(τ) = ξ.

Em [18], M. Kac mostrou que seU for uma função positiva contínua da função de posição e

u(x) = exp

(

−∫

U(x(t))dt

)

, x ∈ C, então∫

C

u(x)dw existirá eφ(ξ, τ) =

∫

C

u(x)dw satisfará

uma equação análoga à equação de Schrödinger e à equação de difusão. Este assunto foi tratado

em [24] usando integração em espaço de funções.

A seguir, apresentaremos com detalhes este tratamento feito por P. Muldowney em [24].

ConsideremosR]0, τ [ o espaço das funções a valores reaisx definidas em]0, τ [, comx(0) = 0

ex(τ) = ξ, ondeξ ∈ R. Sejam0 = t0 < t1 < ... < tn = τ , N = t1, t2, ..., tn−1 ex(tj) = xj ,

0 ≤ j ≤ n, tal quex0 = 0 e xn = ξ. DefinamosI(tj) = Ij = [uj, vj[ e ∆Ij = vj − uj,

1 ≤ j ≤ n− 1. Sejay = (y1, ..., yn−1) ∈ I1 × ...× In−1. Definamos, agora, as seguintes funções:

w(x, N) =

n∏

j=1

exp

(

−1

2

(xj − xj−1)2

tj − tj−1

) n∏

j=1

[2π(tj − tj−1)]−1/2,

w(I, x, N) = w(x, N)

n∏

j=1

∆Ij

e

w(I, N) =

∫

In−1

...

∫

I1

w(y, N)dy1...dyn−1. (2.4)

A prova do lema seguinte é imediata.

Lema 2.11. Sejama, b, u, v ∈ R, coma > 0, b > 0, e consideremos, também, a funçãoh(α)

dada por

h(α) =

√

a

πe−a(u−α)2

√

b

πe−b(α−v)

2

.

Entãoh é Riemann integrável e vale

∫ +∞

−∞

√

a

πe−a(u−α)2

√

b

πe−b(α−v)

2

dα =

√

ab

π(a+ b)exp

(

− ab

a + b(u− v)2

)

.


Observação 2.1.No Exemplo 2.3, apresentado na Seção 2.2 deste capítulo, o conjuntoN para o

qual o par associado(x, I[N ]) pertence à divisãoE não é o mesmo para todos os pares associ-

ados. De fato, temosN = t2 para o par(x, I11[N ]), enquantot1, t2 é o conjuntoN para

os demais intervalos, digamos,I1, I2, ..., I10. TomandoM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E = t1, t2,

podemos representar a soma de Riemann∑

(x, I[N ])∈Ew(I, N) como

∑

(x, I[M ])∈Ew(I, M), onde

∑

(x, I[M ])∈Ew(I, M) =

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

exp(

−12

(y1−y0)2t1−t0

)

√

2π(t1 − t0)

exp(

−12

(y2−y1)2t2−t1

)

√

2π(t2 − t1)

exp(

−12

(y3−y2)2t3−t2

)

√

2π(t3 − t2)dy1dy2.

De fato, pelo Lema 2.11, temos

∫

I11

w(I, N) =

∫ u42

u32

exp(

−12

(y2−y0)2t2−t0

)

√

2π(t2 − t0)

exp(

−12

(y3−y2)2

t3−t2

)

√

2π(t3 − t2)dy2 =

=

∫ u42

u32

∫ +∞

−∞

exp(

−12

(y1−y0)2t1−t0

)

√

2π(t1 − t0)

exp(

−12

(y2−y1)2t2−t1

)

√

2π(t2 − t1)

exp(

−12

(y3−y2)2t3−t2

)

√

2π(t3 − t2)dy1dy2.

Portanto, basta utilizarmos a propriedade de aditividade da integral.

A funçãow(I, N) dada por(2.4) é Riemann integrável generalizada em todo intervalo ele-

mentarE ⊆ R]0, τ [, como mostra o próximo resultado.

Teorema 2.12.A função de Wienerw(I, N) definida em(2.4) é Riemann integrável generalizada

em todo intervalo elementarE ⊆ R]0, τ [. Em particular, vale

∫

R]0, τ [

w(I, N) =1√2πτ

exp

(

− ξ2

2τ

)

.

Demonstração: Consideremos uma divisãoE = (x, I[N ]) de R]0, τ [, ondeN ∈ F(]0, τ [).

Então a soma de Riemann da funçãow(I, N) é dada por

∑

(x, I[N ])∈Ew(I, N) =

∑

(x, I[N ])∈E

∫

In−1

...

∫

I1

w(y, N)dy1...dyn−1.

SejaM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosM comot1, ..., tm−1, ondeτ ′ = t0, τ = tm e

t0 < t1 < ... < tm−1 < tm.


Cada termo dew(I, N) na soma de Riemann pode ser reescrito comow(I, M). Basta inserir-

mos expressões adicionais“yj” na expressão dew(y, N) e integrarmos de−∞ a +∞ nosyj ’s

extras. Então a soma de Riemann torna-se

∑

(x, I[M ])∈Ew(I, M) =

∑

(x, I[M ])∈E

∫

Im−1

...

∫

I1

w(y, M)dy1...dym−1,

ondeM é um conjunto fixo de dimensões. Note que, agora, estamos lidando com uma soma de

Riemann de uma integral em dimensãom − 1. Assim cada termo na soma de Riemann é uma

integral sobreI[M ] ⊂ Rm−1 e, pela aditividade finita desta integral emRm−1, temos

∑

(x, I[M ])∈Ew(I, M) =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞w(y, M)dy1...dym−1. (2.5)

Pelo Lema 2.11, obtemos∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞w(y, M)dy1...dym−1 =

1√2πτ

exp

(

− ξ2

2τ

)

.

Portanto, dadoǫ > 0, para qualquer função calibreγ, se(x, I[N ]) ∈ Eγ, comL(x) ⊆ N , então

teremos

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ

w(I, N) − 1√2πτ

exp

(

− ξ2

2τ

)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

Portanto∫

R]0, τ [

w(I, N) =1√2πτ

exp

(

− ξ2

2τ

)


Como consequência da Proposição 37 em [24], as funçõesw(I, x, N) ew(I, N) são varia-

cionalmente equivalentes.

Suponhamos queU seja uma função a valores reais definida emR. ParaN = t1, ..., tn−1 ⊆]0, τ [ ex ∈ R]0, τ [, seja

Uj = U(xj) = U(x(tj)), 0 ≤ j ≤ n− 1.

Definamos

u(x, N) = exp

(

−n∑

j=1

Uj−1(tj − tj−1)

)


e

u(I, N) =

∫

I(N)

u(x, N)w(x, N)dx(N).

Paraη > 0, 0 ≤ σ − τ < η, 0 ≤ |ζ − ξ| < η, consideremos

h(ζ, σ) =1

√

2π(σ − tn−1)exp

(

−1

2

(ζ − xn−1)2

σ − tn−1− Un−1(σ − tn−1)

)

,

W1(I, x, N) =

=n−1∏

j=1

1√

2π(tj − tj−1)exp

(

−n−1∑

j=1

[

1

2

(xj − xj−1)2

tj − tj−1

+ Uj−1(tj − tj−1)

]

)

∆I(N)

e

W2(I, x, N ; ζ, σ) = h(ζ, σ)W1(I, x, N).

Em [24], P. Muldowney provou queφ(ξ, τ) =

∫

R]0, τ [

u(I, N) é uma representação de Feynman-

Kac da solução de∂φ

∂τ=

1

2

∂2φ

∂ξ2− U(ξ)φ,

desde queU ≥ 0 seja contínua emξ,W2(I, x, N ; ζ, σ) seja Riemann integrável generalizada em

R]0, τ [ para0 ≤ σ − τ < η, 0 ≤ |ζ − ξ| < η e a derivada parcial∂φ

∂τexista.

No próximo capítulo, vamos estender estes resultados para processos com impulsos.

CAPÍTULO

3

Integral de Wiener para um processo

com impulsos

3.1 Introdução

Quando um processo browniano está submetido a condições de impulsos, onde, em momentos

de tempos específicosτk, o processo sofre saltos de tamanhoJk, obtemos o seguinte processo

impulsivo

z = zt = z(t) : t ∈ ]τ ′, τ [, onde z(t) = x(t) +∑

τk≤tJk.

Assim, somos levados a considerar a seguinte medida

µ(I) =

∫

I1

· · ·∫

In−1

n∏

j=1

e− 1

2

(zj−yj−1)2

tj−tj−1

√

2π(tj − tj−1)

dy1 . . . dyn−1,

ondezj = yj + Jj, setj for um dos instantesτk, ezj = yj caso contrário.

47

48 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos

Neste capítulo, consideraremos a função volumeµ(I) para um processo impulsivozt cor-

respondente à função de Wienerw(y, N), provaremos que esta função é integrável no sentido da

integral de Riemann generalizada em um espaço de funções e estudaremos algumas propriedades

de funções que dependem de um processo com impulsos.

3.2 A Função volume para um processo com impulsos

Sejaxtt≥0 um movimento browniano. Suponhamos que, no instantetj−1 > 0, a função de

posição sejaxj−1 = x(tj−1). Assim, para um instante posteriortj, o incrementoxj − xj−1 é dado

por uma distribuição normal, com média zero e variânciatj − tj−1. Portanto a probabilidade de

quexj = x(tj) ∈ [uj, vj [ será

1√

2π(tj − tj−1)

∫ vj

uj

exp

(

−1

2

(yj − xj−1)2

tj − tj−1

)

dyj.

Logo, dadox(t0) = ξ′, a probabilidade conjunta de quex1 ∈ I1,...,xn ∈ In, ondeIj = [uj, vj [,

1 ≤ j ≤ n, será dada por

∫ v1

u1

...

∫ vn

un

n∏

j=1

exp(

−12

(yj−yj−1)2

tj−tj−1

)

√

2π(tj − tj−1)dy1...dyn. (3.1)

Assim, em movimento browniano, somos levados a considerar expressões da forma

n∏

j=1

exp(

−12

(yj−yj−1)2

tj−tj−1

)

√

2π(tj − tj−1). (3.2)

No que segue, apresentaremos uma versão para as expressões(3.1) e (3.2), quando o movi-

mento browniano estiver sujeito a condições de impulsos em alguns momentos de tempo.

Consideremos o operador impulsoJ : R → R como sendo uma função contínua. Sejam

τ ′, τ números reais tais que0 < τ ′ < τ eN = t1, ..., tn−1 ⊂ ]τ ′, τ [, ondeτ ′ = t0 e τ = tn.

Suponhamos queI = τ1, ..., τp ⊂ N , ondeτ1 < τ2 < ... < τp. Então,τ1, τ2, ..., τp =

ti1 , ti2, ..., tip, ondeij ∈ 1, 2, ..., n − 1 para1 ≤ j ≤ p. SejamN = 1, 2, ..., n e J =

i1, i2, ..., ip.

3.2 A Função volume para um processo com impulsos 49

Dadox ∈ R]τ ′, τ [, definamos um processoz ∈ R]τ ′, τ [ da seguinte forma

z(t) = x(t), para τ ′ < t < τ1, (3.3)

z(t) = x(t) +∑

τj≤tJ(x(τj)), τj ≤ t < τj+1, j = 1, 2, ..., p, (3.4)

ondeτp+1 := τ . A Figura 3.1, ilustra o comportamento do processo impulsivo z(t), τ ′ < t < τ ,

ondex ∈ C(]τ ′, τ [), sendoC(]τ ′, τ [) o subconjunto de todas as funções contínuas emR]τ ′, τ [.

τ ′ τ1 τp τ

z(t)

t

x(t)

Figura 3.1: Processoz ∈ R]τ ′, τ [.

Definamos, agora, a função volume para um processo impulsivo. Para isso, definamos, primeira-

mente, a função para um processo impulsivo correspondente àfunção de Wienerw(y, N), repre-

sentada porgI(y, N) e dada por

∏

j∈N\J

exp(

−12

(yj−yj−1)2

tj−tj−1

)

√

2π(tj − tj−1)

∏

j∈J

exp(

−12

(yj−(yj−1−J(yj)))2

tj−tj−1

)

√

2π(tj − tj−1)

que é igual a

∏

j∈N\J

exp(

−12

(yj−yj−1)2

tj−tj−1

)

√

2π(tj − tj−1)

∏

j∈J

exp(

−12

(J(yj)+yj−yj−1)2

tj−tj−1

)

√

2π(tj − tj−1). (3.5)

Definição 3.1.SejamI(tj) = Ij = [uj, vj [, ∆Ij = vj−uj , 1 ≤ j ≤ n−1 eI(N) = I1×...×In−1.

A função volumepara um processo com impulsivos nos instantesτ1, ..., τp é definida por

QI(I[N ]) =

∫

I(N)

gI(y, N)dy(N).


SejaC(R, R) o conjunto das funções contínuas definidas emR a valores reais. Consideremos

o seguinte conjunto

Z =

J ∈ C(R, R) :

∫ +∞

−∞

exp(

−12

(J(yj)+yj−yj−1)2

tj−tj−1

)

√

2π(tj − tj−1)

dyj = 1, j = 1, 2, ..., p

.

Sejaα ∈ R. SeJ(w) = α, para cadaw ∈ R, entãoJ ∈ Z. Portanto,Z 6= ∅.

Definição 3.2.SejamJ ∈ Z ez um processo impulsivo dado pelas equações(3.3)− (3.4). Então

QI(I[N ]) será umafunção distribuição de probabilidades, ou seja, a probabilidade dexj ∈ Ij ,

para1 ≤ j ≤ n− 1, comx(τ ′) = ξ′ ex(τ) = ξ.

Se(x, I) for um par de associados, ondeI = I[N ], então definimos

GI(x, I[N ]) = QI(I[N ]).

E nosso objetivo, agora, é mostrar que a funçãoGI(x, I[N ]) é integrável no sentido da integral de

Riemann generalizada emR]τ ′, τ [. Para provarmos isso, vamos mostrar um resultado auxiliar.

Primeiramente, recordemos a versão do Teorema de Tonelli para integrais de Riemann gene-

ralizadas, que será útil no próximo resultado. Veja [36], Teorema 6.6.5, para uma prova deste

resultado.

Teorema 3.3.SejaJ um intervalo emRn, comJ = H ×K, ondeH eK pertencem aR

le aR

m

respectivamente,n = l +m. Sejaf uma função definida emRn. Se as seguintes condições forem

satisfeitas:

i) f é mensurável emJ ;

ii) existe uma funçãog tal que|f | ≤ g emJ e

A1 =

∫

H

(∫

K

g(x, y)dy

)

dx <∞

ou

A2 =

∫

K

(∫

H

g(x, y)dx

)

dy <∞,

entãof será Riemann integrável generalizada emJ e∫∫

J

f =

∫

H

(∫

K

f(x, y)dy

)

dx.


Temos o seguinte corolário do Teorema de Tonelli ([36], Corollary 6.6.7).

Corolário 3.4. Sef for uma função mensurável e não-negativa, então∫∫

J

f =

∫

H

(∫

K

f(x, y)dy

)

dx =

∫

K

(∫

H

f(x, y)dx

)

dy.

desde que uma das integrais existam.

Agora, consideremos as seguintes funções auxiliaresφ1, φ2 : R×]τ ′, τ [−→ R e Φj : R ×R×]τ ′, τ [×]τ ′, τ [−→ R, j = 1, 2, ..., p− 1, definidas por

φ1(yk, tk) =1

√

2π(tk − τ ′)exp

(

−1

2

(yk − ξ′)2

tk − τ ′

)

,

parak ∈ 1, 2, ..., i1 − 1,

φ2(yip, tip) =1

√

2π(τ − tip)exp

(

−1

2

(ξ − yip)2

τ − tip

)

e

Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1) =1

√

2π(tij+1−1 − tij )exp

(

−1

2

(yij+1−1 − yij)2

tij+1−1 − tij

)

,

paraj = 1, 2, ..., p− 1.

Analogamente, definamosφ1(J(yk), tk) parak ∈ J substituindoyk por J(yk) + yk na ex-

pressão deφ1(yk, tk), e definamosΦj(yij , J(yij+1), tij , tij+1

) substituindoyij+1−1 por J(yij+1) +

yij+1e tij+1−1 por tij+1

na expressão deΦj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1), paraj ∈ 1, 2, ..., p− 1.

A seguinte Proposição 3.5 diz que, dadoy = (y1, . . . , yn−1) ∈ Rn−1, a funçãogI(y, N)

definida pela equação(3.5) é Riemann integrável generalizada com respeito ay emRn−1.

Proposição 3.5.SejaN = t1, t2, ..., tn−1 ⊂ ]τ ′, τ [ um conjunto fixado, comt0 = τ ′ e tn = τ .

SejagI uma função definida como em(3.5), ondey(τ ′) = y(t0) = ξ′ e y(τ) = y(tn) = ξ. Então

gI é Riemann integrável generalizada com respeito ay emRn−1 e∫

Rn−1

gI(y, N)dy1dy2...dyn−1 =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞φ1(J(yi1), ti1)

[

p−1∏

j=1

Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1

)

]

φ2(yip, tip)

p∏

j=1

dyij .


Demonstração: SejaI = τ1, τ2, ..., τp = ti1 , ti2 , ..., tip, com ij ∈ 1, 2, ..., n − 1 para

1 ≤ j ≤ p. Consideremos

N = 1, 2, ..., i1 − 1, i1, i1 + 1, ...., ip − 1, ip, ip + 1, ..., n− 1, n.

Com isto, definimos as seguintes funções

ψj(yj, yj−1) =1

√


(

−1

2

(yj − yj−1)2

tj − tj−1

)

, j ∈ N \ J ,

e

ϕj(yj, yj−1) =1

√


(

−1

2

(J(yj) + yj − yj−1)2

tj − tj−1

)

, j ∈ J .

Pelo Lema 2.11, podemos concluir que

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞ψ1(y1, y0)...ψi1−1(yi1−1, yi1−2)dy1...dyi1−2 =

=1

√

2π(ti1−1 − τ ′)exp

(

−1

2

(yi1−1 − ξ′)2

ti1−1 − τ ′

)

= φ1(yi1−1, ti1−1), (3.6)

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞ψij+1(yij+1, yij)...ψij+1−1(yij+1−1, yij+1−2)dyij+1...dyij+1−2 =

=1

√

2π(tij+1−1 − tij )exp

(

−1

2

(yij+1−1 − yij )2

tij+1−1 − tij

)

= Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1), (3.7)

j = 1, 2, ..., p− 1, e

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞ψip+1(yip+1, yip)...ψn(yn, yn−1)dyip+1...dyn−1 =

=1

√

2π(τ − tip)exp

(

−1

2

(ξ − yip)2

τ − tip

)

= φ2(yip, tip). (3.8)

Assim, tomandotip+ℓ := tn−1, ℓ ∈ N, das equações (3.6), (3.7) e (3.8), obtemos

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞gI(y, N)

[

i1−2∏

j=1

dyj

][

p−1∏

j=1

dyij+1...dyij+1−2

]

ℓ∏

j=1

dyip+j = (3.9)

= φ1(yi1−1, ti1−1)

[

p−1∏

j=1

ϕij (yij , yij−1)Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1)

]

ϕip(yip, yip−1)φ2(yip, tip).


Pelo Lema 2.11, temos

∫ +∞

−∞φ1(yi1−1, ti1−1)ϕi1(yi1 , yi1−1)dyi1−1 = φ1(J(yi1), ti1) (3.10)

e∫ +∞

−∞Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1)ϕij+1

(yij+1, yij+1−1)dyij+1−1 = (3.11)

= Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1

), j = 1, ..., p− 1.

De (3.9), (3.10) e (3.11), obtemos

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞gI(y, N)

∏

j∈N\Jdyj =

= φ1(J(yi1), ti1)

[

p−1∏

j=1


)

]

φ2(yip, tip). (3.12)

Agora, definamos funçõesf, F : Rp → R dadas por

f(yi1, ..., yip) =

[

p−1∏

j=1


)

]

φ2(yip, tip)

e

F (yi1, ..., yip) = φ1(J(yi1), ti1)f(yi1, ..., yip).

EntãoF é contínua,|F (yi1, ..., yip)| ≤f(yi1, ..., yip)√

2π(ti1 − τ ′)e

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

f(yi1, ..., yip)√

2π(ti1 − τ ′)dyi1...dyip =

1√

2π(ti1 − τ ′).

Pelo Teorema de Tonelli (Teorema 3.3), a funçãoF é Riemann integrável generalizada emRp

e a integral

∫

Rp

F (yi1, ..., yip)dyi1...dyip =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞F (yi1, ..., yip)dyi1...dyip

é finita. Então, da equação (3.12), segue

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞gI(y, N)dy1dy2...dyn−1 =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞F (yi1, ..., yip)dyi1...dyip <∞.


Pelo Corolário do Teorema de Tonelli (Corolário 3.4), podemos concluir quegI(y, N) é integrável

com respeito ay emRn−1 e vale

∫

Rn−1

gI(y, N)dy1...dyn−1 =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞gI(y, N)dy1dy2...dyn−1 =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞φ1(J(yi1), ti1)

[

p−1∏

j=1


)

]

φ2(yip, tip)

p∏

j=1

dyij ,

o que completa a prova.

Agora, apresentaremos o resultado que estabelece a integrabilidade deGI(x, I[N ]) no espaço

de funçõesR]τ ′, τ [.

Teorema 3.6.A funçãoGI(x, I[N ]) é Riemann integrável generalizada, isto é, a integral

∫

R]τ ′, τ [

GI(x, I[N ])

existe.

Demonstração:Consideremos uma divisçãoE = (x, I[N ]) deR]τ ′, τ [, onde cadaN escolhido

é tal queI ⊆ N ∈ F(]τ ′, τ [). Então a soma de Riemann deGI é dada por

∑

(x, I[N ])∈EGI(x, I[N ]) =

∑

(x, I[N ])∈EQI(I[N ]).

SejaM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosM comot1, ..., tm−1, ondeτ ′ = t0, τ = tm e

t0 < t1 < ... < tm−1 < tm. Cada termoQI(I[N ]) da soma de Riemann pode ser reescrito como

QI(I[M ]); basta inserirmosyj ’s adicionais na expressão degI, j ∈ N \ J , e integrarmos de−∞a+∞ sobre osyj ’s extras. Então a soma de Riemann torna-se

∑

(x, I[M ])∈EQI(I[M ]),

comM sendo um conjunto fixo de dimensões. Desta maneira, estamos lidando com uma soma

de Riemann de uma integral emm− 1 dimensões. Logo, cada termo da soma de Riemann é uma


integral sobreI[M ] ⊂ Rm−1 e, pela propriedade de aditividade finita desta integral emRm−1,

temos∑

(x, I[M ])∈EQI(I([M ]) =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞gI(y, M)dy1...dym−1. (3.13)

Pela Proposição 3.5, a integral em (3.13) existe e podemos reescrever

∑

(x, I[M ])∈EQI(I[M ])

como∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞φ1(J(yi1), ti1)

[

p−1∏

j=1


)

]

φ2(yip, tip)

p∏

j=1

dyij . (3.14)

Sejaβ o valor da integral em (3.14). Assim, dadoǫ > 0, para qualquer função calibreγ escolhida

tal queL(x) ⊇ I, para todo(x, I[N ]) ∈ Eγ, I ⊆ L(x) ⊆ N implica que∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ

GI(x, I[N ]) − β

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

Portanto∫

R]τ ′, τ [

GI(x, I[N ]) = β e a prova está completa.

Mostraremos, a seguir, que as expressõesgI(x, N)

n−1∏

j=1

∆Ij e GI(x, I[N ]) são variacional-

mente equivalentes emR]τ ′, τ [. Este resultado será conseqüência da Proposição 3.7, que apresenta-

mos na seqüência.

Definamos a função auxiliarqI(I(N)) por

qI(I(N)) = gI(x, N)n−1∏

j=1

∆Ij .

Se(x, I) for um par de associados, ondeI = I(N), então definimos

qI(x, I[N ]) = qI(I(N)).

Proposição 3.7.Sejak(x(N)) = k(x(t1), ..., x(tn−1)) uma função real que depende das var-

iáveis(x(t1), ..., x(tn−1)). Sek for contínua em cadaxj , 1 ≤ j ≤ n − 1, então as expressões

k(x(N))qI(x, I[N ]) e∫

I(N)

k(y(N))gI(y, N)dy(N) serão variacionalmente equivalentes emR]τ ′, τ [,

sempre que a integral de uma delas existir.


Demonstração: Sejaǫ > 0 dado. Como o operador impulsoJ é uma função contínua, para

x ∈ R]τ ′,τ [

, podemos escolherL(x) e δ(x, N) tais que, seN ⊇ L(x) ⊇ I, (I(N), x(N)) for

δ−fina e sey ∈ I(N), então teremos

|k(x(N))gI(x, N) − k(y(N))gI(y, N)| < ǫ

4

√

2π(ti1 − τ ′)gI(x, I)

e

gI(y, N) >1

2gI(x, N).

Logo,∣

∣

∣

∣

k(x(N))qI(x, I[N ]) −∫

I(N)

k(y(N))gI(y, N)dy(N)

∣

∣

∣

∣

=

=

∣

∣

∣

∣

∣

k(x(N))gI(x, N)n−1∏

j=1

∆Ij −∫

I(N)


∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∣

∣

∣

∣

∫

I(N)

[k(x(N))gI(x, N) − k(y(N))gI(y, N)] dy(N)

∣

∣

∣

∣

≤

≤ ǫ

2

√

2π(ti1 − τ ′)

∫

I(N)

gI(y, N)dy(N).

Assim, podemos escolher uma função calibreγ tal que, para toda divisãoEγ, vale

∑

(x, I[N ])∈Eγ

∣

∣

∣

∣

k(x(N))qI(x, I[N ]) −∫

I(N)


∣

∣

∣

∣

≤

≤ ǫ

2

√

2π(ti1 − τ ′)∑

(x, I[N ])∈Eγ

∫

I(N)

gI(y, N)dy(N) =

=ǫ

2

√

2π(ti1 − τ ′)

∫

Rn−1

gI(y, N)dy(N) < ǫ.

Portanto,

∫

R]τ ′,τ [

k(x(N))qI(x, I[N ]) =

∫

R]τ ′,τ [

∫

I(N)



Corolário 3.8. As expressõesqI(x, I[N ]) eGI(x, I[N ]) são variacionalmente equivalentes em

R]τ ′, τ [.


Definição 3.9.Dadoτ ′ < T1 < τ , definamos o conjunto

D1 = x ∈ R]τ ′, τ [ : x é discontínua emT1.

Pretendemos mostrar que∫

D1

GI(x, I[N ]) existe e é igual a zero. Este resultado será útil no

próximo capítulo.

Antes, porém, precisamos estabelecer alguns resultados auxiliares.

Definição 3.10.SejaM = T1, ..., Tm ⊂ ]τ ′, τ [. Dizemos que um funcionalh que satisfaz

h(x) = h(x(M)) para todox ∈ R]τ ′, τ [ é umfuncional cilíndrico.

Note queh depende somente dos valores das coordenadas dex emT1, ..., Tm, e podemos tratar

isso como uma função dex(M) ∈ Rm ou como uma função dex ∈ R]τ ′,τ [.

Consideremos o caso particular em queM = T1, T2 e h(x) = h(x(M)). Definimos

HI(I[N ]) como sendo o valor da integral∫

I(N)

h(x(M))gI(x, N)dx1...dxn−1.

Seτi < T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 0, 1, 2, ..., p, τ0 = τ ′ e τp+1 = τ , definamos

H1(x,M) = h(x(M))

i∏

j=1

exp

(

−1

2

(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2

τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

×

×exp

(

−1

2

(xT1 − xτi)2

T1 − τi

)

√

2π(T1 − τi)

exp

(

−1

2

(xT2 − xT1)2

T2 − T1

)

√

2π(T2 − T1)

exp

(

−1

2

(xτi+1+ J(xτi+1

) − xT2)2

τi+1 − T2

)

√

2π(τi+1 − T2)×

×

p∏

j=i+2

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

exp

(

−1

2

(xτ − xτp)2

τ − τp

)

√

2π(τ − τp)

e, seT1 = τi eT1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 1, 2, ..., p, definamos

H2(x,M) = h(x(M))

i∏

j=1

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

×


×exp

(

−1

2

(xT2 − xτi)2

T2 − τi

)

√

2π(T2 − τi)

exp

(

−1

2

(xτi+1+ J(xτi+1

) − xT2)2

τi+1 − T2

)

√

2π(τi+1 − T2)×

×p∏

j=i+2

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

exp

(

−1

2

(xτ − xτp)2

τ − τp

)

√

2π(τ − τp).

O próximo teorema estabelece condições sobreH1(x, M) e H2(x, M) para que a função

HI(I[N ]) seja Riemann integrável generalizada emR]τ ′,τ [.

Teorema 3.11.Suponhamos queh, uma função dex(M) = (x(T1), x(T2)) ∈ R2, seja positiva e

contínua em quase toda parte.

1. Seτi < T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 0, 1, ..., p eH1(x, M) for Riemann integrável

generalizada emRp+2 com respeito às variáveisxτ1 , ..., xτi , xT1 , xT2 , xτi+1, ..., xτp , então

HI(I[N ]) será Riemann integrável generalizada emR]τ ′,τ [, e

∫

R]τ ′,τ [

HI(I[N ]) =

∫

Rp+2

H1(x, M)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1...dxτp .

2. SeT1 = τi e T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 1, 2, ..., p e H2(x, M) for Riemann

integrável generalizada emRp+1 com respeito às variáveisxτ1 , ..., xτi , xT2 , xτi+1, ..., xτp ,

entãoHI(I[N)] será Riemann integrável generalizada emR]τ ′,τ [, e

∫

R]τ ′,τ [

HI(I[N ]) =

∫

Rp+1

H2(x, M)dxτ1 ...dxτidxT2dxτi+1...dxτp .

Demonstração:Provemos o item 1. SejaE = (x, I[N ]) uma divisão deR]τ ′, τ [, onde cadaN é

tal queI ⊆ N ∈ F(]τ ′, τ [). Seja

HI(I[N ]) =

∫

I(N)

h(x(M))gI(x, N)dx1...dxn−1.

TomemosO = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosO comot1, ..., tr−1, ondeτ ′ = t0, τ = tr

e t0 < t1 < ... < tr−1 < tr. Como na prova do Teorema 3.6, cada termoHI(I[N ]) da soma de

Riemann pode ser reescrito comoHI(I[O]). Assim, pela aditividade finita da integral, a soma de


Riemann torna-se

∑

(x, I[N ])∈EHI(I[N ]) =

∑

(x, I[O])∈EHI(I[O]) =

∑

(x, I[O])∈E

∫

I(O)

h(x(M))gI(x, O)dx1...dxr−1.

Mas,∑

(x, I[O])∈E

∫

I(O)

h(x(M))gI(x, O)dx1...dxr−1 =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞h(x(M))gI(x, O)dx1...dxr−1 =

(∗)=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞H1(x,M)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1

...dxτp ,

onde a passagem(∗) segue do Lema 2.11 e Corolário 3.4.

Sejaβ o valor da integral

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞H1(x,M)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1

...dxτp .

Dadoǫ > 0, podemos escolher uma função calibreγ tal que, para toda divisãoEγ, tenhamos

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ

HI(I[N ]) − β

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

Portanto∫

R]τ ′, τ [

HI(I[N ]) = β.

Analogamente, prova-se o item 2.

Definição 3.12.Sejaτ ′ < T1 < τ e sejaD1 = x ∈ R]τ ′, τ [ : x é discontínua emT1. DadoT2

tal queτ ′ < T2 < τ , T2 6= T1, definimos

X1 =

x ∈ R]τ ′, τ [ : lim supT2→T1

|x(T2) − x(T1)|2 ≥ 1

,

Xj =

x ∈ R]τ ′, τ [ :1

j≤ lim sup

T2→T1

|x(T2) − x(T1)|2 ≤1

j − 1

,

j = 2, 3, ....

Lema 3.13.SendoDr =r⋃

j=1

Xj, temosD1 =+∞⋃

r=1

Dr.


Provaremos, a seguir, queGI(x, I[N ]) é Riemann integrável generalizada emDr, com integral

igual a zero e, então, concluiremos que esta função é Riemannintegrável generalizada emD1, com

integral igual a zero.

Lema 3.14.Parar = 1, 2, 3, ...,∫

Dr

GI(x, I[N ]) existe e é igual a zero.

Demonstração:Suponhamos queT1 /∈ τ1, ..., τp. Podemos supor, sem perda de generalidade,

queτi < T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 0, 1, 2, ..., p, τ0 = τ ′ e τp+1 = τ . Note que

1√

2π(T2 − T1)

∫ +∞

−∞(xT2 − xT1)

2 exp

(

−1

2

(xT2 − xT1)2

T2 − T1

)

dxT1 =

=2(T2 − T1)√

π

∫ +∞

−∞u2 exp(−u2)du =

2(T2 − T1)√π

Γ

(

3

2

)

=

=2(T2 − T1)√

π

√π

2= T2 − T1 = |T2 − T1|.

Então,

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

|xT2 − xT1 |2√

2π(τ1 − τ ′)

i∏

j=2

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)×

×exp

(

−1

2

(xT1 − xτi)2

T1 − τi

)

√

2π(T1 − τi)

exp

(

−1

2

(xT2 − xT1)2

T2 − T1

)

√

2π(T2 − T1)×

×exp

(

−1

2

(xτi+1+ J(xτi+1

) − xT2)2

τi+1 − T2

)

√

2π(τi+1 − T2)

p∏

j=i+2

exp

(

−1

2

(J(xτj ) + xτj − xτj−1)2

τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)×

×exp

(

−1

2

(xτ − xτp)2

τ − τp

)

√

2π(τ − τp)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1

...dxτp =|T2 − T1|

√

2π(τ1 − τ ′).

Sejaς o valor desta última integral. Consideremosh(x(M)) = (xT2 − xT1)2 na expressão de

H1(x, M). Então, pelo item1. do Teorema 3.11, obtemos∫

R]τ ′, τ [

HI(I[N ]) =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞|xT2 − xT1 |2

i∏

j=1

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

×


×exp

(

−1

2

(xT1 − xτi)2

T1 − τi

)

√

2π(T1 − τi)

exp

(

−1

2

(xT2 − xT1)2

T2 − T1

)

√

2π(T2 − T1)×

×exp

(

−1

2

(xτi+1+ J(xτi+1

) − xT2)2

τi+1 − T2

)

√

2π(τi+1 − T2)

p∏

j=i+2

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

×

×exp

(

−1

2

(xτ − xτp)2

τ − τp

)

√

2π(τ − τp)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1

...dxτp

≤ ς =|T2 − T1|

√

2π(τ1 − τ ′),

onde a última desigualdade segue do Teorema de Tonelli (Teorema 3.3).

Dadosǫ > 0 e j ∈ N, podemos escolherT2 e uma divisãoEγ tais que

ǫ

j>

∑

(x, I[N ])∈Eγ

HI(I[N ])(∗)=

∑

(x, I[O])∈Eγ

∫

I(O)

(xT2 − xT1)2gI(x, O)dx1...dxr−1 ≥

≥∑

(x, I[O])∈Eγ

χ(Xj , x)

∫

I(O)

(xT2 − xT1)2gI(x, O)dx1...dxr−1 ≥

≥ 1

j

∑

(x, I[O])∈Eγ

χ(Xj , x)

∫

I(O)

gI(x, O)dx1...dxr−1 =

=1

j

∑

(x, I[O])∈Eγ

χ(Xj , x)GI(x, I[O]).

O símboloO na passagem(∗) é dado porO = ∪N : (x, I[N ]) ∈ Eγ. Comoǫ é arbitrário,∫

R]τ ′, τ [

χ(Xj, x)GI(x, I[N ]) = 0 para todoj = 1, 2, .... Então, pela propriedade de aditividade

finita da integral,∫

R]τ ′, τ [

χ(Dr, x)GI(x, I[N ]) = 0.

SeT1 ∈ τ1, ..., τp, entãoT1 = τi para algumi ∈ 1, 2, ..., p. ConsideremosT1 < T2 < τi+1.

Como∫ +∞

−∞

|xT2 − xτi |2√

2π(T2 − τi)exp

(

−1

2

(xT2 − xτi)2

T2 − τi

)

dxτi = |T2 − T1|, então

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

|xT2 − xT1 |2√

2π(τ1 − τ ′)

i∏

j=2

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

×


×exp

(

−1

2

(xT2 − xτi)2

T2 − τi

)

√

2π(T2 − τi)

exp

(

−1

2

(J(xτi+1) + xτi+1

− xT2)2

τi+1 − T2

)

√

2π(τi+1 − T2)×

×p∏

j=i+2

exp

(

−1

2


τj − τj−1

)

√

2π(τj − τj−1)

exp

(

−1

2

(xτ − xτp)2

τ − τp

)

√

2π(τ − τp)×

×dxτ1 ...dxτidxT2dxτi+1...dxτp =

|T2 − T1|√

2π(τ1 − τ).

Portanto,∫

R]τ ′, τ [

HI(I[N ]) ≤ |T2 − T1|√

2π(τ1 − τ ′),

onde∫

R]τ ′,τ [

HI(I[N ]) =

∫

Rp+1

H2(x, M)dxτ1 ...dxτidxT2dxτi+1...dxτp

comh(x(M)) = (xT2 − xT1)2 na expressão deH2(x, M). O resto da prova segue por um argu-

mento análogo.

Teorema 3.15.A integral∫

D1

GI(x, I[N ]) existe e é igual a zero.

Demonstração: Note queD1 =

+∞⋃

r=1

Dr eDr ⊂ Dr+1. Para cada par de associados(x, I[N ]),

definamos

fk(x, I[N ]) = χ(Dk, x)GI(x, I[N ]), k = 1, 2, 3....

Dadox ∈ D1, existe um inteiro positivok0 tal quex ∈ Dk, parak ≥ k0. Assimχ(Dk, x) =

χ(D1, x), parak ≥ k0. Conseqüentemente, para cada par de associados(x, I[N ]), teremos

fk(x, I[N ])k→+∞−→ f0(x, I[N ]),

ondef0(x, I[N ]) = χ(D1, x)GI(x, I[N ]). Note que

|f0(x, I[N ])| ≤ GI(x, I[N ]) e |fk(x, I[N ])| ≤ GI(x, I[N ]), k = 1, 2, 3, . . . .

Dadoǫ > 0, existek1 > 0 tal que

|f0(x, I[N ]) − fk(x, I[N ])| < ǫGI(x, I[N ]),


parak > k1 e para todo par de associados(x, I[N ]). Pelo Teorema 3.6,GI(x, I[N ]) é Riemann

integrável generalizada emR]τ ′, τ [. Pelo Teorema 2.10,f0 é Riemann integrável generalizada em

R]τ ′, τ [ e vale∫

R]τ ′, τ [

f0(x, I[N ]) = limk→+∞

∫

R]τ ′, τ [

fk(x, I[N ]).

Daí, usando o Lema 3.14, obtemos∫

R]τ ′, τ [

χ(D1, x)GI(x, I[N ]) = 0,

o que termina a demonstração.

CAPÍTULO

4

Uma equação diferencial do tipo

Schrödinger com impulsos

4.1 Introdução

Neste capítulo, investigaremos sistemas nos quais um processo impulsivo

z = zt = z(t) : t ∈ ]τ ′, τ [, onde z(t) = x(t) +∑

τi≤tJi,

está sujeito a uma força externa que produz uma manifestaçãoadicional no processo em questão.

Representaremos esta força externa pela função potencialV , que depende da função de posição

z(t) em qualquer momento de tempot.

Uma função de estado,φ(ξ, τ), que descreve a evolução desde sistema, comξ := x(τ), é

freqüentemente obtida como uma solução de uma equação de difusão parabólica apropriada e, às

65

66 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos

vezes, esta solução possui uma representação do tipo Feynman-Kac

φ(ξ, τ) =

∫

R]τ ′,τ [

f(x)µ(I).

Investigaremos um método para determinarmos a funçãoφ(ξ, τ) e mostraremos como as dis-

continuidades deφ estão relatadas com os impulsos do processoz.

Nossa investigação é restrita a uma função impulsoJ , que é determinística e depende da função

de posiçãoz(t). Os impulsos ocorrem em tempos pré-fixadosτi, i = 1, 2, . . . , p. Finalizaremos

este capítulo apresentando um exemplo que ilustra a teoria em questão, exibindo o valor explícito

deφ quando os impulsos e a funçãoV são constantes.

4.2 Uma equação de difusão para um processo impul-

sivo

Iniciaremos esta seção apresentando o conceito de solução para uma equação diferencial par-

cial com impulsos. Tais conceitos, que apresentamos a seguir, foram inspirados nos conceitos

apresentados por J. Luo em [22].

Suponhamos que0 = τ0 < τ1 < τ2 < ... < τp < τ sejam números dados eτ ∈ ]0, +∞[.

Definamos

∆ = R × [0, τ ],

Γk = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ ]τk, τk+1[ , 0 ≤ k ≤ p− 1,

Γk = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ [τk, τk+1[ , 0 ≤ k ≤ p− 1,

Γp = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ ]τp, τ [ ,

Γp = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ [τp, τ [ ,

Γ =

p⋃

k=0

Γk e Γ =

p⋃

k=0

Γk.

Representemos porK(∆, R) a classe das funçõesu : ∆ → R que satisfazem as seguintes

propriedades:

4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo 67

i) as funçõesu|Γk, k = 0, 1, ..., p são contínuas.

ii) para cadak, k = 1, ..., p, o limite lim(ν, t)→(ψ, τ−

k)u(ν, t) = u(ψ, τ−k ), ψ ∈ R, existe.

iii) para cadak, k = 1, ..., p, o limite lim(ν, t)→(ψ, τ+

k)u(ν, t) = u(ψ, τ+

k ), ψ ∈ R, existe.

Consideremos a seguinte equação diferencial parcial do tipo Schrödinger definida para todo

(ψ, t) ∈ Γ∂

∂tu(ψ, t) − 1

2

∂2

∂ψ2u(ψ, t) + V (ψ)u(ψ, t) = 0, (4.1)

e sujeita à condição de impulso

u(ψ, τk) − u(ψ, τ−k ) = I(ψ, τk, u(ψ, τk)), (4.2)

parak = 1, 2, ..., p, ondeV : R → R e I : R3 → R são funções reais.

Definição 4.1.Diremos que uma funçãou : ∆ → R é uma solução do problema(4.1) − (4.2) se

as seguintes condições estiverem satisfeitas

i) u ∈ K(∆, R);

ii) as derivadasut(ψ, t), uψψ(ψ, t) existem para cada(ψ, t) ∈ Γ;

iii) u satisfaz(4.1) emΓ e satisfaz(4.2) em cadaτk, k = 1, 2, ..., p.

ConsideremosUI como sendo uma função com valores reais defina emR que admite derivada

de segunda ordem.

Dadoss ∈ ]τ ′, τ [ e ς ∈ R, sejaN (σ) = t1, ...., tr−1, ondet0 = τ ′ e tr = s. Definamos

vI(N(s), I(s); ς, s) =

∫

I(N(s))

gI(y, N(s))e−UI(xr−1)(s−τ ′)dy(N (s))

e

qI(x, N(s), I(s)) = gI(x, N

(s))

r−1∏

j=1

∆Ij .

Lembremos queI(N (s)) = [u1, v1[×...× [ur−1, vr−1[ e∆Ij = vj − uj, 1 ≤ j ≤ r − 1.


Assim, definamos a função

WI(x, N(s), I(s); ς, s) = qI(x, N

(s), I(s))e−UI(xr−1)(s−τ ′).

SeWI(x, N (s), I(s); ς, s) for Riemann integrável generalizada emR]τ ′, s[, então definiremos

φI(ς, s) =

∫

R]τ ′, s[

WI(x, N(s), I(s); ς, s).

Notemos que o domínio de integração éR]τ ′, s[ ao invés deR]τ ′, τ [ e os elementosx,N (s) eI(s) são

tomados emR]τ ′, s[.

Pela prova que P. Muldowney fez na Proposição 41, [24], podemos concluir que as expressões

WI(x, N (s), I(s); ς, s), vI(N (s), I(s); ς, s) e e−UI(xr−1)(s−τ ′)GI(x, I[N (s)]) são variacionalmente

equivalentes emR]τ ′, s[. Portanto, temos o resultado seguinte.

Proposição 4.2.As seguintes igualdades são válidas

φI(ς, s) =

∫

R]τ ′, s[

vI(N(s) I(s); ς, s) =

∫

R]τ ′, s[

e−UI(xr−1)(s−τ ′)GI(x, I[N(s)]),

sempre que uma das integrais existir.

Consideremos a seguinte equação diferencial do tipo Schrödinger emΓ

∂

∂su(ς, s) − 1

2

∂2

∂ς2u(ς, s) + V (ς)u(ς, s) = 0, (4.3)

ondeV (ς) = −1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]

, sujeita à condição de impulso

u(ξk, τk) − u(ξk, τ−k ) = I(ξk, τk, u(ξk, τk)), (4.4)

ondex(τk) = ξk para cadak = 1, 2, ..., p, e

I(ξ1, τ1, u(ξ1, τ1)) = A1,

com

A1 =exp

(

−12

(xi1+J(xi1

)−ξ′)2τ1−τ ′ − UI(ξ1)(τ1 − τ ′)

)

√

2π(τ1 − τ ′)−

exp(

−12

(xi1−ξ′)2

τ1−τ ′ − UI(ξ1)(τ1 − τ ′))

√

2π(τ1 − τ ′)

e

I(ξk, τk, u(ξk, τk)) =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞A×Bdxi1 ...dxik−1

, if 2 ≤ k ≤ p


com

A =

k−1∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√

2π(tij − tij−1)

,

e

B =exp

(

−12

(xik+J(xik

)−xik−1)2

tik−tik−1− UI(ξk)(τk − τ ′)

)

√

2π(tik − tik−1)

+

−exp

(

−12

(xik−xik−1

)2

tik−tik−1− UI(ξk)(τk − τ ′)

)

√

2π(tik − tik−1)

.

Nosso objetivo é provar que a funçãoφI(ς, s) é solução do problema(4.3) − (4.4), paraτ ′ <

s < τ e ς ∈ R.

Antes, porém, vamos provar a integrabilidade da funçãoWI(x, N (s), I(s); ς, s) e estudar a

continuidade da funçãoφI(ς, s).

Proposição 4.3.Sejamτ ′ < s < τ ex(s) = ς. Então a funçãoWI(x, N (s), I(s); ς, s) é Riemann

integrável generalizada emR]τ ′, s[ e∫

R]τ ′, s[

WI(x, N(s), I(s); ς, s) =

= e−UI(ς)(s−τ ′)∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

r(s)+1∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


dxi1 ...dxir(s)

,

ondeti0 = t0 = τ ′, r(s) = max

j : j ∈ 1, 2, ..., p e tij < s

e tir(s)+1= s.

Demonstração: ComoUI é contínua emς, dadoǫ > 0, o Teorema 3.15 nos diz que, parax ∈R]τ ′, s[ contínuo ems, podemos escolherL(x) de maneira que

N (s) = t1, ..., tr−1 ⊇ L(x) ⊇ I

implica na seguinte desigualdade∣

∣

∣e−UI(xr−1)(s−τ ′) − e−UI(ς)(s−τ ′)

∣

∣

∣<

ǫ

ϕ(ς, s),

onde

ϕ(ς, s) =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

r(s)+1∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


dxi1 ...dxir(s)

.


Pela Proposição 3.5,0 < ϕ(ς, s) < +∞, para todos ∈ ]τ ′, τ [ e todoς ∈ R. Pelo Teorema 3.6,

temos∫

R]τ ′, s[

GI(x, I[N(s)]) = ϕ(ς, s).

Então podemos escolher uma função calibreγ tal que, para cada divisãoγ-fina,Eγ, vale

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x,I[N(s)])∈Eγ

[

e−UI(xr−1)(s−τ ′)GI(x, I[N(s)]) − e−UI(ς)(s−τ ′)GI(x, I[N

(s)])]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

<

<ǫ

ϕ(ς, s)

∑

(x,I[N(s)])∈Eγ

GI(x, I[N(s)]) <

ǫ

ϕ(ς, s)(ǫ+ ϕ(ς, s)),

donde obtemos o resultado.

Como conseqüência da Proposição 4.3, temos o resultado seguinte.

Corolário 4.4. A funçãoφI satisfaz a condição dada em(4.4).

A seguir, mostraremos um resultado que determina a continuidade da funçãoφI nos intervalos

onde não há impulsos.

Proposição 4.5.Sejams ∈ ]τ ′, τ [\τ1, ..., τp e ς ∈ R. Dado ǫ > 0, existeδ > 0 tal que, se

|s1 − s| < δ e |ς1 − ς| < δ, então|φI(ς1, s1) − φI(ς, s)| < ǫ.

Demonstração: Sejas ∈ ]τ ′, τ [\τ1, ..., τp. Podemos supor, sem perda de generalidade, que

τk < s < τk+1, para algumk ∈ 0, 1, ...., p, ondeτ0 = t0 = τ ′ eτp+1 = τ . Então existe umδ > 0

tal que]s− δ, s+ δ[⊂ ]τk, τk+1[. Pela Proposição 4.3, vale

φI(ψ, β) = e−UI(ψ)(β−τ ′)∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

k+1∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


dxi1 ...dxik ,

para todoβ ∈ ]s− δ, s + δ[ e para todoψ ∈ R, ondeti0 = τ ′, tik+1= β, x(τ ′) = ξ′, x(β) = ψ e

J(xik+1) = 0. Dadoβ ∈ ]s− δ, s+ δ[, β 6= s, consideremos as seguintes expressões

ωI(ς, s) = e−UI(ς)(s−τ ′)

k∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


exp(

−12

(ς−xik)2

s−tik

)

√

2π(s− tik)


e

ωI(ψ, β) = e−UI(ψ)(β−τ ′)

k∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


exp(

−12

(ψ−xik)2

β−tik

)

√

2π(β − tik).

ComoUI é contínua, entãoωI(ψ, β) → ωI(ς, s) quandoψ → ς eβ → s. Note queωI(ς, s) > 0.

Assim, dadoǫ > 0, existeδ1 > 0, δ1 < δ, tal que

|ωI(ψ, β) − ωI(ς, s)| < ǫωI(ς, s).

sempre que0 < |ψ − ς| < δ1 e 0 < |β − s| < δ1. Pelo teorema da convergência dominada

(Teorema 2.10), obtemos

φI(ψ, β) → φI(ς, s),

quandoψ → ς eβ → s. Portanto o resultado está provado.

O próximo resultado diz queφI admite limites laterais nos pontosτ1, ..., τp.

Teorema 4.6.Sejamx(τk) = ξk, parak = 1, 2, ..., p. Então os limites

lim(ς, s)→(ξk, τ

+k

)φI(ς, s) e lim

(ς, s)→(ξk, τ−

k)φI(ς, s)

existem para cadak = 1, 2, ..., p.

Demonstração:Sejas = τk para algumk ∈ 1, 2, ..., p. Sejaδ > 0 suficientemente pequeno, tal

que,τk−1 < s− δ < s+ δ < τk+1. Pela Proposição 4.3, temos

φI(ς, τk + δ) = e−UI(ς)(τk+δ−τ ′)∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

k∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


×

×exp

(

−12

(ς−ξk)2

δ

)

√2πδ

dxi1...dxik .

Agora, notemos que

k∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij −tij−1

)

√


exp(

−12

(ς−ξk)2

δ

)

√2πδ

≤


≤(

1√

2π(ti1 − ti0)

)

k∏

j=2

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij −tij−1

)

√


exp(

−12

(ς−ξk)2

δ

)

√2πδ

.

Definamosα como sendo o lado direito da desigualdade acima. Então a integral

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞αdxi1 ...dxik

existe e seu valor é igual a1

√

2π(ti1 − ti0)=

1√

2π(τ1 − τ ′). Assim,

φI(ς, τk + δ) ≤ e−UI(ς)(τk+δ−τ ′)√

2π(τ1 − τ ′).

Portanto o limite lim(ς, s)→(ξk, τ

+k

)φI(ς, s) existe.

Notemos, agora, que

φI(ς, τk − δ) = e−UI(ς)(τk−δ−τ ′)∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

k−1∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij −tij−1

)

√


×

×exp

(

−12

(ς−ξk−1)2

(τk−δ−τk−1)

)

√

2π(τk − δ − τk−1)dxi1 ...dxik−1

.

Analogamente ao que fizemos acima, obtemos

φI(ς, τk − δ) ≤ e−UI(ς)(τk−δ−τ ′)√

2π(τ1 − δ − τ ′)se k = 1

e

φI(ς, τk − δ) ≤ e−UI(ς)(τk−δ−τ ′)√

2π(τ1 − τ ′)se k = 2, 3, ..., p.

Assim, o limite lim(ς, s)→(ξk , τ

−

k)φI(ς, s) também existe.

Na prova da Proposição 4.5, definimosωI(ς, s) por

ωI(ς, s) = e−UI(ς)(s−τ ′)

r(s)∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


exp

(

−12

(ς−xir(s))2

s−tir(s)

)

√

2π(s− tir(s))

,


paraτ ′ < s < τ tal ques 6= τj , para cadaj = 1, 2, ..., p, ς ∈ R. Notemos, também, que

φI(ς, s) =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

As derivadas parciais∂ωI(ς, s)

∂se∂2ωI(ς, s)

∂ς2são dadas a seguir:

∂ωI(ς, s)

∂s= −UI(ς)ωI(ς, s) −

1

2(s− tir(s))ωI(ς, s) +

1

2

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)2

ωI(ς, s),

∂ωI(ς, s)

∂ς= −UI(ς)(s− τ ′)ωI(ς, s) −

(ς − xir(s))

s− tir(s)

ωI(ς, s)

e

∂2ωI(ς, s)

∂ς2=

[

−UI(ς)(s− τ ′) + [UI(ς)(s− τ ′)]2 + 2UI(ς)(s− τ ′)

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)]

ωI(ς, s)+

− 1

s− tir(s)

ωI(ς, s) +

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)2

ωI(ς, s).

Portanto,∂ωI(ς, s)

∂s− 1

2

∂2ωI(ς, s)

∂ς2= ρ(ς, s)ωI(ς, s), (4.5)

ondeρ(ς, s) =1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)(s− τ ′)

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)

− 2UI(ς)

]

.

O próximo resultado diz queρ(ς, s)ωI(ς, s) é Riemann integrável generalizada.

Proposição 4.7.Sejamτ ′ < s < τ , coms 6= τj para todoj = 1, 2, ..., p, e x(s) = ς. Então a

funçãoρ(ς, s)ωI(ς, s) é Riemann integrável generalizada e

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞ρ(ς, s)ωI(ς, s)dxi1...dxir(s)

=

=1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]

φI(ς, s).

Demonstração:É suficiente provarmos que

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)

ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)= 0.


De fato. Notemos que

∫ +∞

−∞

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

) exp

(

−12

(ς−xir(s))2

s−tir(s)

)

√

2π(s− tir(s))

dxir(s)= 0.

Definamos

κ(ς, s) = e−UI(ς)(s−τ ′)(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)

r(s)−1∏

j=1

exp(

−12

(xij+J(xij

)−xij−1)2

tij−tij−1

)

√


×

× 1√

2π(tir(s)− tir(s)−1

)

exp

(

−12

(ς−xir(s))2

s−tir(s)

)

√

2π(s− tir(s))

.

Pelo Teorema de Fubini ([36], Teorema 6.6.3), obtemos

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞κ(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

= 0.

Como

0 ≤(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)

ωI(ς, s) ≤ κ(ς, s) ou κ(ς, s) ≤(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)

ωI(ς, s) ≤ 0,

segue do Teorema de Tonelli (Teorema 3.3) que

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)

ωI(ς, s) é Riemann integrável ge-

neralizada e∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

(

ς − xir(s)

s− tir(s)

)

ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)= 0.

Portanto temos o resultado desejado.

Pela Proposição 4.7, a expressão∂ωI(ς, s)

∂s− 1

2

∂2ωI(ς, s)

∂ς2na equação(4.5) é Riemann inte-

grável generalizada e

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

(

∂ωI(ς, s)

∂s− 1

2

∂2ωI(ς, s)

∂ς2

)

dxi1 ...dxir(s)=

=1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]

φI(ς, s).


Agora, o problema é mostrarmos que

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

∂ωI(ς, s)

∂sdxi1 ...dxir(s)

=∂

∂s

∫ +∞

−∞...

∫ +∞


e∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞

∂2ωI(ς, s)

∂ς2dxi1 ...dxir(s)

=∂2

∂ς2

∫ +∞

−∞...

∫ +∞


de onde concluiremos que

∂φI∂s

(ς, s) − 1

2

∂2φI∂ς2

(ς, s) − 1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]

φI(ς, s) = 0

para cada(ς, s) ∈ Γ. Para provarmos isso, introduziremos algumas notações adicionais a seguir.

Consideremosf(ς, s), e definamos

Dabcf(ς, s) =1

afa(ς, s) −

1

2bcfbc(ς, s),

onde

fa(ς, s) = f(ς, s+ a) − f(ς, s)

e

fbc(ς, s) = f(ς + b+ c, s) − f(ς + b, s) − f(ς + c, s) + f(ς, s)

paraa, b, c números reais não-nulos quaisquer. Então

lima,b,c→0

Dabcf(ς, s)

existirá e será igual a∂f

∂s(ς, s) − 1

2

∂2f

∂ς2(ς, s)

se, e somente se, as derivadas parciais∂f

∂s,∂2f

∂ς2

existirem.

No caso em quef = ωI , as derivadas∂ωI(ς, s)

∂s,∂2ωI(ς, s)

∂ς2existem. Então

lima,b,c→0

DabcωI(ς, s) =∂ωI∂s

(ς, s) − 1

2

∂2ωI∂ς2

(ς, s) = ρ(ς, s)ωI(ς, s). (4.6)


Pela Proposição 4.7, o limitelima,b,c→0

DabcωI(ς, s) é Riemann integrável generalizado e

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞lim

a,b,c→0DabcωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

=

=1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]

φI(ς, s). (4.7)

Daí, se provarmos que∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞lim

a,b,c→0DabcωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

=

= lima,b,c→0

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞DabcωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

,

então concluiremos que∂φI∂s

e∂2φI∂ς2

existem.

O próximo teorema mostra a existência das derivadas∂φI∂s

e∂2φI∂ς2

.

Teorema 4.8.Sejamτ ′ < s < τ , ondes 6= τj para todoj = 1, 2, ..., p, e x(s) = ς. Então as

derivadas parciais∂φI∂s

(ς, s) e∂2φI∂ς2

(ς, s) existem para cada(ς, s) ∈ Γ.

Demonstração: Sejaǫ > 0 dado. Pela equação(4.6), podemos escolherµ > 0 tal que se0 <

|α| < µ, 0 < |β| < µ e0 < |γ| < µ, então

|DαβγωI(ς, s) − ρ(ς, s)ωI(ς, s)| < ωI(ς, s)ǫ.

Dadosx, N , I, escolhamosα0, β0 eγ0 satisfazendo0 < α0 < µ, 0 < β0 < µ e0 < γ0 < µ e tais

que

sup0<|α|<α0

0<|β|<β0

0<|γ|<γ0

|DαβγωI(ς, s) − ρ(ς, s)ωI(ς, s)| < ωI(ς, s).

Como0 < |α| < α0, 0 < |β| < β0 e0 < |γ| < γ0, então

−ωI(ς, s) ≤ DαβγωI(ς, s) − ρ(ς, s)ωI(ς, s) ≤ ωI(ς, s).

Daí, pelo teorema da convergência dominada (Teorema 2.10),obtemos

limα, β, γ→0

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞DαβγωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

=

4.3 Exemplo 77

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞ρ(ς, s)ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

=

=1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]

φI(ς, s) =

(4.7)=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞lim

α, β, γ→0DαβγωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)

.

E, como

limα, β, γ→0

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞DαβγωI(ς, s)dxi1...dxir(s)

=∂φI(ς, s)

∂s− 1

2

∂2φI(ς, s)

∂ς2,

o teorema está provado.

Assim, concluímos o resultado seguinte.

Teorema 4.9.A função

φI(ς, s) =

∫

R]τ ′, s[

WI(x, N(s), I(s); ς, s)

satisfaz a equação diferencial do tipo Schrödinger emΓ

∂

∂su(ς, s) − 1

2

∂2

∂ς2u(ς, s) + V (ς)u(ς, s) = 0,

ondeV (ς) = −1

2

[

UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]

, sujeita à condição de impulso

u(ξk, τk) − u(ξk, τ−k ) = I(ξk, τk, u(ξk, τk)),

ondex(τk) = ξk e I(ξk, τk, u(ξk, τk)) é dado em(4.4), k = 1, 2, ..., p.

4.3 Exemplo

Vamos apresentar o valor explícito da funçãoφI, quando os impulsos são independentes da

função de posiçãox(t) e a funçãoVI(t) = β para todot ∈ R, comβ ∈ R. Consideremos o

operador impulsoJ : R → R dado porJ(x(τj)) = αj, 1 ≤ j ≤ p. Sejams ∈ ]τ ′, τ [, ς ∈ R e

N (s) = t1, ...., tr−1, comt0 = τ ′ e tr = s.

Consideremos a função auxiliar : R → R dada por

(x(t)) =

x(t), se t 6= τj para todoj = 1..., p,

x(t) + J(x(t)), se t = τj para algumj = 1, ..., p.


Então

ωI(ς, s) = e−β(s−τ ′)

r(s)∏

j=1

exp(

−12

(xij+αj−xij−1

)2

tij−tij−1

)

√


exp

(

−12

((ς)−xir(s))2

s−tir(s)

)

√

2π(s− tir(s))

.

Pelo Lemma 2.11, obtemos∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞ωI(ς, s)dxi1...dxir(s)

=

=e−β(s−τ ′)

√

2π(s− τ ′)exp

(

−1

2

((ς) − ξ′ + α1 + ... + αr(s))2

s− τ ′

)

.

Daí, pelo Teorema 4.9, concluímos que

φI(ς, s) =e−β(s−τ ′)

√

2π(s− τ ′)exp

−1

2

(ς) − ξ′ +∑

s≥τjαj

2

s− τ ′

é solução da equação diferencial parcial do tipo Schrödinger emΓ

∂

∂τu(τ, ξ) − 1

2

∂2

∂ξ2u(τ, ξ) + βu(τ, ξ) = 0,

sujeita à condição de impulso

u(ξ1, τ1) − u(ξ1, τ−1 ) =

=1

√

2π(τ1 − τ ′)

[

exp

(

−1

2

(ξ1 − ξ′ + α1)2

τ1 − τ ′

)

− exp

(

−1

2

(ξ1 − ξ′)2

τ1 − τ ′

)]

.

e

u(ξk, τk) − u(ξk, τ−k ) =

=1

√

2π(τk − τ ′)

exp

−1

2

(

ξk − ξ′ +k∑

i=1

αi

)2

τk − τ ′

− exp

−1

2

(

ξk − ξ′ +k−1∑

i=1

αi

)2

τk − τ ′

,

para cadak = 2, ..., p.

CAPÍTULO

5A equação de Black-Scholes com ação

impulsiva

5.1 Introdução

No modelo de Black-Scholes (veja [5]), o preço de um ativo econômico é uma função randômica

temporal e é considerado um movimento browniano geométrico. Isto implica que, se o valorxj−1

ocorrer no tempotj−1, então a probabilidade de que emtj o processo tenha valorxj , uj ≤ xj < vj ,

é dada por∫ vj

uj

1

xjAjexp

(

−(ln xj − ln xj−1)2

2σ2(tj − tj−1)

)

dxj ,

ondeAj é o fator normalizador√

2πσ2(tj − tj−1), paraj = 1, 2, ..., n.

Quando precificamos um ativo derivativo, tal como uma opção de compra européia (veja [3]),

cujo valor depende do movimento do valor do ativo adjacente,a probabilidade envolvida é dada

79

80 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva

por∫ vj

uj

1

xjAjexp

[

− 1

2σ2

(

ln xj − ln xj−1 − (µ− 12σ2)(tj − tj−1)

tj − tj−1

)2

(tj − tj−1)

]

dxj,

ondeσ é a volatilidade eµ é a tendência (drift rate) do movimento browniano.

De um modo geral, a probabilidade de que, no tempotj , o preço do ativo subjacente sejaxj ,

ondeuj ≤ xj < vj e1 ≤ j ≤ n, é dada pela integral∫ v1

u1

...

∫ vn

un

n∏

j=1

Bjdx1...dxn,

onde

Bj =1

xjAjexp

[

− 1

2σ2

(

ln xj − ln xj−1 − (r − 12σ2)(tj − tj−1)

tj − tj−1

)2

(tj − tj−1)

]

eAj =√

2πσ2(tj − tj−1), 1 ≤ j ≤ n.

A teoria de apreçamento requer que o espaço amostral para os eventos ocorridos seja estendido

usando o Teorema de Kolmogorov para uma sigma álgebra de conjuntos mensuráveis em um es-

paço amostral de dimensão infinita, cujos elementos representativos são funções contínuas, requer

que o processo envolvido seja representando por uma equaçãodiferencial estocástica apropriada,

que uma medida adequada para o espaço amostral seja encontrada por meio dos teoremas de Gir-

sanov e Radon-Nikodym e requer, também, que o valor do ativo derivativo seja determinado por

meio de um valor esperado (esperança) usando a integral de Lebesgue.

Em [29], P. Muldowney considerou uma opção de compra européia, cuja dependência do

valor do ativo subjacente tem uma forma bastante simples, e obteve um valor esperado estatís-

tico dado por uma integral emn dimensões, com respeito a probabilidade definida pela integral

n-dimensional acima. Assim, P. Muldowney obteve um resultado similar ao resultado conhecido

pelo modelo contínuo usando a integral de Henstock em lugar da integral de Lebesgue. Além

disso, o valor esperado satisfaz a clássica equação diferencial parcial de Black-Scholes (veja [3],

p. 91).

Neste capítulo, estenderemos o trabalho feito por P. Muldowney em [29], para um processo

sujeito a uma ação impulsiva em tempos pré-determinados. Utilizaremos a teoria moderna de

integração não-absoluta baseada na teoria de integração deRiemann generalizada de Henstock e

Kurzweil.

5.2 A função distribuição de probabilidades para um processo impulsivo 81

5.2 A função distribuição de probabilidades para um pro-

cesso impulsivo

SejaJ : R → R∗+ o operador impulso que consideraremos uma função contínua.Sejamτ ′, τ

números reais tais que0 < τ ′ < τ eN = t1, ..., tn−1, tn ⊂ ]τ ′, τ ], ondeτ ′ = t0 e τ = tn, e

consideremos o conjuntoI = τ1, ..., τp ⊂ N , τ1 < τ2 < ... < τp.

Denotaremos o espaço de funçõesR]τ ′, τ ]+ como sendo o espaço de todas as funções definidas

em ]τ ′, τ ] com valores emR∗+.

Sejaσ ∈ R+ uma constante positiva. Dadoy ∈ R]τ ′, τ ]+ , assumamos que o preço do ativo

adjacente seja dado por uma distribuição log-normal com volatilidadeσ. Seja a função definida

no exemplo da Seção 4.3 do Capítulo 4. DefinamoshI(y, N) por

hI(y, N) =

n∏

j=1

exp

(

− 1

2σ2

(ln (yj) − ln yj−1)2

tj − tj−1

)

√

2πσ2(tj − tj−1). (5.1)

e a funçãoKI(x, N, I; ξ, τ ′), por

KI(x, N, I; ξ, τ′) =

∫

I(N)

hI(x, N)dx1

x1...dxnxn

=

∫ v1

u1

...

∫ vn

un

hI(x, N)dx1

x1...dxnxn

,

ondeN = t1, t2, ..., tn−1, tn, com t0 = τ ′, tn = τ e x(τ ′) = ξ > 0. Notemos queI(N) =

[u1, v1[×...× [un, vn[.

Sejamx, N e I associados, isto é,(x, I[N ]) é um par de associados. Então definimos no

espaço de dimensão infinitaR]τ ′, τ ]+ a função

KI(x, I[N ]) := KI(x, N, I; ξ, τ′).

Para provarmos queKI(x, I[N ]) representa uma função distribuição de probabilidade, pre-

cisamos impor alguma condição sobre o operador de impulsoJ . Assim, paray ∈ R]τ ′, τ ]+ , conside-

remos o conjunto de operadores de impulsos

L =

J ∈ C(R, R) :

∫ +∞

0

e− 1

2σ2

[lnJ(yij)+ln yij−ln yij−1 ]

2

tij−tij−1

yij√

2πσ2(tij − tij−1)

dyij = 1, j = 1, 2, ..., p

.


Note queL 6= ∅, tendo em vista que uma função constante pertence a este conjunto. Assumiremos,

neste capítulo, que o operador de impulsoJ ∈ L.

Nosso interesse, agora, é verificar se a funçãoKI(x, I[N ]) é integrável no sentido da integral

de Riemann generalizada emR]τ ′, τ ]+ .

Recordemos algumas funções auxiliares que foram apresentadas no Capítulo 3, a saber,φ1, φ2 :

R×]τ ′, τ [−→ R eΦj : R × R×]τ ′, τ [×]τ ′, τ [−→ R, j = 1, 2, ..., p− 1, definidas por

φ1(yk, tk) =1

√

2πσ2(tk − τ ′)exp

(

− 1

2σ2

(yk − ξ)2

tk − τ ′

)

,

parak ∈ 1, 2, ..., i1 − 1,

φ2(yip, tip) =1

√

2πσ2(τ − tip)exp

(

− 1

2σ2

(yn − yip)2

τ − tip

)

e

Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1) =1

√

2πσ2(tij+1−1 − tij )exp

(

− 1

2σ2

(yij+1−1 − yij )2

tij+1−1 − tij

)

,

paraj = 1, 2, ..., p− 1.

Como fizemos anteriormente, definimosφ1(J(yk), tk) parak ∈ J = i1, i2, ..., ip, substi-

tuindo yk por J(yk) + yk na expressão de φ1(yk, tk), e definimos


), substituindoyij+1−1 porJ(yij+1) + yij+1

e tij+1−1 por tij+1na expressão

deΦj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1), paraj ∈ 1, 2, ..., p− 1.

Proposição 5.1.SejaN = t1, t2, ..., tn ⊂ ]τ ′, τ ], comt0 = τ ′ e tn = τ . SejahI(y, N) dada por

(5.1), ondey(τ ′) = y(t0) = ξ. Então a funçãohI(y, N) é Riemann integrável generalizada com

respeito ay emRn+ e

∫

Rn+

hI(y, N)dy1

y1...dynyn

= 1.

Demonstração:Fazendo a mudança de variávelxj = ln yj, para cadaj = 1, 2, ..., n, obtemos

∫ +∞

0

...

∫ +∞

0

hI(y, N)dy1

y1...dynyn

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞gI(x, N)dx1...dxn,

5.2 A função distribuição de probabilidades para um processo impulsivo 83

ondex0 := ln ξ e a função impulso na expressão degI é dada pela composiçãoJ ′ = ln J exp.

Pela Proposição 3.5,gI(x, N) é Riemann integrável generalizada emRn−1 e∫

Rn−1

gI(x, N)dx1...dxn−1 =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞φ1(J

′(yi1), ti1)

[

p−1∏

j=1

Φj(yij , J′(yij+1

), tij , tij+1)

]

φ2(yip, tip)

p∏

j=1

dyij .

Como

∫ +∞

−∞φ2(yip, tip)dxn =

∫ +∞

−∞

exp

(

− 1

2σ2

(xn − yip)2

τ − tip

)

√

2πσ2(τ − tip)dxn = 1,

podemos concluir que∫

Rn

gI(x, N)dx1...dxn−1dxn =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞φ1(J

′(yi1), ti1)

[

p−1∏

j=1


), tij , tij+1)

]

p∏

j=1

dyij .

ComoJ ∈ L, concluímos que∫

Rn+

hI(y, N)dy1

y1...dynyn

= 1

e temos o resultado.

Agora, podemos obter a integrabilidade deKI(x, I[N ]) no espaço de dimensão infinitaR]τ ′, τ ]+ .

Teorema 5.2.A funçãoKI(x, I[N ]) é Riemann integrável generalizada emR]τ ′, τ ]+ , isto é, a inte-

gral∫

R]τ ′, τ ]+

KI(x, I[N ])

existe e vale1.

Demonstração:Consideremos uma divisãoE = (x, I[N ]) deR]τ ′, τ ]+ , onde cadaN escolhido é

tal queI ⊆ N ∈ F(]τ ′, τ ]). Então a soma de Riemann deKI é dada por

∑

(x, I[N ])∈EKI(x, I[N ]).

SejaM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosM comot1, ..., tm, ondeτ ′ = t0, τ = tm e

t0 < t1 < ... < tm−1 < tm. Cada termoKI(x, I[N ]) da soma de Riemann pode ser reescrito como


KI(x, I[M ]); basta inserirmosln yj ’s adicionais na expressão dehI , j ∈ N \J , e integrarmos de

0 a+∞ sobre osyj ’s extras. Então a soma de Riemann torna-se

∑

(x, I[M ])∈EKI(x, I[M ]),

comM sendo um conjunto fixo de dimensões. Desta maneira, estamos lidando com uma soma de

Riemann de uma integral emm dimensões. Logo, cada termo da soma de Riemann é uma integral

sobreI[M ] ⊂ Rm e, pela propriedade de aditividade finita desta integral emRm, temos

∑

(x, I[M ])∈EKI(x, I[M ]) =

∫ +∞

0

...

∫ +∞

0

hI(y, M)dy1

y1

...dymym

. (5.2)

Pela Proposição 5.1, a integral (5.2) existe e seu valor é igual a1. Assim

∑

(x, I[M ])∈EKI(x, I[M ]) = 1.

Então dadoǫ > 0, para qualquer função calibreγ, escolhida tal queL(x) ⊇ I, para todo

(x, I[N ]) ∈ Eγ, I ⊆ L(x) ⊆ N implica que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

(x, I[N ])∈Eγ

KI(x, I[N ]) − 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

Portanto∫

R]τ ′, τ ]

KI(x, I[N ]) = 1 e a prova está completa.

Assim,KI(x, I[N ]) é uma função distribuição de probabilidades, ou seja, se um ativo finan-

ceiro tiver valorx(tj−1) := xj−1 no momento de tempotj−1, então a funçãoKI(x, N, I; ξ, τ ′)

nos dará a probabilidade de que, no tempotj, o preço tenha um valorxj = x(tj) entreuj evj .

Como conseqüência do Corolário 3.8 (veja também a Proposição 3.7), obtemos o resultado a

seguir.

Proposição 5.3.As funçõeshI(x, N)

n∏

j=1

∆Ijxj

eKI(x, I[N ]) são variacionalmente equivalentes.

5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos 85

5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos

Sejamσ e µ respectivamente a volatilidade e a tendência para um processo de Wienerx(t).

Consideremosµ uma constante real. DadoN = t1, ..., tn, comt0 = τ ′ e tn = τ , P. Muldowney

([29]) definegµσ(x, N ; µ, σ) por

n∏

j=1

[

exp

(

− 1

2σ2

(

ln xj − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)

tj − tj−1

)2

(tj − tj−1)

)]

√

2πσ2(tj − tj−1).

e a funçãoQµσ(I[N ]) por

Qµσ(I[N ]) =

∫

I(N)

gµσ(x, N ; µ, σ)n∏

j=1

dxjxj

.

Em uma aproximação usual, usando o cálculo de Itô e a integração de Lebesgue,Qµσ(I[N ])

pode ser vista como uma pré-medida que é usada para gerar uma medida de probabilidadePQµσ

sobre um espaço amostralΩ, e que pode determinar o valor esperado de funcionaish definidos no

espaço amostralΩ.

Consideremosh(x) como sendo a função descontoe−r(T−t) maxx(T ) −K, 0, r > 0. Pela

fórmula de Black-Scholes, o preço de uma opção de compra do tipo européia no tempot, com

preço de exercícioK na maturidadeT , é dada pelo valor esperadoE(h) =

∫

C(]τ ′, τ ])

hdPQµσ,

desde queµ seja tomado como sendo a taxa de juros livre de riscosr. O espaçoC(]τ ′, τ ]) na

integral denota o espaço das funções contínuas emR]τ ′, τ ].

Entretanto, usando a integral de Riemann generalizada de Henstock, P. Muldowney, em [29],

deduz a fórmula de precificação diretamente da pré-medidaQµσ(I[N ]), calculando a integral∫

C(]τ ′, τ ])

h(x)Qµσ(I[N ]) como uma integral de Henstock. O cálculo de Itô não é usado nesta

aproximação, e, a menos de alguns detalhes técnicos apresentados em [29], o resultado segue

diretamente da definição da integral de Henstock [15]. Veja também [14] e [24].

Estenderemos este resultado a seguir. Consideraremos um processo qualquer definido em um

espaço da formaR]τ ′, τ ] sujeito a uma ação impulsiva. Primeiramente, estabeleceremos a função

distribuição de probabilidades para um processo com impulsos em um espaço de funções que

utilizaremos na equação de Balck-Scholes.


DadoN = t1, ..., tn, comt0 = τ ′ e tn = τ , definamos a funçãoH1I(x, N ; µ, σ) por

n∏

j=1

[

exp

(

− 1

2σ2

(

ln (xj) − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)

tj − tj−1

)2

(tj − tj−1)

)]

√

2πσ2(tj − tj−1).

Definimos a distribuição de probabilidades deH1I(x, N ; µ, σ) por

QµσI (I[N ]) =

∫

I(N)

H1I(x, N ; µ, σ)

n∏

j=1

dxjxj

.

Notemos que a funçãoH1I(x, N ; µ, σ) é igual a

n∏

j=1

[

exp

(

− 1

2σ2

[ln (xj) − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)]2

tj − tj−1

)]

√

2πσ2(tj − tj−1).

Sejamxk−1, xk, xk+1 números reais estritamente positivos etk−1 < tk < tk+1. Pelo Lema

2.11, temos

∫ +∞

0

k+1∏

j=k

[

exp

(

− 1

2σ2

[ln xj − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)]2

tj − tj−1

)]

xk√

2πσ2(tj − tj−1)dxk =

=

[

exp

(

− 1

2σ2

[ln xk+1 − ln(xk−1) + (µ− 12σ2)(tk+1 − tk−1)]2

tk+1 − tk−1

)]

√

2πσ2(tk+1 − tk−1).

Desta maneira, podemos concluir, como fizemos na Proposição5.1, que∫ +∞

0

...

∫ +∞

0

H1I(x, N ; µ, σ)

n∏

j=1

dxjxj

=

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞φ1(ξ, τ

′)

(

p−1∏

j=1


), tij , tij+1)

)

×

× φ2(yip, tip)

(

p∏

j=1

dyij

)

dyτ , (5.3)

ondeJ ′ = ln J exp,

φ1(ξ, τ′) =

1√

2πσ2(ti1 − τ ′)exp

(

− 1

2σ2

[J ′(yi1) + yi1 − ln ξ′ − (µ− σ2

2)(ti1 − τ ′)]2

ti1 − τ ′

)

,



), tij , tij+1) =

=1

√

2πσ2(tij+1− tij )

exp

(

− 1

2σ2

[J ′(yij+1) + yij+1

− yij − (µ− σ2

2)(tij+1

− tij )]2

tij+1− tij

)

e

φ2(yip, tip) =1

√

2πσ2(τ − tip)exp

(

− 1

2σ2

[yτ − yip − (µ− σ2

2)(τ − tip)]

2

τ − tip

)

.

Como∫ +∞

−∞φ2(yip, tip)dyτ = 1 eJ ∈ L, obtemos

∫ +∞

0

...

∫ +∞

0

H1I(x, N ; µ, σ)

n∏

j=1

dxjxj

= 1.

Analogamente, como fizemos na prova do Teorema 5.2, obtemos∫

R]τ ′, τ ]+

QµσI (I[N ]) = 1.

Novamente pelo Corolário 3.8, obtemos o resultado a seguir.

Proposição 5.4.As funçõesH1I(x, N ; µ, σ)

n∏

j=1

∆Ijxj

eQµσI (I[N ]) são variacionalmente equiva-

lentes emR]τ ′, τ ]+ .

Como apresentado no Capítulo 1, uma opção de compra européiaassegura a seu titular o di-

reito, mas não obrigação, de comprar um ativo em uma data futuraT (maturidade), por um preço

estabelecidoK (preço de exercício da opção).

Vamos estabelecer o preço de uma opção de compra em um tempot < T , admitindo que entre

t eT hajam momentos de impulsos nos instantesτ1, ..., τp, comt < τ1 < ... < τp < T .

Então, consideremosN = t1, ....tn, comt0 = t, tn = T ex(t0) = x(t) = ξ > 0. Definamos

o funcional cilíndricoh(x) = h(x(tn−1)) por

e−r(T−t) maxxn−1 −K, 0

e a função

f(ξ, t) =

∫

R]t, T ]+

h(x)QµσI (I[N ])


sempre que a integral existir.

Apresentamos a existência def(ξ, t) na seguinte proposição, cuja prova segue da equação

(5.3) e da idéia da prova da Proposição 4.3.

Proposição 5.5.Sejah(yT , t) = e−r(T−t) maxeyT −K, 0 eµ(ξ, t) dada por

h(yT , t)φ1(ξ, t)

p∏

j=1


), tij , tij+1),

ondeΦp(yip, J′(yip+1), tip, tip+1) := φ2(yip, tip). Seµ(ξ, t) for Riemann integrável generalizada

emRp+1, entãoh(x(tn−1))QµσI (I[N ]) será Riemann integrável generalizada emR

]t, T ]+ e f(ξ, t)

será dada por

f(ξ, t) =

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞µ(ξ, t)

(

p∏

j=1

dyij

)

dyT .

O resultado seguinte diz quef(ξ, t) é contínua paraξ > 0 e t 6= τj , j = 1, ..., p. A prova deste

fato segue da Proposição 5.5 e da demonstração feita na Proposição 4.5.

Proposição 5.6.Sejams ∈ ]τ ′, τ [\τ1, ..., τp e ξ > 0. Dado ǫ > 0, existeδ > 0 tal que, se

|s1 − s| < δ e |ξ1 − ξ| < δ, então|f(ξ1, s1) − f(ξ, s)| < ǫ.

Para que o preço de uma ação não tenda ao infinito em momentos detempo suficientemente

próximos de um tempo em que o mercado de ações sofre uma queda,vamos impor mais uma

condição sobre a função impulsoJ . Assim, diremos que a funçãoJ ∈ L, satisfaz a condiçãoC,

se para cadak = 1, 2, ..., p, o limite

limδ→0+

∫ +∞

−∞

exp

(

− 12σ2

[J ′(ξik )+ξik−ς−(µ−σ2

2)δ]2

δ

)

√2πδ

×

×exp

(

− 12σ2

[J ′(ξik+1)+ξik+1

−ξik−(µ−σ2

2)(tik+1

−tik )]2

tik+1−tik

)

√

2πσ2(tik+1− tik)

dxik

existir, comς ∈ R eJ ′ = ln J exp, e seu valor será uma funçãoκ(xik+1) tal que a função

κ(xik+1)

p−1∏

j=k+1


), tij , tij+1)φ2(yip, tip)


é Riemann integrável generalizada emRp−k+1.

Se a funçãoJ ′ = ln J exp independer da função de posiçãox(t), isto é, seJ ′(x(t)) = f(t),

ondef é uma função real definida emR, segue pelo Lema 2.11 queJ ∈ L eJ satisfaz a condição

C.

Com a condiçãoC estabelecida acima, temos que a funçãof(ξ, t) admite os limites laterais

emτj , j = 1, 2, ..., p, como mostra o resultado seguinte.

Teorema 5.7.Sejax(τk) = ξk, k = 1, 2, ..., p. SeJ ∈ L satisfizer a condiçãoC, então os limites


+k

)f(ς, s) e lim

(ς, s)→(ξk, τ−

k)f(ς, s)

existirão e lim(ς, s)→(ξk, τ

+k

)f(ς, s) = f(ξk, τk), para cadak = 1, 2, ..., p.

Demonstração: Sejaτk arbitrário, ondek ∈ 1, 2, ..., p. Consideremos as seqüências reais

tℓℓ≥1 eςℓℓ≥1 tais que

tℓℓ→+∞−→ τk e ςℓ

ℓ→+∞−→ ξk,

com tℓ > τk para cadaℓ = 1, 2, .... Assim, existeℓ0 > 0 tal quetℓ < τk+1, para todoℓ > ℓ0.

Denotemosτp+1 = tip+1 = τ eJ ′(yip+1) = 0.

Pela Proposição 5.5, seℓ > ℓ0, então

µ(ξk, τk) = h(yT , τk)φ1(ξk, τk)

p∏

j=k+1


), tij , tij+1)

e

µ(ςℓ, tℓ) = h(yT , tℓ)φ1(ςℓ, tℓ)

p∏

j=k+1


), tij , tij+1),

onde

h(yT , τk)φ1(ξk, τk) = maxeyT −K, 0×

× e−r(T−τk)

√

2πσ2(τk+1 − τk)exp

(

− 1

2σ2

[J ′(yik+1) + yik+1

− ln ξk − (µ− σ2

2)(τk+1 − τk)]

2

τk+1 − τk

)

e

h(yT , tℓ)φ1(ςℓ, tℓ) = maxeyT −K, 0×

× e−r(T−tℓ)√

2πσ2(τk+1 − tℓ)exp

(

− 1

2σ2

[J ′(yik+1) + yik+1

− ln ςℓ − (µ− σ2

2)(τk+1 − tℓ)]

2

τk+1 − tℓ

)

.


Então,

µ(ςℓ, tℓ)ℓ→+∞−→ µ(ξk, τk).

Dadoǫ > 0, existeℓ1 > 0, comℓ1 > ℓ0, tal que

|µ(ςℓ, tℓ) − µ(ξk, τk)| < ǫµ(ξk, τk),

para todoℓ > ℓ1. Daí, pelo teorema da convergência dominada (Teorema 2.10), concluímos o

resultado, isto é,


+k

)f(ς, s) = f(ξk, τk).

A existência do limite lim(ς, s)→(ξk , τ

−

k)f(ς, s), segue da condiçãoC e do teorema da convergência

dominada (Teorema 2.10).

SendoN = t1, ..., tn, com t0 = t, tn = T e t1 < τ1, denotaremosw(ξ, t) como sendo a

seguinte expressão

exp

− 1

2σ2

(

ln x1 − ln ξ

t1 − t− (µ− 1

2σ2)

)2

(t1 − t) − r(T − t)

√

2πσ2(t1 − t),

Então,

∂w

∂t=

w

2(t1 − t)− w

2σ2

(

ln x1 − ln ξ

t1 − t

)2

+ w

(

µ(µ− σ2

2)

2σ2−

σ2

2(µ− σ2

2)

2σ2

)

+ rw,

∂w

∂ξ=

w

ξσ2

[

ln x1 − ln ξ

t1 − t−(

µ− σ2

2

)]

e∂2w

∂ξ2=

w

ξ2σ4

(

lnx1 − ln ξ

t1 − t

)2

− 2µw

ξ2σ4

(

ln x1 − ln ξ

t1 − t

)

+w

ξ2σ2

(

ln x1 − ln ξ

t1 − t

)

+

+w

ξ2σ4µ

(

µ− σ2

2

)

− w

2ξ2σ2

(

µ− σ2

2

)

− w

ξ2σ2

(

ln x1 − ln ξ

t1 − t

)

+

+w

ξ2σ2

(

µ− σ2

2

)

− w

ξ2σ2(t1 − t)

Portanto,∂w

∂t+ µξ

∂w

∂ξ+σ2ξ2

2

∂2w

∂ξ2= rw. (5.4)


Agora, denotemosw′ = maxx(T ) −K, 0 × w′′, onde

w′′ =

n∏

j=2

[

exp

(

− 1

2σ2

(

ln (xj) − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)

tj − tj−1

)2

(tj − tj−1)

)]

[2πσ2(tj − tj−1)]1/2×

×n∏

j=1

∆Ijxj

.

Notemos que

ww′ = h(x)H1I(x, N ;µ, σ)

n∏

j=1

∆Ijxj

.

porém, vamos continuar representandoh(x)H1I(x, N ;µ, σ)

n∏

j=1

∆Ijxj

porww′.

Comow′ independe deξ e t, então multiplicando a equação(5.4) porw′, obtemos

∂w′w

∂t+ µξ

∂w′w

∂ξ+σ2ξ2

2

∂2w′w

∂ξ2= rw′w.

Comoh(x(tn−1))QµσI (I[N ]) é Riemann integrável generalizada emR

]t, T ]+ e

∫

R]t, T ]+

h(x(tn−1))QJµσ(I[N ]) = f(ξ, t),

segue da Proposição 5.4 que∫

R]t, T ]+

(

∂w′w

∂t+ µξ

∂w′w

∂ξ+σ2ξ2

2

∂2w′w

∂ξ2

)

= rf(ξ, t).

De mesma forma que fizemos no capítulo 4, vamos provar que∫

R]t, T ]+

∂w′w

∂t=

∂

∂t

∫

R]t, T ]+

ww′,

∫

R]t, T ]+

∂w′w

∂ξ=

∂

∂ξ

∫

R]t, T ]+

ww′

e∫

R]t, T ]+

∂2w′w

∂ξ2=

∂2

∂ξ2

∫

R]t, T ]+

ww′.

Para isso, definamos

Dabcf(ξ, t) =1

afa(ξ, t) + µξ

1

bfb(ξ, t) +

1

2bcσ2ξ2fbc(ξ, t),

onde

fa(ξ, t) = f(ξ, t+ a) − f(ξ, t),


fb(ξ, t) = f(ξ + b, t) − f(ξ, t)

e

fbc(ξ, t) = f(ξ + b+ c, t) − f(ξ + b, t) − f(ξ + c, t) + f(ξ, t)

paraa, b, c números reais não-nulos quaisquer. Então

lima,b,c→0

Dabcf(ξ, t)

existirá e será igual a∂f

∂t(ξ, t) + µξ

∂f

∂ξ(ξ, t) +

1

2σ2ξ2∂

2f

∂ξ2(ξ, t)

se, e somente se, as derivadas parciais∂f

∂t,∂f

∂ξe∂2f

∂ξ2existirem.

Como as derivadas∂ww′

∂t,∂ww′

∂ξe∂2ww′

∂ξ2existem, então

lima,b,c→0

Dabcww′ =

∂ww′

∂t+ µξ

∂ww′

∂ξ+σ2ξ2

2

∂2ww′

∂ξ2= rww′. (5.5)

Comoww′ é Riemann integrável generalizada, obtemos∫

R]t, T ]

lima,b,c→0

Dabcww′ = rf(ξ, t),

isto é,∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞lim

a,b,c→0Dabcww

′dxi1 ...dxipdxT = rf(ξ, t) (5.6)

Dadoǫ > 0, pela equação(5.5), podemos escolherµ > 0 tal que se0 < |α| < µ, 0 < |β| < µ

e0 < |γ| < µ, então

|Dαβγww′ − rww′| < Qµσ

I (I[N ])ǫ.

Dadosx, N , I, escolhamosα0, β0 e γ0 satisfazendo0 < α0 < µ, 0 < β0 < µ e 0 < γ0 < µ tais

que

sup0<|α|<α0

0<|β|<β0

0<|γ|<γ0

|Dαβγww′ − rww′| < Qµσ

I (I[N ]).

Como0 < |α| < α0, 0 < |β| < β0 e0 < |γ| < γ0, então

−QµσI (I[N ]) ≤ Dαβγww

′ − rww′ ≤ QµσI (I[N ]).


A funçãoQµσI (I[N ]) é Riemann integrável generalizada com valor da integral igual a 1, como

apresentamos no início desta seção. Daí, pelo teorema da convergência dominada (Teorema 2.10),

obtemos

limα, β, γ→0

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞Dαβγww

′dxi1 ...dxipdxT =

=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞rww′dxi1 ...dxipdxT = rf(ξ, t) =

(5.6)=

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞lim

α, β, γ→0Dαβγww

′dxi1...dxipdxT .

E, como

limα, β, γ→0

∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞Dαβγww

′dxi1 ...dxipdxT =

=∂f

∂t(ξ, t) + µξ

∂f

∂ξ(ξ, t) +

1

2σ2ξ2∂

2f

∂ξ2(ξ, t).

concluímos que∂f

∂t+ µξ

∂f

∂ξ+

1

2σ2ξ2∂

2f

∂ξ2= rf.

Pela definição de solução de uma equação diferencial parcialcom impulsos (Definição 4.2.1),

acabamos de provar o resultado seguinte.

Teorema 5.8.A funçãof = f(ξ, t) satisfaz a equação diferencial parcial emΓ

∂f(ξ, t)

∂t+ µξ

∂f(ξ, t)

∂ξ+

1

2σ2ξ2∂

2f(ξ, t)

∂ξ2= rf(ξ, t) (5.7)

sujeita à condição de impulso

f(ξk, τk) − f(ξk, τ−k ) := f(ξk, τk) − lim

s→τ−k

f(ξk, s),

para cadak = 1, 2, ..., p, e com condição de fronteira

f(ξT , T ) = maxξT −K, 0.

Tomamosµ como sendo uma variável arbitrária. Em particular, quandoµ = r e r é a taxa de

juros livre de riscos, então a equação diferencial parcial(5.7) se reduz à equação de Black-Scholes.

Vejamos como aplicar esta equação no seguinte exemplo.


5.4 Exemplo

Suponhamos que uma ação esteja sendo comercializada por um preçoS e sejat = 0 o tempo

correspondente. SejaK o preço de exercício da ação, ou seja, o direito de comprar a ação pelo

preçoK na data de maturidadeT . Sejamr a taxa de juros livre de risco eσ a volatilidade, ambas

constantes. Suponhamos que entret = 0 e t = T , digamosτ1, ...., τp, com0 < τ1 < ... < τp < T ,

haja choques do mercado de ações. SejaJ : R → R∗+ o operador impulso, que representa os

choques do mercado, tal que

J(x(τj)) = αj ,

paraj = 1, 2, ..., p.

Vamos determinar o valor de uma opção de compra européia no tempo t = 0, via equação

diferencial de Black-Scholes com impulsos.

Pelo Lema 2.11, temos∫ +∞

−∞...

∫ +∞

−∞µ(ξ, t)dxi1 ...dxip =

=e−rT√2πσ2T

maxexT −K, 0 exp

− 1

2σ2T

[

xT − ln ξ −(

r − σ2

2

)

T +

p∑

j=1

αj

]2

.

Então,

f(ξ, 0) =

∫ +∞

−∞

e−rT√2πσ2T

maxexT −K, 0×

× exp

− 1

2σ2T

(

xT − ln ξ −(

r − σ2

2

)

T +

p∑

j=1

αj

)2

dxT =

=

∫ +∞

lnK

e−rT√2πσ2T

(exT −K) exp

− 1

2σ2T

(

xT − ln ξ −(

r − σ2

2

)

T +

p∑

j=1

αj

)2

dxT .

TomemosA = (r − σ2

2)T −

p∑

j=1

αj eB =√σ2T . Assim, fazendo a seguinte mudança de

variável

u = −xT − ln ξ −A

B,

5.4 Exemplo 95

obtemos

f(ξ, 0) =e−rT√

2π

∫ a

−∞(ξe−Bu+A −K)e−

12u2

du,

ondea =ln(

ξK

)

+ A

B.

Como

∫ a

−∞e−

12u2−Bu+Adu = eA+ 1

2B2

∫ a

−∞e−

12[u+B]2du = eA+ 1

2B2

∫ a+B

−∞e−

12u2

du

e lembrando queA = (r − σ2

2)T −

p∑

j=1

αj eB =√σ2T , obtemos

f(ξ, 0) = ξ exp

(

−p∑

j=1

αj

)(

1√2π

∫ a+σ√T

−∞e−

12u2

du

)

−Ke−rT(

1√2π

∫ a

−∞e−

12u2

du

)

, (5.8)

onde

a =

ln(ξ/K) + (r − σ2

2)T −

p∑

j=1

αj

σ√T

.

Portantof(ξ, 0), obtida na equação(5.8), nos dá o valor de uma opção de compra européia.

Notemos que, quandoαj = 0 para todoj = 1, 2, ..., p, obtemos a clássica fórmula de Black-

Scholes para o apreçamento para uma opção de compra.

Notemos, também, que o valor da opção de compra européia no tempot, 0 ≤ t < T , digamos

f(ξ, t), é dado por

ξ exp

−∑

t≥τjαj

(

1√2π

∫ b+σ√

(T−t)

−∞e−

12u2

du

)

−Ke−r(T−t)(

1√2π

∫ b

−∞e−

12u2

du

)

onde

b =

ln(ξ/K) + (r − σ2

2)(T − t) −

∑

t≥τjαj

σ√T − t

.

A funçãof(ξ, t) é solução da equação diferencial parcial com impulsos dada pelo Teorema

5.8, ondeµ é substituído porr.


5.5 Considerações finais

A hipótese básica da teoria de Black-Scholes para o apreçamento de um ativo é que, como

uma variável randômica, o preço de um ativo, em qualquer tempo particular no futuro, segue uma

distribuição log-normal. Com isto, o valor real de mercado éobtido como um “consenso" do

mercado em consequência das inúmeras transações que são realizadas.

Em Física, pensamos na pressão atmosférica como sendo um macro-fenômeno, medido por um

macro-instrumento (o barômetro, por exemplo), que é o efeito final de incontáveis impactos das

moléculas de gás atmosférico no instrumento medidor. É razoável assumirmos que os impactos

das moléculas de gas no medidor possuem uma certa quantidadede energia e que a energia entre

as moléculas ocorrem em menores proporções. Portanto, mesmo antes da medida real ser tomada,

pode-se estimar o valor da pressão atmosférica, em circunstâncias de tempo não excepcionais, com

uma probabilidade pequena de que a pressão, quando medida, seja diferente do valor estimado.

Em analogia com o mercado financeiro, o preço do mercado de um ativo correponde à pressão

atmosférica. Os impactos moleculares correpondem às transações dos indivíduos com o ativo, com

a condição de contorno de que o conjunto dos eventos que contribuem para o resultado liquído são

em pequena escala e não excepcionais.

Todavia, em mercados financeiros, assim como acontece com o fenômeno tempo, eventos ex-

cepcionais e extremos ocorrem e em larga escala. Às vezes, tais eventos podem ser representados

por eventos impulsivos os quais podem ser resultados de decisões políticas, guerras ou desastres

naturais. Ou, eles podem ser fenômenos atípicos de mercados, como a recente crise das hipotecas

nos EUA.

Neste contexto, ao considerarmos a teoria de apreçamento deuma opção do tipo européia,

sujeita a choques do mercado, através do tratamento pela teoria de integração não-absoluta em

espaços de funções, surgem alguns outros problemas que pretendemos tratar num futuro próximo:

• O estudo do operador de impulsoJ , para a obtenção de um preço justo da opção de compra

européia sujeita a choques do mercado;

5.5 Considerações finais 97

• A construção do modelo de Black-Scholes sujeita a choques emtempo desconhecido (tempo

variável);

• A investigação do modelo de Black-Scholes quando as variáveis r (taxa de juros livre de

riscos) eσ (volatilidade) forem funções randômicas no tempo.

Referências Bibliográficas

[1] L. Bachelier, Théorie de la spéculation,Ann. Sci. École Norm. Sup., 17, (1900), 21-86.

[2] R. G. Bartle, A modern theory of integration,American Mathematical Society, 2001.

[3] M. Baxter e A. Rennie, Financial Calculus: an introduction to derivative pricing,Cambridge

University Press, 1998.

[4] P. L. Bernstein, Desafio aos deuses: a fascinante história do risco,Campus, Rio de Janeiro, 2a

edição, 1997.

[5] F. Black e M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political

Economy, 81, (1973), 637-659.

[6] A. B. Brealey e S. C. Myers, Princípios de finanças empresariais, McGraw-Hill, Lisboa, 5a.

edição, 1998.

[7] J. Downes e J. E. Goodman, Dicionário de termos financeiros e de investimento,Nobel, São

Paulo, 1993.

[8] A. Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian movement,Dover, New York, 1959.

[9] A. Etheridge, A course in Financial Calculus,Cambridge University Press, 2002.

99

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A equação de Black-Scholes com ação impulsiva

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