Aceite para publicação em 15 de Março de 2010. introdução propriedades polígonos regulares...
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CIRCUNFERÊNCIA Aceite para publicação em 15 de Março de 2010
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CIRCUNFERÊNCIAAceite para publicação em 15 de Março de
2010
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introdução
propriedades
polígonos regulares
rotações
extras
créditos
agradecimentos
fim
introdução
circunferência
ângulo inscrito
ângulo ao centro
pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo
propriedades
propriedade 1
propriedade 2
propriedade 3
propriedade 4
propriedade 5
propriedade 6
propriedade 7
propriedade 8
propriedade 9
estudo das relações entre a circunferência e os elementos geométricos que lhe estão associados
circunferênciaa circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r
ângulo ao centroum ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios
AOB
arcoAB
ângulo ao centro
arco correspondente
ângulo inscritoum ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contêm cordas
ACB
arcoAB
ângulo inscrito
arco correspondente
Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e do arco
correspondente?
Clica na figura e tenta descobrir!
AOB
arcoAB
ângulo ao centro
arco correspondente
propriedade 1A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.
60ºAOB
60ºAB
Ao ângulo ao centro
correspondem
o e a corda
Qual será a relação entre arcos e cordas de ângulos ao centro
geometricamente iguais?
Clica na figura e tenta descobrir!
AOB
arcoAB AB
Ao ângulo ao centro
correspondem
o e a corda
COD
arcoCD CD
propriedade 2A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais.
AB CD
AOB COD
AB CD
Ao ângulo ao centro
e ao ângulo inscrito
corresponde o mesmo
Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e de um ângulo inscrito
no mesmo arco?
Clica na figura e tenta descobrir!
AOB
arcoABACB
Propriedade 3A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.
2:AAC OBB
2:ACB AB
Propriedade 4Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.
2:ACB AB
2:ADB AB
2:AEB AB
ADB EACB A B
Propriedade 5Qualquer triângulo inscrito numa semi-circunferência é um triângulo rectângulo.
2 90: ºAOBACB
O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo.
O diâmetro coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo.
AB
Clica aqui para mais informações acerca de triângulos rectângulos
é oposto a
Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos de um quadrilátero inscrito
numa circunferência?
Clica na figura e tenta descobrir!
DAB DCB
ADC ABCé oposto a
Clica aqui para mais informações acerca de polígonos inscritos em circunferências
Propriedade 6Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares.
180ºDAB DCB
180ºADC ABC
os ângulos ao centro e
As cordas paralelas e definem
Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos e duas cordas. Qual será a
relação entre eles?
Clica na figura e tenta descobrir!
AB DC
BOC AOD
os arcos e
as cordas e
BC AD
BC AD
Propriedade 7Cordas paralelas definem arcos, cordas e ângulos ao centro geometricamente iguais.
180ºDAB DCB
180ºADC ABC
Qual será a posição relativa do raio [OT] e da recta tangente à circunferência em T?
Clica na figura e tenta descobrir!
OT Raio da circunferência
TPT
Recta tangente à
circunferência em
Propriedade 8Uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
OT TP
90ºOTP
Qual será a posição relativa do centro de uma circunferência e da mediatriz de uma sua corda?
Clica na figura e tenta descobrir!
corda da
circunferência
OM ABMediatriz de
AB
Propriedade 9A mediatriz de qualquer corda passa no centro da circunferência.
OT TP
90ºOTP
Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz
Polígonos RegularesUm polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude.
ABCDE
Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência.
O pentágono é um polígono regular
ABC
CBF
Como determinar as amplitudes dos ângulos internos
e dos ângulos externos de polígonos regulares?
Clica na figura e tenta descobrir!
ângulo interno
ângulo externo
Ângulos de polígonos regularesExemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de um pentágono regular:
360 5 72º:OBF AOB
180 108º ºAB OBFO
ângulo externo
ângulo interno
Ângulos de polígonos regularesPara determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externo de um polígono regular com n lados:
RotaçõesUma rotação de centro O e ângulo de amplitude é uma transformação geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que:
e´OA OA ´AOA
Clica aqui para experimentares outras rotações
70 ´, ´ ´º , ABC A CR BO
centro da rotação
ângulo da rotação
figura inicial
figura final
- +sentido da rotação
extrasnesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos
teorema de Pitágoras
simbologia
mediatriz
classificação de ângulos
classificação de triângulos
polígonos inscritos em circunferências
simbologia
classificação de ângulos
classificação de triângulos
Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180ºClica aqui para veres uma demonstração
Teorema de PitágorasNum triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
AB A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto.
Os catetos são os dois lados perpendiculares.
AC
BC
Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras
2 22ACA CB B
Voltar à propriedade 5
MediatrizA mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B.
mediatriz de
r AB
ponto médio de
M AB
AB r e são perpendiculares
Mediatriz e triângulosAs 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num ponto que se chama circuncentro.
Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo
O circuncentro é o centro da circunferência que contém
os 3 vértices do triângulo.
Voltar à propriedade 9
Polígonos inscritos em circunferênciasUm polígono está inscrito numa circunferência se cada um dos seus vértices for um ponto da circunferência.
O polígono está inscrito na circunferência
voltar à propriedade 6
O polígono não está inscrito na circunferência
CréditosEste trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.
Este trabalho foi publicado sob licença
Creative Commons da Casa das Ciências
Agradecimentos
À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra
À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências
Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões
À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da
capa
Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático
Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores
Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles
FIM
Erika Bizarro 2010
