A ´ITICO E SUPERCR´ - Divisão de Ciências Fundamentais...

Oscilacoes

AMORTECIMENTOS SUBCRITICO, CRITICO E

SUPERCRITICOMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

20 de marco de 2013

R.R.Pela Oscilacoes

Oscilacoes

Roteiro

1 OscilacoesPendulosOscilacoes AmortecidasOscilacoes forcadas

R.R.Pela Oscilacoes

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Roteiro

1 OscilacoesPendulosOscilacoes AmortecidasOscilacoes forcadas

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Exemplo

Calcule o perıodo de pequenas oscilacoes do pendulo

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Solucao

Considerando um angulo θ:

(4Ma2)θ = −Mg(2a) sin θ − ka2 sin θ

sin θ ∼= θ,

θ +

(g

2a+

k

4M

)θ = 0

T = 2π

(g

2a+

k

4M

)− 12

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Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada emtorno de um disco de 5,00 kg. Se a mola tem uma rigidezk = 200 N/m, determine o perıodo natural de vibracao dosistema.

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Solucao

Ec =Mx2

2+I02

(x

r

)2

I0 =mr2

2

∴ Ec =x2

2

(M +

m

2

)Ep =

1

2k(x+ x20)−Mgx

E =x2

2

(M +

m

2

)+

1

2k(x+ x0)

2 −Mgx

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Solucao

Derivando em relacao a t:

0 = xx(M +

m

2

)+ k(x+ x0)x−Mgx(

M +m

2

)x+ k(x+ x0)−Mg = 0

Fazendo a mudanca y = x+ x0 −Mg

k(M +

m

2

)y + ky = 0

Portanto:

w0 =

√k

M + m2

= 4,00 rad/s

T =2π

w0= 1,57 s

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Desafio

Considere uma barra delgada de comprimento L que seencontra sobre um hemisferio fixo de raio r. Determine operiodo de pequenas oscilacoes da barra.

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Introducao

As oscilacoes harmonicas simples estudadasanteriormente, ocorrem em sistemas conservativos.Na pratica, sempre existe dissipacao de energia.

Por exemplo, no cado de um pendulo, as oscilacoes seamortecem devido a resistencia do ar (alem do atrito nosuporte).

O modelo para a forca de amortecimento e f = −ρvEla e designada como forca de atrito viscoso (ja que aresistencia de um fluido ao deslocamento de um obstaculoe proporcional a velocidade – para velocidadessuficientemente pequenas).

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Introducao

Para um oscilador unidimensional, a inclusao de um atritoviscoso resulta em

Mx = −kx− ρxx+ 2γx+ w2

0x = 0

Sendo γ =ρ

2Me w0 =

√k

M. Esta EDO possui a seguinte

equacao caracterıstica:

λ2 + 2γλ+ w20 = 0 ∆ = 4(γ2 − w2

0)

E dependendo do sinal do ∆, teremos solucoesqualitativamente bem diferentes para a EDO.

∆ > 0 (supercrıtico): solucoes sao exponenciais∆ < 0 (subcrıtico): solucoes sao oscilatorias comamplitude decrescente∆ = 0 (crıtico): solucao exponencial

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Amortecimento supercrıtico (γ > w0)

A equacao caracterıstica admite duas solucoes reais edistintas:

λ1 = −γ +√γ2 − w2

0

λ2 = −γ −√γ2 − w2

0

Note que:λ1 < λ2 < 0

Solucao geral da EDO:

x(t) = aeλ1t + beλ2t = e−γt(a∗ coshw∗dt+ b∗ sinhw∗

dt)

w∗d =

√γ2 − w2

0

Sendo a e b determinados a partir das condicoes iniciais.R.R.Pela Oscilacoes


Amortecimento supercrıtico (γ > w0)

E interessante notar que para t→∞, x→ 0, ou seja, osistema tende a permanecer em repouso na posicao deequilıbrio apos um tempo suficientemente grande.Alem disso, o sistema nem sequer chega a oscilar, ouseja, γ > w0 representa uma situacao de elevadoamortecimento.

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Amortecimento subcrıtico (γ < w0))

As solucoes da equacao caracterıstica sao duas raızescomplexo-conjugadas

λ1 = −γ + iwd

λ2 = −γ − iwd

Sendo wd =√w20 − γ2

A solucao geral da EDO e:

x(t) = e−γt(a sinwdt+ b coswdt)

= Ae−γt cos(wdt+ϕ) = Ae−γt sin(wdt+φ)

Esta e uma solucao que oscila comamplitude decrescente.

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Amortecimento subcrıtico (γ < w0)

Td: perıodo das oscilacoes amortecidas oupseudo-perıodo ou simplesmente perıodo.

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E interessante analisar qual fracao da energia e dissipadaem cada ciclo do oscilador.Para tanto, consideremos (de forma aproximada) um ciclocomo a ocorrencia de dois maximos na amplitude.

x1 = Ae−γt1

x2 ∼= Ae−γt1−γTd = x1e−γTd

Energia armazenada =kx212

Energia dissipada ∼=kx212

(1− e−2γTd)

∼=kx212

(2γTd)

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Pode-se definir o fator de qualidade do oscilador como:

Q = 2π

(Energia armazenada

Energia dissipada num ciclo

)∼= 2π

1

2γTd=wd2γ

Q ∼=w0

2γ

Note que, quanto maior o Q, menor o amortecimento(menor perda de energia).Estas ultimas deducoes sao validas quando oamortecimento e pequeno, ou seja, quando γ << w0.

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Amortecimento crıtico (γ = w0)

A equacao caracterıstica, neste caso, tem uma raiz dupla

λ = −γ

A solucao geral da EDO e

x(t) = e−γt(a+ bt)

Esta solucao (em geral) decai mais rapidamente (paratempos grandes) que a solucao supercrıtica.

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O balanco de energia

Ja vimos que a equacao de oscilador amortecido e:

Mx+ ρx+ kx = 0

Multiplicando por x:

Mxx+ kxx = −ρx2 ,

Mxx+ kxx =dEMEC

dt, e

ρx2 e a potencia da forca de atrito viscoso = Fv

Note quedEMEC

dt< 0, isto e, a energia mecanica sempre

diminui.

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Exemplo

A barra tem uma massa de 3,00 kg. Se a rigidez da mola ek = 120 N/m e o amortecedor tem um coeficiente deamortecimento c = 1,00 kN.s/m, determine a equacaodiferencial que descreve o movimento em termos do angulo θde rotacao da barra. Alem disso, qual deveria ser o coeficientede amortecimento para um movimento criticamenteamortecido?

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Exemplo

Considerando um pequeno deslocamento angular θ.

Analisando os torques em relacao ao ponto C:

−k(θ−θ0)L2 − cθb2 −MgL

2=ML2

3θ

ML2

3θ + cb2θ + k(θ − θ0)L2 +Mg

L

2= 0

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Exemplo

Com a mudanca α = θ − θ0 +MgL

2kα2

ML2

3α+ cb2α+ kL2α = 0

α+3cb2

ML2α+

3k

Mα = 0

9c2b4

M2L4=

4.3.k

MSubstituindo:

α+ 360α+ 120α = 0→ amortecimento supercrıtico

Para amortecimento crıtico:

ccr = 2

√Mk

3

(L

b

)2

= 60,9 Ns/m

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Introducao

Vamos estudar agora o efeito produzido sobre o osciladorpor uma forca externa F (t). Estudaremos dois casos paraF (t):

F (t) = F0 → degrau de amplitude F0

F (t) = F0 sinwt

O primeiro caso e bastante simples de ser analisado, mastem uma importancia capital em projetos de controladores.No segundo caso a forca externa e periodica comfrequencia angular w, que pode coincidir ou nao com afrequencia natural do proprio oscilador.A EDO de um oscilador forcado e:

Mx+ ρx+ kx = F (t)

EDOL nao homogenea de 2a ordem.

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Resposta ao degrau

Se F (t) = F0 = kx0, entao a resposta do oscilador sera:

x(t) = x0 + xH(t) (1)

A solucao completa e a mesma do caso homogeneo, amenos de um deslocamento (“shift”) de x0.

xH(t) =

Aeλ1t +Beλ2t, amortecimento supercrıticoAe−γt sin(wdt+ φ), amortecimento subcrıticoe−γt(A+Bt), amortecimento crıtico

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Resposta ao degrau

E interessante estudar caso de uma entrada degrauporque ele aparece muito em problemas de engenharia.Os sistemas fısicos, por mais complexos que parecam,comumente admitem um modelo simplificado de sistemamassa-mola.Quando e necessario controlar um sistema fısico,geralmente se aplica uma forca F (t) (ou uma correnteI(t), ou uma tensao E(t), ou algum outro mecanismoatuador, conforme o caso) para que ele se comporte comodesejado.O caso em que F (t) = kx0 e muito comum:, geralmentedeseja-se que o sistema (considerado inicialmente emrepouso na posicao x = 0) atinja a posicao x0 (a novaposicao de equilıbrio) o mais rapido possıvel e aıpermaneca.Vamos vislumbrar como isso e possıvel para o casosubcrıtico (o mais comum).

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Resposta ao degrau

Nas hipoteses de condicoes iniciais nulas, a solucao e:

x(t) = x0

[1− e−γt sin(wdt+ β)

sinβ

]sendo β o suplementar do argumento do complexo−γ + iwd.

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Resposta ao degrau

Para esta situacao, a resposta x(t) aparece plotada nafigura seguinte

Mp: “overshoot” (mede o quanto o primeiro pico se afasta,percentualmente de x0): Mp = e−π cot β

tr: tempo de subida (“rise time”): tr ∼=π − βwd

ts: tempo de estabilizacao (“settling time”):

ts ∼=3

γ(para ± 5%)

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