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A Experiencia de Stern-Gerlach e o Spin do Eletron

Bruno Felipe Venancio

UFPR

28 de Abril de 2014



Figura: Placa Comemorativa.



ela foi realizada em 1922;

ela investiga os possıveis valores do momento de dipolomagnetico, ~µ, de um atomo de prata;

ela explora a dinamica do dipolo magnetico formado peloatomo na presenca de um campo magnetico externo, ~B, naouniforme;

a nao uniformidade de ~B gera forcas diferentes em cada polomagnetico;

a forca resultante sobre o atomo desloca o atomo na presencade ~B.



Figura: Comportamento de um dipolo magnetico na presenca de umcampo magnetico nao uniforme.



Figura: Em cima temos o perfil do resultado previsto pela fısica classica eabaixo o perfil obtido.



Momento magnetico classico em campo externo

Corpusculo com momento de dipolo magnetico ~µ imerso em umcampo magnetico ~B:

U = −~µ.~B energia potencial (1)

~F = −∇U = ∇(~µ.~B) forca (2)

Na regiao central do ıma podemos escrever:

Fz =∂

∂z(~µ.~B) = µz

∂Bz

∂z. (3)



Momento magnetico classico

Modelo classico simples para um atomo de Bohr de 1 eletron emuma orbita circular:

~µ = − e

2m~L (4)

onde ~L e o momento angulardo atomo.



O atomo de parata

Configuracao eletronica

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 4d10 5s1

O momento angular total dos orbitais internos:

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 4d10

e zero. Assim o atomo de prata pode ser aproximado para umatomo de um eletron, logo

Fz ≈∂

∂z(~µ.~B) = µz

∂Bz

∂z. (5)



Como µz = − e2mL cos θ, entao

Fz ≈ −e

2mL cos θ

∂Bz

∂z. (6)

Assim, segundo a teoria classica, deverıamos observar uma manchacontınua na placa fotografica, mas o resultado do experimento e:



Esses resultados indicam que deve haver algum momentomagnetico no atomo que nao foi considerado. Se, como propostopor Bohr e Sommerfeld, o eletron possui um momento angularintrınseco ~S , denominado de Spin. Assim, o momento angulartotal de um atomo sera:

~J = ~L + ~S , (7)

com~µs = − ge

2m~S . (8)



hoje, sabe-se que, a medida da componente Sz do momentoangular intrınseco do eletron resulta em dois valores discretos,±~

2 ;

o spin do eletron e uma propriedade puramente quantica quenao tem nenhum analogo classico, e e previsto a partir de umtratamento relativıstico da teoria quantica de Schrodinger;

nao podemos medir simultaneamente as tres componentes de~S , (Sx , Sy e Sz), pois elas estao associados a operadores quenao comutam entre si.


Descricao Teorica

O Observavel Sz

A componente µz do momento magnetico intrınseco do eletronassociamos um observavel Sz , tal que

Sz |±〉 = ±~2|±〉. (9)

com1 =

∑σ=±|σ〉〈σ|, (10)

〈σ|σ′〉 = δσσ′ . (11)


Descricao Teorica

O estado mais geral do eletron associado a seu Spin pode e dadopor

|ψ〉 = α|+〉+ β|−〉, (12)

com|α|2 + |β|2 = 1 (13)

Na base {|+〉, |−〉} Sz e representado por

Sz =~2

(1 00 −1

). (14)


Descricao Teorica

Outros observaveis: Sx e Sy

Na base dos autovetores de Sz , {|+〉, |−〉} Sx e Sy , saorepresentados por

Sx =~2

(0 11 0

). (15)

Sy =~2

(0 −ii 0

). (16)

Alem disso, pode se mostrar que seus autovalores sao ±~2 , e

auto-vetores dados por

|±〉x =1√2

(|+〉 ± |−〉) , (17)

|±〉y =1√2

(|+〉 ± i |−〉) . (18)


Aplicacao dos Postulados no Caso de um Spin 1/2

Preparando o Estado do Sistema



Valor Medio 〈Si 〉, i = z , x , y

O estado mais geral para representar o sistema e dado por

|ψ〉 = α|+〉+ β|−〉,

com|α|2 + |β|2 = 1.

Pode-se mostrar, que a menos de um fator de fase global, se

cos θ/2 = |α|, e sin θ/2 = |β|,

temos

|ψ〉 = |+〉~u = e−iξ/2(

cos(θ/2)e−iϕ/2|+〉+ sin(θ/2)e iϕ/2|−〉).

(24)Bruno Felipe Venancio


Assim, pode se mostrar que

~u〈+|Sz |+〉~u =~2

cos θ, (25)

~u〈+|Sx |+〉~u =~2

sin θ cosϕ, (26)

~u〈+|Sy |+〉~u =~2

sin θ sinϕ. (27)


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