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1 FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Definição informal de função Uma função f é uma “regra” que a cada elemento de um dado conjunto A associa um e um só elemento de um outro conjunto B. ) ( : x f x B A f Simbolicamente, b a f B b A a = ) ( : 1 . A – domínio, conjunto de originais ou conjunto de partida. B conjunto de chegada ou conjunto das imagens. Chama-se contradomínio de f ao conjunto definido por ( ) { } B A x x f A f = : ) ( . As funções cujo domínio e o conjunto de chegada são subconjuntos de IR são chamadas funções reais de variável real (f.r.v.r.). Nesta disciplina iremos estudar apenas f.r.v.r. .

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FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

Definição informal de função Uma função f é uma “regra” que a cada elemento de um dado conjunto A associa um e um só elemento de um outro conjunto B.

)(:

xfxBAf

Simbolicamente, bafBbAa =∈∃∈∀ )(:1 .

• A – domínio, conjunto de originais ou conjunto de

partida. • B – conjunto de chegada ou conjunto das imagens. Chama-se contradomínio de f ao conjunto definido por

( ) { } BAxxfAf ⊂∈= :)( . As funções cujo domínio e o conjunto de chegada são subconjuntos de IR são chamadas funções reais de variável real (f.r.v.r.). Nesta disciplina iremos estudar apenas f.r.v.r. .

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Gráfico Seja f uma função de domínio A e conjunto de chegada B . Chama-se gráfico de f ao subconjunto do produto cartesiano de A por B , BA× , definido por

{ } { }AxxfxxfyBAyxfgraf ∈==×∈= :))(,()(:),( . Chama-se representação gráfica de f , a qualquer representação geométrica adequada aos pontos do gráfico de f .

y

O x x

f (x) ( x , f (x))

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É fácil ver geometricamente quando uma figura pode ou não ser representação gráfica de alguma função. Cada recta vertical ax = só pode intersectar a figura uma única vez. Exemplo: A figura não é representação gráfica de nenhuma função. A representação gráfica pode variar se, por exemplo, fizermos variar as unidades no eixo dos XX ou no dos YY.

y

O x a

y1

y2

x = a

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Exemplo:

admite, entre outras, as duas representações gráficas seguintes

Figura 1 Figura 2

Além disso a mesma figura pode ser a representação gráfica de funções diferentes. Exemplo:

A figura seguinte é uma representação gráfica das funções (entre outras) ou da função

2:

xx

f

IRIR →

2:

xx

f

IRIR →2

:xx

f

+→ 0IRIR

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Considerando, neste último caso, que as unidades no eixo dos XX valem o dobro das anteriores.

Figura 3

Funções injectivas Uma função de domínio A diz-se injectiva se a pontos diferentes do domínio correspondem imagens diferentes no conjunto de chegada. Simbolicamente,

)()(,, bfafbaAba ≠�≠∈∀ ou

babfafAba =�=∈∀ )()(,, .

Graficamente, qualquer recta horizontal só poderá intersectar o gráfico de f uma vez.

2

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:

xx

f

IRIR →

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Exemplo:

,)()(e bfafba =≠ logo f não é injectiva.

Funções sobrejectivas Uma função de domínio A diz-se sobrejectiva se qualquer ponto do conjunto de chegada B pertencer ao contradomínio, ou seja, se o conjunto de chegada B coincidir com o contradomínio )(Af . Simbolicamente,

bafAaBb =∈∃∈∀ )(: .

Observação: Em termos gráficos, não se pode ver se uma função é sobrejectiva pois a representação gráfica apenas dá o contradomínio.

y

O x b a

k y = k

f (x)

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Funções bijectivas Uma função injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva ou uma bijecção. Simbolicamente,

bafAaBb =∈∃∈∀ )(:1 . Funções monótonas: Seja f uma função de domínio ] [ba , :

• f é monótona crescente ou simplesmente crescente se

] [ )()(,,, yfxfyxbayx ≤�<∈∀ .

• f é monótona decrescente ou simplesmente decrescente se

] [ )()(,,, yfxfyxbayx ≥�<∈∀ .

• f é estritamente crescente se

] [ )()(,,, yfxfyxbayx <�<∈∀ .

• f é estritamente decrescente se

] [ )()(,,, yfxfyxbayx >�<∈∀ .

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Funções limitadas:

Seja f uma f.r.v.r. de domínio D. Diz-se que f é limitada se e só se o conjunto dos valores que a função assume for um conjunto limitado, isto é, se existir um número real M (positivo) tal que para todo o

x do domínio de f se tiver

Mxf ≤)( .

Graficamente, O gráfico da função encontra-se compreendido entre as rectas de equação My −= e My = .

y

O x

y = M

y = - M

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Exemplo: Depois de as esboçar graficamente, verifique se são ou não limitadas as seguintes funções:

xxf sen−=1)()1 ; xxxg sen=)()2 ;x

xh1

)()3 = ;

x

x

x

x

x

x

xi

<≤≤

<

���

���

−=

10100

0

101

2)2(

)()4sesesesen

.

Figura 4 Figura 5

Figura 6 Figura 7

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Funções pares e ímpares:

Seja f uma f.r.v.r. de domínio IR. Diz-se que f é par (respectivamente ímpar) se e só se para todos os números reais x se tem )()( xfxf =− ( respectivamente )()( xfxf −=− ). Graficamente, • Uma função par tem o gráfico simétrico em relação ao

eixo dos YY. • Uma função ímpar tem o gráfico simétrico em relação à

origem dos eixos coordenados. Representações gráficas de algumas funções pares e ímpares:

Figura 8 Figura 9

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Figura 10 Figura 11

Funções periódicas:

Seja f uma f.r.v.r. de domínio IR. Diz-se que f é periódica se existir algum real α (não nulo) tal que para todo o x real se tenha )()( xfxf =+α . Simbolicamente,

)()(:0 xfxfIRx =+∈∀≠∃ αα . Ao real α chama-se período da função f . Se α é um período positivo de f e é inferior a todos os outros períodos positivos de f , então a α chama-se

período fundamental ou período positivo mínimo de f .

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Representações gráficas de algumas funções periódicas:

Figura 12 Figura 13

Figura 14

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Composição de funções Sendo BAf →: e DCg →: duas funções, a composta de

f e g , designada por gf � , é a função cujo domínio é o conjunto

{ }AxgCxIRxD fog ∈∧∈∈= )(: tal que ))(()()( xgfxgf =� . Função Restrição Sejam BAf →: e AC ⊂ . A restrição de f a C, designada

por Cf | , é a função de domínio C e conjunto de chegada B tal que )()(| xfxf C = para cada e Cx ∈ . Função Inversa Sendo BAf →: injectiva chama-se a AAff →− )(:1 a

função inversa de f .

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Algumas classes de funções

i) Funções Polinomiais

Sejam , nanaaa ,1,1,0 −�� números reais

f: A IR x nn

nn axaxaxaxf ++++= −−

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10 ��)(

Casos Particulares: Função Constante: naxf =)( Função Linear: xaxf n 1−=)( Função Afim: nn axaxf += −1)(

Função Quadrática: nnn axaxaxf ++= −− 12

2)(

ii) Funções Racionais Sejam )( e )( xQxP polinómios

f: A IR

x )()()(

xQxP

xf =

{ }0: ≠∈= )(IR xQxD f

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iii) Funções Irracionais Seja )(xP um polinómio

f: A IR

x ( ) [ ]pq xPxf )(=

IR=fD se q for ímpar

{ }0: ≥∈= )(IR xPxD f se q for par