Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de São Carlos Departamento de En~enharia Elétrica

(;ADERNO DE EXER(;Í(;JOS

SEL 309 • ELETROMAGNETISMO

Prof. Titular Ruy Alberto Co•·•·êa Altafún Prof. Dr. Diógenes Pereira Gonzaga

São Carlos, julho de 2006 reimpressão

SUMÁRIO

CADERNO DE EXERCÍCIOS

SEL 309- ELETROMAGNETISMO

Prof. Titular Ruy Alberto Corrêa Altafim

Pro f. Dr. Diógenes Pereira Gonzaga

INTRODUÇÃO 5

ANÁLISE VETORIAL 7

CAMPO ELÉTRICO 15

LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 21

ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELÉTRICO 23

CONDUTORES, ISOLANTES E CAPACIT ÂNCIA 24

EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON 28

MAGNETISMO 29

LEI CIRCUIT AL DE AMPERE E POTENCIAL VETOR 33

INDUT ÂNCIAS 35

ENERGIA NO CAMPO MAGNÉTICO 36

FORÇAS ELETROMOTRIZES INDUZIDAS 36

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 38

3

INTRODUÇÃO

Esta coletânea de Exercícios visa dar suporte à Disciplina SEL309-Eletromagnetismo, permitindo ao aluno exercitar-se no assunto, não necessitando recorrer à extensa bibliografia procurando exercícios.

Entretanto, considerando que as apostilas se constituem em meros auxiliares pedagógicos, é importante lembrar que a consulta aos livros é a fase mais importante da complementação do aprendizado, pois isso permite que se tenha em mente os diversos pontos de vista sobre o assunto.

Resta então ao aluno tirar o máximo proveito possível deste trabalho.

os autores.

5

1. ANÁLISE VETORIAL

1.1. Quais das seguintes grandezas são escalares e quais são vetoriais?

(a) Energia cinética

(b) Intensidade do campo elétrico

(c) Entropia

(d) Trabalho

(e) Força centrífuga

(f) Temperatura

(g) Potencial gravitacional

(h) Carga

(i) Tensão de cisalhamento

U) Freqüência

1.2. Um avião percorre 200 Km para o oeste e depois 150 Km a 60° NO a partir do norte. Determinar o desloçamento resultante

(a) graficamente

(b) analiticamente

1.3. Um ponto móvel está solicitado por três forças, de acordo com a Figur<: 1.1. Determinar a força necessária para evitar o deslocamento do móvel.

200N

" so" 1-----, ___ .._ 150 N

lOON

Figura 1.1 -Ponto móvel solicitado por três forças

7

- - -(a) 2A + B + 3C ;

(b) IÃ+B+CI ;

(c) 13Ã-2B+4cl e

- - -(d) Um versar paralelo a 3A- 2B + 4C

1.6. Mostrar que os vetores A= 3ãx - 2ãy + ãz, B = ãx- 3ãy + Sãz e

C = 2ãx + ã Y - 4ã z formam um triângulo retângulo.

1.7. Achar a projeção do vetor A = ãx- 2ãy + ãz sobre o vetor

B = 4ã X - 4ã y + 7 ã z .

1.8. Provar que as diagonais de um losango são perpendiculares.

1.9. Um vetor B é dado por B = - ãx + 2ãy + 3ãz.

Um vetor à tem módulo igual a .J3 e a componente em x unitária. Determine à de modo que A e B sejam perpendiculares entre si

1.10. Um vetor pertence ao plano xy e é dado pela equação:

(a) Qual é a expressão de B em coordenadas cilíndricas?

(b) Quais são o módulo e a direção de B no ponto x=3, y=4?

8

1.11. Um vetor A é dado por A = ra, + ral/!

(a) Descreva, matematicamente, o lugar geométrico dos pontos (x,y) ou (r,<j>) onde o

módulo de A é constante.

(b) Encontre os pontos do plano xy em que A faz um ângulo de 45° com o eixo

dos x e tem I Ã I = .J2 .

1.12. Dados: Ã = 4ay + lOaz e B = 2ax + 3a.v calcule a projeção de A sobre

B.

1.13.Dados à =(lOJ.fi)(ax + az)e B =3(ax +aY),expresseaprojeçãode - - -B sobre A , segundo a direção de A .

1.14. Calcule o ângulo entre A = 1 Oa Y + 2a z e B = -4a.v + O,Saz usando as

defin ições de produto escalar e de produto vetorial.

1.15. Repita o problema anterior para: Ã = l,55a~ e B = - 6,93ax + 4,0az .

1.16. Ache o vetor unitário normal ao plano 4x + 3y + 2z = 12 (para o sentido "afastando" da origem).

1.17. Mostre que, para que os campos vetoriais A e B sejam perpendiculares em qualquer ponto, então AxBx + AyAy + AzBz = O.

1.18. Obtenha as relações que devem ser satisfeitas entre componentes cartesianas de

dois campos vetoriais A e B para que sejam paralelos em todos os pontos do espaço.

9

1.19. Calcule o vetor unitário que orienta o segmento de reta que vai de um ponto genérico da reta x=O, y=3, até a origem.

1.20. Calcule o valor unitário que orienta o segmento de reta que liga um ponto genérico do Plano y = -5 ao ponto (x, y1, z 1).

1.21. Obtenha a expressão do vetor unitário que orienta o segmento de reta que liga um ponto do plano z= -2 ao ponto (0, O, h). Explique o resultado para quando h= -2.

1.22. Dados à = 5ax e B = 4ax + BYaY, calcule By de modo que o ângulo entre

à e B seja 45°. Se B contiver, ainda, um termo Bzaz, qual a relação que deve haver entre By e Bz?

1.23. Mostre que o valor absoluto do produto triplo escalar A .(BxC) . é igual ao

volume dó paralelepípedo cujas arestas são Ã, B e C . (Sugestão: mostre

primeiramente que a área da base é igual a Ji3xcJ)

1.24. Dados:Ã=2ax-az; B=3ax +aY e C=-2ax +6aY - 4az mostre

que C é perpendicular, mutuamente, a à e a B .

1.25. Dados: A= ax- ay, B = 2ãi. e C= ãx + ãy + 3ãz. Calcule Ã.(BxC). Examine outras variações do produto triplo escalar.

1.26. Usando os vetores do Problema 1.25, calcule o produto triplo: (ÃxB ~{; .

1.27. Calcule o vetor unitário que orienta o segmento de reta que liga (2, -5, -2) a (14, -5, 3).

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1.28. Mostre ser impossível usar o método do Problema 1.27 para coordenadas cilíndricas, para os pontos (r1, <j> 1, z1) e (r2, <j>2, z2) . Verifique o mesmo problema para coordenadas esféricas.

1.29. Verifique que a distância entre os dois pontos dados no problema 1.28 vale:

1.30. Calcule o vetor que liga (I O, 3:n:/4, :n:/6) a (5, :n:/4, n), pontos expressos em coordenadas esféricas.

1.31. Ache a distância entre (2, :n:/6, O) e ( 1, n , 2), pontos expressos em coordenadas cilíndricas.

1.32. Calcule a distância entre (1, n/4, 0) e (1, 3n/4, n/4) , pontos expressos em coordenadas esféricas.

1.33. Calcule a área da região O < <!> < a, de uma casca esférica de raio a, usando coordenadas esféricas, efetuando cálculo integral. O que ocorre para o caso a = 2n?

1.34. Calcule a área da superfície curva de um cilindro circular reto de raio a e altura h usando coordenadas cilíndricas.

1.35. Use coordenadas cilíndricas para obter o volume do cilindro circular reto do problema 1.34.

1.36. Use coordenadas esféricas para obter as áreas diferenciais ds 1 e ds2, integrando­as depois para calcular as áreas superficiais da Figura 1.2, marcadas com 1 e 2, respectivamente.

11

z

X

Figura 1.2

1.37. Calcule o volume de uma casca hemisférica de raio interno 2,00m e raio externo 2,02m usando coordenadas esféricas.

1.3.8. Calcule o elemento diferencial de volume inerente ao volume definido por 1:::;; r :::;; 2,0m, o :::;; e :::;; n/2 e o :::;; <1> :::;; n/2 (use coordenadas esféricas) integrando depois o resultado anterior para calcular o volume global.

1.39. Expresse o campo vetorial : A = Axãx + A>' ã>' em coordenadas cilíndricas.

1.40. Escreva o campo vetorial : A = Arãr + Ar/lãr/! em coordenadas cartesianas.

1.41. Transforme o campo vetorial F= r- 1ãr em coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas.

12

1.42. Usando coordenadas cilíndricas, r = constante define um cilindro circular reto.

Supondo que F = Fãr seja uma força normal a todos os pontos da superfície

mencionada, expresse esta última e a força em coordenadas cartesianas.

1.43. Escreva o campo vetorial: F = 2. cose ãr + sen e ãrp em coordenadas

cartesianas .

1.44. Mostre que o segmento da reta ligando M( x1 , y 1 , z1 ) a N( x2, y2, z2 ) indicado na Figura 1.3 pode ser escrito como o seguinte vetor:

1.45 . Esboce, em coordenadas cilíndricas, o campo F = 2r.cos cp ãr + rãr/!. Veja

a Figura 1.3.

1.46. Esboce o campo vetorial do Problema 1.42 em coordenadas esféricas.

z

Figura 1.3

1.47. (a) Achar a equação de um plano perpendicular a um dado vetor A e distante p da origem.

(b) Escrever a equação encontrada no item (a) em coordenadas cartesianas.

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1.48. Se ~ e r2 forem vetores unitários s ituados no plano xy e que fazem os

ângulos ex e JS, respectivamente, com o sentido positivo do eixo dos x,

a) Provar que ~ =cosa ax + sen a ay e r2 = cos {3 ax + sen {3 ay

b) b) Aplicando o produto escalar ~ .r2 provar as fórmulas trigonométricas:

c os( a - ~ ) = cos a c os ~ + sen a sen ~ e cos( a + ~ ) = c os a cos ~ - sen a sen ~

1.49. Se a for o vetor posição de um ponto dado (r1 , y1 , z 1) e r o de um ponto qualquer (x, y, z). Que lugar geométrico descreverá r se

(a) I r- a I = 3

(b) c r- a) . a =o (c)(r-a). r =O

1.50. Achar a distância do ponto (6, -4, 4) à reta que passa pelos pontos (2, 1, 2) e (3,-1,4). .

1.51. Dados os pontos P(2, 1, 3), Q(1, 2, 3), R(-1, -2, -3) e S(l, -4, 0), achar a distância entre as retas PQ e RS.

1.52. Provar que (ÃxB).(CxD) + (BxC).(ÃxD) + (CxÃ).(BxD) =O

1.53. Sabendo-se que a função potencial escalar V e as componentes Dx, Dy e Dz do

vetor deslocamento D são funções das variáveis ( x, y, z ), ou melhor:

V= V(x,y,z) e D = Dxax + Dyay + Dzaz com Dx=Dx(x,y,z), Dy=Dy(x,y,z) e

Dz =Dz (x, y, z), provar a identidade vetorial abaixo:

V.(VD) = D.(VV) + V(V.D)

onde o operador vetorial nabla, em coordenadas cartesianas, é dado por:

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n a_ a_ a_ v =-a +-a +-a ax X ay y az z

2. CAMPO ELÉTRICO

2.1. Considere uma carga distribuída uniformemente sobre um condutor filiforme, colocado sobre o eixo z. A densidade linear de carga é PL = Constante, como é mostrada na Figura 2.1.

Calcule o campo elétrico num ponto P qualquer, de dois modos diferentes, pela aplicação da expressão:

E= f pLdl ã, 4nE0 R2

e, também, pela aplicação da lei de Gauss

Qual é o sistema de coordenadas mais convenientes para este problema?

L .,.

p 1

Figura 2.1

2.2. Calcule o campo elétrico no ponto P indicado na Figura 2.2; a carga elétrica distribui -se uniformemente sobre o fio ( PL = constante ). Faça considerações quanto à simetria, a fim de determinar a direção e sentido do campo elétrico. Calcule a

seguir, o campo E no ponto Q . .

Q

L2/2 1--u-1 L2

Figura 2.2

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2.3. Dado o vetor campo elétrico E= (y + 1)ãx + xãy, mostre que as linhas de

campo são dadas por (y + 1)2 = x2 +C. Esboce as linhas de campo para C= ±1 e ±2; indique, também, as equipotenciais.

2.4. Determine as equações da linha de campo e esboce o campo para

E = -ex (sen y ã x +c os y ã Y ), na direção -n/2 < y < n/2. Esboce também as

equipotenciais.

2.5. Considere a seguinte situação: uma esfera de raio a apresenta-se carregada com carga Q; envolvendo esta esfera temos um dielétrico com permissividade E1 (E; = E,;.€0 ), cuja espessura é ( b - a ), e , envolvendo este dielétrico, temos um segundo dielétrico com permissividade E2 e espessura ( c - b ). Sobre este segundo dielétrico é colocada uma segunda superfície esférica condutora que fica carregada com uma carga induzida (-Q). Admitindo-se que a carga -Q distribua-se uniformemente pela esfera interna que tem permissividade E3 (ou seja, p =constante) , calcule os vetores - -D e E e indique num gráfico a variação do módulo desses vetores com a distância ao centro das esferas.

2.6. Considere um elemento incrementai de volume em coordenadas esféricas, de lados dr, rd8 e r.sen8.d~, centrado num ponto qualquer (r0 , 80 , 0 0 ), onde

Do = Droãr + Deiie + D0oã~ ·

Calcule o fluxo que atravessa cada face, e mostre que a carga contida vale:

2.7. Considere o campo elétrico E= yãx + xãy + 2ã0

• Calcule o trabalho

realizado para se transportar uma carga de 2C de B = (1; O; 1) até A = ( 0,8; 0,6; 1). Use dois caminhos diferentes: um deles o arco da circunferência x2 + / = 1; z = 1 de B até A, e o outro um segmento da reta que una os dois pontos.

2.8. Calcule o campo elétrico no ponto P da Figura 2.3, pela fórmula exata, calculando R 1 e R2, e depois compare com o resultado obtido pela fórmula aproximada. Verifique se é verdade que R 1R2 =: r2 e R2 - R 1 =: d cos 8.

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7 PIO.lO. IOJm

·<J

Figura 2.3

2.9. Calcule a força que age sobre uma carga pontual de 501J.C localizada em (0,0,5)m, devido a uma carga pontual de 500n~J.C, situada na origem.

2.10. Calcule a força que atua sobre uma carga pontual de 301J.C, localizada em (0,0,5) m, devido à presença de um quadrado de 4m2

, no plano z =O, entre x =±2m e y =±2m, que contém uma carga total de 500 ~J.C uniformemente distribuída.

2.11. Mostre que a força que atua sobre uma carga pontual localizada em qualquer ponto interno a um anel uniformemente carregado é nula, desde que a carga pertença ao plano do anel.

2.12. Duas cargas pontuais idênticas de Q(C) estão separadas por uma distância

d(m). Calcule o campo elétrico E para pontos pertencentes ao segmento que liga as duas cargas.

2.13. Sobre os vértices de um cubo de lado C(m) há oito cargas pontuais idênticas de

Q(C). Mostre que a força que age sobre cada carga vale ( 3,29 Q214n E0 i )N.

2.14. Mostre que o campo elétrico E, externo a uma casca esférica que possui

densidade superficial uniforme de cargas Ps , é igual ao campo E total devido à carga localizada no ponto central da casca.

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2.15. Calcule a expressão do campo elétrico usando coordenadas cartesianas, devido a uma configuração linear, infinitamente longa, com densidade uniforme Pe.

2.16. O eixo z de um sistema coordenado contém uma distribuição de cargas com

densidade P1 = 20nC/m. Calcule o campo elétrico E em ( 6, 8, 3 )m, expressando­o em coordenadas cartesianas e cilíndricas.

2.17. Existem duas configurações lineares, com densidades iguais p, = 4 nC/m,

paralelas ao eixo z, localizadas em x=O, y= ± 4m. Determine o campo elétrico E em (-4, O, z)m.

2.18. Duas configurações lineares, com densidade iguais p1 = 5 nC/m, são paralelas a_? eixo x, uma em z = O, y = 2m, e outra em z = O, y = 4m. Calcule o campo elétrico E em ( 4, 1, 3 )m.

2.19. Calcule o campo elétrico na origem, devido a uma distribuição uniforme de cargas com densidade p1= 3,30 nC/m localizada em x=1m, y =4m.

2.20. A dois metros do eixo z, o campo elétrico E, devido a uma distribuição linear uniforme de cargas localizada sobre esse eixo, vale 1,80 x 104 V/m. Calcule a densidade linear de cargas p1 da configuração.

2.21. O plano -x + 3y -6z + 6m contém uma distribuição uniforme de cargas com

densidade Ps= 0,53nC/m2

. Calcule o campo elétrico E relativo ao semi-espaço que contém a origem.

2.22. Duas películas infinitas com den~Wade uniforme iguais a p, = (10-9!6n) C/m2

estão localizadas em z = -5m e 2-~ ·+5m. Calcule a densidade linear uniforme p , p ,

necessária a produzir o mesmo valor de E em (4,2.2)m, supondo que esta última se localize em z= O, y = (J

2.23. Uma certa configuração engloba as duas seguintes distribuições uniformes. Uma película com p, = -50nC/m

2 , em y = 2m, e uma reta carregada, com pP = 0,2

~-tC/m, situada em z=2m,y =-1m. Em que pontos o campo E será nulo?

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2.24. Uma película uniformemente carregada com p, = ( -113n ) nC/m2 está localizada em z=5m, e uma reta, também uniformemente can·egada, com p1 = -25/9

nC/m está situada em z=-3m, y =3m. Calcule E em (0,-l ,O)m

2.25. Um fi lamento retilíneo uniformemente carregado, com densidade p1 =( .J2 x 10-8/6) C/m, acha-se localizado ao longo do eixo x, e uma película uniformemente carregada, com densidade p5 , está localizada em y = 5m. Na reta y =3m, z =3m, o

campo elétrico E possui apenas componentes z. Quanto vale a densidade da película?

2.26. Um fi lamento retilíneo uniformemente carregado acha-se localizado em x =

3m, y = 4m, com densidade Pe = 3.30nC/m. Há também, uma carga pontual de Q(C) a em da origem. Calcule a carga Q e sua localização, de tal maneira que o campo elétrico seja nulo na origem.

2.27. Um anel circular eletricamente carregado, com raio 2m, está no plano z =O, com centro localizado na origem. Se sua densidade uniforme for p, = 10 nC/m, calcule o valor de uma carga pontual Q, na origem, capaz de produzir o mesmo

campo elétrico E , em ( O, O, 5 )m.

2.28. O disco circular, r ::; 2m, localizado sobre o plano z = O, possui densidade de

cargas p, = 10-8/r ( C/m2 ). Determine o campo elétrico E em (O, cp, h ).

2.29. Examine o resultado do Problema 2.29 para quando h for superior a 2m e compare-o com o campo em h, que resulta quando a carga total do disco estiver concentrada na origem.

2.30. Uma película finita, carregada com densidade: p, = 2x ( x2 + l + 4 )312 (C/m2),

pertence ao plano z = O, onde O ::; x ::; 2m e O ::; y ::; 2m. Calcule E em ( O, O, 2 )m.

2.31. Calcule o campo elétrico E em ( 8, O, O )m, devido a uma carga de 10 nC distribuída uniformemente sobre o eixo x, entre x = -5m e x = 5m. Repita o problema para a mesma carga total entre x =-1m e x = lm.

19

2.32. 0 disco circular definido por ~ ~ 1m, z = O possui densidade de cargas

p,=2(r2 + 25)3/2. e· 10' (C/m2). Calcule E em ( O, O, 5 )m.

2.33. Mostre que o campo elétrico em qualquer ponto interno a uma casca esférica uni formemente carregada é sempre nulo.

2.34. Um volume esférico, de raio a, apresenta uma densidade uniforme p. Mostre que o campo elétrico é dado por:

rp -r~a -- a

E= 3Eo r

3 a p -r?.a - - -2 a,.

3E0r

2.35. Duas linhas infinitas de carga são paralelas e di stantes de d. As densidades de carga de cada uma delas são, respectivamente, PL e -PL· Prove que as linhas de campo são círculos.

2.36. Determine a equação diferencial para as linhas de campo em coordenadas cilíndricas.

2.37. Um capacitar esférico tem um condutor interno de raio a que é recoberto com um dielétrico concêntrico tendo como raio externo b. O condutor do capacitar tem raio interno c. Determine a intensidade do campo elétrico, na região compreendida entre os raios b e c, quando existir uma diferença de potencial V aplicada entre os dois condutores.

2.38. Sejam duas linhas isolantes infinitas contendo cada uma delas, respectivamente, uma distribuição linear de carga PL e -PL e separadas por uma distância d. Calcule a expressão do campo elétrico no plano perpendicular ao plano das cargas e distante d/2 de cada uma delas.

2.39. Um cubo de lado lm tem seu centro posicionado na origem do sistema de coordenadas. Em seu interior existe uma densidade de cargas igual a Pv· Calcular o campo elétrico no ponto P (0,0,3) .

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3. LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA

3.1. Calcular o fluxo elétrico que atravessa as superfícies:

a) placa plana<!>= 45°; 3 :::; z :::; 7 e 2 :::; r:::; 5;

b) casca ci líndrica 45° :::; <!>:::; 60° ; 5 :::; z :::; 8 e r = 2;

c) placa plana z = 2, O:::; r:::; 3; 45°:::; <1> :::; 80°

devido ao campo dado por: - 5 E = - a,. + 3cfJ a:

r

3.2. Calcular aproximadamente a carga contida no interior do cilindro de raio de base 10"5cm e altura h = 10"2 mm, localizado no ponto P( 2, 3, 4 ), devido ao campo vetor

deslocamento í5 = lOxa. + eyx a + ~lOxz a_ existente em todo o espaço. .\ y (..

3.3 . Qual a carga contida em um cilindro cujo raio da base é de Sem e altura h = lücm, posicionado como indicado na Figura 3.1., devido ao campo do exercício 3.2.

Figura 3.1.

21

3.4. Calcular a expressão do vetor D em todo espaço, sabendo-se que nesse espaço existe uma distribuição volumétrica de cargas igual a e

2r, onde r é uma das

coordenadas do sistema cilíndrico.

3.5. Uti lizando-se a lei de Gauss determine o campo elétrico em todo espaço, devido a uma placa finita , carregada com uma densidade superficial de cargas Ps =10-

6C/m

2•

3.6. Imagine, agora a existência de duas placas infinitas separadas por uma distância "d" e ambas carregadas, respectivamente, com as densidades Psl = 10-

6 C/m

2 e Ps2 =

-2 x 10·6 C/m2. Como você calcularia o campo elétrico em todo o espaço?

3.7. Calcule o fluxo de vetor f5 que atravessa a superfície esférica da Figura 3.2. Sabendo-se que existe uma densidade linear de cargas PL = 10·

3 C/m localizada sobre

o eixo z e uma placa paralela ao plano xy infinita contendo uma densidade superficial de cargas Ps = 10·2 C/m2

, passando pelo ponto y = 1,5m nesse espaço.

- 2 2 3.8. Se D = 20r ãr C I m . Pede-se:

a) Qual a densidade volumétrica de cargas para o ponto p (0,5; 60°; 2);

b) Use dois diferentes métodos para encontrar a carga contida no interior da superfície fechada r = O, 10m (esfera centrada na origem).

p s

X

Figura 3.2. Obs.: r= 2m

22

4. ENERGIA POTENCiAL E POTENCIAL ELÉTRICO

4.1. Calcular o trabalho para levar uma carga q = 5)-lC desde a origem até o ponto(2m; n/4; n/2) no seguinte campo:

4.2. Calcular a d.d.p. entre A(2m; n/2; 0) e B(4m; n; 5m) num campo devido a uma distribuição Pt = 5 x 10· 1° C/m, localizada sobre o eixo Z.

4.3. Uma distribuição linear de cargas com p1 = 1nC/m, coincide com um quadrado de 6m de lado. Calcular o potencial num ponto localizado a 5m do centro do quadrado, sobre uma reta perpendicular ao plano do quadrado.

4.4. Mostre que o potencial, devido a uma distribuição retilínea com densidade p1 e comprimento L, a uma distância d do centro da reta é:

4.5. Mostre que o potencial na origem devido a uma distribuição superficial uniforme Ps sobre um anel local izado em Z =O e R< r~ R+1 é independente de R.

4.6. Trazer 4 cargas, uma de cada vez, do infinito até os vértices de um quadrado localizado em ( 1, 1,0 ), (-1, 1,0) e ( 1, -1,0 ). Analisar o que ocorre em termos de energia com a chegada de cada carga, com q = 1nC.

4.7. Calcular o potencial devido a um dipolo elétrico, a uma distância r >>d e as cargas± q localizadas em y = ± d/2, respectivamente.

4.8. Calcular a energia armazenada na Região r > a (esférica) devido a uma carga q uniformemente distribuída sobre a superfície esférica de raio a.

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4.9. Duas placas planas e paralelas , no ar, de dimensões 0 ,5 x l ,Om e separação 0,02m entre elas a uma d.d.p. lOY. Calcular a energia armazenada.

4.10. Dado E = - Se -y, a,. em coordenadas cilíndricas, calcular a energia

armazenada na região r ~ 2a e O :o:; z :o:; 5a.

4.11. Calcular a diferença de potencial entre os pontos A ( 2, 30°, 5) e B ( 1, 10°, 2), sabendo-se que no espaço existe um campo elétrico expresso por

E = - Syãy + 2ãz.

S. CONDUTORES, ISOLANTES E CAPACITÂNCIA

5.1. Calcular a mobilidade dos elétrons de condução no alumínio cuja condutividade

é 0 = 38 x 106 Sim e a densidade de elétrons de condução Ne = 1,7 x 1029 m·3•

5 .2. Repetir para o cobre com cr = 58 x 106Sim e Ne = 1,13 x 1029m-3.

5.3. Determinar o número de elétrons de condução em 1 m3 de Tungstênio, cuja densidade é l8,8xl 03kglm3 e peso atômico 184,0. Assumir dois elétrons de condução por átomo.

5.4. Determinar o número de elétrons de condução de 1m3 de cobre (condutividade cr = 58x106Sim) mobilidade eletrônica 1-! = 3,2x10-3m3Ns. O peso atômico é 63,54 e a densidade 8,96xl03kglm3

•

5 .5 . Uma barra de cobre de seção reta 0,02 x 0,08m e comprimento 2,0m apresenta uma queda de tensão 50mY. Calcule resistência, corrente, densidade de corrente, campo elétrico e velocidade de deriva dos elétrons de condução.

24

5.6. Calcular a corrente total em um condutor de seção circular de raio 2mm, para

103

uma densidade de corrente ] = -- Alm2•

r

5.7. Dada uma região no espaço, em coordenadas esféricas, preenchidas com cobre, calcular a resistência elétrica da região. Usar cr = 58x 106 Sim e considerar um campo

E devido a uma carga puntual na origem.

{

0,5 ::; r ::; l,Om

Região n I 4::; 8::; n 13 Rad

n I 4 ::; (jJ ::; n I 2 Rad

5.8 . Um campo elétrico E= 0,2ax - 0,3aY - 0,2ax V I m é observado em

um ponto de uma superfície condutora. Calcule a densidade superficial de cargas no ponto.

5.9. Dados dois capacitares de placas planas e paralelas com capacitância C 1 e C2 ,

mostrar que a capacitância série é C 1C21 ( C 1+C2 ).

5.10. Considerando-se os mesmos capacitares do Exercício 5.9, mostrar que a capacitância paralela é C 1 + C2•

5.11. Calcule a capacitância do conjunto da Figura 5.1:

s

Figura 5.1.

5 .12. Calcular a capacitância do conjunto da Figura 5.2:

25

s, s2 1'

f: I 1':2 I, ~

Figura 5.2.

5.13 . Calcular a capacitância do cabo coaxial utili zando o conceito de energia armazenada.

5 .14. Calcular a força entre as placas de um capacitar de placas planas e paralelas que são mantidas a uma tensão constante V, considerar E permissividade, espessura d e área das placas S.

5.15. Calcule a força no dielétrico do capacitar da Figura 5.3, considerar que suas placas são mantidas a tensão constante V e que medem L x L.

r-----------------0

I I-

V (cor te)

~----------------0 .. X

Figura 5.3

5.16. Um dispositivo elétrico de forma não definida apresenta resistência elétrica R= 275Q, condutividade cr = 2,lxl04S/m e permitividade relativa ER = 1,5. Calcular a capacitância do dispositivo.

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5.17. Seja uma superfície esférica condutora isolada, de raio R. Considere-se que a mesma está recoberta por uma camada de dielétrico de espessura n. Obter a expressão da capacitância do conjunto.

p/ R< r< R+ a E = E1

p/ R + a :<::; r < oo E = E0

5.18. Calcule D num dielétrico em que Xe = 1,6 e P = 3,05x10.7 C/m2

5.19. Dados E= O, 15 x 106V/m e Xe = 4,25 calcule D, P e E, para um di elétrico.

5.20. Dados E= -3ãx + 4ãy- 2ãz V/m na região Z < O, onde E, = 2,0.

Obtenha E na região z >O, onde E,= 6,5.

5.2 1. A interface plana entre dois dielétricos é dada por 3x + z = 5. Do lado que

inclui a origem D1 = (4,5ãx + 3,2ãz )10-7 CJ:n2 e E,1 = 4,3 e de outro lado Er2

= 1,8. Calcule E 1, E2• D2 e () z.

5.22. A regwo, em coordenadas cilíndricas, preenchida com dielétrico E, = 5,5

constitui um capacitor (0,02 :<::; r :<::; 0,025m, n I 6 ~ <j> :<::; n/3 rad e O :<::; z :<::; 0,06m). Calcular as capacitâncias nas seguintes circunstâncias:

a) placas condutoras coincidindo com as superfícies curvas;

b) placas condutoras coincidindo com as faces planas verticais.

5.23 . Calcular a capacitância por metro de comprimento de um cabo coaxial de raios interno 0,75cm e externo 2,25cm com um dielétrico de E,= 5,2 entre os condutores.

27

6. EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON

6.1. Duas grandes placas paralelas metálicas distam entre si .1~; a tensão na placa 1 é V = O e a placa 2, V = 100V. Obter a distribuição de potenciais entre as placas.

6.2. Uma esfera metálica de raio a é carregada com carga q . Obter V(r) para r> a. Supor V(oo) =O. Fora da esfera Pv = O e Y'2V =O

6.3. Calcular a distribuição de potenciais entre os dois condutores de um cabo coaxial de raios a (interno) e b (externo), nos casos em que:

a) Pv = O no dielétrico entre os condutores;

b) Pv *O no dielétrico entre os condutores.

Obs.: nos dois casos o condutor interno está carregado com Ps e V(a) = V(b) = O Volt.

6.4. Um cilindro metálico, infinito, de raioª está carregado com Ps uniforme. Obter a distribuição de potenciais para r > a, considerando que na superfície do cilindro v = Vo · (Pv=O).

6.5. Mostrar analiticamente como a Equação de Laplace pode ser resolvida pelo Método das Diferenças Finitas.

28

7. MAGNETISMO

7.1. Considerando que uma carga pontual positiva q e massa m, entra numa região

em que B = Ba y com velocidade v = VI ax + v2a y, determinar a trajetória da carga no campo.

7.2. Seja um di sco plástico de raio R, carregado com Ps uniforme, girando com

velocidade angular w. Calcular B no centro do disco.

7.3. Calcular a força sobre o condutor em for~a de semi-circ~nferência de raio R, que conduz uma corrente I, devido ao campo magnético cuja densidade de fluxo

magnético de valor B = Baz como na Figura 7.1:

y

Figura 7.1.

7.4. A Figura 7.2 representa uma faixa de material condutor de largura a e espessura desprezível (tipo fenolite cobreada) conduzindo uma corrente I, uniformemente

distribuída na largura. Calcular B a uma distância L do eixo da faixa.

29

p

L

I

Figura 7.2.

7.5. Uma chapa condutora de largura a/2 e muito longa, conduz uma corrente I uniformemente distribuída na sua largura, conforme mostra a Figura 7.3. Calcular as componentes Bx e By do vetor densidade de fluxo magnético no ponto P.

y

a/2

a

Figura 7.3.

p I ... X

7.6. Calcular o módulo e o ponto de aplicação da força numa haste condutora de comprimento f , que conduz h. a qual está localizada em uma posição radial em relação a um condutor retilíneo infinito que conduz lt. mantendo uma distância d entre sua extremidade e o condutor retilíneo infinito.

30

7.7. Seja uma superfície esférica de raio R recoberta por um número n muito grande de espiras, todas locali zadas em planos normais a um eixo da esfera (por exemplo, eixo z e as espiras em planos que variam "quase" continuamente desde Z = -R até Z

=R) . Calcular B sobre o eixo se o enrolamento for percorrido por uma corrente I.

7.8. Um elétron penetra numa região onde há um campo, perpendicularmente a este, nos casos em que o campo é: (a) elétrico, (b) magnético (neste caso representado por

B ). Expl ique o comportamento do elétron em cada caso, considerando finita sua velocidade v.

7.9. Calcular B devido a uma corrente I que percorre um solenoide de raio R e

comprimento f, de N espiras, num ponto do seu eixo, interno ao solenoide. O que

acontecerá se f >>R?

7.10. Calcular o flu xo do vetor B, devido à corrente I que percorre o condutor retilíneo muito longo, através da espira retangular como na Figura 7 .4., a seguir.

! .... h

Figura 7.4.

I ..

7.11. Dada uma espira retangular de lados a e b, num campo B = Bã.v de tal forma

que a espira possa girar em tomo de seu eixo coincidente com o eixo x, como na

31

Figura 7.5, mostrar que o conj~gado q~e surge sobre a espira, quando esta é

percorrida por uma corrente I, é T = m X B

z

íi --

Figura 7.5.

7.12. Um condutor retilíneo longo conduz I e está localizado paralelo a uma folha plana condutora de largura w, que conduz uma corrente filamentar K. Obter a expressão para a força por unidade de comprimento sobre o condutor. Qual o resultado se a largura w tende a infinito?

7.13. Um medidor de D' Arsonval de bobina móvel tem um campo radial uniforme com B = 0,1 Te uma mola restauradora com torque T = 5,87 x 10·5 (m.N), onde o ângulo de giro 8 é dado em radianos . A bobina contém 35 espiras e mede 23mm por 17mm. Qual vai ser o ângulo de giro quando a bobina conduzir I = 15mA?

7.14. Um condutor conduzindo I atravessa perpendicularmente uma folha condutora que conduz uma corrente filamentar K. Calcule a força por unidade de comprimento sobre o condutor acima e abaixo da folha.

7.15. Um condutor de comprimento f. localizado ao longo do eixo x conduz I no

sentido ã x. Encontre o trabalho feito ao se girar o mesmo em velocidade angular

constante, em tomo do eixo z, até o eixo y, num campo B = Bãz uniforme.

32

7.16. Uma espira retangular de largura w e comprimento f. é submetida a

iJ = Bã_ . Mostrar que o trabalho feito ao se mover a espira ao longo do eixo x em <

velocidade constante é nulo.

8. LEI CIRCUITAL DE AMPERE E POTENCIAL VETOR

8.1. Calcular B num ponto fora de um cilindro condutor longo, conduzindo uma

densidade de corrente uniforme J. Como fica B no interior do condutor?

Figura 8.1

8.2. A Figura 8.2 mostra um tubo cilíndrico condutor de raios a (interno) e b (externo), muito longo, que conduz uma corrente I uniformemente distribuída na

seção. Calcular B para:

a) O< r< a b)a<r<b c) r> b

33

++ ++

Figura 8.2.

8.3. Calcular o campo B nos seguintes pontos da seção do condutor cilíndrico de raio b que possui um vazio cilíndrico de raio a cujo eixo está a uma distância c do centro do condutor, que conduz uma corrente I uniforme.

a) O< r< c-a b) r = c c) c+a <r< b

+ + +

Figura 8.3

8.4. Calcular B no eixo de um indutor toroidal, com raios R, do toroide e r, das N espiras, bem juntas, distribuídas uniformemente ao longo do toroide e conduzindo uma corrente I (obs.: formato toroidal "câmara de ar cheia")

8.5. Dado o cabo coaxial de raios a (interno) e b (externo), conduzindo I, pede-se, usando a lei de Ampere:

a) Calcular B para O :<::: r < oo;

34

b) o fluxo de B nas várias regiões.

A--- - J1oir2 a-8.6. Dado , vetor potencial magnético, calcule B . 4n a 2

'

8.7. Uma folha plana condutora localizada em x=O, conduz uma corrente filamentar

K1 = K0 (-ay) Alm e outra em x=a conduz K2 = K0av Alm. Calcule o vetor

potencial magnético A .

9. INDUTÂNCIAS

9.1. Calcular a indutância do solenoide do Exercício 7.9.

9.2. Calcular a indutância do toroide do Exercício 8.4.

9.3. Calcular a indutância do cabo coaxial do Exercício 8.5 usando a Lei Circuitai de Ampere.

-9.4. Calcular a indutância mútua entre o condutor retilíneo e a espira retangular do Exercício 7.10.

9.5. Calcular a indutância mútua entre dois anéis condutores de raios a e b (a>> b) localizados coaxialmente em planos paralelos.

9.6. Dados dois solenoides coaxiais, de mesmo comprimento f, com seções A 1 e A2

(A2 > A 1), calcular a indutância mútua entre eles.

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10. ENERGIA NO CAMPO MAGNÉTICO

10.1. Seja uma região onde é feito vácuo. Considerando que na região pode haver ou um campo elétrico (a) E= 3 x 106V/m ou um campo magnético (b) dado por B = 1,6 T. Comparar a energia armazenada nos dois casos por unidade de volume.

10.2. Calcular a indutância de um solenoide como o do Exercício 7.9 a partir da

energia armazenada em seu volume, considerando R >>R.

10.3. Calcular a indutância do cabo coaxial do Exercício 8.5 usando o conceito de energia armazenada.

11. FORÇAS ELETROMOTRIZES INDUZIDAS

11.1. Uma haste condutora, de comprimento .e , gira em tomo de uma de suas extremidades com velocidade angular w, em um plano, normalmente a um campo

magnético uniforme com indução magnética B . Calcular a força eletromotriz das seguintes formas :

a) Mocionalmente

b) Variacionalmente

11.2. O condutor do exercício 7.3 gira em tomo do eixo y com velocidade angular w e é submetido ao mesmo campo daquele exercício. Calcular a fem induzida entre os pontos y 1 =R e Y2 =+R.

11.3. Considerar o fio retilíneo infinito do exercJCJO 7.10 percorrido por uma corrente senoidal i(t) =I sen(wt). Calcular a fem induzida na espira retangular.

11.4. Calcular a fem induzida na haste de comprimento .e , que se movimenta com

velocidade v = vaz a uma distância a de um condutor retilíneo muito longo,

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localizado no eixo z, que conduz I no sentido az. A haste mantém-se num plano

radial em relação ao fio retilíneo.

11.5. A tensão "entre" os terminais de um indutor de indutância L = 1H varia como o gráfico da Figura 11. 1. Esboçar a corrente "através" do indutor.

J~ e(v)

I

.. .... () I 2 3

t (s)

- I ~

Figura 11.1

11.6. Mostrar que a fem induzida no enrolamento secundário de um transformador, em valor eficaz, para uma corrente percorrendo o enrolamento primário i1=l 1cos(2nft) é e2efl caz = 4,44 fn 2<jl max. onde n2 é o número de espiras do secundário e <l>máx é o valor máximo de fluxo co·mum ao primário e ao secundário.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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