a. Sistema de primeira ordem;

b. gráfico do pólo

plano s

Resposta de um sistema de primeira ordem a um

degrau unitário

Inclinação inicialConstante de tempo

63% do valor final parat = uma constante de tempo

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,9

1,0

DEFINIÇÕES• Constante de Tempo para um sistema de

primeira ordem é o tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 63% de seu valor final;

• Tempo de Subida para um sistema de primeira ordem é o tempo necessário para que a resposta ao degrau varie de 10% até 90% de seu valor final

aTr

2,2

aTc

1

DEFINIÇÕES

• Tempo de Estabilização para um sistema de primeira ordem é o tempo necessário para o que a resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado estacionário da resposta

aTs

4

EXEMPLO: Resultados de

laboratório de um ensaio com

resposta de um sistema ao

degrau. Encontre a Função de

Transferência deste sistema

Tempo (s)

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,45

0,13

0,72

Exemplo

• A resposta ao degrau mostrada no gráfico anterior foi traçada para:

7

5

s

sG

EXEMPLO

• Calcule o Valor Final, Constante de Tempo, o Tempo de Estabilização e o Tempo de Subida para o sistema de primeira ordem mostrado abaixo quando o mesmo é submetido a uma entrada degrau unitário:

50

50)(

s

sG

EXEMPLO

aTc

1

aTr

2,2

aTs

4

150

50lim

50

50limlim

000

sss sssssGc

02,050

11

aTc

044,050

2,2rT

08,050

44

aTs

Resposta no Domínio do Tempo:

Sistemas de segunda ordem:• Resposta Superamortecida;• Resposta Subamortecida;• Resposta sem Amortecimento;• Resposta Criticamente Amortecida; • Frequência Natural; • Relação de Amortecimento;

Sistemas de Segunda Ordem

bass

bsG

2

Encontre a resposta ao degrau para os quatro sistemas de segunda ordem

mostrados abaixo:

99

92

ss

sG

92

92

ss

sG

9

92

s

sG

96

92

ss

sG

Generalizando um sistema de Segunda Ordem

• Frequência Natural do Sistema

• Relação de Amortecimento do Sistema

22

2

2 nn

n

sssG

n

Definição da Relação de Amortecimento -

• Relação entre a “frequência exponencial de decaimento” e a “frequência natural não amortecida do sistema”:

• Para um sistema sem amortecimento os pólos estão no eixo imaginário e portanto na expressão acima

bass

bsG

2

0a

n

Definição da Relação de Amortecimento -

• Portanto os pólos valem:

• Logo:

• Para o sistema amortecido as raízes valem:

bjs 2,1

2n

n

b

b

2

42

1

22

2,1

a

abaa

s

Definição da Relação de Amortecimento -

• Temos então:

22

2

2

2

2

nn

n

n

n

n

sssG

a

a

Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento

Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

• Tempo de Subida: tempo para a resposta variar de 10% até 90% do seu valor final;

• Tempo de Estabilização: tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado estacionário;

Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

• Tempo de Pico: tempo necessário para que a resposta alcance seu valor máximo;

• Ultrapassagem Percentual (Sobrenível Percentual): O quanto o valor da resposta (em Percentual) ultrapassa no tempo de pico o valor de estado estacionário da resposta.

Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida

máx

1,02

0,98

0,9 cfinal

0,10,1 cfinal

Tempo de Pico

tsenedt

tdc

sssC

sssC

ssssC

dt

tdc

ntn

nn

nn

nn

n

nn

n

n 2

2

222

2

2

222

2

22

2

11

1

1

1

1

2

Tempo de Pico

2

2

2

2

2

2

1

11

...2,1,0;1

01

011

n

p

p

n

n

n

ntn

T

nparaocorreTn

t

nnt

tsen

tsenedt

tdcn

Percentual de Ultrapassagem (Sobrenível Percentual)

%100%

1

1cos1

11

111cos1

:1

11

1cos1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

22

21

2

2

2

2

xeUP

etc

senetc

senetc

temosTpicodetempoaoigualtpara

tsentetc

n

n

n

n

n

p

nnt

n

n

n

Tempo de Estabilização

ns

ns

n

t

t

nt

T

T

t

e

e

tetc

n

n

n

4

7,4102,0ln9,0;92,3102,0ln1,0

102,0ln

102,0ln

102,0

02,01

1

1cos1

11

22

2

2

2

2

2

2

%100%21 XeUP

100/%ln

100/%ln22 UP

UP

21

n

pTn

sT 4

Ultrapassagem percentual em

função da relação de amortecimento

Relação de amortecimento,

Ult

rapa

ssag

em p

erce

ntua

l,%U

P

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Tempo de subida normalizado

versus relação de amortecimento

para uma resposta de

segunda ordem subamortecida

Relação de amortecimento

Tem

po d

e su

bida

× F

reqü

ênci

a na

tura

l

3,0

2,8

2,6

2,4

2,2

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,90,80,70,60,50,40,30,20,1 1,104

1,2031,3211,4631,6381,8542,1262,4672,883

Tempo de subida

normalizado

Coeficiente de

amortecimento

Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da relação de

amortecimento

0,11,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,2

0,40,5

0,80,6

Exemplo

• Encontre para uma entrada degrau para o sistema abaixo

sp TeUPT %,

10015

1002

ss

sG

plano s

2

22 1

cos

nn

n

RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE RESPOSTA AO DEGRAU E A POSIÇÃO DOS PÓLOS DE G(S) NO PLANO “s”

AMORTECIDA

NATURALFREQUÊNCIAd

AMORTECIDA

LEXPONENCIAFREQUÊNCIAd

dn

pT

21

dnsT

44

AMORTECIDALEXPONENCIAFREQUÊNCIA

AMORTECIDAOSCILAÇÃODEFREQUÊNCIA

d

d

Linhas de valores constantes para tempo de pico, Tp, tempo de assentamento, Ts, e ultrapassagem percentual, %UP - Nota: %UP1 < %UP2

2

22 1

cos

nn

n

dn

pT

21

plano s

%UP1

%UP2

dnsT

44

Respostas ao degrau de sistemas de segunda

ordem subamortecidos à medida que os pólos

se movem:a. com parte real

constante;b. com parte imaginária

constante;c. com relação de amortecimento

constante.

A mesma envoltória

A mesma freqüência

A mesma ultrapassagem

plano s

plano s

plano s

Movimentaçãodo pólo

Movimentaçãodo pólo

Movimentaçãodo pólo

Exemplo:Encontre

plano s

spn TUPT ,,%,,

%100%21 xeUP

100/%ln

100/%ln22 UP

UP

21

n

pTn

sT 4

Resposta de Sistemas com três pólos

rdn

dn

s

D

s

CsB

s

AsC

22

tdd

t rn DetCsentBeAtc cos

Influência de Terceiro Pólo em um sistema de Segunda Ordem

• Quanto menor a Constante de Tempo do pólo menor sua influência na resposta

• Quanto mais a esquerda do plano “s” estiver o pólo menor será o resíduo associado a este pólo (ver exemplo a seguir)

Influência do Resíduo do Terceiro Pólo

000045,0,0067,0,135,0

0024,0....)10(22

2

024,0....)5(22

2

5,0....)2(22

2

1052

102

52

22

eee

etcssss

sC

etcssss

sC

etcssss

sC

t

t

t

Validade de aproximação de Segunda Ordem

• Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três (ou mais) pólos pode ser aproximado por um Sistema de Segunda Ordem se os pólos adicionais estiverem a esquerda dos pólos dominantes, pelo menos cinco vezes mais distantes.

EXEMPLO•

• -2.0000 + 4.5323i• -2.0000 - 4.5323i

3542,244

626,73

10542,244

42,245

542,244

542,24

23

22

21

sssssC

sssssC

ssssC

Respostas ao degrau dos

sistemas T1(s), T2(s) e T3(s)

Tempo (s)

Res

post

a no

rmal

izad

a

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4