A utilidade do cálculo diferencial/integral na construção ... · Postulamos que, uma grande...

A utilidade do cálculo diferencial/integral na construção e estudo de

modelos em contexto escolar

Catarina Lucas1, Josep Gascón2, Cecilio Fonseca3, José Casas4 1Instituto Politécnico do Porto (ESE-IPP, ESTSP-IPP), [email protected]

2Universitat Autònoma de Barcelona, [email protected] 3Universidad de Vigo, [email protected] 4Universidad de Vigo, [email protected]

Resumo. Este trabalho foi desenvolvido segundo a teoria antropológica do didático (TAD) e apresenta uma proposta de uma razão de ser distinta da razão habitualmente atribuída ao estudo do cálculo diferencial e integral no âmbito de atividades de modelação funcional no início do ensino universitário português. Tal proposta foi materializada mediante a construção de um modelo epistemológico de referência que utiliza a modelação como um instrumento para articular e dar sentido ao estudo do cálculo diferencial e integral (com funções de uma única variável). Este modelo serviu de base para desenhar e experimentar diferentes percursos de estudo e investigação com estudantes do primeiro ano da licenciatura de Medicina Nuclear. Palavras-chave: modelo epistemológico de referência; modelação; cálculo diferencial e integral; teoria antropológica do didático (TAD). Abstract. This work was carried out according to the anthropological theory of the didactic (ATD) and presents a proposal for a different reason from the reason usually given to the study of differential and integral calculus in the context of functional modelling activities at the beginning of the Portuguese university. This proposal was materialized through the construction of a reference epistemological model that uses modelling as a tool to articulate and give meaning to the study of differential and integral calculus (with functions of a single variable). This model was the basis for design and experiment several study and research paths with students in the first year of the degree of Nuclear Medicine.

A Teoria Antropológica do Didático

Situamo-nos no marco da Teoria Antropológica do Didático (TAD) que foi iniciada

pelo investigador francês Yves Chevallard nos anos 80 do século XX. Nesta teoria o

objeto primário de investigação reside na análise da atividade matemática escolar com

as suas relações humanas enquadradas numa determinada instituição1 ou instituições.

Assim, em vez de formular os problemas didáticos em termos do que fazer para que

uma determinada noção, atividade ou problemática possa ser ensinada ou assimilada de

forma mais eficaz, e de procurar estratégias para superar as dificuldades que surgem no

processo de ensino-aprendizagem, a TAD investiga:

Martinho, M. H., Tomas Ferreira, R. A., Vale, I., & Guimaraes, H. (Eds.) (2016).Atas Provisorias do XXVII Sem. Investigacao em Educacao Matematica. Porto: APM, pp. 37–50

• As condições que permitem, facilitam ou favorecem o desenvolvimento de determinadas atividades didático-matemáticas numa dada instituição;

• As restrições que dificultam, entorpeçam ou, inclusivamente, impedem que se pratique essas atividades.

Por outras palavras, com a TAD pretendemos descobrir quais são os obstáculos ou

imposições (como, por exemplo: o tempo de aula, o número de alunos ou a extensão

dos programas, a estrutura e dinâmica da matemática escolar) que teremos que

ultrapassar para fazer viver as atividades didáticas numa determinada instituição. Este

tipo de pesquisa e reflexão a priori poderá permitir que o trabalho árduo da construção

sucessiva de novas, criativas, motivadoras e cativantes atividades didático-matemáticas

seja útil, possível e realizável em sala de aula e que não seja apenas um trabalho

utópico.

Em termos gerais, podemos afirmar que em qualquer problema didático intervêm, pelo

menos, três componentes fundamentais:

1. Uma instituição didática onde se formula o problema em questão (por exemplo: o sistema de ensino universitário);

2. Um conteúdo matemático específico (por exemplo: a atividade matemática relativa ao estudo do cálculo diferencial elementar);

3. Uma organização didática do processo de estudo relativo ao conteúdo matemático (que deverá materializar-se num conjunto de dispositivos didáticos e de gestos de estudo).

“Lo didáctico deja de ser exclusivo del proceso de enseñanza-aprendizaje para referirse a cualquiera de los aspectos del proceso de estudio. La didáctica de las matemáticas se convierte, en definitiva, en la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemáticas.” (Chevallard, Bosch & Gascón, 1997, p.76).

Nos últimos anos têm surgido diversas investigações, teses e projetos desenvolvidos no

âmbito desta teoria, em particular, salientamos as teses mais recentes de Barquero

(2009), de Ruiz-Munzón (2010) e de Serrano (2013) por terem uma íntima relação com

a investigação que se desenvolve neste estudo.

A noção de praxeologia matemática

Com o objetivo de modelar a atividade matemática, em meados dos anos 90, Chevallard

introduziu a noção de praxeologia ou organização matemática (PM ou OM) que

atualmente representa um dos pontos-chave da Teoria Antropológica do Didático

(Chevallard, 1996, 1999, 2002a e 2002b). Uma praxeologia (praxis+logos) permite

considerar em simultâneo e, atribuindo-lhes uma importância equivalente, tanto a

38 XXVII SIEM - Vers~ao Provisoria

dimensão teórica como a dimensão prática do saber. Assim, considera-se a praxeologia

como a unidade mínima que pode descrever a atividade matemática traduzida em duas

vertentes que devem coexistir de forma indissociável e articulável:

• A praxis (a prática ou o “saber fazer”) engloba as tarefas propostas e as técnicas utilizadas para as resolver;

• O logos (a teoria ou o “saber”) envolve os discursos que descrevem, explicam e justificam as técnicas usadas. Esses discursos designam-se por tecnologias que, por sua vez, são descritas e justificadas pelas teorias.

Resumindo, uma praxeologia é um sistema formado por quatro componentes, divididas

em dois blocos, como sugere a tabela seguinte:

Tabela 1. Componentes de uma praxeologia ou organização matemática

Componentes Bloco

Tarefa Prático-técnico Saber fazer

Técnica

Tecnologia Tecnológico-teórico Saber

Teoria

Habitualmente uma instituição reconhece apenas, em relação a um certo tipo de tarefa,

uma técnica privilegiada, e exclui outras técnicas alternativas que podem existir noutras

instituições. Em contrapartida, uma técnica deverá surgir, numa determinada instituição,

como um procedimento percetível e cuja utilidade esteja bem justificada por alguma

tecnologia. Ou seja, se a presença de uma técnica não for realmente imprescindível

numa instituição, então não fará qualquer sentido a sua existência ou permanência na

mesma.

Uma tecnologia associada a uma técnica deverá ser constituída pelas proposições que

descrevem o seu alcance, a sua relação com as outras técnicas, as possíveis

generalizações e as causas das suas limitações que conduzem um processo de criação de

novas técnicas. O que significa que uma tecnologia deverá ser a resposta a um amplo

conjunto de questões relativas à funcionalidade e eficácia de uma técnica. Para justificar

a utilização dessas mesmas tecnologias, que permitem mostrar a razão de ser de uma

certa técnica numa instituição, teremos de recorrer à designada teoria. Assim sendo,

defendemos que é essencial a existência desta ligação entre as quatro componentes de

uma praxeologia matemática, para que o bloco prático-técnico não viva isolado do


bloco tecnológico-teórico ou do “discurso racional” que possa mostrar a pertinência de

trabalhar com um certo tipo de tarefas.

O fenómeno didático da rigidez e atomização das praxeologias matemáticas Postulamos que, uma grande parte das praxeologias matemáticas (PM) que são

habitualmente estudadas no ensino secundário e universitário perdeu a sua razão de ser

(ou seja, desapareceram dessa instituição escolar as questões às quais ditas PM

poderiam vir a dar resposta) e, consequentemente, o seu estudo na citada instituição

deixou de fazer sentido. Mais recentemente, têm emergido investigações, apoiadas na

TAD, cujo principal objetivo reside em criar possíveis razões de ser das PM, de tal

forma que seja exequível responder a certas questões, como por exemplo: Que razões

históricas motivaram a construção de uma determinada PM? Que problemas a PM vem

resolver que as PMs estudadas anteriormente não permitiam?

Como possível resposta ao problema de desarticulação, Gascón (2004) propôs a

integração das razões de ser das praxeologias matemáticas nos programas oficiais sob a

forma de questões geratrizes do processo de estudo das PMs, em vez de surgirem como

meros elementos decorativos.

A tese de Fonseca (2004) revela a atomização das organizações matemáticas e a rigidez

no tipo de tarefas e técnicas que os estudantes utilizam no sistema de ensino espanhol,

mostrando a ausência escolar do questionamento tecnológico das técnicas matemáticas,

ou seja, a ausência institucional de uma análise do custo, da fiabilidade e do domínio de

validade das diferentes técnicas úteis para executar uma tarefa, que poderia permitir

flexibilizar a atividade matemática escolar (Fonseca, 2004; Bosch, Fonseca & Gascón,

2004).

Alguns anos mais tarde, em 2010, e com a finalidade de avaliar a rigidez e a atomização

das praxeologias matemáticas escolares no ensino secundário e universitário ibérico

foram definidas conjeturas à luz da Teoria Antropológica do Didático (TAD) e estudada

empiricamente a veracidade dessas hipóteses nos sistemas educativos português e

espanhol. Esse estudo empírico consistiu na aplicação de um questionário constituído

quer por tarefas habituais, quer por tarefas menos usuais às duas amostras de estudantes.

A análise e a avaliação dos resultados permitiram concluir, por um lado, que existe um

fenómeno didático que se manifesta na elevada fragmentação das tarefas que

habitualmente são propostas aos estudantes, falta de conexão entre os conteúdos,

inexistência de questionamento e de justificação das técnicas utilizadas (Lucas, 2010;


Lucas, Fonseca, Gascón & Casas, 2014). Por outro lado, as citadas investigações

pretendem suportar empiricamente que a rigidez e a atomização das matemáticas

escolares constituem um fenómeno didático de caráter institucional (e não pessoal),

relativamente independente das características pessoais dos sujeitos do processo

didático (alunos e professores) e, até mesmo, das culturas pedagógicas nas quais eles

estão imersos. As conclusões deste estudo sugerem a necessidade de que sejam as

próprias instituições educacionais a reconstruir e a completar as praxeologias

matemáticas, permitindo assim flexibilizar e integrar as praxeologias estudadas nos

diferentes níveis de ensino.

Da necessidade de flexibilidade às atividades de modelação

O fenómeno da rigidez e as suas diferentes manifestações têm sido estudados por

diferentes teorias didáticas segundo uma abordagem cognitiva, utilizando a noção de

atividade matemática flexível, autónoma e aberta (em oposição a rígida, dirigida e

rotineira). No âmbito destas abordagens, a origem do problema reside na constatação

das dificuldades, contradições, confusões, obstáculos cognitivos e, em geral, fenómenos

que aparecem na transição do Elementary Mathematical Thinking (EMT) ao Advanced

Mathematical Thinking (AMT). No início da década de 90, do século passado, alguns

estudos revelaram que essa transição não poderia ser explicada exclusivamente por

dificuldades na aprendizagem formal de conceitos matemáticos, mas que se deveria

enfatizar especialmente o novo tipo de raciocínio matemático associado. A noção de

pensamento matemático flexível pode ser descrita a partir de noções mais primitivas que

Tall (1996) tomou originalmente de Piaget (1972) e de trabalhos que interpretam a obra

deste, como os de Dubinsky (1991) e Sfard (1991).

Relativamente a este problema, Silva, Veloso, Porfírio e Abrantes (1999) referiram que

a aprendizagem da Matemática deveria incluir oportunidades para os alunos se

envolverem em momentos genuínos de atividade matemática. Salientaram que as

investigações matemáticas deveriam merecer um lugar de destaque, uma vez que: por

um lado permitem a formulação de conjeturas, a avaliação da sua plausibilidade e a

escolha dos testes adequados para a sua validação ou rejeição; e, por outro lado,

permitem procurar argumentos que demonstrem as conjeturas que resistiram a

sucessivos testes e levantar novas questões para investigar. Assim, propuseram a

criação de um contexto de aula propício ao diálogo, em que o professor lança boas

questões para trabalho prático com informação mínima e em que, após alguma


discussão, os alunos partem para formas de trabalho de tipo exploratório, formulação de

problemas, investigações ou pequenos projetos que o professor acompanha e incentiva,

assumindo, num momento posterior, a coordenação da sistematização do trabalho

desenvolvido e/ou da formalização de aspetos matemáticos inerentes. Os referidos

autores realçaram também que a visão tradicional de uma matemática rígida, na qual as

definições têm um carácter absoluto, aparece oposta àquela que as tarefas de

investigação, se aceites com as suas características próprias, podem veicular.

De acordo com João Pedro da Ponte e João Filipe Matos, consideramos (e mostraremos

que esta afirmação se pode sustentar empiricamente) que muitas das dificuldades que

apresentam os alunos para trabalhar com tarefas de investigação e, em particular, para

levantar questões pertinentes no desenvolvimento de tais tarefas, provêm do caráter

formal da Matemática escolar e da forma como esta está organizada, pois “[...] ensinam-

se ‘respostas’ sem dar a mínima importância às 'questões' que as originam ou à forma

como foram alcançadas” (Ponte & Matos, 1996, p. 123). Para estes autores, a forma

como os alunos concebem as representações e notações matemáticas adequadas às

situações ou fenómenos que lhes são apresentados é um elemento fundamental para a

realização de investigações. Muitas vezes, os alunos manifestam ter dificuldade em

conceber alguma representação, não concebem as mais adequadas, ou saltitam entre

diferentes representações, o que lhes cria sérias dificuldades na realização das tarefas

propostas.

No mesmo sentido, Artigue (1998) considerou que a flexibilidade na utilização de

diversos registros de representações (gráficos, simbólicos, linguagem natural, gestual,

etc.), bem como, a flexibilidade na articulação sistemática de diferentes interpretações

do mesmo objeto matemático são condições essenciais para desenvolver uma atividade

matemática genuína. As instituições educativas deveriam ter, sob a sua

responsabilidade, o trabalho de possibilitar e capacitar a articulação de vários registros

de representação e as diferentes interpretações dos objetos matemáticos, uma vez que,

quando esta articulação é deixada para o trabalho privado do aluno, as possibilidades de

insucesso são elevadas. Em particular, Artigue afirmou, segundo Tall (1996), que a

tecnologia da informação, se usada adequadamente, pode desempenhar um papel

decisivo no desenvolvimento de articulações flexíveis e no equilíbrio entre registros

algébricos e gráficos.


No entanto, ressalta-se que ao existir, paralelamente à flexibilidade a nível das tarefas

propostas, a integração de um questionamento tecnológico na atividade matemática, as

próprias técnicas podem ser tomadas como objeto de estudo, os problemas matemáticos

podem utilizar-se como um meio para colocar em causa a economia, a eficácia, a

fiabilidade e o âmbito de aplicação das técnicas matemáticas.

Habitualmente, o ensino da Matemática e, em particular, o ensino do Cálculo

Diferencial e Integral surge primeiramente com uma apresentação teórica descritiva por

parte do professor à qual se segue uma sequência de inúmeras tarefas isoladas e

pontuais. Esta pontualidade ao nível das tarefas conduz à aquisição de conhecimentos

pontuais por parte dos estudantes, uma vez que, a resolução destas tarefas consiste

basicamente em aplicar uma técnica predeterminada (para um certo tipo de problemas)

e em que raramente é questionada a necessidade de justificar a sua utilização ou de

descobrir o seu domínio de validade. Para resolver este problema, a TAD sugere a

introdução de um trabalho prolongado de modelação de situações matemáticas ou

extra-matemáticas capazes de gerar o desenvolvimento de novas técnicas pelos

estudantes na atividade matemática escolar (Lucas, 2015). !

No entanto, o fenómeno da rigidez e consequente atomização das PM escolares descrito

anteriormente tem como principal consequência a escassa presença da atividade de

modelação matemática nas diferentes instituições escolares e, mais ainda, no ensino

universitário.

Dada a importância de ensinar as matemáticas como ferramenta de modelação, tal como

tem sido destacado por inúmeras pesquisas em educação matemática (Kaiser, Blomhøj

& Sriraman, 2006; Blum, Galbraith, Henn & Niss, 2008), é essencial descrever

claramente as condições necessárias para que este tipo de atividade matemática possa

viver com normalidade numa determinada instituição, assim como, as restrições que

atualmente a tornam difícil e até mesmo a impedem.

Percursos de estudo e investigação

Com base na análise de tais restrições e como resposta a este problema de grande

alcance, que poderíamos designar por problema didático da difusão escolar da

modelação matemática, pesquisas recentes no âmbito da TAD propuseram a utilização

de um novo dispositivo didático, os percursos de estudo e investigação (PEI)

(Chevallard, 2005) para introduzir em sala de aula os processos de modelação.

Considera-se que um PEI vem gerado pelo estudo de uma questão viva com um forte


poder gerador, capaz de levantar um grande número de questões derivadas. O estudo

destas questões conduz à construção, pela comunidade do estudo, das respostas

provisórias que irão demarcar o mapa dos possíveis percursos e os seus limites. Os PEI

recuperam assim, a verdadeira relação entre perguntas e respostas (dando prioridade às

questões) que está na origem da construção de todo o conhecimento científico.

De entre as funções dos PEI relacionadas com a implantação das condições necessárias

para que a modelação matemática possa viver normalmente nas instituições escolares,

destacamos as seguintes: (a) os PEI possibilitam que o processo de estudo tenha uma

certa continuidade no tempo e rompa com a atomização das questões matemáticas, e (b)

os PEI situam o questionamento tecnológico como um motor do processo de estudo ao

provocar a necessidade de reestruturar, modificar, corrigir e interpretar os modelos

estudados mediante a progressiva ampliação das hipóteses sobre o sistema e a

correlativa construção de outros modelos mais amplos e complexos.

Por tudo isto, os PEI constituem um dispositivo didático eficaz para começar a superar

o fenómeno da rigidez e a atomização da matemática escolar, instaurando assim as

condições mínimas para viabilizar a modelação matemática.

Criação de um modelo epistemológico de referência

Definição de cálculo diferencial elementar

Dada a grande amplitude do estudo do Cálculo Diferencial, surgiu a necessidade de

focar a presente investigação numa das suas partes. Para tal focagem, em Lucas (2015)

considerou-se um recorte do extenso domínio do Cálculo tomando apenas o estudo das

derivadas, primitivas e integrais de funções que dependem de uma única variável, ou

seja, o Cálculo estudado no ensino secundário e, habitualmente, no primeiro

trimestre/semestre dos cursos universitários que envolvem uma componente

matemática. Este recorte do âmbito de estudo foi designado por cálculo diferencial

elementar (CDE).

Assim, em particular, na experiência de ensino levada a cabo em Lucas (2015) tomou-se

como exemplo e ponto de partida o programa oficial de Biomatemática habitualmente

utilizado numa Unidade Curricular do 1.º ano da Licenciatura de Medicina Nuclear do

ensino superior português:


Tabela 2. Programa de Biomatemática em Ciências Biomédicas e das Radiações I 2013/2014 0. Biomatemática e Medicina Nuclear 1. Revisões de Conceitos 2. Derivadas para funções de uma variável 2.1 Derivada de uma função e diferenciabilidade 2.2 Derivadas de ordem superior 2.3 Regras de derivação 2.4 Teoremas sobre o valor médio 2.5 Aplicações sobre derivadas 3 Cálculo Integral 3.1 Primitivação e Integração 3.2 Métodos de Primitivação (Primitivas Imediatas; Método por Partes e por Substituição) 3.3 Integral definido 3.4 Propriedades do integral definido 3.5 Aplicações dos integrais

Para aplicar uma nova metodologia didática que envolvesse e articulasse atividades de

modelação funcional e que, desse modo, permitisse efetuar um estudo mais rico e

amplo do cálculo diferencial elementar, surgiu a necessidade de introduzir algumas

noções relacionadas com a modelação e um certo tipo de linguagem menos habitual

para os estudantes. Por exemplo, surgiu a necessidade de utilizar os seguintes termos:

caracterização de um sistema; eleição de variáveis; construção de um modelo funcional

(função que descreve um sistema); questionamento tecnológico (comparação de

técnicas, eleição da mais económica); interpretação dos resultados no contexto do

sistema; ampliação da atividade matemática; etc.

Definição de modelação funcional

Um processo de modelação funcional pode ser caracterizado por quatro estados:

! 1.º estado - todo o processo de estudo parte necessariamente de um conjunto de

questões problemáticas sobre um sistema inicial não muito precisas mas

suficientemente ricas para gerar questões derivadas capazes de guiar o processo

de estudo por diferentes percursos. Por exemplo: Como poderemos prever o

desenvolvimento de uma epidemia? A delimitação ou «construção do sistema»

consiste na eleição de certos aspetos do mesmo que se simbolizam mediante

variáveis e que, postulamos, são as pertinentes para construir um modelo

funcional útil para responder às questões (por exemplo, considerar a variável

independente como o tempo). Neste primeiro estado formulam-se as primeiras

hipóteses sobre o sistema relativas a alguns aspetos das relações entre as

variáveis elegidas para construir o modelo funcional;


! 2.º estado – caracterização dos dados em contínuos (relações entre variáveis

representadas por uma condição sobre os dados ou por uma descrição verbal

dessa relação) ou em dados discretos (condições sobre a variação dos dados).

Mediante a relação deduzida passa-se à construção do modelo algébrico-

funcional discreto/continuo. Caso se encontre vários modelos possíveis para

descrever o sistema compara-se o ajuste aos dados e a capacidade preditiva dos

vários modelos funcionais construídos para eleger o que mais se adequa ao

sistema;

! 3.º estado – o desenvolvimento do trabalho dentro do modelo previamente

construído para responder às questões problemáticas iniciais ( apresenta

diferentes aspetos como, por exemplo o estudo da evolução do modelo, em

particular, o estudo e interpretação da monotonia e extremos, intervalos de

concavidade e pontos de inflexão, zeros e sinais, assíntotas, limites, paridade,

etc. No estudo do comportamento do modelo a longo prazo pode-se interpretar

a influência dos parâmetros na forma gráfica do modelo e, consequentemente,

os valores extremos e o valor para o qual o modelo se aproxima (estudo do

comportamento assintótico). Por fim, é importante interpretar os resultados do

trabalho do modelo funcional em termos do sistema, pois poderá acontecer que

estes mesmos resultados não correspondam a valores válidos no próprio sistema.

! 4.º estado – a explicação de algumas das novas questões problemáticas que

aparecem ao longo deste trabalho e que requerem novas hipóteses e novas

variáveis, pelo que dão origem a um novo sistema e que, em definitivo,

requerem de um novo processo de modelação funcional para ser respondidas.

Pode acontecer que as novas questões problemáticas façam referência ao próprio

modelo, neste caso diremos que «o modelo libertou-se do sistema inicial» e que

passou a jogar o papel de um novo sistema, colocando assim de manifesto o

carácter recursivo do processo de modelação matemática. Por exemplo, a

necessidade de trabalhar com famílias de funções com um ou mais parâmetros,

ou seja, novos modelos funcionais (Fonseca, Gascón & Lucas, 2014).

Articulação do estudo do cálculo diferencial elementar e a atividade de modelação

funcional

De forma a articular estes dois conceitos e perceber a relação entre eles, no sentido em

que uma possível razão de ser do estudo do cálculo diferencial elementar no ensino


universitário possa surgir no âmbito da resolução de atividades/problemas de modelação

funcional, foi construído o seguinte diagrama de atividade:

Figura 1. Diagrama de atividade de modelação funcional (Lucas, 2015).

Este diagrama de atividade2 representa um mapa de possíveis atividades matemáticas

que podem ser desenvolvidas de forma articulada (existe alguma dependência entre as

tarefas/atividades), flexível (de acordo com os objetivos programáticos é possível usar

todos os percursos ou apenas alguns) e ilimitada (no sentido de existir sempre a

possibilidade de ampliar a atividade e iniciar um novo processo de modelação

funcional).

Dado o vasto âmbito de aplicabilidade deste diagrama de atividade de modelação

funcional, designamos por modelo epistemológico de referência para o estudo do

Cálculo, uma vez que, por exemplo, poderá ser utilizado para construir diferentes tipos

de funções (ou mesmo sucessões) a partir do conhecimento da sua variação no ensino

secundário, ou utilizado para guiar a resolução de problemas de otimização, ou mesmo,

utilizado para construir e resolver equações diferenciais (por integração direta) no

ensino universitário.


Conclusão

Acreditamos que mais do que o saber científico, o aluno universitário deve aprender a

adaptar-se a novos desafios/tarefas que possam surgir no seu futuro profissional, a

responder a questões colocadas de forma diferente da habitual, a ampliar as situações

problemáticas, a questionar e a estabelecer conjeturas que lhe permitam solucionar um

determinado problema proposto. Para tal, cremos que é necessário que o aluno trabalhe

com uma matemática mais flexível, aberta, articulada e mais justificada do que a que

vive atualmente na instituição escolar correspondente ao ensino superior.

Notas 1! A escola primária, a escola secundária, a universidade, um domínio profissional determinado ou a sociedade em geral. 2 O diagrama está dividido em dois grandes campos: o discreto e o contínuo. Assim, quando uma determinada atividade (ou tipo de tarefas) está situada sobre a linha equatorial significa que esta poderá

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