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Neuber Silva Ferreira

Regina Helena de Oliveira Lino Franchi

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Ouro Preto|

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Ouro Preto| 2013

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Instituto de Ciências Exatas e BiológicasPrograma de Pós

ReitorVice

Drietor(a) Vice-Drietor(a

Drietor(a)

Coordenação

Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira, Prof. Dr. Frederico da Silva Reis

Cavalcante Moreira,

Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998.

F383m Ferreira, Neuber Silva.

Abordagem do conceito de função em ambientes de Modelagem Matemática com uso de tecnologias/

67f.: il. color.; graf.; tab.

Orientadora: Profa. Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi.

Produto Educacional do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto.

1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Modelagem matemática. 3. Funções (Matemática). 4. Tecnologia da informação. I. Franchi, Regina Helena de Oliveira Lino. II. UnivFederal de Ouro Preto. III. Título.

CDU: 517.5:316.772.5

©2013

Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática

Programa de Pós-Graduação| Mestrado Profissional em Educação Matemática

Reitor da UFOP| Prof. Dr. MarconeJamilson Freitas SouzaVice-Reitor| Profa. Dra. Célia Maria Fernandes Nunes

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS

Drietor(a) | Profa. Dra. Raquel do Pilar MachadoDrietor(a) | Prof. Dr. Fernando Luiz Pereira de Oli

PRÓ-REITORIA DEPESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO Pró-Reitor(a) | Prof. Dr. Valdei Lopes de Araújo

Drietor(a)-Adjunto | Prof. Dr. André Talvani Pedrosa da Silva

Coordenação | Profa. Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi

MEMBROS Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira, Profa. Dra. Célia Maria Fernandes Nunes, Prof. Dr

rederico da Silva Reis, Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura Viana, Prof. Dr. Plínio Cavalcante Moreira, Profa. Dra. Teresinha Fumi Kawasaki.

FICHA CATALOGRÁFICA

Catalogação: [email protected] Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998.

Todos os direitos reservados.

Neuber Silva.

Abordagem do conceito de função em ambientes de Modelagem Matemática com uso de tecnologias/ Neuber Silva. Ouro Preto: UFOP, 2013.

.: il. color.; graf.; tab.

Orientadora: Profa. Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi.

onal do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto.

Estudo e ensino. 2. Modelagem matemática. 3. Funções (Matemática). 4. Tecnologia da informação. I. Franchi, Regina Helena de Oliveira Lino. II. UnivFederal de Ouro Preto. III. Título.

Departamento de Matemática Graduação| Mestrado Profissional em Educação Matemática

Jamilson Freitas Souza Dra. Célia Maria Fernandes Nunes

Raquel do Pilar Machado Fernando Luiz Pereira de Oliveira

André Talvani Pedrosa da Silva


Prof. Dr. Dale Willian Bean, Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura Viana, Prof. Dr. Plínio

mi Kawasaki.

Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998.

Abordagem do conceito de função em ambientes de Modelagem Matemática com

onal do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade

Estudo e ensino. 2. Modelagem matemática. 3. Funções (Matemática). 4. Tecnologia da informação. I. Franchi, Regina Helena de Oliveira Lino. II. Universidade

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Epígrafe

“A Educação modela as almas e recria os corações

Ela é a alavancadas mudanças sociais”

PAULO FREIRE

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Epígrafe

ria os corações.

Ela é a alavancadas mudanças sociais”

PAULO FREIRE

Apresentação .......................................................

1 – Introdução .........................................................................

2 – Educação Matemática Crítica ........................................

3 – Modelagem Matemática ............................................

4 – Tecnologias Informáticas ........................................

5 – Funções ......................................................

6 – Roteiro das atividades desenvolvidas

7 – Considerações finais ..............

Referências bibliográficas .........

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..........................................................................................................................

Introdução .......................................................................................................................................

Educação Matemática Crítica ....................................................................................................

Modelagem Matemática .............................................................................................................

nformáticas ...........................................................................................................

Funções .............................................................................................................................................

Roteiro das atividades desenvolvidas ....................................................................................

inais ....................................................................................................................

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Índice

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Caro(a) Professor(a),

Esse material apresenta uma sugestão para a abordagem do em ambientes de Modelagem Matemáticarealizamos no Programa de Mestrado Profissional emUFOP, intitulada “Modelagem Matemática e tecnologias dcomunicação como amEducação Matemática Crítica”.

As atividades apresentadas neste material foram de Modelagem Matemática desenvolvidos pordo Ensino Médio, sobre temas de seu interesse. Tendo como basemodelagem, foram identificadas situaçõesabordagem do conceito de função. Essas situações apresentavam relação entre duas grandezasdependência, regularidade e generalização. ou não como função de acodefinição formal de função foi apresentada aos estudantes. Eabordados conceitos rimagem, gráficos, crescimento e decrescimento, dentre

Apresentamos essas atividades Função, que além de propiciar o tratamento matemático do referido assunto, também propicia tratar a Matemática na perspectiva da Educação Matemática Crítica, em situações estudantes, estimulando

Apre

_____________________________

Esse material apresenta uma sugestão para a abordagem do e Modelagem Matemática. É um recorte da pesquisa que

realizamos no Programa de Mestrado Profissional em Educação MatemáticaModelagem Matemática e tecnologias d

comunicação como ambiente para abordagem do conceito de função segundo a Educação Matemática Crítica”.

As atividades apresentadas neste material foram elaboradas aMatemática desenvolvidos por grupos de alunos d, sobre temas de seu interesse. Tendo como base

foram identificadas situações potencialmente favoráveis para do conceito de função. Essas situações apresentavam

relação entre duas grandezas, possibilitando a abordagem das dependência, regularidade e generalização. Cada situação estudada foi identificada ou não como função de acordo com as características das relações e assim a definição formal de função foi apresentada aos estudantes. Eabordados conceitos relacionados tais como: domínio, contradomínio, conjunto imagem, gráficos, crescimento e decrescimento, dentre outros.

ssas atividades como uma sugestão de abordagem do conceito de Função, que além de propiciar o tratamento matemático do referido assunto, também propicia tratar a Matemática na perspectiva da Educação Matemática Crítica, em situações que favorecem discussões sobre temas de interesse dos

, estimulando a sua participação crítica na sociedade.

Apresentação

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Esse material apresenta uma sugestão para a abordagem do conceito de função um recorte da pesquisa que

Educação Matemática da Modelagem Matemática e tecnologias da informação e

biente para abordagem do conceito de função segundo a

elaboradas a partir de trabalhos alunos do Primeiro Ano

, sobre temas de seu interesse. Tendo como base os trabalhos de potencialmente favoráveis para

do conceito de função. Essas situações apresentavam algum tipo de , possibilitando a abordagem das noções de variável,

Cada situação estudada foi identificada rdo com as características das relações e assim a

definição formal de função foi apresentada aos estudantes. Em seguida foram como: domínio, contradomínio, conjunto

como uma sugestão de abordagem do conceito de Função, que além de propiciar o tratamento matemático do referido assunto, também propicia tratar a Matemática na perspectiva da Educação Matemática

que favorecem discussões sobre temas de interesse dos crítica na sociedade.

Neuber e Regina

Nesse Produto Educacional procuraprofessores que se interessam em trabalhar com a Modelagem Matemática numa concepção voltada para a Educação Matemática Crítica e suas possibilidades como ambiente de aprendizagem da Matemática. Buscaentre a tecnologia, modelagem e o trabalho com conteúdo matemático; mais especificamente com possibilidades de construção, estudo e análise de modelos que possibilitem a abordagem do tema (tópico) Função, em um ambiente informatizado, no Ensino Médio. AcreditaModelagem Matemática se constitui num ambiente de aprendizagem que pode auxiliar alunos a resolver, entender melhor e se problemas e obstáculos advindos da vivência dentro e fora da escola.

De acordo com Franchi (1993, p.1), o “objetivo principal da educação escolar é habilitar o estudante para uma participação crítica e ativa na sociedade em que vive”. Assim, entendemos ser importante buscar perspectivas metodológicas diferenciadas que contribuam questionar dos estudantes e que também dinamizem o ambiente das aulas de Matemática.

Entendemos que o ensino da Matemática deve ser algo a mais, do que a reprodução, memorização e treinamento dos exercícios contiddidáticos. Assim, buscamos pudessem estabelecer conexões entre fenômenos investigados e conceitos matemáticos.

A Modelagem se apresentou como uma maneira de contextualizar os conceitos matemáticos possibilitando interpretação e ação na realidade (D’AMBROSIO, 1986). Por outro lado, as tecnologias da se configuram como recursos interessantes para as atividades de Modelagem possibilitando a exploração de conceitos matemáticoARAÚJO, 2002, 2007, 2009; MALHEIROS, 2004). Essas abordagens

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1- Introdução

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Nesse Produto Educacional procura-se apresentar um roteiro professores que se interessam em trabalhar com a Modelagem Matemática numa concepção voltada para a Educação Matemática Crítica e suas possibilidades como ambiente de aprendizagem da Matemática. Busca-se também abordar as relações

odelagem e o trabalho com conteúdo matemático; mais especificamente com possibilidades de construção, estudo e análise de modelos que possibilitem a abordagem do tema (tópico) Função, em um ambiente informatizado, no Ensino Médio. Acredita-se que essa abordagem através da Modelagem Matemática se constitui num ambiente de aprendizagem que pode auxiliar alunos a resolver, entender melhor e se posicionar criticamente frente aos problemas e obstáculos advindos da vivência dentro e fora da escola.

Franchi (1993, p.1), o “objetivo principal da educação escolar é habilitar o estudante para uma participação crítica e ativa na sociedade em que vive”. Assim, entendemos ser importante buscar perspectivas metodológicas diferenciadas que contribuam para o desenvolvimento da capacidade de pensar e questionar dos estudantes e que também dinamizem o ambiente das aulas de

o ensino da Matemática deve ser algo a mais, do que a reprodução, memorização e treinamento dos exercícios contidos nos livros

trazer para as aulas situações em que os alunos pudessem estabelecer conexões entre fenômenos investigados e conceitos

A Modelagem se apresentou como uma maneira de contextualizar os os possibilitando interpretação e ação na realidade Por outro lado, as tecnologias da informação e comunicação

se configuram como recursos interessantes para as atividades de Modelagem possibilitando a exploração de conceitos matemáticos (FRANCHI, 2002, 2007; ARAÚJO, 2002, 2007, 2009; MALHEIROS, 2004). Essas abordagens nos incentivaram

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Introdução

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se apresentar um roteiro aos professores que se interessam em trabalhar com a Modelagem Matemática numa concepção voltada para a Educação Matemática Crítica e suas possibilidades como

se também abordar as relações odelagem e o trabalho com conteúdo matemático; mais

especificamente com possibilidades de construção, estudo e análise de modelos que possibilitem a abordagem do tema (tópico) Função, em um ambiente

dagem através da Modelagem Matemática se constitui num ambiente de aprendizagem que pode

criticamente frente aos

Franchi (1993, p.1), o “objetivo principal da educação escolar é habilitar o estudante para uma participação crítica e ativa na sociedade em que vive”. Assim, entendemos ser importante buscar perspectivas metodológicas

esenvolvimento da capacidade de pensar e questionar dos estudantes e que também dinamizem o ambiente das aulas de

o ensino da Matemática deve ser algo a mais, do que a os nos livros

trazer para as aulas situações em que os alunos pudessem estabelecer conexões entre fenômenos investigados e conceitos

A Modelagem se apresentou como uma maneira de contextualizar os os possibilitando interpretação e ação na realidade

informação e comunicação se configuram como recursos interessantes para as atividades de Modelagem

s (FRANCHI, 2002, 2007; incentivaram

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a tentar estruturar uma proposta pedagógica na perspectiva da Educação Matemática Crítica para o ensino do conceito de função no Ensino Médio

Conclui-se então esta introdução, salientando que as atividesenvolvidas se respaldam principalmente Modelagem Matemáticaensino de função. Apresentamos a seguir uma pequena síntese desses aportes teóricos mencionados.

A educação tem sido apontada como solução para os problemas sociais e econômicos do país, tanto nos discursos políticos quanto pelo setor industrial, onde falta mão de obra qualificada.este é o caminho. Mas acreditamos também que o caminho não é através de uma educação alienadora, no sentido de disciplinar, de adestrar, de robotizar, de preparar as massas para fabricar e consumir. A educação precide libertação. De acordo com as ideias de crítica, as tarefas mais importantes consistem na educação para a decisão, responsabilidade social e política, e em formas de assegurar condições paraeducandos, em suas relações com o professor e entre eles próprios, iniciem um processo de assumircomunicante, criador, realizador de sonhos, [...]”. educadores é acreditarEducação Matemática é muito mais que formalização de conceitos e resolução de problemas. Segundo Skovsmose (2001),

a tentar estruturar uma proposta pedagógica baseada na Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática Crítica para o ensino do conceito de

Médio.

Quando o professor aplica a modelagem como estratégia pedagógica na sala de aula, ele tem a intenção de ensinar matemática. Ao explorar as aplicações matemáticas no dia-a-dia, a construção de modelos e o relacionamento entre a matemática utilizada na modelagem e o conteúdo programático, o professor oferece ao aluno a oportunidade de conviver com um conteúdo vivo, prático, útil e com bastante significado. (JACOBINI, 2004, p. 22)

se então esta introdução, salientando que as atividesenvolvidas se respaldam principalmente na Educação Matemática CríticaModelagem Matemática, nas Tecnologias da Informação e

Apresentamos a seguir uma pequena síntese desses aportes teóricos mencionados.

2- Educação Matemática Crítica

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A educação tem sido apontada como solução para os problemas sociais e país, tanto nos discursos políticos quanto pelo setor industrial,

onde falta mão de obra qualificada. Como educadores, também acreditamos que este é o caminho. Mas acreditamos também que o caminho não é através de uma educação alienadora, no sentido de disciplinar, de adestrar, de robotizar, de preparar as massas para fabricar e consumir. A educação precisa assumir seu papel de libertação. De acordo com as ideias de Freire (2003, p. 41), ncrítica, as tarefas mais importantes consistem na educação para a decisão, responsabilidade social e política, e em formas de assegurar condições paraeducandos, em suas relações com o professor e entre eles próprios, iniciem um processo de assumir-se “[...] como ser social e histórico, como pensante, comunicante, criador, realizador de sonhos, [...]”. O que nos motiva como educadores é acreditar que o papel da educação, e em especial, o papel da Educação Matemática é muito mais que formalização de conceitos e resolução de problemas. Segundo Skovsmose (2001), ao falar sobre Educação Matemática

baseada na Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática Crítica para o ensino do conceito de

Quando o professor aplica a modelagem como estratégia pedagógica na sala de aula, ele tem a intenção de ensinar matemática. Ao explorar as

dia, a construção de modelos e o ica utilizada na modelagem e o

conteúdo programático, o professor oferece ao aluno a oportunidade de conviver com um conteúdo vivo, prático, útil e com bastante significado.

se então esta introdução, salientando que as atividades Educação Matemática Crítica, na nformação e Comunicação e no

Apresentamos a seguir uma pequena síntese desses aportes

ção Matemática Crítica

________________________

A educação tem sido apontada como solução para os problemas sociais e país, tanto nos discursos políticos quanto pelo setor industrial,

Como educadores, também acreditamos que este é o caminho. Mas acreditamos também que o caminho não é através de uma educação alienadora, no sentido de disciplinar, de adestrar, de robotizar, de

sa assumir seu papel na prática educativa

crítica, as tarefas mais importantes consistem na educação para a decisão, responsabilidade social e política, e em formas de assegurar condições para que os educandos, em suas relações com o professor e entre eles próprios, iniciem um

se “[...] como ser social e histórico, como pensante, O que nos motiva como

que o papel da educação, e em especial, o papel da Educação Matemática é muito mais que formalização de conceitos e resolução de

ao falar sobre Educação Matemática

Crítica, esta tem relação, com posturas democráticas, e reflexões sobre a razão e a finalidade do ensino da Matemática.

Mas, porque nas salas de aulas a Matemática se mantém neutra, com exemplos e aplicações em contextos que fogem da escola? A quem interessa que a Matemática seja ensinada de forma desarticulada dos problemas que a sociedade enfrenta?

Para Skovsmose (2001) a educação tem de desempenhar um papel ativo na identificação e no combate às disparidades sociais, que aqui no Brasil são enNão se imagina que uma sociedade melhore seus aspectos sociais e econômicos com uma população que não questiona, que não direitos, que se mantém passiva frente aos problemas que vive em sua comunidade.

Esse tipo de argumento também é apresentado por Jacobini e Wodewotzki (2006), que enfatizam:

“Educação Matemática tem a ver com posturas democráticas, com posicionamentos críticos, com reflexões sobre a razão e a finalidade do ensino de Matemática, com constantes diálogos, e ausência de estruturas de poder e de preconceitos”. (WODEWOTZKI, 2006, p. 5).

Concordando com as Matemática pode e deve colaborar para termos estudantes mais conscientes deseu papel político e social, conhecedores dos problemas que afligem a sociedadeque busquem melhorar o país e consequentemente, a qualidade de vida da população. Uma das possibilidades os pressupostos da Educação Matemática Crítica é utilizar a Modelagem Matemática como ambiente de aprendizagem.

3- Modelagem Matemática

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tem relação, com posturas democráticas, com posicionamentos críticos e reflexões sobre a razão e a finalidade do ensino da Matemática.

Mas, porque nas salas de aulas a Matemática se mantém neutra, com exemplos e aplicações em contextos que fogem da realidade que é vivenciada fora

uem interessa que a Matemática seja ensinada de forma desarticulada dos problemas que a sociedade enfrenta?

Para Skovsmose (2001) a educação tem de desempenhar um papel ativo na identificação e no combate às disparidades sociais, que aqui no Brasil são enNão se imagina que uma sociedade melhore seus aspectos sociais e econômicos com uma população que não questiona, que não conhece e não cobra seus

passiva frente aos problemas que vive em sua

ento também é apresentado por Jacobini e Wodewotzki

“Educação Matemática tem a ver com posturas democráticas, com posicionamentos críticos, com reflexões sobre a razão e a finalidade do ensino de Matemática, com constantes diálogos, democracia, cidadania e ausência de estruturas de poder e de preconceitos”. (WODEWOTZKI, 2006, p. 5).

Concordando com as ideias destes autores, acreditamos que a Educação Matemática pode e deve colaborar para termos estudantes mais conscientes deseu papel político e social, conhecedores dos problemas que afligem a sociedadeque busquem melhorar o país e consequentemente, a qualidade de vida da

Uma das possibilidades de tratar a Matemática na sala de aula seguindo ucação Matemática Crítica é utilizar a Modelagem

Matemática como ambiente de aprendizagem.

Modelagem Matemática na Educação Matemática

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com posicionamentos críticos

Mas, porque nas salas de aulas a Matemática se mantém neutra, com a realidade que é vivenciada fora

uem interessa que a Matemática seja ensinada de forma

Para Skovsmose (2001) a educação tem de desempenhar um papel ativo na identificação e no combate às disparidades sociais, que aqui no Brasil são enormes. Não se imagina que uma sociedade melhore seus aspectos sociais e econômicos

e não cobra seus passiva frente aos problemas que vive em sua

ento também é apresentado por Jacobini e Wodewotzki

“Educação Matemática tem a ver com posturas democráticas, com posicionamentos críticos, com reflexões sobre a razão e a finalidade do

democracia, cidadania e ausência de estruturas de poder e de preconceitos”. (JACOBINI;

destes autores, acreditamos que a Educação Matemática pode e deve colaborar para termos estudantes mais conscientes de seu papel político e social, conhecedores dos problemas que afligem a sociedade, que busquem melhorar o país e consequentemente, a qualidade de vida da

de tratar a Matemática na sala de aula seguindo ucação Matemática Crítica é utilizar a Modelagem

na Educação Matemática

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A Modelagem Matemática busca investigar situações problemáticas do cotidiano e tem por objetivo a elaboração, a construção ou o estudo de modelomatemáticos que descreva

Vislumbramos na Modelagem Matemática uma da prática docente. De acordo com Ferreira et al (2011), o Modelagem Matemática no campo da Educação Matemática tem crescido e ganhado visibilidadedia-a-dia ou a outras ciências nas aulas de Matemática na Educação Básica e Superior (BARBOSA et al, 2007).

Segundo Franchi (2007, p.181) a utilização da Modelagem nas aulas pode contribuir significativamente para a aprendizagem da Matemática. A autora diz que, “além da motivação que os assuntos abordados podem gerar, o aluno pode ver as diferentes facetas da Matemática de forma contextualizada, percebendo sua importância”. Outros pesquisadores também defendem esta proposta, como é o caso de Brito e Almeida (2005). Segundo estes autores, diversos estudos têm apontado a possibilidade de se utiliestratégia de ensino e aprendizagem da Matemática, visando relacionar os conteúdos escolares com a realidade.

Entre diferentes concepções da Modelagem trabalho são pela sMatemática Crítica e pela educacional, que se caracteriza pelo interesse na abordagem de conteúdos matemáticos por meio da Modelagem. Como referenciais de pesquisa sobre Modelagem na Educação Matemática o leitor pode buscar mais informações nos trabalhos de Araújo (2002), Barbosa (2001), Franchi (2002) e Jacobini (2004). De acordo com Barbosa (2001) as atividades que abordam uma perspectiva de Educação Matemática Crítica buscam abranger o conhecimento de Matemática, de modeMatemática como um instrumento de questionamento das situações sociais.

Araújo (2002) entende a Modelagem Matemática na Educação Matemática na perspectiva sócio

A Modelagem Matemática busca investigar situações problemáticas do ano e tem por objetivo a elaboração, a construção ou o estudo de modelo

que descrevam e/ou expliquem essas situações.

slumbramos na Modelagem Matemática uma possibilidadeda prática docente. De acordo com Ferreira et al (2011), o Modelagem Matemática no campo da Educação Matemática tem crescido e ganhado visibilidade. Muitos professores a utilizam para se reportar a situações do

dia ou a outras ciências nas aulas de Matemática na Educação Básica e BOSA et al, 2007).

Segundo Franchi (2007, p.181) a utilização da Modelagem nas aulas pode contribuir significativamente para a aprendizagem da Matemática. A autora diz que, “além da motivação que os assuntos abordados podem gerar, o aluno pode

entes facetas da Matemática de forma contextualizada, percebendo sua importância”. Outros pesquisadores também defendem esta proposta, como é o caso de Brito e Almeida (2005). Segundo estes autores, diversos estudos têm apontado a possibilidade de se utilizar a Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino e aprendizagem da Matemática, visando relacionar os conteúdos escolares com a realidade.

diferentes concepções da Modelagem Matemática as opções desse trabalho são pela sociocrítica, que é uma concepção voltada para a Educação Matemática Crítica e pela educacional, que se caracteriza pelo interesse na abordagem de conteúdos matemáticos por meio da Modelagem. Como referenciais de pesquisa sobre Modelagem na Educação Matemática o leitor pode

r mais informações nos trabalhos de Araújo (2002), Barbosa (2001), Franchi (2002) e Jacobini (2004). De acordo com Barbosa (2001) as atividades que abordam uma perspectiva de Educação Matemática Crítica buscam abranger o conhecimento de Matemática, de modelagem e a reflexão, dando ênfase na Matemática como um instrumento de questionamento das situações sociais.

Araújo (2002) entende a Modelagem Matemática na Educação Matemática -crítica como

Uma abordagem, por meio da Matemática, de um matemático da realidade, ou de uma situação nãorealidade, escolhidas pelos alunos reunidos em grupos, de tal forma que

A Modelagem Matemática busca investigar situações problemáticas do ano e tem por objetivo a elaboração, a construção ou o estudo de modelos

possibilidade de mudança da prática docente. De acordo com Ferreira et al (2011), o interesse pela Modelagem Matemática no campo da Educação Matemática tem crescido e

uitos professores a utilizam para se reportar a situações do dia ou a outras ciências nas aulas de Matemática na Educação Básica e

Segundo Franchi (2007, p.181) a utilização da Modelagem nas aulas pode contribuir significativamente para a aprendizagem da Matemática. A autora diz que, “além da motivação que os assuntos abordados podem gerar, o aluno pode

entes facetas da Matemática de forma contextualizada, percebendo sua importância”. Outros pesquisadores também defendem esta proposta, como é o caso de Brito e Almeida (2005). Segundo estes autores, diversos estudos têm

zar a Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino e aprendizagem da Matemática, visando relacionar os

Matemática as opções desse concepção voltada para a Educação

Matemática Crítica e pela educacional, que se caracteriza pelo interesse na abordagem de conteúdos matemáticos por meio da Modelagem. Como referenciais de pesquisa sobre Modelagem na Educação Matemática o leitor pode

r mais informações nos trabalhos de Araújo (2002), Barbosa (2001), Franchi (2002) e Jacobini (2004). De acordo com Barbosa (2001) as atividades que abordam uma perspectiva de Educação Matemática Crítica buscam abranger o

lagem e a reflexão, dando ênfase na Matemática como um instrumento de questionamento das situações sociais.

Araújo (2002) entende a Modelagem Matemática na Educação Matemática

Uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não-matemático da realidade, ou de uma situação não-matemática da realidade, escolhidas pelos alunos reunidos em grupos, de tal forma que

as questões da Educação Matemática Crítica embasem o trabalho. (2002, p. 39)

A autora ressalta também, preocproporcionar aos estudantes atuação crítica na sociedadeo que pode trazer contribuições para construção da cidadania.

D’Ambrósio (1993) cita as habilidades de modelar um problema em linguagem matemática, de analisar dadoslevantar hipóteses, de testá-las e de justificar as conclusões obtidas, como sendo habilidades requeridas no século XXI. Além disto, para Skovsmose (2001) é preciso desenvolver uma competência cro desenvolvimento social e tecnológico. Concordamos com estes autores e consideramos importante inserir os estudantes na prática da para os problemas da sociedadenos contextos dos problemas.

Neste trabalho julgamos importanteque envolve a busca por soluções, principalmente interação entre os participantes interessados e não apconhecimento de modelos que apresentam soluções Matemática. Com essa postura, acreditafavorecendo a conscientização dos estudantes sobre os problemas sociais e as possibilidades de mudanças desses contextos.resultados é de suma importância. Burak (2010)

A análise crítica da(s) solução(ões) é uma atividade que favorece o desenvolvimento do pensamento crítico e a argumentação lógica, discutindo, também, a coerência da solução do(s) problema(s) às situações da realidade estudada. É um momento importante para a discussão de aspectos relacionados à Matemática, à Sociedade, à Cultura, à Economia, à Política, dentre outros.

A Modelagem Matemática para ensinar Matemática e também potencializar a formação cidadã dos alunos tem muita credibilidade. Jacobini e Wodewotzki (2006, p.3), consideram a “ação de ensinar e de aprender como sendo apenas uma das possibilidades oferecidas pelaprecisamos ter cuidado “ao restringir a ela suas pretensões pedagógicas, pois assim, o professor mantém seu olhar exclusivamente na matemática”. Alegam que

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as questões da Educação Matemática Crítica embasem o trabalho. (2002,

A autora ressalta também, preocupação com a Educação Matemática proporcionar aos estudantes atuação crítica na sociedade, por meio da Matemática, o que pode trazer contribuições para construção da cidadania.

D’Ambrósio (1993) cita as habilidades de modelar um problema em de analisar dados, de questionar, de conjecturar

las e de justificar as conclusões obtidas, como sendo habilidades requeridas no século XXI. Além disto, para Skovsmose (2001) é preciso desenvolver uma competência crítica geral que possa efetivamente contribuir com o desenvolvimento social e tecnológico. Concordamos com estes autores e

importante inserir os estudantes na prática da busca por soluções a sociedade, assim como na reflexão sobre as soluções

.

e trabalho julgamos importante considerar todo o processo reflexivo que envolve a busca por soluções, principalmente as discussões geradas da interação entre os participantes interessados e não apenas propiciar o

modelos que apresentam soluções a problemas por meioMatemática. Com essa postura, acreditamos que a visão dos alunos é ampliadafavorecendo a conscientização dos estudantes sobre os problemas sociais e as

de mudanças desses contextos. Neste sentido a análise crítica é de suma importância. Burak (2010) salienta:

A análise crítica da(s) solução(ões) é uma atividade que favorece o desenvolvimento do pensamento crítico e a argumentação lógica, iscutindo, também, a coerência da solução do(s) problema(s) às

situações da realidade estudada. É um momento importante para a discussão de aspectos relacionados à Matemática, à Sociedade, à Cultura, à Economia, à Política, dentre outros. (2010, p.24).

Modelagem Matemática para ensinar Matemática e também potencializar a formação cidadã dos alunos tem muita credibilidade. Jacobini e Wodewotzki

“ação de ensinar e de aprender como sendo apenas uma das possibilidades oferecidas pela modelagem”. Os autores enfatizam que precisamos ter cuidado “ao restringir a ela suas pretensões pedagógicas, pois assim, o professor mantém seu olhar exclusivamente na matemática”. Alegam que

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as questões da Educação Matemática Crítica embasem o trabalho. (2002,

upação com a Educação Matemática por meio da Matemática,

D’Ambrósio (1993) cita as habilidades de modelar um problema em de conjecturar, de

las e de justificar as conclusões obtidas, como sendo habilidades requeridas no século XXI. Além disto, para Skovsmose (2001) é preciso

ítica geral que possa efetivamente contribuir com o desenvolvimento social e tecnológico. Concordamos com estes autores e

busca por soluções soluções obtidas

considerar todo o processo reflexivo s discussões geradas da

propiciar o a problemas por meio da

que a visão dos alunos é ampliada favorecendo a conscientização dos estudantes sobre os problemas sociais e as

Neste sentido a análise crítica dos

A análise crítica da(s) solução(ões) é uma atividade que favorece o desenvolvimento do pensamento crítico e a argumentação lógica, iscutindo, também, a coerência da solução do(s) problema(s) às

situações da realidade estudada. É um momento importante para a discussão de aspectos relacionados à Matemática, à Sociedade, à

Modelagem Matemática para ensinar Matemática e também potencializar a formação cidadã dos alunos tem muita credibilidade. Jacobini e Wodewotzki

“ação de ensinar e de aprender como sendo apenas uma modelagem”. Os autores enfatizam que

precisamos ter cuidado “ao restringir a ela suas pretensões pedagógicas, pois assim, o professor mantém seu olhar exclusivamente na matemática”. Alegam que

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em Matem


é preciso “considerar outras oportunidades tanto para o cresciestudante como para a sua formação crítica enquanto cidadão presente em uma sociedade altamente tecnológica, globalizada e com forte presença da matemática”.

Muitos dos contextos de Modelagem Matemática descritos na literatura fazem uso de tecnologias. Discorremos sobre o assunto n

A Modelagem Matemática, pela sua dinâmica em sala de aula, faz com que o estudante desperte interesse pela pesquisa, compartilhamento de informações. dados obtidos nessas pesquisas. comunicação contribuem com suas ferramentas para o ambiente de aprendizagem gerado pela Modelagem Matemática. Diversos pesquisadores discorrem sobre o uso de tecnologias nos trabalhos de Modelagem Matemática, como Araújo (2002), Franchi (2002), Diniz (2007). na parceria entre Modelag

Em relação aos ambientes que abordam tanto Modelagem quanto tecnologias, Franchi (2007) afirma que muitas dificuldades da Modelagem foram superadas pela facilidade de coleta e tratamento de dados e pela manipulaçãatravés da utilização de softwares e da Internet.

Para tratar do uso das tecnologias dtrabalhos de Modelagem Matemática o leitor pode buscar mais informações nos trabalhos de Borba e Penteado (2001), Borba e Villareal (2005Araújo (2002) e Diniz (2007).

Em nossa pesquisa de campo, além do uso de softmatemáticos, utilizamos também 2.0 para elaboração de textos coletivos a respeito destudantes. Segundo

é preciso “considerar outras oportunidades tanto para o crescimento intelectual do estudante como para a sua formação crítica enquanto cidadão presente em uma sociedade altamente tecnológica, globalizada e com forte presença da

Muitos dos contextos de Modelagem Matemática descritos na literatura o de tecnologias. Discorremos sobre o assunto na seção seguinte

4- Tecnologias Informáticas

________________________

A Modelagem Matemática, pela sua dinâmica em sala de aula, faz com que o estudante desperte interesse pela pesquisa, pela busca, troca e compartilhamento de informações. Além disso, é preciso organizar e trabalhar os dados obtidos nessas pesquisas. Sendo assim, as tecnologias comunicação contribuem com suas ferramentas para o ambiente de aprendizagem

o pela Modelagem Matemática. Diversos pesquisadores discorrem sobre o uso de tecnologias nos trabalhos de Modelagem Matemática, como Araújo (2002), Franchi (2002), Diniz (2007). Segundo Araujo (2002, p. 43), há “uma certa harmonia na parceria entre Modelagem Matemática e tecnologias informáticas".

Em relação aos ambientes que abordam tanto Modelagem quanto tecnologias, Franchi (2007) afirma que muitas dificuldades da Modelagem foram superadas pela facilidade de coleta e tratamento de dados e pela manipulaçãatravés da utilização de softwares e da Internet.

Para tratar do uso das tecnologias da informação e comunicação nos trabalhos de Modelagem Matemática o leitor pode buscar mais informações nos trabalhos de Borba e Penteado (2001), Borba e Villareal (2005), Franchi (2002, 2007), Araújo (2002) e Diniz (2007).

Em nossa pesquisa de campo, além do uso de softwares matemáticos e não , utilizamos também a internet e a ferramenta Google Docs. da Web

para elaboração de textos coletivos a respeito dos temas pesquisados pelos . Segundo Serafim et al (2008), essa ferramenta tem se mostrado uma

mento intelectual do estudante como para a sua formação crítica enquanto cidadão presente em uma sociedade altamente tecnológica, globalizada e com forte presença da

Muitos dos contextos de Modelagem Matemática descritos na literatura a seção seguinte.

Tecnologias Informáticas

________________________

A Modelagem Matemática, pela sua dinâmica em sala de aula, faz com que pela busca, troca e

Além disso, é preciso organizar e trabalhar os do assim, as tecnologias da informação e

comunicação contribuem com suas ferramentas para o ambiente de aprendizagem o pela Modelagem Matemática. Diversos pesquisadores discorrem sobre o

uso de tecnologias nos trabalhos de Modelagem Matemática, como Araújo (2002), Segundo Araujo (2002, p. 43), há “uma certa harmonia

em Matemática e tecnologias informáticas".

Em relação aos ambientes que abordam tanto Modelagem quanto tecnologias, Franchi (2007) afirma que muitas dificuldades da Modelagem foram superadas pela facilidade de coleta e tratamento de dados e pela manipulação

informação e comunicação nos trabalhos de Modelagem Matemática o leitor pode buscar mais informações nos

), Franchi (2002, 2007),

wares matemáticos e não a internet e a ferramenta Google Docs. da Web

os temas pesquisados pelos ferramenta tem se mostrado uma

grande promotora de interatividade e colade fato ocorreu em nosso trabalho.

Função é um importante conceito trabalhado no ensino médio, que tem

grande aplicabilidade na própria Matemática e em outras áreas do conhecimento. Também é um conceito considerado présuperior, como por exemplo, o Cálculo Diferencial e Integral. importância, se verifica um grande número de reprovações nas disciplinas ou séries em que esse conceito é abordado (Beline 2007, p.208).

Pode-se observar na literatura função é trabalhado, com ênfase em fórmulas e procedimentos, realidade, tem alguma relação com os resultados insatisfatórios observados. autores como: Zuffi (1999), Chaves (2005), Brito (2004), Rossini (2006) denttêm detectado em seus trabalhos estes problemas, relatando as dificuldades encontradas e apontando alguns caminhos.

Segundo Brito (2005), uma das dificuldades enfrentadas pelos professores de Matemática com o conceito de função é tornáfoi construído ao longo de muitos anos e a sistematização atual o distancia da linguagem empregada pela maioria das pessoas em seu cotidiano.(2002) acrescentam o fato de Outros autores também apontam essas dificuldade

O conceito de função é por si só bastante complexo para o aluno, pois envolve outros conceitos igualmente abstratos como domínio, contradomínio, conjunto imagem e regra de correspondência. disso, nãaulas visto que a própria humanidade levou séculos para formalizar e entender tal conceito.

Faz-se necessário compreender o sentido que o conceito de função adquire em diferentes contextos e, que significados o aluno pode produzir para este conceito, a partir de sua aplicabilidade.

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grande promotora de interatividade e colaboração entre os que a utilizam, o que de fato ocorreu em nosso trabalho.

5- Funções

________________________

Função é um importante conceito trabalhado no ensino médio, que tem grande aplicabilidade na própria Matemática e em outras áreas do conhecimento. Também é um conceito considerado pré-requisito para disciplinas do curso

or exemplo, o Cálculo Diferencial e Integral. A despeito de sua um grande número de reprovações nas disciplinas ou séries

em que esse conceito é abordado (Beline 2007, p.208).

observar na literatura que a forma mecanizada como o conceito de função é trabalhado, com ênfase em fórmulas e procedimentos, desvinculados da

alguma relação com os resultados insatisfatórios observados. autores como: Zuffi (1999), Chaves (2005), Brito (2004), Rossini (2006) denttêm detectado em seus trabalhos estes problemas, relatando as dificuldades encontradas e apontando alguns caminhos.

Segundo Brito (2005), uma das dificuldades enfrentadas pelos professores de Matemática com o conceito de função é torná-lo compreensível, uma vez que foi construído ao longo de muitos anos e a sistematização atual o distancia da linguagem empregada pela maioria das pessoas em seu cotidiano. Zuffi e Pacca (2002) acrescentam o fato de que este conceito requerer alto nível de abstraçãOutros autores também apontam essas dificuldades:

O conceito de função é por si só bastante complexo para o aluno, pois envolve outros conceitos igualmente abstratos como domínio, contradomínio, conjunto imagem e regra de correspondência. disso, não podemos esperar que o nosso aluno o aprenda em poucas aulas visto que a própria humanidade levou séculos para formalizar e entender tal conceito. (CHAVES; CARVALHO, 2004, p.16)

se necessário compreender o sentido que o conceito de função adquire iferentes contextos e, que significados o aluno pode produzir para este

conceito, a partir de sua aplicabilidade.

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cnologias inform

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boração entre os que a utilizam, o que

Funções

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Função é um importante conceito trabalhado no ensino médio, que tem grande aplicabilidade na própria Matemática e em outras áreas do conhecimento.

requisito para disciplinas do curso A despeito de sua

um grande número de reprovações nas disciplinas ou séries

como o conceito de desvinculados da

alguma relação com os resultados insatisfatórios observados. Alguns autores como: Zuffi (1999), Chaves (2005), Brito (2004), Rossini (2006) dentre outros, têm detectado em seus trabalhos estes problemas, relatando as dificuldades

Segundo Brito (2005), uma das dificuldades enfrentadas pelos professores eensível, uma vez que

foi construído ao longo de muitos anos e a sistematização atual o distancia da Zuffi e Pacca

este conceito requerer alto nível de abstração.

O conceito de função é por si só bastante complexo para o aluno, pois envolve outros conceitos igualmente abstratos como domínio, contradomínio, conjunto imagem e regra de correspondência. Além

o podemos esperar que o nosso aluno o aprenda em poucas aulas visto que a própria humanidade levou séculos para formalizar e

se necessário compreender o sentido que o conceito de função adquire iferentes contextos e, que significados o aluno pode produzir para este

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Assim, como uma alternativa à ensino de funções, ambiente de aprendizagem que possibilita a abordagem do situações cotidianas dos alunos, com o auxílio das Comunicação e segundo as concepções da Educação Matemática Crítica.

Vale dizer que entendesituações que têm potencial para que a aprendizagem aconteça, agregando as concepções do professor, os instrumentos utilizados para organizar a sala de aula e a metodologia adotada. de Modelagem MatemáticaMatemática, partindo propiciaram reflexões em diferentes contextoseducacional, tecnológico, etc.). menciona que o propósito do ensino de Matemática é a formação dos sujeitos para a vida quotidiana, para o exercício de atividades profissionais efetiva. A análise do trabalho qformação pretendido.

6- As atividades e contextos em que foram

Nossa proposta foi desenvolvida com alunos d

ensino médio de cursoChamaremos nesse texto as duas turmas de: Turma de Mineração. Os alunos não tinham tido experiências anteriores com Planejamos nosso trabalho de com as demais atividades não deixamos de cumprir os programas estabelecidos e também utilizamos o livro texto indicado. Reservamos parte das aulas para as ativivariando o número de aulas de acordo com a necessidade do trabalho em si ou

, como uma alternativa à forma tradicionalmente utilizada para o , este trabalho apresenta a Modelagem Matemática como

ambiente de aprendizagem que possibilita a abordagem do conceitosituações cotidianas dos alunos, com o auxílio das Tecnologias domunicação e segundo as concepções da Educação Matemática Crítica.

Vale dizer que entendemos ambiente de aprendizagem situações que têm potencial para que a aprendizagem aconteça, agregando as concepções do professor, os instrumentos utilizados para organizar a sala de aula e a metodologia adotada. Com esse entendimento buscamos desenvde Modelagem Matemática. Buscamos despertar nos estudantes o interesse pela

, partindo do estudo de temas por eles escolhidos e que também propiciaram reflexões em diferentes contextos (social, político, econômico,

ecnológico, etc.). Concordamos com Barbosa (2001)o propósito do ensino de Matemática é a formação dos sujeitos para

a vida quotidiana, para o exercício de atividades profissionais A análise do trabalho que desenvolvemos indica que favoreceu o tipo de

formação pretendido.

As atividades e contextos em que foram desenvolvidas

________________________

Nossa proposta foi desenvolvida com alunos de duas turmas de 1ª série do de cursos técnicos integrados, em uma instituição pública federal.

Chamaremos nesse texto as duas turmas de: Turma de AutomaçãoOs alunos não tinham tido experiências anteriores com nosso trabalho de modo a compatibilizar o que pretendíamos realizar

com as demais atividades planejadas para aquela série na instituição. Dessa forma não deixamos de cumprir os programas estabelecidos e também utilizamos o livro texto indicado. Reservamos parte das aulas para as atividades de variando o número de aulas de acordo com a necessidade do trabalho em si ou

mente utilizada para o trabalho apresenta a Modelagem Matemática como um

conceito, partindo de ecnologias da Informação e

omunicação e segundo as concepções da Educação Matemática Crítica.

biente de aprendizagem como todas as situações que têm potencial para que a aprendizagem aconteça, agregando as concepções do professor, os instrumentos utilizados para organizar a sala de aula e

desenvolver atividades despertar nos estudantes o interesse pela

o estudo de temas por eles escolhidos e que também (social, político, econômico,

com Barbosa (2001) quando ele o propósito do ensino de Matemática é a formação dos sujeitos para

a vida quotidiana, para o exercício de atividades profissionais e para a cidadania ue desenvolvemos indica que favoreceu o tipo de

As atividades e contextos em que foram desenvolvidas

________________________

e duas turmas de 1ª série do , em uma instituição pública federal.

Automação e Turma de Os alunos não tinham tido experiências anteriores com modelagem.

atibilizar o que pretendíamos realizar na instituição. Dessa forma

não deixamos de cumprir os programas estabelecidos e também utilizamos o livro dades de modelagem,

variando o número de aulas de acordo com a necessidade do trabalho em si ou

mesmo do planejamento das demais atividades, como avaliações, etc.geral, utilizamos cerca de 30% das aulas semanais para as atividades em questão.

As atividades de modelagem foram desenvolvidas a partir de temas de interesse dos estudantes. Os alunos de cada sala foram divididos em grupos e escolheram os temas a serem estudados. Inicialmente as propostas de cada grupo foram bastante amplas e os temas forapartir das pesquisas iniciais feitas pelos esacompanhamento do professor.

Nossa expectativa era de que o desenvolvimento das atividades propiciasse espaço para reflexões críticas nos conteoportunidade para trabalho com o conceito matemático de funçãoreferência os dados apresentados pelos diferentes grupos a respeito dos temas por eles pesquisados. Isso de fato aconteceu.

Os trabalhos foram dchamamos de desenvolvimentocompreendeu desde a apresentação da proposta participação, a formação dos grupos, desenvolvimento dos projetos, da sala, a construção de textoquais cada grupo reuniu as informações e elabortambém a preparação das apresentaçõesnas apresentações dos primeiros grupos de cada sala esobre os temas apresentados. Os primeiros grupos a apresentar em cada sala foram escolhidos pelo professor. Essa escolha levou em conta o andamento dos trabalhos dos grupos e também o conteúdo em si, considerando as possibilidades para abordagem do conceito de função, que terceira etapa compreendeu a abordagem do concereferência o trabalho apresentado em cada sala. Para essa etapa foi construído um material com um conjunto de situações utilizando os dados apresentados por cada grupo e, com base nessas situações o conceito matemático de função fointroduzido e explorado. A demais grupos e as discussões relativas aos temas abordados. Naforam elaboradas atividades com o propósito de trabalhar a leitura e interpretação

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mesmo do planejamento das demais atividades, como avaliações, etc. 30% das aulas semanais para as atividades em questão.

odelagem foram desenvolvidas a partir de temas de . Os alunos de cada sala foram divididos em grupos e

escolheram os temas a serem estudados. Inicialmente as propostas de cada grupo foram bastante amplas e os temas foram sendo delimitados, ou mesmo alterados, a partir das pesquisas iniciais feitas pelos estudantes, com constante

do professor.

Nossa expectativa era de que o desenvolvimento das atividades propiciasse espaço para reflexões críticas nos contextos dos temas e também que houvesse oportunidade para trabalho com o conceito matemático de função, tendo como referência os dados apresentados pelos diferentes grupos a respeito dos temas por eles pesquisados. Isso de fato aconteceu.

Os trabalhos foram desenvolvidos em seis etapas. A primeira etapa chamamos de desenvolvimento inicial dos projetos de modelagem. Essa etapa

desde a apresentação da proposta aos estudantes e convite para formação dos grupos, a escolha e a delimitação dos temas,

desenvolvimento dos projetos, a socialização dos temas escolhidos com o restante construção de textos coletivos, elaborados de forma colaborativ

reuniu as informações e elaborou seu trabalho. Compreendeu preparação das apresentações de cada grupo. A segunda etapa

dos primeiros grupos de cada sala e nas discussões coletivas sobre os temas apresentados. Os primeiros grupos a apresentar em cada sala foram

sor. Essa escolha levou em conta o andamento dos trabalhos dos grupos e também o conteúdo em si, considerando as possibilidades para abordagem do conceito de função, que seria feito em seguida a essa etapa.

compreendeu a abordagem do conceito de função tendo como referência o trabalho apresentado em cada sala. Para essa etapa foi construído um material com um conjunto de situações utilizando os dados apresentados por cada grupo e, com base nessas situações o conceito matemático de função fointroduzido e explorado. A quarta etapa compreendeu as apresentações dos

e as discussões relativas aos temas abordados. Na quinta etapa com o propósito de trabalhar a leitura e interpretação

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De modo 30% das aulas semanais para as atividades em questão.

odelagem foram desenvolvidas a partir de temas de . Os alunos de cada sala foram divididos em grupos e

escolheram os temas a serem estudados. Inicialmente as propostas de cada grupo , ou mesmo alterados, a

, com constante

Nossa expectativa era de que o desenvolvimento das atividades propiciasse xtos dos temas e também que houvesse

tendo como referência os dados apresentados pelos diferentes grupos a respeito dos temas por

primeira etapa Essa etapa

e convite para dos temas, o

a socialização dos temas escolhidos com o restante colaborativa, nos . Compreendeu etapa consistiu

as discussões coletivas sobre os temas apresentados. Os primeiros grupos a apresentar em cada sala foram

sor. Essa escolha levou em conta o andamento dos trabalhos dos grupos e também o conteúdo em si, considerando as possibilidades para

feito em seguida a essa etapa. A ito de função tendo como

referência o trabalho apresentado em cada sala. Para essa etapa foi construído um material com um conjunto de situações utilizando os dados apresentados por cada grupo e, com base nessas situações o conceito matemático de função foi

as apresentações dos quinta etapa

com o propósito de trabalhar a leitura e interpretação

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de gráficos. Para essdiferentes grupos, o que fez com que as interpretações matemáticas fossem contextualizadas tendo como referência osetapa foram exploradas possíveis matemáticos, também tendo como referências os

1ª Etapa: Desenvolvimentomodelagem.

Os projetos de escolhidos pelos estudantes. Nosso objeambiente no qual os estudantes fossem convidados a investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade (Barbosa, 2001).

Propusemos aos alunos que se dividissem em grupos (cinco em cada sala) e que escolhessem assuntos que gostariam de cinco grupos em cada sala de modo a não haver um número excessivo de assuntos diferentes, o que dificultaria o acompanhamento e orientação do professor.

Orientamos os alunos a fazeretrazendo todo o material pesquisado para discussão com os colegas do grupo. Nos encontros em sala de aulaestudantes foram delimitando os temas e levantaestudados. Em seguida,estudar, justificando as escolhas feitas.

Na tabela a seguirapós a delimitação e eventuais mudanças

Turma de Automação

Grupo 1 Pontos turísticos de Ouro Preto – Casa dos Contos

Grupo 2 História da Arte locais e famosos

. Para essas atividades foram utilizados dados dos trabalhos diferentes grupos, o que fez com que as interpretações matemáticas fossem

tendo como referência os temas estudados. foram exploradas possíveis matematizações ou construções de

, também tendo como referências os trabalhos dos grupos.

1ª Etapa: Desenvolvimento inicial dos projetos

Os projetos de modelagem foram desenvolvidos a partir de temas escolhidos pelos estudantes. Nosso objetivo era utilizar a modelagem como um ambiente no qual os estudantes fossem convidados a investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade (Barbosa, 2001).

aos alunos que se dividissem em grupos (cinco em cada sala) e escolhessem assuntos que gostariam de pesquisar e conhecer. Determinamos

cinco grupos em cada sala de modo a não haver um número excessivo de assuntos diferentes, o que dificultaria o acompanhamento e orientação do professor.

Orientamos os alunos a fazerem uma pesquisa inicial sobre os temas trazendo todo o material pesquisado para discussão com os colegas do grupo. Nos encontros em sala de aula, acompanhados e orientados pelo professor, estudantes foram delimitando os temas e levantando problemas a ser

seguida, cada grupo apresentou aos demais colegas o que iria estudar, justificando as escolhas feitas.

a seguir temos os temas escolhidos pelos grupos das duas turmas, e eventuais mudanças.

Turma de Automação Turma de Mineração

Pontos turísticos de Ouro Casa dos Contos

Grupo 1 Música – Métrica da Letra

História da Arte – Pintores locais e famosos

Grupo 2 Desenho Artístico

as atividades foram utilizados dados dos trabalhos dos diferentes grupos, o que fez com que as interpretações matemáticas fossem

temas estudados. Na sexta e última construções de modelos

trabalhos dos grupos.

dos projetos de

foram desenvolvidos a partir de temas tivo era utilizar a modelagem como um

ambiente no qual os estudantes fossem convidados a investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade (Barbosa, 2001).

aos alunos que se dividissem em grupos (cinco em cada sala) e pesquisar e conhecer. Determinamos

cinco grupos em cada sala de modo a não haver um número excessivo de assuntos diferentes, o que dificultaria o acompanhamento e orientação do professor.

m uma pesquisa inicial sobre os temas trazendo todo o material pesquisado para discussão com os colegas do grupo. Nos

, acompanhados e orientados pelo professor, os ndo problemas a serem

cada grupo apresentou aos demais colegas o que iria

grupos das duas turmas,

Métrica da Letra

Desenho Artístico – Mangá

Foi natural no desenvolvimento das atividades a utilização de tecnodigitais. A internet foi a primeira fonte Oportunizamos aos estudantes que os recursos computacionais para a organização e tratamento de dados.orientação e acompanhamento do professor, tanto na busca como na utilização das informações obtidas. Percebemos que inicialmente os alunos estavam apenas copiando as informações da internet, sem qualqmuitos deles aquela era a primeira experiência em investigação da forma aqui proposta. Aos poucos os estudantes foram estabelecendo critérios para seleção das informações que se mostravam relevantes para o que buscavam também foram organizando essas informações de forma a construir um texto próprio que expressasse a compreensão

Percebemos a possibilidade de utilizarmos também para os trabalhos organizando os dados coletados e construindo um texto coletivo utilizando para isso a ferramenta Google Docs. coleção de páginas interligadas, sendo, que cada uma deleditada por qualquer pessoa, sempre que necessário.possibilitou criar e compartilhar os trabalhos onespaço da sala de aula. Professor e alunos puderam interagir durante o desenvolvimento das atividades, constituindo um ambiente de trabalho colaborativo, independente da presença física, no qual o conhecimento foi sendo construído e compartilhado.

A imagem a seguir mostra pesquisando sobre os temas de Modelagem escolhido

Grupo 3 Segunda Guerra Mundial Holocausto

Grupo 4 Drogas Legais

Grupo 5 Música – Rock

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Foi natural no desenvolvimento das atividades a utilização de tecnodigitais. A internet foi a primeira fonte utilizada para coleta dos dados.

aos estudantes a utilização do laboratório de informática, de modo que os recursos computacionais estivessem disponíveis tanto para a coleta como

ação e tratamento de dados. Destacamos a importância da orientação e acompanhamento do professor, tanto na busca como na utilização das informações obtidas. Percebemos que inicialmente os alunos estavam apenas copiando as informações da internet, sem qualquer tipo de crítica ou análise

aquela era a primeira experiência em investigação da forma aqui Aos poucos os estudantes foram estabelecendo critérios para seleção das

informações que se mostravam relevantes para o que buscavam conhecer e também foram organizando essas informações de forma a construir um texto

compreensão do grupo sobre o tema pesquisado.

possibilidade de utilizarmos os recursos tecnológicostambém para os trabalhos extra-classe. Orientamos os alunos que fossem organizando os dados coletados e construindo um texto coletivo utilizando para isso a ferramenta Google Docs. O Google Docs. é uma tecnologia Wiki, ou seja, uma coleção de páginas interligadas, sendo, que cada uma delas pode ser visitada e editada por qualquer pessoa, sempre que necessário. Esse espaço virtual possibilitou criar e compartilhar os trabalhos on-line e, dessa forma, estendeu o espaço da sala de aula. Professor e alunos puderam interagir durante o

imento das atividades, constituindo um ambiente de trabalho colaborativo, independente da presença física, no qual o conhecimento foi sendo

a seguir mostra os alunos reunidos no laboratório de informática de Modelagem escolhidos por cada grupo.

Segunda Guerra Mundial – Holocausto

Grupo 3 Música – Slipknot

Drogas Legais – Alcoolismo Grupo 4 Copa do Mundo de 2014 Infraestrutura da

Rock Grupo 5 Redes Sociais

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cnologias inform

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Foi natural no desenvolvimento das atividades a utilização de tecnologias para coleta dos dados.

o laboratório de informática, de modo tanto para a coleta como

Destacamos a importância da orientação e acompanhamento do professor, tanto na busca como na utilização das informações obtidas. Percebemos que inicialmente os alunos estavam apenas

uer tipo de crítica ou análise. Para aquela era a primeira experiência em investigação da forma aqui

Aos poucos os estudantes foram estabelecendo critérios para seleção das conhecer e

também foram organizando essas informações de forma a construir um texto do grupo sobre o tema pesquisado.

s tecnológicos . Orientamos os alunos que fossem

organizando os dados coletados e construindo um texto coletivo utilizando para O Google Docs. é uma tecnologia Wiki, ou seja, uma

as pode ser visitada e Esse espaço virtual

estendeu o espaço da sala de aula. Professor e alunos puderam interagir durante o

imento das atividades, constituindo um ambiente de trabalho colaborativo, independente da presença física, no qual o conhecimento foi sendo

no laboratório de informática

Slipknot

Copa do Mundo de 2014 – Infraestrutura das cidades sedes

Redes Sociais – Orkut × Facebook

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2ª Etapa: Apresentação dos Grupos: Segunda Guerra

Mundial e Redes Sociais

Nesta etapa trabalho, socializandoconclusões aos demais grupos.grupo apresentou suarealizada uma plenária com a participação de todos.rico das atividades, com grande participação dos estudantesaos componentes dos grupos que estavam apresentando. Os alunos muito interessados noapresentações oportunizaram discussões sobre os temas pesquisados, trazendo

Figura 1: Laboratório de informática Fonte: Banco de dados do professor/pesquisador 1


Mundial e Redes Sociais

Nesta etapa o objetivo foi fazer com que os grupos apresentassem o trabalho, socializando as informações obtidas e relatando suas análises e conclusões aos demais grupos. A dinâmica utilizada foi a seguinte: primeiro cadagrupo apresentou sua pesquisa, utilizando slides e datashow,

uma plenária com a participação de todos. Este foi um momento muito rico das atividades, com grande participação dos estudantes, não se restringindo aos componentes dos grupos que estavam apresentando. Os alunos

s nos temas apresentados. Os debates que se seguiram oportunizaram discussões sobre os temas pesquisados, trazendo


ue os grupos apresentassem o informações obtidas e relatando suas análises e

izada foi a seguinte: primeiro cada datashow, e em seguida foi Este foi um momento muito

, não se restringindo aos componentes dos grupos que estavam apresentando. Os alunos se mostraram

que se seguiram às oportunizaram discussões sobre os temas pesquisados, trazendo

questões sociais para a aula de se posicionarem criticamente sobre os assunt

Os primeiros grupos a apresentar foram: segunda guerra mundial e redes sociais. A escolha dos grupos foi feita pelo professor e trabalhos estarem adiantados e também por percebermos nesses trabalhos, situações propícias para o desenvolvimento de atividades que possibilitariam introduzirmos o conceito de função.

A figura a seguir ilustra o momento das apresentações.

Figura 2: Apresentação do Grupo Segunda GuerraFonte: Banco de dados do professor/pesquisador 1

3ª Etapa: Abordagem do conceito de função com base nos projetos de modelagem

Nesta etapa o objetivo foi a abordagemcomo referência os temas apresentados por cada grupo e debatidos em classe.

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sociais para a aula de Matemática e dando aos alunos a oportunidade de se posicionarem criticamente sobre os assuntos discutidos.

Os primeiros grupos a apresentar foram: segunda guerra mundial e redes sociais. A escolha dos grupos foi feita pelo professor e se deu em função dos trabalhos estarem adiantados e também por percebermos nesses trabalhos,

para o desenvolvimento de atividades que possibilitariam introduzirmos o conceito de função.

ilustra o momento das apresentações.

Apresentação do Grupo Segunda Guerra Banco de dados do professor/pesquisador 1

3ª Etapa: Abordagem do conceito de função com base nos odelagem

Nesta etapa o objetivo foi a abordagem inicial do conceito de funçãocomo referência os temas apresentados por cada grupo e debatidos em classe.

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ática com te

cnologias inform

áticas

atemática e dando aos alunos a oportunidade de

Os primeiros grupos a apresentar foram: segunda guerra mundial e redes se deu em função dos

trabalhos estarem adiantados e também por percebermos nesses trabalhos, para o desenvolvimento de atividades que possibilitariam

3ª Etapa: Abordagem do conceito de função com base nos

do conceito de função tendo como referência os temas apresentados por cada grupo e debatidos em classe.

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Com base nos trabalhos aprpor meio dos quais poderíamos explorar ideias intuitivas relacionadas à dependência e também chamar a atenção dos alunos sobre características de relações entre grandezas, de modo a caracterizar e apresentmatemático de função.

Selecionamos contemplando casos que poderiam ser caracterizados como funções e também os que não poderiam ser caracterizados como tal. Entre os que poderiam ser caracterizados como funções, buscamos exemplos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Usando esses dados montamos um material com diferentes situações e também incluímos outras puramente matemáticas.Baseamos-nos também no livro didático utilizado esobre o tema funções.

Para o desenvolvimento das atividades propostas os estudantes precisavam identificar elementos, organizácorrespondências entre elas. Nesta etapa buscourefletir sobre noções de variáveis e dependência. Para cada situação os estudantes foram orientados a refletir sobre as variações das grandezas envolvidas e se a variação da grandeza da primeira coluna da tabela implicava em alguma na segunda coluna, estabelecendo assim as relações de dependência entre variáveis. Os contextos apresentados foram também utilizados para chamar a atenção para regularidades, existência ou não de padrões e se estes poderiam ser generalizados para além dos valores apresentados. Essas questões não apareceram explicitamente nas atividades apresentadas aos alunos como situações a serem investigadas, porém foram exploradas durante a realização das atividades e nas discussões com os grupos.

Depois de monpedimos que os alunos observassem duas condições que poderiam ser ou não satisfeitas em cada uma delas: a) se todo elemento da primeira coluna tem correspondente na segunda coluna; b) se qualquer elementopossui um único correspondente na segunda coluna. A função foi definida como a

20Função, Volume 1, Projeto: Novos Materiais para o Ensino da MatemUNICAMP. Diretor: Ubiratan D’Ambrósio 1972

Com base nos trabalhos apresentados procuramos identificar situações e dados por meio dos quais poderíamos explorar ideias intuitivas relacionadas à dependência e também chamar a atenção dos alunos sobre características de relações entre grandezas, de modo a caracterizar e apresentmatemático de função.

Selecionamos gráficos ou tabelas, procurando diversidade de situações contemplando casos que poderiam ser caracterizados como funções e também os que não poderiam ser caracterizados como tal. Entre os que poderiam ser aracterizados como funções, buscamos exemplos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Usando esses dados montamos um material com diferentes situações e também incluímos outras puramente matemáticas.

também no livro didático utilizado em sala e em uma sobre o tema funções.

Para o desenvolvimento das atividades propostas os estudantes precisavam identificar elementos, organizá-los em tabelas com duas colunas e estabelecer correspondências entre elas. Nesta etapa buscou-se estimular os estudantes a refletir sobre noções de variáveis e dependência. Para cada situação os estudantes foram orientados a refletir sobre as variações das grandezas envolvidas e se a variação da grandeza da primeira coluna da tabela implicava em alguma na segunda coluna, estabelecendo assim as relações de dependência entre

Os contextos apresentados foram também utilizados para chamar a atenção para regularidades, existência ou não de padrões e se estes poderiam ser

além dos valores apresentados. Essas questões não apareceram explicitamente nas atividades apresentadas aos alunos como situações a serem investigadas, porém foram exploradas durante a realização das atividades e nas discussões com os grupos.

Depois de montadas as tabelas estabelecendo as correspondênciasque os alunos observassem duas condições que poderiam ser ou não

satisfeitas em cada uma delas: a) se todo elemento da primeira coluna tem correspondente na segunda coluna; b) se qualquer elemento possui um único correspondente na segunda coluna. A função foi definida como a

Função, Volume 1, Projeto: Novos Materiais para o Ensino da Matemática PREMEN

UNICAMP. Diretor: Ubiratan D’Ambrósio 1972 –1974.

esentados procuramos identificar situações e dados por meio dos quais poderíamos explorar ideias intuitivas relacionadas à dependência e também chamar a atenção dos alunos sobre características de relações entre grandezas, de modo a caracterizar e apresentar o conceito

procurando diversidade de situações contemplando casos que poderiam ser caracterizados como funções e também os que não poderiam ser caracterizados como tal. Entre os que poderiam ser aracterizados como funções, buscamos exemplos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Usando esses dados montamos um material com diferentes situações e também incluímos outras puramente matemáticas.

m sala e em uma publicação20

Para o desenvolvimento das atividades propostas os estudantes precisavam los em tabelas com duas colunas e estabelecer

timular os estudantes a refletir sobre noções de variáveis e dependência. Para cada situação os estudantes foram orientados a refletir sobre as variações das grandezas envolvidas e se a variação da grandeza da primeira coluna da tabela implicava em alguma variação na segunda coluna, estabelecendo assim as relações de dependência entre

Os contextos apresentados foram também utilizados para chamar a atenção para regularidades, existência ou não de padrões e se estes poderiam ser

além dos valores apresentados. Essas questões não apareceram explicitamente nas atividades apresentadas aos alunos como situações a serem investigadas, porém foram exploradas durante a realização das atividades e nas

as correspondências, que os alunos observassem duas condições que poderiam ser ou não

satisfeitas em cada uma delas: a) se todo elemento da primeira coluna tem da primeira coluna

possui um único correspondente na segunda coluna. A função foi definida como a

ática PREMEN – MEC/IMECC –

correspondência entre elementos de dois conjuntos obedecendo as duas condições acima. Dessa forma, cada uma das situações anteriormente estudadas pode ou não ser caracterizada como função. Em seguida, mais duas situações diferentes foram apresentadas pedindo aos alunos que verificassem se seriam ou não funções. Tínhamos também o objetivo de chamar a atenção dos alunos para o fato de que nem todos os relacionamcaracterizados como funções.

Após essa atividade apresentamos a definição formal de função como uma relação especial entre elementos de dois conjuntosapresentada no livro didático adotado. Fizemos uma comdefinição formal e as condições indicadas nade uma função. Os alunos conseguiram perceber a relação existente entre elas. Ainda com base nas situações trabalhadas naconceitos relacionados, tais comorepresentação por diagramas de Venn. Também discutimos sobre a importância de se formalizar conceitos matemáticos e do uso da linguagem matemática.

Apresentamos a seguir dois roteiros de atirespectivamente para a Turma de Segunda Guerra Mundial) e para a Turma de tema Redes Sociais). Observe que as situações de 1 a 5 em cada roteiro foram construídas com base nos dados específicos dos temas em questão e, portanto são diferentes para cada turma. As situações de 6 a 10 envolvem contextos não específicos dos temas e são iguais para as duas turmas. roteiros nossa intenção é dar com os objetivos propostos. modelagem com as características que apresentamos, os roteiros devem ser elaborados considerando os temas abordados pelos gruposinformações coletadas pelos estudantes durante as atividades.

ROTEIRO1: Turma de Mineração

As situações a seguir têm como objetivo verificar as relações existentes entre dois conjuntos quaisquer. Siga as orientações e

23 |

correspondência entre elementos de dois conjuntos obedecendo as duas condições acima. Dessa forma, cada uma das situações anteriormente estudadas

ser caracterizada como função. Em seguida, mais duas situações diferentes foram apresentadas pedindo aos alunos que verificassem se seriam ou não funções. Tínhamos também o objetivo de chamar a atenção dos alunos para o fato de que nem todos os relacionamentos entre grandezas podem ser

Após essa atividade apresentamos a definição formal de função como uma entre elementos de dois conjuntos, assim com

apresentada no livro didático adotado. Fizemos uma comparação entre essa definição formal e as condições indicadas nas nossas atividades para caracterização de uma função. Os alunos conseguiram perceber a relação existente entre elas. Ainda com base nas situações trabalhadas nas atividades abordamosnceitos relacionados, tais como: domínio, contradomínio, imagem e

representação por diagramas de Venn. Também discutimos sobre a importância de se formalizar conceitos matemáticos e do uso da linguagem matemática.

Apresentamos a seguir dois roteiros de atividades elaboradosrespectivamente para a Turma de Automação (tendo como referência Segunda Guerra Mundial) e para a Turma de Mineração (tendo como referência o tema Redes Sociais). Observe que as situações de 1 a 5 em cada roteiro foram

com base nos dados específicos dos temas em questão e, portanto são diferentes para cada turma. As situações de 6 a 10 envolvem contextos não específicos dos temas e são iguais para as duas turmas. Apresentando e

nossa intenção é dar ao professor exemplos de como construir atividades com os objetivos propostos. No caso do desenvolvimento de atividades de modelagem com as características que apresentamos, os roteiros devem ser elaborados considerando os temas abordados pelos grupos e aproveitaninformações coletadas pelos estudantes durante as atividades.

Turma de Mineração – Tema Segunda Guerra Mundial

As situações a seguir têm como objetivo verificar as relações existentes entre dois conjuntos quaisquer. Siga as orientações e responda as perguntas.

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correspondência entre elementos de dois conjuntos obedecendo as duas condições acima. Dessa forma, cada uma das situações anteriormente estudadas

ser caracterizada como função. Em seguida, mais duas situações diferentes foram apresentadas pedindo aos alunos que verificassem se seriam ou não funções. Tínhamos também o objetivo de chamar a atenção dos alunos para o

entos entre grandezas podem ser

Após essa atividade apresentamos a definição formal de função como uma assim como estava paração entre essa para caracterização

de uma função. Os alunos conseguiram perceber a relação existente entre elas. abordamos outros

: domínio, contradomínio, imagem e representação por diagramas de Venn. Também discutimos sobre a importância de

elaborados Automação (tendo como referência o tema

(tendo como referência o tema Redes Sociais). Observe que as situações de 1 a 5 em cada roteiro foram

com base nos dados específicos dos temas em questão e, portanto são diferentes para cada turma. As situações de 6 a 10 envolvem contextos não

Apresentando esses ssor exemplos de como construir atividades

No caso do desenvolvimento de atividades de modelagem com as características que apresentamos, os roteiros devem ser

e aproveitando as

As situações a seguir têm como objetivo verificar as relações existentes entre dois

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SITUAÇÃO 1 – Considere o conjunto Itália, Japão, EUA, URSS. E o conjunto Ucrânia, Noruega, Manchúria, Albânia e Líbia.

1. Faça uma tabela com delementos do conjunto foi invadido pelo elemento de G na primeira etapa da segunda guerra.

2. É possível estabelecer uma relação entre os elementos da primeira coluncom os elementos da segunda coluna? Justifique sua resposta.

SITUAÇÃO 2 – Considerando os países que lutaram na segunda guerra. Faça uma tabela como a da situação anterior.

1. Coloque na primeira coluna o nome dos grupos em que estes países se dividiram.

2. Escrevam em cada linha da segunda coluna, os nomes dos países que faziam parte deste grupo.

3. Compare esta tabela com a da situação anterior, escreva algumas dadiferenças observadas.

SITUAÇÃO 3 - Faça uma tabela como a da situação anterior.

1) Preencha a prmodelagem.

2) Escreva, em cada linha da segunda colunaque participaram do grupo.

3) Compare sua tabela com a tabela obtida na situação anterior

Considere o conjunto G dos os países: Inglaterra, Alemanha, França, Itália, Japão, EUA, URSS. E o conjunto I dos países: Polônia, França, Iugoslávia, Ucrânia, Noruega, Manchúria, Albânia e Líbia.

Faça uma tabela com duas colunas. Coloquem na primeira coluna os elementos do conjunto G. Escreva, na segunda coluna o nome do país que foi invadido pelo elemento de G na primeira etapa da segunda guerra.

É possível estabelecer uma relação entre os elementos da primeira coluncom os elementos da segunda coluna? Justifique sua resposta.

Considerando os países que lutaram na segunda guerra. Faça uma tabela como a da situação anterior.

Coloque na primeira coluna o nome dos grupos em que estes países se

Escrevam em cada linha da segunda coluna, os nomes dos países que faziam parte deste grupo.

Compare esta tabela com a da situação anterior, escreva algumas dadiferenças observadas.

Faça uma tabela como a da situação anterior.

Preencha a primeira coluna com os nomes dos grupos de trabalho de

em cada linha da segunda coluna, os nomes de todos os estudantes que participaram do grupo.

Compare sua tabela com a tabela obtida na situação anterior

dos os países: Inglaterra, Alemanha, França, dos países: Polônia, França, Iugoslávia,

uas colunas. Coloquem na primeira coluna os . Escreva, na segunda coluna o nome do país que

foi invadido pelo elemento de G na primeira etapa da segunda guerra.

É possível estabelecer uma relação entre os elementos da primeira coluna com os elementos da segunda coluna? Justifique sua resposta.

Considerando os países que lutaram na segunda guerra. Faça uma

Coloque na primeira coluna o nome dos grupos em que estes países se

Escrevam em cada linha da segunda coluna, os nomes dos países que

Compare esta tabela com a da situação anterior, escreva algumas das

imeira coluna com os nomes dos grupos de trabalho de

os nomes de todos os estudantes


SITUAÇÃO 4 – Observe o gráfi

1. Faça uma tabela e coloque na primeira coluna os nomes dos modelos de aviões.

2. Coloque na segunda coluna a quantidade de aviões produzidos.

3. É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas colunas desta tabela?

SITUAÇÃO 5 – Observe as informações dadas no gráfico abaixo, sobre o número de mortos da segunda guerra mundial de cada país participante. Faça uma tabela usando as informações do gráfico.

25 |

Observe o gráfico abaixo.

Faça uma tabela e coloque na primeira coluna os nomes dos modelos de

Coloque na segunda coluna a quantidade de aviões produzidos.

É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas

Observe as informações dadas no gráfico abaixo, sobre o número de mortos da segunda guerra mundial de cada país participante. Faça uma tabela usando as informações do gráfico.

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Faça uma tabela e coloque na primeira coluna os nomes dos modelos de


Observe as informações dadas no gráfico abaixo, sobre o número de mortos da segunda guerra mundial de cada país participante. Faça uma tabela

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1. Preencha a primeira coluna com os nomes dos paíssegunda guerra.

2. Escreva em cada linha da segunda coluna, a quantidade de militares mortos.

3. Compare sua tabela com a tabela obtida na situação anterior. Escreva suas conclusões.

SITUAÇÃO 6 – Preencha o quadro abaixo, usando os conj

{ 910,8,7,6,5,4,3,2,1=B

1. Coloquem na primeira coluna os elementos de A.

Preencha a primeira coluna com os nomes dos países participantes da segunda guerra.

Escreva em cada linha da segunda coluna, a quantidade de militares mortos.

Compare sua tabela com a tabela obtida na situação anterior. Escreva suas

Preencha o quadro abaixo, usando os conjuntos:

}910 .

Coloquem na primeira coluna os elementos de A.

es participantes da

Escreva em cada linha da segunda coluna, a quantidade de militares mortos.

Compare sua tabela com a tabela obtida na situação anterior. Escreva suas

untos: { }7,5,3,2=A e

2. Em cada linha da segunda coluna, coloque todos os elementos de B que

sejam múltiplos de cada elemento de A.

3. Compare esta tabela com a da situação anter

Elemento de A

SITUAÇÃO 7 – Faça uma tabela usando os conjuntos:

A= {Mariana, Ouro Preto, Itabirito, Ponte Nova}

B={ Cabanas, Copacabana, Bauxita, Savassi, Bexiga}

1) Coloque na primeira col2) Preencha a segunda coluna com os elementos do conjunto B que sejam

bairros das cidades de A.3) É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas

colunas desta tabela? Explique.

Comentários:

Nas situações anteriores o objetivo principal é a organização de dados nas tabelas, relacionando elementos de dois conjuntos de acordo com algum critério ou lei. Com os questionamentos colocados procuramos chamar a atenção dos estudantes para as relações existentes. Prorelações que se pode estabelecer entre elementos de dois conjuntos. Nas atividades que se seguem a estas, características dessas relações que possibilitam

27 |

Em cada linha da segunda coluna, coloque todos os elementos de B que sejam múltiplos de cada elemento de A.

Compare esta tabela com a da situação anterior. Escreva suas conclusões.

Múltiplo (s) do elemento

Faça uma tabela usando os conjuntos:


B={ Cabanas, Copacabana, Bauxita, Savassi, Bexiga}

Coloque na primeira coluna os elementos do conjunto A. Preencha a segunda coluna com os elementos do conjunto B que sejam bairros das cidades de A. É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas colunas desta tabela? Explique.

anteriores o objetivo principal é a organização de dados nas tabelas, relacionando elementos de dois conjuntos de acordo com algum critério ou lei. Com os questionamentos colocados procuramos chamar a atenção dos estudantes para as relações existentes. Procuramos também contemplar diferentes tipos de relações que se pode estabelecer entre elementos de dois conjuntos. Nas atividades que se seguem a estas, procuramos chamar a atenção para características dessas relações que possibilitam identificá-las ou não como funções.

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Em cada linha da segunda coluna, coloque todos os elementos de B que

ior. Escreva suas conclusões.

Preencha a segunda coluna com os elementos do conjunto B que sejam


anteriores o objetivo principal é a organização de dados nas tabelas, relacionando elementos de dois conjuntos de acordo com algum critério ou lei. Com os questionamentos colocados procuramos chamar a atenção dos estudantes

curamos também contemplar diferentes tipos de relações que se pode estabelecer entre elementos de dois conjuntos. Nas

procuramos chamar a atenção para como funções.

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Observe que até esse a definição matemática de função. Tendo como referência duas características peculiares das relações, o conceito identificar entre as situações estudadas e entre outras a serem apresentadas, quais se caracterizam como funções.

SITUAÇÃO 8 – Leia com atenção as afirmativas abaixo:

a) Todo elemento da primeira coluna tem correspondente na segunda coluna.

b) Qualquer elemento da primena segunda coluna.

1. Para que cada uma das situações anteriores verifique se estas afirmativas são verdadeiras ou falsas. Preencha o quadro abaixo com suas conclusões.

2. O relacionamento entre os elementos dos dois conjuntos será A em B somente quando as afirmativas Quais das situações anteriores são exemplos de funções?

Observe que até esse ponto das atividades ainda não é apresentada aos estudantes a definição matemática de função. Tendo como referência duas características peculiares das relações, o conceito deve ser introduzido e os alunos deverão

icar entre as situações estudadas e entre outras a serem apresentadas, quais se caracterizam como funções.

Leia com atenção as afirmativas abaixo:

Todo elemento da primeira coluna tem correspondente na segunda

Qualquer elemento da primeira coluna possui um único correspondente na segunda coluna.

Para que cada uma das situações anteriores verifique se estas afirmativas são verdadeiras ou falsas. Preencha o quadro abaixo com suas conclusões.

Situação a)

1

2

3

4

5

6

7

O relacionamento entre os elementos dos dois conjuntos será somente quando as afirmativas a) e b) forem verdadeiras.

Quais das situações anteriores são exemplos de funções?

apresentada aos estudantes a definição matemática de função. Tendo como referência duas características

introduzido e os alunos deverão icar entre as situações estudadas e entre outras a serem apresentadas, quais


ira coluna possui um único correspondente

Para que cada uma das situações anteriores verifique se estas afirmativas são verdadeiras ou falsas. Preencha o quadro abaixo com suas conclusões.

b)

O relacionamento entre os elementos dos dois conjuntos será FUNÇÃO de forem verdadeiras.


Comentários:

Neste momento é que os alunos um melhor entendimento, cabe ao professor salientar sobre expressões: “todo elemento”, “tem um correspondente”, “qualquer elemento” e “possui um único correspondentealunos que escrevam com suas palavras a definição de que foi informado no texto.

SITUAÇÃO 9 – Para prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra R$50,00 a visita e um adicional de R$20,00 por hora de trabalho.

1. Quanto este técnico cobra por 2 horas, 3 horas, 4 horas,... de trabalho?

2. Faça uma tabela colocando na primeira coluna os números referentes às horas trabalhadas e, na segunda coluna o valor cobrado.

3. Esta situação é um exemplo de função? Por quê?

SITUAÇÃO 10 – Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {3, 4, 5}

1. Faça uma tabela, colocando na primeira coluna os números de A e, na segunda, os números de B que sejam metade dos números de A.

2. Esta relação entre os elementos de A e B é uma função? Por quê?

Comentários:

As duas situações anteriores serveconstruída pelos alunos por meio de livros textos utilizados no Ensino Médio. Se o professor optartambém com situações trazidas pelos apresentem situações que podem ser caracterizadas como funções e situações que não podem ser caracterizadas como funçdaquela condição. Os exemplos aprcom a classe. Esse é também o momento propício para discutir a definição formal

29 |

Neste momento é que os alunos começam a construir o conceito de funçãocabe ao professor salientar sobre os significados

“todo elemento”, “tem um correspondente”, “qualquer elemento” e correspondente”. Também sugerimos que o professor peça

escrevam com suas palavras a definição de “função” de acordo com o

Para prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra R$50,00 a visita e um adicional de R$20,00 por hora de trabalho.

Quanto este técnico cobra por 2 horas, 3 horas, 4 horas,... de trabalho?

Faça uma tabela colocando na primeira coluna os números referentes às horas trabalhadas e, na segunda coluna o valor cobrado.

Esta situação é um exemplo de função? Por quê?

Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {3, 4, 5}

Faça uma tabela, colocando na primeira coluna os números de A e, na segunda, os números de B que sejam metade dos números de A.

Esta relação entre os elementos de A e B é uma função? Por quê?

As duas situações anteriores servem para contextualizar e reforçar a definição por meio de outras situações similares às encontradas nos

livros textos utilizados no Ensino Médio. Se o professor optar, poderá fazêambém com situações trazidas pelos alunos. Pode-se pedir aos grupos que apresentem situações que podem ser caracterizadas como funções e situações que não podem ser caracterizadas como funções, argumentando porque dessa ou daquela condição. Os exemplos apresentados podem ser discutidos coletivamente com a classe. Esse é também o momento propício para discutir a definição formal

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de função, e para os significados das

“todo elemento”, “tem um correspondente”, “qualquer elemento” e Também sugerimos que o professor peça aos

“função” de acordo com o

Para prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra


Faça uma tabela colocando na primeira coluna os números referentes às

Faça uma tabela, colocando na primeira coluna os números de A e, na

a definição outras situações similares às encontradas nos

poderá fazê-lo se pedir aos grupos que

apresentem situações que podem ser caracterizadas como funções e situações que porque dessa ou

esentados podem ser discutidos coletivamente com a classe. Esse é também o momento propício para discutir a definição formal

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de função apresentada no livro texto. É importante que os alunos comparem a definição escrita em linguagem matemática com as condiçatividades e com a definição

Também é importante salientar que a escapresentação dos trabalhosem nossa pesquisa, por uma necessiatividades das demais turmas de primeiro ano do Instituto. As atividadesaulas de Matemáticatodos os professores. Por essa razão fezmesmo de terminarmos os projetos de modelagem. Oabordar o conceito de função terá um leque maior de situações que poderá utilizar.

ROTEIRO2: Turma de Automa


SITUAÇÃO 1 – ObserveD1IMIN1- Azeitona

Obs: Trata-se de um grupo no Facebook criado pela sala. Na atividade original foram colocadas as fotos dos alunos que fazem parte do referido grupo.

Este grupo deseja organizar os aniversários de toda a turma e para isso as informações em uma tabela.

1) Escreva o conjunto A formado pelos estudantes do grupo e o conjunto B formado por todos os meses do ano.

2) Faça uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna coloque os elementos do conjunto A. Na segunda coluna escreva o mês de aniversárde cada elemento da primeira coluna.

3) É possível estabelecer uma relação entre os estudantes e o mês de aniversário de cada um?

de função apresentada no livro texto. É importante que os alunos comparem a definição escrita em linguagem matemática com as condições exploradas nas atividades e com a definição escrita por eles.

Também é importante salientar que a escolha de apenas dois dos grupos para apresentação dos trabalhos, antes da introdução do conceito de funçãoem nossa pesquisa, por uma necessidade de adequação ao cronograma das atividades das demais turmas de primeiro ano do Instituto. As atividadesaulas de Matemática, inclusive as avaliações, foram planejadas conjuntamente com todos os professores. Por essa razão fez-se necessário abordar o conceito antes mesmo de terminarmos os projetos de modelagem. O professor que abordar o conceito de função após a apresentação de todos os grupos certamente terá um leque maior de situações que poderá utilizar.

2: Turma de Automação – Tema Redes Sociais


Observe o grupo de amigos (estudantes) do Facebook da turma

se de um grupo no Facebook criado pela sala. Na atividade original foram colocadas as fotos dos alunos que fazem parte do referido grupo.

Este grupo deseja organizar os aniversários de toda a turma e para isso s em uma tabela.

Escreva o conjunto A formado pelos estudantes do grupo e o conjunto B formado por todos os meses do ano.

Faça uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna coloque os elementos do conjunto A. Na segunda coluna escreva o mês de aniversárde cada elemento da primeira coluna.

É possível estabelecer uma relação entre os estudantes e o mês de aniversário de cada um?

de função apresentada no livro texto. É importante que os alunos comparem a ões exploradas nas

olha de apenas dois dos grupos para antes da introdução do conceito de função, ocorreu,

dade de adequação ao cronograma das atividades das demais turmas de primeiro ano do Instituto. As atividades usuais das

planejadas conjuntamente com abordar o conceito antes professor que optar por

após a apresentação de todos os grupos certamente


o grupo de amigos (estudantes) do Facebook da turma

se de um grupo no Facebook criado pela sala. Na atividade original foram colocadas as fotos dos alunos que fazem parte do referido grupo.

Este grupo deseja organizar os aniversários de toda a turma e para isso vão reunir

Escreva o conjunto A formado pelos estudantes do grupo e o conjunto B

Faça uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna coloque os elementos do conjunto A. Na segunda coluna escreva o mês de aniversário

É possível estabelecer uma relação entre os estudantes e o mês de

SITUAÇÃO 2 – Faça uma tabela como a da situação anterior.

1) Preencha a primeira coluna com os nomes dos grupos de trabalho de modelagem.

2) Escreva, em cada linha da segunda coluna, os nomes de todos os estudantes que participaram do grupo.

3) Compare sua tabela com a tabela obtida na situação anterior

SITUAÇÃO 3 – Observe o gráfico abaixo.

1. Faça uma tabela e coloque na feita a pesquisa.

31 |

uma tabela como a da situação anterior.


Escreva, em cada linha da segunda coluna, os nomes de todos os estudantes que participaram do grupo.


o gráfico abaixo.

Faça uma tabela e coloque na primeira coluna os meses do ano em que foi

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Escreva, em cada linha da segunda coluna, os nomes de todos os estudantes

primeira coluna os meses do ano em que foi

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2. Coloque na segunda coluna os valores em milhões de usuários únicos para o Facebook.


4. Faça o mesmo pa

SITUAÇÃO 4 – Suponhamos que os estudantes do grupo de Modelagem Redes Sociais (8 estudantes) resolvam criar uma rede de amigos. Para fazer isto cada estudante do grupo se compromete a convidar dois novos amigos por diComplete a tabela e responda:

Quantidade de dias

1 dias

2 dias

3 dias

4 dias

5 dias

6 dias

n dias


2. Compare estaconclusões.

Coloque na segunda coluna os valores em milhões de usuários únicos para o

É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas colunas desta tabela?

Faça o mesmo para o Orkut e compare as duas tabelas.

Suponhamos que os estudantes do grupo de Modelagem Redes Sociais (8 estudantes) resolvam criar uma rede de amigos. Para fazer isto cada estudante do grupo se compromete a convidar dois novos amigos por diComplete a tabela e responda:

Quantidade de dias Quantidade de amigos

1 dias

2 dias

3 dias

4 dias

5 dias

6 dias

.

.

.

n dias

É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas colunas desta tabela?

Compare esta tabela com a tabela da atividade anterior. Escreva suas

Coloque na segunda coluna os valores em milhões de usuários únicos para o


Suponhamos que os estudantes do grupo de Modelagem Redes Sociais (8 estudantes) resolvam criar uma rede de amigos. Para fazer isto cada estudante do grupo se compromete a convidar dois novos amigos por dia.

Quantidade de amigos


tabela com a tabela da atividade anterior. Escreva suas

SITUAÇÃO 5 – Observe o gráfico abaixo:

1. Faça uma tabela e coloque na primeira coluna o tempo (em horas) de dedicação às redes sociais.

2. Coloque na segunda coluna os valores em percorrespondentes ao tempo indicado.

3. É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas colunas dessa tabela?

SITUAÇÃO 6 – Preencha o quadro abaixo, usando os conjuntos:

{ }910,8,7,6,5,4,3,2,1=B .

1. Coloquem na primeira coluna os elementos de A. 2. Em cada linha da segunda coluna, coloque todos os elementos de B que

sejam múltiplos de cada elemento de A. 3. Compare esta tabela com a da situação anterior. Escreva suas

conclusões.

33 |

o gráfico abaixo:

Faça uma tabela e coloque na primeira coluna o tempo (em horas) de dedicação às redes sociais.

Coloque na segunda coluna os valores em percentual dos usuários correspondentes ao tempo indicado.


Preencha o quadro abaixo, usando os conjuntos: {=A

Coloquem na primeira coluna os elementos de A.

Em cada linha da segunda coluna, coloque todos os elementos de B que sejam múltiplos de cada elemento de A.

Compare esta tabela com a da situação anterior. Escreva suas

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Faça uma tabela e coloque na primeira coluna o tempo (em horas) de

centual dos usuários


{ }7,5,3,2 e

Em cada linha da segunda coluna, coloque todos os elementos de B que

Compare esta tabela com a da situação anterior. Escreva suas

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Elemento de A

SITUAÇÃO 7 – Faça uma tabela usando os conjuntos:


B= {Cabanas, Copacabana, Bauxita, Savassi, Bexiga}

1. Coloque na primeira coluna os elementos do conjunto A.

2. Preencha a segunda bairros das cidades de A.

3. É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas colunas desta tabela? Explique.

SITUAÇÃO 8 – Leia com atenção as afirmativas abaixo:

a) Todo elemento da primeir

coluna.

b) Qualquer elemento da primeira coluna possui um único correspondente na segunda coluna. 1. Para que cada uma das situações anteriores verifique se estas afirmativas

são verdadeiras ou falsas. Preencha o quadro conclusões.

Elemento de A Múltiplo (s) do elemento

Faça uma tabela usando os conjuntos:


B= {Cabanas, Copacabana, Bauxita, Savassi, Bexiga}

Coloque na primeira coluna os elementos do conjunto A.

Preencha a segunda coluna com os elementos do conjunto B que sejam bairros das cidades de A.

É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das duas colunas desta tabela? Explique.

com atenção as afirmativas abaixo:


Qualquer elemento da primeira coluna possui um único correspondente na segunda coluna.

Para que cada uma das situações anteriores verifique se estas afirmativas são verdadeiras ou falsas. Preencha o quadro conclusões.

o (s) do elemento

Coloque na primeira coluna os elementos do conjunto A.

coluna com os elementos do conjunto B que sejam

É possível estabelecer uma correspondência entre os elementos das

a coluna tem correspondente na segunda

Qualquer elemento da primeira coluna possui um único correspondente

Para que cada uma das situações anteriores verifique se estas afirmativas são verdadeiras ou falsas. Preencha o quadro abaixo com suas

Situação

1

2

3

4

5

6

7

2. O relacionamento entre os elementos dos dois conjuntos será de A em B somente quando as afirmativas Quais das situações anteriores são exempl

SITUAÇÃO 9 – Para prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra R$50,00 a visita e um adicional de R$20,00 por hora de trabalho.

1. Quanto este técnico cobra por 2 horas, 3 horas, 4 horas,... de trabalho?

2. Faça uma tabela colocando na primeira coluna os números referentes às horas trabalhadas e, na segunda coluna o valor cobrado.

3. Esta situação é um exemplo de função? Por quê?

SITUAÇÃO 10 – Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {3, 4, 5}

1. Faça uma tabela, colocando na segunda, os números de B que sejam metade dos números de A.

2. Esta relação entre os elementos de A e B é uma função? Por quê?

35 |

Situação a) b)

O relacionamento entre os elementos dos dois conjuntos será somente quando as afirmativas a) e b) forem verdadeiras.


prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra R$50,00 a visita e um adicional de R$20,00 por hora de trabalho.


cando na primeira coluna os números referentes às horas trabalhadas e, na segunda coluna o valor cobrado.

Esta situação é um exemplo de função? Por quê?

Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {3, 4, 5}

Faça uma tabela, colocando na primeira coluna os números de A e, na segunda, os números de B que sejam metade dos números de A.

Esta relação entre os elementos de A e B é uma função? Por quê?

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cnologias inform

áticas

O relacionamento entre os elementos dos dois conjuntos será FUNÇÃO forem verdadeiras.

prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra


cando na primeira coluna os números referentes às

primeira coluna os números de A e, na

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4ª Etapa: Apresentação dos demais grupos

Nessa etapa ocorreram as apresentações dos demais apresentações aconteceram de forma similar à apresentação dos grupos previamente escolhidos Segunda Guerra Mundial (turma de Automação) e Redes Sociais (turma de Mineração), ou seja, os grupos apresentavam sua suas investigações e após a apresala sobre os temas estudados pelos gruposessa apresentação pode também ser feita antes do trabalho com o conceito de função.

5ª Etapa: Estudo informal de gráficos

Nos livros didáticos encontramos tópicos dedicados à leitura e interpretação de gráficos. No caso específico do livro texto adotado no Instituto há um tópico denominado “leitura informal de gráfico”, com exemplos retirados de jornais, revistas, sites etc. Pela etópico, em geral, não desperta grande interesse ptrabalhos de modelagem que desenvolvemos gráficos com informações sobre os temas investigados. foram exploradas pelos alunos paraPercebemos que esses dados dos trabalhos poderiam ser utilizados também para explorarmos a leitura e interpretação de gráficos, assim como outros tópicos relacionados ao conteúdo de funções, tais como: domínio, campo de variação, imagem, crescimento, decrescimento, varáveis discretas ou contínuas, entre outros. Decidimos então elaborar um material para esse estudo, também tendo como referência os dados apresentaforma, além do estudo matemático propriamente dito, havia também o interesse relativo ao assunto em si, que continuava a ser discutido pelos alunos.

Os alunos realizaram a atividade em duplas registrando suas uma folha que foi entregue ao professor/pesquisador. Na aula seguinte, o professor/pesquisador debateu com a turma as resoluções por eles apresentadas, os pontos que geraram dúvidas e as interpretações dos alunos sobre as informações apresenta

Apresentação dos demais grupos.

Nessa etapa ocorreram as apresentações dos demais apresentações aconteceram de forma similar à apresentação dos grupos previamente escolhidos Segunda Guerra Mundial (turma de Automação) e Redes Sociais (turma de Mineração), ou seja, os grupos apresentavam sua suas investigações e após a apresentação ocorreu um debate entre osala sobre os temas estudados pelos grupos. Como já comentado anteriormente, essa apresentação pode também ser feita antes do trabalho com o conceito de

Estudo informal de gráficos.

vros didáticos encontramos tópicos dedicados à leitura e interpretação de gráficos. No caso específico do livro texto adotado no Instituto há um tópico denominado “leitura informal de gráfico”, com exemplos retirados de jornais, revistas, sites etc. Pela experiência de anos anteriores, podemos dizer que esse tópico, em geral, não desperta grande interesse por parte dtrabalhos de modelagem que desenvolvemos os alunos apresentaram diversos gráficos com informações sobre os temas investigados. As representações gráficas foram exploradas pelos alunos para discutirem os temas que estudaram. Percebemos que esses dados dos trabalhos poderiam ser utilizados também para explorarmos a leitura e interpretação de gráficos, assim como outros tópicos

ionados ao conteúdo de funções, tais como: domínio, campo de variação, imagem, crescimento, decrescimento, varáveis discretas ou contínuas, entre outros. Decidimos então elaborar um material para esse estudo, também tendo como referência os dados apresentados nos trabalhos dos diferentes grupos. Dessa forma, além do estudo matemático propriamente dito, havia também o interesse relativo ao assunto em si, que continuava a ser discutido pelos alunos.

Os alunos realizaram a atividade em duplas registrando suas uma folha que foi entregue ao professor/pesquisador. Na aula seguinte, o professor/pesquisador debateu com a turma as resoluções por eles apresentadas, os pontos que geraram dúvidas e as interpretações dos alunos sobre as informações apresentadas pelos gráficos.

Nessa etapa ocorreram as apresentações dos demais grupos. Estas apresentações aconteceram de forma similar à apresentação dos grupos previamente escolhidos Segunda Guerra Mundial (turma de Automação) e Redes Sociais (turma de Mineração), ou seja, os grupos apresentavam sua suas

um debate entre os estudantes da Como já comentado anteriormente,

essa apresentação pode também ser feita antes do trabalho com o conceito de

vros didáticos encontramos tópicos dedicados à leitura e interpretação de gráficos. No caso específico do livro texto adotado no Instituto há um tópico denominado “leitura informal de gráfico”, com exemplos retirados de jornais,

xperiência de anos anteriores, podemos dizer que esse or parte dos alunos. Nos

os alunos apresentaram diversos As representações gráficas

discutirem os temas que estudaram. Percebemos que esses dados dos trabalhos poderiam ser utilizados também para explorarmos a leitura e interpretação de gráficos, assim como outros tópicos

ionados ao conteúdo de funções, tais como: domínio, campo de variação, imagem, crescimento, decrescimento, varáveis discretas ou contínuas, entre outros. Decidimos então elaborar um material para esse estudo, também tendo como

dos nos trabalhos dos diferentes grupos. Dessa forma, além do estudo matemático propriamente dito, havia também o interesse relativo ao assunto em si, que continuava a ser discutido pelos alunos.

Os alunos realizaram a atividade em duplas registrando suas respostas em uma folha que foi entregue ao professor/pesquisador. Na aula seguinte, o professor/pesquisador debateu com a turma as resoluções por eles apresentadas, os pontos que geraram dúvidas e as interpretações dos alunos sobre as

ROTEIRO DA ATIVIDADE DE LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS

Gráfico

Segundo o dicionário de língua portuguesa Silveira Bueno gráfico é: uma representação de fenômenos físicos ou sociais; coordenadas e curvas que ligam pontos das ordenadas e abscissas para representação de um fenômeno qualquer; diagrama.

Os gráficos constituem uma forma clara e objetiva de apresentar dados do fenômeno estudado. A intenção é a de proporcionar aos leitorescompreensão e a veracidade dos fatos

No entendimento do conceito de função o gráfico pode auxiliar, pois esta representação possibilita uma melhor visualização do fenômeno ou situação que a função representa.

Vamos observar alguns gráficos retirados dos trabalhos de Modelagem escritos e apresentados pelos grupos, a partir dos quais podemos descobrir algumas propriedades e verificar se os mesmos representam alguma função.

Gráfico 1 - (Slipknot) Quantidade de músicas em função do tempo. Este gráfico mostra a quantidade de músicas produzidas

37 |

DE LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS

Segundo o dicionário de língua portuguesa Silveira Bueno gráfico é: uma representação de fenômenos físicos ou sociais; coordenadas e curvas que ligam

adas e abscissas para representação de um fenômeno qualquer;

Os gráficos constituem uma forma clara e objetiva de apresentar dados do fenômeno estudado. A intenção é a de proporcionar aos leitores em geral a compreensão e a veracidade dos fatos.

No entendimento do conceito de função o gráfico pode auxiliar, pois esta representação possibilita uma melhor visualização do fenômeno ou situação que a

Vamos observar alguns gráficos retirados dos trabalhos de Modelagem esentados pelos grupos, a partir dos quais podemos descobrir

algumas propriedades e verificar se os mesmos representam alguma função.

Quantidade de músicas em função do tempo. Este gráfico mostra a quantidade de músicas produzidas pela banda SLIPKNOT desde sua

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ática com te

cnologias inform

áticas

DE LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS

Segundo o dicionário de língua portuguesa Silveira Bueno gráfico é: uma representação de fenômenos físicos ou sociais; coordenadas e curvas que ligam

adas e abscissas para representação de um fenômeno qualquer;

Os gráficos constituem uma forma clara e objetiva de apresentar dados do em geral a

No entendimento do conceito de função o gráfico pode auxiliar, pois esta representação possibilita uma melhor visualização do fenômeno ou situação que a

Vamos observar alguns gráficos retirados dos trabalhos de Modelagem esentados pelos grupos, a partir dos quais podemos descobrir

algumas propriedades e verificar se os mesmos representam alguma função.

Quantidade de músicas em função do tempo. Este gráfico pela banda SLIPKNOT desde sua

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origem em 1996 até os dias atuais.

A partir de seu entendimento responda:

a) Em que ano a banda Slipknot teve maior produção musical?

b) Qual foi a produção musical em 2001?

c) Em quais períodos a banda obteve crescimento em sua produç

decrescimento?

d) É possível afirmar que a banda produziu músicas em todos os anos desde

sua criação? Justifique sua resposta.

e) Construa um conjunto A com todos os anos desde 1996 até 2011 e um

conjunto B com os números naturais de 0 a

(no conjunto A) e o número de músicas (no conjunto B) é uma função de A

em B? Justifique sua resposta.

Lembre que para a relação ser considerada uma função de A em B, duas condições deve ser satisfeitas:

• Todo elemento de A deve ter c

• Cada elemento de A deve ter um único correspondente em B

origem em 1996 até os dias atuais.


Em que ano a banda Slipknot teve maior produção musical?

Qual foi a produção musical em 2001?

Em quais períodos a banda obteve crescimento em sua produç

decrescimento?

É possível afirmar que a banda produziu músicas em todos os anos desde

sua criação? Justifique sua resposta.

Construa um conjunto A com todos os anos desde 1996 até 2011 e um

conjunto B com os números naturais de 0 a 45. A relação que associa o ano


em B? Justifique sua resposta.

Lembre que para a relação ser considerada uma função de A em B, duas condições deve ser satisfeitas:

Todo elemento de A deve ter correspondente em B

Cada elemento de A deve ter um único correspondente em B

Em que ano a banda Slipknot teve maior produção musical?

Em quais períodos a banda obteve crescimento em sua produção musical? E

É possível afirmar que a banda produziu músicas em todos os anos desde

Construa um conjunto A com todos os anos desde 1996 até 2011 e um

ão que associa o ano


Lembre que para a relação ser considerada uma função de A em B, duas

Cada elemento de A deve ter um único correspondente em B

Gráfico 2 - (Slipknot) Este gráfico representa a quantidade de shows realizados pela banda, durante as turnês mundo afora.


a) Em que ano a banda Slipknot realizou o maior número de shows?

b) Quantos shows a banda realizou em 2005?

c) Em quais períodos a banda obteve crescimento na quantidade de shows? E

decrescimento?

d) É possível afirmar que a banda realizou shows em todos os anos desde sua

criação? Justifique sua resposta.

e) É possível afirmar que a banda realizou turnês em todos os anos desde sua


f) Se chamarmos de A o conjunto dos anos de 1999 a 2008 e de B o conjunto

dos números naturais de zero a 250, a relação qu

39 |

Este gráfico representa a quantidade de shows realizados pela banda, durante as turnês mundo afora.


a banda Slipknot realizou o maior número de shows?

Quantos shows a banda realizou em 2005?

Em quais períodos a banda obteve crescimento na quantidade de shows? E

É possível afirmar que a banda realizou shows em todos os anos desde sua

ão? Justifique sua resposta.

É possível afirmar que a banda realizou turnês em todos os anos desde sua


Se chamarmos de A o conjunto dos anos de 1999 a 2008 e de B o conjunto

dos números naturais de zero a 250, a relação que associa a cada ano (em A)

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Este gráfico representa a quantidade de shows realizados

Em quais períodos a banda obteve crescimento na quantidade de shows? E

É possível afirmar que a banda realizou shows em todos os anos desde sua

É possível afirmar que a banda realizou turnês em todos os anos desde sua

Se chamarmos de A o conjunto dos anos de 1999 a 2008 e de B o conjunto

e associa a cada ano (em A)

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o número de shows realizados (em B) é uma função de A em B? Justifique

sua resposta.

Gráfico 3 - (Redes Sociais)redes sociais Facebook e Orkut (representados em milhões) em quantidade de meses desde o início de fundação do Facebook.

Em julho de 2011, Facebook ultrapassa o Orkut em relação ao número de

usuários:


a) Qual a quantidade de usuários do Facebook após 10 meses de sua

fundação?

b) No mês de sua fundação, quantos usuários o Facebook possuía? E o Orkut?

c) Em algum momento o Facebook para de crescer? E o Orkut? Justifique sua

resposta.


(Redes Sociais) Este gráfico representa a quantidade de usuários das redes sociais Facebook e Orkut (representados em milhões) em quantidade de meses desde o início de fundação do Facebook.



Qual a quantidade de usuários do Facebook após 10 meses de sua

No mês de sua fundação, quantos usuários o Facebook possuía? E o Orkut?

Em algum momento o Facebook para de crescer? E o Orkut? Justifique sua


Este gráfico representa a quantidade de usuários das redes sociais Facebook e Orkut (representados em milhões) em relação à


Qual a quantidade de usuários do Facebook após 10 meses de sua

No mês de sua fundação, quantos usuários o Facebook possuía? E o Orkut?

Em algum momento o Facebook para de crescer? E o Orkut? Justifique sua

d) É possível afirmar que o Facebook aumentou o número de usuários em

todos os meses desde sua fu

e) Pelo gráfico e pela informação acima é possível dizer em que mês e ano o

Facebook foi fundado? Se sim qual seria o mês e ano?

f) Qual a quantidade de usuários em Setembro de 2010 e em fevereiro de

2001 nas duas redes sociais?

g) Se chamarmos de A o conjunto formado pela quantidade de meses (de zero

até 25) e de B os números de naturais de zero a 30, é possível dizer que as

relações entre a quantidade de meses e o número de usuários do Facebook

e do Orkut são funções de A em B? Jus

Gráfico 4 - (Redes Sociais)

41 |

É possível afirmar que o Facebook aumentou o número de usuários em

todos os meses desde sua fundação? Justifique sua resposta.

Pelo gráfico e pela informação acima é possível dizer em que mês e ano o

Facebook foi fundado? Se sim qual seria o mês e ano?

Qual a quantidade de usuários em Setembro de 2010 e em fevereiro de


Se chamarmos de A o conjunto formado pela quantidade de meses (de zero



e do Orkut são funções de A em B? Justifique sua resposta.

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É possível afirmar que o Facebook aumentou o número de usuários em

Pelo gráfico e pela informação acima é possível dizer em que mês e ano o


Se chamarmos de A o conjunto formado pela quantidade de meses (de zero



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em Matem



a) Quais são as duas grandezas relacionadas no gráfico?

b) O gráfico revela tendência de crescimento no número de visitantes únicos

do Facebook? E o Orkut?

c) Qual a difere

diferença cresce ou decresce? Justifique sua resposta.

d) Qual a quantidade de usuários em Setembro de 2010 e em fevereiro de


e) Qual foi o aumento percentual do número de usuár

2010 e Fevereiro de 2011no Facebook no Orkut?

f) Pelas informações do gráfico é possível prever em que mês e ano o

Facebook alcançará o Orkut? Justifique sua resposta.

g) Se considerarmos o conjunto A composto pelos meses do ano de setembro

de 2010 a fevereiro de 2011 e o conjunto B dos números de 10 a 35

(expressos em milhões), as relações que associam os meses do ano ao

número de visitantes do Facebook e do Orkut podem ser consideradas

funções de A em B? Justifique sua resposta.


Quais são as duas grandezas relacionadas no gráfico?

O gráfico revela tendência de crescimento no número de visitantes únicos

do Facebook? E o Orkut?

Qual a diferença entre o número de usuários únicos em cada mês? Esta

diferença cresce ou decresce? Justifique sua resposta.



Qual foi o aumento percentual do número de usuários entre Setembro de

2010 e Fevereiro de 2011no Facebook no Orkut?

Pelas informações do gráfico é possível prever em que mês e ano o

Facebook alcançará o Orkut? Justifique sua resposta.

Se considerarmos o conjunto A composto pelos meses do ano de setembro




funções de A em B? Justifique sua resposta.

O gráfico revela tendência de crescimento no número de visitantes únicos

nça entre o número de usuários únicos em cada mês? Esta


ios entre Setembro de

Pelas informações do gráfico é possível prever em que mês e ano o

Se considerarmos o conjunto A composto pelos meses do ano de setembro




Gráfico 5 - (Redes Sociais) Este gráfico representa o crescimento do número de membros do Orkut no período de 19/2/2004 a 13/04/2004 em seis países.

Fonte: Hempell, 2004.


a) Qual país teve maior crescimento? Qual teve menor

b) Em que dia e mês o Brasil e Alemanha se igualaram em número de

membros?

c) No Brasil em algum período o número de membros decresce? Qual o

período de maior crescimento? Justifique sua resposta.

d) É possível afirmar que o Brasil irá superar o Japão

Quando isso ocorrerá?

43 |

Este gráfico representa o crescimento do número de membros do Orkut no período de 19/2/2004 a 13/04/2004 em seis países.


Qual país teve maior crescimento? Qual teve menor crescimento?

Em que dia e mês o Brasil e Alemanha se igualaram em número de

No Brasil em algum período o número de membros decresce? Qual o

período de maior crescimento? Justifique sua resposta.

É possível afirmar que o Brasil irá superar o Japão em número de membros?

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Este gráfico representa o crescimento do número de membros do Orkut no período de 19/2/2004 a 13/04/2004 em seis países.

Em que dia e mês o Brasil e Alemanha se igualaram em número de

No Brasil em algum período o número de membros decresce? Qual o

em número de membros?

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Gráfico 6 - (Segunda Guerra) produzidos pelos principais fabricantes no período da segunda guerra mundial.


a) Qual a quantidade de

b) Quais fabricantes produziram mais de 20.000 aviões?

c) Se considerarmos o conjunto A formado pelos nomes das empresas

fabricantes de aviões e o conjunto B formado pelos números naturais, a

relação que associa a cada

em B pode ser considerada uma função de A em B? Justifique sua resposta.

(Segunda Guerra) Este gráfico mostra a quantidade de aviões produzidos pelos principais fabricantes no período da segunda guerra mundial.


Qual a quantidade de aviões produzidos pelo fabricante Boeing?

Quais fabricantes produziram mais de 20.000 aviões?

Se considerarmos o conjunto A formado pelos nomes das empresas


relação que associa a cada fabricante em A o número de aviões produzidos


Este gráfico mostra a quantidade de aviões produzidos pelos principais fabricantes no período da segunda guerra mundial.

aviões produzidos pelo fabricante Boeing?

Se considerarmos o conjunto A formado pelos nomes das empresas


fabricante em A o número de aviões produzidos


Gráfico 7 - (Música) Observe o gráfico


a) Que elementos estão relacionados neste gráfico?

b) Qual a porcentagem de álbuns vendidos de música Latina? E de Rock?

c) Quais os álbuns que tiveram 1% de participação no total de vendidos?

d) Se formarmos um conjunto A com os estilos de música e um conjunto B

com os números reais, a relação que associa a cada estilo de

porcentagem de álbuns vendidos (em B) pode ser considerada uma função

de A em B? Justifique sua resposta.

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Observe o gráfico


Que elementos estão relacionados neste gráfico?

orcentagem de álbuns vendidos de música Latina? E de Rock?

tiveram 1% de participação no total de vendidos?

Se formarmos um conjunto A com os estilos de música e um conjunto B

com os números reais, a relação que associa a cada estilo de música (em A) a


de A em B? Justifique sua resposta.

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áticas

orcentagem de álbuns vendidos de música Latina? E de Rock?

tiveram 1% de participação no total de vendidos?

Se formarmos um conjunto A com os estilos de música e um conjunto B

música (em A) a


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Gráfico 8 - (Casa dos contos)

Índices da inflação (

Gráfico: inflação no Brasil entre

� Década de 1930 = média anual de 6%;� Década de 1940 = média anual de 12%;� Década de 1950 = 19%� Décadas de 1960 e 1970 = 40%� Década de 1980 = 330%

Nota = Entre 1985 e 199

� Entre 1990 a 1994 =média anual de 764%� Entre 1995 a 2000 = média anual de 8,6%� Ano de 2004 = 7,60%� Ano de 2005 = 5,69% (IPCA): limite máximo na meta oficial = 7%; objetivo do

governo = 5,1%;


a) Qual o período de maior crescimento da inflação?

(Casa dos contos) Observe o gráfico

Índices da inflação (IBGE)

o: inflação no Brasil entre 1930 e 2005

Década de 1930 = média anual de 6%; Década de 1940 = média anual de 12%; Década de 1950 = 19% Décadas de 1960 e 1970 = 40% Década de 1980 = 330% Nota = Entre 1985 e 1994 as taxas da inflação no Brasil foram altas.

Entre 1990 a 1994 =média anual de 764% Entre 1995 a 2000 = média anual de 8,6% Ano de 2004 = 7,60% Ano de 2005 = 5,69% (IPCA): limite máximo na meta oficial = 7%; objetivo do governo = 5,1%;

tendimento responda:

Qual o período de maior crescimento da inflação?

4 as taxas da inflação no Brasil foram altas.

Ano de 2005 = 5,69% (IPCA): limite máximo na meta oficial = 7%; objetivo do

b) Em algum período a inflação decresce? Justifique sua resposta.

c) Em que período a inflação no Brasil atingiu seu valor máximo?

d) Se um trabalhador não teve seu salário reajustado nos anos d

então ele perdeu seu poder de compra? Se sim qual o percentual?

Gráfico 9 – Observe o gráfico de crescimento infantil/adolescência utilizado pela pastoral da criança, pais e pediatras. Os valores que devemos tomar como referência são os da linha verde do gráfico, ou seja, o crescimento que está na média.

• Percentil 3 - seu filho está entre os 3% mais baixos• Percentil 15 - seu filho está entre os 15% mais baixos• Percentil 50 - seu filho está na média• Percentil 85 - seu filho está entre os 1• Percentil 97 - seu filho está entre os 3% mais altos

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Em algum período a inflação decresce? Justifique sua resposta.

Em que período a inflação no Brasil atingiu seu valor máximo?

Se um trabalhador não teve seu salário reajustado nos anos de 2004 e 2005,

então ele perdeu seu poder de compra? Se sim qual o percentual?

Observe o gráfico de crescimento infantil/adolescência utilizado pela pastoral da criança, pais e pediatras. Os valores que devemos tomar como

linha verde do gráfico, ou seja, o crescimento que está na

seu filho está entre os 3% mais baixos seu filho está entre os 15% mais baixos seu filho está na média seu filho está entre os 15% mais altos seu filho está entre os 3% mais altos

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e 2004 e 2005,

Observe o gráfico de crescimento infantil/adolescência utilizado pela pastoral da criança, pais e pediatras. Os valores que devemos tomar como

linha verde do gráfico, ou seja, o crescimento que está na

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De acordo com a linha verde do gráfico e a partir de seu entendimento responda:

a) Qual a altura média de uma criança com 15 anos de vida?

b) Uma criança com um 1,55 m de comprimento terá, de aco

quantos anos de vida?

c) Em algum período as crianças crescem mais rapidamente? Justifique sua

resposta.

d) De acordo com o gráfico, com qual idade basicamente uma criança para de

crescer?

e) Que número real pode representar a idade de uma crian

meses? E a idade de uma criança de 5 anos e 3 meses?

f) Se considerarmos o conjunto dos números reais R, podemos dizer que a

relação que associa a cada idade a altura correspondente é uma função de R

em R?

g) No caso de ser função qual é o Domí

imagem deste gráfico?

Gráfico 10 – O gráfico abaixo representa uma função de valores reais que relaciona as variáveis x do domínio com as variáveis y do contradomínio. De acordo com o gráfico responda.


Qual a altura média de uma criança com 15 anos de vida?

Uma criança com um 1,55 m de comprimento terá, de aco

quantos anos de vida?

Em algum período as crianças crescem mais rapidamente? Justifique sua

De acordo com o gráfico, com qual idade basicamente uma criança para de

Que número real pode representar a idade de uma crian

meses? E a idade de uma criança de 5 anos e 3 meses?

Se considerarmos o conjunto dos números reais R, podemos dizer que a


No caso de ser função qual é o Domínio, o contradomínio e o conjunto

imagem deste gráfico?

O gráfico abaixo representa uma função de valores reais que relaciona as variáveis x do domínio com as variáveis y do contradomínio. De acordo com o gráfico responda.


Qual a altura média de uma criança com 15 anos de vida?

Uma criança com um 1,55 m de comprimento terá, de acordo com o gráfico,

Em algum período as crianças crescem mais rapidamente? Justifique sua

De acordo com o gráfico, com qual idade basicamente uma criança para de

Que número real pode representar a idade de uma criança com 9 anos e 6

Se considerarmos o conjunto dos números reais R, podemos dizer que a


nio, o contradomínio e o conjunto

a) Qual a imagem de x = -1?

b) Para quais valores de x a função cresce? E para quais decresce?

c) Esta função possui valor máximo, e valor mínimo?

d) Considerando apenas o intervalo do domínio [

máximo e valor mínimo?

Gráfico 11 – Observe o gráfico da função e responda considerando apenas os valores visualizados:

a) Qual é o domínio da função?

b) Qual o conjunto imagem?

c) Esta função cresce ou decresce? Justifique sua resposta.

d) Qual é a imagem de x = 2,5 pela função?

49 |

1? E de x = 2?

Para quais valores de x a função cresce? E para quais decresce?

Esta função possui valor máximo, e valor mínimo?

Considerando apenas o intervalo do domínio [-3, 6] esta função possui valor

máximo e valor mínimo?

e o gráfico da função e responda considerando apenas os

a) Qual é o domínio da função?

b) Qual o conjunto imagem?

c) Esta função cresce ou decresce? Justifique sua resposta.

d) Qual é a imagem de x = 2,5 pela função?

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3, 6] esta função possui valor

e o gráfico da função e responda considerando apenas os

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em Matem


Comentários:

Observe que um dosgrandezas em um sistema de coordenadas cartesianasque antes das atividades, o professor faça uma revisão sobre plano cartesiano, localização de pontos, nomenclaturas.

6ª Etapa: Estudando e/ou construindo modelos

matemáticos.

Na sexta e última etapa apresentamos as matematizações ou modelos matemáticos que trabalhamosgrupos em seus trabalhos

Depois das etapas descritas anteriormente, onde foram utilizados os trabalhos de Modelagem para abordar conceitos matemáticos e discutir questões relacionadas à Educação Matemática Críticatrabalhar algumas matematizações possíveisde modelos matemáticos.matemático como qualquer representação matemática dos fenômenos estudados (BARBOSA E SANTOS, 2007).

Após analisarmos os dez trabalhos dos grupos,todos eles, a partir das quais poderiam ser desenvolvidos modelos matemáticos. Com base nos dados obtidos e compartilhados pelos grelaboramos, para cada um deles, algumas questões caminhos para obtenção das representações matemáticas. por deixar os alunos trabalharem de forma mais livre, construindo seus próprios caminhos. No entanto não dispúnhamos de muito tempo no cronograma das atividades da disciplina (em nossa percepção era de que ademandaria um tempo maior do que aquele que julgamos ser importante para o fechamento do projeto de modelfizessem essa etapa de estudo ou construção de modelos. O que fizemos foi o que vislumbramos como possível no contexto em questão.

que um dos objetivos das atividades de gráficos é representar duas grandezas em um sistema de coordenadas cartesianas. Por este motivo sugerimos que antes das atividades, o professor faça uma revisão sobre plano cartesiano,

tos, nomenclaturas.

Estudando e/ou construindo modelos

Na sexta e última etapa apresentamos as matematizações ou modelos matemáticos que trabalhamos tendo como dados os apresentados pelos diferentes

em seus trabalhos.

das etapas descritas anteriormente, onde foram utilizados os trabalhos de Modelagem para abordar conceitos matemáticos e discutir questões

adas à Educação Matemática Crítica, entendemos que algumas matematizações possíveis e também o estudo e/ou a construção

de modelos matemáticos. Para tanto nos apropriamos da concepção de matemático como qualquer representação matemática dos fenômenos estudados (BARBOSA E SANTOS, 2007).

Após analisarmos os dez trabalhos dos grupos, identificamos situações em todos eles, a partir das quais poderiam ser desenvolvidos modelos matemáticos. Com base nos dados obtidos e compartilhados pelos grupos no Google Docs. laboramos, para cada um deles, algumas questões que pudesse

para obtenção das representações matemáticas. Poderíamos ter optado os alunos trabalharem de forma mais livre, construindo seus próprios

caminhos. No entanto não dispúnhamos de muito tempo no cronograma das atividades da disciplina (em consonância com as demais classes do mesmo ano), nossa percepção era de que a atividade desenvolvida de forma mais livre

um tempo maior do que aquele que dispúnhamosimportante para o fechamento do projeto de model

fizessem essa etapa de estudo ou construção de modelos. O que fizemos foi o que vislumbramos como possível no contexto em questão.

das atividades de gráficos é representar duas or este motivo sugerimos

que antes das atividades, o professor faça uma revisão sobre plano cartesiano,

Estudando e/ou construindo modelos

Na sexta e última etapa apresentamos as matematizações ou modelos os apresentados pelos diferentes

das etapas descritas anteriormente, onde foram utilizados os trabalhos de Modelagem para abordar conceitos matemáticos e discutir questões

era o momento de o estudo e/ou a construção

nos apropriamos da concepção de modelo matemático como qualquer representação matemática dos fenômenos estudados

identificamos situações em todos eles, a partir das quais poderiam ser desenvolvidos modelos matemáticos.

upos no Google Docs. que pudessem se constituir

Poderíamos ter optado os alunos trabalharem de forma mais livre, construindo seus próprios

caminhos. No entanto não dispúnhamos de muito tempo no cronograma das consonância com as demais classes do mesmo ano), e

atividade desenvolvida de forma mais livre dispúnhamos. Por outro lado

importante para o fechamento do projeto de modelagem que eles fizessem essa etapa de estudo ou construção de modelos. O que fizemos foi o que

Escolhemos descrever, comentar e posteriormente analisar o desenvolvimento de quatro dos trabalhos realizados, turmas.

Para a turma de Mineração descreveremos e comentaremos o trabalho do grupo Copa do Mundo, que tentou construir um modelo que permitisse prever o número de passageiros e de Copa em 2014, que é um modelo que pode ser representado por uma função polinomial de 1º grau. O outro trabalho foi apresentado pelo estudou um modelo utilizado personagem de mangá. Esse tipoconceitos geométricos.

Na turma de Automação descreveremos o trabalho do grupo Casa dos Contos, que buscou construir um modelo para previsão de troca de moeda no Brasil, considerando dados da inflação pode ser relacionada com a função pelo grupo Drogas legalizadasda internet um modelo de absorção de álcool no sangueà função polinomial de 1ª grau

É importante observar que os conteúdos matemáticos relativos às funções polinomiais de 1ª grau e função exponencial estavam previstos para serem desenvolvidos com aquelas turmas.

MATEMATIZAÇÃO DO TRABALHO DO GRUPO

A FIFA vai exigir ao menos 80 voos extras em cada cidadedias em que forem disputados os jogos do mundialcom base nos assentos de cada estádio. A entidade pede uma capacidade para deslocar 20% dos torcedores nas dez horas anteriores e posteriorestabela a seguir apresenta dados sobre aeroportos de Belo Horizonte.

Tabela sobre média de voos que Belo Horizonte.

51 |

Escolhemos descrever, comentar e posteriormente analisar o desenvolvimento de quatro dos trabalhos realizados, sendo dois de cada uma das

Para a turma de Mineração descreveremos e comentaremos o trabalho do que tentou construir um modelo que permitisse prever o

número de passageiros e de voos no aeroporto de Confins durante o evento d, que é um modelo que pode ser representado por uma função

. O outro trabalho foi apresentado pelo grupo Mangá, que utilizado por desenhistas para fazer o rosto de um Esse tipo de modelo gráfico possibilitou a abordagem de

Na turma de Automação descreveremos o trabalho do grupo Casa dos buscou construir um modelo para previsão de troca de moeda no

Brasil, considerando dados da inflação dos últimos dez anos. É uma situação com a função exponencial. O outro trabalho foi apresentado

Drogas legalizadas. Este grupo estudou e construiu com base em dados da internet um modelo de absorção de álcool no sangue, que pode ser rel

rau.

É importante observar que os conteúdos matemáticos relativos às funções polinomiais de 1ª grau e função exponencial estavam previstos para serem desenvolvidos com aquelas turmas.

MATEMATIZAÇÃO DO TRABALHO DO GRUPO COPA DO MUNDO 2014

A FIFA vai exigir ao menos 80 voos extras em cada cidade-sede da copa nos dias em que forem disputados os jogos do mundial, sendo esse número calculado com base nos assentos de cada estádio. A entidade pede uma capacidade para

20% dos torcedores nas dez horas anteriores e posteriores aos jogostabela a seguir apresenta dados sobre número de passageiros em

Tabela sobre média de voos que Belo Horizonte.

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em de Modelag

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ática com te

cnologias inform

áticas

Escolhemos descrever, comentar e posteriormente analisar o sendo dois de cada uma das

Para a turma de Mineração descreveremos e comentaremos o trabalho do que tentou construir um modelo que permitisse prever o

no aeroporto de Confins durante o evento da , que é um modelo que pode ser representado por uma função

grupo Mangá, que o rosto de um

possibilitou a abordagem de

Na turma de Automação descreveremos o trabalho do grupo Casa dos buscou construir um modelo para previsão de troca de moeda no

É uma situação que O outro trabalho foi apresentado

com base em dados ser relacionado

É importante observar que os conteúdos matemáticos relativos às funções polinomiais de 1ª grau e função exponencial estavam previstos para serem

COPA DO MUNDO 2014

sede da copa nos endo esse número calculado

com base nos assentos de cada estádio. A entidade pede uma capacidade para aos jogos. A

número de passageiros em voos nos

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Aeroporto/ano

Pampulha 2012

Pampulha 2014

Confins 2012

Confins 2014

A partir das informações e da tabela fornecida pelo grupo, r

1) As informações desta tabela estão corretas, ou seja, os números de passageiros por ano e os númaproximadamente

2) Considerando verdadeiras as informações sobre o número de passageiros por ano, qual é aeroportos de Confins e da Pampulha nos anos de 2012 e 2014?

3) Qual é o numero médio de passageiros que cada avião transporta nestes respectivos anos nos aeroportos acima citados?

4) Considerando as médias caFIFA, sendo 50 no aeroporto de Confins e 30 no aeroporto da Pampulha, quantos passageiros seriam transportados?

5) Considerando que o Mineirão terá uma capacidade de 80.000 torcedores e que 20% dos torcedores deveseriam necessários para transportá

6) Seria possível obter uma expressão matemática que represente o numero de passageiros transportados (P) em função do número de voos (v)? Qual seria esta expressão?

7) É possível atender às exigências da FIFA sem aumentar o número de voos?

8) Quais seriam as alternativas que você apontaria para que as exigências da FIFA fossem realizadas?

Números de voos diários

No de passageiros por ano

90 2.000.000

120 5.000.000

160 5.000.000

210 7.000.000

A partir das informações e da tabela fornecida pelo grupo, responda:

As informações desta tabela estão corretas, ou seja, os números de passageiros por ano e os números de passageiros por aproximadamente proporcionais?

Considerando verdadeiras as informações sobre o número de passageiros por ano, qual é a o número de passageiros transportados por dia nos aeroportos de Confins e da Pampulha nos anos de 2012 e 2014?

Qual é o numero médio de passageiros que cada avião transporta nestes respectivos anos nos aeroportos acima citados?

Considerando as médias calculadas e aumentando os 80 voos pedidos pela FIFA, sendo 50 no aeroporto de Confins e 30 no aeroporto da Pampulha, quantos passageiros seriam transportados?

Considerando que o Mineirão terá uma capacidade de 80.000 torcedores e que 20% dos torcedores deverão deslocar pelos aeroportos, quantos aviões seriam necessários para transportá-los em 2014?

Seria possível obter uma expressão matemática que represente o numero de passageiros transportados (P) em função do número de voos (v)? Qual seria esta expressão?

É possível atender às exigências da FIFA sem aumentar o número de voos?

Quais seriam as alternativas que você apontaria para que as exigências da FIFA fossem realizadas?

No de passageiro por semana.

3.830

9.580

9.580

13.450

esponda:

As informações desta tabela estão corretas, ou seja, os números de eros de passageiros por semana são

Considerando verdadeiras as informações sobre o número de passageiros a o número de passageiros transportados por dia nos

aeroportos de Confins e da Pampulha nos anos de 2012 e 2014?

Qual é o numero médio de passageiros que cada avião transporta nestes

do os 80 voos pedidos pela FIFA, sendo 50 no aeroporto de Confins e 30 no aeroporto da Pampulha,

Considerando que o Mineirão terá uma capacidade de 80.000 torcedores e rão deslocar pelos aeroportos, quantos aviões

Seria possível obter uma expressão matemática que represente o numero de passageiros transportados (P) em função do número de voos (v)? Qual

É possível atender às exigências da FIFA sem aumentar o número de voos?

Quais seriam as alternativas que você apontaria para que as exigências da

Comentários:

Situações que trazem proporcialunos em seus trabalhos e o professor pode orientar seus alunos a investigar estas situações e buscar matematizámodelo matemático.

MATEMATIZAÇÃO DO TRABALHO DO GRUPO MANGÁ

Segundo informações matemática no MANGÁ. Para fazer um desenho tem que usar geometria e até fazer contas. É possível relacionar a técnica utilizada dos desenhos de Mangás com a Modelagem Matemática Gráfica, que na reprodução e/ou na descrição de um conjunto de dados, de imagem ou de um ente físico. (BRITES, 2012, p.28)

Atividades:

1 – Observe a sequência que rosto de seus desenhos.

53 |

Situações que trazem proporcionalidade geralmente são apresentadas peloalunos em seus trabalhos e o professor pode orientar seus alunos a investigar estas

matematizá-las escrevendo assim a sua “lei de formação” ou

MATEMATIZAÇÃO DO TRABALHO DO GRUPO MANGÁ

apresentadas no trabalho desse grupo, tem muita matemática no MANGÁ. Para fazer um desenho tem que usar geometria e até fazer contas. É possível relacionar a técnica utilizada dos desenhos de Mangás com a Modelagem Matemática Gráfica, que constitui o processo envolvido na expressão, na reprodução e/ou na descrição de um conjunto de dados, de imagem ou de um ente físico. (BRITES, 2012, p.28)

o desenhista de Mangá segue para a confecção

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geralmente são apresentadas pelos alunos em seus trabalhos e o professor pode orientar seus alunos a investigar estas

assim a sua “lei de formação” ou

grupo, tem muita matemática no MANGÁ. Para fazer um desenho tem que usar geometria e até fazer contas. É possível relacionar a técnica utilizada dos desenhos de Mangás com a

do na expressão, na reprodução e/ou na descrição de um conjunto de dados, de imagem ou de um

confecção do

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a) Utilizando régua, compasso ou outro instrumento faça as medições e faça um desenho similar, ou seja, reproduza o desenho apresentado. (Observação: Todas as medidas devem ser indicadas

b) Explique com suas palavras, de forma bem detalhada, todo o processo de construção do rosto do mangá que você acabou de reproduzir, explicando qual instrumento de medida utilizou (régua, compasso, esquadro, etc.).

c) Qual ou quais relações ou conceitos matemáticos você utilizou para construir e para explicar o processo de reprodução do

d) Nos últimos desenhos aparece um número fracionário, faça as medições que forem necessárias e explique o que representa esta fração

2 – Agora siga os passos indicadoproposto no trabalho de (Brites, 2012)

Guia didático: Etapas da produção do modelo de mangá apresentado aos estudantes.

1) Faça uma circunferência de centro o centro O do circulo.

2) Horizontalmente, trace o diâmetro e B.

3) Faça a mediatriz r

4) Com o compasso trace um arco de raio igual ao diâmetro até interceptar a parte inferior da mediatriz

5) Com o compasso trace outro arco de raio igual ao diâmetro B até interceptar a parte inferior da mediatriz

6) Na intersecção dos dois arcos marque o ponto você desenhar o queixo do rosto de seu mangá. Na intersecção da mediatriz com a parte superior do circulo marque o ponto

7) Trace a mediatriz representa a linha dos olhos. Mar

CQ com o ponto

ndo régua, compasso ou outro instrumento faça as medições e faça um desenho similar, ou seja, reproduza o desenho apresentado. Observação: Todas as medidas devem ser indicadas).

Explique com suas palavras, de forma bem detalhada, todo o processo de ução do rosto do mangá que você acabou de reproduzir, explicando

qual instrumento de medida utilizou (régua, compasso, esquadro, etc.).

Qual ou quais relações ou conceitos matemáticos você utilizou para construir e para explicar o processo de reprodução do Mangá?

Nos últimos desenhos aparece um número fracionário, faça as medições que forem necessárias e explique o que representa esta fração

Agora siga os passos indicados para a construção do rosto de um mangá proposto no trabalho de (Brites, 2012) e adaptado para essa atividade.

Guia didático: Etapas da produção do modelo de mangá apresentado aos

Faça uma circunferência de centro O e de raio 9 cm. Não se esqueça de marcar do circulo.

Horizontalmente, trace o diâmetro AB da circunferência e marque os pontos

r do diâmetro AB da circunferência. (reta pontilhada)

Com o compasso trace um arco de raio igual ao diâmetro AB

a parte inferior da mediatriz r.

Com o compasso trace outro arco de raio igual ao diâmetro até interceptar a parte inferior da mediatriz r.

Na intersecção dos dois arcos marque o ponto Q. Este ponto é a referência parvocê desenhar o queixo do rosto de seu mangá. Na intersecção da mediatriz com a parte superior do circulo marque o ponto C.

Trace a mediatriz s do seguimento de reta CQ (reta pontilhada). Esta reta representa a linha dos olhos. Marque na intersecção da s

com o ponto M.

ndo régua, compasso ou outro instrumento faça as medições e faça um desenho similar, ou seja, reproduza o desenho apresentado.

Explique com suas palavras, de forma bem detalhada, todo o processo de ução do rosto do mangá que você acabou de reproduzir, explicando

qual instrumento de medida utilizou (régua, compasso, esquadro, etc.).

Qual ou quais relações ou conceitos matemáticos você utilizou para Mangá?

Nos últimos desenhos aparece um número fracionário, faça as medições que forem necessárias e explique o que representa esta fração.

para a construção do rosto de um mangá adaptado para essa atividade.

Guia didático: Etapas da produção do modelo de mangá apresentado aos

. Não se esqueça de marcar

da circunferência e marque os pontos A

da circunferência. (reta pontilhada)

AB com centro em A

Com o compasso trace outro arco de raio igual ao diâmetro AB com centro em

. Este ponto é a referência para você desenhar o queixo do rosto de seu mangá. Na intersecção da mediatriz r

(reta pontilhada). Esta reta s com o seguimento

8) Trace a mediatriz t do seguimento de reta

representa a linha do nariz. Marque na intersecção da com o ponto N.

9) Trace a mediatriz u do seguimento de reta

representa a linha da boca. Marque na intersecção da com o ponto C.

10) Divida o seguimento que cada parte é o tamanho de um olho, a parte que sobra dois terços deve ser a distância entre os dois olhos do mangá. Marque a posição dos olhos do mangá.

11) As orelhas do mangá deverão serdo nariz.

12) Desenhe os olhos, o nariz, a boca e ponha cabelo em seu desenho, não apague as linhas que fora feitas. (caso seja necessário faça as linhas à tinta)

13) Refaça todos os passos na folha em branco (em anexo) no tamanho que e use toda sua criatividade no desenho.

Comentários:

Pode acontecer de algum grupo investigar situações que não podecontextualizadas dentro do conteúdono nosso caso funções. No entanto, poderá seconceitos. O professor não deve abandonar ou deixar de utilizar estes trabalhos, pois é importante para os alunos, porque seu trabalho é interessante

MATEMATIZAÇÃO DO TRABALHO

Segundo o grupo Casa dos Contos, o Brasil em toda a sua história passou por várias trocas de moedas, veja o nome das moedas ao longo dos tempos.

Moedas brasileiras

55 |

seguimento de reta MQ (reta pontilhada). Esta reta

a linha do nariz. Marque na intersecção da t com o seguimento

do seguimento de reta NQ (reta pontilhada). Esta reta

representa a linha da boca. Marque na intersecção da u com o seguimento

representa a linha dos olhos em três partes iguais, cada parte é o tamanho de um olho, a parte que sobra dois terços deve ser a distância entre os dois olhos do mangá. Marque a posição dos olhos do mangá.

As orelhas do mangá deverão ser desenhadas, entre a linha dos olhos e a linha

Desenhe os olhos, o nariz, a boca e ponha cabelo em seu desenho, não apague as linhas que fora feitas. (caso seja necessário faça as linhas à tinta).

Refaça todos os passos na folha em branco (em anexo) no tamanho que e use toda sua criatividade no desenho.

Pode acontecer de algum grupo investigar situações que não podedentro do conteúdo ou tópico, que o professor deseja trabalhar,

no nosso caso funções. No entanto, poderá ser utilizado para abordar outros conceitos. O professor não deve abandonar ou deixar de utilizar estes trabalhos,

para os alunos, porque se sentem valorizados ao perceberemé interessante e útil.

MATEMATIZAÇÃO DO TRABALHO DO GRUPO CASA DOS CONTOS


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(reta pontilhada). Esta reta t

o seguimento MQ

(reta pontilhada). Esta reta u

com o seguimento NQ

representa a linha dos olhos em três partes iguais, cada parte é o tamanho de um olho, a parte que sobra dois terços deve ser a distância entre os dois olhos do mangá. Marque a posição dos olhos do mangá.

a linha dos olhos e a linha

Desenhe os olhos, o nariz, a boca e ponha cabelo em seu desenho, não apague

Refaça todos os passos na folha em branco (em anexo) no tamanho que desejar

Pode acontecer de algum grupo investigar situações que não podem ser que o professor deseja trabalhar, r utilizado para abordar outros

conceitos. O professor não deve abandonar ou deixar de utilizar estes trabalhos, ao perceberem


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- REAL: nome da moeda que vigorou no Brasil desde o início da col(1500) até 1942.

- CRUZEIRO: criado no governo do presidente Getúlio Vargas, em 5 de outubro de 1942. Ao criar o Cruzeiro, o governo realizou o corte de zeros e estabeleceu que cada Cruzeiro

- CRUZEIRO NOVO:durante o regime militar. Circulou até 14 de maio de 1970. Durante sua implantação, o Cruzeiro perdeu três zeros.

- CRUZEIRO: voltou em 15 de maio de 1970, sem corte de zeros.

- CRUZADO: entrou em circulação em 28 de feverPlano Cruzado no governo de José Sarney. Houve o corte de três zeros em relação ao Cruzeiro.

- CRUZADO NOVO:criação de uma nova moeda e o corte de três zeros em relação à moeda anterior. Entrou em circulação em 16 de janeiro de 1989.

- CRUZEIRO: em 16 de março de 1990, durante o primeiro ano do Governo de Fernando Collor, a moeda retomou o nome de Cruzeiro. Nesta mudança não ocorreu corte de zeros.

- CRUZEIRO REAL: já em preparação pFranco criou o Cruzeiro Real que entrou em circulação em 1 de agosto de 1993. Houve o corte de três zeros.

- REAL: moeda que entrou em circulação em 1 de julho de 1994, durante o Plano Real, implementado no governo de tiveram que trocar a moeda antiga pela nova (2.750 Cruzeiros Reais por 1 Real). O Real (R$) é a moeda em circulação até os dias de hoje.

Observe que em muitas dessas trocas de moedas houve o corte de três zeros. Vimos pela apresteja relacionado à inflação do

nome da moeda que vigorou no Brasil desde o início da col

criado no governo do presidente Getúlio Vargas, em 5 de Ao criar o Cruzeiro, o governo realizou o corte de zeros e

estabeleceu que cada Cruzeiro equivaleria a mil réis.

CRUZEIRO NOVO: entrou em circulação em 13 de fevereiro de 1967, durante o regime militar. Circulou até 14 de maio de 1970. Durante sua implantação, o Cruzeiro perdeu três zeros.

voltou em 15 de maio de 1970, sem corte de zeros.

entrou em circulação em 28 de fevereiro de 1986, durante o Plano Cruzado no governo de José Sarney. Houve o corte de três zeros em

CRUZADO NOVO: novamente, em função da inflação elevada, houve a criação de uma nova moeda e o corte de três zeros em relação à moeda

rior. Entrou em circulação em 16 de janeiro de 1989.

em 16 de março de 1990, durante o primeiro ano do Governo de Fernando Collor, a moeda retomou o nome de Cruzeiro. Nesta mudança não ocorreu corte de zeros.

já em preparação para o Plano Real, o governo de Itamar Franco criou o Cruzeiro Real que entrou em circulação em 1 de agosto de 1993. Houve o corte de três zeros.

moeda que entrou em circulação em 1 de julho de 1994, durante o Plano Real, implementado no governo de Itamar Franco. Os brasileiros tiveram que trocar a moeda antiga pela nova (2.750 Cruzeiros Reais por 1 Real). O Real (R$) é a moeda em circulação até os dias de hoje.

Observe que em muitas dessas trocas de moedas houve o corte de três zeros. Vimos pela apresentação do grupo que é possível que esse corte de zeros esteja relacionado à inflação do período.

nome da moeda que vigorou no Brasil desde o início da colonização

criado no governo do presidente Getúlio Vargas, em 5 de Ao criar o Cruzeiro, o governo realizou o corte de zeros e

lação em 13 de fevereiro de 1967, durante o regime militar. Circulou até 14 de maio de 1970. Durante sua

voltou em 15 de maio de 1970, sem corte de zeros.

eiro de 1986, durante o Plano Cruzado no governo de José Sarney. Houve o corte de três zeros em

novamente, em função da inflação elevada, houve a criação de uma nova moeda e o corte de três zeros em relação à moeda

em 16 de março de 1990, durante o primeiro ano do Governo de Fernando Collor, a moeda retomou o nome de Cruzeiro. Nesta mudança

ara o Plano Real, o governo de Itamar Franco criou o Cruzeiro Real que entrou em circulação em 1 de agosto de

moeda que entrou em circulação em 1 de julho de 1994, durante o Itamar Franco. Os brasileiros

tiveram que trocar a moeda antiga pela nova (2.750 Cruzeiros Reais por 1

Observe que em muitas dessas trocas de moedas houve o corte de três esentação do grupo que é possível que esse corte de zeros

Vamos construir um modelo para trocas de moedas, relacionando com o corte de zeros.

A partir das informações dadas pelo grupo casa d

1) Qual era o valor da maior cédula em cada mudança de moeda ocorrida no Brasil?

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Vamos construir um modelo para trocas de moedas, relacionando com o corte de

A partir das informações dadas pelo grupo casa dos contos, responda:

Qual era o valor da maior cédula em cada mudança de moeda ocorrida no Brasil?

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em de Modelag

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Vamos construir um modelo para trocas de moedas, relacionando com o corte de

Qual era o valor da maior cédula em cada mudança de moeda ocorrida no Brasil?

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2) Qual era o valor que esta cédula passou a assumir após mudança?

3) Porque em 1994 a mudança não obedeceu ao padrão de cortar 3 zeros?

4) Qual é a inflação média dos últimos 10 anos no Brasil?

5) Temos hoje uma moeda estável (comparando com os outros tempos)? Então é possível fazer previsões?

6) Admitindo que a inflação anual calculada por vocês, responda: Quando a partir do ano de 2001 o Brasil precisará

7) Qual seria um modelo matemático que possibilitaria obtermos o valor da moeda em função do tempo passado considerando uma inflação média?

Comentários:

Nesse processo de matematização levamos os alunos a perceberem que para fazer certa previsão em Modelagem Matemática, caso foi conseguida pela manutenção da inflação em percentuais muito próximos.

MATEMATIZAÇÃO DO TRABALHO DO GRUPO ALCOOLISMO

Introdução

O consumo do álcool no nosso país é algo muito cultura e meio social. Afinal de contas, essa é uma droga legalizada e que tem a permissão para ser propagada livremente nos meios de comunicação social. Além disso, o seu consumo normalmente está relacionado ao prazer.

O alcoolismo é geralmente definido como o consumo consistente e excessivo de álcool ao ponto que este comportamento interfira familiar, social ou profissional da pessoa. Pode potencialmente resultar em condições (doenças) psicológicas e fisiológicasponto.

Qual era o valor que esta cédula passou a assumir após mudança?

Porque em 1994 a mudança não obedeceu ao padrão de cortar 3 zeros?

ção média dos últimos 10 anos no Brasil?

Temos hoje uma moeda estável (comparando com os outros tempos)? Então é possível fazer previsões?

Admitindo que a inflação anual calculada por vocês, responda: Quando a partir do ano de 2001 o Brasil precisará mudar de moeda?

Qual seria um modelo matemático que possibilitaria obtermos o valor da moeda em função do tempo passado considerando uma inflação média?

e processo de matematização levamos os alunos a perceberem que para fazer em Modelagem Matemática, é importante regularidade, que neste

caso foi conseguida pela manutenção da inflação em percentuais muito próximos.


O consumo do álcool no nosso país é algo muito difundido em nossa mídia, cultura e meio social. Afinal de contas, essa é uma droga legalizada e que tem a permissão para ser propagada livremente nos meios de comunicação social. Além disso, o seu consumo normalmente está relacionado ao prazer.

mo é geralmente definido como o consumo consistente e excessivo de álcool ao ponto que este comportamento interfira familiar, social ou profissional da pessoa. Pode potencialmente resultar em condições (doenças) psicológicas e fisiológicas. O grupo também teve foco nesse

Qual era o valor que esta cédula passou a assumir após mudança?

Porque em 1994 a mudança não obedeceu ao padrão de cortar 3 zeros?

Temos hoje uma moeda estável (comparando com os outros tempos)? Então é

Admitindo que a inflação anual calculada por vocês, responda: Quando a partir

Qual seria um modelo matemático que possibilitaria obtermos o valor da moeda em função do tempo passado considerando uma inflação média?

e processo de matematização levamos os alunos a perceberem que para fazer é importante regularidade, que neste

caso foi conseguida pela manutenção da inflação em percentuais muito próximos.


difundido em nossa mídia, cultura e meio social. Afinal de contas, essa é uma droga legalizada e que tem a permissão para ser propagada livremente nos meios de comunicação social. Além

mo é geralmente definido como o consumo consistente e excessivo de álcool ao ponto que este comportamento interfira na vida pessoal, familiar, social ou profissional da pessoa. Pode potencialmente resultar em

grupo também teve foco nesse

Curiosidades

● Abaixo uma tabela, aceita pela comunidade médica, que indica o estado em que um ser humano fica, dependendo da quantidade de álcool presente no seu sangue

Álcool no sangue gramas/litro (g/l)

Estados Sin

0,1 a 0,3 Sobriedade Nenhuma influência aparente

0,3 a 0,9 Euforia Perda de eficiência, diminuição de atenção, julgamento e controle.

0,9 a 1,8 Excitação Instabilidade das emoções, descoordenação muscular. Menor inibição. Perda do julgamento crít

1,8 a 2,7 Confusão Vertigens, desequilíbrio, dificuldades na fala e distúrbios da sensação.

2,7 a 4,0 Estupor Apatia e inércia geral. Vômitos, incontinência urinária e fecal.

4,0 a 5,0 Coma Inconsciência, anestesia. Coma. Morte

Acima de 5,0 Morte Parada respiratória. Morte.

Atividades

1) De acordo com a legislação brasileira em vigor, uma pessoa está incapacitada para dirigir com segurança se tiver uma concentração de álcool no sangue superior a 0,64 que um homem de porte médio (75 kg) tem um volume sanguíneo de aproximadamente 5 litros, responda.

a) Quanto corresponde em mililitros esta concentração de álcool puro?

b) Qual o estado e os sintomas de uma pessoa que ingeriu esta quantidade de álcool?

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Abaixo uma tabela, aceita pela comunidade médica, que indica o estado em que um ser humano fica, dependendo da quantidade de álcool presente no

Sintomas

Nenhuma influência aparente

Perda de eficiência, diminuição de atenção, julgamento e controle.

Instabilidade das emoções, descoordenação muscular. Menor inibição. Perda do julgamento crítico.

Vertigens, desequilíbrio, dificuldades na fala e distúrbios da sensação.

Apatia e inércia geral. Vômitos, incontinência urinária e fecal.

Inconsciência, anestesia. Coma. Morte

Parada respiratória. Morte.

De acordo com a legislação brasileira em vigor, uma pessoa está incapacitada para dirigir com segurança se tiver uma concentração de álcool no sangue superior a 0,64 g/l ou um teor alcoólico de 0,08%. Sabendo

m homem de porte médio (75 kg) tem um volume sanguíneo de aproximadamente 5 litros, responda.

Quanto corresponde em mililitros esta concentração de álcool puro?

Qual o estado e os sintomas de uma pessoa que ingeriu esta quantidade de

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áticas

Abaixo uma tabela, aceita pela comunidade médica, que indica o estado em que um ser humano fica, dependendo da quantidade de álcool presente no

Perda de eficiência, diminuição de atenção, julgamento e

Instabilidade das emoções, descoordenação muscular. Menor

Vertigens, desequilíbrio, dificuldades na fala e distúrbios da

Apatia e inércia geral. Vômitos, incontinência urinária e fecal.

De acordo com a legislação brasileira em vigor, uma pessoa está incapacitada para dirigir com segurança se tiver uma concentração de

l ou um teor alcoólico de 0,08%. Sabendo m homem de porte médio (75 kg) tem um volume sanguíneo de

Quanto corresponde em mililitros esta concentração de álcool puro?

Qual o estado e os sintomas de uma pessoa que ingeriu esta quantidade de

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2) Observe a tabeprincipais bebidas.

Concentraçãomédia (

Cerveja Uísque Vinho

32 32088

a) Se uma pessoa que bebeu 5 copos de cerveja qual será o teor alcoólico no sangue depois de

b) A concentração média e o teor alcoólico da bebida são proporcionais?

c) Qual é a expressão matemática que representa esta prop

d) Esta expressão representa uma função?

e) A partir das informações dadas da tabela calcule a densidade do álcool.

f) Se um indivíduo ingere uma lata de cerveja a cada 10 minutos quanto tempo levará para está em estado de estupor? Vamos considerar que a quantidade de álcool eliminado neste intervalo de tempo seja desprezível.

3) Leia a reportagem a seguirfatal de consumo de álcool. Para responder as questões abaixo, suponha que o estudante tenha porte médio (75 kg)de aproximadamente 5 litros

a) Qual foi a concentração de álcool no sangue do estudante?

b) Considerando que o estudante bebeu apenas cerveja, qual o volume desta bebida seria preciso ingerir para obter esta concentração?

c) Agora considerando que o estudante tenha ingerido apenas uísque, qual o volume desta bebida seria preciso ingerir?

d) Se você precisasse alertar um estudante que irá participar de uma festa regada a bebida alcoólica sobre os riscos a sua saúde, que orientações você passaria a este estudante que poderia evitar que o mesmo viesse a beber em demasia?

Observe a tabela (Bassanezi, 2002) que fornece o teor alcoólico nas principais bebidas.

Concentração média (g/l)

Teor alcoólico (%) de bebida

Dosagem

320

4 40 11

1 copo = 250 ml 1 dose = 45 ml 1 cálice = 120 ml

Se uma pessoa que bebeu 5 copos de cerveja qual será o teor alcoólico no sangue depois de uma hora?

A concentração média e o teor alcoólico da bebida são proporcionais?

Qual é a expressão matemática que representa esta prop

Esta expressão representa uma função?

A partir das informações dadas da tabela calcule a densidade do álcool.

Se um indivíduo ingere uma lata de cerveja a cada 10 minutos quanto tempo levará para está em estado de estupor? Vamos considerar que a

ntidade de álcool eliminado neste intervalo de tempo seja desprezível.

Leia a reportagem a seguir retirada do site www.em.com.br, sobre um caso fatal de consumo de álcool. Para responder as questões abaixo, suponha que o estudante tenha porte médio (75 kg) e tenha um volume sanguíneo de aproximadamente 5 litros.

Qual foi a concentração de álcool no sangue do estudante?

Considerando que o estudante bebeu apenas cerveja, qual o volume desta bebida seria preciso ingerir para obter esta concentração?

iderando que o estudante tenha ingerido apenas uísque, qual o volume desta bebida seria preciso ingerir?

Se você precisasse alertar um estudante que irá participar de uma festa regada a bebida alcoólica sobre os riscos a sua saúde, que orientações você

saria a este estudante que poderia evitar que o mesmo viesse a beber

la (Bassanezi, 2002) que fornece o teor alcoólico nas

Teor alcoólico no Sangue (%) depois de 1 h

0,0111 0,02 0,0146

Se uma pessoa que bebeu 5 copos de cerveja qual será o teor alcoólico no

A concentração média e o teor alcoólico da bebida são proporcionais?

Qual é a expressão matemática que representa esta proporção?

A partir das informações dadas da tabela calcule a densidade do álcool.

Se um indivíduo ingere uma lata de cerveja a cada 10 minutos quanto tempo levará para está em estado de estupor? Vamos considerar que a

ntidade de álcool eliminado neste intervalo de tempo seja desprezível.

retirada do site www.em.com.br, sobre um caso fatal de consumo de álcool. Para responder as questões abaixo, suponha

e tenha um volume sanguíneo

Qual foi a concentração de álcool no sangue do estudante?

Considerando que o estudante bebeu apenas cerveja, qual o volume desta bebida seria preciso ingerir para obter esta concentração?

iderando que o estudante tenha ingerido apenas uísque, qual o

Se você precisasse alertar um estudante que irá participar de uma festa regada a bebida alcoólica sobre os riscos a sua saúde, que orientações você

saria a este estudante que poderia evitar que o mesmo viesse a beber

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A partir dos resultados e das interpretações realizadas em nossa pesquisa, somos levados a crer investigadas pelos alunos em ambientes de aprendizagem proporcionadoModelagem Matemática

As atividades desenvolvidasressaltam a Modelagem Matemática possibilita abordar decolaborar para que os estudantes possam estudar questões sociais relacionadas

Destacamos fundamentar e oferecer aporte para a elaboraçãoatividades desenvolvidas visandoestudantes, no ambiente de aprendizagem de Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática CríticaNeste sentido sugerimos aos professores que desejem utilizar a Modelagem Matemática para abordar conceitos em sala de aula,mais informações para que possam ampliar seu conhecimento e favorecer a abordagem pedagógica utilizada.

Existem diversas formas de utilizar a Modelagem Matemática aula, por isso não nos cabe indicar Apresentamos aqui oAssim, este roteiro é apenas uma nossa pesquisa.

Finalizamos com a esperança subsidiar o trabalho de para a abordagem e ensino do conceito de

7- Considerações finais

________________________

A partir dos resultados e das interpretações realizadas em nossa pesquisa, somos levados a crer que a abordagem do conceito de função, a partir de situações investigadas pelos alunos em ambientes de aprendizagem proporcionadoModelagem Matemática, pode favorecer o entendimento do conceito.

As atividades desenvolvidas com os alunos e apresentadas nesressaltam a Modelagem Matemática como ambiente de aprendizagem

abordar de forma contextualizada o conceito de função e colaborar para que os estudantes possam estudar e debater,

relacionadas ao seu cotidiano.

Destacamos a importância das teorias que foram utilizadas para fundamentar e oferecer aporte para a elaboração, desenvolvimento e análise das

desenvolvidas visando utilizar os temas estudados e investigados o ambiente de aprendizagem de Modelagem Matemática na

perspectiva da Educação Matemática Crítica, para abordar o conceito de função. Neste sentido sugerimos aos professores que desejem utilizar a Modelagem Matemática para abordar conceitos em sala de aula, que busquemais informações para que possam ampliar seu conhecimento e favorecer a abordagem pedagógica utilizada.

Existem diversas formas de utilizar a Modelagem Matemática aula, por isso não nos cabe indicar uma única forma de desenvolver a

os caminhos que escolhemos para desenvolver nosso trabalho, este roteiro é apenas uma sugestão e um exemplo elaborado a

Finalizamos com a esperança de que este produto educacionasubsidiar o trabalho de professores que desejem utilizar a Modelagem Matemática

a abordagem e ensino do conceito de função.

Considerações finais

________________________

A partir dos resultados e das interpretações realizadas em nossa pesquisa, a partir de situações

investigadas pelos alunos em ambientes de aprendizagem proporcionados pela entendimento do conceito.

apresentadas neste trabalho ambiente de aprendizagem que o conceito de função e também

debater, de forma crítica,

a importância das teorias que foram utilizadas para , desenvolvimento e análise das

utilizar os temas estudados e investigados pelos o ambiente de aprendizagem de Modelagem Matemática na

para abordar o conceito de função. Neste sentido sugerimos aos professores que desejem utilizar a Modelagem

busquem na literatura mais informações para que possam ampliar seu conhecimento e favorecer a

Existem diversas formas de utilizar a Modelagem Matemática em sala de desenvolver as atividades.

desenvolver nosso trabalho. um exemplo elaborado a partir de

que este produto educacional possa que desejem utilizar a Modelagem Matemática

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Da Universidade Federal de Ouro Preto,

sobre papel 100% reciclato (miolo) 90g/m

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Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa. Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED

Da Universidade Federal de Ouro Preto, em Agosto de 2013

sobre papel 100% reciclato (miolo) 90g/m2 e (capa) 300 g/m2

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