Acad 6 Geometria Descritiva 2013

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UNIVERSIDADE DE FRANCA GEOMETRIA DESCRITIVA CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: DESENHO TÉCNICO I PROFESSORES: ALINE MONTEIRO/ MÁRCIO RONAN 2013

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UNIVERSIDADE DE FRANCA

GEOMETRIA

DESCRITIVA

CURSO: ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: DESENHO TÉCNICO I

PROFESSORES: ALINE MONTEIRO/ MÁRCIO RONAN

2013

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ÍNDICE

1 REVISÃO DE GEOMETRIA PLANA ........................................

3

2 GEOMETRIA DESCRITIVA – MÉTODO DE MONGE .............

9

3 ESTUDO DA RETA .................................................................

15

4 POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS ................................

17

5 DENOMINAÇÃO PARTICULARES DAS RETAS ....................

18

6 VERDADEIRA GRANDEZA DE SEGMENTOS ......................

22

7 PROJEÇÃO DE RETAS E PLANOS .......................................

23

EXERCÍCIOS ...........................................................................

24

BIBLIOGRAFIA ........................................................................

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1 REVISÃO DE GEOMETRIA PLANA

1.1 APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS O Teorema de Pitágoras é uma importante ferramenta utilizada na matemática. Esse teorema é atribuído ao filósofo grego Pitágoras de Samos. “O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

a2 = b2 + c2

1.2 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGUL O A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Vamos estabelecer as seguintes relações:

Triângulo retângulo Seno sen α = cateto oposto (c) hipotenusa (a) Cosseno cos α = cateto adjacente (b) hipotenusa (a)

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Tangente tg α = cateto oposto (c) cateto adjacente (b)

1.3 TRIÂNGULO QUALQUER

1.3.1 LEI DOS SENOS “Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.

1.3.2 LEI DOS COSSENOS “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”

1.4 CÁLCULO DE ÁREAS, PERÍMETROS E VOLUMES 1.4.1 CÁLCULO DE ÁREAS E PERÍMETROS

Na Geometria Plana podemos encontrar a área (A) e o perímetro P) das figuras, onde:

Área = Área é a região do plano limitado pelo perímetro Perímetro = Perímetros pode-se definir como sendo o comprimento do “contorno” de uma figura.

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• Quadrado

• Retângulo

• Losango

• Paralelogramo

• Trapézio

• Triângulo Qualquer

• Triângulo Eqüilátero

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6

• Círculo

• Setores circulares

O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se

montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360o, assim a área do setor estará para o

número de grais do setor.

• Coroas circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se

desta, a área do círculo inscrito.

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7

1.4.2 CÁLCULO DE VOLUMES

Na Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a área lateral (S), onde:

• Cubo

• Pirâmide

• Cilindro circular reto

• Cone circular reto

• Esfera:

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1.5 TEOREMA DE TALES O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos proporcionais. Foi estabelecido por Tales de Mileto, que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinados. Partindo desse principio básico observado na natureza, intitulou uma situação de proporcionalidade que relaciona as retas paralelas e as transversais. Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. Observe

No esquema acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais. De acordo com o TeoremaTales, temos as seguintes proporcionalidades:

Observe que a relação estabelecida envolve noções de razão e proporção, o segmento AB está para o segmento BC assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as duas razões formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através de uma simples multiplicação cruzada, ou de acordo com a propriedade das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

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2 GEOMETRIA DESCRITIVA - MÉTODO DE MONGE

Gaspard Monge, seu criador, definiu a Geometria Descritiva ou das representações, como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado. A Geometria Descritiva deu um grande impulso à indústria, e foi exatamente por esse motivo que, seu criador, Gaspar Monge se dedicou a esse estudo.

Gaspard Monge (1746 a 1818) Foi um sábio desenhista francês, figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço. Monge foi professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, onde teve como discípulos e seguidores de sua obra Jean Pierre Hachette, Barnabé Busson, Jean Victor Poncelet, Charles Dupin, Michel Chasles, Theodore Oliver, C.F. Leroy, Jules de La Gourmiere e Victor Amadeé Macleim, tendo este último exercido o magistério no último quartel do século XIX. Gaspar Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Esse interesse em estudar essa técnica resultou de impulsos patrióticos que visavam tirar a França da dependência da indústria estrangeira.

Os elementos fundamentais do Método de Monge são os planos PH e PV, perpendiculares entre si, os quais se supõe colocados em posição horizontal e vertical respectivamente, por isso recebem o nome Plano Horizontal e Plano Vertical de projeção.

Como esses planos são considerados infinitos, dividem o espaço em 4 regiões, indicadas na figura com os números I, II, III e IV, que se chamam primeiro, segundo, terceiro e quarto diedros (quadrantes), respectivamente. Assim, qualquer ponto do espaço pode ter a sua representação neste sistema.

A intersecção LT dos planos de projeção se chama Linha de Terra e divide cada um dos planos em dois.

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REPRESENTAÇÃO DO PONTO

Seja um ponto qualquer A do espaço, situado no primeiro diedro. Para representá-lo neste sistema, o projetamos ortogonalmente sobre o PH e PV, obtendo as projeções A1 e A2 que se chamam projeção horizontal e vertical.

Linha de chamada é o segmento que une as duas projeções de um ponto e é sempre perpendicular à LT.

Abscissa é a posição da linha de chamada em relação à LT.

Afastamento de um ponto (d) é à distância de A1 até a LT, ou seja, é à distância do ponto até o PV.

Cota de um ponto (h) é à distância de A2 até a LT, ou seja, é a distância do ponto até o PH.

As coordenadas de um ponto (x, y z) são (afastamento, cota e abscissa)

A2 acima da LT = cota + A2 abaixo da LT = cota –

A1 abaixo da LT = afastamento + A1 acima da LT = afastamento –

Após Monge ter sistematizado a Geometria Descritiva, foi acrescentado por Gino Loria um terceiro plano de projeção para melhor localização de objetos no espaço. Este terceiro plano de projeção, denominado plano Lateral ou plano de perfil, forma com o diedro conhecido um triedro trirretângulo, sendo portanto, perpendicular aos planos Horizontal e Vertical de projeção. O plano lateral fornecerá uma terceira projeção do objeto.

Até agora representamos os objetos no espaço. Para representarmos esses objetos no plano bidimensional do papel ou da tela, é necessário que o plano horizontal e vertical coincidam em uma única superfície plana. Monge,

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utiliza um artifício, rotaciona o plano horizontal em 90°, fazendo com que o plano horizontal coincida com o vertical. Esse procedimento chama-se rebatimento. Após o rebatimento obtemos a representação da figura no plano por suas projeções. Esta representação é denominada épura.

Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto pertencem à uma mesma reta perpendicular à L.T. esta reta é denominada linha de chamada. A distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH), é denominada COTA do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância de sua projeção vertical até a linha de terra.

A distância de um ponto ao Plano Vertical (PV), é denominada AFASTAMENTO do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância de sua projeção horizontal até a linha de terra. 1º. DIEDRO 2º. DIEDRO

3º. DIEDRO 4º. DIEDRO

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1.1 PROJEÇÃO DE PONTOS NOS DIÉDROS

A

B

C

D

A1

B1

C1D1

A2

B2

C2

D2

A1

B1 C1

D1

A2

B2

C2 D2

EPURA

1 d2 d

3 d 4 d

PV

PH

LT

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13

Quando necessário colocaremos um terceiro plano de projeção perpendicular a ambos ( PH e PV ), o

qual designaremos plano de perfil de projeção ( PP ), cujas projeções receberão índice 3.

A intersecção do PP com PV chamaremos de linha ver tical ( LV ). Rebatimento dos pontos nos quatro diedros:

A

A1

A2

A3

PV

PH

PP

LV

LT

A1

A2 A3 B1

B2B3

C2

C1

C3 D1

D2 D3

LT LT

LT

LV LV

LV LV

LT

___________ exercícios 01 a 05 ____________

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14

3

ESTUDO DA RETA

2.1 REPRESENTAÇÃO

Uma reta ( r ) é representada pelas suas projeções ( r1 ) e ( r2 ) nos planos PH e PV.

Um ponto pertence a uma reta se as projeções do po nto pertencerem às projeções da reta de mesmo índice.

P1 ∈∈∈∈ r1 P2 ∈∈∈∈ r2 ∴∴∴∴ P ∈∈∈∈ r

2.2 PERTINÊNCIA

PV

PH

LT

r2

r1

r

r2

r1

LT

PV

PH

LT

r2

r1

r

r2

r1

LT

P2

P1

P

P2

P1

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2.2 TRAÇO DE RETA

Traços de uma reta são os pontos de intersecção da mesma com os planos de projeção.

V – traço vertical da reta r H – traço horizontal da reta r

___________ exercícios 06 a 10 ____________

PV

PH

r

r2

r1

LT

V=V2

V1 H=H1H2

V2

V1 H2

H1

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4 POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS

3.1 CONCORRENTES

3.2 PARALELAS (Projeções de mesmo índice)

3.3 REVERSAS

___________ exercícios 11 a 14 ____________

PV

PH

LT

LT

s2

r2

r1

s1

r

s

I

I

I1

2

I1

I2

r2

s2

r1

s1

PV

PH

LT

LT

s2

r2

r1

s1

r

s

r2

s2

r1

s1

PV

PH

LT

LT

s2

r2

r1

s1

r

s

r2

s2

r1

s1

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5 DENOMINAÇÕES PARTICULARES DAS RETAS

4.1 RETA HORIZONTAL (Paralela ao PH)

4.2 RETA FRONTAL (Paralela ao PV)

PV

PH

LT

A

A1

A2

B

B1

B2

r

r1

r2

r1

r2A2

A1

B2

B1

V2

V1LT

A1 B1 - VG de AB

V2

V1

PV

PH

LT

A

A1

A2

B

B1

B2r

r1

r2

r1

r2

A2

A1

B2

B1

LT

H2

H1

H2

H1

A2 B2 - VG de AB

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4.3 RETA FRONTO – HORIZONTAL (Paralela a LT)

4.4 RETA DE TOPO (Perpendicular ao PV)

PV

PH

LT

A

A1

B

B1

r

r1

r1

A1

B1

LT

A1 B1 - VG de AB

A2=B2=r2=V2

V1

A2=B2=r2=V2

PV

PH

LT

A

A1

A2B

B1

B2 r

r1

r2

r1

r2A2

A1

B2

B1

LT

A2 B2 - VG de AB

A1 B1 - VG de AB

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4.5 RETA VERTICAL ( Perpendicular ao PH)

4.6 RETA DE PERFIL (Contida em um plano de perfil)

PV

PH

LT

A

B

r

r1

LT

r2

A2

B2

H2

A1=A2=r1=H1

A2 B2 - VG de AB

A2

B2

A1=B1=r1=H1

P V

PH

LT

A

B

r

LT

A2

B2

A2

PP

V2

H1A1

B1

r1

r2

B2

V2

H2=V1

A1

B1

H1

r1=r2

A3

B3

r3

A3 B3 - VG de AB

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4.7 RETA QUALQUER (Obliqua aos planos de projeção)

___________ exercício 15 ____________

PV

PH

LT

A

A1

A2

B

B1

B2

r

r1

r2

r1

r2

A2

A1

B2

B1

V2

V1H2

H1

LT

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6 VERDADEIRA GRANDEZA DE SEGMENTOS (VG)

1 2 AC = A1 B1 - projeção horizontal do segmento AB.

BC = Cb – Ca - diferença de cota entre os extremos A e B do segmento a - ângulo de r com PH AD = A2 B2 - projeção vertical do segmento AB BD = Aa – Ab - diferença de afastamento b - ângulo de r com PV

___________ exercício 16 ____________

PV

PH

LT

A

B

A1

A2

B1

B2

r

r1

r2

//r1

//r2

a

b

c

a

A2

B2

A1

B1

LT

A

B

C

VG

A1 B1

a

C

D

A

B

VG

bD

A2 B2

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7 PROJEÇÃO DE RETAS E PLANOS

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EXERCÍCIOS

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GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 01 a) Dar a posição dos pontos abaixo. Dizer se estão no: 1 Primeiro diedro (1° d) A (+6,+4) J (-5,+7) 2 Segundo diedro (2° d) B (-4, -9) K (0, +2) 3 Terceiro diedro (3° d) C (+2,-8) L (+9, 0) 4 Quarto diedro (4° d) D (+2, 0) M (-4, 0) 5 Linha de terra (LT) E ( 0, -7) N (-8, -3) 6 Semi-plano horizontal direito (SPHD) F (-5,+5) O (+6, 0) 7 Semi-plano horizontal esquerdo (SPHE) G (+3, 0) P (+1,-9) 8 Semi-plano vertical superior (SPVS) H (+1,+3) Q (-7, 0) 9 Semi-plano vertical inferior (SPVI) I ( 0, -5) R (-1, +1) b) Determinar a posição dos pontos representados na épura abaixo:

O ponto A está no ____ diedro O ponto B está no ____ diedro O ponto C está no ____ diedro O ponto D está no ____ diedro c) Dado um ponto A ( -2, -1, 0) e suas projeções em épura A1 e A2.

Pede-se achar outro ponto B( __ ,__ ,__ ) tal que:

1. B esteja no mesmo diedro de A,

2. B tenha o mesmo afastamento de A,

3. B tenha cota igual a 3 unidades,

4. B diste 4 unidades de A.

Aluno curso turma Data

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GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 02 Encontrar as coordenadas dos pontos A,B,C,D,E,F,G e H do cubo representado abaixo.

Observe o cubo de vidro cuja aresta AB está contida na LT e complete as coordenadas abaixo. Supondo que o ponto A tenha abscissa nula e o cubo tenha 3 cm de lado. Pede-se encontrar as coordenadas de todos os vértices:

1. Vértice A (__,__,__)

2. Vértice B (__,__,__)

3. Vértice C (__,__,__)

4. Vértice D (__,__,__)

5. Vértice E (__,__,__)

6. Vértice F (__,__,__)

7. Vértice G (__,__,__)

8. Vértice H (__,__,__)

Quais seriam as coordenadas se o cubo transladado para o III diedro?

1. Vértice A (__,__,__)

2. Vértice B (__,__,__)

3. Vértice C (__,__,__)

4. Vértice D (__,__,__)

5. Vértice E (__,__,__)

6. Vértice F (__,__,__)

7. Vértice G (__,__,__)

8. Vértice H (__,__,__)

Quais seriam as coordenadas se o cubo fosse transladado para o II diedro?

1. Vértice A (__,__,__)

2. Vértice B (__,__,__)

3. Vértice C (__,__,__)

4. Vértice D (__,__,__)

5. Vértice E (__,__,__)

6. Vértice F (__,__,__)

7. Vértice G (__,__,__)

8. Vértice H (__,__,__)

Quais seriam as coordenadas se o cubo transladado para o IV diedro?

1. Vértice A (__,__,__)

2. Vértice B (__,__,__)

3. Vértice C (__,__,__)

4. Vértice D (__,__,__)

5. Vértice E (__,__,__)

6. Vértice F (__,__,__)

7. Vértice G (__,__,__)

8. Vértice H (__,__,__)

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aluno curso turma Data

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 03 Traçar a épura de cada um dos pontos e localizar os diedros: A (20, 30, 0) ; B (10, -30, 0) ; C (-20, 30, 0) ; D (-30, -25, 0) ; E (-30, 30, 0) ; F (20, -20, 0) medidas em mm

LT

A

LT

LT LT

LT LT

B

C D

E F

diedro: ..................... diedro: .....................

diedro: .....................diedro: .....................

diedro: .....................diedro: .....................

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aluno curso turma Data

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 04 Traçar a épura de cada um dos pontos e localizar os diedros: G (20, 0, 0) ; H (0, 30, 0) ; I (20, 20, 0) ; J (-25, 0, 0) ; K (0, 0, 0) ; L (0, -30, 0) medidas em mm

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LT LT

LT LT

LT LT

diedro: ..................... diedro: .....................

diedro: .....................diedro: .....................

diedro: .....................diedro: .....................

G H

I J

K L

aluno curso turma Data

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 05 Traçar a épura de cada um dos pontos e localizar os diedros: M (20, 30, 15) ; N (-20, 30, 10) ; O (-30, 30, 20) ; P (0, 20, 0) ; Q (-30, 0, 10) ; R (0, 0, 0) medidas em mm

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LTLT

LT

LT

LT

LT

diedro: ..................... diedro: .....................

diedro: .....................diedro: .....................

diedro: .....................diedro: .....................

M N

O P

Q R

aluno curso turma Data

.

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 06 Verificar se o ponto P pertence a reta r.

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30

aluno curso turma Data

. .

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 07 P ∈ r, determinar suas projeções

LT

sim nao~

r2

r1

P2

P1

LT

r2

r1

P2

P1 LT

r2

r1P2

P1

LT

r2

P2

sim nao~ sim nao~ sim nao~

r1=P1

LT

P2

P1

sim nao~

LT

r2

r1

P2

P1

sim nao~

LT

r1

P1

sim nao~

LT

sim nao~

r1=r2

r2=P2

P1=P2

r1=r2

LT

r2

P1

sim nao~

LT

r2

r1

P2

P1

sim nao~

LT

r2

P2

sim nao~

LT

r2

r1

P2

P1

sim nao~

r1=P2 r1=P1

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31

aluno curso turma Data

.

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 08 Verificar se o ponto P pertence `a reta r = AB

LT LT

LT LT

LT

a) b) r=AB

c) r=AB d)

e) f)

r2

r1

A2

r2

r1

r2

r1

r2

A1

B1

B2

P2

P1

A2

A1

B1 B2

P2

P1

LT=r1

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D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

32

LT

a)

B2

A1

LT

A2

P2

B2

A1

B1

P1

b)

A2=P1

B1=P2

aluno curso turma Data

.

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 09 Verificar se o ponto P pertence `a reta r = AB

Page 33: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

33

LT

B2

A1

LT

P2

B2

B1

P1

c)

d)

P2

A2

B1

P1

A1=A2

aluno curso turma Data

.

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 10

Page 34: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

34

P ∈ r, determinar suas projeções aluno curso turma Data

.

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 11

a) cota de P = 20 mm

r2

r1

LT

r2

r1

LT

r1=r2

LT LT

b) cota de P = 0 mm

c) afastamento de P = - 10 mm d) afastamento de P = 20 mm r = AB

A2

B2

A1

B1

Page 35: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

35

Dizer se as retas são concorrentes (C), paralelas (P) ou reversas (R): aluno curso turma Data

.

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 12

r2

r1

LT

a) ............... b) ............... c) ............... d) ...............

e) ............... f) ............... g) ............... h) ...............

i) ............... j) ............... k) ............... l) ...............

s2

s1

r2

r1

LT

s2

s1

r2

LT

s2 r2

r1

LT

s2

s1

r2

r1

LT

s2

s1

r2

r1

LT

s2

s1

r1=s1

r2

LT

s2

r1=s1

r2

r1

LT

s2

s1

r2

r1

LT

s2r2

r1

LT

s2

s1

s1

r2

r1

LT

s2

s1

r2

r1

LT

s2

s1

Page 36: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

36

Determinar as projeções de r que passam por P e é concorrente com s: aluno curso turma Data

.

LT

a) r (horizontal) b) r (frontal)

c) r ( horizontal) d) r (frontal)

s2

s1

P2

P1

LT

s2

s1

P2

P1

LT

s2

s1

P1=P2

LT

P2

P1

s1=s2

Page 37: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

37

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 13 Determinar as projeções de r que passam por P e é concorrente com s: aluno curso turma Data

.

LT

e) r (horizontal), s = AB

f) r (frontal), s = AB

P2

P1A1

A2

B1

B2

LT

P2

P1

A1

A2

B1

B2

Page 38: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

38

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 14 Determinar as projeções de r // s passando por P: aluno curso turma Data

LT

P2

P1

s2

s1

a) b)

LT

P2

P1

s2

s1

LT

s2

s1

c)

P1=P2

d)

LT

P2

P1

s2

s1

e) f)

LT

P2

P1

s1=s2

V2

V1

LT

s2

s1

P2=P1

Page 39: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

39

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 15 Dar as denominações das retas: aluno curso turma Data

LT

a) b)

c) d)

e) f)

reta ........................................................

r2

r1

LT

reta ........................................................

r1=r2

LT

reta ........................................................

r2

r1

LT

reta ........................................................

r2

r1

LT

reta ........................................................

LT

reta ........................................................

r2

r1

r1=r2

Page 40: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

40

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 16 Determinar a V. G. do segmento AB aluno curso turma Data

LT

a) b)

c) d)

e) f)

A2

A1

B2

B1

LTA2

A1

B2

B1

LT

A2

A1

B2

B1

LT

B2

B1

A2=A1

LT

A1=A2

B1=B2

LT

A2

A1

B2

B1

Page 41: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

D E S E N H O T É C N I C O G E O M E T R I A D E S C R I T I V A

41

GEOMETRIA DESCRITIVA EXERCÍCIO 17 1) Os pontos de afastamento positivos estão situados:

a) ( ) no 1º e 4º diédros b) ( ) no 2º e 4º c) ( ) no 1º e 3º d) ( ) no 2º e 3º e) ( ) n.d.a.

2) Dois pontos simétricos em relação ao plano

vertical, terão em épura: a ( ) Projeções horizontais coincidentes e projeções verticais simétricas em relação a LT. b ( ) Projeções verticais coincidentes e projeções horizontais simétricas em relação a LT. c ( ) Projeções horizontais e verticais simétricas em relação a LT. d ( ) Projeções de nomes contrários coincidentes. e ( ) N.d.a.

3) Dois pontos simétricos em relação ao plano

horizontal, terão em épura: a ( ) Projeções horizontais coincidentes e projeções verticais simétricas em relação a LT. b ( ) Projeções verticais coincidentes e projeções horizontais simétricas em relação a LT. c ( ) Projeções horizontais e verticais simétricas em relação a LT. d ( ) Projeções de nomes contrários coincidentes. e ( ) N.d.a.

4) O quadrilátero ABCD representa em épura um: a ( ) Quadrado b ( ) Retângulo c ( ) Losango d ( ) Paralelogramo e ( ) N.d.a

5) As retas r e s são :

a) ( ) Perpendiculares b) ( ) Concorrentes c) ( ) Coincidentes d) ( ) Paralelas

6) Na epura dada, qual o ponto mais próximo a LT a) b) c) d) e)

+

+ + ++

+A1

+ + +

B1

C1

C2

D2

D1

+

E2

E1

A2

B2

a) A ( ) b) B ( ) c) C ( ) d) D ( ) e) E ( )

aluno curso turma Data

LT

LT

r2=s2

s1

r1

Page 42: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

a +c +

a -c +

a +a -c -c-

1) 2)

+ +AB

+

+ +

+

+A1

B1

A2=B2

3) 4)

+A

B

+

+

+

A2

B2 ++

A1=B1

5) 6)a)

+

+ + ++

+A1

+ + +

B1

C1

C2

D2

D1+

++

E2

E1

A2=A

B2=B C

D+

E

Page 43: Acad 6 Geometria Descritiva 2013

43 BIBLIOGRAFIA MACHADO, Adervan. Geometria descritiva. São Paulo: Mc Graw-Hill, 1979

MARMO, Carlos M. B. Geometria descritiva: problemas de posição e métricos. Aso Paulo: Moderna, 1966

MARMO, Carlos M. B.. Geometria descritiva: projeções: ponto, reta e plano. Aso Paulo: Moderna, 1964

PRÍNCIPE JÚNIOR, A. R. Noções de geometria descritiva. São Paulo: Nobel, 1981

SOUZA JÚNIOR, H. A. Geometria descritiva e perspectiva. São Paulo: Pioneira, 1975