เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 0

สารบญ ความเปนมา

1

แนวทางการฝกอบรมเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต)

2

การบวกแบบเวทคณต - การบวกแบบเวทคณต

6

การลบแบบเวทคณต - การลบโดยใชหลกการทบสบ - การลบทแปลงตวลบโดยใชหลกการทบสบและทบเกา - การลบตรงหลก - การลบโดยใชวธนขลม

10 12 16 18

การคณแบบเวทคณต - การคณโดยการจดต าแหนงผลคณ - การคณโดยใชตาราง - การคณโดยใชตารางดวยวธนขลม - การคณแนวตงและการคณไขว - การคณโดยวธเบยงฐาน

22 27 30 32 39

การหารแบบเวทคณต - การหารโดยใชวธนขลม - การหารโดยใชวธพาราวารท

50 58

เอกสารอางอง

64

คณะท างาน 65

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 1

ความเปนมา

นายกรฐมนตรกลาวถงแนวคดเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดยวา “คนอนเดยคดเลขหลกแสนหลกลานภายในเวลาไมกวนาท” ในงาน “นายกรฐมนตรพบเพอนคร” และมอบนโยบายใหส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐานด าเนนการลงสการปฏบต ทศนยการประชม IMPACT เมองทองธาน จงหวดนนทบร

เทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต : Vedic Mathematics) มทมาจากคมภรโบราณในการคดเลขเรวซงเปนสวนหนงของคมภรพระเวทของอนเดย ประกอบดวยสตร 16 สตร ทเกยวกบการบวก ลบ คณ หาร เปนสตรเฉพาะชวยใหคดลดขน และจาก 16 สตรหลก สามารถน ามาผสมผสานกนและผนวกกบพนความรในดานการคดค านวณได

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐานจงไดด าเนนการศกษา คนหา และรวบรวมขอมล เอกสาร เกยวกบการคดเลขเรวแบบอนเดย โดยประชมผทรงคณวฒ เพอก าหนดกรอบเนอหา ถอดบทเรยน และพฒนาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (แบบเวทคณต) และน าไปทดลองใชในโรงเรยน ในส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 1- 4 และส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8 จ านวน 37 โรงเรยน และส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพระนครศรอยธยา เขต 1- 2 และส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 3 จ านวน 50 โรงเรยน และมการปรบปรงหลงการทดลองใช ทงน ผลการทดลองใชแสดงใหเหนวา ผเรยนสามารถคดเลขไดเรวกวาวธปกต และครผสอน มความเขาใจและเหนประโยชนในการน าไปจดการเรยนร บางสวนไดน าเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดยไปฝกนกเรยนท าโครงงานคณตศาสตร เพอสงเขาประกวดงานศลปหตถกรรมนกเรยน

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน ไดด าเนนการขบเคลอนเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) ตามนโยบายของกระทรวงศกษาธการ และเหนควรใหมการพฒนาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) และการขยายผลเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) ไปสการปฏบตระดบสถานศกษาตอไป

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 2

หลกการ

เปนแนวทางการฝกอบรมทเนนภาคปฏบตเพอพฒนาครและศกษานเทศกใหมความรความเขาใจ และช านาญในการใชเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) มทกษะในการน าเทคนคการคดเลขเรว แบบอนเดย (เวทคณต)ไปใชในการจดการเรยนรอยางมประสทธภาพ ตลอดจนสามารถด าเนนการขยายผล การพฒนาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) สการปฏบต

วตถประสงค

1. เพอใหครและศกษานเทศกมความรความเขาใจเกยวกบเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) 2. เพอใหครและศกษานเทศกมทกษะในการบวก การลบ การคณ และการหาร ดวยเทคนคการคดเลขเรว

แบบอนเดย (เวทคณต) 3. เพอสงเสรมใหครสามารถน าเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) ไปใชเพอพฒนาการเรยนร

ของนกเรยนและการจดการเรยนรของคร

เปาหมาย

1. ครและศกษานเทศกทเขารบการอบรมมความรความเขาใจเกยวกบเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต)

2. ครและศกษานเทศกทเขารบการอบรมมทกษะในการบวก การลบ การคณ และการหาร ดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต)

3. ครและศกษานเทศกทเขารบการอบรมสามารถวางแผนและด าเนนการในการขยายผล เปนทปรกษา ชวยเหลอ แนะน า ก ากบ และตดตามเกยวกบการด าเนนงานการพฒนาเทคนคการคดเลขเรว แบบอนเดย (เวทคณต) อยางมประสทธภาพ

แนวทางการฝกอบรมเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต)

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 3

โครงสรางเนอหา

เนอหาในการฝกอบรมเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) ประกอบดวย 6 หนวย แบงเปนภาคทฤษฎ จ านวน 10 ชวโมง ภาคปฏบต จ านวน 8 ชวโมง รวม 18 ชวโมง

หนวยท เนอหา ทฤษฎ

(ชวโมง) ปฏบต

(ชวโมง) รวม

(ชวโมง)

1 เรยนรเทคนคการคดเลขเรว 1.5 2 3.5 1.1 ความเปนมา และแนวนโยบายการ

ด าเนนงานพฒนาทกษะการคดเลขเรวดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต)

1.2 เทคนคการคดเลขเรวแบบหตถคณต 2 การบวกแบบเวทคณต

: การบวกเฉพาะเลขโดด 1 1.5 2.5

3 การลบแบบเวทคณต 1.5 1.5 3 3.1 การลบโดยใชหลกการทบสบและ

ทบเกา

3.2 การแปลงตวลบโดยใชหลกการ ทบสบและทบเกา

3.3 การลบตรงหลก 3.4 การลบโดยวธนขลมสตร 4 การคณแบบเวทคณต 1.5 1.5 3 4.1 การคณโดยการจดต าแหนงผลคณ 4.2 การคณโดยใชตาราง 4.3 การคณแนวตงและการคณไขว 4.4 การคณโดยวธเบยงฐาน 5 การหารแบบเวทคณต 1.5 1.5 3 5.1 การหารแบบเวทคณต 5.2 การหารโดยระเบยบวธพาราวารท 6 การพฒนาคณภาพผเรยนดวยเทคนค

การคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) 6.1 การขยายผลการด าเนนงาน 6.2 เวทคณต: จากแนวปฏบตสการวจยในชนเรยน

3 - 3

รวม 10 8 18

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 4

กจกรรมการฝกอบรม

1. บรรยาย

2. อภปราย

3. ฝกปฏบต 4. แลกเปลยนเรยนร โดยการน าเสนอผลงาน และใหขอมลสะทอนกลบ

กระบวนการฝกอบรม

การด าเนนการฝกอบรมนแบงเปน 4 ขนตอน คอ

ขนท 1 ตรวจสอบพนฐานเดม เปนกระบวนการฝกอบรมในรปของการทดสอบความรเกยวกบเทคนค การคดเลขเรวแบบตาง ๆ อภปรายกลมยอยถงสภาพและการยอมรบการเปลยนแปลงการคดเลขเรวดวยเทคนควธใหม ๆ ขนท 2 สรางเสรมสงใหม เปนกระบวนการฝกอบรมในรปของการประชมเชงปฏบตเกยวกบเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) โดยการฟงบรรยายและท ากจกรรม รวมทงมการอภปรายแลกเปลยนเรยนร ขนท 3 ลงมอปฏบต เปนกระบวนการฝกอบรมในรปการประชมเชงปฏบตการโดยเนนใหผเขารวมประชม ไดลงมอปฏบตจรงในการบวก ลบ คณ หาร โดยการใชเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) ขนท 4 น าสชนเรยน เปนกระบวนการฝกอบรมในรปแบบการประชมเชงปฏบตการ โดยใหครและศกษานเทศกออกแบบและวางแผนด าเนนการในการขยายผลการพฒนาคณภาพผเรยนดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) เพอพฒนาการจดการเรยนรของผเรยน และท าหนาทใหค าปรกษา ชวยเหลอ แนะน า ก ากบ ตดตามเกยวกบการด าเนนงานการพฒนาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) อยางมประสทธภาพ

สอ/แหลงเรยนรในการอบรม 1. เอกสารการฝกอบรมประกอบดวย

1.1 เอกสารแนวทางการฝกอบรม 1.2 แบบฝกกจกรรมการฝกอบรม

2. สอการน าเสนอของวทยากรประกอบดวยโปรแกรมการน าเสนอ (PowerPoint) และเอกสารประกอบการบรรยาย

3. เครองมอประเมนผลการฝกอบรม

การวดและประเมนผล 1. ประเมนจากผลการปฏบตงาน (formative assessment) 2. สอบถามความคดเหนทมตอการเนอหาและกระบวนการฝกอบรม ระยะเวลา และประโยชนทไดรบ

ระยะเวลาทใชฝกอบรม รวม 18 ชวโมง

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 5

การบวกแบบเวทคณต

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 6

การบวกแบบเวทคณต การบวกแบบเวทคณตเปนการบวกเฉพาะเลขโดด ถาผลบวกเกน 9 จะใชจด ( ) แทนการทด ก ากบ

ไวเหนอตวบวกและทศทางการบวกจะบวกจากบนลงลางจนหมดแถว โดยเรมจากหลกหนวย หลกสบ หลกรอย หลกพน ไปเรอยๆ จนครบทกหลก ตวอยางท 1 3 + 9 + 5 + 8 = วธคด ดงนน 3 + 9 + 5 + 8 = 25

3 + + 5 +

2 5

ค าอธบาย

1) 3 + 9 = 12 (ผลบวกเกน 9 ) ใสจด ( ) ไวเหนอ 9 น า 2 ไปบวกกบตวถดไป จะได 2 + 5 = 7 น า 7 ไปบวกกบ 8 จะได 7 + 8 = 15 (ผลบวกเกน 9 ) ใสจด ( ) ไวเหนอ 8 น า 5 เขยนตอบในหลกหนวย

2) หลกสบเขยนเลข 2 ( 2 มาจาก ทอยเหนอ 9 และ 8 ในหลกหนวย

ตวอยางท 2 68 + 19 + 25 = วธคด ดงนน 68 + 19 + 25 = 112

6 8 + 1 +

1 1 2

ตวอยางท 3 382 + 146 + 489 + 27 + 28 = วธคด

3 2 + 1 4 6 + + 2 + 2

1 0 7 2 ดงนน 382 + 146 + 489 + 27 + 28 = 1072

ตวอยางท 4 835,748 + 29,673 + 249,176 = วธคด

8 3 5 7 4 8 + 2 + 1 7 6

1 1 1 4 5 9 7

ดงนน 835,748 + 29,673 + 249,176 = 1,114,597

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 7

แบบฝกหด เรอง การบวกแบบเวทคณต

1) 8 + 9 + 2 + 7 = วธคด

8 + 9 + 2 +

7

ตอบ

2) 42 +95 + 89 +57 = วธคด

4 2 + 9 5 + 8 9 +

5 7

ตอบ

3) 453 + 124 + 589 + 412 + 333 = วธคด

4 5 3 + 1 2 4 + 5 8 9 + 4 1 2 + 3 3 3

ตอบ

4) 798,527+38,990+193,736+63,925+237,721= วธคด

7 9 8 5 2 7 + 3 8 9 9 0 + 1 9 3 7 3 6 + 6 3 9 2 5 + 2 3 7 7 2 1

ตอบ

5) 6 5 9 1 + 4 3 4 7 + 8 6 2 4 + 3 9 8 7 + 7 6 4 5

6) 9 5 6 4 3 2 + 1 2 3 3 5 4 + 3 2 6 7 0 + 2 7 0 5 8 9 + 9 1 7 7 6

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 8

7)

5 1 2 3 0 1 + 2 4 3 7 1 1 + 9 5 2 0 2 1 + 3 4 7 6 5 9 + 7 6 4 5 1 3

8) 2 0 0 4 6 9 + 3 4 4 5 6 9 + 1 1 3 7 5 1 + 3 4 5 5 6 7 + 7 6 4 1 2 0

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 9

การลบแบบเวทคณต

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 10

การลบโดยใชหลกการทบสบ ทบสบ หมายถง เลขโดดสองจ านวน รวมกนไดเทากบ 10 ในกรณทเลขโดดในหลกใดของตวตงมคานอยกวาตวลบ ใหใส ( ) เหนอตวลบในหลกถดไปทางซาย และ ในหลกทมสญลกษณ ( ) เหนอตวเลขนน จะมคาเพมขนอก 1 เชน , = 6 , = 9

ตวอยาง จงหาผลลบของ 93,765 – 4,897 วธคด 9 3 7 6 5

+3 4 8 7

8

9 3 7 6 5 +0

4 7 6 8

9 3 7 6 5 +1

7 8 6 8

9 3 7 6 5 +5

7 8 8 6 8

9 3 7 6 5

7 8 8 8 6 8

ดงนน 93,765 – 4,897 = 88,868

ขนท 1 ในหลกหนวยตวตง 5 นอยกวาตวลบ 7 ใหใส ( ) ในหลกสบท จ านวนทบสบ ของ 7 คอ 3 ดงนน 3 + 5 = 8

ขนท 2 ในหลกสบ ตวตง 6 นอยกวาตวลบ ซง = 10 ใหใส ( ) ในหลกรอยท จ านวนทบสบ

ของ 10 คอ 0 ดงนน 0 + 6 = 6

ขนท 4 ในหลกพนตวตง 3 นอยกวาตวลบ ซง = 5 ใหใส ( ) ในหลกหมนท จ านวนทบสบ

ของ 5 คอ 5 ดงนน 5 + 3 = 8

ขนท 5 ในหลกหมน ตวตง 9 ลบดวย ซง

= 1 จะได 9 1 = 8

ขนท 3 ในหลกรอยตวตง 7 นอยกวาตวลบ ซง = 9 ใหใส ( ) ในหลกพน จ านวนทบสบ ของ

9 คอ 1 ดงนน 1 + 7 = 8

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 11

แบบฝกหด เรอง การลบโดยใชหลกการทบสบ

1) 798,527 - 38,995 = วธคด

7 9 8 5 2 7 -

3 8 9 9 5

2) 193,736 - 63,928 = วธคด

1 9 3 7 3 6 -

6 3 9 2 8

3) 450,013 – 229,987 = วธคด

4 5 0 0 1 3 -

2 2 9 9 8 7

4) 63,925 - 27,799 = วธคด

6 3 9 2 5 -

2 7 7 9 9

5) 101,013 – 99,999 = วธคด

1 0 1 0 1 3 -

9 9 9 9 9

6) 6,703,925 - 1,087,799 = วธคด

6 7 0 3 9 2 5 -

1 0 8 7 7 9 9

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 12

การลบทแปลงตวลบโดยใชหลกการทบสบและทบเกา ทบสบ หมายถง เลขโดดสองจ านวน รวมกนไดเทากบ 10

ทบเกา หมายถง เลขโดดสองจ านวน รวมกนไดเทากบ 9

การแปลงตวลบโดยใชหลกการทบสบและทบเกา มขนตอนดงน ขนท 1 แปลงตวลบในหลกหนวยเปนทบสบของตวลบ ขนท 2 แปลงตวลบในหลกถดไปเปนทบเกา ขนท 3 เมอแปลงตวเลขครบทกหลกแลวใหใส เพมในหลกถดไป ( หมายถง 1) ขนท 4 เมอแปลงตวลบแลวใหน าไปบวกกบตวตง จะไดผลลพธ ** ส าหรบหลกซายสดนนการบวกดวย กคอการลบดวย 1 ในหลกซายสด

ตวอยางการแปลงตวลบเปนทบสบและทบเกา ใหตวลบ คอ 4,786 แปลงไดดงน 4 7 8 6 5 2 1 4 พจารณา 5 2 1 4 = - 10,000 + 5,214 = - 4,786 ดงนน การแปลงตวลบเปนทบสบและทบเกาของ 4 7 8 6 คอ 5 2 1 4

ทบเกา ทบสบ

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 13

ตวอยางท 1 จงหาผลลบของ 23,489 17,654 แนวคด

2 3 4 8 9 - 1 7 6 5 4

ขนท 1 แปลงตวลบใหเปนทบสบและทบเกา และเปลยนการด าเนนการเปนการบวก โดยเปลยนตวลบ การแปลงตวลบจาก 1 7 6 5 4 จะได 1 8 2 3 4 6

แปลงตวลบเปน 2 3 4 8 9 + 8 2 3 4 6

2 3 4 8 9 + 2 3

0 0 5 8 3 5

ขนท 2 ท าการบวก โดยใชจด (.) แทนการทด ตามวธการบวกแบบเวทคณต ในหลกแสน จะได 1 + 1 = 0 ใสผลลพธ 0 ในหลกแสน

ดงนน 23,489 17,654 = 5,835

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 14

ตวอยางท 2 จงหาผลลบของ 33,489 17,654 12,999 แนวคด

3 3 4 8 9 - 1 7 6 5 4 - 1 2 9 9 9

ขนท 1 จะเหนวา ในกรณนมการลบสองครง ใหแปลงตวลบในบรรทดทสอง และบรรทด ทสาม ใหเปนผลบวกคทบสบและผลบวกค ทบเกา และเปลยนการด าเนนการใหเปน การบวก โดยเปลยนตวลบ 1 7 6 5 4 ใหเปน 8 2 3 4 6 โดยเปลยนตวลบ 1 2 9 9 9 ใหเปน 8 7 0 0 1

แปลงตวลบเปน

3 3 4 8 9 +

8 2 3 4 6 +

8 7 0 0 1

3 3 4 8 9 +

2 3 + 0 0 1

0 0 2 8 3 6

ขนท 2 ท าการบวก โดยใชจด ( . ) แทนการทด ตามวธการบวกแบบเวทคณต จากหลกหนวย หลกสบ ไปเรอย ๆ จนถงหลกแสน หลกแสนจะได 2 + + = 0 ใสผลลพธ 0 ใน หลกแสน

ดงนน 33,489 17,654 12,999 = 2,836

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 15

แบบฝกหด เรอง การลบทแปลงตวลบโดยใชหลกการทบสบและทบเกา

1) 798,527 - 38,995 = วธคด

2) 193,736 - 63,928 = วธคด

3) 450,013 – 229,987 = วธคด

4) 63,925 - 27,799 = วธคด

5) 101,013 – 99,999 = วธคด

6) 6,703,925 - 1,087,799 = วธคด

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 16

การลบตรงหลก การลบตรงหลก หมายถง การน าเลขหลกเดยวกนมาลบกน โดยตวตงในหลกหนวย ลบดวยตวลบ ในหลกหนวย ตวตงในหลกสบ ลบดวยตวลบในหลกสบ กรณท 1 ตวตงมากกวาตวลบ ใหลบตามปกต

กรณท 2 ตวตงนอยกวาตวลบ คาทไดจะตดลบ ใหใสเครองหมายขดบน ( ) บนคานนๆ

เชน 2 – 5 = อานวา = -3

5 – 9 = อานวา = - 4 เปนตน

กรณท 3 คาทไดจากการตดบาร ตองแปลงคาใหเปนเลขฐานสบ โดยใชการทบสบและทบเกา ซงคาแรกทางขวาสดถาตดบารใหทบสบ คาทตดบารทอยตดกนตวถดไปใหทบเกาและคาไมตดบารอยตดกบ คาทตดบาร จะมคาลดลง 1 เชน 2 = 17 , 42 = 4,165 , 6 1 = 53,074

ตวอยาง 56416 – 38339 =

5 6 4 1 6 - 3 8 3 3 9 2 1

ขนท 1ท าการลบในหลกหนวยตวตง ( 6 ) นอยกวาตวลบ ( 9 ) ใหน า 6 – 9 = (-3) เขยนแทนดวย ในหลกถดไปใหด าเนนการเชนเดยวกนจนครบทกหลก ดงน 6 – 9 = 1 – 3 = 4 – 3 = 1 6 – 8 = 5 – 3 = 2

5 6 4 1 6 - 3 8 3 3 9 2 1 1 8 0 7 7

หมายถง 20,100 – 2,023 = 18,077

ขนท 2 เนองจากค าตอบทไดมคาตดบาร แปลงไดโดยใชหลกทบสบ และทบเกา ดงน 2

ทบสบของ คอ 7 ทบเกาของ คอ 7 * 1 เปลยนเปน 0 เนองจาก อยตดกบคาทไมไดตดบาร จงมคาลดลง 1 ทบสบของ คอ 8 เนองจากคาตดบาร ไมตอเนอง จงเรมใชหลกทบสบใหม 2 เปลยนเปน 1 โดยใชหลกการเดยวกน *

ดงนน 56,416 38,339 = 18,077

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 17

แบบฝกหด เรอง การลบตรงหลก

1) 798,527 - 38,995 = วธคด

2) 193,736 - 63,928 = วธคด

3) 450,013 – 229,987 = วธคด

4) 63,925 - 27,799 = วธคด

5) 101,013 – 99,999 = วธคด

6) 6,703,925 - 1,087,799 = วธคด

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 18

การลบโดยใชวธนขลม

นขลมสตร เปนการแปลงตวเลขทมคามากกวา 5 ใหเปนตวเลขทนอยกวาหรอเทากบ 5 แลว ใหใสเครองหมายขดบน ( ) บนตวเลขนน เพองายตอการค านวณ ดงตวอยางตอไปน

พจารณา 8 จะเหนวา 8 = 10 – 2 หรอ 8 = 10 + (-2) ถาเขยน (-2) เปน จะได 8 = 10 + ซงจะเขยนเปน 1 ดงนน 8 = 1 ตวอยางท 1 จงแปลง 3 5 6 9 2 โดยใชวธนขลม 3 5 6 9 2 4 2

ไมมการเปลยนแปลง เพราะ 2 นอยกวา 5 1 เปนจ านวนทบสบของ 9 จงเขยน

3 เปนจ านวนทบเกาของ 6 จงเขยน

หลกรอย 5 ตองเพมขน 1 เปน 6 ดงนน 4 เปนจ านวนทบสบของ 6 จงเขยน

เพมคาขนอก 1 เปน 4 ดงนน 3 5 6 9 2 = 4 2

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 19

ตวอยางท 2 จงหาผลลบ 4 7 9 8 2 - 3 9 5 8 5 โดยใชวธนขลม แนวคด

4 7 9 8 2 -

3 9 5 8 5

ขนท 1 แปลงตวลบทมากกวา 5 ใหนอยกวาหรอเทากบ 5 ดงน 3 9 5 8 5 แปลงเปน 4 0 5 หลกหนวย 5 ไมเปลยนแปลงเพราะมคาเทากบ 5 หลกสบ 8 แปลงเปน (เนองจากทบสบของ 8 คอ ) หลกรอย 5 ตองเพมขน 1 เปน 6 ดงนน แปลงเปน (เนองจากทบสบของ 6 คอ ) หลกพน 9 แปลงเปน 0 (เนองจากทบเกาของ 9 คอ 0) หลกหมน 3 แปลงเปน 4 (เนองจาก 0 เกดจากการทบ ท าให 3 มคาเพมขนอก 1 กลายเปน 4)

แปลงตวลบเปน ตวเลขแบบนขลม

4 7 9 8 2 -

4 0 5

แนวคด

4 7 9 8 2 +

4 0 5

ขนท 2 เปลยนตวลบเปนจ านวนตรงขาม

แปลงตวลบเปนตวบวก

4 7 9 8 2 +

0 4 2

แนวคด

4 7 9 8 2 +

0 4 2

ข น ท 3 เป ล ย น การลบ ให เป น ก ารบ วก โดยบ วกด วย จ านวนตรงขามของตวลบ ดงน 4 7 9 8 2 - 4 0 5 = 4 7 9 8 2 - { - 0 4 2 } = 4 7 9 8 2 + 0 4 2

ขนท 4 น า 4 7 9 8 2 + 0 4 2 = 8 4 0

แปลงค าตอบเปน 8 4 0 = 8 3 9 7

แปลงค าตอบ

4 7 8 2 +

0 4

0 7 13 10 0 8 4 0 8 3 9 7

ดงนน 47,982 – 39,585 = 8,397

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 20

แบบฝกหด เรอง การลบโดยใชวธนขลม

1) 408,527 - 8,975 = วธคด

2) 93,432 - 27,927= วธคด

3) 704,022 – 619,787 = วธคด

4) 1,063,925 - 927,799 = วธคด

5) 3,121,122 – 598,989 = วธคด

6) 8,723,955 - 1,987,799 = วธคด

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 21

การคณแบบเวทคณต

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 22

การคณโดยการจดต าแหนงผลคณ การคณโดยจดต าแหนงผลคณจะแนะน ารปแบบตางๆดงน

1. ตวตงและตวคณประกอบดวยเลขโดด 2 ตว 2. ตวตงประกอบดวยเลขโดด 3 ตวและตวคณประกอบดวยเลขโดด 2 ตว 3. ตวตงประกอบดวยเลขโดด 3 ตวและตวคณประกอบดวยเลขโดด 3 ตว

ในการตงคณทว ๆ ไป จะมการคณ ดงน ถา ab และ cd เปนจ านวนทม 2 หลก หาผลคณไดดงน

a b c d 1 1 (1) ผลคณของ d x b 0 (2) ผลคณของ d x a 1 1 0 (3) ผลคณของ c x b 1 1 0 0 (4) ผลคณของ c x a

โดยทเลขโดดในชอง นนอาจเปน 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 หรอ 9 ขนอยกบผลคณ จะเหนวา ในแถว (1) มทวางในต าแหนงหลกพนและหลกรอยจงยายตวเลขในหลกพนและหลกรอย

ใน (4) ไปไวแถว (1) ดงน a b

c d 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 เมอตดตวเลข 0 ออกไปจะได

a b c d 1 1 1 1 (1) ผลคณของ c x a และ d x b ตามล าดบ 1 1 (2) ผลคณของ d x a 1 1 (3) ผลคณของ c x b

x

x

x

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 23

หมายเหต ถาผลคณของจ านวน 2 จ านวนทเปนเลขโดดแลวได ผลคณทเปนเลขโดด ใหเตม 0 ใน ทางซาย เชน

4 2 = 0 8

การหาผลคณของจ านวนทมสามหลก กบจ านวนทมสองหลกท าไดดงน

a b c

d e 2 ชองซาย e x a 2 ชองขวา e x c

e x b

2 ชองซาย d x a 2 ชองขวา d x c

d x b

ตอบ

การหาผลคณของจ านวนทมสามหลก กบจ านวนทมสามหลกท าไดดงน

a b c

d e f 2 ชองซาย f x a 2 ชองขวา f x c

f x b

2 ชองซาย e x a 2 ชองขวา e x c

e x b

2 ชองซาย d x a 2 ชองขวา d x c

d x b ตอบ

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 24

ตวอยางท 1 จงหาผลคณ 435 x 67 วธท า

4 3 5

6 7 2 ชองซาย 7 x 4 2 8 3 5 2 ชองขวา 7 x 5

1 7 x 3

2 ชองซาย 6 x 4 2 4 3 0 2 ชองขวา 6 x 5

1 6 x 3

ตอบ 2 9 1 4 5

ตวอยางท 2 จงหาผลคณของ 987 × 423 วธท า

9 8 7

4 2 3 2 ชองซาย 3 x 9 2 7 2 1 2 ชองขวา 3 x 7

2 ชองซาย 2 x 9 1 4 2 ชองขวา 3 x 8

2 ชองซาย 4 x 8 3 2 1 2 ชองขวา 2 x 7

2 ชองซาย 4 x 9 3 1 6 2 x 8

2 2 ชองขวา 4 x 7

ตอบ 4 1 7 5 0 1

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 25

ลองท าด จงหาผลคณของ 724 × 51 (เตมผลคณตามคาประจ าหลกใหถกตอง) วธท า

7 2 4

5 1

ตอบ

ลองท าด จงหาผลคณของ 7324 × 234 (เตมผลคณตามคาประจ าหลกใหถกตอง) วธท า

7 3 2 4

2 3 4

ตอบ

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 26

แบบฝกหด เรอง การคณโดยการจดต าแหนงผลคณ 1)

3 5 4 2 6

2) 7 2 5 9 2

3) 7 8 2 9 5 6 2

4) 8 9 7 2 7 3 5 4

5) 7 3 2 4

2 3 4

ตอบ

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 27

การคณโดยใชตาราง ขนตอนการคณแบบตาราง 1. สรางตารางตามจ านวนหลกของตวตงและตวคณ เชน จ านวนสองหลกคณจ านวนสองหลก

สรางตาราง 2 x 2 จ านวนสามหลกคณจ านวนสามหลก สรางตาราง 3 x 3 แลวเขยนเสนทแยงมม 2. น าตวตงเขยนก ากบในแนวนอน ตวคณเขยนก ากบในแนวตง 3. หาผลคณของแตละจ านวนใสในตาราง ถาไดผลคณเปนจ านวนหนงหลกใหใสชองดานลาง ถาไดผลคณ

เปนจ านวนสองหลกใหเขยนหลกหนวยในชองดานลาง หลกสบเขยนในชองดานบน 4. หาผลบวกตามแนวทแยงจากบนลงลาง จากขวาไปซาย *กรณผลบวกในแนวทแยงมากกวา 9 ขนไป เชน 10 ใหเขยน 10 , 15 ใหเขยน 15 5. น าผลบวกทไดเขยนเรยงจากซายไปขวา จะไดค าตอบ

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 23 x 5 วธท า

ขนท 1

23 เปนตวตงจ านวนสองหลก และ 5 เปนตวคณจ านวนหนงหลก ใหเขยน23 (ตวตง) ไวดานบนของตาราง เขยน 5 (ตวคณ) ไวดานขวาของตาราง

ขนท 2

น า 5 x 3 ได 15 ซงผลคณเปนจ านวนสองหลกใหน าเลข หลกหนวยเขยนชองลาง และเลขหลกสบเขยนชองบน

ขนท 3

น า 5 x 2 ได 10ซงผลคณเปนจ านวนสองหลกใหน าเลข หลกหนวยเขยนชองลาง และเลขหลกสบเขยนชองบน

ขนท 4 หาผลบวกตามแนวทแยง (ตามลกศร )

แลวน าเลขของผลบวกเขยนเรยงตามลกศร

นนคอผลคณตามตองการ

ดงนน 23 x 5 = 115

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 28

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 12 X 15

ตอบ 12 x 15 = 180 ตวอยางท 3 จงหาคาของ 246 X 38

ดงนน 246 x 38 = 9,348

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 29

แบบฝกหด เรอง การคณโดยใชตาราง 1) 32 X 57 =

ตอบ 32 x 57 = ……………………………………. 2) 412 X 63 =

ตอบ 412 X 63 = ……………………………………. 3) 214 X 356 =

ตอบ 214 X 356 = …………………………………….

4) 8412 X 356 =

ตอบ 8412 X 356 =......................................................

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 30

การคณโดยใชตารางดวยวธนขลม เงอนไข

1. นกเรยนตองเรยนรวธการแปลงเปนนขลมจากเรองการลบและการคณโดยใชตารางกอนเรยนรในเรองน 2. วธนเหมาะกบโจทยทเลขโดดมคาสงมากกวา 5 เพราะวธการของนขลมเปนการท าใหตวเลขนอยลง

เพอสะดวกตอการค านวณ การคณโดยใชตาราง(ดวยวธนขลม) มขนตอนดงน

ขนตอนท 1 : ใหเปลยนโจทย โดยการใชวธนขลม ขนตอนท 2 : สรางตารางใสตวเลขก ากบ และหาผลคณแบบวธปกต ขนตอนท 3 : ผลคณทไดจะเปนนขลม ใหเปลยนเปนเลขในระบบฐานสบ

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 79 X 86 79 = 1 86 = 1

จากตารางจะได 1 3 3 9 4 นนคอ 79 X 86 = 1 3 3 9 4 = 6,794

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 768 X 597 768 = 1 597 = 1 0

จากตารางจะได 1 6 6 3 14 9 6

นนคอ 768 X 597 = 1 6 14 9 6 = 1 6 4 9 6

= 4 5 8 4 9 6

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 31

แบบฝกหด เรอง การคณโดยใชตารางดวยวธนขลม

1) 89 X 67

89 =…………………………………… 67 =…………………………………....

นนคอ 89 X 67 = …………………………………………………..

2) 68 X 96

68 =…………………………………………… 96 =……………………………………………

นนคอ 68 X 96 = …………………………………………………….

3) 989 X 988

989 =………………………………………. 988=……………………………………..

นนคอ 989 X 988 = …………………………………………………….

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 32

การคณแนวตงและการคณไขว ขอตกลงเบองตน

1. ผลลพธทเกดจากการคณของเลขโดด 2 ตว กรณผลคณเปนจ านวนทมสองหลก เขยนไดดงน เชน 13 เขยนแทนดวย 31 (อานวา 3 หอย 1)

27 เขยนแทนดวย 72 (อานวา 7 หอย 2)

2. ค าตอบของการคณ มวธการหาโดยบวกตามแนวลกศร ดงน เชน 2 34 15 = 681 63 9312 = 2,526

กรณท 1 ตวตงและตวคณเปนจ านวนทมสองหลก

มผงการคณจากขวาไปซาย โดยใช แทนต าแหนงของเลขโดดของตวตงและตวคณ ดงน ตวอยางท 1 จงหาผลคณของ 24 31 แนวคด เนองจากตวตงและตวคณเปนจ านวนทมสองหลก จงมผงการคณดงน

23 = 6 (21) + (34) = 14 41 = 4 การค านวณ

2 4 3 1 6 14 4

จาก 6 14 4 เทากบ 744 ดงนน 24 31 = 744

6 8 1

รวมทด

2 5 2 6

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 33

กรณท 2 ตวตงและตวคณเปนจ านวนทมสามหลก มผงการคณจากขวาไปซาย โดยใช แทนต าแหนงของเลขโดดของตวตงและตวคณ ดงน

ตวอยางท 2 จงหาผลคณของ 613 158 แนวคด เนองจากตวตงและตวคณเปนจ านวนทมสามหลก จงมผงการคณดงน

61 = 6 (65)+(11) = 31 (68)+(15)+(13) = 56 (18) + (53) = 23 38 = 24

การค านวณ

6 1 3 1 5 8 6 31 56 23 24

จาก 6 31 56 23 24 เทากบ 9 6 8 5 4 ดงนน 613 158 = 96,854

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 34

กรณท 3 ตวตงเปนจ านวนทมสามหลก และตวคณเปนจ านวนทมสองหลก แนวคด เนองจากจ านวนหลกของตวตงมากกวาตวคณ จงใสเลข 0 หนาตวคณ เพอใหจ านวนเลขโดดของ ตวตงและตวคณเทากนเสยกอน แลวจงท าการค าควณตามผงการคณดงน

90 = 0 (20)+(94) = 36 (93)+(24)+(05) = 35 (23) + (45) = 26 53 = 15

ตวอยางท 3 จงหาผลคณของ 925 43 การค านวณ

9 2 5 0 4 3 0 36 35 26 15

จาก 36 35 26 15 เทากบ 3 9 7 7 5 ดงนน 925 43 = 39,775 กรณท 4 ตวตงและตวคณเปนจ านวนทมสหลก มผงการคณจากขวาไปซาย โดยใช แทนต าแหนงของเลขโดดของตวตงและตวคณ ดงน

ตวอยางท 4 จงหาผลคณของ 5,274 8,136 แนวคด เนองจากตวตงและตวคณเปนจ านวนทมสหลก จงมผงการคณดงน

ผลคณ 40 21 73 75 37 54 24

การค านวณ 5 2 7 4 8 1 3 6

40 21 73 75 37 54 24

จาก 40 21 73 75 37 54 24 เทากบ 4 2 9 0 9 2 6 4 ดงนน 5,274 8,136 = 42,909,264

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 35

กรณท 5 ตวตงและตวคณมเลขโดดทมากกวาเลข 5

ในกรณทตวตงและตวคณมเลขโดดทมากกวาเลข 5 เราสามารถแปลงเปนเลขโดดทม คานอยกวา 5 ไดโดยใชนขลมสตร ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 5 จงหาผลคณของ 2818 แนวคด 2 8 = 3 2 และ 18 = 2 2 เนองจากตวตงและตวคณเปนจ านวนทมสองหลก จงมผงการคณดงน 3 3 3

2 2 2

3 x 2 = 6 (3x )+(2x )= + =

การค านวณ

3 2 2 2

6 4

จาก 6 4 เทากบ 504

ดงนน 2818 = 504

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 36

แบบฝกหด เรอง การคณแนวตงและการคณไขว 1) 5832

........................ ……………………… ………………………..

การค านวณ 5 8 3 2

จาก ……………………………………. เทากบ ........................... ดงนน 24 31 = ............................................................. 2) 479 561

………………………… ………………………. ……………………. ………………………. …………………….. การค านวณ

4 7 9 5 6 1

จาก ……………………………………………. เทากบ ………………………………. ดงนน 479561 = …………………………………

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 37

3) 514 39

………………………… ………………………. ……………………. ………………………. …………………….. การค านวณ

5 1 4 3 9

จาก ……………………………………………. เทากบ ………………………………. ดงนน 51439 = ………………………………… 4) 4,216 3,036

............... .................. .................. .................. ..................... ....................... ..................... การค านวณ

4 2 1 6 3 0 3 6

จาก ……………………………………………. เทากบ ………………………………. ดงนน 4,216 3,036 = …………………………………

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 38

5) 388 197 (แปลงเปนตวเลขนขลม) แนวคด 3 8 8 = _______ และ 1 9 7 = _______ 6) 917 187 (แปลงเปนตวเลขนขลม) แนวคด 9 1 7 = ____________ และ 1 8 7 = ____________

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 39

การคณโดยวธเบยงฐาน

คาเบยงฐาน ตวเลขในเวทคณตเชนเดยวกบตวเลขระบบฐานสบกลาวคอองฐานของระบบฐานสบและขณะเดยวกนจะระบคาเบยงฐานควบคไปดวยในกรณตองการคณ โดยตวเลขในเวทคณตจะยดฐาน 10, 100, 1,000, ... และระบคาเบยงฐานของจ านวนเหลานนซงคาเบยงฐานมทงคาบวกคาลบและศนยจะอธบายคาเบยงฐานโดยใชตวอยางประกอบดงน ตวอยางท 1 คาเบยงฐานจากฐาน 10 8 มคานอยกวา 10 อย 2 หมายถง 8 มคาเบยงฐานจาก 10 เปน –2 6 มคานอยกวา 10 อย 4 หมายถง 6 มคาเบยงฐานจาก 10 เปน –4 13 มคามากกวา 10 อย 3 หมายถง 13 มคาเบยงฐานจาก 10 เปน +3 25 มคามากกวา 10 อย 15 หมายถง 25 มคาเบยงฐานจาก 10 เปน +15 ตวอยางท 2 คาเบยงฐานจากฐาน 100 82 มคานอยกวา 100 อย 18 หมายถง 82 มคาเบยงฐานจาก 100 เปน –18 96 มคานอยกวา 100 อย 4 หมายถง 96 มคาเบยงฐานจาก 100 เปน –04 105 มคามากกวา 100 อย 5 หมายถง 105 มคาเบยงฐานจาก 100 เปน +05 118 มคามากกวา 100 อย 18 หมายถง 118 มคาเบยงฐานจาก 100 เปน +18 ตวอยางท 3 คาเบยงฐานจากฐาน 1,000 992 มคานอยกวา 1,000 อย 8 หมายถง 992 มคาเบยงฐานจาก 1,000 เปน –008 986 มคานอยกวา 1,000 อย 14 หมายถง 986 มคาเบยงฐานจาก 1,000 เปน –014 1,011 มคามากกวา 1,000 อย 11 หมายถง 1,011 มคาเบยงฐานจาก 1,000 เปน +011 1,026 มคามากกวา 1,000 อย 26 หมายถง 1,026 มคาเบยงฐานจาก 1,000 เปน +026 ขนตอนวธการคณโดยวธเบยงฐาน

ขนท 1 เขยนตวตงและตวคณแบบจ านวนพรอมคาเบยงฐาน 10 100 1000 และตงคณ ขนท 2 แบงผลคณทจะไดออกเปนสองสวน โดยใช / เปนตวแบง ซงจะแยกผลคณจากคาเบยงฐานไว

ตางหาก ขนท 3 หาผลคณของคาเบยงฐาน แลวใสผลลพธไวทางขวาของ / ขนท 4 หาผลบวกของตวตงและคาเบยงฐานของตวคณ หรอตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง (ผลบวกในแนวทแยงจะเทากน) แลวเขยนไวดานซายมอของเครองหมาย / ชนท 5 เขยนผลคณทได

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 40

×

×

×

×

×

×

1. ผลคณของจ านวนทมคาใกลเคยงฐานสบ ตวอยางท 1 จงหาคาของ 6 × 8

วธท า 6 –4 8 –2 6 –4 8 –2 / 6 –4 8 –2 / 8 6 –4 8 –2 4 / 8 ดงนน 6 × 8 = 48 ตวอยางท 2 จงหาคาของ 12 × 14

วธท า 12 +2 14 +4 12 +2 14 +4 / 12 +2 14 +4 / 8 12 +2 14 +4 16 / 8 ดงนน 12 × 14 = 168

ขนท 1 คาเบยงฐานสบของ 12 คอ +2 คาเบยงฐานสบของ 14 คอ +4

×

ขนท 3 2 4 = 8 ผลคณของเลขเบยงฐานสบจะเขยนเปนเลขหลกเดยว และในกรณทผลคณเปนเลขสองหลกใหเขยนตามหลกวธของเวทคณต

ขนท 412 + 4 = 16 และ 14 + 2 = 16ผลบวกทไดจะมคาเทากน

ขนท 5 ตอบ

×

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

ขนท 3 (–4)(–2) = 8

ขนท 1 คาเบยงฐานสบของ 6 คอ –4 คาเบยงฐานสบของ 8 คอ –2

ขนท 4 6 + (–2) = 4และ 8 + (–4) = 4

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

ขนท 5 ตอบ

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 41

×

×

×

×

×

×

ตวอยางท 3 จงหาคาของ 18 × 19

วธท า 18 +8 19 +9 18 +8 19 +9 / 18 +8 19 +9 / 72 18 +8 19 +9 27 / 72 ดงนน 18×19 = 2 7 72 = 3 4 2 2. ผลคณของจ านวนทมคาใกลเคยงฐานรอย ตวอยางท 1 จงหาคาของ 112 × 108

วธท า 112 +12 108 +08 112 +12 108 +08 / 112 +12 108 +08 / 96 112 +12 108 +08 120 / 96

ดงนน 112 × 108 = 120/96 = 12,096

ขนท 1 คาเบยงฐานสบของ 18 คอ +8 คาเบยงฐานสบของ 19 คอ +9

×

ขนท 3 8 9 = 72 ในกรณทผลคณเปนเลขสองหลกใหเขยนตามหลกวธของเวทคณต นนคอ 72

ขนท 4 18 + 9 = 27 และ 19 + 8 = 27

×

ขนท 4 112 + 08 = 120 และ 108 + 12 = 120

ขนท 1 คาเบยงฐานรอยของ 112 คอ +12 คาเบยงฐานรอยของ 108 คอ +08

ขนท 3 1208 = 96

หมายเหต 2 772 หมายถง 7+7 = 14 ฉะนน 2 772 = 342

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 42

×

×

×

×

×

× ×

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 115 × 130

วธท า 115 +15 130 +30 115 +15 130 +30 / 115 +15 130 +30 /450 115 +15 130 +30 145 / 450 ดงนน 115 × 130 = 145450 = 14,950 ตวอยางท 3 จงหาคาของ 93 × 84

วธท า 93 –07 84 –16 93 –07 84 –16 / 93 –07 84 –16 /112 93 –07 84 –16 77 / 112 ดงนน 93×84 = 77112 = 7,812

×

ขนท 4 115 + 30= 145 และ 130 + 15 = 145

ขนท 3 1530= 450

×

ขนท 4 93+(–16) = 77และ 84+(–07) = 77

ขนท 3 (–07)(–16)= 112

ขนท 1 คาเบยงฐานรอยของ 93 คอ –07 คาเบยงฐานรอยของ 84 คอ –16

ขนท 1 คาเบยงฐานรอยของ 115 คอ +15 คาเบยงฐานรอยของ 130 คอ +30

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 43

×

×

×

×

×

× ×

ตวอยางท 4 จงหาคาของ 97 × 112

วธท า 97 –03 112 +12 97 –03 112 +12 / 97 –03 112 +12 / 97 –03 112 +12 109 / ดงนน 97 × 112 = 109 = 10,864 ***แปลงโดยวธนขลม 3. ผลคณของจ านวนทมคาใกลเคยงฐานพน ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1002 1008

วธท า 1002 +002 1008 +008 1002 +002 1008 +008 / 1002 +002 1008 +008 / 016 1002 +002 1008 +008 1010 / 016 ดงนน 1002 × 1008 = 1,010,016

× ขนท 1 คาเบยงฐานพนของ 1002 คอ +002 คาเบยงฐานพนของ 1008 คอ +008

ขนท 3 002008= 016

ขนท 4 1002+008=1010 และ 1008+002 = 1010

×

ขนท 4 97+12 = 109และ 112+(–03) = 109

ขนท 1 คาเบยงฐานรอยของ 97 คอ –03 คาเบยงฐานรอยของ 112 คอ +12

ขนท 3 (–03)(+12)= –36

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 44

×

×

×

×

×

×

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1200 1035

วธท า 1200 +200 1035 +035 1200 +200 1035 +035 / 1200 +200 1035 +035 / 7000 1200 +200 1035 +035 1235 / 7000 ดงนน 1200 × 1035 = 12357000 = 1,242,000 ตวอยางท 3 จงหาคาของ 986 995

วธท า 986 –014 995 –005 986 –014 995 –005 / 986 –014 995 –005 / 070 986 –014 995 –005 981 / 070 ดงนน 986 × 995 = 981,070

×

×

ขนท 1 คาเบยงฐานพนของ 1200 คอ +200 คาเบยงฐานพนของ 1035 คอ +035

ขนท 3 200035= 7000

ขนท 4 1200+035=1235 และ 1035+200 = 1235

ขนท 1 คาเบยงฐานพนของ 986 คอ –014 คาเบยงฐานพนของ 995 คอ –005

ขนท 3 (–014)(–005)= 070

ขนท 4 986+(–005) = 981 และ 995+(–014) = 981

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 45

×

×

×

×3 = 108

4. ผลคณของจ านวนทมคาใกลเคยงฐานยอยอนๆ ในกรณทตวตงและตวคณ มคาเบยงฐานมากจะใชฐานยอยเขาชวยซงฐานยอยจะอยในรปพหคณของ 10, 100, 1000, ... ตวอยางท 1 จงหาคาของ 32 34

วธท า 32 +2 34 +4 32 +2 34 +4 / 32 +2 34 +4 / 8 32 +2 34 +4 36 / 8 ดงนน 32 × 34 = 1,088

× ขนท 1 คาเบยงฐานยอยสามสบของ 32 คอ +2 คาเบยงฐานยอยสามสบของ 34 คอ +4 โดยใชฐานอางองคอ 10

ขนท 3 2 4 = 8

ขนท 4 32 + 4 = 36 และ 34 + 2 = 36

ผลลพธดานซายของ / คณดวย 3เนองจาก ฐานยอย 30 เกดจาก ฐานอางอง 10 คณดวย 3

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 46

×

×

×

×5 = 255

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 53 48

วธท า 53 +3 48 –2 53 +3 48 –2 / 53 +3 48 –2 / 53 +3 48 –2 51 / ดงนน 53 × 48 = 255 = 2,544 ***แปลงโดยวธนขลม

×

ขนท 3 3 (–2) = –6

ผลลพธดานซายของ / คณดวย 5 เนองจาก ฐานยอย 50 เกดจาก ฐานอางอง 10 คณดวย 5

ขนท 4 53 + (–2) = 51 และ 48 + 3 = 51

ขนท 1 คาเบยงฐานยอยหาสบของ 53 คอ 3 คาเบยงฐานยอยหาสบของ 48 คอ –2 โดยใชฐานอางองคอ 10

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 47

×

×

×

×2 = 354

ตวอยางท 3 จงหาคาของ 185 192 วธท า 185 –15 192 –08 185 –15 192 –08 / 185 –15 192 –08 / 120 185 –15 192 –08 177 / 120 ดงนน 185 × 192 = 354120 = 35,520 ***โดยวธเวทคณต

ขนท 1 คาเบยงฐานยอยสองรอยของ 185 คอ –15 คาเบยงฐานยอยสองรอยของ 192 คอ –08 โดยใชฐานอางองคอ 100

×

ขนท 3 (–15) (–08) = 120

ผลลพธดานซายของ / คณดวย 2เนองจาก ฐานยอย 200 เกดจาก ฐานอางอง 100 คณดวย 2

ขนท 4 185 + (–08) = 177 และ 192 + (–15) =177

ขนท 2 เตม / เพอแบงผลคณออกเปน 2 สวน

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 48

แบบฝกหด เรอง การคณโดยวธเบยงฐาน 1) 18 x 17

5) 992 x 993

2) 12 x 13

6) 28 x 26

3) 96 97

7) 394 x 389

4) 92 103

8) 789 805

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 49

การหารแบบเวทคณต

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 50

การหารโดยใชวธนขลม

การหารตามแนวเวทคณตเปนวธการปรบจ านวนใหเหมาะสมและอาจใชจ านวนทบสบ จ านวนทบเกา และวธการแปลงจ านวน ในกรณทตวหารเปนเลขโดดทมคามากกวา 5 เมอใชนขลมสตรผสมกบการหารสงเคราะห จะท าใหการหารนนงายขน ในทนจะน าเสนอวธการหาร 2 วธคอการหารโดยวธนขลมและการหารแบบพาราวารท ดงตวอยางตอไปน

ตวหารเปนเลขโดดทมากกวา 5 โดยใชวธนขลม ตวอยางท 1 จงหาร 34 ดวย 9 ขนตอนท 1 9 ) 3 4 1

พจารณาตวหาร โดยการทบสบ คอ จ านวนทบสบของ 9 คอ 1 ไวใตเลข 9

ขนตอนท 2 9 ) 3 4 1

จ านวนทบสบทไดมา คอ 1 น าไปใชในการหารสงเคราะห จากนนพจารณาตวตงเพอแบงต าแหนงของตวเลขจากขวาไปซายใหจ านวนต าแหนงของตวหารจ านวนทบสบทไดมาโดยใชเสนแบงระหวางผลลพธกบเศษ

ขนตอนท 3 9 ) 3 4 1

นบจ านวนบรรทดตอจากตวตงลงมาใหเทากบจ ำนวนของเลขโดดของตวตงทำงดำนซำย ของเสนแบงแลวขดเสนใต

ขนตอนท 4 9 ) 3 4 1 3

ชกเลขโดดตวแรกดานซายสดลงมาใตเสนของขนตอนท 3

เสนแบง

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 51

ขนตอนท 5 9 ) 3 4 1

3 3

น าจ านวนทบไปคณกบตวเลขทชกมาแลวน าไปใสในหลกถดไป

ขนตอนท 6 9 ) 3 4

1 3 3 7

บวกเลขโดดในต าแหนงทสองลงมาไวใตเสนดงตวอยาง

ขนตอนท 7 ผลลพธคอ 3 เศษ 7

ตรวจค าตอบ น าผลลพธ คณตวหาร แลวบวกดวยเศษ (3 x 9) + 7 = 27 + 7 = 34 ตวอยางท 2 จงหาร 216 ดวย 89 ขนตอนท 1 8 9 ) 2 1 6 1 1

พจารณาตวหาร โดยการทบรอย คอ จ านวนทบรอยของ 89 คอ 11 ไวใตเลข 89 แลวเขยนการตงหารดงน

ขนตอนท 2 8 9 ) 2 1 6 1 1

จ านวนทบรอยทไดมา คอ 11 น าไปใชในการหารสงเคราะห จากนนพจารณาตวตงเพอแบงต าแหนงของตวเลขจากขวาไปซายใหเทากบจ ำนวนต ำแหนงของจ ำนวนทบรอย ทไดมาโดยใช เสนแบงระหวางผลลพธกบเศษ

ขนตอนท 3 8 9 ) 2 1 6 1 1

นบจ านวนบรรทดตอจากตวตงลงมาใหเทากบจ านวนของเลขโดดของตวตงทางดานซายของเสนแบงแลวขดเสนใต

ขนตอนท 4 8 9 ) 2 1 6 1 1

2

ชกเลขโดดตวเลขตวแรกดานซายสดลงมาใตเสนสดทายของขนตอนท 3

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 52

ขนตอนท 5 8 9 ) 2 1 6 1 1

2

น าจ านวนทบไปคณกบตวเลขทดงมา แลวน าผลลพธไปใสในหลกถดไปโดยใหเลขหลกตรงกน (จากตวอยางจ านวนทบเปนเลขสองต าแหนงเขยนผลคณใหเปนสองต าแหนงของหลกถดไป)

ขนตอนท 6 8 9 ) 2 1 6 + 1 1

2 2

2 3 8

บวกเลขโดดในต าแหนงหลงเสนแบงดานขวาทกต าแหนงทมหลกตรงกนลงมาไวใตเสน

ขนตอนท 7 38 < 89

ดงนนผลลพธของการหาร 216 ดวย 89 มคาเทากบ 2 เศษ 38

ถาผลรวมหลงเสนแบงดานขวามอมคานอยกวาตวหารสรปไดวาจ านวนทไดคอเศษของค าตอบ

ตรวจค าตอบ (89 x 2) + 38 = 216 ตวอยางท 3 จงหาร 3,124 ดวย 7 แนวคด

เมอผลรวมหลงเสนแบงดานขวามอมคามากกวาตวหาร ตองน าตวเลขทไดมาด าเนนการหารตอไปอก

1 0 0

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 53

เมอผลรวมหลงเสนแบงดานขวามอมคามากกวาตวหารแตจ านวนต าแหนงเทากบตวหาร ใหน ามาแปลงใหอยในรปแบบนขลมกอน แลวจงด าเนนการตอ

จาก 9 110

11

การแปลงเลข 9 เปนนขลม

ผลลพธของการหาร 3124 ดวย 7 คอ 3 01 23

1 3 1 เศษ 2

เทากบ 446113432 เศษ 2

9

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 54

ในกรณทตวเลขมคามากกวา 5 อยหลายตว เราอาจจะแปลงเลขโดดเหลานนโดยใชขดดานบน เพอคด

ค านวณโดยใชเลขโดดทนอยกวา 5 จะสะดวกกวา ดงน

ตวอยางท 4 จงหาร 98,564,318 ดวย 9,886 แนวคด การแปลงเปนนขลม 98564318 = 243244110

พจารณาตวตงมตวเลขโดดทมคามากกวา 5 อยหลายตว เราอาจจะแปลงเลขโดดเหลานนโดยใชขดดานบน(นขลม)

9 8 8 6 ) 9 8 5 6 4 3 1 8 0 1 1 4 ) 1 0

4 3 2

0 1 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 1 0

ผลลพธของการหาร 98,564,318 ดวย 9,886 คอ 100 0 เศษ 1 0 = 1 0

เทากบ 10,000 – 30 = 9,970 เศษ 1,000 – 102 = 898 ผลลพธ คอ 9,970 เศษ 898

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 55

แบบฝกหด เรอง การหารโดยใชวธนขลม

1. 1,323 9

2. 1,568 98

3. 54,023 89

4. 335,328 998

5. 1,340,729 8,879

6. 1,428 88

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 56

แบบฝกหด เรอง การหารโดยใชวธนขลม

7. 3,400 89

8. 11,311 988

9. 204,351 979

10. 324,413 989

11. 1,304,351 899

12. 79,168 99

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 57

แบบฝกหด เรอง การหารโดยใชวธนขลม

13. 78,479 97

14.129,790 998

15. 198,073 979

16. 997,881 889

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 58

การหารโดยใชวธพาราวารท

การหารโดยใชวธพาราวารท มความเหมาะสมกบตวหารทอยในรป 1abc วธนจะตางจากการหารโดยวธนขลมในขนตอนแรกสวนขนตอไปคลายกน ซงถาตวหารอยในรป 1abc ตวหารปรบปรงใหม (MD) คอ a b c

ตวอยางท 1 จงหาร 1235 ดวย 112 แนวคด ตวหาร คอ 112 จะได MD = 21

เนองจาก MD มเลขโดด 2 ตว จะเขยน หนาเลขโดดของ

ตวตง 2 ตวนบจากทางขวา

1 1 2 ) 1 2 3 5

1 1 0 3

ผลลพธคอ 11 เศษคอ 03 ดงนน 1235 ÷ 112 = 11 เศษ 3

ตวอยางท 2 จงหาร 1,354 ดวย 184 แนวคด พจารณาตวหารคอ 184 ถงแมวาจะม 1 น าหนา แตตวตามคอ 8 จะท าใหค านวณล าบาก อาจจะใชวธการดงน 1 8 4 = 2 4

1 8 4 = 2 2 4 เมอน า 2 ไปหารจะได 2 ) 2 2 4 = 1 1 2 2 ) 2

4 ) 1 3 5 4 1

2 1

1

4

1 4 7

** เนองจากน า 2 ไปหารตวหารจงจะตองน า 2 ไปหารผลลพธ แตไมตองน า 2 ไปหารเศษทไดดงน 14 2 = 7

จาก 7 = 70 – 4 = 66

จะไดผลลพธ คอ 7 เศษคอ 66 ดงนน 1354 ÷ 184 = 7 เศษ 66

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 59

ตวอยางท 3 จงหาร 112 ดวย 89

แนวคด กรณนตวหารคอ 89 สามารถแปลงเปน 1 จะใช 1 เปนตวหาร

1

) 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3

ผลลพธ คอ 1 เศษคอ 23 ดงนน 112 ÷ 89 = 1 เศษ 23

ตวอยางท 4 จงหาร 13,254 ดวย 1,132 แนวคด

1 1 3 2 ) 1 3 2 5 4

1 2

0

6 7 0 1 3 2

7 10 2 8 0 2

ผลลพธ คอ 11 เศษคอ 802 ดงนน 13,254 ÷ 1132= 11 เศษ 802

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 60

แบบฝกหด เรอง การหารโดยใชวธพาราวารท

1. 1,235 112

2. 81,937 1,102

3. 131,503 1,229

4. 13,891 1,072

5. 2,253 182

6. 14,850 198

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 61

แบบฝกหด เรอง การหารโดยใชวธพาราวารท

7. 197,960 178

8. 124,312 1,918

9. 76,848 891

10. 17,885 679

11. 3,564 297

12. 890,188 789

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 62

แบบฝกหด เรอง การหารแบบเวทคณต 1. 25,654 101 2. 153,577 1,121

3. 95,687 102 4. 191,987 1,032

5. 981,887 9,889 6. 1,872,695 8,821

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 63

แบบฝกหด เรอง การหารแบบเวทคณต 7. 10,139 318 8. 225,024 819

9. 1,753,244 8,998 10. 8,983,697 8,877

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 64

เอกสารอางอง นภาพร สจจปยะนจกล. (ม.ป.ป.). แบบฝกทกษะเวทคณตพนฐาน เลม 1. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพ พบซ

จ ากด.

ศกดา บญโต. (2543). เวทคณต (Vedic Mathematics) : คณตคดลดจากสตรพนฐาน 16 สตร. กรงเทพฯ: ศลปะการพมพ.

สทธ ภบาลแทน และ ผานต ทรงสนทร. (ม.ป.ป.). หลกการคดเลขเรว (Rapid Calculations). กรงเทพฯ. (เอกสารอดส าเนา).

สมชาย ศรวรางกล. (2559). การลบแบบเวทคณต. กรงเทพฯ. (เอกสารอดส าเนา).

ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา. (2554). แบบฝกเสรมสรางทกษะกระบวนการคดส าหรบนกเรยนทม ความสามารถพเศษทางคณตศาสตร ระดบประถมศกษา เลมท 6 : เวทคณตมหศจรรย. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว.

Sri Sathya Sai Veda Pratishtan. (date unknown). Vedic Mathematics - Methods. Retrieved from http://vedamu.org/VedicMathematics.aspx

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 65

คณะท างาน ทปรกษา

ผทรงคณวฒ

ผรบผดชอบโครงการ กลมพฒนากระบวนการเรยนร ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

1. นายการณ สกลประดษฐ เลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 2. นายบญรกษ ยอดเพชร รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 3. นางสกญญา งามบรรจง ผอ านวยการส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

รกษาการในต าแหนงทปรกษาดานพฒนากระบวนการเรยนร

1. นายสมชาย ศรวรางกล ขาราชการบ านาญ 2. นางสาวลดดาวลย ดานศรวโรจน ขาราชการบ านาญ

1. นายธญญา เรองแกว ผเชยวชาญดานตดตามตรวจสอบการด าเนนการบรหาร การจดการศกษาขนพนฐาน

2. นางผาณต ทวศกด นกวชาการศกษา ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

3. นางสาววรณน ขนศร นกวชาการศกษา ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

4. นางบษรน ประเสรฐรตน นกวชาการศกษา ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

5. นางสาวภทรา ดานววฒน นกวชาการศกษา ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

6. นางสาวอธฐาน คงชวยสถตย นกวชาการศกษา ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

7. นางสาววศน เขยวเขน นกวชาการศกษา ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

8. นางสาวปรมาพร เรองเจรญ พนกงานธรการ ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 66

คณะท างานพฒนาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต)

1. นายปรชา อรณสวสด ขาราชการบ านาญ 2. นายประเสรฐ สภรกษ ขาราชการบ านาญ 3. นายกระจาย คงสง ขาราชการบ านาญ 4. นายวเชยร นกบน ขาราชการบ านาญ 5. นางเยาวภา ศานตธรรม ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 6. นายภทรวตฐ ซอตรง ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบร เขต 1 7. นางสาวประทมวน ดอมไธสง ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมา เขต 6 8. นางลดดา ศรทอง ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาปทมธาน เขต 1 9. นายส าเรง รองในเมอง ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาตราด 10. นางรญญาภทร อยรา ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาอทยธาน เขต 2 11. นายนพนธ สารถอย ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานาน เขต 2 12. นางสาวสาลน จงใจสรธรรม ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลง เขต 1 13. นางอานซะห ประจน ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาปตตาน เขต 1 14. นายนรศ ไชยแกว ผอ านวยการโรงเรยนบานทามะเดอ

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 15. นางไพวรรณ นมตเกาะ ผอ านวยการโรงเรยนบานทงเสอโทน

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 16. นางสกลรตน หมนด ผอ านวยการโรงเรยนบานหนองขอน

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 17. นายกตคณ ดลยานนท ครโรงเรยนอนบาลกาญจนบร

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 1 18. นางมณฑา ตนโพธ ครโรงเรยนวดกรางทองราษฎรบรณะ

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 1 19. นางประนอม ทมพทกษ ครโรงเรยนอนบาลวดลกแกประชาชนทศ

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 2 20. นางสาวธาน เซยนมน ครโรงเรยนบานทงประทน

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 2

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 67

21. นายชาตร อนตะ ครโรงเรยนวดเขาสะพายแรง

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 2 22. นางสาวสจตรา นาคนาร ครโรงเรยนวดเบญพาด

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 2 23. นางสาวสรลกษณ หวองเจรญพานช ครโรงเรยนวดดอนชะเอม

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 2 24. นางสาววรญญา เมตตาพล ครโรงเรยนวดดอนแสลบ

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 2 25. นายไพฑรย เสมอตระกล ครโรงเรยนอนบาลไทรโยค

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 26. นายวชรนทร บรสการ ครโรงเรยนวดปาถ าภเตย

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 27. นายสรวสส ทพสพ ครโรงเรยนบานบองต

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 28. นางสาวกงกาญจน สาล ครโรงเรยนไทรโยคใหญ

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 29. นางสาวศภชญา วเชยรรตน ครโรงเรยนบานหาดงว

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 3 30. นายกรวฒน ภฆง ครโรงเรยนบานหนองปลง

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 31. นางสาวชนญชดา บญลอย ครโรงเรยนบานเสาหงส

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 32. นางนงนช กางออน ครโรงเรยนบานหนองขอนเทพพนม

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 33. นางสาวภทรวด ศรธญญากร ครโรงเรยนบานตรอกสะเดา

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 34. นางสนนทา กาญจนภญพงศ ครโรงเรยนปาไมอทศ 15 (บานมวงเฒา)

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 35. นางสาวปาณสรา ธษาจารย ครโรงเรยนบานพรหมณ

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 36. นางสาวศราภรณ เทวะผลน ครโรงเรยนบานหนองกระทม

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 37. นางธดารตน มงงาม ครโรงเรยนบานวงดง

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบร เขต 4 38. นายไกวลย ถนอมสน ครโรงเรยนบานปงใน

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานาน เขต 1 39. นางรชกร เรอนตบ ครโรงเรยนพระพทธบาทวทยา

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานาน เขต 2

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 68

40. นายเศกสรร ภทรานรกษโยธน ครโรงเรยนบานหชาง

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาอทยธาน เขต 2 41. นางสาวจไรรตน เอมสรรค ครโรงเรยนชมชนบานเมองการงมตรภาพท 52

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาอทยธาน เขต 2 42. นางเครอวลย ศรศกดา ครโรงเรยนอนบาลควนขนน

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลง เขต 1 43. นางสาวส ารวย หนสม ครโรงเรยนวดโงกน า

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลง เขต 1 44. นางสาวปาตยะ มะสาร ครโรงเรยนบานรามง

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาปตตาน เขต 1 45. นางสาวดารณ แวมานะ ครโรงเรยนบานหนองแรต

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาปตตาน เขต 1 46. นางสาวปราณ เชยงทอง ครโรงเรยนบานไมรด (วสทธประชาสรรค)

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาตราด 47. นางสาวจนทรจรา จตนาวสาร ครโรงเรยนบานไมรด (วสทธประชาสรรค)

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาตราด 48. นายนพดล ประจกษโพธา

ครโรงเรยนอนบาลสพรรณบร ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบร เขต 1

49. นางสาวอษา อตชาตมณ ครโรงเรยนวดหงสปทมาวาส ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาปทมธาน เขต 1

50. นางบญนาค สรสาร ครโรงเรยนขจรทรพยอ ารง ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาปทมธาน เขต 1

51. นางสาวณภทร ใจกลา ครโรงเรยนวดประยรวงศาวาส ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร

52. นายศรสษฐ เชอทอง ครโรงเรยนวสทธรงษ ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

53. นางสาวอรสา พงศสวรรณ ครโรงเรยนรมเกลา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

54. นายบรรหาร เชอทอง ครโรงเรยนเลาขวญราษฎรบ ารง ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

55. นายคชานนท ธนะสกล ครโรงเรยนเลาขวญราษฎรบ ารง ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

56. นางสาวศรญญา จนดา ครโรงเรยนทามวงราษฎรบ ารง ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

57. นางนษฐธรย ดวงอาทตย ครโรงเรยนทามวงราษฎรบ ารง ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

58. นางสาวเสาวณ วงษพฒน ครโรงเรยนพระแทนดงรงวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 69

คณะบรรณาธการกจ

1. นายสมชาย ศรวรางกล ขาราชการบ านาญ 2. นางสาวลดดาวลย ดานศรวโรจน ขาราชการบ านาญ 3. นายปรชา อรณสวสด ขาราชการบ านาญ 4. นายประเสรฐ สภรกษ ขาราชการบ านาญ 5. นายกระจาย คงสง ขาราชการบ านาญ 6. นายวเชยร นกบน ขาราชการบ านาญ 7. นายภทรวตฐ ซอตรง ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบร เขต 1 8. นางสาวประทมวน ดอมไธสง ศกษานเทศก

ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมา เขต 6 9. นายลอชย ทพรงศร ครโรงเรยนหนองฉางวทยา

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา 42 10. นายธญญา เรองแกว ผเชยวชาญดานตดตามตรวจสอบการด าเนนการบรหารการ

จดการศกษาขนพนฐาน 11. นางผาณต ทวศกด นกวชาการศกษา

ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา 12. นางสาววรณน ขนศร นกวชาการศกษา

ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา 13. นางบษรน ประเสรฐรตน นกวชาการศกษา

ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา 14. นางสาวภทรา ดานววฒน นกวชาการศกษา

ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา 15. นางสาวอธฐาน คงชวยสถตย นกวชาการศกษา

ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา

59. นางสาวศรพร วชรชยโสภณสร ครโรงเรยนทามะกาวทยาคม ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

60. นางบษรา ประชากล ครโรงเรยนทองผาภมวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

61. นางพมพา แพทยวงค ครโรงเรยนทองผาภมวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

62. นายปยวทย เหลองระลก

ครโรงเรยนเฉลมพระเกยรตสมเดจพระศรนครนทร กาญจนบร ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8

63. นายลอชย ทพรงศร ครโรงเรยนหนองฉางวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 42

เ ว ท ค ณ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 70

ออกแบบปกและจดท ารปเลม

1. นางสาวณภทร ใจกลา ครโรงเรยนวดประยรวงศาวาส ส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร

2. นางสาวศรญญา จนดา ครโรงเรยนทามวงราษฎรบ ารง ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 8