Adaptação livre das aulas do Professor Rick Trebino em:

www.physics.gatech.edu/frog

Capítulo 6

6.1 Modelos Atómicos6.2 Modelo de Bohr do Átomo de Hidrogénio6.3 Sucessos e Falhas do Modelo de Bohr6.4 Aplicação da Equação de Schrödinger ao Átomo de Hidrogénio6.5 O Spin do Electrão6.6 Sobreposição de Estados na Mecânica Quântica6.7 Estrutura Atómica e Tabela Periódica

Em 1900, evidências indicaram que o átomo não era uma unidade fundamental

6.1 Modelos Atómicos

• Tudo indicava que havia muitos tipos de átomos, cada um pertencendo a um elemento químico distinto

Dalton resgatou este modelo em 1807, e propôs que toda a matéria era composta por pequenos corpúsculos, que não se subdividem – os átomos

De acordo com o modelo atómico proposto por Demócrito e Leucippus (~450 A.C.) (baseado apenas na intuição e na lógica), os átomos eram apenas uma esfera pequena, dura e indestrutível. Átomo=indivisível

• Os átomos e os fenómenos electromagnéticos estavam relacionados intimamente (materiais magnéticos; isolantes vs. condutores; espectros de emissão diversos)

• Os elementos se combinam com alguns elementos e não se combinam com outros uma característica o que sugeria uma estrutura atómica (valência)

• O descobrimento da radioactividade, raios X, e electrões (todos pareciam envolver átomos que se “partem” de algum modo)

O físico britânico Joseph John Thomson descobriu em 1897 o electrão, partícula elementar de carga negativa

Com uma ampola de vidro com vácuo, verificou que os raios catódicos eram de facto partículas negativamente carregadas (electrões) desviando estes “raios “ através de campos eléctricos e magnéticos.

J. J. Thomson (1856-1940)

Em 1910, Robert Millikan mede com grande precisão a carga eléctrica de electrões individuais

710855.1 electrãov8103c m/s

m/s

Modelo Atômico de Thomson

O modelo do “pudim de ameixas” de Thomson tinha cargas positivas espalhadas uniformemente numa esfera do tamanho do átomo com electrões embebidos nesta matriz uniforme

Os protões ainda não haviam sido descobertos, mas cargas positivas deviam estar presentes para atingir a neutralidade de cargas

Thomson não conseguia explicar os espectros de linhas dos átomos com este modelo

Os electrões eram muito leves comparados com os átomos

Experimentos de Rutherford, Geiger and Marsden

Em 1911 Rutherford e seus estudantes Geiger e Marsden desenvolveram uma nova técnica para investigar a estrutura da matéria fazendo incidir partículas alfa nos átomos de ouro, e medindo o espalhamento destas partículas

Os resultados mostraram que muitas partículas alfa eram espalhadas para trás pelas folhas de ouro muito finas em ângulos maiores que 90°

Os resultados experimentais não eram consistentes com o modelo de Thomson

Resultados previstos segundo o modelo de Thomson

Resultados obtidos

As partículas α deveriam atravessar as

folhas de ouro sem sofrer grandes desvios

A maior parte das partículas α comportava-se como

esperado, mas um significativo número delas sofria desvios acentuados

Experiência de Rutherford

Rutherford propôs então que o átomo era uma estrutura praticamente vazia, e não uma esfera maciça e deveria ter um caroço positivamente carregado (núcleo) cercado pelos electrões negativos. Geiger and Marsden confirmaram esta ideia em 1913

Ernest Rutherford (1871-1937)

O átomo seria um sistema semelhante ao sistema solar: - Modelo Planetário

Modelo Atômico de Rutherford

Órbitas Electrões

Núcleo

Rutherford também descobriu a existência dos protões que são partículas com carga positiva que se encontram no núcleo

O Modelo Planetário é Condenado

Existem duas dificuldades básicas com o modelo estrutural planetário de Rutherford:

Segunda – este modelo não consegue explicar como o electrão se mantém em torno do núcleo; de acordo com a teoria electromagnética, uma carga eléctrica acelerada irradia energia (radiação electromagnética), e como o electrão tem aceleração centrípeta perderia energia acabando por cair sobre o núcleo, destruindo o átomo.

Primeira - este modelo não consegue explicar as frequências características discretas de radiação electromagnética emitidas pelo átomo

6.2 Modelo de Bohr

Suposições básicas do modelo de Bohr para o átomo de hidrogénio:

• O electrão descreve uma órbita circular ao redor do protão sob a influência da força eléctrica

Em 1913 Bohr aperfeiçoou o modelo atómico de Rutherford

Niels Bohr(1885 - 1962)

• Somente certas órbitas são estáveis, e são as únicas onde encontramos os electrões. Nessas órbitas o átomo de hidrogénio não emite radiação electromagnética

•Transições podem ocorrer entre estes estados, produzindo luz com energia:

hEEE nn '

• O momento angular de um estado n é: L=onde n é chamado de Número Quântico Principal

n = 1

n = 3

n = 2

n

Bohr construiu um modelo estrutural (modelo semiclássico) para o hidrogénio com base nessas quatro suposições

Energia total do átomo

(V é a energia potencial eléctrica)

2 2

20

1 v4e

e mFr r

Força de atracção do electrão pelo núcleo (força centrípeta)

221 1

2 20

v4

eK mr

Energia cinética

E negativo indica um sistema electrão-protão ligado

(Energia clássica)

0

v4

emr

obtemos

Raio de Bohr

a0

O momento angular é : nrmL v mrn /v

0

v4

emr

04

2 2 2

2 2

n em r mr

20nr n a 0

04 2

2ame

mas

Assim:

Resolvendo para rn

onde

a0 é chamado de raio de Bohr. É o diâmetro do átomo de Hidrogênio (no seu estado de mais baixa energia, ou estado fundamental)

(clássico)

Energias do Átomo de Hidrogénio

Usando o resultado clássico para a energia:

reE

0

2

8

e 04 2 2

n 2

nr

me

Obtemos as energias para os estados estacionários

En = E0/n2 where E0 = 13.6 eV.

Há emissão de luz quando o átomo está num estado excitado e decai para um estado com energia mais baixa

lu EEh

Transições no átomo de HidrogénioNo equilíbrio, todos os átomos de hidrogénio estão no estado n = 1, o estado fundamental e

lu nn O átomo permanece num estado excitado por um período curto de tempo antes de emitir um fotão de energia

eV 6.131 E

e retornar a um estado estacionário mais baixo

Espectro do hidrogénio

no vácuo ( )

Constante de Estrutura FinaA velocidade dos electrões no modelo de Bohr

vn

No estado fundamental6

1 102.2 v

c1v

~ 1% da velocidade da luz

A razão de v1 e c é chamada de constante de estrutura fina

Esta constante foi introduzida em 1916 por Arnold Sommerfeld, pioneiro na aplicação da teoria quântica ao electromagnetismo:

0Ela relaciona o componente relativístico (c)

das interacções electromagnéticas (e) entre partículas carregadas

e quântico (h)

De facto o electrão e o núcleo do átomo de hidrogénio giram em torno do seu centro de massa. A massa do electrão é substituída pela massa reduzida do sistema, e

A constante de Rydberg para uma massa nuclear infinita, é substituída por RR

6.3 Sucessos e Falhas do Modelo de Bohr

• Não conseguia explicar a ligação dos átomos para formar moléculas

Falhas do Modelo de Bohr

• Funcionava somente para átomos com um electrão (hidrogenóides)

• Não conseguia calcular a estrutura fina das linhas espectrais - quando os átomos eram colocados em campos magnéticos

O modelo de Bohr foi um grande passo na nova teoria quântica, mas tinha as suas falhas:

6.4 Aplicação da equação de Schrödinger ao Átomo de Hidrogénio

Onde V(r) é a energia potencial electrostática do sistema electrão - protão

Usando a equação de Schrödinger independente do tempo em três dimensões

Transformamos a equação de Schrödinger em coordenadas espaciais, para coordenadas esféricas

A carga nuclear é +Ze, e Z=1 corresponde ao átomo de hidrogénio neutro (e aos seus isótopos) e Z> 1, aos iões hidrogenóides ( Z=2, He+, Z=3, Li++, etc.).

Resolvemos a equação de Schrödinger pelo método de separação de variáveis supondo que

Esta expressão para a energia E concorda exactamente com aquela obtida pelo modelo de Bohr

• n é chamado de número quântico principal. Obtemos também o número quântico , chamado de número quântico orbital e o número quântico magnético orbital.

m

eObtemos as funções: rR f g

Interpretação física para os três números quânticos

Os números quânticos descrevem as energias dos electrões nos átomos e são de enorme relevância quando se trata de descrever a posição dos electrões nos átomos

n - o número quântico principal determina as energias dos estados permitidos para o átomo de hidrogénio. n = 1,2 3,4,….

-o número quântico orbital. Valores discretos do modulo do momento angular

= 0,1,2… n-1

1L

No actual modelo atómico, as órbitas bem definidas dos electrões foram substituídas por zonas de probabilidade electrónica.

Na interpretação da mecânica quântica, a nuvem de electrões para o estado L=0 tem simetria esférica - o número quântico magnético orbital está relacionado com a orientação espacial do orbital associado. Especifica os valores permitidos de , de acordo com a expressão

mzL

mLz ,1,...,1,0,...,1, m

Orbitais Atómicos

11,0,1m

n =2

22,1,0,1,2 m

n =3

6.5 O Spin do ElectrãoOs três números quânticos anteriores foram gerados pela solução da equação de Schrödinger

O spin, do electrão, o quarto número quântico, não vem da equação de Schrödinger. O spin do electrão é um segundo tipo de momento angular no átomo

Chamamos de momento angular intrínseco e tem um momento magnético associado a ele

Em 1921 Otto Stern e Walther Gerlach realizaram uma experiência em que demonstrou que o momento angular de um átomo é quantizado. Enviou feixes de prata neutros através de um campo magnético não uniforme

1L

Phipps & Taylor (1927), realizaram o mesmo experimento de Stern Gerlach, usando átomos de hidrogénio, ao invés de átomos de prata

Como a temperatura do forno era relativamente baixa, todos os átomos encontravam-se no estado fundamental (n = 0)

Em 1925, dois estudantes de doutorado Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck, na Holanda propuseram para o electrão um momento angular intrínseco, além do momento angular orbital

O número quântico magnético de spin, teria somente dois valores:

sm

21

sm

O momento angular intrínseco, S é o spin do electrão e tem número quântico

21

s

2Le Lm

L e S estão relacionados com o momento magnético

Sme

es

Não existe uma função analítica própria para

o spin e por isso temos que utilizar a representação matricial

Sobreposição de Estados na Mecânica Quântica

Suponha um conjunto de 100 átomos, excitado com apenas um fotão. Somente um átomo (dos 100) será excitado, mas qual deles? Podemos dizer que cada átomo tem 1% de possibilidade de estar num estado excitado e 99% de possibilidade de estar no estado fundamental - sobreposição de estados

Um átomo pode estar numa sobreposição de dois estados estacionários, e esta sobreposição se move

Além do princípio da incerteza existe outro tipo de incerteza na Mecânica Quântica: muitas vezes, nós não sabemos em que estado o átomo se encontra!

1 1 1 2 2 2( , ) ( ) exp( / ) ( ) exp( / )r t a r iE t a r iE t

2

ia é a probabilidade do átomo estar num estado i

Interessante!!! A falta de conhecimento sobre qual estado o átomo se encontra, significa fisicamente que o átomo esta vibrando!

2 2 21 1 2 2

* *1 1 2 2 2 1

( , ) ( ) ( )

2Re ( ) ( ) exp[ ( ) / ]

r t a r a r

a r a r i E E t

Porque a probabilidade é

As vibrações ocorrem numa frequência que é dada pela diferença de energia entre os dois níveis

hEE 12

ou

hE

2 2 21 1 2 2

* *1 1 2 2 2 1

( , ) ( ) ( )

2 Re ( ) ( ) exp[ ( ) / ]

r t a r a r

a r a r i E E t

Nível fundamental, E1

Nível excitado, E2

Energia E = h

O átomo está vibrando com uma frequência

O átomo está no mínimo parcialmente num estado excitado

6.7 Estrutura Atómica e Tabela PeriódicaPara muitos electrões num átomo, teremos

1 2( , ,..., )NV V r r r

1 2( , ,..., , )Nr r r t

Resolver a equação de Schrödinger nesse caso é extremamente difícil

Apesar da dificuldade de resolver a equação de Schrödinger para muitos electrões, é possível utilizar os mesmos números quânticos desenvolvido para o átomo de hidrogénio

O Princípio de exclusão de Pauli, formulado em 1925 por Wolfgang Pauli diz:

Wolfgang Pauli

(1900-1958)

Dois electrões num átomo não podem ter o mesmo conjunto de números quânticos

Este princípio aplica-se a todos os fermiões, que são partículas com spin ½, como o electrão, protão e neutrão

smmn , , ,

Estrutura Atómica

Hidrogénio ) , , ,( smmn = (1, 0, 0, ±½) no estado fundamental

Na ausência dum campo magnético, o estado ms = ½ é degenerado com o estado ms = −½ Hélio: (1, 0, 0, ½) para o primeiro electrão.; (1, 0, 0, −½) para o segundo electrão.Os electrões tem spins anti paralelos (ms = +½ and ms = −½)

Associamos letras ao número quântico principal: n = 1 2 3 4...Letra = K L M N…

n = camadas (camada K, camada L, etc.)n = subcamadas (1s, 2p, 3d)

  Tipo de subnível de energia        s        p        d        f Nº máximo de electrões 2        6       10      14      

Até hoje são conhecidas sete camadas electrónicas, e suas subcamadas estão descritas no diagrama de Linus Pauling, onde a ordem crescente de preenchimento dos electrões está indicado pelas setas:

Cada orbital está limitado a dois electrões e por isso o número de electrões por camadas é limitado. Para átomos com dois electrões em 2p, utilizamos a regra de Hund que diz: “O preenchimento dos orbitais de um mesmo subnível deve ser feito de modo que tenhamos o maior número possível de electrões isolados, ou seja, desemparelhados”

• Electrões com valores mais altos de sofrem menos o efeito da carga nuclear • Electrões com valores mais altos de têm mais energia

• 4s é preenchido antes que 3d, 5s é preenchido antes que 4d …….(diagrama de Linus Pauling)

Tabela Periódica

Mesmo número de electrões em

Podem formar ligações químicas similares

Grupos e Períodos

Grupos: Colunas Verticais

Período: Linhas Horizontais

Correspondem ao preenchimento das subcamadas

Gases Inertes

Alcalinos

• Último grupo da tabela periódica• Tem a subcamada p fechada excepto para o Hélio• Estes átomos interagem fracamente com os outros átomos• Spin líquido zero e grande energia de ionização

• Um único electrão s electrão fora de uma camada interna• Formam facilmente iões positivos com carga +1e• Tem a mais baixa energia de ionização• A condutividade eléctrica é relativamente boa

Alcalinos Terrosos • Têm dois electrões s nas camadas mais externas• Têm o maior raio atómico• Possui alta condutividade eléctrica

Halogéneos • Necessitam de mais de um electrão para preencher a subcamada mais externa• Formam ligações iónicas fortes com os alcalinos•As configurações mais estáveis ocorrem quando a subcamada p é preenchida

• Três linhas de elementos em que 3d, 4d, e 5d são preenchidos• As propriedades são determinadas primeiramente pelos electrões s, em vez dos electrões da subcamada d que começa a ser preenchida• Têm electrões d com spins desemparelhados• Quando a subcamada d é preenchida, os momentos magnéticos, e a tendência para que átomos vizinhos alinhem os seus spins fica reduzida

Metais de Transição

•Tem a subcamada mais externa 6s2 completa• Assim como ocorre na subcamada 3d, os elétrons na subcamada 4f tem electrões não emparelhados que se auto alinham• O grande momento angular orbital contribui para um grande efeito ferromagnético

Lantanídios (terras raras)

• As Subcamadas mais internas começam a ser preenchidas enquanto a subcamada 7s2 está completa• É difícil obter dados químicos porque são todos radioactivos• Têm meias-vidas longas

Actinídios