ACOPLADORES DE FIBRA ÓPTICA - … · ACOPLADORES DE FIBRA ÓPTICA Jorge André Wan ... de...

ACOPLADORES DE FIBRA ÓPTICA

Jorge André Wan

DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA

ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES

Júri:

Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes

Orientador:Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Prof. Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves

6 de Junho de 2013

Para os meus avós,

com amor e carinho.

ii

Agradecimentos

Gostaria de expressar o meu agradecimento a todos aqueles que me ajudaram a concretizar

esta dissertação que a seguir apresento. Na impossibilidade de enunciar aqui todas as pes-

soas, gostaria de salientar pelo menos algumas delas.

Ao Professor Doutor António Topa agradeço, para além da sua permanente disponibili-

dade, o modo como me apoiou durante todo o percurso na realização desta dissertação. A

sua contribuição foi fundamental.

À minha família, em especial aos meus pais, por todo o apoio e carinho com que partici-

param directa e indirectamente ao longo do meu percurso académico.

À minha namorada, Ângela Fonte, pelo apoio e força.

Aos meus amigos dentro e fora do Instituto Superior Técnico, em especial aos meus colegas

de dissertação, Ana Cabete e Gonçalo Amaral, pelo apoio e ajuda disponibilizada. Ao Ricardo

Maurício, que me acompanhou no último mês a finalizar esta dissertação. E a todos aqueles

que conheci ao longo do curso pelos momentos passados juntos.

iv

Resumo

Na presente dissertação serão abordados alguns dos aspectos associados ao sistemas de co-

municação óptica. Numa primeira fase será analisada a propagação de impulsos em regime

linear e em regime não-linear. Em regime linear, será estudada a propagação de um impulso

gaussiano ao longo de uma fibra óptica, bem como as influências do efeito da Dispersão de

Velocidade de Grupo (DVG) e do parâmetro de chirp. Em regime não-linear, será estudada a

propagação do solitão fundamental e os efeitos de não-linearidade.

Na fase seguinte será feita uma breve introdução à teoria do acoplamento modal, onde

serão analisados dois guias ópticos paralelos de forma a estudar o acoplamento codireccional

e acoplamento contradireccional.

Posto isto, será estudada a comutação fotónica em regime linear e em regime não-linear.

Nesta parte serão identificados os coeficientes de transmissão, as matrizes de acoplamento e

o comportamento desses coeficientes para um acoplador half beat. Por último, será estudada a

influência da dispersão intermodal na comutação de solitões.

Palavras-Chave

Fibra Óptica, Chirp, Solitões, Comutação Fotónica, Acopladores Direccionais, Regime Linear,

Regime Não-Linear

vi

Abstract

In this dissertation, some aspects associated to the optical communication systems will be

addressed. In the first stage, the propagation of pulses in linear regime and nonlinear regime

will be analysed. In the linear regime, the propagation of a gaussian pulse through an optical

fiber, as well as the influences of the Group Velocity Dispersion (GVD) and the chirp parameter

will be studied . In the nonlinear regime, the propagation of the fundamental soliton and the

effects of nonlinearity will be studied.

In the following stage, a brief introduction to the coupled mode theory will be presented,

and two parallel wave guides will be analysed in order to study the codireccional and the

contradireccional couplings.

Hereupon, the photonics switching in the linear and nonlinear regimes will be studied.

In this part, the transmission coefficients, the coupling matrices and the behaviour of these

coefficients for an half beat coupler will be identified. Finally, the influence of the intermodal

dispersion on soliton switching will be studied.

Key words

Optical Fiber, Chirp, Solitons, Photonic Switching, Directional Coupler, Linear Regime,

Nonlinear Regime

viii

Índice

1 Introdução 1

1.1 Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perspectiva Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Estrutura da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Contribuições Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Propagação de Impulsos 9

2.1 Propagação de impulsos em regime linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Equação de propagação em regime linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Resolução numérica da propagação de impulsos em regime linear . . . . 14

2.1.3 Simulação do impulso gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.4 Débito Binário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Propagação de impulsos em regime não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Efeito óptico não-linear de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Auto-modulação de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3 Equação de propagação em regime não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4 Solitão fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.5 Simulação numérica da propagação de impulsos em regime não-linear . 31

x

3 Teoria do Acoplamento Modal 35

3.1 Introdução ao acoplamento modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Supermodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Acoplamento Codireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Acoplamento Contradireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Comutação Óptica 53

4.1 Agregados lineares de fibras ópticas idênticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Agregado de 2 fibras ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2 Agregado de 3 fibras ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Comutação fotónica em regime linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Comutação fotónica em regime não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Acoplador no domínio da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5 Comutação de solitões com diferentes comprimentos de onda . . . . . . . . . . . 71

4.6 Influência da dispersão intermodal na comutação de solitões em diferentes com-

primentos de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Conclusão 77

5.1 Conclusões principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Perspectivas de trabalho futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

xi

Lista de Figuras

2.1 Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=0). . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C=0). . . . . . . . . . . 18

2.3 Impulsos gaussianos à entrada e saída da fibra óptica para C=2 (Esquerda) e

C=-2 (Direita). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Evolução dos impulsos gaussianos ao longo da fibra óptica para C=2 (Esquerda)

e C=-2 (Direita). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Evolução espacial da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala em

que β2 < 0 para três valores diferentes de chirp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Influência do chirp no produto B2L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Propagação de solitão fundamental sem perdas na fibra óptica. . . . . . . . . . . 33

3.1 Acoplamento entre dois rib waveguides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Acoplamento codireccional com θ = π/2. P1(z) é representada pela curva azul

e P2(z) pela curva verde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Acoplamento codireccional com θ = π/3. P1(z) é representada pela curva azul

e P2(z) pela curva verde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Andamento das potências transportadas por cada guia. Considera-se ∆ = 0 e

κL = 1. P1(z) é representada pela curva a azul e P2(z) pela curva a verde. . . . . 49

xii

3.5 Variação da reflectividade com o parâmetro normalizado de sincronismo para

κL = 3. A curva a vermelho é a envolvente RE(∆). . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Agregado de duas fibras ópticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Coeficiente de transmissão para a frequência da portadora. . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Coeficientes de transmissão para s = 3 (à Esquerda) e s = 6 (à Direita). . . . . . 58

4.4 Coeficientes de transmissão para s = 9 (à Esquerda) e s = 12 (à Direita). . . . . . 58

4.5 Agregado de três fibras ópticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 Coeficiente de transmissão em função de LC/LB para um agregado linear de

três fibras ópticas idênticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7 Representação do sinal na fibra 1 (à Esquerda) e na fibra 2 (à Direita) . . . . . . 65

4.8 Representação do sinal na fibra 1 (à Esquerda) e na fibra 2 (à Direita) - Vista

Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.9 Funções de transferência t(λ) e tx(λ) para fibra de dois núcleos idênticos . . . . 70

4.10 Coeficiente de transmissão T em função da potência normalizada do pico de

entrada p para λ = 1.52µm, λ = 1.55µm e λ = 1.58µm com IMD. . . . . . . . . . 71

4.11 Coeficiente de transmissão T em função da potência normalizada do pico de

entrada p para λ = 1.52µm e λ = 1.58µm com e sem IMD. . . . . . . . . . . . . . 72

4.12 Coeficiente de transmissão T em função do comprimento de onda λ para p = 3

e p = 9 contabilizando a IMD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.13 Sinal de saída |u1| em regime não-linear com IMD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.14 Sinal de saída |u1| em regime não-linear sem IMD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.15 Sinal de saída |u1| em regime linear sem IMD (ocorre uma comutação perfeita

do sinal não existindo sinal à saída da fibra 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.16 Sinal de saída |u1| com IMD (para as frequências adjacentes à frequência central

é possível observar que existe ainda muita energia na fibra 1). . . . . . . . . . . . 76

xiii

Lista de Simbolos

α Coeficiente de atenuação

β Constante de propagação linear

β1 Inverso da velocidade de grupo

β2 Coeficiente de DVG

ε Constante dieléctrica relativa

η Coeficiente de alargamento

∆ Contraste dieléctrico

Γ Coeficiente de atenuação de potência normalizado, factor de reflexão

γ Parâmetro de não-linearidade

κ Coeficiente de dispersão de ordem superior, coeficiente de acoplamento normalizado

κij Coeficiente de acoplamento ij

λ Comprimento de onda

µ Coeficiente de dispersão normalizado de segunda ordem

νg Velocidade de grupo

Ω Desvio de frequência em relação à portadora

ω Frequência angular

ω0 Frequência angular da portadora

C Matriz de acoplamento do sistema

xiv

K(ω) Matriz de acoplamento

n Índice de refracção modal

T Matriz de transferência

ρ Distância entre eixos das fibras ópticas

σ Largura efectiva do impulso

σ0 Largura inicial dos impulsos

σω Largura espectral efectiva

τ Variável de tempo normalizada

τg Atraso de grupo

τ0 Tempo característico da duração do impulso

ξ Frequência normalizada

ζ Variável de espaço normalizada

Ae f f Área efectiva da fibra óptica

B Débito binário

B(z, t) Distribuição longitudinal do campo eléctrico

B2L Figura de mérito

C(ω) Coeficiente de acoplamento, parâmetro de chirp

Dτ Operador de dispersão no domínio temporal

Dξ Operador de dispersão no domínio espacial

E Campo eléctrico

E∗ Campo fictício induzido

F(x, y) Função elementar associado ao modo fundamental

I Intensidade óptica

k0 Constante de propagação no vácuo

K0 Função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem zero

xv

K1 Função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem um

L Comprimento da fibra óptica

LC Comprimento de acoplamento

LB Comprimento full beat

LD Comprimento de dispersão

LH Comprimento half beat

Le f f Comprimento efectivo da fibra óptica

LP01 Modo fundamental de propagação

n1 Índice de refracção do núcleo

n2 Índice de refracção da bainha

P Potência

Pin Potência à entrada da fibra óptica

R Reflectividade

Sz Distância de acoplamento normalizada

t Tempo, coeficiente de auto-transmissão

tx Coeficiente de transmissão cruzada

TB Período temporal de um bit

u Constante de propagação transversal no núcleo, envolvente do impulso

V Largura espectral efectiva normalizada

w Constante de atenuação na bainha

w0 Spot size

y∗ Admitância apropriada

xvi

Lista de Acrónimos

AMF Auto-modulação de Fase

EDFA Erbium Doped Fiber Amplifier

DVG Dispersão de Velocidade de Grupo

FFT Fast Fourier Transform

NLS Nonlinear Schrödinger

IFFT Inverse Fast Fourier Transform

IMD Intermodal Dispersion

IST Inverse Scattering Transform

SSFM Split Step Fourier Method

TAT Transalantic Telecommunication Cable

TPC Trans Pacific Cable

WDM Wavelength Division Multiplexing

XPM Modulação de Fase Cruzada

xviii

Capítulo 1

Introdução

1.1 Enquadramento

Nos dias que correm, as telecomunicações têm vindo a conquistar o seu espaço na sociedade

em que vivemos, desempenhando um papel cada vez mais importante, capaz de influenciar

e modificar, padronizando o estilo e o modo de vida actual. Essas alterações não são apenas

visíveis na sociedade comum, mas também, nas empresas que procuram cada vez mais so-

luções tecnológicas de comunicação, capazes de fazer alterar as bases de competitividade e

estratégias das empresas em todo o mundo.

Na última década, a procura de recursos digitais tais como, telemóvel, televisão e Internet

cresceu de tal maneira, que se tornou necessário um aumento na eficiência de transmissão de

dados de informação. A fibra óptica veio a tornar-se assim, uma forte aposta para a resolução

deste problema.

Uma fibra óptica é composta basicamente de material dieléctrico (em geral, sílica ou plás-

tico) com capacidade de transmitir luz, segundo uma longa estrutura cilíndrica, transparente

e flexível, de dimensões microscópicas comparáveis às de um fio de cabelo [13]. Uma fibra

óptica pode apresentar diâmetros variáveis, dependendo da aplicação, indo desde diâmetros

1

Capítulo 1. Introdução 2

muito pequenos, da ordem de micrômetros até vários milímetros [14].

Como todas as formas de comunicação, um sistema em fibra óptica para ser implementado

necessita de uma rede física e, esta última dividi-se essencialmente em três partes: geração,

transmissão e recepção. O sinal gerado através de lasers semicondutores, é colocado num

meio de comunicação, troço de cabo de fibra óptica, que é responsável pela transmissão da

informação, que podem ter curtas ou longas distâncias. Dependendo da distância, pode existir

a necessidade de usar amplificadores de sinal para regenerar o sinal degradado, fazendo com

que a informação seja recolhida correctamente pelo receptor no fim da ligação.

A presente dissertação aborda essencialmente a parte da transmissão e comutação. Será

estudado o comportamento de sinal ao longo da sua propagação pela fibra óptica e, também,

a comutação fotónica de sinal entre fibras ópticas.


1.2 Perspectiva Histórica

Os primórdios da área da tecnologia óptica demonstraram ser possível direccionar a luz atra-

vés de refracção, como por exemplo Daniel Colladon e Jacques Babinet em 1840 e, John Tyndall

em 1854, realizando experiências de condução de luz através da água. Mais tarde, em 1880,

Alexander Graham Bell inventou o photophone, que permitia a transmissão de um sinal de voz

através de um feixe de luz até uma distância de cerca de 200 metros [11]. No mesmo ano, Wil-

liam Wheeling desenvolveu um método capaz de distribuir a luz em várias direcções usando

um conjunto de tubos espelhados, denominado de canal de luz. Esses estudos abriram portas

para desenvolvimentos mais profundos na área da comunicação óptica, mas só na segunda

metade do século XX é que a tecnologia óptica voltaria a sofrer significativos progressos.

No início da década de 1950, uma parceria entre Brian O’brien e Narinder Kapany resultou

no desenvolvimento de um sistema de transmissão de imagens que utilizava, pela primeira

vez, fibras de vidro [12].

Em 1956, definiu-se a fibra óptica, como um meio físico de transmissão de informação que

se propaga sob a forma de impulsos de luz.

Em 1957, Gordon Gould deu um enorme contributo à tecnologia óptica ao introduzir o

Laser (Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation), descrevendo este dispositivo

como uma fonte intensa de luz que produz radiação electromagnética monocromática e de

fases bem definidas.

Os primeiros testes efectuados à comunicação por fibras ópticas não tiveram resultados

favoráveis devido às elevadas perdas ópticas associadas à transmissão dos impulsos de luz,

limitando desta forma, as distâncias de transmissão. Mais tarde, com a adição da bainha

permitiu uma maior contenção de luz no interior da fibra, permitindo assim, reduzir conside-

ravelmente as perdas.


Charles Kao e George Hockman propuseram, em 1966, a utilização de fibras ópticas como

meio ideal de transmissão do sinal óptico, caso este obtivesse atenuação inferior a 20 dB/km.

Contudo, os valores obtidos para as perdas foram da ordem dos 1000 dB/km, não sendo por

isso competitivas em relação aos outros meios de transmissão [12]. Mais tarde, viria a verificar-

se que as impurezas contidas no vidro como sendo os principais causadores no aparecimento

das perdas.

Estes resultados levaram Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz a produzirem, em

1979, fibras ópticas com atenuação inferior 20 dB/km, tornando assim, viável a utilização de

fibra ópticas em sistemas de comunicação.

Nas últimas décadas, os sucessivos desenvolvimentos fizeram emergir várias gerações de

sistemas de comunicação por fibras ópticas. A primeira geração teve início na década de

1980, tratava-se de fibras multimodais a operar em cumprimentos de onda entre 800 e 900 nm

(primeira janela), com taxa de transferência de 45 MB/s e espaçamento entre repetidores de

cerca de 10 km.

Na segunda geração, as fibras operavam em cumprimentos de onda entre 1260 e 1360 nm

(segunda janela), com atenuações inferiores a 1 dB/km. Esta geração utilizava fibras monomo-

dais, atingindo taxas de transferência da ordem dos 1.7 GB/s e espaçamento entre repetidores

de cerca de 50 km. Em 1988, foi instalado o primeiro cabo submarino com fibra óptica, TAT-8

(Transalantic Telecommunication Cable). Utilizava lasers semicondutores multimodais a operar a

1300 nm, taxa de transferência de 0.28 GB/s e espaçamento entre repetidores de 70 km.

A terceira geração surge em 1990, com os cabos submarinos TAT-9, TPC-4 (Trans Pacific

Cable) e TAT-10/11 a operarem em cumprimentos de onda entre 1500 e 1600 nm (terceira ja-

nela), com taxas de transferência até 10GB/s. O grande problema era o uso de repetidores

3R (Rescaling Reshaping Retiming), repetidores espaçados entre 60 a 70 km. O principal desta-

que da terceira geração foi o aparecimento dos amplificadores ópticos, permitindo amplificar


directamente o sinal sem recurso a electrónica adicional, colocando finalmente o sistemas de

comunicação óptica na era fotónica. Destes amplificadores destacam-se as fibras amplificado-

ras dopadas, as EDFAs (Erbium Doped Fiber Amplifiers) [1], que garantem maior transparência

dos sistemas e permitem o aumento do espaçamento dos repetidores para 60 a 100 km.

A quarta geração tem como principais características o facto de trabalhar no domínio óp-

tico, substituindo os anteriores regeneradores, e nela ser aplicada a multiplexagem no compri-

mento de onda (WDM - Wavelength Division Multiplexing) [1]. Os primeiros cabos submarinos

desta geração, TPC-5 e TAT-12/13, apareceram em 1996, utilizavam EDFAs e operavam a 1550

nm atingindo taxas de transferência 5.30 GB/s. Em 2000, o TPC-6 atingia taxa de transferência

de 100 GB/s. A utilização de técnicas de WDM permite aos sistemas de comunicação óptica

de hoje em dia a atingir taxas de transferência superiores a 1 TB/s.

Uma vez que o problema das perdas foi corrigido com a introdução das fibras amplifica-

doras, a grande questão que se coloca na quinta geração é como compensar a dispersão e as

não-linearidades em sistemas transoceânicos, sistemas com distâncias da ordem das dezenas

de milhares de quilómetros, ou em sistemas terrestres de muito alto débito. Várias técnicas

têm sido desenvolvidas para solucionar estes problemas, como por exemplo: sistemas de pré-

compensação da dispersão, sistemas de pós-compensação da dispersão e gestão da dispersão.

Embora permitindo compensar a dispersão, estas técnicas não compensam os efeitos não-

lineares, que em sistemas de longa distância e elevados ritmos de transmissão podem assumir

um papel dominante na degradação do desempenho dos sistemas de comunicação ópticos.

Uma técnica que permite compensar simultaneamente os efeitos não-lineares e a dispersão

é a transmissão de impulsos do tipo solitão. A utilização de técnicas conjuntas de solitões e

WDM apresentam um potencial considerável e são os principais candidatos para o desenvol-

vimento e aparecimento comercial de sistemas a operarem a 10 e 40 Gbit/s [15]. As fibras

ópticas juntamente com a fotónica, vieram revolucionar os sistemas de comunicação óptica.


1.3 Objectivos

A presente dissertação tem como base o estudo de sistemas de comunicação por fibra óp-

tica. Será analisada a propagação de um sinal pela fibra óptica e obter as equações para a

propagação de impulsos em regime linear e em regime não-linear.

A propagação de um sinal em regime linear será estudada com base na equação fun-

damental de propagação de um impulso, onde é feita uma análise numérica que permite a

simulação do seu comportamento ao longo da fibra. Será estudada também, a influência do

parâmetro de chirp bem como o seu efeito no débito binário.

Em regime não-linear, será deduzida a equação de propagação neste regime, bem como a

relação entre a Auto-Modulação de Fase (AMF) e a DVG que permite a propagação de solitões

pela fibra óptica. É usado o Split Step Fourier Method (SSFM) como o método para a análise

numérica na obtenção dos resultados sobre a propagação de solitões ao longo da fibra.

A teoria do Acoplamento Modal também fará parte desta dissertação, onde é feita uma

análise a partir de dois guias ópticos tridimensionais, paralelos entre si. O objectivo é estudar

o acoplamento modal que se faz sentir quando os dois guias se aproximam, interagindo e

condicionando a propagação dos modos em cada um dos guias. Será estudado também,

o acoplamento codireccional e acoplamento contradireccional e as respectivas respostas do

andamento das potências transportadas por cada um dos guias.

Por último será analisada a comutação fotónica em sistemas de comunicação por fibra

óptica. Serão identificados os coeficientes de transmissão do acoplamento de duas e de três

fibras através da matriz de acoplamento, sendo observado o comportamento dos coeficientes

para um acoplador half beat. Será estudada a comutação em regime linear e em regime não-

linear. Será abordada, também, a influência da dispersão intermodal na comutação de solitões.


1.4 Estrutura da Tese

Neste primeiro capítulo é feito o enquadramento ao tema e a perspectiva histórica, descre-

vendo o contexto em que se insere o estudo. São identificados os principais objectivos e as

contribuições para esta dissertação.

No segundo capítulo é abordada o tema da propagação de impulsos em regime linear e

em regime não-linear. Em regime linear, é formulada a equação de propagação de impulsos e

deduzido o modelo com o qual é possível simular o comportamento de um impulso gaussiano

influenciado pelo fenómeno de DVG ao longo de uma fibra. Em regime não-linear, é deduzida

a equação de propagação em regime não-linear e descrito o efeito óptico de Kerr. Através do

SSFM, é simulado o comportamento do solitão fundamental a propagar-se pela fibra.

No terceiro capítulo é analisada a teoria do acoplamento modal a partir de dois guias

ópticos tridimensionais quando estes dois se aproximam. É estudado também, o acoplamento

codireccional e acoplamento contradireccional e as respectivas respostas do andamento das

potências transportadas por cada guia.

No quarto capítulo é estudada a comutação de impulsos a propagarem-se em fibras de

núcleos idênticos e paralelos. São calculados os coeficientes de transmissão entre duas e três

fibras em regime linear. É também abordada a comutação fotónica em regime não-linear,

sendo estudada uma forma alternativa de cálculo dos coeficientes de transmissão. Também é

estudada a forma como a dispersão intermodal afecta a comutação de solitões.

O quinto capítulo é dedicado à apresentação das conclusões e das perspectivas de trabalho

futuro.


1.5 Contribuições Principais

As principais contribuições ao nível dos sistemas de comunicação por fibra óptica apresen-

tadas nesta dissertação são as seguintes: Estudo do comportamento de um impulso sobre o

efeito do fenómeno da dispersão temporal; Análise do débito binário dependendo do valor do

parâmetro chirp; Estudo sobre o acoplamento codireccional e acoplamento contradireccional;

Dedução dos coeficientes de acoplamento e seu estudo; Caracterização da comutação fotónica

em regime linear e não linear; Estudo da influência da dispersão intermodal na comutação de

solitões.

Capítulo 2

Propagação de Impulsos

2.1 Propagação de impulsos em regime linear

A dispersão é um dos factores limitativos no desempenho das comunicações ópticas, pois é

capaz de impor um limite à distância e ao ritmo máximo de transmissão de informação numa

fibra óptica. Os mecanismos de dispersão são responsáveis por causar o alargamento dos

sinais ópticos à medida que estes se propagam na fibra. Alargamento esse, faz com que os

sinais que se propaguem por longas distâncias, se interfiram com outros sinais, provocando

perdas de informação. A este fenómeno dá-se o nome de Interferência Inter-simbólica.

Por forma a estudar o efeito da dispersão, será estudada a propagação de um impulso

numa fibra óptica monomodal em regime linear.

2.1.1 Equação de propagação em regime linear

Seja A(0, t) um impulso à entrada z = 0 da fibra óptica, modulando uma portadora de

frequência angular ω0. Supondo que o campo eléctrico está polarizado linearmente segundo

9

Capítulo 2. Propagação de Impulsos 10

x, tem-se então

E(x, y, 0, t) = xE(x, y, 0, t), (2.1)

com

E(x, y, 0, t) = E0F(x, y)B(0, t), (2.2)

B(0, t) = A(0, t)exp(−iω0t). (2.3)

Como o regime é monomodal, F(x, y) representa a variação transversal do modo funda-

mental LP01. Sendo r, a coordenada transversal, com r2 = x2 + y2 para sistema de coordenadas

cilíndricas, tem-se

F(r) =

J0(

ra

u), r ≤ a

J0(u)K0(w)

K0(ra

w), r ≥ a(2.4)

onde a é o raio do núcleo da fibra óptica. Na Eq. (2.4) tomaram-se as seguintes considerações:

• uma constante de propagação transversal u no núcleo;

• uma constante de atenuação w na bainha.

Tanto u como w são valores normalizados e tais que

u2 + w2 = ν2, (2.5)

ν = k0a√

n21 − n2

2, (2.6)

onde n1 é o índice de refracção do núcleo, n2 o índice de refracção da bainha e k0 = ω/c é

a constante de propagação no vácuo. É de notar que na Eq. (2.4) para r = 0 e r = a tem-se

F = 1 e F = J0(u), respectivamente. Assim E0 é a amplitude do campo eléctrico em r = 0.


Para calcular o campo eléctrico num ponto z > 0, é necessário começar por calcular a

transformada de Fourier do campo em z = 0. Tem-se

A(z, ω) =

∞∫−∞

A(z, t)exp(iωt)dt, (2.7)

B(z, ω) =

∞∫−∞

B(z, t)exp(iωt)dt, (2.8)

onde as suas transformadas inversas são

A(z, t) =1

2π

∞∫−∞

A(z, ω)exp(−iωt)dω, (2.9)

A(z, t) =1

2π

∞∫−∞

B(z, ω)exp(−iωt)dω, (2.10)

obtém-se das Eq. (2.2) e (2.3)

E(x, y, 0, ω) = E0F(x, y)B(0, ω), (2.11)

B(0, ω) = A(0, ω−ω0). (2.12)

Sendo β = β(ω) a constante de propagação longitudinal do modo fundamental, tem-se

E(x, y, z, ω) = E0F(x, y)B(z, ω), (2.13)

B(z, ω) = B(0, ω)exp[iβ(ω)z]. (2.14)

Deste modo, num ponto z > 0, o campo eléctrico é dado por

E(x, y, z, t) = xE(x, y, z, t), (2.15)

com

E(x, y, z, t) = E0F(x, y)B(z, t). (2.16)

De notar que a Eq. (2.15) só é válida porque se admite que a fibra óptica mantém a

polarização. Tendo em conta que apenas nos interessa a transmissão da intensidade do campo


eléctrico e não a sua fase, esta suposição é uma forma de simplificar a notação, sem contudo

implicar a necessidade real de só se utilizarem fibras que mantenham a polarização.

De acordo com a Eq. (2.14), tem-se

B(z, t) =1

2π

∞∫−∞

A(0, ω−ω0)expi[β(ω)z−ωt]dω. (2.17)

Introduzindo o desvio de frequência Ω em relação à portadora, tal que

Ω = ω−ω0, (2.18)

vem

B(z, t) =1

2πexp(−iω0t)

∞∫−∞

A(0, Ω)expi[β(ω0 + Ω)z−Ωt]dΩ. (2.19)

Aplicando à Eq. (2.19) um desenvolvimento de Taylor para simplificar o cálculo, fica então

β(ω0 + Ω) = β0 + ℘(Ω), (2.20)

℘(Ω) =∞

∑m=1

βm

m!Ωm, (2.21)

em que

β0 = β(ω0), (2.22)

pode-se escrever

B(z, t) = A(z, t)exp[i(β0z−ω0t)], (2.23)

A(z, t) =1

2π

∞∫−∞

A(0, Ω)expi[℘(Ω)z−Ωt]dΩ. (2.24)

É de realçar que a função B(z, t) é uma função rapidamente variável no tempo, enquanto

que a função A(z, t) é uma função lentamente variável no tempo. Tem-se |Ω| << ω0 em geral,

pelo que exp(−iΩt) oscila com uma frequência muito menor do que exp(−iω0t).

Os coeficientes βm são dados por

βm =∂mβ

∂ωm

∣∣∣∣ω=ω0

. (2.25)


Em particular, para m = 1 e m = 2 tem se

β1 =1

νg(ω0), (2.26)

β2 = − 1ν2

g(ω0)

∂νg

∂ω

∣∣∣∣∣ω=ω0

, (2.27)

onde

νg =

(∂β

∂ω

)−1

(2.28)

representa a velocidade de grupo e, β2 é o coeficiente da expansão de Taylor da constante de

propagação responsável pela DVG.

As Eq. (2.16) e (2.23) permitem escrever

E(x, y, z, t) = E0F(x, y)A(z, t)exp[i(β0z−ω0t)]. (2.29)

Agora, é necessário calcular A(z, t) a partir de A(0, t)

Am(z, t) =1

2π

∫∞

∞A(0, Ω)Q(z, t; Ω)dΩ (2.30)

em que

Q(z, t; Ω) = exp[℘(Ω)z]exp(−iΩt), (2.31)

resulta da Eq. (2.24) que

∂A∂z

= i∞

∑m=1

βm

m!Am(z, t). (2.32)

No caso de incluir as perdas, deverá escrever-se a Eq. (2.32) da seguinte forma

∂A∂z

= i∞

∑m=1

βm

m!Am(z, t)− α

2A(z, t). (2.33)

onde α é o coeficiente de atenuação de potência.

Deste modo, obtém-se a equação linear que permite calcular A(z, t) a partir de A(0, t)

∂A∂z

+∞

∑m=1

im−1

m!βm

∂m A∂tm +

α

2A = 0. (2.34)


Em geral, os impulsos são de banda estreita (i.e., |Ω| << ω0), é possivel considerar como

razoável a truncatura

℘(Ω) = β1Ω +12

β2Ω2 +16

β3Ω3 (2.35)

e desprezar todos os restantes termos de ordem superior. Assim, a equação geral descrita

anteriormente reduz-se a

∂A∂z

+ β1∂A∂t

+ i12

β2∂2A∂t2 −

16

β3∂3A∂t3 +

α

2A = 0. (2.36)

No caso de desprezar as perdas, i.e. α = 0, pode-se resumir o cálculo de A(z, t) a partir de

A(0, t) através dos seguintes passos:

1. Calcular A(0, Ω) =∞∫−∞

A(0, t)exp(iΩt)dt;

2. Igualar A(z, Ω) a A(0, Ω)exp[i℘(Ω)z];

3. Calcular A(z, t) =1

2π

∞∫−∞

A(z, Ω)exp(−iΩt)dΩ.

2.1.2 Resolução numérica da propagação de impulsos em regime linear

A resolução numéria da Eq. 2.36 é feita através da Fast Fourie Transform (FFT) e da Inverse

Fast Fourier Transform (IFFT), de forma a verificar o comportamento dos impulsos numa fibra

óptica monomodal.

Desprezando os efeitos dispersivos, tem-se βm = 0 para m ≥ 2. A Eq. (2.34) fica

∂A∂z

= −β1∂A∂t

. (2.37)

No domínio das transformadas de Fourier esta equação pode ser escrita na forma

∂A∂z

= iωβ1A(z, ω), (2.38)


que tem como solução

A(z, ω) = A(0, ω)exp(iωβ1z). (2.39)

Assim, tem-se

A(z, t) =1

2π

∞∫−∞

A(0, ω)exp[−iω(t− β1z)]dt (2.40)

ou seja

A(z, t) = A(0, t− β1z) (2.41)

Consegue-se concluir através da Eq. (2.41), que na ausência de efeitos dispersivos, o impulso

propaga-se sem distorção com uma velocidade de grupo

νg =1β1

. (2.42)

Porém, o desprezo de β2 e β3 não é aceitável na maioria das situações práticas.

Se definir o atraso de grupo como

τg = β1z =z

νg(ω0), (2.43)

a Eq. (2.41) pode ser reescrita na seguinte forma

A(z, t) = A(0, t− τg). (2.44)

É usual definir o comprimento de dispersão LD como

LD =τ2

0|β2|

, (2.45)

onde τ0 representa um tempo característico da duração do impulso. E, apenas se pode dizer

que os efeitos dispersivos são desprezáveis quando LD > L.

Então, são definidas as seguintes variáveis normalizadas para o espaço e para o tempo:

ζ =z

LD, (2.46)

τ =t− β1z

τ0. (2.47)


Passando das variáveis reais para as normalizadas, fica

∂

∂z=

1LD

∂

∂ζ− β1

τ0

∂

∂τ, (2.48)

∂

∂t=

1τ0

∂

∂τ. (2.49)

Desta forma, no domínio destas duas novas variáveis, a Eq. (2.36) assume num formato mais

simples

∂A∂ζ

+ i12

sgn(β2)∂2A∂τ2 − κ

∂3A∂τ3 = 0 (2.50)

em que

β2 = |β2|sgn(β2) (2.51)

e

κ =β3

6|β2|τ0. (2.52)

Como se vê, o coeficiente de dispersão de ordem superior κ, não só depende da relação entre

β2 e β3, como também depende da largura τ0 do impulso.

Para resolver numericamente a Eq. (2.50), introduz-se o par de Fourier

A(ζ, ξ) =

∞∫−∞

A(ζ, τ)exp(iξτ)dτ, (2.53)

A(ζ, τ) =1

2π

∞∫−∞

A(ζ, ξ)exp(−iξτ)dξ, (2.54)

onde ξ é uma frequência normalizada tal que

ξ = Ωτ0 = (ω−ω0)τ0. (2.55)

Então, no domínio da frequência normalizada, pode-se escrever a Eq. (2.50) da seguinte

forma

∂A∂ζ

= i[

12

sgn(β2)ξ2 + κξ3

]A(ζ, ξ) (2.56)


cuja solução é

A(ζ, ξ) = A(0, ξ)exp

i[

12

sgn(β2)ξ2 + κξ3

]ζ

. (2.57)

Deste modo, a resolução numérica da Eq. (2.50) resume-se nos seguintes passos

1. Calcular A(0, ξ) = FFT[A(0, τ)];

2. Calcular A(ζ, ξ) pela Eq. (2.57) ;

3. Calcular A(ζ, τ) = IFFT[A(ζ, ξ)].

2.1.3 Simulação do impulso gaussiano

Considere-se a seguinte equação geral de um impulso supergaussiano

A(0, t) = exp

[−1 + iC

2

(tt0

)2m]

, (2.58)

onde C é o parâmetro de chirp do impulso, i.e., parâmetro que quantifica o desvio de frequên-

cia instantânea da portadora imposto pelo modulador - laser semicondutor - e m é a ordem

da gaussiana.

Se tomarmos o valor m = 1, estamos na presença de um impulso gaussiano.

Para um impulso gaussiano onde não há efeito de chirp, i. e., C = 0, a expressão fica

A(0, t) = exp[−1

2

(tt0

2)]. (2.59)

As figuras seguintes mostram o impulso gaussiano à entrada e à saída da fibra óptica, bem

como a sua evolução ao longo desta.


Na ausência do efeito de chirp, C = 0

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1entrada − azul saida − vermelho

Tempo

Am

plit

ud

e

Figura 2.1: Impulso gaussiano à entrada e saída da fibra óptica (C=0).

Figura 2.2: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra óptica (C=0).


Com efeito de chirp C = 2 e C = −2

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Tempo

Am

plit

ud

e

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Tempo

Am

plit

ud

e

Figura 2.3: Impulsos gaussianos à entrada e saída da fibra óptica para C=2 (Esquerda) e C=-2 (Direita).

Figura 2.4: Evolução dos impulsos gaussianos ao longo da fibra óptica para C=2 (Esquerda) e C=-2

(Direita).

Verifica-se que com chirp positivo no início da ligação, o alargamento do impulso vai ser

contrariado numa fase inicial, no entanto o seu efeito é limitado já que só pode ser introduzido

à entrada da fibra, terminando quando é alcançado o estreitamento máximo do impulso. A

partir daí, volta-se a ter um domínio do efeito dispersivo que vai provocar um alargamento

do impulso. Na presença do chirp negativo, em vez de compensar a dispersão, este reforça o

aumento da largura da sua componente espectral, alcançando piores resultados.


2.1.4 Débito Binário

O débito de transmissão digital (bit rate) encontra-se limitado pela interferência inter-simbólica

que, por sua vez, está condicionado pelo alargamento dos impulsos provocado pela dispersão.

O alargamento dos impulsos depende de vários factores: (i) a largura espectral da fonte;

(ii) a largura inicial dos impulsos; (iii) a dispersão - nomeadamente a DVG.

Começando por introduzir os momentos

〈tq〉 =

∞∫−∞

tq|A(z, t)|2dt

∞∫−∞|A(z, t)|2dt

(2.60)

em que A(z, t) representa a envolvente do impulso que se propaga na fibra óptica, que é

definido por

Ez(r, z, t) = E0F(r)A(z, t)exp[i(β0z−ω0t)]. (2.61)

Definiu-se a largura efectiva dos impulsos como sendo

σ(z) =√〈t2〉 − 〈t〉2, (2.62)

sendo σ0, a largura inicial dos impulsos.

Designa-se por σω, a largura espectral efectiva da fonte. A sua largura espectral normali-

zada é dada por

V = 2σωσ0. (2.63)

Note-se que, como

∆ω =

∣∣∣∣dω

dλ

∣∣∣∣∆λ =2πcλ2 ∆λ, (2.64)

será

σω =2πcλ2 σλ. (2.65)


Para obter a estimativa do alargamento dos impulsos gaussianos, é utilizada a seguinte

expressão

(σ

σ0

)2

=

(1 + C

β2L2σ2

0

)2

+ (1 + V2)

(β2L2σ2

0

)2

+ (1 + C2 + V2)2 12

(β3L4σ3

0

)2

, (2.66)

sendo L , o comprimento da fibra óptica.

Uma forma prática usada para evitar a interferência inter-simbólica consiste em fazer

σ ≤ TB

4=

14B

⇒ B ≤ B0 =1

4σ(2.67)

onde TB é o período temporal atribuído a um bit e B = 1/TB representa o débito binário.

Desprezando o efeito da dispersão de ordem superior, a Eq. (2.66) pode reduzir-se a

(σ

σ0

)2

=

(1 + C

β2L2σ2

0

)2

+

(β2L2σ2

0

)2

(2.68)

desde que se considere V 1 (laser monomodal com pequena largura espectral).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

Evolucao da largura dos impulsos com a distancia: sgn (β2) = − 1

ζ = z / LD

η

C = − 2

C = 0

C = 2

Figura 2.5: Evolução espacial da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala em que β2 < 0

para três valores diferentes de chirp.


Assim, se se admitir um coeficiente de alargamento

η =σ

σ0(2.69)

cujo débito binário é

B =1

2γ0σ0=

12q0τ0

(2.70)

com γ0 =√

2q0 e τ0 =√

2σ0, onde q0 representa a separação entre impulsos vizinhos em

unidades normalizadas. Então, ao definir

x =|β2|L2σ2

0= 2γ2

0|β2|(B2L), (2.71)

pode-se resolver a Eq. (2.68) em ordem a x

(1 + C2)x2 + 2sgn(β2)Cx + (1− η2) = 0 ⇒ x =−sgn(β2)C +

√η2(1 + C2)− 1

1 + C2 .

(2.72)

Donde se infere que a figura de mérito é dada por

B2L =−C + sgn(β2)

√η2(1 + C2)− 1

2γ20β2(1 + C2)

. (2.73)

−6 −4 −2 0 2 4 60

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

24 Influência do parâmetro C de «chirp» no produto B0

2 L

C

B02 L

β

2 = − 20 ps

2/km

β2 = 20 ps

2/km

Figura 2.6: Influência do chirp no produto B2L.


2.2 Propagação de impulsos em regime não-linear

Para além dos efeitos da dispersão, os impulsos que se propagam numa fibra óptica estão

ainda sujeitos aos efeitos não-lineares, originados pela interação entre a luz e o dieléctrico da

fibra óptica, quando existem campos electromagnéticos intensos.

No regime não-linear, a interacção entre a DVG e a AMF, onde os efeitos são contrários

entre si, num sistema sem perdas e em equilíbrio, permitem a propagação de impulsos con-

servando a sua forma ao longo da fibra óptica. Impulsos esses designados por solitões. A

propagação de solitões só é possível devido ao efeito de AMF e, este efeito, é uma das con-

sequências do efeito óptico não-linear de Kerr. Sendo este último uma variação do índice de

refracção de um material em resposta à alta intensidade do campo eléctrico aplicado nele.

2.2.1 Efeito óptico não-linear de Kerr

Sendo β a constante de propagação linear e n o índice de refracção modal, tem-se

β = nk0 (2.74)

em que k0 = ω/c é a constante de propagação no vácuo e c a velocidade de propagação da

luz no vácuo.

No plano transversal (x, y), o índice de refracção da fibra óptica n relaciona da seguinte

forma com a constante dieléctrica relativa ε

ε(x, y) = n2(x, y). (2.75)

Em regime linear, a equação de Helmholtz permite escrever

∇2t F + [n2(z, y)k2

0 − β2]F(x, y) = 0 (2.76)


e, para coordenadas rectangulares

∇2t = F =

∂2F∂x2 +

∂2F∂y2 . (2.77)

No caso da aproximação dos modos LP para fibras ópticas de pequeno contraste dieléc-

trico, admite-se que

E(x, y, z, t) = xE(x, y, z, t) (2.78)

então

E(x, y, z, t) = F(x, y)B(z, t) (2.79)

onde

B(z, t) = A(z, t)exp[i(β0z−ω0t)]. (2.80)

Suponha-se que se perturba a constante eléctrica relativa de tal forma que

ε′ = ε(x, y) + ∆ε (2.81)

e mostra-se no Apêndice A em [4] que, em consequência, a nova constante de propagação

longitudinal será

β′ = β + ∆β (2.82)

em que

∆β =k2

02β

〈∆εF2〉F2 . (2.83)

Adoptando a notação

〈ψ〉 =∞∫−∞

∞∫−∞

ψ(x, y)dxdy (2.84)


e de acordo com a Eq. (2.75), tem-se

∆ε = 2n(x, y)∆n. (2.85)

Fazendo a aproximação n(x, y) ≈ n, pode-se escrever a Eq. (2.83) na forma

∆β = k0〈∆nF2〉〈F2〉 . (2.86)

Numa fibra óptica de sílica, o efeito não-linear de Kerr estabelece que

n′ = n(x, y) + n′2|E∗|2 (2.87)

sendo E∗, um campo fictício induzido tal que

|E∗|2 = y∗|E|2 = I (2.88)

onde, I representa a intensidade óptica e y∗ uma admitância apropriada. Tem-se assim

|E∗|2(x, y, z, t) = y∗F2(x, y)|A(z, t)|2. (2.89)

Admitindo

∆n = n′2|E∗|2 (2.90)

conclui-se, da Eq. (2.86), que

∆β = y∗n′2k0〈F4〉〈F2〉 |A(z, t)|2. (2.91)

Introduzindo uma nova amplitude

Q(z, t) =√

y∗〈F2〉A(z, t), (2.92)

a Eq. (2.91) pode ser escrita na forma

∆β = γ|Q(z, t)|2 (2.93)


em que

γ =n′2k0

Ae f f=

2πn′2λAe f f

(2.94)

é o parâmetro de não-linearidade e Ae f f representa a área efectiva da fibra óptica, dada por

Ae f f =

(∞∫−∞

∞∫−∞

F2(x, y)dxdy

)2

∞∫−∞

∞∫−∞

F4(x, y)dxdy. (2.95)

Na proximação gaussiana

F(x, y) = exp(− x2 + y2

2w20

), (2.96)

verifica-se que Ae f f = 2πw20 e assim

γ =n′2

λw20

(2.97)

2.2.2 Auto-modulação de fase

Como consequência do efeito óptico de Kerr, as variações dos índices de refracção da fibra

óptica estão sujeitos a efeitos não-lineares, causados pela presença de um impulso óptico, são

diferentes para diferentes pontos espaciais do impulso. Como resultado deste efeito, durante

a propagação, o campo eléctrico adquire um desvio de fase não-linear.

Admitindo dois novos indices de refracção, para o núcleo e para a bainha, n′1 e n′2 respec-

tivamente

n′1 = n1 + n2P

Ae f f(2.98)

n′2 = n2 + n2P

Ae f f(2.99)


onde n2 é o coeficiente do índice não-linear e P a potência óptica.

Deste modo também a constante de propagação está dependente da potência óptica

β′ = β + k0n2P

Ae f f. (2.100)

Atendendo à Eq. (2.94), a fase não-linear pode ser dada por

ΦNL = γ

L∫0

P(z, t)dz, (2.101)

com

P(z, t) = Pin(t)exp[−αz], (2.102)

sendo α o coeficiente de atenuação e Pin a potência máxima do impulso à entrada da fibra

óptica. Então

ΦNL = γPin(t)L∫

0

exp[−αz]dz = γPin(t)Le f f , (2.103)

onde Le f f = (−1/α)[1− exp(−αL)] é o comprimento efectivo da fibra óptica.

De notar que existe um desvio da fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr. Este fenómeno

é conhecido como auto-modulação de fase, uma vez que é um fenómeno auto induzido.

O desvio da frequência provocada pela AMF é dada por

δω(t) = −dφNL

dt= −γLe f f

dPin

dt, (2.104)

e desta maneiradPin

dt> 0⇒ δω(t) < 0 ocorre o desvio para o vermelho na frente do impulso

dPin

dt< 0⇒ δω(t) > 0 ocorre o desvio para o azul na cauda do impulso

(2.105)


2.2.3 Equação de propagação em regime não-linear

Considerando a equação de propagação de impulsos em regime linear (2.36) e aplicando o

termo não-linear nela, a equação fica

∂A∂z

+ β1∂A∂t

+ i12

β2∂2A∂t2 −

16

β3∂3A∂t3 +

α

2A = iγ|A|2A, (2.106)

onde γ é o parâmetro de não-linearidade.

Esta equação não-linear de Schrödinger (NLS) descreve a propagação de um impulso óp-

tico sobre o efeito das perdas, da DVG e da não-linearidade da fibra óptica. Para valores de

β2 negativos, estamos na zona de dispersão anómala, i.e., há propagação de solitões claros

(solitões de primeira ordem ou apenas solitões), onde os impulsos conservam a sua forma ao

longo da propagação.

Para descrever o solitão, será considerado que a fibra óptica não tem perdas nem efeitos

de dispersão de ordem superior, ficando a equação com a seguinte forma

∂A∂z

+ β1∂A∂t

+ i12

β2∂2A∂t2 = iγ|A|2A. (2.107)

Definindo as variáveis normalizadas para o espaço (Eq. (2.46)) e para o tempo (Eq. (2.47)),

da mesma forma como foi feito anteriormente em regime linear, tem-se

∂A∂z

=1

LD

∂A∂ζ− β1

τ0

∂A∂τ

, (2.108)

∂A∂t

=1τ0

∂A∂τ

, (2.109)

∂2A∂t2 =

1τ2

0

∂2A∂τ2 . (2.110)

Substituindo na Eq. (2.107) fica

∂A∂ζ

= −iβ2LD

2τ20

∂2A∂τ2 + iγ|A|2A. (2.111)


Por sua vez,

LD =τ2

0|β2|

e sgn(β2) =β2

|β2|, (2.112)

então

∂A∂ζ

= − i2

sgn(β2)∂2A∂τ2 + iγ|A|2A. (2.113)

Considerando o coeficiente N e uma nova variável normalizada U(ζ, τ) tal que

U(ζ, τ) =A(ζ, τ)√

P0, (2.114)

introduz-se assim ainda uma outra amplitude normalizada u(ζ, τ) tal que

u(ζ, τ) = NU(ζ, τ). (2.115)

E desta forma, chega-se à forma canónica da equação NLS

i∂u∂ζ− 1

2sgn(β2)

∂2u∂τ2 + |u|2u = 0. (2.116)

2.2.4 Solitão fundamental

Com base na Eq. (2.116) tentam-se encontrar soluções que produzam os solitões. Esta equação

NLS é uma equação não-linear parcial diferencial que apenas tem solução em casos específi-

cos. Neste caso, é possível resolver utilizando o método inverso da dispersão (IST - Inverse

Scattering Transform). Da aplicação deste método conclui-se que um impulso dado por

u(0, t) = Nsech(t) (2.117)

a propagar-se numa fibra óptica a operar na região anómala (β2 < 0) mantém a sua forma

quando N = 1. E para N > 1 os impulsos apresentam um padrão de período igual a π/2. O


caso em que N = 1 designa-se por solitão fundamental e a Eq. (2.116) pode ser reescrita na

forma

i∂u∂ζ

+12

∂2u∂τ2 + |u|2u = 0. (2.118)

Esta equação parcial pode ser resolvida assumindo uma solução do tipo

u(ζ, τ) = V(τ)exp[iφ(ζ)] (2.119)

onde V é independente de ζ para representar o solitão fundamental cuja forma se mantém

inalterada ao longo da fibra óptica. Por sua vez, a fase φ depende de ζ mas é independente

do tempo. Desta forma, substituindo na Eq. (2.118), vem

dφ

dζ=

1V

(12

∂2V∂τ2 + V3

)= K, (2.120)

onde K é uma constante. Da Eq. (2.120) pode escrever-se que a fase φ = Kζ. Nestas condições

a função V(ζ) satisfaz a equação diferencial não-linear

d2Vdτ2 = 2V(K−V2), (2.121)

multiplicando por 2(dV/dτ) e integrando em ordem a τ, tem-se

(dVdτ

)2

= 2KV2 −V4 + C, (2.122)

onde C é uma outra constante. Aplicando as condições de fronteira em que V e dV/dτ são

iguais a 0 quando τ → ∞, C = 0. E a condição de pico ocorre para τ → 0 sendo V = 1 e

dV/dτ = 0, K = 1/2.

Conhecendo os valores das duas constantes, aplicando na Eq. (2.122) e integrando, obtém-

se

V(τ) = sech(τ), (2.123)


substituindo na Eq. (2.119), vem

u(ζ, τ) = sech(τ)exp(

iζ

2

). (2.124)

De notar que o impulso tem um desvio de fase de ζ/2, mas que mantém a sua amplitude

ao longo da propagação. Pode-se concluir que os efeitos DVG e AMF se compensam mutua-

mente. Isto acontece quando as perdas não são contabilizadas.

2.2.5 Simulação numérica da propagação de impulsos em regime não-linear

Para a simulação em MATLAB será usado o SSFM, que é o método mais usado para resolver

as equações não-lineares que modelam a propagação de impulsos em fibra óptica.

Vai-se, por isso, querer fazer o tratamento numérico da equação geral, tendo em conta as

perdas através do coeficiente Γ, que corresponde às perdas considerando a distância normali-

zada ζ, e os efeitos de ordem superior κ

i∂u∂ζ

+12

∂2u∂τ2 − iκ

∂3u∂τ3 + |u|2u = −i

Γ2

u, (2.125)

Γ = αLD, (2.126)

que na forma (∂u/∂ζ) = (Dτ + Nτ)u(ζ, τ) se introduzem o operador linear ou operador de

dispersão

Dτ = i12

∂2u∂τ2 + κ

∂3u∂τ3 (2.127)

e o operador não-linear

Nτ = −Γ2+ i|u|2. (2.128)

Para se efectuar a resolução numérica da equação, vai-se separar a análise linear da não-

linear.


Desprezando o efeito da dispersão

Ficando com

∂u∂ζ

= Nτu(ζ, τ) =

(−Γ

2+ i|u|2

)u(ζ, τ), (2.129)

que tem como solução u(ζ, τ) = u(0, τ)exp(Nτ · ζ).

Conhecendo a forma do impulso em ζ, é possível conhece-la em ζ + h

u(ζ + h, τ) = u(0, τ)exp(Nτ, ζ)exp(Nτ, h) ⇒ u(ζ + h, τ) = u(ζ, τ)exp(Nτ, h) (2.130)

Desprezando o efeito não-linear

Ficando apenas os efeitos dispersivos

∂u∂ζ

= Dτu(ζ, τ) =

(i12

∂2u∂τ2 + κ

∂3u∂τ3

)u(ζ, τ) (2.131)

que se resolve recorrendo à transformada de Fourieru(ζ, ξ) =

∞∫−∞

u(ζ, τ)exp(iξτ)dτ

u(ζ, τ) =1

2π

∞∫−∞

u(ζ, ξ)exp(−iξτ)dξ

(2.132)

que, por sua vez, aplicado na equação a resolver dá

∂u∂ζ

= Dξ u(ζ, τ) =

(−i

ξ2

2+ iκξ3

)u(ζ, τ) (2.133)

que tem como solução, em semelhança com o 1o passo,

u(ζ + h, ξ) = u(ζ, ξ)exp(Dξ , h) (2.134)

As duas soluções apresentadas permitem, através do processo iterativo SSFM, efectuar o

cálculo do sinal à saída de cada um dos pequenos troços consecutivos definidos como passos

longitudinais h. Em síntese, o SSFM consiste nos seguintes passos:

1. u(ζ, τ) = u(0, τ);


2. ν(ζ, τ) = u(ζ, τ)exp(−h

2Γ)

exp(ih|u|2);

3. ν(ζ, ξ) = FFT[ν(ζ, τ)];

4. u(ζ + h, ξ) = ν(ζ, ξ)exp(−i

h2

ξ2)

exp(ihκξ3);

5. u(ζ + h, τ) = IFFT[u(ζ + h, ξ)];

6. u(ζ, τ) = u(ζ + h, τ);

7. Ir para (2).

Figura 2.7: Propagação de solitão fundamental sem perdas na fibra óptica.

Pode-se concluir através da observação da Fig. 2.7 que existe uma total compensação entre

DVG e AMF, onde a forma de onda é preservada ao longo da fibra, sem quaisquer alterações

na amplitude e na largura do impulso. Isto acontece porque estamos perante um cenário

ideal, em que as perdas não foram contabilizadas.

Capítulo 3

Teoria do Acoplamento Modal

3.1 Introdução ao acoplamento modal

O conceito de acoplamento modal é utilizado frequentemente para descrever a propagação da

luz em guias de onda ou cavidades ópticas, sob influência de efeitos externos, tais como per-

turbações externas ou interações não lineares. A ideia básica da teoria do acoplamento modal

é decompor a luz propagada em modos de propagação conhecidos num dado dispositivo sem

perturbações, e calcular como estes modos são acoplados entre si com uma certa influência

adicional.

!

y!

x!

Figura 3.1: Acoplamento entre dois rib waveguides.

35

Capítulo 3. Teoria do Acoplamento Modal 36

Esta teoria é uma teoria de "pequena perturbação", uma vez que o acoplamento electro-

magnético altera as amplitudes modais mas não a estrutura dos modos transversais.

Considera-se que apenas existe acoplamento entre dois modos da estrutura. O sistema

em análise é representado na Fig. 3.1, onde se trata do acoplamento entre dois guias ópticos

tridimensionais, paralelos entre si, conhecidos por rib waveguides.

Em tudo o que se segue supõe-se que a variação temporal é da forma exp(jωt). Assim,

em todas as expressões, omite-se este factor.

Vai-se considerar o acoplamento como uma combinação linear de dois modosE(x, y, z)

H(x, y, z)

= A1(z)

e1(x, y)

h1(x, y)

+ A2(z)

e2(x, y)

h2(x, y)

. (3.1)

Para assinalar explicitamente a dependência longitudinal com a constante de propagação

de cada modo, escreve-se ainda

A1(z) = α1(z)exp(−jβ10z) (3.2)

A2(z) = α2(z)exp(−jβ20z). (3.3)

Se não existisse acoplamento, as amplitudes α1 e α2 não poderiam depender da distância z. De

notar que as constantes de propagação longitudinal de cada guia, na ausência de acoplamento,

são representadas por β10 e β20.

Na ausência de acoplamento, tem-se

dA1

dz= −jβ10A1 (3.4)

dA2

dz= −jβ20A2. (3.5)


Adicionando os termos lineares de acoplamento às Eq. (3.4) e (3.5), vem

dA1

dz= −jβ10A1 − j(κ11A1 + κ12A2) (3.6)

dA2

dz= −jβ20A2 − j(κ21A1 + κ22A2). (3.7)

Tomando como hipótese, vai-se admitir que os coeficientes de acoplamento κij não dependem

de z.

Definindo

β1 = β10 + κ11 (3.8)

β2 = β20 + κ22, (3.9)

as Eq. (3.6) e (3.7) podem ser escritas na forma compacta

dAdz

= −jC · A(z) (3.10)

em que

A(z) =

A1(z)

A2(z)

(3.11)

e onde

C =

β1 κ12

κ21 β2

(3.12)

é a matriz de acoplamento do sistema. Na ausência de acoplamento, esta matriz é diagonal e

tem a seguinte forma

C =

β10 0

0 β20

. (3.13)

No caso de pequena perturbação, em que o acoplamento apenas afecta as amplitudes e

não as funções modais, tem-se

|κ12| |β1| (3.14)

|κ21| |β2|, (3.15)


o que significa, que o acoplamento deve ser fraco.

Supõe-se que as funções e(x, y) e h(x, y) na Eq. (3.1) estão normalizadas de tal forma que,

sendo P1 e P2 as potências que cada modo transporta, se tem

P1(z) = |A1(z)|2 (3.16)

P2(z) = |A2(z)|2. (3.17)

As ondas podem transportar potências em direcções opostas. Define-se, então, p1,2 = ±1

de acordo com a potência P1,2 flua no sentido positivo ou no sentido negativo do eixo z. A

potência total P(z) é dada por

P(z) = p1|A1(z)|2 + p2|A2(z)|2. (3.18)

A conservação de potência [5] obriga a que

p1κ∗12 = p2κ21. (3.19)

Assim, para acoplamento codireccional (ondas que transportam potência na mesma direc-

ção), tem-se p1 p2 = +1. Consequentemente

κ12κ21 = |κ12|2. (3.20)

Por outro lado, para acoplamento contradireccional (ondas que transportam potência em

direcções opostas), tem-se p1 p2 = −1. Neste caso, tem-se

κ12κ21 = −|κ12|2. (3.21)


3.2 Supermodos

Num dado problema de acoplamento modal (codireccional ou contradireccional), trata-se de

resolver a Eq. (3.10) sujeita a condição inicial A(0) que especifica as amplitudes dos dois mo-

dos elementares em z = 0. Para tal, procede-se à diagonalização da matriz de acoplamento.

Vai-se considerar a mudança de variável

A(z) = M ·Φ(z) (3.22)

com

Φ(z) =

Φs(z)

Φa(z)

. (3.23)

Substituindo a Eq. (3.22) na Eq. (3.10), obtém-se

dΦdz

= −jD ·Φ(z) (3.24)

com

D = M−1 · C ·M. (3.25)

Quando M é uma matriz diagonalizante da matriz de acoplamento, a nova matriz D é

diagonal com

D =

qs 0

0 qa

(3.26)

onde qs e qa são os valores próprios da matriz de acoplamento tais que

qs = β0 + S (3.27)

qa = β0 − S (3.28)


e onde

β0 =12(β1 + β2) (3.29)

S =√

δ2 + κ12κ21 (3.30)

δ =12(β1 − β2). (3.31)

Deste modo, a Eq. (3.24) cuja a resolução é imediata. Vem

Φ(z) = Q ·Φ(0) (3.32)

em que

Q(z) = exp(−jβ0z)

exp(−jSz) 0

0 exp(jSz)

. (3.33)

Atendendo às Eq. (3.22) e (3.32) , obtém-se finalmente

A(z) = T(z) · A(0) (3.34)

onde T é a matriz de transferência tal que

T = M ·Q ·M−1. (3.35)

i.e.

T = exp(−jβ0z)τ (3.36)

em que

τ =

t11 t12

t21 t22

(3.37)


tendo-se

t11 = cos(Sz)− jδ

Ssin(Sz) (3.38)

t12 = −jκ12

Ssin(Sz) (3.39)

t21 = −jκ21

Ssin(Sz) (3.40)

t22 = cos(Sz) + jδ

Ssin(Sz). (3.41)

Atendendo à Eq. (3.30), verifica-se facilmente que a matriz τ é unimodular, i.e., det(τ) = 1.

Existe uma diferença fundamental entre as funções Ai(z) com i = 1, 2 da Eq. (3.11) e as

funções Φs(z) e Φa(z) da Eq. (3.23). Enquanto que, Ai(z) é uma amplitude modal do i-ésimo

guia individual do sistema, as funções Φs(z) e Φa(z) pertencem aos chamados supermodos

do sistema de acoplamento modal.

Assim, as funções Φs(z) e Φa(z) devem ser entendidas como funções próprias do sistema.

Representam um tipo de modos característicos que pertencem a uma hierarquia de nível

superior à dos modos elementares associados a cada guia individual.

As constantes de propagação associadas às amplitudes Ai(z) são as constantes βi0 dos

guias individuais. Enquanto que as constantes de propagação associadas às funções próprias

Φs(z) e Φa(z) são, respectivamente, os valores próprios qs e qa da matriz de acoplamento.


3.3 Acoplamento Codireccional

No acoplamento codireccional os dois modos transportam energia no mesmo sentido. Sabe-se,

anteriormente, através da Eq. (3.18) que para este tipo de acoplamento

p1 p2 = +1. (3.42)

E, se na Eq. (3.20) se fizer

κ2 = |κ12|2 (3.43)

obtém-se

κ12κ21 = κ2. (3.44)

Desta forma, da Eq. (3.30), se δ , 0, vem

S = δ

√1 +

(κ

δ

)2. (3.45)

No caso de haver sincronismo, i.e., se δ = 0 ou β1 = β2, tem-se

S = κ. (3.46)

Introduzindo a variável θ tal que

tan(θ) =κ

δ(3.47)


S = δ sec(θ). (3.48)

Para θ = π/2 há sincronismo e S é dado pela Eq. (3.46).

Tratando-se de um sistema de acoplamento codireccional recíproco, tem-se ainda

κ12 = κ21. (3.49)


Pelo que, das Eq. (3.44) e (3.49), vem

κ12 = κ (3.50)

donde se infere que

κ12 = S sin(θ). (3.51)

Tomando em consideração as Eq. (3.48) e (3.51), obtém-se das Eq. de (3.38) a (3.41) que

t11 = t∗22 = cos(Sz)− j cos(θ) sin(Sz) (3.52)

t12 = t21 = −j sin(θ) sin(Sz) (3.53)

no caso do acoplamento codireccional recíproco e sem perdas.

Supondo que se verificam as seguintes condições iniciais

A1(0) = 1 (3.54)

A2(0) = 0. (3.55)

E, de acordo com as Eq. (3.16) e (3.17), vem

P1(z) = cos2(Sz) + cos2(θ) sin2(Sz) (3.56)

P2(z) = sin2(θ) sin2(Sz). (3.57)

Designa-se por comprimento de acoplamento Lc, a distância z para a qual se regista uma

máxima transferência de potência do guia 1 para o guia 2. Donde

LC =π

2δcos(θ) (3.58)

tendo-se

η =P2(Lc)

P1(Lc)= tan2(θ). (3.59)


De notar que o valor máximo de η se obtém no sincronismo (θ = π/2). No sincronismo há

uma permuta perfeita de energias entre os dois guias acoplados com uma periodicidade dada

por

LC =π

2κ. (3.60)

Na Fig. 3.2 mostra-se a evolução de P1(z) e de P2(z) com a distância de acoplamento

normalizada Sz no caso em que há sincronismo, i.e., em que θ = π/2.

Figura 3.2: Acoplamento codireccional com θ = π/2. P1(z) é representada pela curva azul e P2(z) pela

curva verde.

Na Fig. 3.3 considera-se o caso em que θ = π/3. Enquanto que no caso da Fig. 3.2 se tem

η = ∞, no caso da Fig. 3.3 tem.se η = 3.


Figura 3.3: Acoplamento codireccional com θ = π/3. P1(z) é representada pela curva azul e P2(z) pela

curva verde.


3.4 Acoplamento Contradireccional

Viu-se anteriormente que no acoplamento contradireccional, os dois modos transportam ener-

gia em sentidos diametralmente opostos. Na Eq. (3.18) tem-se

p1 p2 = −1. (3.61)

Se na Eq. (3.21) se fizer

κ2 = |κ12|2 (3.62)

obtém-se

κ12κ21 = −κ2. (3.63)

Assim, da Eq. (3.30) vem

S = jΩ (3.64)

Ω = κ√

1− ∆2 (3.65)

∆ =δ

κ(3.66)

para ∆2 ≤ 1. No caso de haver sincronismo, i.e., ∆ = 0, tem-se

S = jκ. (3.67)

Introduzindo a variável ξ tal que

tanh(ξ) = ∆ (3.68)


Ω = κsech(ξ). (3.69)

Por outro lado, para ∆2 > 1, por conveniência, introduz-se uma nova variável ζ tal que

tanh(ζ) =1∆

(3.70)


de forma que

S = δsech(ζ). (3.71)

De notar que

sinh(ζ) = −j cosh(ξ) (3.72)

cosh(ζ) = −j sinh(ξ). (3.73)

Tratando-se de um sistema de acoplamento contradireccional recíproco, tem-se

κ12 = −κ21. (3.74)

Pelo que, das Eq. (3.63) e (3.74), vem

κ12 = κ. (3.75)

Desta forma, para ∆2 ≤ 1, infere-se que

κ12 = Ω cosh(ξ). (3.76)

Analogamente, para ∆2 > 1, vem

κ12 = S sinh(ζ). (3.77)

Assim, para ∆2 ≤ 1, tira-se das Eq. de (3.38) a (3.41) que

t11 = t∗22 = cosh(Ωz)− j sinh(ξ) sinh(Ωz) (3.78)

t12 = t∗21 = −j cosh(ξ) sinh(Ωz). (3.79)

E, para ∆2 > 1, vem

t11 = t∗22 = cosh(Ωz)− j sinh(ξ) sinh(Ωz) (3.80)

t12 = t∗21 = −j cosh(ξ) sinh(Ωz). (3.81)


Supondo que o acoplamento se faz num troço de comprimento L tal que 0 ≤ z ≤ L e com

as seguintes condições iniciais:

A1(0) = 1 (3.82)

A2(L) = 0. (3.83)

Devido à natureza contradireccional do acoplamento, as condições a estabelecer inicial-

mente para as duas ondas devem ser impostas em pontos opostos. Então, em z = 0 para o

guia 1 e em z = L para o guia 2.

Assim, para ∆2 ≤ 1, resulta das Eq. (3.78) e (3.79) que

A1(z) =cosh[Ω(z− L)]− j sinh(ξ) sinh[Ω(z− L)]

cosh(ΩL) + j sinh(ξ) sinh(ΩL)exp(−jβ0z) (3.84)

A2(z) = jcosh(ξ) sinh[Ω(z− L)]

cosh(ΩL) + j sinh(ξ) sinh(ΩL)exp(−jβ0z) (3.85)

uma vez que, nestas condições, se tem

A2(0)A1(0)

= −jcosh(ξ) sinh(ΩL)

cosh(ΩL) + j sinh(ξ) sinh(ΩL). (3.86)

As potências transportadas por cada modo são dadas por

P1(z)P1(L)

= cosh2[Ω(z− L)] + sinh2(ξ) sinh2[Ω(z− L)] (3.87)

P2(z)P2(0)

=sinh2[Ω(z− L)]

sinh2(ΩL)(3.88)

onde

P1(L) =1

cosh2(ΩL) + sinh2(ξ) sinh2(ΩL)(3.89)

P2(0) =cosh2(ξ) tanh2(ΩL)

1 + sinh2(ξ) tanh2(ΩL). (3.90)

Definindo um factor de reflexão Γ tal que

Γ =A2(0)A1(0)

(3.91)


obtém-se

Γ = −jcosh(ξ) tanh(ΩL)

1 + j sinh(ξ) tanh(ΩL). (3.92)

Analogamente, definindo a reflectividade R tal que

R =P2(0)P1(0)

= |Γ|2 (3.93)

vem

R =sinh2

(κL√

1− ∆2)

cosh2(

κL√

1− ∆2)− ∆2

(3.94)

No sincronismo é ∆ = 0 e obtém-se o R0 como sendo o máximo de R, tal que

R0 = tanh2(κL). (3.95)

Para ∆2 > 1, aplica-se

R =sin2

(κL√

∆2 − 1)

∆2 − cos2(

κL√

∆2 − 1) . (3.96)

Figura 3.4: Andamento das potências transportadas por cada guia. Considera-se ∆ = 0 e κL = 1. P1(z)

é representada pela curva a azul e P2(z) pela curva a verde.


Na Fig. 3.4 representa-se P1(z) e P2(z) para κL = 1 e ∆ = 0 (sincronismo). A diminuição

observada em P1(z) não se deve às perdas , mas sim à transferência de potência para o guia 2

através da potência reflectida P2(z).

A reflectividade R é aproximadamente constante e igual a R0 para ∆2 ≤ 1. Para ∆ = 1

ambas as Eq. (3.94) e (3.96) conduzem a uma indeterminação. Porém, tendo em consideração

que

sinh2(x) ≈ x2 (3.97)

cosh2(x) ≈ 1 + x2 (3.98)

para |x| 1, infere-se que R1 = R(∆ = 1) é dado por

R1 =(κL)2

1 + (κL)2 (3.99)

Os sucessivos nulos da reflectividade são dados por ∆n (com n=1,2,...) tal que

∆n =

√1 +

(nπ

κL

)2(3.100)

A envolvenete da curva R(∆) da Fig. 3.5 é a surva RE(∆) tal que

RE(∆) =1

∆2 (3.101)

sendo independente do valor de κL, i.e., todas as curvas de R(∆) têm a mesma envolvente

qualquer que seja o valor de κL.

Na Fig. 3.5 representa-se a reflectividade R em função do parâmetro normalizado ∆ de

sincronismo. Considera-se κL = 3


Figura 3.5: Variação da reflectividade com o parâmetro normalizado de sincronismo para κL = 3. A

curva a vermelho é a envolvente RE(∆).

De notar que, sendo ∆ dependente de β1 e β2 (através de δ) e, por sua vez, β1 e β2 de-

pendentes da frequência (através da dispersão dos guias), a curva R(∆) da Fig. 3.5 pode ser

encarada como uma curva de resposta em frequência. Nesse sentido, pode dizer-se que o sis-

tema se comporta como um filtro sintonizável e, por outro lado, uma vez que a reflectividade

assume valores elevados na banda de rejeição caracterizada por ∆2 ≤ 1, trata-se, então, de um

filtro de rejeição.

Capítulo 4

Comutação Óptica

4.1 Agregados lineares de fibras ópticas idênticas

Considera-se o caso dos agregados lineares de N fibras idênticas operadas em regime mono-

modal, com N núcleos idênticos, cada um com um raio a e índice de refracção n1, imersos

numa bainha comum de índice de refracção n2. Os eixos dos N núcleos são paralelos e

encontram-se todos todos alinhados segundo um dos eixos transversais (o eixo x), com um

espaçamento uniforme ρ ≥ 2a entre eles.

O campo longitudinal total é dada pela seguinte expressão

Ez(x, y, z, t) =∞

∑−∞

Fn(x, y)Bn(z, t) (4.1)

onde Fn(x, y) é a função modal elementar do n-ésimo núcleo do modo LP01. Para cada núcleo,

o campo vem

Ezn(x, y, z, t) = Fn(x, y)Bn(z, t), 1 ≤ n ≤ N. (4.2)

53

Capítulo 4. Comutação Óptica 54

Aplicando os N pares de Fourier

Bn(z, ω) =

∞∫−∞

Bn(z, t)exp(iωt)dt) (4.3)

Bn(z, t) =1

2π

∞∫−∞

Bn(z, ω)exp(iωt)dω. (4.4)

e considerando, somente, o acoplamento entre núcleos adjacentes

∂

∂zB(z, ω) = iK(ω) · B(z, ω) (4.5)

com

K(ω) =

β(ω) C(ω) 0 . . . 0

C(ω) β(ω) C(ω) . . . 0

......

......

...

0 . . . C(ω) β(ω) C(ω)

0 . . . 0 C(ω) β(ω)

(4.6)

e

B(z, ω) =

B1(z, ω)

B2(z, ω)

...

BN(z, ω)

, (4.7)

onde K(ω) é a matriz de acoplamento e C(ω) o coeficiente de acoplamento.

A Eq. (4.5) pode ser resolvida através do processo de diagonalização da matriz K(ω),

determinando os seus valores próprios e os vectores próprios tais que

K · u = λu (4.8)

sendo u os vectores próprios e λ os valores próprios.


4.1.1 Agregado de 2 fibras ópticas

Considera-se um agregado de N = 2!!!!!!!!!

!!

!!!!!!!! !

a! a!

!!! !!!

!!!

y

x!!

Fibra óptica 1 Fibra óptica 2

! ≥ 2a!

y

x

a! a! a!

Fibra óptica 1 Fibra óptica 2 Fibra óptica 3

Figura 4.1: Agregado de duas fibras ópticas.

Os valores próprios são dados por

λ1 = β + C ∧ λ2 = β− C (4.9)

e os vectores próprios

u1 =1√

2

1

1

, u2 =1√

2

1

−1

(4.10)

a matriz diagonalizadora da matriz de acoplamento, M, é dada por

M =

[u1 u2

]=

1√2

1 1

1 −1

. (4.11)

A matriz M é ortogonal, i.e.,

M−1= M. (4.12)

Introduzindo a matriz diagonalizadora tal que

B(z, ω) = M ·Φ(z, ω) (4.13)


a Eq. (4.5) pode ser reescrita na forma

∂

∂zΦ(z, ω) = iΛ(ω) ·Φ(z, ω) (4.14)

em que

Φ(z, ω) =

φ1(z, ω)

φ2(z, ω)

(4.15)

Λ(ω) = M · K(ω) ·M =

β1ω + C(ω) 0

0 β2(ω)− C(ω)

. (4.16)

Sendo Λ uma matriz diagonal, a solução da Eq. (4.14) é imediata.

Φ(z, ω) = E(z, ω) · φ(0, ω) (4.17)

em que

E(z, ω) = exp[iβ(ω)z] =

exp[iC(ω)z] 0

0 exp[−iC(ω)z]

. (4.18)

A matriz de transferência do agregado será a matriz T tal que

B(z, ω) = T(z, ω) · B(0, ω) (4.19)

em que

T(z, ω) = M · E(z, ω) ·M. (4.20)

pelo que

T = exp[iβ(ω)z]

cos[C(ω)z] i sin[C(ω)z]

i sin[C(ω)z] cos[C(ω)z]

. (4.21)

Assim, tem-se

B1(z, ω) = B1(0, ω) cos[C(ω)z] + iB2(0, ω) sin[C(ω)z]exp[iβ(ω)z] (4.22)

B2(z, ω) = iB1(0, ω) cos[C(ω)z] + B2(0, ω) sin[C(ω)z]exp[iβ(ω)z]. (4.23)


Considera-se um acoplador de comprimento LC em que B2(0, ω) = 0, é possível definir os

seguintes coeficientes de transmissão

t(LC, ω) =

∣∣∣∣ B1(LC, ω)

B1(0, ω)

∣∣∣∣2 = cos2[C(ω)LC] (4.24)

tx(LC, ω) =

∣∣∣∣ B2(LC, ω)

B1(0, ω)

∣∣∣∣2 = sin2[C(ω)LC], (4.25)

sendo ω0 a frequência da portadora do sinal, pode-se definir o comprimento LC = LH (half beat

length) como a menor distância para qual os módulos das envolventes dos impulsos comutam

de núcleo relativamente à situação de entrada, dado por

LH =π

2C(ω0)⇒ t(LH, ω0) = 0, tx(LH, ω0) = 1. (4.26)

Da mesmo forma, define-se o comprimento LC = LB (full beat length) como a menor dis-

tância para o qual os módulos dos envolventes dos impulsos nos dois núcleos são iguais aos

de entrada, tem-se

LB =π

C(ω0)⇒ t(LB, ω0) = 1, tx(LB, ω0) = 0. (4.27)

Os resultados da simulação dos coeficientes de transmissão, para um acoplador full beat,

para a frequência da portadora é apresentado na Fig. 4.2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

LC

/ LB

Coeficie

nte

s d

e tra

nsm

issão

Coefecientes de transmissão para w=w0

tx

t

Figura 4.2: Coeficiente de transmissão para a frequência da portadora.


Definindo s = ρ/a com s ≥ 2, o coeficiente de acoplamento é dado por

C =

√2∆a

u2

ν3K0(sw)

K21(w)

, (4.28)

onde u = ν√

1− b, w = ν√

b e b = (1.1428− 0.9960ν )2 é a constante de propagação normali-

zada. K0 e K1 são funções de Bessel modificadas e ∆ é o contraste dieléctrico.

Considerando os seguintes parâmetros para um acoplador half beat: λ0 = 1.55µm, a =

4.5µm, n1 = 1.5, ∆ = 0.3% e variando o valor de s obtiveram-se os seguintes resultados:

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

x 10−6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Comprimento de onda [µm]

Co

eficie

nte

s d

e t

ran

sm

issã

o

Coefecientes de transmissão de um acoplador half−beat

tx

t

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

x 10−6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Co

eficie

nte

s d

e t

ran

sm

issã

o


tx

t

Figura 4.3: Coeficientes de transmissão para s = 3 (à Esquerda) e s = 6 (à Direita).

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

x 10−6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Co

eficie

nte

s d

e t

ran

sm

issã

o


tx

t

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

x 10−6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Co

eficie

nte

s d

e t

ran

sm

issã

o


tx

t

Figura 4.4: Coeficientes de transmissão para s = 9 (à Esquerda) e s = 12 (à Direita).

Os resultados das Fig. 4.3 e 4.4 mostram-nos que, através do parâmetro s é possível con-

trolar a troca de energia entre os dois núcleos. Quanto maior o valor de s, mais rapidamente

variam os valores dos coeficientes de transmissão.


4.1.2 Agregado de 3 fibras ópticas

Neste exemplo, considera-se um agregado de N = 3.

!!!!!!!!!

!!

!!!!!!!! !

a! a!

!!! !!!

!!!

y

x!!

Fibra óptica 1 Fibra óptica 2

! ≥ 2a!

y

x

a! a! a!

Fibra óptica 1 Fibra óptica 2 Fibra óptica 3

Figura 4.5: Agregado de três fibras ópticas.

Para os valores próprios

λ1 = β +√

2C ∧ λ2 = β ∧ λ3 = β−√

2C. (4.29)

e vectores próprios

u1 =1√

2

1√2

1

1√2

.

, u2 =

1√2

1

0

−1

, u3 =1√

2

1√2

−1

1√2

, (4.30)

a matriz M é ortogonal, i.e., M−1= M, e é dada por

M =

[u1 u2 u3

]=

1√2

1√2

11√

2

1 0 −1

1√2−1

1√2

. (4.31)


Definindo

B(z, ω) = M ·Φ(z, ω) (4.32)

a Eq. (4.5) pode ser reescrita na forma

∂

∂zΦ(z, ω) = iΛ(ω) ·Φ(z, ω) (4.33)

onde

Φ(z, ω) =

φ1(z, ω)

φ2(z, ω)

φ3(z, ω)

(4.34)

Λ(ω) = M · K(ω) ·M =

β1ω 0 0

0 β2(ω) 0

0 0 β3(ω)

. (4.35)

As soluções da Eq. (4.14) são fáceis de encontrar

Φ(z, ω) = E(z, ω) · φ(0, ω) (4.36)

com

E(z, ω) = exp[iβ(ω)z] =

exp[i

√2C(ω)z] 0 0

0 1 0

0 0 exp[−i√

2C(ω)z]

. (4.37)

A matriz de transferência do agregado será

B(z, ω) = T(z, ω) · B(z, ω) (4.38)

em que

T(z, ω) = M · E(z, ω) ·M. (4.39)


Donde

T =12

exp(iβz)

cos(√

2Cz) + 1 i√

2 sin(√

2Cz) cos(√

2Cz)− 1

i√

2 sin(√

2Cz) 2 cos(√

2Cz) i√

2 sin(√

2Cz)

cos(√

2Cz)− 1 i√

2 sin(√

2Cz) cos(√

2Cz) + 1

. (4.40)

Admintindo

B2(0, ω) = β3(0, ω) = 0 (4.41)

obtém-se

β1(z, ω) =121 + cos[

√2C(ω)z]B1(0, ω)exp[iβ(ω)z] (4.42)

B2(z, ω) =i2

sin[√

2C(ω)z]B1(0, ω)exp[iβ(ω)z] (4.43)

β3(z, ω) = −121− cos[

√2C(ω)z]B1(0, ω)exp[iβ(ω)z]. (4.44)

Os coeficientes de transmissão são dados por

t1(LC, ω) =

∣∣∣∣ B1(LC, ω)

B1(0, ω)

∣∣∣∣2 =141 + cos[

√2C(ω)LC]2 (4.45)

t2(LC, ω) =

∣∣∣∣ B2(LC, ω)

B2(0, ω)

∣∣∣∣2 =12

sin2[√

2C(ω)LC] (4.46)

t3(LC, ω) =

∣∣∣∣ B3(LC, ω)

B3(0, ω)

∣∣∣∣2 =141− cos[

√2C(ω)LC]2. (4.47)

Half beat length

LH =π

2√

2C(ω0)⇒ t1(LH, ω0) = t3(LH, ω0) =

14

, t2(LH, ω0) =12

. (4.48)

e full beat length

LB =π√

2C(ω0)⇒ t1(LB, ω0) = t2(LB, ω0) = 0, t3(LB, ω0) = 1. (4.49)


Os resultados da simulação dos coeficientes de transmissão em função de LC/LB para um

agregado linear de três fibras ópticas idênticas é apresentado na Fig. 4.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

LC

/ LB

Coeficie

nte

s d

e tra

nsm

issão

AGREGADO LINEAR DE TRÊS FIBRAS IDÊNTICAS

t1

t2

t3

Figura 4.6: Coeficiente de transmissão em função de LC/LB para um agregado linear de três fibras

ópticas idênticas.


4.2 Comutação fotónica em regime linear

A partir deste ponto são considerados apenas agregados de duas fibras ópticas. A interacção

das duas fibras vai originar um fenómeno designado por dispersão intermodal (IMD - Inter-

modal Dispersion), proveniente dos dois supermodos existentes. Essa dispersão vai originar

a passagem de energia electromagnética de uma fibra para a outra e, desta forma, o campo

numa fibra irá influenciar o campo na outra ao ponto de a propagação de um sinal numa das

fibras também depender do sinal na outra.

No caso em estudo, o impulso é inserido apenas numa das fibras

A1(0, τ) = exp(−τ2

2

)e A2(0, τ) = 0. (4.50)

O ponto de partida para a simulação numérica são as equações de acoplamento entre as

duas fibras ópticas∂A1

∂τ+ δ

∂A2

∂τ+ i

12

[sgn(β2)

∂2A1

∂τ2 + µ∂2A2

∂τ2

]= iκA2

∂A2

∂τ+ δ

∂A1

∂τ+ i

12

[sgn(β2)

∂2A2

∂τ2 + µ∂2A1

∂τ2

]= iκA1

. (4.51)

Pode observar através das Eq. (4.51) que ambas as equações de acoplamento são afectadas

pelos sinais à entradas das duas fibras.

Manipulando algebricamente estas equações obtém-se, para o domínio da frequência ξA1(ζ, ξ)

A2(ζ, ξ)

= S

A1(0, ξ)

A2(0, ξ)

(4.52)

com

S(ζ, ξ) = MR(ζ, ξ)M (4.53)

= exp[

i12

sgn(β2)ξ2ζ

] cos[θ(ζ, ξ)] i sin[θ(ζ, ξ)]

i sin[θ(ζ, ξ)] cos[θ(ζ, ξ)]

(4.54)


em que

θ(ζ, ξ) = b(ξ)ζ =

(κ + ξδ +

12

ξ2µ

)ζ. (4.55)

Se não existir impulso à partida na segunda fibra, A2(ζ = 0, ξ) = 0, obtém-seA1(ζ, ξ) = S11A1(0, ξ)

A2(ζ, ξ) = S21A1(0, ξ)

(4.56)

onde

S11 = exp[

i12

sgn(β2)ξ2ζ2]

cos[θ(ζ, ξ)] (4.57)

S21 = exp[

i12

sgn(β2)ξ2ζ2]

i sin[θ(ζ, ξ)] (4.58)

Sendo A2(0, ξ) = 0, definem-se os seguintes coeficientes de transmissão

τ(ζ, ξ) = |S11|2 =

∣∣∣∣ A1(ζ, ξ)

A1(0, ξ)

∣∣∣∣2 = cos2[(

κ + ξδ +12

ξ2µ

)ζ

](4.59)

τx(ζ, ξ) = |S21|2 =

∣∣∣∣ A2(ζ, ξ)

A1(0, ξ)

∣∣∣∣2 = sin2[(

κ + ξδ +12

ξ2µ

)ζ

](4.60)

Para obter os impulsos que se propagam ao longo da fibra A1(ζ, τ) e A2(ζ, ξ) seguem-se

os seguintes passos:

1. Calcular A1(0, ξ) = FFT[A(0, τ)];

2. Calcular A1(ζ, ξ) = exp[

i12

sgn(β2)ξ2ζ

]cos[θ(ζ, ξ)]A1(0, ξ);

Calcular A2(ζ, ξ) = exp[

i12

sgn(β2)ξ2ζ

]i sin[θ(ζ, ξ)]A1(0, ξ);

3. Calcular A1(ζ, τ) = IFFT[A1(ζ, ξ)];

Calcular A2(ζ, τ) = IFFT[A2(ζ, ξ)].


Admitindo sgn(β2) = −1 (zona anómala de dispersão), κ = 1, δ = −0.0156 e µ = 2.4422×

10−4, obtêm-se os gráficos dos impulsos ao longo das duas fibras para um acoplador half beat

Figura 4.7: Representação do sinal na fibra 1 (à Esquerda) e na fibra 2 (à Direita)

Figura 4.8: Representação do sinal na fibra 1 (à Esquerda) e na fibra 2 (à Direita) - Vista Superior

Da observação dos resultados das simulações facilmente se verifica que existe um acopla-

mento periódico ao longo da fibra óptica, que quando o sinal numa fibra é nulo na outra é

um máximo e vice-versa. Isto acontece, através das Eq. (4.57) e (4.58), que o sinal presente em

ambas as fibras depende de um cos(ζ, ξ) para a fibra 1, e de um sin(ζ, ξ) para a fibra 2. Estas

duas funções são conhecidas por terem o mesmo período e serem ortogonais.

Pode-se dizer que existe uma comutação de impulsos perfeita, onde a intensidade do

impulso, para cada acoplamento, permanece constante em cada troca de energia.


4.3 Comutação fotónica em regime não-linear

Neste ponto apresentam-se as equações não-lineares acopladas que governam a comutação de

impulsos em acopladores de fibras com a não-linearidade de Kerr.

Assumindo duas fibras idênticas de baixo contraste com acoplamento de campo evanes-

cente e, embebidas em bainha comum. No passado foi mostrado que o campo eléctrico na

fibra óptica é dado por

Ezn(x, y, z, t) = Fn(x, y)Bn(z, t), n = 1, 2. (4.61)

onde Fn(x, y) são as funções modais elementares associadas ao modo LP01 em cada núcleo.

Esta equação pode ser reescrita na forma

Bn(z, t) = An(z, t)exp[i(β0z−ω0t)], (4.62)

onde β0 = β(ω0) e An(z, t) são funções de z de variação lenta. Adoptando a expansão de

Taylor

β(ω0 + Ω) = β0 + β1Ω +12

β2Ω2, (4.63)

A1(z, t) e A2(z, t) satisfazem as seguintes equações NLS acopladas

i(

∂A1

∂z+ β1

∂A1

∂t

)− β2

2∂2A1

∂t2 + γ|A1|2A1 + C0A2 = 0 (4.64)

i(

∂A2

∂z+ β1

∂A2

∂t

)− β2

2∂2A2

∂t2 + γ|A2|2A2 + C0A1 = 0, (4.65)

sendo γ o parâmetro de não-linearidade e C0 = C(ω0), é o já visto coeficiente de acoplamento.

Nestas equações não estão contabilizadas as perdas, os efeitos de dispersão de ordem superior,

nem o acoplamento não-linear induzido por modulação de fase cruzada (XPM - Cross-Phase

Modulation). Daqui adiante, serão considerados apenas os acopladores half-beat.


Tomando em conta o comprimento do acoplador

LC =π

2C0, (4.66)

e introduzindo as unidades normalizadas já conhecidas anteriormente, para o tempo e para o

espaço

ζ =z

LDe τ =

t− β1zτ0

, (4.67)

as Eq. (4.64) e (4.65) podem ser reescritas, no regime da zona de dispersão anómala, como

i∂u1

∂ζ+

12

∂2u1

∂τ2 + |u1|2u1 + κu2 = 0 (4.68)

i∂u2

∂ζ+

12

∂2u2

∂τ2 + |u2|2u2 + κu1 = 0 (4.69)

onde

un(ζ, τ) = NAn(ζ, τ)√

P0, n = 1, 2. (4.70)

Sendo N2 = LD/LNL, onde LNL = 1/γP0 é o comprimento não-linear para a potência de

pico do impulso incidente P0. Nas Eq. (4.68) e (4.69) não foram contabilizadas o efeito da

dispersão intermodal, mas introduziu-se o coeficiente de acoplamento normalizado κ de tal

forma que

κ = C0LD. (4.71)

Se β+ e β− representam, respectivamente, os números de onda longitudinais para os super-

modos pares e ímpares do acoplador óptico de duas fibras de núcleos idênticos, então

β±(ω) = β(ω)± C(ω). (4.72)

Adoptando a expansão de Taylor de C(ω) tem-se

C(ω0 + Ω) = C0 + C1Ω +12

C2Ω2, (4.73)


com Cm = (dmC/dωm)ω=ω0 obtém-se as novas equações

i(

∂A1

∂z+ β1

∂A1

∂t+ C1

∂A2

∂t

)− β2

2∂2A1

∂t2 −C2

2∂2A2

∂t2 + γ|A1|2A1 + C0A2 = 0, (4.74)

i(

∂A2

∂z+ β1

∂A2

∂t+ C1

∂A1

∂t

)− β2

2∂2A2

∂t2 −C2

2∂2A1

∂t2 + γ|A2|2A2 + C0A1 = 0. (4.75)

Novamente, com as unidades normalizadas ζ e τ e, desta vez, também, amplitudes normali-

zadas un(ζ, τ), as duas últimas equações reduzem-se a

i(

∂u1

∂ζ+ δ

∂u2

∂τ

)+

12

(∂2u1

∂τ2 − µ∂2u2

∂τ2

)+ |u1|2u1 + κu2 = 0 (4.76)

i(

∂u2

∂ζ+ δ

∂u1

∂τ

)+

12

(∂2u2

∂τ2 − µ∂2u1

∂τ2

)+ |u2|2u2 + κu1 = 0 (4.77)

com

δ =C1LD

τ0e µ =

C2LD

τ20

, (4.78)

sendo δ coeficiente de acoplamento de dispersão normalizado de primeira ordem e µ de

segunda ordem. De notar que, para δ = µ = 0 as equações NLS linearmente acopladas são

recuperadas.

O maior objectivo nesta parte é mostrar que para o estudo da comutação de solitões em

diferentes comprimentos de onda, devem ser utilizadas as Eq. (4.76) e (4.77) em vez das

equações anteriores que não consideravam a IMD. É possível o uso das antigas equações mas

considerando o coeficiente κ diferente para cada nova frequência portadora. Desta forma,

torna mais viável o uso das novas equações uma vez que os coeficientes são os mesmos para

solitões a diferentes comprimentos de onda.

Para o estudo do regime linear basta anular os termos de auto-fase nas Eq. (4.68) e (4.69),

ou no caso de se ter em conta a IMD, anular os mesmos termos nas Eq. (4.76) e (4.77). Algo

muito importante de referir é que este modelo apenas é válido enquanto se desprezar os

efeitos de ordem superior.


4.4 Acoplador no domínio da frequência

Se ρ representa a distância entre os eixos os núcleos e a o raio do núcleo, seja s = ρ/a, então,

o coeficiente de acoplamento de um acoplador não-linear em fibra óptica de dois núcleos

idênticos pode ser dado pela Eq. (4.28).

Introduzindo Bn(z, ω) como a transformada de Fourier de Bn(z, t) da Eq. (4.62)

Bn(z, ω) =

∞∫−∞

Bn(z, t)exp(iωt)dt, n = 1, 2 (4.79)

e, de acordo a Eq. (4.5), se não houver sinal à entrada do segundo canal do acoplador, i.e.,

B2(0, ω) = 0, pode-se derivar ficando

B1 = B1(0, ω)exp[iβ(ω)z]cos[C(ω)z], (4.80)

B2 = iB1(0, ω)exp[iβ(ω)z]sin[C(ω)z]. (4.81)

Desta forma, é possível obter as expressões aproximadas para os coeficientes de trans-

missão nas duas fibras, quando se utiliza a expansão da Eq. (4.73), obtêm-se as expressões

aproximadas

t(ξ) ≈ sin2[

π

2κ

(δξ +

12

µξ2)]

, (4.82)

tx(ξ) ≈ cos2[

π

2κ

(δξ +

12

µξ2)]

, (4.83)

onde ξ é a frequência normalizada, tal que

ξ = Ωτ0. (4.84)

Para a simulação dos coeficientes de transmissão optou-se por usar os seguintes valores:

n1 = 1.50; a = 4.5µm; ∆ = 0.30%; τ0 = 1ps, λ0 = 1.55µm e β2 = −20ps2/km. Optou-se tam-

bém por usar κ = 1 e s = 9.5124. Uma vez que foi desprezada a dispersão material obteve-se


δ = −0.0156 e µ = 2.4422× 10−4.

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

x 10−6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λ [µm]

Coeficie

nte

s d

e tra

nsm

issao

Coefecientes de transmissao de um acoplador half−beat

tx

t

tx(aprox)

t(aprox)

Figura 4.9: Funções de transferência t(λ) e tx(λ) para fibra de dois núcleos idênticos

De notar que existe uma boa correspondência entre os resultados obtidos com as ex-

pressões exactas e os obtidos com as expressões aproximadas. Nos comprimentos entre

1.52µm ≤ λ ≤ 1.58µm ocorre uma correspondência exacta entre as duas formas de cálculo

dos coeficientes de transmissão.


4.5 Comutação de solitões com diferentes comprimentos de onda

Definindo o coeficiente de transmissão

T =1Q

∞∫∞

|u1(ζC, τ)|2dτ, (4.85)

onde Q é a energia total, representado por

Q =

∞∫−∞

(|u1(ζC, τ)|2 + |u2(ζC, τ)|2

)dτ. (4.86)

Para o estudo dos coeficientes de transmissão, vai-se analisar a transmissividade T em

função da potência normalizada do pico de entrada p, para diferentes comprimentos de onda:

λ = λ0 ± ∆λ com comprimento de onda central λ0 = 1.55µm e ∆λ = 30nm.

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

transm

issiv

idade

λ = 1.52

λ = 1.55

λ = 1.58

Figura 4.10: Coeficiente de transmissão T em função da potência normalizada do pico de entrada p

para λ = 1.52µm, λ = 1.55µm e λ = 1.58µm com IMD.


Estes resultados, que revelam o comportamento não-linear, correspondem a uma entrada

de

u1(0, τ) =√

psech(√

pτ)exp(−iξτ) (4.87)

u2(0, τ) = 0 (4.88)

Pode-se dizer que a variação do comprimento de onda faz variar as curvas de transmissão.

Por exemplo, para um impulso com p = 8, sai no primeiro núcleo se for λ = 1520nm e sai no

segundo núcleo se for λ = 1580nm.

De acordo com a Eq. (4.85) tem-se ξ(λ) = ξ0(λ0/λ− 1) com ξ = ω0τ0. Apenas quando

ξ = 0, i.e., para λ = λ0 se obtêm a habitual curva de transmissão não-linear T(p) com

T(0) = 0. Para δ = µ = 0, todas as curvas seriam idênticas a T(p) para o comprimento de

onda central como é observável na Fig. 4.10.

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

transm

issiv

idade

λ = 1.52

λ = 1.52 (sem IMD)

λ = 1.58

λ = 1.58 (sem IMD)

Figura 4.11: Coeficiente de transmissão T em função da potência normalizada do pico de entrada p

para λ = 1.52µm e λ = 1.58µm com e sem IMD.


Da mesma maneira da Fig. 4.9, pode-se resolver este problema através das Eq. (4.68) e

(4.69) se forem escolhidos os coeficientes κ correctamente. Deste modo, para λ = 1.52µm

toma-se o valor de κ = 0.6874 e para λ = 1.58µm tomou-se o valor de κ = 1.4438, também se

deve tomar ξ = 0 para a entrada. É possível assim comparar os resultados demonstrados na

Fig. 4.10 com aqueles obtidos através do modelo acima mencionado, essa comparação é feita

na Fig. 4.11.

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λ[µm]

transm

issiv

idade

p = 3

p = 9

Figura 4.12: Coeficiente de transmissão T em função do comprimento de onda λ para p = 3 e p = 9

contabilizando a IMD.

Outro aspecto interessante de analisar é o comportamento da transmissividade com o

comprimento de onda para duas entradas em que é diferente o valor da potência de pico

normalizada. A função à entrada da fibra continua a ser ilustrada pela Eq. (4.87) e o modelo

usado com a dispersão intermodal, i.e., Eq. (4.82) e (4.83) (Fig. 4.12).


4.6 Influência da dispersão intermodal na comutação de solitões em

diferentes comprimentos de onda

De forma a estudar o efeito da lMD na comutação de solitões em sistemas WDM, analisou-se

o comportamento da comutação para uma entrada

u1(0, τ) =√

psech(√

pτ)3

∑k=1

exp(−iξkτ), (4.89)

com u2(0, τ) = 0, ξ1 = ξ(λ = 1.52µm), ξ2 = ξ(λ = 1.55µm) e ξ3 = ξ(1.58µm). O valor de

potência normalizada do pico de entrada para todas as simulações é p = 9

A Fig. 4.13 mostra o sinal de saída de |u1(ζC, τ)| em regime não-linear com IMD.

Figura 4.13: Sinal de saída |u1| em regime não-linear com IMD.


Figura 4.14: Sinal de saída |u1| em regime não-linear sem IMD.

Porém, se a IMD não for considerada, o resultado é diferente como se pode verificar através

da Fig. 4.14. Uma vez que se encontra dentro da região de dispersão anómala, o impulso mais

à esquerda das duas referidas figuras corresponde ao comprimento de onda mais pequeno,

λ = 1.52µm. Como existem variações notáveis nos dois resultados, pode-se concluir que, para

estudar a comutação entre solitões, não se podem usar as Eq. (4.68) e (4.69), isto verifica-

se, pelo que, a variação do coeficiente κ entre os canais WDM não pode ser normalmente

desprezado, o que torna obrigatório a utilização das Eq. (4.76) e (4.77).

Pode-se ver também que, para um sistema WDM a operar em regime linear as diferenças

entre os sinais de saída obtidos com e sem IMD são significativas. Quando existe a contribui-

ção da IMD, nas frequências adjacentes à frequência central é possível observar que o sinal à

saída da fibra 1 tem muita energia, ao contrário daquilo que ocorre quando não existe essa

contribuição, Fig. 4.15 e 4.16.


Figura 4.15: Sinal de saída |u1| em regime linear sem IMD (ocorre uma comutação perfeita do sinal

não existindo sinal à saída da fibra 1).

Figura 4.16: Sinal de saída |u1| com IMD (para as frequências adjacentes à frequência central é possível

observar que existe ainda muita energia na fibra 1).

Capítulo 5

Conclusão

5.1 Conclusões principais

O estudo efectuado no Capítulo 2, permitiu concluir que, na propagação de impulsos em re-

gime linear, o sinal pode sofrer interferência inter-simbólica, em consequência do alargamento

dos impulsos e do fenómeno da dispersão, o que condiciona o débito binário da transmissão

digital. Analisou-se a influência do parâmetro de chirp na compensação da dispersão. Obtém-

se piores resultados para valores negativos, acentuando-se o efeito da interferência intersim-

bólica, uma vez que se obtém sempre maior largura do impulso. Entre o chirp positivo e a

ausência do mesmo existe um compromisso intermédio. A influência do chirp positivo produz

um menor alargamento do impulso até a uma certa distância, a partir do qual a sua ausência

produz melhores resultados.

No mesmo capítulo, foi dedicada ao estudo da propagação de impulsos em regime não-

linear, nomeadamente à propagação do solitão de primeira ordem ou solitão fundamental. A

introdução do SSFM é fundamental na resolução das equações não-lineares de propagação

de impulsos. Verificou-se que na ausência de perdas o solitão fundamental, mantém a sua

amplitude e largura inalteradas ao longo do percurso na fibra óptica. Isto deve-se ao facto de

77

Capítulo 5. Conclusão 78

haver um equilíbrio perfeito entre o DVG e a AMF.

No Capítulo 3, foi analisada a teoria do acoplamento modal feito a partir da análise de dois

guias ópticos tridimensionais, paralelos entre si. Concluiu-se que, da proximidade dos dois

guias, passa a existir um supermodo que resulta do acoplamento de potência de um guia para

o outro. É de notar que este fenómeno só ocorre quando os guias estão a uma determinada

distância mínima, quando a intensidade do campo evanescente for suficientemente elevada

para poder excitar um modo no guia adjacente. Estudou-se também o acoplamento codirecci-

onal e acoplamento contradireccional e as respectivas respostas do andamento das potências

transportadas por cada guia. No acoplamento codireccional concluiu-se que, no caso de haver

sincronismo, há uma perfeita permuta de energias entre os guias acopladas com uma certa

periodicidade. Já no caso do acoplamento contradireccional, na situação de sincronismo, a

transferência de energias de um guia para outro depende da reflectividade do sistema. No

entanto, esta transferência não é total nem é periódica.

O Capítulo 4 foi dedicado ao tema da comutação óptica. Foi visto que, em fibras ópticas

de dois núcleos idênticos, o método utilizado para o estudo da propagação de impulsos em

acopladores direccionais com não-linearidade de Kerr, baseia-se em duas equações NLS aco-

pladas, onde existe uma parte linear devido ao coeficiente de acoplamento e uma outra parte

não-linear devido à XPM. Verificou-se que o modelo que consiste em duas equações NLS aco-

pladas linearmente, pode ser aplicado à comutação de solitões em diferentes comprimentos

de onda. Neste caso é necessário alterar o coeficiente de acoplamento para cada novo compri-

mento de onda da portadora. Por outro lado, o novo modelo que considera a IMD, é capaz de

analisar o mesmo problema para diferentes comprimentos de onda. Verificou-se também, que

existem situações em que se pode desprezar o efeito da IMD e assim, usar equações que não

incluam esse efeito. Uma destas situações é a propagação de solitões na frequência central

de um acoplador half beat, i.e., quando o comprimento de onda é igual à distância de acopla-


mento. Por último, o modelo que não toma a IMD em conta, falha na análise da comutação

de solitões em sistemas WDM. Com efeito, se houver uma variação no coeficiente de acopla-

mento entre os dois canais mais exteriores do sistema WDM, apenas o modelo que inclui o

efeito da IMD pode dominar as dinâmicas do acoplamento com a necessária precisão.

Em suma, as fibras ópticas e a fotónica vieram revolucionar os sistemas de comunicação de

hoje em dia, abrindo portas a novos estudos e técnicas na transmissão de dados de informação,

desempenhando papeis cada vez mais preponderantes na área da comunicação óptica.


5.2 Perspectivas de trabalho futuro

Após o cumprimento dos objetivos propostos, existem alguns outros tópicos interessantes

que podem ser abordados em trabalhos futuros: Acopladores com amplificação óptica; Uso

de comutação para filtro de ruído do sinal; Controlo de comutação através da potência de pico

dos sinais; Análise de acopladores não lineares de constante de acoplamento linear variável

longitudinalmente; Estudo e análise de efeito de Raman;

Bibliografia

[1] G. P. Agrawal, Fiber-Optic Communication System, 3rd Ed. New York: Wiley, 2002.

[2] G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic Press, fourth edition, 2007

[3] C. R. Paiva, Fibras Ópticas, 2008

[4] C. R. Paiva, Solitões em Fibras Ópticas, 2008

[5] C. R. Paiva, Introdução ao Acoplamento Modal, 1995

[6] P. Ramos, Comutação Fotónica de Solitões em Acopladores Não-Lineares de Fibras Ópticas,

U.T.L, I.S.T., 1997

[7] P. Camilo, Sistemas de Comutação Óptica Multicanal com Solitões Usando Gestão de Dispersão,

U.T.L., I.S.T, 2001

[8] C. R. Paiva, A. L. Topa, A. M. Barbosa, “Influence of intermodal dispersion on the switching

of solitons at different wavelengths in twin-core fiber couples”, Optical Society of America,

10/October 1999

[9] P. M. Ramos e C. R. Paiva, “Influence of cross-phase modulation on self-routing pulse swit-

ching in nonlinear optical fibers”, Microwave and Optical Technol. Lett., June 1997

[10] B. E. Little e W. P. Huang, Coupled-Mode Theory for Optical Waveguides, Progress In Elec-

tromagnetics Research, PIER 10, 217-270, 1995

81

[11] E. Ientilucci, Fundamentals of Fiber Optics, Prentice Hall, 1993.

[12] J. Hecht, City of Light: The Story of Fiber Optics, New York: Oxford University Press, Inc,

2004.

[13] Paper Fibras Ópticas, http://www.inforede.net/Technical/Layer_1/Cabling/Fiber_

Optic_1_%28POR%29.pdf

[14] R. Babar e R. Gusmão, Sistemas de Comunicação Óptica, http://www.img.lx.it.pt/

~mpq/st04/ano2002_03/trabalhos_pesquisa/T_5/index.htm, 2003.

[15] A. N. Pinto, http://www.av.it.pt/anp/doc/thesis-pdf/chapt1.pdf.

82

http://www.inforede.net/Technical/Layer_1/Cabling/Fiber_Optic_1_%28POR%29.pdf

http://www.inforede.net/Technical/Layer_1/Cabling/Fiber_Optic_1_%28POR%29.pdf

http://www.img.lx.it.pt/~mpq/st04/ano2002_03/trabalhos_pesquisa/T_5/index.htm

http://www.img.lx.it.pt/~mpq/st04/ano2002_03/trabalhos_pesquisa/T_5/index.htm

http://www.av.it.pt/anp/doc/thesis-pdf/chapt1.pdf

ACOPLADORES DE FIBRA ÓPTICA - … · ACOPLADORES DE FIBRA ÓPTICA Jorge André Wan ... de...

Documents

Transcript of ACOPLADORES DE FIBRA ÓPTICA - … · ACOPLADORES DE FIBRA ÓPTICA Jorge André Wan ... de...