A Teoria de Renormalização No Cálculo Dos Potenciais Escalar Elétrico e...

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  • Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Marco, 2000 83

    A Teoria de Renormalizac~ao no Calculo

    dos Potenciais Escalar Eletrico e Vetorial Magnetico

    (Renormalization theory in the electrostatic and vector potential calculation)

    Wesley Spalenza e Jose Alexandre Nogueiras

    Departamento de Fsica, Centro de Cie^ncias Exatas,

    Universidade Federal do Espirito Santo,

    29.060-900 - Vitoria-ES - Brasil,

    E-mail:[email protected]

    Recebido em 14 de junho, 1999

    Neste trabalho tentamos mostrar de uma maneira clara e simples as ideias fundamentais da Teoria

    de Renormalizac~ao. Neste intuito usamos dois problemas bem conhecidos dos alunos de graduac~ao

    de Cie^ncias Exatas, os calculos do potencial eletrico escalar e magnetico vetorial de um o innito

    de carga e corrente eletrica, respectivamente. Diferentes metodos de regularizac~ao (por corte,

    dimensional e func~ao zeta) s~ao usados e o aparecimento do para^metro de escala e discutido.

    In this work we attempt to show, in a clear and simple manner, the fundamental ideas of the Re-

    normalization Theory. For this purpose, we use two well-known problems of Physics undergraduate

    students, the calculation of the electrostatic and vector potential of a innite line charge density

    and current, respectively. We still employ dierent regularization methods (cut-o, dimensional

    and zeta function) and the existence of the scale parameter is discussed.

    I Introduc~ao

    Nos dias atuais a Teoria Qua^ntica de Campos e larga-

    mente empregada em diversas areas da fsica, tais como,

    Fsica de Altas Energias, Meca^nica Estatstica, Materia

    Condensada, etc. Como a Teoria Qua^ntica de Campos

    lida fundamentalmente de aspectos perturbativos, ela

    sofre de graves problemas de diverge^ncias. O trata-

    mento destas diverge^ncias te^m sido um enorme desao

    para os fsicos. A natureza matematica do problema

    e bem conhecida. Diverge^ncias ocorrem nos calculos

    perturbativos porque duas distribuic~oes n~ao podem ser

    multiplicadas em um mesmo ponto. Varios metodos

    tem sido propostos para solucionar este problema. En-

    tretanto somente e possvel eliminar estes innitos de

    uma maneira fsica e consistente para absorve^-los nos

    para^metros livres da teoria (massa e constante de aco-

    plamento).

    O procedimento usual para sanar o problema das

    diverge^ncias e empregar um metodo de regularizac~ao

    (por corte, dimensional, zeta, etc.), tornando a teoria

    nita atraves do uso de um regulador (para^metro de

    regularizac~ao) a m de isolar as diverge^ncias e, ent~ao,

    restabelecer a teoria original com a eliminac~ao do regu-

    lador usando uma prescric~ao de renormalizac~ao, sub-

    trac~ao dos polos ou adic~ao de contra-termos.

    De maneira geral o entendimento do procedimento

    de renormalizac~ao empregado ca prejudicado devido

    a complexidade da Teoria Qua^ntica de Campos. A m

    de contornar esta diculdade, vamos tratar aqui de dois

    problemas simples e bem conhecidos por qualquer aluno

    de graduac~ao em Fsica e possivelmente dos demais cur-

    sos da area de Cie^ncias Exatas.

    Os problemas aos quais nos referimos e o da deter-

    minac~ao do potencial escalar eletrico e do potencial ve-

    tor magnetico de um o innito de carga e de corrente,

    respectivamente. Tais problemas, de um modo geral,

    parecem ambguos para os alunos, pois escondido neles

    existe um procedimento de renormalizac~ao, como apon-

    tou Hans em seu artigo [1]. Uma maneira encontrada

    para se evitar diretamente as diverge^ncias nos calculos

    dos potenciais, e primeiramente determinar os campos

    eletrico e magnetico e em seguida calcular os potenciais

    eletrico escalar e magnetico vetorial do o innito.

    O artigo esta organizado com segue. Na sec~ao II

    tratamos do calculo do potencial eletrico de um o in-

    nito com densidade linear de carga e do potencial

    magnetico de um o innito de corrente constante, que

  • 84 Wesley Spalenza e Jose Alexandre Nogueiras

    nos conduzira a uma integral divergente. Nas sec~oes

    III, IV e V nos regularizamos a integral divergente ob-

    tida na sec~ao anterior usando os metodos, por corte [3],

    dimensional [4] e func~ao zeta [5] respectivamente. Na

    sec~ao VI usando as prescric~oes de renormalizac~ao, de-

    terminamos os potenciais renormalizados, discutimos o

    para^metro de escala e apresentamos as ideias basicas da

    teoria de Renormalizac~ao em Teoria Qua^ntica de Cam-

    pos.

    II Potencial Escalar Eletrico e

    Potencial Vetor Magnetico

    O potencial eletrico (~r) gerado por um o innito

    com densidade linear de carga em um ponto qualquer

    do espaco exceto no o e dado por [2-3]

    (~r) =

    4"

    0

    Z

    1

    1

    dz

    p

    z

    2

    +

    2

    ; (1)

    onde temos colocado o o sobre o eixo z e e a dista^ncia

    do ponto ao o, coordenada radial cilndrica.

    O potencial magnetico

    ~

    A(~r) produzido por um o

    innito de corrente eletrica constante i, e dado por [3]

    ~

    A(~r) =

    0

    i

    4

    Z

    1

    1

    dz

    p

    z

    2

    +

    2

    ^

    k; (2)

    onde temos usando a mesma geometria anterior.

    Uma analise dimensional da integral

    I =

    Z

    1

    1

    dz

    p

    z

    2

    +

    2

    ; (3)

    que aparece nas equac~oes dos potenciais, mostra que

    ela e dimensional e portanto sofre de uma diverge^ncia

    logartmica.

    Assim, vemos que para estes dois problemas simples

    devemos empregar um procedimento de renormalizac~ao

    a m de obtermos os potenciais renormalizados, isto e,

    \observados" (a difere^nca de potencial entre dois pon-

    tos, pois ele e uma grandeza relativa e n~ao absoluta).

    A m de tornar a teoria nita e assim manuseavel,

    devemos empregar um metodo de regularizac~ao. Isto

    vai nos permitir separar a parte nita da divergente.

    Porem, a teoria ca dependente de um para^metro de

    regularizac~ao e uma prescric~ao de renormalizac~ao de-

    vera ser empregada para restabelecermos a teoria origi-

    nal. Vamos utilizar diferentes metodos de regularizac~ao

    e mostrar que, embora cada um forneca um resultado

    diferente, a teoria nal, isto e, renormalizada (fsica) e

    independente do metodo de regularizac~ao usado.

    III Regularizac~ao por Corte

    Esse metodo de regularizac~ao se baseia no emprego

    de um corte nos limites da integral, isto e, trocamos o

    limite innito por um valor nito (para^metro regula-

    rizador).

    Com a inclus~ao do corte tornamos a teoria nita,

    porem dependente de . Portanto, para restabelecer-

    mos a teoria original, devemos ao nal tomar o limite

    com tendendo a innito.

    Na integral da eq.(3) vamos introduzir um corte

    I

    =

    Z

    0

    dz

    p

    z

    2

    +

    2

    : (4)

    Uma vez que tomaremos o limite, e conveniente ob-

    termos o resultado da integral da eq.(4) em pote^ncias de

    e de

    1

    de forma a permitir a separac~ao do(s) polo(s)

    da parte nita. Vamos dividir a integral da eq.(4) em

    duas partes

    I

    =

    Z

    0

    dz

    q

    z

    2

    2

    + 1

    +

    Z

    dz

    z

    q

    2

    z

    2

    + 1

    ; (5)

    para considerarmos os casos em que z < e z > .

    Realizando as expans~oes em serie de Taylor dos inte-

    grandos da eq. (5) e depois integrando termo a termo

    obtemos

    I

    = C + ln

    +O

    1

    2

    ; (6)

    onde C e uma constante.

    Podemos observar que quando tentamos restabele-

    cer a teoria original, ou seja, tomamos o limite de

    tendendo a innito, presenciamos uma diverge^ncia lo-

    gartmica, como ja esperavamos.

    IV Regularizac~ao Dimensional

    Este metodo de regularizac~ao consiste em modi-

    car a dimens~ao da integral atraves de uma continuac~ao

    analtica de forma a torna-la nita. Consegue-se isto

    trocando a dimens~ao do diferenciando por uma outra

    complexa, atraves da inclus~ao de um para^metro regu-

    larizador complexo, !

    I(; !) =

    Z

    1

    1

    d

    1!

    z

    p

    z

    2

    +

    2

    : (7)

    A integral (7) agora e nita e pode ser realizada

    usando a relac~ao [4]

    Z

    1

    1

    k

    2

    + a

    2

    d

    m

    k =

    m

    2

    ,(

    m

    2

    )

    ,()

    a

    2

    m

    2

    ; (8)

  • Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 1, Marco, 2000 85

    obtendo

    I(; !) =

    !

    2

    ,

    !

    2

    ()

    !

    : (9)

    Para separarmos a parte nita da diverge^nte quando

    ! vai a zero, vamos fazer uma expans~ao em pote^ncias de

    ! da eq.(9), para isto usamos para j!j 1 as seguintes

    relac~oes

    ,

    !

    2

    =

    2

    !

    + O(!); (10)

    e

    !

    = 1

    !

    2

    ln(

    2

    ) +O(!

    2

    ); (11)

    onde e o numero de Euler. Ent~ao temos

    I(; !) =

    !

    2

    2

    !

    ln

    2

    2

    +O(!)

    ; (12)

    onde temos includo um para^metro de escala com di-

    mens~ao de comprimento, a m de tornar o argumento

    do logartmo adimensional.

    V Regularizac~ao por Func~ao

    Zeta

    A func~ao zeta generalizada associada a um operador

    M e denida como

    M

    (s) =

    X

    i

    s

    i

    ; (13)

    onde