A Lei da Indução de Faraday Lei de Lenz B v B Lei de Lenz · B e v de aproximação. O sentido da...

Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VI – Lei de Faraday e Indução Eletromagnética 1

1

1

A Lei da Indução de Faraday – Lei de

Lenz

Definimos fluxo magnético como a grandeza:

s

SdB

Ou seja:

s

dSnB ˆ

Aqui n é o vetor unitário normal à superfície S.

Unidade: Weber: 1Wb = 1T. m2.

Lei de Faraday

Qualquer mudança no fluxo magnético sobre uma

espira causará uma voltagem ¨induzida¨ na espira. Não

importa como esta variação de fluxo é feita, haverá

voltagem gerada. Esta mudança pode ser produzida

movendo-se um magneto sobre a espira, onde haverá

mudanças nas linhas de força de campo magnético que

atravessarão a área da espira.

A Lei de Faraday é uma relação fundamental cuja

origem está nas equações de Maxwell. Resumidamente ela

diz que uma voltagem (fem) pode ser gerada por mudança

(variação) do fluxo magnético. A fem induzida na espira é

igual a menos a taxa de variação do fluxo magnético em

uma espira; multiplicando por N espiras, teremos a fem em

uma bobina.

dt

d

B v =BA Lei de Lenz

dt

dNmf

Figura 1 - Espira se movendo com velocidade

v A: Área da espira em uma região com Campo

magnético B externo.

Observe que, na superfície fechada:

0M

S

B dS

A Lei de Gauss é dada por:

0

iE

S

qE dS

Lei de Lenz

Quando uma força eletromotriz é gerada pela

mudança do fluxo magnético de acordo com a Lei de

Faraday, a polaridade da força eletromotriz induzida é

tal que produz uma corrente cujo campo magnético se

opõe às mudanças às quais. A indução magnética

dentro de qualquer fio em forma de espira sempre atua

de forma a conservar o fluxo magnético sobre a espira

constante.

Exemplo 1 – Aproximação ou afastamento de

um ímã sobre uma bobina.

Figura 2 - Aproximação de um ímã sobre uma

bobina Bi Bf B e v de aproximação. O sentido da

corrente na Bobina é indicado de forma a gerar o

campo induzido Bind contrário à B.

Como primeiro exemplo, veja que o campo

magnético induzido atua de forma a opor às variações

do campo aplicado. Suponha que num instante inicial,

o ímã esteja numa posição em relação à bobina e o


2

2

campo gerado pelo ímã seja iB

. Nesse momento, há linhas

de campo atravessando a área da seção transversal da

bobina, gerando assim um fluxo inicial. Ao afastarmos o

ímã com uma velocidade v

ou aproximarmos, essas linhas

de campo também se afastarão ou aproximarão. Assim, o

campo magnético final externo sobre a bobina gerado pelo

ímã será fB

. Assim o aumento ou a diminuição do fluxo

segue à mesma variação do campo magnético:

ABBAB if

Para sabermos o campo induzido sobre a bobina

indB

, precisamos lembrar que, pela Lei de Lenz, ele se

opõe à variação do campo externo aplicado. Assim

precisamos sempre encontrar o sentido do vetor:

if BBB

Para depois encontrarmos o sentido da corrente

elétrica induzida na expira para dar origem ao campo

magnético induzido indB

contrário à variação de B

. A

figura abaixo representa esse esquema, dependendo se

aproximamos o ímã com velocidade v

.

Figura 3 – Aproximação de um ímã num circuito.


3

3


4

4

Exemplo 2 – Aproximação ou afastamento de uma

espira numa região de campo magnético uniforme.

Outro exemplo interessante é quando temos uma

espira se deslocando numa região onde há um campo

magnético uniforme. Observamos que, durante a passagem

da espira o fluxo varia, pois a área da espira sobre a região

de campo magnético uniforme varia (A). Sendo v a

velocidade da espira.

xLAdt

dxv

d BAd

dt dt

d BLx dxBL B L v

dt dt

Figura 4 – Espira em movimento numa região de

campo magnético uniforme.

Exemplo 3 – Movimento de uma barra condutora

sobre trilhos em uma região de campo magnético uniforme.

A figura a seguir mostra uma barra condutora que

escorrega sobre dois trilhos condutores ligados a um

resistor. Um campo magnético uniforme está distribuído na

direção –k . Observe que o fluxo magnético através do

circuito está variando, pois a barra se move com velocidade

v.

O fluxo magnético em um dado instante é dado

por:

BlxBA

A força eletromotriz induzida no circuito é

dada por:

Blvdt

dxBl

dt

d

A direção da corrente deve anti-

horário, pois, de acordo com a Lei de Lenz, provoca um

campo contrário ao aumento de fluxo magnético sobre

o circuito elétrico.

A força sobre a Barra é dada por:

BlIdBvqF

iBIlkjBIlkBjIlF ˆˆˆ)ˆ(ˆ

Ou seja, a força sobre a barra está para a

esquerda, contrária a velocidade.

Exemplo 4 – Campo e corrente induzida sobre

uma espira. Aplicação da regra da mão direita para o

caso em que o campo externo sobre a espira aumenta

ou diminui. Aplicação: guitarra elétrica.

Regra da mão direita para relacionar a corrente

induzida i com o campo magnético Bi que é produzido

quando o campo magnético externo B através da espira

aumenta (a,c) ou diminui (b,d)

Figura 5 – Fluxo sobre espira.


5

5

Esquema de uma bobina aplicada para o uso de

uma guitarra elétrica Quando ao corda da guitarra oscila,

há variação do fluxo sobre sobre a área de seção reta da

bobina, induzindo uma corrente.

Figura 6

Exemplo 5 – Esquema indicando como varia as

linhas de campo ao mover a espira sobre uma região de

campo magnético uniforme. Observar o sentido da corrente

elétrica induzida na espira.

Figura 7 – Fluxo sobre espira.

Definimos fluxo magnético como a grandeza:

s

SdB

Ou seja:

s

dSnB ˆ

Aqui n é o vetor unitário normal à superfície

S.

xLAdt

dxv

d BAd

dt dt

d BLx dxBL BLv

dt dt

A figura a seguir mostra uma barra condutora

que escorrega sobre dois trilhos condutores ligados a

um resistor. Um campo magnético uniforme está

distribuído na direção –k . Observe que o fluxo

magnético através do circuito está variando, pois a

barra se move com velocidade v.

Figura 8 – Fluxo


6

6

O fluxo magnético em um dado instante é dado

por:

BlxBA

A força eletromotriz induzida no circuito é dada

por:

Blvdt

dxBl

dt

d

A direção da corrente deve anti-horário,

pois, de acordo com a Lei de Lenz, provoca um campo

contrário ao aumento de fluxo magnético sobre o circuito

elétrico.

A força sobre a Barra é dada por:

BlIdBvqF

iBIlkjBIlkBjIlF ˆˆˆ)ˆ(ˆ

Ou seja, a força sobre a barra está para a esquerda,

contrária a velocidade

Indução Eletromagnética

Indutor

A indutância é a característica do comportamento

de uma bobina em resistir a qualquer mudança de corrente

elétrica sobre a espira. Da Lei de Faraday, teremos:

dt

dIL

dt

dIA

l

NIA

l

N

dt

d

dt

d00

ou seja, a indutância L pode ser definida em

termos da fem ( ) gerada para se opor à mudança da

corrente elétrica.

dt

dIL

dt

d

Verificamos que a indutância L depende das

características Geométricas do circuito. Se tivermos um

solenóide, o fluxo será dado por:

0 0

NBNA nINA n lAI

l2

0n lAI L I

2 2

0 0

AL n Al N

I l

Unidade: Henry (H) 1H = 1 V.s/A

(1Henry=1 Volt.1Segundo/1 Ampére).

Figura 9 – Se a corrente está aumentando,

então uma voltagem em oposição é criada pelo campo

magnético da bobina.

Exemplo 6 – Calcular a auto-indutância de um

solenóide de 10 cm de comprimento, 5 cm2 de área e

100 espiras.

3100

100,1

Nn

L

2

0

AL N

l2

7 3 5 54 10 10 5 10 2 10L H


7

7

Figura 10 – Variações i na corrente chegando no

indutor:

(a) Se a corrente i está aumentando, a força

eletromotriz induzida l aparece ao longo da bobina numa

direção que se opõe ao aumento.

(b) Se a corrente i está diminuindo, a fem induzida

aparece na direção que se opõe ao crescimento.

Circuito RL

A auto-indutância num circuito impede a corrente

de aumentar ou diminuir instantaneamente. Os circuitos que

contém bobinas ou solenóides com muitas espiras têm uma

grande auto-indutância. Esta bobina ou solenóide é um

indutor. O símbolo de um indutor é

Pode-se muitas vezes desprezar a auto-indutância

do restante do circuito em comparação com a indutância do

indutor. Nos circuitos que possuem batertias, resistores e

indutores chamamos de circuitos RL.

Um circuito RL simples consiste em um resistor R

e um indutor L ligados em série, conforme ilustrado na

figura ao lado, com uma força eletromotriz constante V.

Fechado o interruptor em t=0s, segue-se e uma das leis de

Kirchhoff para circuitos elétricos que,se t>0, a corrente I

satisfaz a equação diferencial:

Vc –Vc =Vc-Vb + Va – Vc + Vb-Va =

0RIdt

dILV

VRIdt

dIL .

Expresse I em função de t.

Circuito RL simples.

Podemos escrever a equação como:

tLRedtLR

eL

VI

L

R

dt

dI )/()/(

Multiplicando-se a equação pelo FI

( / ) ( / )( )R L t R L t

t

VD Ie e

L ( / )( / ) R L tR L t V

I e e dtL

])/(1[)( tLReR

VtI

Observe que quando t aumenta sem limite, I

tende para V/R, que é a corrente prevista pela lei de

Ohm quando não há indutância presente.

Figura 11 – Circuito RL.

Figura 12 – Gráfico da corrente em função do

tempo.

Circuito RL, Chave S1 aberta e S2 fechada,

após a corrente no indutor atingir o máximo valor.


8

8

No circuito RL simples da figura anterior, as

chaves S1 e S2 são colocadas de modo que a bateria seja

removida do circuito. Depois da corrente no indutor ter

atingido seu máximo valor, com a chave S1 fechada, a

chave S2 é fechada e a S1 aberta. A corrente diminuirá com

o tempo conforme mostra a figura a seguir.

Nesse caso a soma das tensões é igual a zero:

0dI

L RIdt

0 0

I t

I

dI Rdt

I L

0

lnI R

tI L

0( )R

tLI t I e

R

Ltc

, aqui é a chamada constante de tempo;

Ct

t

eItI 0)(

Indutância Mútua

O Fluxo através de um circuito pode ser

relacionado à corrente no circuito e às correntes em oputros

circuitos vizinhos, caso não existam ímãs nas vizinhanças.

Considere os esquemas dos circuitos a seguir:

Figura 13 – (a) Se a corrente na bobina (1) i1

muda, aparecerá uma fem induzida na bobina (2).

(b) Se a corrente na bobina (2) i2 muda, aparecerá

uma fem induzida na bobina (1).

O Campo magnético em um ponto P constitui-

se da soma vetorial de dois campos, criados pela

passagem da corrente i1 no circuito 1 e pela passagem

da corrente i2 no circuito 2. Como esses campos são

proporcionais às correntes, podendo ser calculados pela

Lei de Biot-Savart, pode-se, portanto, encontrar o fluxo

através do circuito 2 pela equação:

112222 IMILm

Aqui, L2 e M12 são constantes. A constante L2 é

denominada a auto-indutância do circuito 2, depende da

disposição geométrica deste circuito. A constante M12,

a indutância mútua dos dois circuitos, depende da

configuração geométrica de ambos. Quando os

circuitos estiverem muito afastados, a indutância mútua

será pequena, pois o fluxo no circuito 2 devido à

corrente i1 será menor.

Podemos escrever para o fluxo no circuito 1:

221111 IMILm

Podemos mostrar que:

2112 MM

Quando os circuitos estão fixos e apenas as

correntes variam, as forças eletromotrizes induzidas

são, pela lei de Faraday:

dt

dIM

dt

dIL

dt

d m 211

1

1

Analogamente, no circuito 2, a fem será dada

por:

dt

dIM

dt

dIL

dt

d m 121

2

2


9

9

Dessas equações vemos que o Henry, unidade do

SI de indutância, é dada por:

AVs

AmTH 11

2.1

Observe que quando há um só circuito, a fem

induzida pela lei de Faraday é:

dt

dIL

Exemplo 6 – Calcular a taxa de variação na

corrente para um solenóide de 10 cm de comprimento, 5

cm2 de área e 100 espiras quando a fem induzida for de

20V.

s

A

Ldt

dI

dt

dIL 5

510.18,3

10.2

20

Um exemplo para o cálculo de indutância mútua:

Exemplo 6 – Calcular a indutância mútua entre um

fio comprido e uma espira retangular:

A figura aparece dois circuitos para os quais se

pode calcular a indutância mútua.

I x c

a L

b

Para calcular o fluxo através da espira retangular,

devemos efetuar uma integração, onde o elemento de área é

dA = cdx

dABd m

cdxx

Id m

2

0

0

2

b b

m m

a a

Id cdx

x

0 01ln

2 2

b

m m

a

Ic Ic bdx

x a

a

bc

IM m ln

2

0

Exemplo 7 – Projetar uma bobina de raio R e

número de voltas N para um circuito RL de resistência

1K de forma que a constante de tempo seja de 10 s.

l

ANLtRL

R

Lt cc

2

0

Como: 2RA , teremos:

l

RN

l

ANLtR c

22

0

2

0

3 1010

l

RN

2274 10410

l

RN

22724 10410

4 22

2 7

10

4 10

RN

l 92,533 10 l

NR

Se montarmos uma bobina com um

comprimento de l = 3 cm e raio 2 cm teremos:

2

299

10.5,2

10310533,210533,2

R

lN

Energia Magnética Quando instala-se uma corrente no circuito da

figura acima, apenas parte da energia fornecida pela

bateria é dissipada no resistor, o restante da energia é

armazenada no indutor. Observar que

02RIdt

dILIEI

O termo associado ao armazenamento de

energia no Indutor é:

2

2

f

mm

mLI

dILIdUUdt

dILI

dt

dU

0

22

22

lABLIU

f

m

(Energia magnética armazenada num indutor)

Quando a corrente elétrica diminui, diminui a

energia no indutor e o campo magnético também

diminui.

Analogamente, o mesmo acontece quando

temos um capacitor carregado, para o caso do campo

Elétrico E. A energia eletrostática armazenada num

capacitor de placas paralelas.

22

2

0 AdEQVU e

(Energia eletrostática armazenada num capacitor)


10

10

Em geral, numa região do espaço onde há campo

elétrico e magnético, definimos densidade de energia à

relação:

0

22

021

2

BE

V

U

Circuito LC:

Suponha um capacitor inicialmente carregado com

uma carga Q0 e em t = 0 fechamos a chave do circuito

abaixo:

Figura 14 – Circuito LC.

Depois da chave fechada, a corrente é oposta e a

carga nas placas do capacitor e a corrente estão

relacionadas por dt

dQI . No capacitor, de c para d, há

uma queda de potencial Q/C e de a para b no indutor LdI/dt.

A regra de Kirchhoff aplicada ao circuito dá:

0C

Q

dt

dIL

ou

01

2

2

QLCdt

Qd

A solução desta equação diferencial é dada por:

( ) cos( )Q t A t

Onde:

LC

1 é a frequência num circuito LC

Vamos supor = 0 para a fase desse circuito.

Então teremos:

max( ) cos( )Q t Q t

0( ) sen( )I t Q t

max( ) sen( )I t I t


(a) Gráficos de carga versus tempo e corrente

versus tempo.

(b) Transferência de energia magnética e

elétrica pelo indutor e capacitor.


11

11

Exemplo 8 – Num circuito LC, o valor da

indutância é L =2mH e da Capacitância C = 47 F. A carga

inicial do Capacitor vale Q0. Determine a frequência e os

gráficos Q(t) e I(t).

1

LC

3 6

1

2 10 47 10 33,2613 10 rad

s


(a) Gráficos da energia armazenada no capacitor

(UC) versus tempo e a energia armazenada no indutor (UL)

versus tempo.

(b) Analogia mecânica.

Observe que a corrente oscila com a mesma

frequência da carga e está 900 fora de fase com a carga.

As Amplitudes são diferentes, como indicam nos eixos.

Veja que se fizermos um balanço das energias

magnética no indutor e eletrostática no capacitor,

teremos: 2 2

2 2T E L

Q LIU U U

C2 2

0 0cos( ) sen( )

2 2T

Q t L Q tU

C

Substituindo LCLC

11 2

2 22 2 200

1cos ( ) sen ( )

2 2T

LQU Q t t

C

2

0

1

2TU Q

C

Ou seja, a energia total é constante no tempo.


12

12

Circuito RLC:

No circuito RLC teremos um resistor em série a

um capacitor e a um indutor. Para a regra de Kirchhoff

incluimos a queda de potencial RI no resistor:

Figura 17 – Circuito RLC.

0RIC

Q

dt

dIL

Derivando a equação com respeito a t teremos:

01

2

2

ILCdt

dI

L

R

td

Id

Ou seja, se chamarmos de:

LC

10

02

02

2

Idt

dI

L

R

td

Id

A solução proposta é do tipo:

2( )R

n n Lti t i t

HI t Ae Be e

Aqui IH(t) a solução da equação diferencial

homogênea, com:

2

2

1

4n

R

LC L com

2 2

0n f

L

Rf

2

Caso 0 > f a solução é dada por:

2

1 2( ) cos senRL

t

H n nI t c t c t e

Figura 18 – Circuito RLC – gráfico (t,Q ).

(a) Caso: 4R L C

(b) Caso: 4R L C

Observe a queda brusca da carga em pouco tempo.

(c) Analogia mecânica.

Tipos de soluções da equação diferencial para

a carga:

(a) 2

2

1

4

R

LC L(b)

2

2

1

4

R

LC L(c)

2

2

1

4

R

LC L


13

13

Tensão Alternada

Introdução

Mais de 99% da energia elétrica produzida no mundo é

obtida por geradores elétricos oeprando com corrente

alternada (AC). A vantagem sobre a corrente contínua é que

pode ser transportada a longas distâncias, a baixo valores de

corrente e altos de tensão, para ser reduzida a perda de

energia por efeito Joule; podendo assim, ser transformada

com o transformador, o qual utiliza o princípio da indução

magnética.

Gerador de corrente alternada:

Um gerador simples de corrente alternada é uma

bobina girando em um campo magnético uniforme, como

ilustramos na figura abaixo:

Figura 19 – Gerador e esquema de hidrelétrica.

O princípio básico para um gerador de

corrente alternada é uma espira condutora girando em

um campo magnético uniforme. Na prática, a força

eletromotriz alternada induzida na espira de muitas

voltas de um fio é feita pelo contato entre o anel

conectado com a espira rotativa, cada um conectado

eletricamente por uma escova metálica ao resto do

circuito elétrico.

O vetor unitário normal n ao plano da bobina

faz um ângulo com o campo magnético uniforme B.

cosm N B A

Aqui, N é o número de espiras, e A a área da

bobina. Seja a velocidade angular da bobina, que é

mecanicamente acionada. Então:

t .

cosm N B A t

A força eletromotriz induzida será dada por:

dt

dtNBA m

m cos

tNBA sen

Ou

tm sen

NBAm

Pode-se gerar uma tensão senoidal numa

bobina fazendo-a girar com a velocidade angular

constante num campo magnético. Num diagrama de

um circuito, um gerador de corrente alternada (ca)

simboliza-se pelo símbolo:

A seguir discutiremos os circuitos de tensão

alternada simples e o circuito RLC.


14

14

Circuitos de tensão alternada.

Em eletrônica, representam-se fenômenos

ondulatórios por funções oscilantes como a seno e o

cosseno. Exemplificando na teoria de corrente alternada,

temos uma tensão variando da forma senoidal, assim, para

cada caso, a corrente e a tensão serão estudadas quando

submetemos essa tensão à um:

Corrente alternada com um Resistor:

Figura 20 – Circuito AC com resistor. (a)

Gráficos de tensão e corrente versus tempo ediagrama de

fasores (b).

Figura 21 – Circuito AC . Corrente (a) e corrente

média em função do tempo (b).

Equações: Equações (Lei de Ohm)

cosmU U t

Reatância resistiva: RX R

Fase: = 00


15

15

Corrente alternada num Indutor:

Figura 22 – Circuito AC com indutor. (a)

Gráficos de tensão e corrente versus tempo ediagrama de

fasores (b).

Equações:

tUU mL sen

senL m

dIU U t L

dt

sen senm mL

U UdIt I tdt

dt L L

cos sen2

m mL

U UI t t

L L

Reatância Indutiva: LXL

Fase: = -900

UL adianta-se 900 em relação a IL


16

16

Corrente alternada num Capacitor

Figura 23 – Circuito AC com capacitor. (a) Gráficos de

tensão e corrente versus tempo ediagrama de fasores (b).

Equações:

senC m

QU U t

C

senm C

dQQ CU t I

dt

cos cos2

mC m

C

UI U C t t

X

Reatância Capacitiva: C

XC

1

Fase: = + 900

UC atrasa-se 900 em relação a IC

Recordar por:

ELI the ICE man…


17

17

Valores médios, máximos e eficazes

Como discutimos, uma tensão CA é aquela que

varia em módulo e sua polaridade varia

periodicamente, levando um intervalo de tempo T e

uma freqüência f. Pode ser produzida por um

alternador.

Figura 24 – Esquema do alternador e forma da

tensão produzida.

Esquemas de geradores AC e DC.

Podemos escrever o fluxo magnético sobre as

N espiras por:

cosB N B A

t

: fase

Pela Lei de Faraday-Lenz:

Bt N B A sen tt

mt sen t

m N B A

2 12 f f

T T

Valores de tensão e corrente: Uma onda CA de tensão ou de corrente possui

vários valores instantâneos ao longo do ciclo. São eles:

Vm, Im: Valor máximo ou de pico. Aplicado

tanto ao pico negativo como ao pico positivo.

Vpp ou Ipp: Vpp = 2 Vp = 2VM.

Valor Médio: V Média sobre todos os valores

sobre uma onda senoidal em meio período. 2

0

1

2

T

V V t dtT

2

0

1

2

T

mV V sen t dtT

2

0

2cos

Tt

m

t

VV t

T

2cos cos0

2mV

VT

T

20.637m mV V V V

Valor rms (root mean square): rmsV

Quantidade de corrente ou tensão contínua capaz de

produzir a mesma potência de aquecimento. É definido

matematicamente por:

2

0

1T

rmsV V t dtT

2

0

1T

rms mV V sen t dtT

2 2

0

1T

rms mV V sen t dtT


18

18

2

0

1 cos 21

2

T

rms m

tV V dt

T

2

2

0

2

1 2

2

t

rms m

t

sen tt

V VT

2

2

1

2rms mV V

T

0.7072

mrms rms m

VV V V


19

19

Resumo:

Circuito

ca

R

ca

L

ca

C

ca Lei de

Kirchhoff )(cos tRItUm

dt

dILtU m cos

C

QtUm cos

Reatância RX R LXL

CXC

1

Fase 00

-900

+900

Ief (corrente

efetiva) R

ef

X

U

L

ef

X

U

C

ef

X

U

Im (corrente

Máxima) R

m

X

U

L

m

X

U

C

m

X

U

(b)

Figura 25 -


20

20

Circuito RLC

Um importante circuito com muitas características

da maior parte dos circuitos ca é o circuito RLC em série

com um gerador. Discutimos esse circuito anteriormente

sem o gerador, e vimos que a corrente oscila com

frequência angular aproximadamente igual a

LC

10

A regra de Kirchhoff aplicada a este circuito

aplicada a esse circuito com gerador é:

Figura 26 -

tUC

QRI

dt

dIL m sen

ou

tL

UI

LCdt

dI

L

R

dt

Id m sen1

2

2

Esta equação diferencial é análoga à equação

do oscilador forçado, a primeira parcela é análoga à

2

2

dt

xdm . A segunda parcela é análoga ao termo de

amortecimento bv e o terceiro ao termo kx.

A solução desta equação é composta por dois

termos:

O primeiro termo, denominado transiente, que

chamaremos por IT, é solução da equação diferencial

homogênea associada:

01

2

2

ILCdt

dI

L

R

dt

Id

Sua solução já foi discutida no capítulo que

tratamos o circuito RCl. Assim:

2( ) ( cos[ ] sen[ ])R

tL

T n nI t e A t B t

onde 2

2

04L

Rn

A denominação de transiente provém deste

termo diminuir exponencialmente com o tempo.

O segundo termo é oscilatório e permanente e

não diminui exponencialmente com o tempo.

)sen( tIII mT

Quando t o termo transiente da corrente

vai a zero e a solução pode ser dada por:

)sen( tII m

Onde:

2 2( )

m mm

L C

U UI

Z R X X

R

XXtg CL

O termo:

2 2( )L CZ R X X

é denominado de impedância do circuito RLC e pode-

se utilizar para análise o mesmo diagrama de fasores

dado anteriormente.


21

21

Diagrama de Fasores de um circuito RLC:

Pode-se mostrar o diagrama de fasores de um circuito

RCL indicado pelos “vetores” UL ,UR , UC e U abaixo:

y

UL

Um = Z Im

UR = R Im

t t -

x

UC

Assim, da figura observa-se que:

2 2( )m R L CU U U U

Veja que:

Z

UIZIU m

mmm

2 21( )

mm

UI

R LC

Observe que a corrente será máxima para a

frequência da fonte for igual à frequência de ressonância:

LC

10 , quando isso ocorrer, a

impedância Z será mínima e Z = R.

Essa condição de ressonância é a mesma de um

oscilador harmônico forçado. Na ressonância, =00 e os

fasores UL=UC. A corrente está em fase com a força

eletromotriz aplicada.

Potência

A potência instantânea dissipada num resistor

é dada por: 2 2 2 ( )mP R I R I sen t

Essa potência varia desde 0 até o valor

máximo 2

mRI , conforme aparece na figura a seguir.

A maior parte de amperímetros e voltímetros medem os

valores médios quadráticos ou eficazes da corrente ou

da tensão. Define-se como valor médio eficaz como:

2IIef Onde a corrente média quadrática é

dada por: T

dtIT

I0

22 1

2

0

222 )(sen2

dttII m

2

0

22

2

)2cos(1

2dt

tII m

2

2 2

0

1 sen(2 )

2 2 4m

tI I t

Para a potência média, sobre um ciclo completo,

teremos:

2

22 mI

I

Como 2IIef

teremos:

22

2

mef

mef

II

II

A potência média fornecida pelo gerador é

igual à dissipada pelo resistor. 2

med med medP U I R I

2

2

mmed

R IP

2

m mmed ef ef

U IP U I

Analogamente:

22

2

mef

mef

UU

UU


22

22

Figura 27 -

Potência média versus freqüência angular.

Potência instantânea P(t) e Potência média

Pmed

A potência instantânea fornecida pelo gerador

num certo instante é dada por:

)sen(sen)( ttIUUItP mm

( ) sen sen( )m mP t U I t t

Desenvolvendo a expressão teremos:

( ) sen (sen cos sen cos )m mP t U I t t t2( ) (sen cos sen sen cos )m mP t U I t t t

Quando fazemos a média temporal sobre o

período T (T=2 / ) da potência instantânea, temos a

potência média, que denominaremos por Pmed. Assim:

2( ) (sen cos sen sen cos )m mP t U I t t t

T

med dttPT

P0

)(1

Observe que apareceram duas integrais, cujos

valores são 0 (funções par e ímpar integradas num

período)e ½ (como demonstrado anteriormente):

0cossen1

0

T

tdttT

2

1sen

1

0

2

T

tdtT

Assim, a potência média dará:

cos2

1mmmed IUP

Ou

cosefefmed IUP

No diagrama de fasores, veja que o triângulo

fornece:

Z

R

U

URcos

Z

XXtg cL

Como Uef = Z Ief

Substituindo na equação da Potência média,

teremos:

2

2

Z

RU

Z

R

Z

UUP ef

ef

efmed


23

23

2

2

2

1R

CL

RUP efmed

Podemos ainda escrever, dividindo e multiplicando

por L o termo ( )2:

22

2 2 2 2 2

0( )med efP U R

R

Em analogia à Mecânica, esta equação mostra que

o fornecimento médio de potência do gerador é o mesmo

que o de um oscilador forçado, com R no lugar do

amortecimento b, L no lugar da massa m e Uef substituindo

a força motriz máxima F0.

O gráfico abaixo mostra a potência média em

função da frequência no caso de valores de resistência R

grande e pequeno.

Quando

22 2 2 2 2

0L R

2

ef

med

UP

R

Ou seja, a potência terá a metade de seu valor

máximo. Podemos estimar que isso ocorrerá para as

frequências:

2 2

0L R

0 0L R

RL 000 )(

Assim:

L

R

20

L

R

20

Chamando de:

L

R

201

e L

R

202

A largura será dada por: 12

L

R

Definimos a largura de ressonância por um

parâmetro adimensional, que chamamos de Q do

circuito, definido pela razão entre a frequência de

ressonância e a largura da curva:

00

R

LQ

Note que para R pequeno temos fator Q grande

e vice-versa.

Uma aplicação comum nos circuitos de

ressonância em série encontra-se nos receptores de

rádio, onde se varia a frequência de ressonância do

circuito mediante a variação da capacitância. A

ressonância ocorre quando a frequência natural do

circuito for igual à frequência das ondas de rádio

captada pela antena.

Na ressonância, há uma corrente

relativamente grande no circuito da antena. Se o valor

Q for suficientemente elevado, as correntes devido às

outras estações transmissoras, fora da ressonância,

terão valor desprezível em comparação com as da

estação na qual o circuito está sintonizado.

Exemplo 9 – Um capacitor de 20 F está

ligado a um gerador de força eletromotriz máxima de

100 V. Calcular a reatância e a corrente máxima

quando a frequência for de 60 Hz e 5000Hz.

1331020602

1161 C

XC

59,1102050002

1162 C

XC

AX

UI

C

mm 754,0

133

100

1

1

AX

UI

C

mm 8,62

59,1

100

2

2


24

24

Exemplo 10 - Um circuito RCL em série, com L =

2H, C = 2 F e R = 20 está alimentado por um gerador de

fem máxima de 100 V e frequência variável. Determinar

quando a frequência angular do gerador for de = 400

rad/s:

(a) A frequência de ressonância 0 .

(b) A fase

(c) Acorrente máxima Im.

(a) 6

1 11250

400 2 10CX

C

400 2 800LX L

Para calcular a impedância, o valor de XL – XC é

muito maior que R nas condições afastadas da ressonância.

Então teremos para a Impedância Z:

2 2( ) 450L CZ X X R

(b) 0875,2220

450

Z

XXtg cL c)

(c) AZ

UI m

m 222,0450

100

O Transformador:

O transformador básico é formado por duas

bobinas isoladas eletricamente e enroladas em torno de

um núcleo comum. Para transferir energia elétrica de

uma bobina para outra se usa o acoplamento magnético.

A bobina que recebe energia da fonte de corrente

alternada é chamada de primário. A bobina que

fornece energia para uma carga é chamada de

secundário.

Os núcleos dos transformadores usados em

aplicações de baixa freqüência são feitos geralmente de

material magnético, de aço laminado. Os núcleos dos

transformadores de uso em altas freqüências são feitos

de ferro em pó e cerâmica ou de materiais não

magnéticos. Algumas bobinas são enroladas em torno

de formas ocas não magnéticas, como por exemplo

papelão ou plástico, de forma que o material que forma

o núcleo é o ar.

Figura 28 – Esquema de transformadores:

Vp Vs

Relação: p p p s

s s s p

V N V I

V N V I

Onde:

Vp: Tensão na bobina do primário.

Vs: Tensão na bobina do secundário.

Np: Número de espiras da bobina do primário.

Ns: Número de espiras da bobina do

secundário.

Especificações: kVA.

Figura 29 – Esquema do núcleo do transformador.


25

25

Figura 30 – Aplicações, modelos e representação.

Portanto, a fim de transportar potência com

mínima perda de calor RI2 nas linhas de transmissão, é

econômico usar tensão elevada e corrente baixa.

Por outro lado, considerações de segurança,

por exemplo, isolamento, tornam conveniente o uso de

tensão baixa e corrente alta para operar motores e

outros aparelhos elétricos. Consegue-se esse efeito

usando-se um transformador, dispositivo que modifica

a voltagem alternada e a corrente alternada sem

perda apreciável de energia.

Símbolo:

trafo

Sendo V a voltagem e I a corrente, a potência

instantânea é VI. Se a voltagem for modificada, sem

alteração na potência, a corrente também deve ser

modificada. A figura abaixo mostra o diagrama de um

transformador simples, constituído por duas bobinas

enroladas num núcleo comum de ferro doce.

A bobina que recebe energia é o primário e a

outra bobina é o secundário. Qualquer uma das duas

bobinas do transformador pode ser usada como

primário ou secundário.

A função do núcleo de ferro é aumentar

grandemente o fluxo, para uma dada corrente, e

confiná-lo de modo que quase todo o fluxo que passa

por uma bobina passe pela outra. O núcleo de ferro é

laminado para evitar perdas pelas correntes de Foucault

(correntes circulantes, provocadas por fluxos variáveis).

Outras perdas possíveis estão nas resistências

das bobinas (RI2), que podem ser reduzidas usando-se

fios de baixa resistência nas bobinas e perdas por

histerese no núcleo, que podem se reduzir usando

núcleos de ferro doce.

É relativamente fácil projetar um

transformador em que a potência é transferida do

primário ao secundário com eficiência de 90 a 99%.

Discutiremos a seguir um transformador ideal,

no qual não há perdas de energia.

A força eletromotriz induzida no primário é

dada por:

1 1

espdV N

dt

O fluxo no secundário, admitindo não ocorrer

fugas para fora do núcleo, é dado por:

2 2

espdV N

dt

Assim, teremos a relação:

22 1

1

NV V

Nou


26

26

P

P

Ss V

N

NV

Figura 31 – Esquema.

Aplicando a Lei de Kirchhoff no primário,

teremos:

0dt

d

pVVdt

d1

Então:

1

22

N

NVVs

O transformador é denominado de alta se :

12; NNNN ps

ou seja, a tensão de saída é maior que a tensão de

entrada.

O transformador é denominado de baixa se :

12; NNNN ps

ou seja, a tensão de saída é menor que a tensão de

entrada.

Corrente elétrica no transformador

Não há corrente no secundário quando este circuito

está em aberto. A corrente Im é muito pequena no primério e

está defasada de 900 com a tensão. Nesta bobina.

Considere agora o que ocorre quando ligamos uma

resistência de carga no secundário. Haverá uma corrente I2

no circuito secundário que estará em fase com a tensão V2

na resistência. Esta corrente estabelece um fluxo adicional

em cada espira ’esp proporcional a NsIs. Este fluxo

superpõe-se ao fluxo esp estabelecido pela corrente de

magnetização original no primário, Im. No entanto, a

voltagem do enrolamento primário está determinada pela

fem do gerador, que não é afetada pelo enrolamento no

secundário. O fluxo no núcleo de ferro doce deve continuar

com a mesma taxa de variação, isto é, o fluxo no núcleo

de ferro deve continuar o mesmo como se não houvesse

a resistência de carga ligada ao secundário.

Então, o primário puxa da fonte uma corrente

adicional I1 a fim de manter o fluxo original esp. O

fluxo através de cada espira, provocado por esta

corrente adicional, é proporcional a NpIp. Então a

corrente adicional no primário Ip está relacionada à

corrente Is no secundário por:

sspp ININ

O sinal negativo indica que as correntes estão

defasadas 1800, em virtude de provocarem fluxos

opostos. Uma vez que Is está em fase com Vs, a corrente

adicional no primário Ip está em fase com a fem

aplicada.

A figura a seguir mostra as relações de fase

entre as tensões e as correntes.

A corrente total no primário é a soma

“vetorial” entre a corrente de magnetização original Im

e a da corrente adicional Ip, que usualmente é muito

maior que Im.

I1= Ip I

Im

I2=Is

Potência no transformador:

A potência fornecida pelo gerador é o produto

da força eletromotriz eficaz aplicada pela corrente

eficaz Ief no primário e pelo fator de potência cos ,

onde este é o ângulo de fase entre a corrente total I e a

fem aplicada. Como Ip está em fase com a fem aplicada,

é o ângulo entre Ip e I. Note que Icos é igual à

corrente adicional Ip, de modo que a injeção de potência

no primário é:

cosef ef ef pefP I I

Usando as relações anteriores, teremos:

p sp s S s s

s p

N NI V I V I

N N

Então:

, , ,ef p ef s ef s efI V I


27

27

A potência despendida no primário é igual à saída

de potência no secundário, como se admitiu no

transformador ideal sem perdas.

Na maior parte dos casos, a corrente Ip no primário

é muito maior que a corrente de magnetização inicial Im,

sem carga. O que se pode demonstrar colocando em série

uma lâmpada com o primário: a lâmpada brilha muito mais

quando há carga no secundário do que quando o secundário

está em aberto. Se Im puder ser desprezada, a relação:

p p s sN I N I

dá a lei das correntes totais no primário e no secundário.

As correntes Is e Ip podem ser relacionadas com a

resistência de carga por:

R

VI s

s

Como:

S SS P

P P

N NV V

N N

e:

s S Sp s

P P

N N VI I

N N R

2S

S SPp

P P

N

N NNI

N R N R

Pode-se escrever a corrente no secundário e sua

tensão em termos da corrente no primário e da força

eletromotriz no primário, . Assim:

2p

p

s

IN

RN

A corrente Ip é a mesma que circularia se estivesse

ligada ao gerador a resistência: 2

p

s

NR

N

Esse efeito é denominado de transformação de

impedância, pois em geral a carga no secundário é

constituída de uma combinação de capacitâncias,

indutâncias e resistências, com impedância Z, ligadas ao

secundário do transformador.


28

28

Motores elétricos

O motor é uma máquina que transforma a energia

elétrica em energia mecânica.

O princípio de funcionamento do motor elétrico,

baseia-se na indução eletromagnética. Todo condutor,

quando percorrido por uma corrente elétrica, apresenta um

campo magnético que o circunda. Se este condutor for

colocado ao lado de um outro que apresenta também um

campo magnético, então os dois campos interagirão entre si

atraindo ou repelindo de acordo com o sentido da corrente

elétrica que o percorre.

Classificação dos motores:

Podemos classificar em dois grupos:

Motor de corrente contínua simples

Figura 31 – (a) Esquema de motor de corrente

contínua.

(b) Motor síncrono.

Um único motor elétrico pode ser alimentado

por uma bateria ou um pequeno gerador. Porém, é

indispensável numa rede de alimentação em escala

nacional para fornecer energia aos milhões de unidades

de potência elétrica instalada e que são convertidos em

energia mecânica nas linhas de montagem de

automóveis, nas máquinas de mineração, nas

locomotivas elétricas, etc. Apesar dos automóveis,


29

29

navios, locomotivas a diesel, caminhões e aeroplanos não

dependerem de energia da rede elétrica, todos utilizam

motores elétricos, que são partes essenciais em

condicionadores de ar, refrigeradores, máquina de lavar,

etc.

Discutiremos os diversos tipos de motores

detalhadamente a seguir.

Os motores simples, de corrente contínua

(cc), é mostrado na figura (a). A corrente da bateria

magnetiza a armadura em ferro doce que pode girar em

torno do eixo AA´, e tende a se alinhar com o campo

magnético produzido pelo ímã de pólos N e S. Quando a

armadura gira, arrasta consigo o comutador, cujos

segmentos invertem a direção da corrente no instante em

que a armadura atinge sua posição de equilíbrio. A inércia

da armadura assegura a continuação do movimento além da

posição de equilíbrio; então, graças à inversão de

polaridade, há uma nova rotação de meia volta. Uma vez

que o comutador inverte a direção da corrente a cada 180º,

consegue-se a rotação contínua. O eixo do motor pode

então fornecer um trabalho útil.

DESVANTAGENS:

1. Quando a corrente é desligada, o motor tem

a tendência de parar na posição de equilíbrio e, por isso,

pode não haver um torque de partida.

2. O torque é nulo duas vezes a cada volta. Se

a armadura tiver pólos e enrolamentos adicionais, e se o

comutador for dividido em maior números de segmentos, o

torque é mais uniforme e o motor sempre dá a partida.

Quando o campo for originado por um ímã

permanente, como nos trens de brinquedo e na maior parte

dos brinquedos operados por pilha, a velocidade depende da

tensão de alimentação e se modifica com a carga.; Nas

aplicações em que são necessárias quantidades

significativas de potência, o campo é provocado por

eletroímãs. A ajustagem da corrente do campo possibilita

controlar a velocidade, independentemente da corrente na

armadura. Em geral, quando a carga num motor cc

aumenta, a velocidade diminui e é preciso aumentar a

corrente da armadura. A corrente de campo pode ser

ajustada a fim de manter a velocidade constante. Nos

motores cc usam-se freqüentemente controles automáticos

desses parâmetros.

Os motores cc com bobinas de campo são muito

flexíveis. Podem ser ligados em série, de modo que a

corrente na armadura é também a corrente de campo, em

paralelo (ou em shunt), de modo que a corrente de campo

seja independente da corrente da armadura, ou em ligação

composta, com duas bobinas de campo, uma ligada em

série e outra em paralelo. Esses motores são amplamente

utilizados para tração (em metrôs e trens elétricos) e em

aplicações onde o controle de velocidade seja crítico.

O motor cc torna-se um motor síncrono quando o

comutador for substituído por um anel contínuo (b) e a

alimentação for corrente alternada. Apesar de este

dispositivo simples não Ter torque de partida, uma vez

acelerado por um meio externo, opera em fase com

uma velocidade síncrona, (determinada pela frequência

da linha de alimentação). Quando a carga aumenta, a

corrente na armadura aumenta, mas a velocidade

permanece constante, a menos que a carga seja

suficientemente grande para fazer o motor estancar. Os

motores síncronos projetados para corrente trifásica

podem ser autoderramantes. Quando a potência é

elevada, a corrente de campo é muito menor que a da

armadura. Para que se possa injetar a pequena corrente

através dos anéis coletores, a maioria desses motores

têm uma armaduraestacionária quando o campo gira

com o eixo que aciona a carga.

O motor universal em série tem muitas

aplicações em dispositivos de pequena potência, como

furadeiras manuais e pequenas serras.

Praticamente, quase toda a potência elétrica

fornecida nas redes comerciais é trifásica, com tensão

senoidal em 60Hz. O termo trifásico significa que

existem três tensões senoidais de igual amplitude e

frequência, cujos picos sucessivos são separados por

um terço de ciclo. As três tensões são usualmente

conduzidas por uma linha de transmissão em três

condutores, comumente visíveis nas redes urbanas.

Existe uma fase de potência entre cada par de

condutores. As residências são, quase sem exceção,

abastecidas por uma única fase; as indústrias recebem,

comumente, todas as três.

No motor de indução trifásico, as bobinas de

cada três pares de pólos estão ligadas a fases diferentes.

As correntes nas bobinas, por isso atingem valores

máximos sucessivamente, e o resultado é um campo

magnético girante na região entre os pólos. Um rotor

estacionário, de material condutor, teria corrente

induzidas caso estivesse imerso nesse campo. O campo

magnético das correntes induzidas interagiria com o

campo girante para provocar um torque. Caso não haja

carga, o torque acelera o rotor até uma velocidade


30

30

quase igual à velocidade síncrona da de rotação do campo.

(Caso o rotor atinja a velocidade síncrona, desapareceria o

movimento relativo entre o rotor e o campo, não existiriam

correntes e, por isso, desapareceria também o torque).

Quando o motor está em carga, a velocidade do rotor

diminui, isto provoca uma corrente induzida maior e,

correspondentemente, maior torque. A velocidade pode

diminuir a 75% da velocidade síncrona antes de o motor

estancar. Não existem contatos elétricos móveis no motor

de indução trifásico, que pode ser construído para Ter

centenas de cavalos de potência. A eliminação de qualquer

possibilidade de centelhamento torna estes motores

especialmente atrativos para aplicações atmosferas

explosivas, como em moinhos de trigo ou em minas.

O motor de indução prático, tem, usualmente, um

rotor cilíndrico de ferro, com barras isoladas de cobre

embutidas na superfície e ligadas de modo a oferecer bons

circuitos condutores às correntes induzidas. Em alguns

motores o enrolamento do rotor, em lugar de estar em curto,

é ligado a anéis coletores, de modo que se possam usar

resistores para controlar a velocidade.; os contatos móveis

assim existentes eliminam uma vantagem importante do

motor.

Caso apenas uma fase esteja ligada, não há campo

magnético girante e não há torque de partida. Porém se uma

segunda bobina for ligada em série com um capacitor de

grande capacitância (centenas de microfarads) e for

alimentada pela mesma fase que a da primeira bobina, as

correntes nas duas estarão suficientemente defasadas para

provocar o campo magnético girante e fornecer o torque de

partida. É este dispositivo empregado nos motores de

indução monofásicos, que se usam nos refrigeradores,

máquinas de lavar roupa, condicionadores de ar e

ventoinhas dos fornos.

.

Referência: Texto e figura adaptados e extraídos

de: Física - Paul Tipler, V2 pg794-796 Editora Guanabara

Dois.

A seguir discutiremos detalhadamente a ação

do motor e os tipos de motores.

Ação do Motor:

A força eletromagnética que atua num

condutor é dada por:

senBIlF

Quanto a construção, o motor elétrico divide-

se basicamente em duas partes, o Rotor e o Estator.

O rotor ou induzido, é a parte girante do motor

e o estator ou indutor é a parte fixa do mesmo.

Os motores elétricos são divididos em três

segmentos:

(a) Motores de corrente contínua;

(b) Motores de corrente pulsante(motor de

passo);

(c) Motores de corrente alternada.

Os motores de corrente contínua subdividem-

se em ímã permanente, ligação série, paralelo (shunt) e

misto(compound).

Em corrente alternada, os motores dividem-se

em três sistemas, monofásico, linear e trifásico. Para

nosso estudo, analisaremos os monofásicos e trifásicos.

Tanto os motores monofásicos quanto os trifásicos

dividem-se em dois segmentos, os motores síncronos e

os assíncronos.

Motores monofásicos assíncronos (indução):

(a) Rotor bobinado: repulsão, partida à

repulsão e repulsão indução.

(b) Rotor gaiola de esquilo: fase dividida,

capacitor de partida, capacitor permanente, duplo

capacitor e campo distorcido.

Motores monofásicos síncronos: ímã

permanente, histerese, relutância e indutor.

Motores trifásicos assíncronos(indução): rotor bobinado e gaiola de esquilo.

Motores trifásicos síncronos: ímã

permanente, rotor bobinado e relutância.

Em nosso estudo, trataremos dos seguintes

tipos de motores:

a) Motores de corrente contínua de ímã

permanente, série, paralelo e misto.

b) Motores de corrente alternada monofásico

de repulsão, indução, partida capacitiva e polo partido.

c) Motor de corrente alternada trifásico rotor

gaiola de esquilo.

d) Motor monofásico universal.

Começaremos o estudo experimental com os

motores de corrente contínua.


31

31

Motor de ímã permanente: Neste motor, teremos

dois ímãs onde cada um apresentam uma superfície com um

polo norte e um polo sul. Fixando sobre este ímã uma

sapata polar (material ferromagnético), podemos criar um

campo norte e um campo sul mais intenso de acordo com

posicionamento destes ímãs.

É convencionado a utilização da cor azul para

identificar o polo sul e a cor vermelha para o polo norte.

Com isso teremos, de acordo com a figura mostrada, a

Exemplo 2 – Um campo magnético uniforme faz

um ângulo de 300 com o eixo de uma bobina circular de 300

espiras com 4 cm de raio. O campo está variando à razão de

85 T/s. Determine o módulo da tensão induzida na bobina.

Solução: Pela Lei de Faraday:

md

dtmaioria das linhas de campo saindo do polo

norte e chegando ao polo sul.

Referências

1. http://pt.wikipedia.org/wiki/Página_principal

Exemplos Resolvidos – Tipler

Exemplo 1 – Determinar o fluxo magnético

através de um solenóide de 40 cm de comprimento, 2.5 cm

de raio e 600 espiras, percorrido por uma corrente de 7.5A.

Solução: 2 20.025A r A

2

0m m

NN B A N I r

l

22

0m

NI r

l

27 2600

4 10 7.5 0.0250.4

m

21.66 10m Wb

Exemplo 2 – Um campo magnético uniforme faz

um ângulo de 300 com o eixo de uma bobina circular de 300

espiras com 4 cm de raio. O campo está variando à razão de

85 T/s. Determine o módulo da tensão induzida na bobina.


md

dt

cosm N B A

cos cosd dB

N B A N Adt dt

2300 0.04 cos30 85

111V

Exemplo 3 – Um campo magnético B

é

perpendicular ao plano do papel e uniforme em uma

região circular de raio R. Do lado de fora da região

circular é nulo. A taxa de variação de dB

dt.

Determine o módulo do campo elétrico induzido

(a) a uma distância r < R do centro da região

circular.

(b) a uma distância r > R onde B = 0.


(a)

m

C

dE dl

dt

2C

E dl E r

2md B Ad dB

rdt dt dt

22dB

E r rdt

2

;2 2

r dB r dBE E r R

r dt dt

(b) 2m

d B Ad dBR

dt dt dt

22dB

E r Rdt

2

;2

R dBE r R

r dt

B

B

http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%A1gina_principal


32

32

Exemplo 4 – Um campo magnético uniforme B

é

aplicado a uma bobiba de N espiras. A bobina está ligado a

um integrador de corrente ©, um dispositivo capaz de medir

a carga total que o atravessa. Determine a carga que

atravessa a bobina quando ela sofrer uma rotação de 180°

em torno de seu diâmetro.

Solução:

Q dQ Q Idt

IR

md

dt

md

dtQ dtR

1 1mm

dQ dt Q

R dt R

1f im mQ

R

1Q NBA NBA

R

2N B AQ

R

Exemplo 5 – Uma bobina de 80 espiras tem 5 cm

e sua resistência é de 30 . Qual deve ser a taxa de variação

de um campo perpendicular para que a corrente induzida na

espira seja 4.0 A ?

Solução: 2

m mN B A N B r

2

mBN r

2

1 mddB

dt N r dt

Pela Lei de Faraday:

md

dt

2

1dB

dt N r

2

1dBI R

dt N r

2

14 30

80 0.05

dB

dt

191dB T

dt s

Exemplo 6 – Uma bobina retangular de 80

espiras, 20 cm de largura e 30 cm de comprimento, é

submetida a um campo magnético B = 0.8 T dirigido

para dentro do papel, com apenas metade da bobina na

região em que existe campo magnético, que se extende

indefinidamente para a esquerda e direita. A resistência

da bobina é de 30 . Determinar o módulo, a direção e

o sentido da corrente induzida se a bobina está se

movendo com uma velocidade de 2 m/s

(a) para a direita;

(b) para cima;

(c) para baixo.

Solução: (a) I = 0 pois o fluxo não varia!

(b) 20m mN B A N B x

20md dxN B

dt dt

mdR I

dt

20md dxN B

dt dtI IR R


33

33

0.853I A

A corrente está no sentido anti-horário.

(c) A corrente será a mesma que em (b) porém no

sentido horário.

Exemplo 7 – No esquema da figura, faça B = 0.6 T

,v = 8m/s, l = 15 cm e R = 25 ; suponha que a resistência

da barra e dos trilhos possa ser desprezada. Determine:

(a) a tensão induzida no circuito;

(b) a corrente no circuito;

(c) a força necessária para fazer com que a barra se

desloque com velocidade constante.

(d) a potência dissipada no resistor.

Solução (a)

md dxN B l

dt dt

N B l v

1 0.6 0.15 8

0.72V

(b) 0.72

25I I

R

28.8I mA

(c) 0.0288 0.6 0.15F I B l F

2.59F mN

(d) 2 20.7P R I mW

Ou

20.7P F v mW

Exemplo 8 – Uma barra de massa m desliza sem

atrito sobre trilhos condutores em uma região onde existe

um campo magnético uniforme constante . No instante t =

0, a barra está se movendo com velocidade inicial v0 e a

força externa que agia sobre ela é removida. Determine a

velocidade da barra em função do tempo.

Solução

dvF m a F m

dt

F I B l

I IR R

B l v

B l vI

R

B l vF I B l F B l

R

2 2B l vF

R

2 2dv B l vm

dt R

2 2dv B ldt

v m R

0

2 2

0

v t

v

dv B ldt

v m R

2 2 2 2

0

0

ln ln lnB l v B l

v v t tm R v m R

2 2

0

B lt

m Rv t v e

Exemplo 9 – Determine a auto-indutância de

um solenóide de comprimento l = 10 cm, área 5 cm2 e

100 espiras.

Solução 2

0L n A l

2

7 41004 10 5 10 0.1

0.1L

56.28 10L H

Exemplo 10 – Uma certa região do espaço

contém um campo magnético de 200 G e um campo

elétrico de 2.5.106 N/C. Determine:

(a) a densidade de energia na região.

(b) a energia contida em uma caixa cúbica de lado

l = 12 cm.


34

34

Solução: Densidade de energia elétrica:

2

0

1

2eu E

212 61

8.85 10 2.5 102

eu

327.7e

Ju

m

Densidade de energia magnética: 2

0

1

2m

Bu

2

7

1 0.02

2 4 10mu

3159m

Ju

m

Densidade de energia:

e mu u u

27.7 159u

3187

Ju

m

Energia no interior da caixa: 3 3187 0.12U u V U u l U

0.323U J

Exemplo 11 – Uma bobina de auto-indutância 5.0

mH e resistência 15.0 é ligada aos terminais de uma

bateria de 12 V cuja resistência interna é despresível.

(a) Qual é a corrente final?

(b) Qual a corrente após 100 s?

Solução:

(a) ( ) 1t

fI t I e

Com L

R

0 12

15f fI I

R

0.8fI A

(b)

35 10333

15

Ls

R

100

333( 100 ) 0.8 1I t s e

( 100 ) 0.207I t s A

Exemplo 12 – Determine o calor total

produzido pelo resistor R da figura quando a corrente

no indutor diminui do valor inicial I0 até 0.

Solução:

2

0

( )dW

P dW P dt W R I t dtdt

0( )R

tLI t I e

2

0

0

Rt

LW R I e dt

2

2

0

0

Rt

LW R I e dt

2

2

0

0

2

tR

tL

t

eW R I

R

L

2

0 0 12

R LW I

R

2

0

2

L IW

Exemplo 13 – Determine o valor das correntes

I1, I2 e I3:

(a) imediatamente após a chave S ser fechada;

(b) um longo tempo após a chave S ser fechada.

Depois de permanecer fechada por um longo tempo, a

chave S é aberta. Determine as três correntes

(c) imediatamente a chave S ser aberta;

(d) um longo tempo após a chave S ser aberta.


35

35

Solução: (a) A corrente através do indutor é zero, antes da

chave ser fechada. Assim:

1 2 1 2

1505

10 20

VI I I I A

3 0I A

(b) depois de um longo tempo, a corrente se

estabiliza e o indutor atua como um curto circuito.

1 1 110

20 20eq

eq

RR

1 1

1507.5

10 10

VI I A

2 3 3.75I I A

(c) Quando a chave é reaberta, I1 deve ser 0 e a

corrente no indutor permanece I3 = 3.75A.

I2 = - I3 = -3.75A.

(d) Depois de um longo tempo que a chave é

aberta, as correntes são nulas

1 2 3 0I I I A

Exemplo 14 – Uma bobina de 250 voltas e 3 cm2

de área gira a 60 Hz sob um campo magnético uniforme de

0.4T. Qual a fem máxima produzida?

Solução:

md

dt

cosd

N B A tdt

N B A sen t

m N B A

2m N B A f

4250 0.4 3 10 2 60m

11.3m V

Exemplo 15 – Um resistor de 12Ω está conectado

a um gerador AC de pico 48 V. Encontre:

(a) A corrente rms.

(b) a potência média.

(c) a máxima potência.

Solução:

(a)

rmsrms

VI

R

4833.9411

2 2

p

rms rms rms

VV V V V

33.94

12rmsI

2.83rmsI A

(b) Potência média:2

av rmsP R I 212 2.83avP

96avP W

(c) Potência máxima:

2

max maxP R I

maxmax

VI

R

max max

484

12I I A

max 192P W

Exemplo 16 – Encontre:

(a) a corrente média Im.

(b) a corrente rms Irms. A função da corrente com o

tempo é dada por:

0( )t

I t IT

Solução:

(a)

0

1( )

T

m avI I I t dtT

0

0

1T

av

tI I dt

T T


36

36

2

0 0

2 2

0 02

t TT

av av

t

I I tI tdt I

T T

2

0

2 2av

I TI

T

0

2av

II

(b)

___2

rmsI I

___22

0

1( )

T

I I t dtT

2___2

0

0

1T

tI I dt

T T

2___2 20

3

0

TI

I t dtT

2 3___2 0

3

03

t T

t

I tI

T

2 3___2 0

3 3

I TI

T

2___2 0

3

II

2___2 0

3rms rms

II I I

0

3rms

II

Exemplo 17 – Um indutor de 40 mH é ligado a um

gerador AC que possui fem máxima de 120 V. Encontre a

reatância indutiva e a corrente máxima nas freqüências:

(a) f 1 = 60 Hz (b) f 2 = 2000 Hz.

Solução:

(a) 1 1LX L

1 12LX f L

1

32 60 40 10LX

115.1LX

1

1

maxmax

L

VI

X

1max

120

15.1I

1max 7.95I A

(b) 2 2LX L

2 22LX f L

2

32 2000 40 10LX

2503LX

2

2

maxmax

L

VI

X

2max

120

503I

2max 0.239I A

Exemplo 18 – Um capacitor de 20 µF é

colocado com um gerador de CA com tensão máxima

de 100V. Encontre a reatância capacitiva e a máxima

corrente quando a freqüência for de:

(a) f 1 = 60 Hz (b) f 2 = 2000 Hz.

Solução:

(a) 1

1

1CX

C

1

1

1

2CX

f C

1 6

1

2 60 20 10CX

1133CX

1

1

maxmax

C

VI

X

1max

100

133I

1max 0.752I A

(b) 2

2

1CX

C

2

2

1

2CX

f C

2 6

1

2 2000 20 10CX

21.59CX

2

2

maxmax

C

VI

X


37

37

2max

100

1.59I

2max 62.9I A

Exemplo 19 – Um capacitor de capacitância

eletrostática C = 20 µF é carregado a 20 V e colocado com

um indutor de indutância L = 6 µH.

(a) Qual é a freqüência de oscilação?

(b) Qual a máxima corrente?

Solução:

(a) 2

f

1

L C

1

2f

L C

6 6

1

2 6 10 20 10f

44.59 10f Hz

(b) max 0 max 0

1I Q I Q

L C

0 0Q C V

0max

C VI

L C 6

max6 6

20 10 20

6 10 20 10I

max 11.5I A

Exemplo 20 – Em um circuito RLC, R = 20 Ω, a

capacitância eletrostática C = 2 µF e a indutância do indutor

vale L = 2 H. O valor máximo da fem do gerador é max =

100V.

(a) Qual é a freqüência de ressonância f0?

(b) Qual o valor do fator Q?

(c) Encontre a largura de ressonância f.

(d) Qual o máximo valor de corrente na ressonância?

Solução:

(a) 2

f

1

L C

1

2f

L C

6

1

2 2 2 10f

79.6f Hz

(b)

0 LQ

R

2 f LQ

R

2 79.6 2

20Q

50Q

(c)

0 79.6

50

ff f

Q

1.59f Hz

(d)

maxmax

EI

R

max max

1005

20I I A

Exemplo 21 – Em um circuito RLC, R = 20 Ω,

a capacitância eletrostática C = 2 µF e a indutância do

indutor vale L = 2 H. O valor máximo da fem do

gerador é max = 100V e a freqüência do gerador é f =

60 Hz.

(a) Qual é a máxima corrente Imax?

(b) Qual o ângulo de fase ?

(c) O fator de potência.

(d) A potência média liberada?


38

38

Solução:

(a) maxmaxI

Z

22

R L cZ X X X 2

2 1Z R L

C

2

2 12

2Z R f L

f C

2

2

6

120 2 60 2

2 60 2 10Z

2220 754 1326Z

572Z

maxmaxI

Z

max max

1000.175

572I I A

(b) ângulo de fase:

L cX Xtg

R

754 1326

20tg

28.6tg

88

(c) Fator de potência:

cos 0.0349

(d) Potência média:

2

max

1

2avP R I

0.306avP W

max max

1cos

2avP I

0.305avP W

Exemplo 22 – Em um circuito RLC, R = 20 Ω,

a capacitância eletrostática C = 2 µF e a indutância do

indutor vale L = 2 H. O valor máximo da fem do

gerador é max = 100V e a freqüência do gerador é f =

60 Hz.

Encontre o valor máximo da voltagem no resistor,

do indutor e do capacitor na freqüência de ressonância.

Solução:

,R máx máxV R I

,L máx L máxV X I

0 02L LX L X f L

1000LX

, 5000L máxV V

,C máx C máxV X I

0 0

1 1

2C CX X

C f L

1000CX

, 5000C máxV V

Exemplo 23 – Um resistor R e um capacitor C

estão ligados em série com um gerador . A tensão do

gerador é dada por:

0 cosentV V t

Determine o valor rms da tensão entre os

terminais do capacitor, Vsai,rms em função da freqüência

angular .

Solução:

,sai rms C rmsV X I


39

39

,ent rms

rms

VI

Z

2 2

CZ R X

,

,

ent rms

sai rms C

VV X

Z

,

,2 2

ent rms

sai rms C

C

VV X

R X

1CX

C

,

,

2

2 2

1

1

ent rms

sai rms

VV

CR

C

0

,2 2 2

2 2

1 2

1sai rms

V

VC C R

C

0

,2 2 2

1 2

1sai rms

V

VC C R

C

0,

2 2 2

1

2 1sai rms

VV

C R

Observação: Esse circuito é denominado de filtro

RC passa baixas.

Exemplo 24 – Uma campainha de porta funciona

com 6V e consome corrente de 0.4A. A campainha é

alimentada por um transformador cujo rolamento está

ligado a uma rede elétrica de 120V AC.

(a) Quantas espiras tem o rolamento secundário do

transformador?

(b) Qual é a corrente no circuito primário?

Solução

2 2

1 1

6 1

120 20

N Vn

N V

12 2 2

2000100

20 20

NN N N

22 2 1 1 1 2

1

VV I V I I I

V

1

60.4

120I

1 0.02I A

Exemplo 25 – Uma linha de transmissão tem

uma resistência de 0.02 /km. Calcule a perda de

energia se uma potência de 200 kW for transmitida de

uma usina geradora para uma cidade situada a 10 km de

distância

(a) com uma tensão de 240V;

(b) com uma tensão de 4.4 kV.

Solução:

(a)

200833

240

P kWI I I A

V V

2 20.2 833P R I P

139P kW

(b)

20045.5

4.4

P kWI I I A

V kV

2 20.2 45.5P R I P

414P W

Observação: é vantajoso transportar a alta

tensão.

A Lei da Indução de Faraday Lei de Lenz B v B Lei de Lenz · B e v de aproximação. O sentido da...

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