A viabilidade da constr. do conhecimento III

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2/5 dos jogadores, continuando os' restantes em treinamento. Nessas condições,


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ANEXO 4Alguns sistemas de numeração antigos

Para determinar a posição de uma estrelano firmamento, mediam o seu ângulo de ele-vação. Para isso, criaram um instrumento cha-mado sextante (relativo à sexta parte da cir-cunferência).

Para eles, era fácil construir o sextanteporque já sabiam dividir a circunferência emseis partes iguais.

Ilustração de sextantereproduzida em livro escritopelo astrônomo Tycho Brahee publicado em 1598.

Dividindo a circunferênciaem 6 partes iguais ...

... obtém-se um ângulo de 60'.

Assim criou-se o ângulo de 60°. Daí, a origem da base sessenta.•

Dedos, falanges e a base sessenta

Uma outra hipótese, formulada pelo próprio Georges Ifrah,é a de quea base sessenta originou-se de práticas de povos mais antigos, uns usandoa base cinco e outros, a base doze. No encontro dessas culturas, ter-se-iaorigina.do a base sessenta.

A base cinco pode ser explicada pelos cinco dedos que temos emcada mão. A base doze, como vimos, tem também uma explicaçãoaiatôrnica: lembra-se do processo d-:: contagem em que o dedo polegaraoonta, uma a uma, as doze falanges dos outros quatro dedos?

Agora mesmo falávamos da esquisitice do zero. Mas, além dessa, háoutra: a base sessenta. Você não acha muito estranho os mesopotâmicosterem usado essa base?

Para a base dez, há uma explicação natural:temos dez dedos nas mãos.Até para a base vinte, há uma boa explicação: temos vinte dedos se in-cluirmos os dedos dos pés. Mas, e a base sessenta?

Georges Ifrah, um professor marroquino, dedicou boa parte de suavida pesquisando a história dos números. Em sua obra, História universaldos algarismos, ele afirma que a existência da base sessenta é um mistério,uma vez que, até hoje, não se encontrou uma explicação plenamenteaceitável para sua origem.

Ifrah apresenta várias hipóteses. Algumas têm a ver com a Matemática,outras, com a Astronomia e há ainda as de origem mística.Vamos apre-sentar duas delas.

Astronomia e a base sessenta

Os povos antigos, entre os quais os babilônios, desenvolveram muito aAstronomia, a contagem do tempo, a organização do calendário. Associ-ando o movimento dos astros à circunferência e tendo percebido que oano tem 360 dias, aproximadamente, passaram a dividir a circunferênciaem 360· partes iguais.Usavam essa divisão para medir ângulos, que erammuito úteis nos seus estudos de Astronomia.

Essa é a origem do transferidor que, ainda hoje, usamos para medirângulos.

o ângulo de 900 corresponde a -Lda circunferência. 4

~...,."

o ângulo de 1200 corresponde a -Lda circunferência. 3

Sentiu falta do zero?

o sistema numérico da Mesopotâmia apresenta alguns inconvenien-tes. Observe estes números:

m3

r TI60 + 2 = 62

IT Y2 x 60 + 1 = 121

Os três números representados são diferentes, embora todos sejamescritos com os mesmos sinais. O que muda é a distância entre os sinais.Se uma pessoa escrevesse esses números apressadamente, sem cuidadocom os espaços, certamente causaria confusão.

Há ainda outra dificuldade.Veja estes exemplos:

4ffi59

,r tTI ym61 62 .63

E agora? Como seria a representação do sessenta? Assim ~~~ ou

assimY?Se fosse assim Y ~ele seria confundido com o um. Se fosse ~~~ '

então sessenta e um deveria ser assim ~ Y e não desta forma: Y y.Talvez você tenha pensado em escrever o sessenta assim:YO .Uma boa idéia! Mas os povos da Mesopotâmia ainda não tinham in-

ventado um símbolo que representasse o nada Somente na fase finaldaquela civilização é que eles começaram a pensar num símbolo para ozero. Antes disso, por alguns séculos, a apresentação do sessenta e dealguns outros números causou muita confusão.

Não é esquisito que o zero, um símbolo para o nada, faça tanta falta?

a

AgO'-2 é mais fácil perceber o que queremos dizer com nurneraçào debase sessenta. Vamos comparar com a numeração egípcia:

• na numeração egípcia, n~O O significaum grupo de dez mais três:

• na numeração mesopotâmica, y 'T'rY significaum grupo de sessenta

mais três.Repare que o símbolo da esquerda, separado dos outros três, vale

sessenta.

--~-----,

Descubra que números estão escritos abaixo, no sistema de nu-meração mesopotâmico:

Decifrou os números? Não fique pensando que é perda de temposaber um pouco acerca da base sessenta. É verdade que o sistema denumeração dos povos da Mesopotâmia desapareceu há muito tempo,mas restáram vestígios dele, por exemplo, na contagem do tempo. Comovocê sabe, sessenta segundos compõem um minuto, e sessenta minutoscompõem uma hora. Essa contagem em grupos de sessenta é herança daantiga numer-ação de base sessenta.

Assim, a escrita I:30,que você vê nosrelógios digitais ou nos do forno de mi-croondas, não significa I30 minutos nem1.30 hora. l-Jote que I:30 significa 90minutos ou 1.5 hora. Isso porque o Iantes dos dois-pontos corresponde a 60minutos

Escrita mesopotâmica Em nosso sistema

"? ~ 1 9

W -«W 2 18m {~ 3 27~ ~ 4 36

W ~W 5 45

ffi -41~V 6 54

~yyyy 7 63

W V 4,TI 8 72~

Y 4..«19 81

<{ Y «<{« 10 90

Notou que há algo estranho nos quatro últimos resultados, que

correspondem a 63, 72, 81 e 90? Por exemplo, para o 63 esperávamos

esse registro ~ m,mas o que se vê é 1m. Você pode imagi-

nar uma explicação para isso?.Acontece que eles usavam um sistema de numeração de base sessen-

ta. o que parece muito esquisito. Veja o significado dos últimos resultadosda tabuada do nove:

60+34---r ~- 1:yr::~ :I I • I 'J r Ii - - -, .•.- -- - - - - ~

63

60 + 21~l- :;- -~A-?:I I'~"I I I I

...• __ ~ J _ .. _ _ __ ~

81

60 + 12

11'--: :.-<---w· --:I I I I

! I I I....( __ --c .• _ •• J...

72

60 + 30• - - 1 t- -.

:\7:: /'/Á :1,11~1: I I I

- - - ~ .•. . - - - - """1-

90

,-

Nas escavações arqueológicas, realizadas naregião onde foram edificadas as cidadesda Mesopotâmia, encontraram-semilhares de placas de barroque continham inscrições.Usando um bastonete, osescribas da Mesopotâmiaescreveram sobre essasplacas quando o barro aindaestava mole. Depois, elas foramcozidas no forno para endurecer. Exercfcio de matemática de cerca

de 1700 a.C.

Com base nessas placas, foi possível decifrar o sistema de numeração

mesopotâmico. O sinal r indica I e o sinal -« , IO. Veja a escrita de alguns

números:

TIl 17 -<T3 5 11~W «

~

18 20 40

Parece com o sistema egípcio, não é?Parece, mas somente no início.Uma das placas de argila encontradas

nas escavações continha os resultados da tabuada do nove. Vamos mos-trar Ui. desenho dessa placa e você vai lei" urna surpresa. Examine comatenção:

Observe que em vez de escrever lOcam dez risquinhos, os egípciosescreviam desta maneira:

Isso significa que um símbolo n valia por dez símbolos D. Da mes-

ma forma, dez símbolos n eram substituídos por um ~ e assim por

diante.Notou que, na escrita dos números, os egípcios formavam grupos de

dez do mesmo modo que fazemos hoje? Em nosso sistema de numera-ção, dez unidades formam a dezena: dez dezenas formam a centena eassim por diante, como ocorre também no sistema egípcio.

Isso quer dizer que o sistema egípcio era decimal como o nosso, ou,em outras palavras, era um sistema de base dez.

É interessante fazer uma adição usando nossa escrita dos números e,depois, a dos egípciosVeja como é feita com nossos algarismos:

1

37+2562

O pequeno I sobre o 3 indica a troca de dez unidades por uma deze-na, é o chamado "vai um".Algumas crianças pequenas têm dificuldade ementender esse procedimento, pois não compreendem essa troca. No en-tantó, no sistema egípcio, a conta ficaria mais fácil para elas porque podem"ver" a troca de dez unidades pela dezena. Observe:

ó1úll ú1 "U OU\: UOO I,

I O '+ fJ\) lí1 ~Ooo~DÓ)

/

Da civilização egípcia, restaram vários monumentos com inscrições,além de documentos em papiros. Essas fontes permitiram que os arque-ólogos decifrassem o sistema de numeração egípcio.Você também podedecifrá-Io. Observe estes exemplos:

onu ~~~ nn unoo fi

21 325

~~~ DOU !nnn~ 000 fl

UUU409 1040

Já percebeu uma lógica nesse sistema, não é? Então, aceite este peque-no desafio: observe a seguir os símbolos que os egípcios usavam para osnúmeros e escreva como eles I3, 23 e 123.

10

n __ o. " _

{\------- -

~--- ----- .--- --- ---

I

<f 1000 A flor de lótus (o lótus era uma planta sagrada no E9itO)1'~ representava o milhar.

__ __ '··"'"--"'----0- ...•... . . ., .••• • ._1 10000 O desenho de um dedo dobrado era o símbolo

....~ _':~ :~ag;,:~o~:p'"~om~., miL·· ·_~··-_-IW 1000000 Uma figura humana ajoelhada, com as mãos para o alto, !~ indicava o milhão. i

Esse sinal indicava a dezena.

Um traço vertical indicava a unidade.

100 Uma corda enrolada indicava a centena.

Na longa história da civilização chinesa, houve mais de um sistemanumérico. O mais utilizado deles tinha estes símbolos:

- 1 ..1-." 6 + 10-. 2-. -t 7 ã 100-..- 3- j\ 8 =f2Y 4 1000

1L 9li 5 " 10000

Esses símbolos ainda hoje são conhecidos tanto na China como noJapão. No entanto, para fazer cálculos, todos usam o mesmo sistema denumeração que nós.

O antigo sistema de numeração chinês tem regras interessantes. Vejaos exemplos:

oitocentos e vinte e quatro cinco mil e noventa e sete

/~ã8 100

-- +Im2 10 4 5 1000 9 10 7

8 X 100 + 2 X 10 + 4 5 X 1000 + 9 X 10 + 7

Percebeu que é um sistema decimal e que tem semelhanças com onosso sistema? Compare a nossa maneira de escrever 824 com a deles.Notou que a idéia é a mesma? A diferença é que, no nosso caso, o 100 eo 10 ficam "escondidos". não aparecem na escrita 824.

Atenção: você não deve decorar os símbolos de nenhum dos siste-mas numéricos antigos, pois eles já não são usados. Basta conheceras idéias principais dos sistemas para você entender melhor os nú-meros e a Matemática. Por isso. para responder- às perguntas, sem-pre que for preciso, releia as páginas anteriores para relembrar ossignificados dos vários símbolos.I. Os números seguintes estão representados no sistema egípcio.Calcule os resultados das adições (se preciso, veja novamente oexemplo que foi apresentado no livro). Depois, escreva essas mes-mas adições em nosso sistema de numeração.

a)

ú'lú"ln 081nnn 000nn UD

i1 u g Io g

nnn onnnnfi ounnn+ +

2. Na página 24, pedimos que você decifrasse estes números nosistema de numeração da Mesopotâmia:

• y«~87

~w25 141

Agora, decifre mais estes:

yyy <{V WWY--------------------- -- - ------

Além disso, os maias desenvolveram um sistema de numeração com-plexo. Por essa razão, vamos mostrá-I o apenas em parte. Veja a seguir arepresentação dos primeiros números:

1 6 • •• • 11 - 16- -- -•• 2 •• 7 •• 12- - ••- 17-••• 3 ••• 8 ••• 13-- •••

•••• 9 •••• - 18•••• 4 14 ---5 10 - 15 ••••- 19- - -.

E agora, percebeu o padrão? Adivinhe a continuação: qual era o símbo--10 para o 20? Seria este = ?Não, não era essa a maneira de representar o 20. Era desta forma:

•~

A concha representava o zero. Agora, observe a representação demais alguns números depois do 20 para entender um pouco mais osistema:

• • • • •• • • • •••• • •• ••• •••• -• ••• •••• -- --- -21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

•••••---1 x20+ =3919

•• 2><;20+ =40O

••••-

3 x20+ = 666

5x20+ = 100O

Agol-a que você já conhece vários sistemas de numeração, vamos des-tacar e comparar algumas de suas características.

As representações dos números um, dois e três

Veja como elas se parecem em todos estes sistemas:

Sistema Representação

egípcio O D~ numesopotâmico I" TI YY'Y

romano I 11 111- -chinês - - --maia • •• •••

Sobre a posição dos simbolos

• No sistema egípcio, tanto faz escrever nu ou uno No primeiro ca-so, você terá 10 + I e, no segundo. I + 10,ou seja, sempre terá I I.• No -sisterna romano, a ordem pode fazer diferença: IV é quatro e VI éseis.• No sistema mesopotâmico, a posição também é fundamental. Umapequena mudança na posição dos símbolos transforma 62 em 121!

"Y60 +

TI2 = 62

Y'TY2x60 + 1= 121

Conclusão: os sistemas mesopotâmico e romano são posicionais, ouseja. mudando a posição dos símbolos. muda-se o número representado.Isso não acontece no sistema egípcio.

Para você pensar: o sistema qU'2 usamos é posicional?

r

o IJrincipio aditivo

Um sistema de numeração apresenta o princípio aditivo quando onúmero representado é a soma dos valores de cada símbolo. Assim:

u O100 + 100 + 10 + 1O+ 10 + 1+1 = 232

o sistema romano tem o princípio aditivo. Mas cuidado, ele tambémtem o princípio subtrativo.

C D X X 1 V500 - 100 + 10 + 10 + (5 - 1) = 424

A questão do zero

Por falta do zero, os egípcios eram obrigados a usar símbolos diferen-tes para 10, 100, I000, 10000, etc. Note que nós usamos apenas os sím-bolos I e ° para todos esses números. Os mesopotâmicos também nãoconheciam o zero, daí a confusão na escrita dos números, em que umespaço entre os sinais podia mudar o seu valor.

E as contas?

Final~ente, comparando os sistemas, podemos saber se são adequa-dos para fazer contas. Nosistema egípcio, é fácilfazeralgumas contas, mas é pre-ciso escrever muito. Parafazer adições, basta juntaros símbolos e, se preciso,fazer trocas:

+nllnnnn

I \

" OU '.I U RI II I

~ g 11)\Uf

--,'

Dez U foram trocados por um f)).

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A viabilidade da constr. do conhecimento III

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