A Razão Áurea

A História de FI, um

número surpreendente

O Livro

Autor: Mário Livio

Editora: Record

Idioma: Português

Nº de Páginas: 333

Edição: 2006

Preço: 48 reais

(www.livifusp.com.br)

Estrutura

9 capítulos

1: Prelúdio para um Número

2: O Tom e o Pentagrama

3: Sob uma Pirâmide que Aponta para a Estrela Y

4: O Segundo Tesouro

5: Filho da Boa Natureza

6: A Proporção Divina

7: Pintores e Poetas têm a Mesma Licença

8: Dos Ladrilhos aos Céus

9: Será que Deus é um Matemático?

O Número FI

Existem diversas

definições matemáticas

para FI, ao lado as

mais conhecidas.

A seguir uma

aproximação um pouco

melhor para FI.

Uma Aproximação Melhor

1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576

2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374

8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766

7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788

0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963

1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364

8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221

2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788

3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053

1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710

1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834

7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764

8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115

8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131

7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596

FI na Geometria

A razão entre (a+b) e a é a mesma

encontrada entre a e b.

O Retângulo Áureo

Chamamos de

retângulo áureo

aqueles onde a razão

entre os dois lados

diferentes é FI.

No exemplo temos que

A/B = FI.

Construindo o Retângulo Áureo

O Pentagrama e a Razão Áurea

No pentagrama

encontramos a razão

áurea entre diversos

segmentos, um deles

está exemplificado ao

lado.

Filho da boa Natureza

“Os nove números indianos são: 987654321.

Com esses números e com o signo 0, qualquer

número pode ser escrito, como está

demonstrado abaixo”

Leonardo de Pisa (1170-1240)

Todos os pensamentos de um coelho são coelhos

Um homem pos um par de coelhos num lugar

cercado por todos os lados por um muro.

Quantos pares de coelhos podem ser

gerados a partir deste par em um ano se,

supostamente, todo mês cada par dá a luz a

um novo par, que é fértil a partir do segundo

mês?

COELHOS

A seqüência de Fibonacci

Definimos a Seqüência de Fibonacci como descrito

a seguir. (um termo qualquer da seqüência é

atingido somando-se os dois termos anteriores)

Fibonaccis Áureos

1

1 1,00000000000000

2 2,00000000000000

3 1,50000000000000

5 1,66666666666667

8 1,60000000000000

13 1,62500000000000

21 1,61538461538462

34 1,61904761904762

55 1,61764705882353

89 1,61818181818182

144 1,61797752808989

233 1,61805555555556

377 1,61802575107296

610 1,61803713527851

987 1,61803278688525

1597 1,61803444782168

2584 1,61803381340013

4181 1,61803405572755

6765 1,61803396316671

10946 1,61803399852180

17711 1,61803398501736

28657 1,61803399017560

46368 1,61803398820532

Fibonaccis Áureos

Fibonacci e a Razão Áurea

Fibonacci e o Retângulo Áureo

1/89

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

SOMA = 1/89

Aplicações de FI

Podemos encontrar a razão áurea em

diversas áreas das nossas vidas, em geral

relacionamos essa razão a beleza e

equilíbrio.

A seguir mostraremos a razão áurea, em

particular o retângulo áureo, sendo aplicada

na arquitetura, pintura e escultura do mundo

clássico e do atual.

O FI na Arquitetura (Grécia)

Os gregos já

usavam o

retângulo áureo

em suas

construções mais

importantes, o

Partenon é um

exemplo claro

disso.

O FI na Arquitetura (Egito)

Encontramos a razão áurea nas pirâmides do Egito.

O FI na Arquitetura (Paris)

Encontramos a razão áurea em

diversas proporções da igreja de

Notre-Dame, em Paris.

O FI na Arquitetura (New York)

Encontramos o retângulo áureo no prédio da ONU, em Nova

Iorque.

O FI na Arquitetura (Canadá)

No Canadá

encontramos o FI na

torre CN, em Toronto.

O FI em Pinturas Clássicas

Leonardo da Vinci, assim como muitos

outros artistas Clássicos, usou vastamente a

razão áurea em suas obras.

A seguir veremos alguns exemplos da razão

áurea sendo usada em obras por diversos

artistas.

No famoso

quadro Mona

Lisa, de Leonardo

da Vinci, o

retângulo áureo

aparece diversas

vezes.

Note que as

proporções do

próprio quadro

seguem a razão

áurea nesse caso.

Neste quadro, também de Da Vinci, podemos usar o retângulo áureo para

enquadrar a mulher ou anjo, colocando-o para a esquerda da pintura ou para a

direita. O que sobra é um quadrado.

A belíssima Vênus, ou Afrodite, deusa da beleza em um quadro que retrata o mito

de seu nascimento. Repare que suas proporções seguem aquelas do retângulo

áureo nessa pintura de Bouguereau.

Aqui estão apenas alguns exemplos de onde encontramos o retângulo áureo

nessa pintura.

Outros exemplos:

Pintura de Raphael, onde

encontramos o pentágono e

suas razões áureas.

O FI na Fotografia

Uma famosa técnica de fotografia é colocar o foco da foto em um ponto que é encontrado usando a razão áurea, como ilustrado ao lado.

A seguir algumas fotos que usam esse principio.

O FI no Design Tecnológico

Podemos encontrar diversos exemplos do FI sendo usado para fazer o design de objetos tecnológicos.

Exemplos disso são os nossos cartões de crédito, carteirinha USP, bilhete único e cartões de seguro saúde.

A seguir veremos mais alguns exemplos da razão de ouro sendo usada em design tecnológico.

O FI na Natureza

Encontramos o FI em diversos lugares da

natureza, nos animais, nas plantas e até

mesmo em nossos corpos.

A seguir mostraremos diversos exemplos

que podem ser encontrados na natureza.

O retângulo de ouro pode ser encontrado na concha do Nautilus, veja o

esquema abaixo, que mostra o espiral da concha limitado pelo retângulo

áureo. Também encontramos a espiral no rabo do camaleão.

Outras conchas:

O corpo de diversos animais também apresenta a razão áurea:

O abacaxi também esconde a

razão áurea no número de

segmentos seguindo cada uma

de espirais, atenção na animação

ao lado.

34/21 = 1.690476

O FI no Corpo Humano

O corpo humano apresenta inúmeras

proporções muito próximas da razão áurea.

Em geral consideramos bonitas as pessoas

com esse tipo de proporção, a seguir

faremos um pequeno estudo dessas

pessoas.

Os dentes e a Razão Áurea

Na foto abaixo podemos ver que a razão áurea aparece nesse lindo sorriso. A beleza desse sorriso está em parte associada a essa razão, cor, contraste e tamanho também são considerados, é claro.

Mais

alguns

exemplos

O Rosto Humano

A seguir veremos algumas proporções áureas encontradas no rosto humano.

Inicialmente mostraremos alguns casos soltos, e depois faremos uma análise mais cuidadosa de 4 casos diferentes, escolhidos completamente ao acaso, duas mulheres e dois homens.

Jennifer Aniston

Angelina Jolie

Eis um exemplar

ideal da espécie...

Se perguntando

qual a razão disso?

Entende?

Quer ver

outro?

Eis outro exemplar magnífico da

espécie, já sabe porque?

Essa é a razão..

Entende?

A razão!

Curiosidades sobre o Fi

Sabia que a proporção

de abelhas fêmeas e

zangões em uma

colméia é muito

próxima de FI?

A figura ao lado passa

uma idéia do porque

disso.

Uma ampliação do

esquema das abelhas..

O FI na Bíblia

A arca de Noé é descrita na bíblia como um colóide

de 300 cúbitos por 50 cúbitos por 30 cúbitos

(comprimento, largura e altura da arca). Então sua

frente é um cubo de 50x30, aproximadamente FI.

Outra arca bíblica apresenta a razão FI, a arca da

aliança, que guardaria as tábuas dos dez

mandamentos é descrita na bíblia como uma arca

de 2.5 x 1.5 x 1.5 (em cúbitos). Logo percebemos

que sua base e sua frente são retângulos áureos.

O Lado Mau de FI

Encontra-se também o número FI a partir do

número da besta (mais uma referência

bíblica).

O número da besta é 666.

sen(666) = -0.809016994...

Note que isso é metade do FI negativo:

sen(666)*(-2)=1.61803...

A Lei de Benford

A Lei de Benford cita que a

probabilidade de algum digito ser o

primeiro de um número em dados da

vida real (como a primeira página de

um jornal) segue uma regra.

Em essência a regra pode ser definida

como a tabela ao lado.

Você consegue encontrar FI nesses

dados?

d p

1 30.1%

2 17.6%

3 12.5%

4 9.7%

5 7.9%

6 6.7%

7 5.8%

8 5.1%

9 4.6%

O FI na Música

O tempo de uma música pode ser visto como uma razão, por exemplo a razão entre os tempos de batidas de bumbo e caixa de uma bateria por exemplo.

Em algumas de suas sinfonias Ludwig Van (Beethoven para os íntimos) usou a razão áurea na marcação do tempo. Encontramos a razão em sua quinta e nona sinfonias.

Max Roach, baterista de Jazz também usou FI em alguns de seus solos.