A utilização do GeoGebra no ensino de cálculo de área no ... · aprendizagem do Cálculo de...
Transcript of A utilização do GeoGebra no ensino de cálculo de área no ... · aprendizagem do Cálculo de...
A utilização do GeoGebra no ensino
de cálculo de área no curso de
Química: um relato da práxis docente
Jonatas Teixeira Machado
A utilização do GeoGebra no ensino
de cálculo de área no curso de
Química: um relato da práxis
docente
Jonatas Teixeira Machado
Prof. Dr. Luiz Henrique Amaral
A utilização do GeoGebra no ensino
de cálculo de área no curso de
Química: um relato da práxis
docente
Universidade Cruzeiro Do Sul
2016
© 2016
Universidade Cruzeiro do Sul
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa Dra Sueli Cristina Marquesi
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
Pró-Reitor – < Profa Dra Tania Cristina Pithon-Curi >
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Coordenação - < Profa Dra Norma Suely Gomes Allevato >
Banca examinadora
Prof. Dr. Luiz Henrique Amaral
Prof. Dr. Juliano Schimiguel
Prof. Dr. Carlos Henriques Barroqueiro
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
M131u
Machado, Jonatas Teixeira.
A utilização do geogebra no ensino de cálculo de área no curso
de química: um relato da práxis docente / Jonatas Teixeira Machado. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2016.
31 p. : il. Produto educacional (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática). 1. Cálculo. 2. Software livre – Geogebra 3. Processo de ensino e
aprendizagem 4. Tecnologia de informação e comunicação (TIC) 5. Ensino superior. I. Título II. Série.
CDU: 517
Sumário
1 APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................6
2 APORTE(S) TEÓRICO(S) ....................................................................................................7
3 O PRODUTO ......................................................................................................................118
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ...................................................................................23
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................24
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................26
Jonatas Teixeira Machado
6
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1 APRESENTAÇÃO
O produto a seguir foi construído a partir da dissertação de mestrado
intitulada “A utilização do GeoGebra no ensino de Cálculo de Área no curso de
Química: um relato da Práxis Docente”, defendida em 2016, cujo objetivo foi
discutir as contribuições da realização de atividades exploratórias para a
aprendizagem do Cálculo de área de funções reais no ensino de Química, a partir
da visualização proporcionada pelo software GeoGebra. O objetivo geral da
pesquisa é criar uma sequência didática com a utilização do software GeoGebra,
e identificar e analisar as possíveis contribuições nos processos de ensino e
aprendizagem de Cálculo de área. Como objetivos específicos, elaborar, testar
e avaliar atividades exploratórias com o software GeoGebra, relacionadas ao
cálculo de área de funções reais, a partir da construção do conhecimento,
analisando e comparando a práxis docente, pré e pós investigação, analisar o
rendimento dos alunos, a partir da aplicação da sequência didática desenvolvida.
Sou professor licenciado desde 2002, especialista em Informática
Educativa também em 2002. Leciono Cálculo nos cursos de graduação desde
2004. No ano de 2008 fui aprovado em concurso público para ser professor do
Centro Federal de Educação Técnica de Roraima – CEFET/RR. Atualmente
leciono Cálculo no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Goiano
– IFGoiano para os cursos de Bacharelado em Agronomia e Zootecnia, além do
curso de Licenciatura em Química e Ciências Biológicas.
Em face do exposto, enfatiza-se que o tema desta pesquisa é fruto da
inquietação do pesquisador em sua práxis docente, especificamente quanto ao
uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC’s), especialmente
quanto a sua utilização nas aulas de Cálculo Diferencial e Integral – I.
Assim, a partir da elaboração de uma proposta de atividade em forma de
produto educacional, pretende-se contribuir para a prática de professores de
Cálculo do IFGoiano, criando por meio do Geogebra uma sequência didática
para o estudo cálculo de área a partir de um pequeno manual de orientação para
Jonatas Teixeira Machado
7
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
uma sequência didática utilizando o Geogebra. O propósito desse manual é
oferecer uma contribuição aos professores que lecionam Cálculo e/ou que se
interessam pela temática a partir de uma sequência didática detalhada. Nele, de
forma sintética, as ideias que fundamentaram o estudo são apresentadas em
uma linguagem mais simples, mais próxima do fazer docente com o passo-a-
passo acerca do desenvolvimento de atividades.
Jonatas Teixeira Machado
8
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
2 APORTE(S) TEÓRICO(S)
Segundo Powell (2006), o aluno pensa apenas em ser aprovado na
disciplina a partir de memorização. Para que se dê sentido ao aprendizado
Matemático, Powell (2006) complementa:
“(...) a escrita e a leitura da linguagem natural ajudam os alunos a processar o seu entendimento da matemática, e essa modificação da cognição é o alvo da escrita e da leitura na Educação Matemática. É, na verdade, a motivação para o trabalho com Matemática”. (POWELL, 2006, p. 150)
Não é preciso apenas saber resolver um problema de Cálculo. O
acadêmico precisa saber descrever um simples problema ou interpretar um
enunciado. É preciso que o acadêmico produza resoluções tendo por diversos
meios; tradicional, com recursos tecnológicos, laboratoriais, etc.
O desafio a ser enfrentado pela educação nos tempos atuais diz respeito
à possibilidade de desenvolver uma educação voltada para o futuro. Para
analisarmos a funcionalidade do ensino do Cálculo baseado na leitura,
interpretação de textos e análise Matemática.
É necessário que tenhamos claras as competências que objetivamos em
relação ao aluno do curso de Licenciatura em Química: o que queremos que o
aluno aprenda? Qual o resultado final do processo pedagógico a que visamos?
Queremos preparar o aluno para realizar tarefas mecânicas na escola em que
futuramente trabalhará? Queremos preparar o aluno para saber resolver
problemas matemáticos, exercendo a prática da resolução sistematicamente?
Queremos preparar o aluno para pensar de forma crítica, ser um bom leitor de
textos em sua área de atuação e, consequentemente, do mundo? Ou relacionar
todas essas competências e ensinar o aluno a ler um problema, escrever um
problema sem sentido prático?
Aos alunos de graduação, mais especificamente para àqueles que
realizam a disciplina de Cálculo, exige-se que os estudantes tenham um
conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e
Jonatas Teixeira Machado
9
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
trigonometria, pois configuram-se como a base do Cálculo. Porém, muitas vezes,
o professor de Cálculo não leva em consideração a dificuldade que esse aluno
teve no seu aprendizado na Educação Básica ou se esse aluno viu esses
conteúdos no Ensino Médio e, simplesmente, ignora essa situação. Esse
“ignorar” o conhecimento prévio do aluno acarreta em inúmeras dificuldades ao
aprendizado do Cálculo.
Segundo os autores que referenciaram a pesquisa, as aulas de Cálculo
seguem da forma tradicional, dando-se ênfase nos procedimentos teóricos em
detrimento dos conceitos práticos e assim foram as aulas que ministrei no curso
de Química. Aulas tradicionais sem qualquer tipo de contextualização em que os
alunos precisavam resolver várias listas de exercícios com diversos tipos de
integrais em que, muitas vezes, nem se discutia os significados dos conceitos
relacionados a esses tópicos. Isso quer dizer que o aluno resolve as questões,
mas não entende o porquê da resolução.
O Currículo do curso de Licenciatura em Química sofreu diversas
modificações nos últimos anos com o intuito de formar docentes que atendam
às necessidades atuais das escolas. Entretanto, Zucco, Pessine e Andrade
(1999) afirmaram que essas modificações foram superficiais com a alteração da
grade curricular, seja com a inclusão ou com a exclusão de determinados
componentes curriculares e sobre essas alterações, as Diretrizes Curriculares
Nacionais destacam que:
Os currículos vigentes estão transbordando de conteúdos informativos em flagrante prejuízo dos formativos, fazendo com que o estudante saia dos cursos de graduação com "conhecimentos" já desatualizados e não suficientes para uma ação interativa e responsável na sociedade, seja como profissional, seja como cidadão. Diante dessa constatação, advoga-se a necessidade de criar um novo modelo de curso superior, que privilegie o papel e a importância do estudante no processo da aprendizagem, em que o papel do professor, de "ensinar coisas e soluções", passe a ser "ensinar o estudante a aprender coisas e soluções". (BRASIL, 2001, p.1)
Os componentes curriculares relacionados ao Cálculo estão presentes no
início da maioria dos cursos de graduação de Licenciatura em Química.
Entretanto, os alunos não conseguem perceber a aplicação do Cálculo com o
curso. Segundo Nery, Liegel e Fernandez (2007) existem na Química um
Jonatas Teixeira Machado
10
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
elevado número de conceitos inter-relacionados a outras disciplinas, mas que
não são facilmente percebidos pelos estudantes. Estes autores destacam ainda
que a relação com o Cálculo é normalmente reduzida ao uso de algoritmos,
exigindo apenas que os alunos saibam procedimentos mecânicos. Assim, fica a
impressão para os alunos de que não há articulação entre os conteúdos
químicos ou que esta articulação esteja restrita ao mundo científico, teórico e
experimental, ficando a área educacional sujeita aos tradicionais sistemas de
ensino.
De acordo com Zucco, Pessine e Andrade (1999) as disciplinas de Cálculo
não estão no currículo do curso de Química ao acaso e que, para se
compreender Química, é necessário ter habilidade em Matemática:
Possuir habilidade suficiente em Matemática para compreender conceitos de Química e de Física, para desenvolver formalismos que unifiquem fatos isolados e modelos quantitativos de previsão, com o objetivo de compreender modelos probabilísticos teóricos, no sentido de organizar, descrever, arranjar e interpretar resultados experimentais, inclusive com auxílio de métodos computacionais. (ZUCCO, PESSINE e ANDRADE, 1999, p. 456)
Além disso, o Cálculo está presente também em muitos cursos de nível
superior – Física, Engenharias, Ciências Biológicas, Administração, dentre
outros – sempre com relatos de um alto índice de reprovação. Para Santos e
Borges (1993), isso ocorre, pois o ensino de Matemática na educação básica é
insuficiente, havendo uma defasagem bastante acentuada entre os conteúdos
matemáticos ministrados no Ensino Fundamental e Ensino Médio e o que é
exigido em Cálculo I. Assim, as reprovações e as dificuldades enfrentadas pelos
alunos acabam gerando falta de interesse e procura pelo curso de Química e,
segundo Nery, Liegel e Fernandez (2007), estas questões podem estar
associadas em como os currículos estão organizados, principalmente a forma
como os conteúdos de Cálculo estão sendo trabalhados.
Pesquisas apontam que o Cálculo é uma das disciplinas cujos índices de
reprovação, evasão e repetência são elevadas em diversas universidades do
Brasil e do exterior, (BARUFI, 1999; NASSER, 2007; REZENDE, 2003). Resende
(2003) cita o "fracasso no ensino de Cálculo" como um dos grandes desafios no
ensino de Matemática no nível superior. Este quadro tem preocupado não
Jonatas Teixeira Machado
11
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
apenas pela reprovação, mas também pela dificuldade em fazer com que os
alunos aprendam adequadamente os conceitos e procedimentos do Cálculo.
Os estudos acerca da aprendizagem de Cálculo têm trazido vários olhares
para subsidiar a discussão acerca dos problemas no processo de ensino-
aprendizagem dessa disciplina.
Lachini (2001) em seu estudo, já ressaltava aspectos semelhantes.
Segundo ele, as explicações para o insucesso
vão desde o despreparo do aluno e a incompetência de professores até fatores institucionais, política implementada pelo governo e dependência do capital internacional. Sem perder de vista o contexto em que a escola está inserida, bem como os múltiplos fatores intervenientes na ação pedagógica, o pressuposto [...] é que, tanto o sucesso quanto o insucesso podem ser explicados também nas relações instituídas por professores e alunos em torno do trabalho com o conteúdo de Cálculo (LACHINI, p. 149, 2009).
Barbosa (2004) corrobora e incluiu os alunos entre os responsáveis pelo
insucesso em Cálculo pela imaturidade, descompromisso e, principalmente, pela
falta de pré-requisitos após ter entrevistado alguns professores em sua pesquisa.
Para Igliori (2009), a sala de aula de Cálculo tem sido afetada por fatores
decorrentes, em parte, de um ensino universitário de massa: excessivo número
de alunos, grande parte deles desmotivada, ou apresentando lacunas na
formação matemática básica.
É possível destacar, dentre as razões apontadas para o problema, dois
pontos: a deficiência de conhecimentos/habilidades básicas dos alunos e a
forma como o professor conduz o processo de ensino-aprendizagem.
As dificuldades de aprendizagem que os alunos apresentam em geral
num curso inicial de Cálculo no ensino superior são bem diversificadas e se
encontram distribuídas ao longo de todo o processo didático. Vão desde os
“problemas de fundo emocional”, como, por exemplo, o temor pela possível
reprovação, aos “problemas de base” na formação matemática do estudante.
Jonatas Teixeira Machado
12
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Como mencionado anteriormente, o professor de Cálculo não leva em
consideração essa deficiência do aluno e, ao ignorar essa etapa, faz com que os
alunos tenham extrema dificuldade em assimilar os conceitos do Cálculo.
Observa-se que a aprendizagem por recepção é a mais utilizada
atualmente no ensino do Cálculo, onde os professores tendem a promover esse
modelo de aprendizagem. Assim, os conceitos matemáticos estabelecidos na
literatura específica são apresentados para os alunos em sua forma final e
acabada, fato que não contribui para que eles construam seus conhecimentos e
que, segundo os autores, da forma como está posto, esse modelo tem se firmado
como uma aprendizagem por recepção mecânica.
A aprendizagem de conceitos, ou aprendizagem conceitual, é um caso
especial, e muito importante, de aprendizagem representacional, pois conceitos
também são representados por símbolos individuais. Neste caso são
representações genéricas ou categoriais.
Ausubel et al (1980) defende a tese de que a aprendizagem, por meio da
metacognição, faz com que o aprendiz evolua em níveis de conhecimento e
utiliza-se de estratégias organizadas, podendo ser mais efetiva já que se adequa
melhor às dificuldades cognitivas encontradas no processo da construção mental
do conhecimento por parte do aprendiz.
Essa aprendizagem é um processo que considera o conhecimento do
aprendiz sobre o assunto, fazendo com que se aprenda utilizando os
conhecimentos existentes em sua própria estrutura cognitiva. Pela relação entre
o que se sabe e o novo conteúdo, dá-se a compreensão do assunto estudado
com significado e não apenas memorização mecânica. Dessa forma, existe a
integração do novo conhecimento ao que se sabe, cuja inter-relação possibilita
a transformação de novas ideias em informação por meio de associações,
trazendo significado ao novo.
Para ele, aprendizagem significativa é todo o processo do qual uma nova
informação ou conhecimento se relaciona de maneira não arbitrária à estrutura
cognitiva do aprendiz. Para o autor, é nela em que o significado lógico do material
de aprendizagem se transforma em significado psicológico para o aprendiz.
Jonatas Teixeira Machado
13
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Para Ausubel, Novak e Hanesian (1980) a ocorrência da aprendizagem
significativa pressupõe da disposição do aprendiz em relacionar o material a ser
aprendido de modo substantivo e não arbitrário à sua estrutura cognitiva;
presença de ideias relevantes na estrutura cognitiva do aluno (subsunçores ou
conhecimentos prévios); e material potencialmente significativo.
De acordo com os autores, a aprendizagem deve ser iniciada com os
conceitos mais gerais, ilustrando os conceitos intermediários relacionando-os
aos conceitos gerais para que seja possível introduzir em seguida os conceitos
mais específicos, a partir do que se retorna, por meio de exemplos, aos conceitos
mais gerais na hierarquia, sem perder a visão do todo.
Os tópicos de estudo devem ser bem sequenciados de maneira coerente
com as relações de dependência existentes no conteúdo a ser trabalhado. Este
é o momento de fazer com que a nova informação se ancore aos conceitos
relevantes existentes na estrutura cognitiva do aprendiz por meio da organização
sequencial dos conteúdos.
Partindo do pressuposto de que a maior dificuldade que alunos de cursos
de Licenciatura apresentam está na interpretação de texto Matemático escrito,
principalmente, no que se refere à organização de ideias, levantamos a hipótese
de que a proposta de ensino do Cálculo, a partir de uma abordagem
interdisciplinar e com a utilização de recursos tecnológicos, será capaz de fazer
com que o aluno operacionalize os aspectos teórico-práticos do Cálculo, a fim
de produzirem análises matemáticas coesas e coerentes, considerando os
fatores pragmáticos de sua produção. Este enfoque permite buscar a
interdisciplinaridade por meio da exploração multissígnica e da conscientização
das relações entre significado, significação, sentido e posição discursiva.
Segundo Lévy (1993), o ser humano passou das discussões verbais na
Idade Média para a análise, interpretações individuais e silenciosas de mapas
de esquemas, gráficos, tabelas e dicionários, através de visualizações
favorecidas pelo computador e, finalmente, de atividades científicas encontradas
em artigos e nas práticas cotidianas dos laboratórios. Quanto às questões de
visualização, localização e interpretação de mapas, através de computadores, o
Jonatas Teixeira Machado
14
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
autor diz que estes “parecem mostrar que representações de conexões em três
dimensões se viam menos embaraçadas e mais fáceis de consultar, dada uma
mesma quantidade, que as representações planas.” (LÉVY, 1993, p. 38).
As leituras decorrentes sobre os dois temas – Cálculo e TIC’s – propostos
nesta seção foram feitas com o objetivo de conhecermos o assunto de estudo
de nossa pesquisa e de elaborarmos um aporte teórico sobre o ensino de Cálculo
com uso das TIC’s, buscando manter uma convergência dos pontos de vista dos
autores pesquisados que discutem esses temas. Enquanto alguns autores
(Bafuri, 1999; Rezende, 2003) abordam o ensino de Cálculo sem
necessariamente utilizar as TIC’s, outros (Machado, 2008, Nasser, 2007,
Olímpio Júnior (2007), Tall (1991) abordam o ensino de Cálculo com e sem TIC’s,
defendendo que essa utilização contribui, de maneira satisfatória, para o ensino
e aprendizagem do Cálculo.
Valente (2002) afirma que as mudanças devem ser tanto na postura do
professor, como de todo o ambiente escolar.
A mudança pedagógica que todos almejam é a passagem de uma educação totalmente baseada na transmissão da informação, na instrução, para a criação de ambientes de aprendizagem nos quais o aluno realiza atividades e constrói o seu conhecimento. Essa mudança acaba repercutindo em alterações na escola como um todo: na sua organização, na sala de aula, no papel do professor e dos alunos e na relação com o conhecimento. (VALENTE, 2002, p. 29)
Atualmente, diversas pesquisas apontam que as Tecnologias de
Informação e Comunicação – TIC's são de grande importância no processo de
ensino-aprendizagem, pois há uma enorme quantidade de informações que se
bem utilizadas podem transformar de maneira definitiva e positiva a relação que
temos com a construção do conhecimento. Segundo Pozo e De Aldama (2013):
Se o conhecimento não é um fim em si mesmo, mas meio para construir competências nos alunos, as TIC’s são ferramentas extraordinariamente poderosas para construir uma nova cultura de aprendizagem. (POZO e DE ALDAMA, 2013, p.10)
Porém, o grande desafio dos professores pode ser relacionado com o que
Guimarães e Dias (2006) relataram:
Jonatas Teixeira Machado
15
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
A questão que se coloca para os educadores é: como integrar essa nova forma de pensar, impulsionada pela realidade de espaço cibernético, ao desenvolvimento de conhecimento e saberes do aluno? Torna-se cada vez mais necessário um fazer educativo que ofereça múltiplos caminhos e alternativas, distanciando-se do discurso monológico da resposta certa, da sequência linear de conteúdos, de estruturas rígidas dos saberes prontos, com compromissos renovados em relação à flexibilidade, à interconectividade, à diversidade e à variedade, além de contextualização no mundo das relações sociais e de interesses dos envolvidos no processo de aprendizagem. (GUIMARÃES e DIAS, 2006, p. 23)
Qualquer professor ao entrar numa sala de aula do Ensino Superior nos
dias atuais, se depara com a realidade em que boa parte de seus alunos
possuem algum instrumento tecnológico (smartphones, calculadoras científicas,
tabletes, ultrabooks entre outros). Percebe-se que, aos poucos, a sociedade está
indicando certas mudanças que devem ocorrer em seu contexto e a
universidade, como está inserida nessa sociedade, acaba recebendo impactos
oriundos desses acontecimentos.
Nesse contexto, consideramos que estamos vivendo em uma sociedade
do conhecimento, conforme o descrito por Valente (2002), onde essas mudanças
implicam profundas alterações em praticamente todos os segmentos da nossa
sociedade, afetando a maneira como atuamos e pensamos. Elas demarcam a
passagem para a sociedade do conhecimento.
Moran (2004) sugere que uma das áreas prioritárias de investimento deve
ser a implantação de tecnologias telemáticas de alta velocidade, para conectar
alunos, professores e a administração com o objetivo de ter cada classe
conectada à internet e cada aluno com um notebook. A disseminação da
informática e a crescente aplicação de seus recursos na sociedade chegaram à
escola, abrindo caminho para a possibilidade de seu uso também durante as
aulas.
Conforme Reis (2009), nas aulas no Ensino Superior nota-se que, em uma
boa parte delas, alguns professores de Cálculo reportam-se quase sempre ao
ensino o tradicional. Uma prática muito comum, entre os professores de Cálculo
é a de ministrar essa disciplina sempre da mesma forma (mesmos conteúdos,
mesma metodologia, mesmos exemplos, mesmas aplicações, mesma
Jonatas Teixeira Machado
16
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
bibliografia), sem levar em consideração a natureza do curso (bacharelado,
licenciatura ou tecnólogo).
O uso das TIC’s no ensino vem sendo discutido por diversos
pesquisadores e se tornou uma forte tendência dentro da Educação Matemática
como Borba (1996, 1999); Borba e Penteado (2000, 2001, 2007); Moran (2004);
Canavarro (1993); Valente (1993) dentre tantos outros. Os anais dos congressos
de Educação Matemática, os periódicos e as revistas da área têm apresentado
um grande número de comunicações de pesquisas e estudos sobre a utilização
de computadores no ensino de Matemática.
O uso do computador pode ajudar na ressignificação da conceituação
através da visualização até então exploradas de forma algébrico-analítica; inovar
a manipulação através da criação de um novo padrão de exercícios e exemplos
até então realizados sob uma ótica extremamente repetitiva, e ampliar a
aplicação através da possibilidade de se modelarem matematicamente novos
problemas e situações até então pouco explorados.
Para com Moran (2004),
Cada vez mais poderoso em recursos, velocidade, programas e comunicação, o computador nos permite pesquisar, simular situações, testar conhecimentos específicos, descobrir novos conceitos, lugares, ideias. Produzir novos textos, avaliações, experiências. As possibilidades vão desde seguir algo pronto (tutorial), apoiar-se em algo semidesenhado para complementá-lo até criar algo diferente, sozinho ou com outros (MORAN, 2004, p.44).
Outros autores (Nasser, 2007; Borba e Penteado, 2000, 2001, 2007)
destacam que não se valorize apenas o conhecimento do aluno, mas também a
prática docente do professor em utilizar diversas metodologias e pedagogias de
ensino, para promover a aprendizagem dos educandos. Segundo esses autores,
a aprendizagem de conceitos do Cálculo ocorre diferentemente do que é
esperado pela maioria dos professores.
Atualmente, existem diversos softwares que auxiliam o professor no
ensino do Cálculo, alguns mais voltados para gráficos, outros para Geometria e
Álgebra. Mas todos com diversas ferramentas operacionais para construções e
aplicações de conceitos em Matemática e Estatística como o Winplot, Wingeom,
GraphEquation, Geogebra, entre tantos outros.
Jonatas Teixeira Machado
17
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
No caso dessa pesquisa, escolhemos o GeoGebra, criado por Markus
Hohenwarter, desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática, tanto
no nível básico como universitário, pelo fato de ser um programa de matemática
dinâmico, gratuito e multiplataforma (há versões tanto para Windows quanto para
Linux). Ele combina álgebra, geometria, tabelas e gráficos, além de possuir
ferramentas para o trabalho com estatística e Cálculo.
A grande vantagem didática deste programa é que ele apresenta, ao
mesmo tempo e no mesmo ambiente visual, representações geométricas e
algébricas de um mesmo objeto que interagem entre si e o próprio programa
dispõe de um tutorial, na opção “Ajuda”, simples e explicativo.
É de fácil compreensão, apresenta uma interface atraente ao usuário,
dispõe de ferramentas que facilitam a leitura e manuseio do recurso. Possui
ferramentas de ajuda ao usuário para solucionar problemas de instalação,
operação, integração com outro software e ajustes para a impressão do
documento. Do ponto de vista estético, as formas de representação da
informação são visualmente agradáveis. Quanto a eficiência, o software executa
as tarefas a qual foi proposto com bom funcionamento e sem travamentos.
Jonatas Teixeira Machado
18
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
3 O PRODUTO
A seguir, apresentamos as ferramentas do GeoGebra para facilitar a
compreensão da sequência didática.
A tela inicial do GeoGebra é dividido em três partes como mostra figura a
seguir:
Figura 1: tela inical do GeoGebra Fonte: próprio autor da pesquisa.
A janela algébrica é responsável pela edição e visualização.
A janela gráfica é responsável pela visualização dos gráficos.
O campo de entrada é responsável pela criação das funções ou equações.
Na parte superior da tela aparece o menu da seguinte forma:
Janela
Algébrica
Janela Gráfica
Campo de
Entrada
Jonatas Teixeira Machado
19
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 2: barra de menu do GeoGebra Fonte: próprio autor da pesquisa.
Logo abaixo ao menu, aparece a barra de comandos.
Figura 3: barra de comandos do GeoGebra Fonte: próprio autor da pesquisa.
A partir dessa barra de comandos, o usuário tem as seguintes opções de
acordo com o propósito da atividade a ser desenvolvida da seguinte forma:
Jonatas Teixeira Machado
20
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Jonatas Teixeira Machado
21
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 4: detalhes da barra de comandos do GeoGebra Fonte: próprio autor da pesquisa.
Essa foi uma breve apresentação do software. Os comandos são
utilizados de acordo com a atividade proposta.
A seguir, apresentaremos as atividades propostas para se calcular a área
de uma função qualquer.
Roteiro da atividade número 1: calcular a área da função 𝐟(𝐱) = 𝟏
𝟐𝐱𝟐.
1. Mostrar o programa e a tela inicial
2. Plotar a função na parte “entrada”: f(x) = 1/2*x^2 e pressionar “enter”.
3. Agora clique em e, em seguida, clique no ponto x = 0, criando A(0, 0).
4. Agora clique em e, em seguida, clique no ponto x = 3, criando B(3, 0).
5. Clicar com o botão direito do mouse em cima do ponto A e pedir pra renomear
o ponto “A” para “a”.
Jonatas Teixeira Machado
22
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
6. Clicar com o botão direito do mouse em cima do ponto B e pedir pra renomear
o ponto “B” para “b”.
7. Na caixa “entrada” digitar o comando: Integral[ <Função>, <Valor de x Inicial>,
<Valor de x Final> ]
8. No comando dado anteriormente, substituir <Função> por f, <Valor de x Inicial>
por x(a), <Valor de x Final> por x(b)
9. Visualizar o comando Integral[ f, x(a), x(b) ] e pressionar o “enter”.
10. Visualizar a área calculada.
A avaliação será realizada de forma contínua com a observação de como
o aluno desenvolve suas ações, justificando sempre os passos que foram dados
para o desenrolar da atividade.
Após o gráfico ser desenhado, é importante que se trabalhe com questões
do tipo:
a) O gráfico possui ponto de máximo ou mínimo?
b) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento?
c) A função possui ponto de inflexão?
d) A resposta é a mesma se resolver no caderno?
Essas observações são importantes para que o aluno relacione o ensino
do cálculo de área e construa a relação desses conceitos com questões que
envolvam a Química.
Jonatas Teixeira Machado
23
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Roteiro da atividade número 2: determinar a soma inferior e superior de
Riemann da função 𝐟(𝐱) = 𝟏
𝟐𝐱𝟐
1. Clicar no ícone “controle deslizante” e, em seguida, clicar em qualquer
parte da tela.
2. Substituir o nome “c” por “n”.
3. Substituir o “mín = -5” por “mín = 1”.
4. Substituir o “máx = 5” por “máx = 50”.
5. Substituir “incremento = 0.1” por “incremento = 1”.
6. Clicar em “aplicar”.
7. Na “entrada”, digitar o comando SomaDeRiemannInferior[ <Função>, <Valor de
x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos> ]
8. No comando dado anteriormente, substituir <Função> por f, <Valor de x Inicial>
por x(a), <Valor de x Final> por x(b), <Número de Retângulos> por n.
9. Visualizar o comando SomaDeRiemannInferior[ f, x(a), x(b), n ] e pressionar o
“enter”.
10. Pressionar o botão esquerdo do mouse no controle deslizante e direcioná-lo à
direita e à esquerda e comparar os valores.
11. Na “entrada”, digitar o comando SomaDeRiemannSuperior[ <Função>, <Valor
de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos> ]
Jonatas Teixeira Machado
24
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
12. No comando dado anteriormente, substituir <Função> por f, <Valor de x
Inicial> por x(a), <Valor de x Final> por x(b), <Número de Retângulos> por n.
13. Visualizar o comando
SomaDeRiemannSuperior[ f, x(a), x(b), n ] e pressionar o “enter”.
14. Pressionar o botão esquerdo do mouse no controle deslizante e direcioná-lo à
direita e à esquerda e comparar os valores.
Após o gráfico ser desenhado, é importante que se trabalhe com questões
do tipo:
a) Qual a relação entre a Soma superior e a Soma inferior de Riemann?
b) Qual e relação entre a definição de Riemann e uma função discretizada?
c) Como podemos fazer para que a Soma superior e a Soma superior sejam
iguais ao valor da área calculada?
Jonatas Teixeira Machado
25
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
Recomenda-se que o professor deva ter conhecimento do Geogebra e
domínio nas informações passadas para os alunos. Para isso, é necessário que
o professor estude o software. Porém, esse processo demanda tempo e, na
maioria das vezes, os professores encontram-se com elevada carga horária e
não dispõe de tempo para estudar.
O professor deve perceber que a atividade deve ser precedida da aula
teórica, ou seja, é importante que o aluno já tenha o conhecimento teórico para
partir, deste modo, para a atividade prática a ser desenvolvida com a utilização
do objeto de aprendizagem.
Sabemos que podem ser trabalhadas diversas situações que envolvam
cálculo de área, contudo, apresentamos essas duas atividades acreditando ser
importantes para a construção do conhecimento do aluno, de forma que ele
tenha uma visão inicial referente à área de uma função qualquer e o Teorema
Fundamental do Cálculo.
O aluno terá a oportunidade também de verificar de forma dinâmica as
alterações relativas à soma superior e inferior de Riemann com o valor da área
calculada, além de resgatar conceitos da integral como intervalos de crescimento
e decrescimento, pontos de máximo e mínimo e pontos de inflexão, enfim, um
leque de ações didáticas para um desenvolvimento satisfatório do aluno.
O conteúdo de Integral pode ser aplicado em diferentes tipos de
situações-problema contextualizadas, nas quais o aluno possa traduzir o
enunciado do problema para a linguagem matemática.
Jonatas Teixeira Machado
26
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Acreditou-se que procurar responder a questão levantada nesse projeto
de pesquisa, fez-me refletir e sobre minha práxis docente no ensino do Cálculo
e sair do lado cômodo do ensino tradicional, para um outro lado utilizando as
TIC’s como objeto de aprendizagem. Chegou-se à conclusão de que o professor
deve parar e refletir sobre sua práxis docente e pensar em qual tendência se
encaixa essa práxis. Essa problematização, no decorrer da pesquisa, se
transformou em aspectos que foram observados e que permearam o trabalho, a
pesquisa e os estudos.
Investigar as questões relativas ao Cálculo dentro de uma sala de aula
sob a perspectiva da observação, da discussão, dos seminários e ciclos de
estudos e outras atividades de intervenção realizadas pelo professor da
disciplina de Cálculo da turma de 1º período do curso de Licenciatura em
Química do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Goiano –
IFGOIANO/Campus Ceres –, fez-me acreditar em um “entusiasmo crítico”
(SAVIANI, 2000). Esse entusiasmo se dá pela necessidade física e espiritual de
ir a campo, observá-lo, discuti-lo e problematizá-lo a partir das questões que
fizeram parte da pesquisa.
Na opinião de Lopes (1991), estimular os alunos a levantar problemas e
identificar as respectivas alternativas de solução é uma atitude docente
transformadora, pois esse tipo de exercício conjunto na sala de aula leva à
reelaboração e produção de conhecimentos.
É no Cálculo que os alunos entram em contato com os sistemas de
conceitos que permitem resolver problemas e fazer deduções; em que a
ocorrência e a precisão do raciocínio conferem legitimidade às ideias e às
conclusões obtidas, segundo a necessidade lógica de premissas definidas por
outros e reconstruídas por todos nós, por isso não se pode negar a importância
do conhecimento como instrumento de transformação social. Essas afirmações
realçam a necessidade daquele que se propõe a ensinar, de conhecer e
Jonatas Teixeira Machado
27
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
compreender, além da matéria que leciona, o significado das atividades do
aprendiz.
O objetivo deste desse trabalho foi contemplar o conceito de integral visto
em sala de aula, com a utilização do GeoGebra e, ao final da atividade, perceber
o comportamento dos alunos no que diz respeito à essa didática aplicada. As
atividades desenvolvidas com o GeoGebra mostraram-nos que é possível
ensinar Cálculo de forma dinâmica, tornando a aula mais interativa, instigante e
atrativa, com o aluno participando e interagindo com seus colegas na construção
do seu próprio conhecimento.
Esta experiência mostrou-nos, também, a importância da inserção dos
recursos tecnológicos no âmbito do ensino nos cursos de licenciaturas, pois
muitas são as contribuições que os mesmos podem proporcionar à a
aprendizagem.
Nossa pesquisa apontou que a realização das atividades investigativas
contribuiu para a criação de um ambiente de discussão e colaboração que nem
sempre é possível de se ter na sala de aula tradicional, na qual o processo de
aprendizagem é, na maior parte do tempo, centrado no professor. Enfatizamos,
assim, que o desenvolvimento de atividades investigativas utilizando softwares
educacionais pode contribuir decisivamente para a criação de um ambiente de
aprendizagem que complementa o ensino tradicional de sala de aula.
Observou-se nesse trabalho que as aulas de Cálculo tornaram-se mais
atrativas aos alunos, visto que os mesmos perceberam a ligação entre a teoria
explicada em sala de aula e a contextualização com a área de abrangência, por
meio da realização de atividades práticas com o uso do software GeoGebra para
construção de conhecimento.
Jonatas Teixeira Machado
28
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
REFERÊNCIAS
AUSUBEL, D. NOVAK, J. & HANESIAN, H. Psicologia Educacional. 2ª ed.
Tradução de E. Nick et al. Rio de Janeiro, Editora Interamericana, 1980.
BARBOSA, Marcos A. O insucesso no ensino e aprendizagem na disciplina
de Cálculo Diferencial e Integral, 2004. 101 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, Paraná, 2004.
BARUFI, Maria C. B. A construção/negociação de significados no curso
universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral, 1999. 184 f. Tese
(Doutorado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade de São
Paulo. São Paulo, 1999.
BORBA, M. C. Tecnologias informáticas na educação matemática e a
reorganização do pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em
educação matemática: concepções e perspectivas. Rio Claro, UNESP, 1999.
__________. “Informática trará mudanças na educação brasileira?”, Zetetiké,
Campinas, V. 4, p. 123-134, julho, 1996.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy (Org.). A informática
em ação: formação de professores, pesquisa e extensão. São Paulo, Olho
D’água, 2000.
__________. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica,
2001.
__________. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica,
2007.
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Diretrizes
Curriculares Nacionais para os Cursos de Química. Parecer n. CNE/CES
1.303/2001. Disponível em
<http://portal.mec.gov.br/sesu/arquivos/pdf/130301Quimi ca.pdf>. Acesso em
setembro de 2014.
Jonatas Teixeira Machado
29
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
CANAVARRO, A. P. Concepções e práticas de professores de matemática: Três
estudos de caso. (1993). In: RIBEIRO, M. J. B., & PONTE, J. P. A formação em
novas tecnologias e as concepções e práticas dos professores. Quadrante,
9(2), p. 3-26, 2000.
IGLIORI, Sonia B. C. Considerações sobre o ensino do cálculo e um estudo
sobre os números reais. In: FROTA, Maria C. R. e NASSER, Lillian (Org.).
Educação Matemática no Ensino Superior: Pesquisas e Debates. p. 11-26.
Recife: SBEM, 2009.
LACHINI, Jonas e LAUDARES João B. (Org.). Educação Matemática: a prática
educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC,
2001.
LÉVY, P. As Tecnologias da Inteligência: O futuro do pensamento na era da
informática. São Paulo: Editora 34, 1993.
LOPES, Antônia Osima. Aula expositiva: superando o tradicional. In: VEIGA,
Ilma Passos Alencastro (Org.). Técnicas de ensino: Por que não?. Campinas,
SP: Papirus, 1991.
MACHADO, J. T., A utilização do GeoGebra no ensino de cálculo de área no
curso de Química: um relato da práxis docente. 2016. – 80 f. Dissertação
(Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul,
São Paulo, 2016.
MACHADO, R. M. A visualização na resolução de problemas de Cálculo
Diferencial e Integral no ambiente computacional MPP, 2008. 287 f. Tese
(Doutorado em Educação) - Universidade Estadual de Campinas, Campinas,
2008.
MORAN, José Manuel. Os novos espaços de atuação do professor com as
tecnologias. Revista Diálogo Educacional. V. 4, n. 12, p. 13 21, Mai.Ago./2004.
NASSER, Lilian. Ajudando a superar obstáculos na aprendizagem de cálculo. In:
IX Encontro Nacional de Educação Matemática, 2007, Belo Horizonte. Anais do
Jonatas Teixeira Machado
30
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte - MG : SBEM,
2007.
NERY, A. L. P.; LIEGEL, R. M.; FERNANDEZ, C. Um olhar crítico sobre o uso
de algoritmos no Ensino de Química no Ensino Médio: a compreensão das
transformações e representações das equações químicas. Revista Electronica
de Enseñanza de las Ciencias, 6 (3), p. 87-600, 2007.
OLIMPIO JUNIOR, A. Primeiro Ano num Curso de Matemática: a definição de
função e a dualidade local/global em conceito de Cálculo. Bolema. Boletim de
Educação Matemática (UNESP. Rio Claro. Impresso), v. 28, p. 39-68, 2007.
POWELL, A. BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático: interações
e potencialidades. Campinas, Editora Papirus, 2006
POZO, J.I. ALDAMA, C. y de. A mudança nas formas de ensinar e aprender na
era digital, Patio, 19, 10-14. 2013.
REIS, Frederico da S. Rigor e intuição no ensino de cálculo e análise. In: FROTA,
Maria C. R. e NASSER, Lillian (Org.). Educação Matemática no Ensino
Superior: Pesquisas e Debates. Recife: SBEM, 2009. p. 81-97.
REZENDE, W. M. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza
Epistemológica. Tese de Doutorado. São Paulo: FE-USP, 2003
SANTOS, R. M.; BORGES, H. B. Avaliação do Desempenho no Processo de
Ensino-Aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral I (O Caso da UFC). 1993.
Disponível em:
<http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-avaliacao-do-
desempenho-no-processo-de-ensino-aprendizagem.pdf>. Acesso em: outubro
de 2014.
SAVIANI, D. Educação: do senso comum à consciência filosófica. Campinas,
SP: Autores Associados, 2000.
Jonatas Teixeira Machado
31
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
TALL, D. Intuition e rigor: the role of visualization in the Calculus. In:
ZIMMERMANN, W.; CUNNINGHAM, S. (Org.). Visualization in teaching and
learning Mathematics. Washington: Mathematical Association of America,
p. 105-119, 1991. Disponível em: <http:www.davidtall.com>. Acesso em: 15 de
janeiro de 2014.
VALENTE, J. A. Diferentes usos do computador na educação. In: VALENTE, J.
A. (Org.). Computadores e conhecimento: repensando a educação.
Campinas, Gráfica da UNICAMP, 1993a. p. 1-23.
__________. Diferentes usos do computador na educação. In: __________.
(Coord.). Computadores e conhecimento: repensando a educação.
Campinas, Gráfica da UNICAMP, 1993b. p. 24-44.
__________. Mudanças na sociedade, mudanças na educação: o fazer e o
compreender. In: __________. (Coord.). O computador na sociedade do
conhecimento. 1. reimp. Campinas: Unicamp, 2002, p. 29-48.
ZUCCO, C.; PESSINE, F. B. T.; ANDRADE, J. B. Diretrizes Curriculares Para os
Cursos de Química. Revista Química Nova, v. 3, n. 22, p.454-461, 1999.