Fundac~ao Centro de Cie^ncias e Educac~ao Superior a Dista^ncia do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educac~ao Superior a Dista^ncia do Estado do Rio de Janeiro

Gabarito { AD2 { Metodos Determinsticos II { 06/04/2015

Quest~ao 1 [3,0 pts] Responda as seguintes quest~oes a respeito da func~ao f(x) = 12 ln(9 x2)(a) Determine o domnio de f ;(b) Calcule os seguintes limites: lim

x!3+f(x), lim

x!3f(x);

(c) Calcule e estude o sinal de f 0(x);(d) Calcule e estude o sinal de f 00(x);(e) Mostre que f(x) = f(x)(f) Junte todas estas informac~oes para fazer um esboco do graco de f .

Soluc~ao: a) (0,5pt) Inicialmente observe que ln(u) esta bem denido desde que u > 0 da,

9 x2 > 0, x2 < 9, 3 < x < 3:

Portanto, Df = fx 2 R : jxj < 3g.b) (Cada limite vale 0,2pt dando o total de 0,4pt) Observe que quando x! 3+ ou quando x! 3ent~ao 9 x2 ! 0+ da que

limx!3+

f(x) = limx!3

f(x) = 1:

c) (0,3pt pela derivada+0,2pt pela analise do sinal) derivando temos

f 0(x) =1

2

2x9 x2

= x

9 x2 :

Como para todo x 2 Df 9 x2 > 0 temos que f 0 so depende do sinal de x, logo se 3 < x < 0ent~ao f 0 > 0 se 0 < x < 3 ent~ao f 0 < 0.d) (0,3pt pela derivada+0,2pt pela analise do sinal)

f 00(x) =(1) (9 x2) (x)(2x)

(9 x2)2 =9 + x2 2x2

(9 x2)2 = (9 + x2)

(9 x2)2 :

Portanto, para todo x 2 Df temos que f 00(x) < 0.e) (0,3pt) Veja que

f(x) = 12ln(9 (x)2) = 1

2ln(9 x2) = f(x):

f) (0,8pt)

1

Quest~ao 2 [2,0 pts] O custo, em reais, para a produc~ao de x metros de tecido e dado por

C(x) = 1200 + 12x 0; 1x2 + 0; 0005x3

e a companhia descobre que se vender x metros ela podera cobrar

p(x) = 29 0; 00021x

reais por metro de tecido. Calcule o nvel de produc~ao para maximizar o lucro.

Soluc~ao: (1,0pt se montar a func~ao L(x) corretamente e 1,0pt se derivar e encontrar o valor corretode x) Inicialmente vamos determinar a func~ao lucro L(x) e depois encontrar os valores crticos para x,

L(x) = xp(x)C(x) = x(290; 00021x)(1200+12x0; 1x2+0; 0005x3) = 0; 0005x3+0; 09979x2+17x1200

Derivando e igualando a zero obtemos

L0(x) = 0; 0015x2 + 0; 19958x+ 17 = 0) x = 1150

(9979 +p354580441)

A outra raiz e negativa. O que nos da aproximadamente x= 192,06, ou seja, o que maximizara o lucrosera uma produc~ao de 192 metros de tecido.

Quest~ao 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func~oes:

2

a) f(t) =3t 7

t2 + 5t 4 b) g(x) =px 1px+ 1

c) h(r) = (r2 2r)er2 d) l(u) = ulnu+ cu

Soluc~ao: a) (0,7pt)

f 0(t) = 3(t2+5t4)(3t7)(27+5)

(t2+5t4)2= 3t

2+15t12)(6t2+15t14t35)(t2+5t4)2

= 3t2+14t+23

(t2+5t4)2

b) (0,7pt)

g0(x) =1

2px(px+1)(px1) 1

2px

(px+1)2

=12+ 12px( 1

2 12px)

x+1+2px

= 1px(px+1)2

c) (0,8pt)h0(r) = (2r 2)e2r + (r2 2r) 2 e2r

= (2r 2 + 2r2 4r)e2r= (2r2 2r 2)e2r = 2(r2 r 1)e2r

d) (0,8pt)

l0(u) =1(ln(u)+ c

u)u( 1

u cu2

)

(ln(u)+ cu)2

=ln(u)+ c

u1+ c

u(ln(u)+ c

u)2

=ln(u)+ 2c

u1

(ln(u)+ cu)2

Quest~ao 4: [2,0 pts] Encontre o ponto sobre a hiperbole y2 x2 = 4 que esta mais proximo doponto (2; 0)

Soluc~ao:(1,0pt se modelar corretamente e encontrar a func~ao d(x) + 1,0pt se minimizar corretamente)Em primeiro lugar vamos escrever y em func~ao de x. Para isto isole y, o que nos da: y = p4 + x2.Em princpio temos que resolver o problema para os dois ramos. E facil de perceber algebricamenteque os dois ramos se comportar~ao de maneira semelhante com respeito a dista^ncia ao ponto (2; 0).Vamos admitir por um momento que y =

p4 + x2. Vamos determinar a func~ao dista^ncia do ponto

(x; y(x)) ao ponto (2; 0) que e dado por

d(x) = ((x; y(x)); (2; 0)) =p(x 2)2 + (y(x) 0)2 =

px2 4x+ 4 + 4 + x2 =

p2px2 2x+ 4

Precisamos minimizar tal func~ao. Para isto derivemos ela e vamos encontrar os seus pontos crticos.Devido a natureza geometrica da func~ao d (dista^ncia) sabemos que seus pontos crticos ser~ao pontosde mnimo.

d0(x) =p2

2x 22px2 2x+ 2 = 0) x = 1:

Portanto, d(1) =p6 e a menor dista^ncia e isto acontece para os pontos: (1;

p5) e (1;p5).

3