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PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO

ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS

CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO

DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA

ADILSON ORTIZ BITTENCOURT

O ENSINO DA TRIGONOMETRIA NO CICLO TRIGONOMÉTRICO, POR MEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Santa Maria 2012

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ADILSON ORTIZ BITTENCOURT

O ENSINO DA TRIGONOMETRIA NO CICLO TRIGONOMÉTRICO, POR MEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano de Santa Maria como requisito parcial para obtenção do título de mestre em Ensino de Matemática.

Orientadora: Profª Dra. Helena Noronha Cury Co-orientador: Prof. Dr. Márcio Marques Martins

Santa Maria 2012

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Emocionado, dedico a realização do meu mestrado às pessoas que acreditaram na minha capacidade, na minha perseverança e na minha força de vontade; às pessoas que souberam me estender a mão nas horas difíceis e que comemoraram comigo nas horas alegres. E, de modo muito especial, dedico todo o meu trabalho e cada passo que dei neste curso às duas pessoas incríveis e singulares na minha vida: minha esposa, Luciana e minha mãe, dona Edy.

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AGRADECIMENTOS

Nestas palavras, quero colocar os mais profundos e sinceros agradecimentos que fluem

do meu coração. Durante o Mestrado Profissionalizante do Ensino de Física e de Matemática

do Centro Universitário Franciscano, que estou a concluir, fui agraciado, presenteado pela

vida com pessoas que cruzarem por meu caminho e que caminharam lado a lado comigo. Por

elas, agradeço a Deus, emocionadamente. Por tudo agradeço...

Primeiro a Deus, por ter me dado saúde e inspiração para ingressar, investir e concluir

meu mestrado. À minha esposa Luciana pela imensurável paciência e inesgotável dedicação

durante o desenvolvimento do curso e do processamento desta dissertação. Ela foi o meu

estímulo, no grau máximo, em todas as horas e em todas as situações, por mais difíceis que

fossem. Esta conquista é dela também.

À minha mãe, que sempre me amparou, animando-me a realizar este sonho, estando

presente a cada palavra que estava sendo digitada nesta dissertação.

Aos meus familiares: irmã, irmãos, cunhados, cunhadas e sobrinhos que também

participaram desta jornada.

À minha sogra Raquel, que muito pouco esteve presente nesta jornada, mas teve um

comprometimento admirável. Parte das palavras destes agradecimentos

e dedicatória pertencem a ela.

Em especial aos colegas, professores mestres Marcelo de Freitas Bortoli, Carlos

Fabrício Portugues Alfaro, Darcson Capa dos Santos, mestrando Luciano Valente Martins e à

colega mestre, Lívia da Cás Pereira, que deixaram marcas inesquecíveis de amizade e carinho

em minha existência. São eles seres humanos especiais, que surgiram na minha vida como

colegas e, com sua cumplicidade e companheirismo, transformaram-se em grandes sensíveis e

queridos amigos.

À professora Doutora Helena Noronha Cury, minha tão dedicada e eficiente

orientadora, que foi de uma participação, de uma cumplicidade e amizade incríveis. A ela um

agradecimento muito especial. Ao professor Doutor Márcio Marques Martins, meu co-

orientador, pela sua zelosa e constante presença, estímulos e sugestões.

A coordenadora do curso, professora Doutora Eleni Bisognin, que representa o corpo

docente em geral.

A todos vocês prezados amigos, ...

A você amada família,...

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A todos que de alguma forma contribuíram para a realização do encontro do meu

ideal, vai o meu sincero e eterno muito obrigado!

Sem a família e sem amigos, nada somos e nada temos. Porém, com a família e com os

amigos, tudo se tem e tudo se é, porque quando nos sentimos alicerçados no amor,

conseguimos galgar, com firmeza cada um dos degraus que conduzem à realização pessoal e

profissional.

E é por esta realização que agradeço com muita, muita alegria e emoção.

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RESUMO

Nesta pesquisa, objetivou-se, a partir da investigação sobre dificuldades encontradas pelos alunos na resolução de problemas de Trigonometria, a criação de atividades com o auxílio do software GeoGebra, para o ensino de Trigonometria no Ensino Médio. A revisão de literatura abrangeu o uso de ferramentas computacionais na Educação, o ensino de Trigonometria e o uso do software GeoGebra no ensino de Matemática. Além disso, foram apresentados os recursos utilizados para a construção do produto da dissertação e uma análise de livros didáticos que abordam conteúdos de Trigonometria. A pesquisa, inicialmente, desenvolveu-se com 29 alunos de 2º ano de Ensino Médio de uma escola pública do município de Santa Maria, RS, para os quais foi aplicado um teste. Com a correção das soluções e de sua classificação, verificou-se que a percentagem de respostas total ou parcialmente corretas não atingiu 50%. Assim, a partir da constatação dessas dificuldades, foi planejado um conjunto de atividades, para auxiliar professores a desenvolver esses tópicos, bem como possibilitar aos alunos uma maneira de aprender de forma autônoma, por meio de vídeos. As atividades, elaboradas com auxílio dos softwares GeoGebra e CamStudio e da técnica de Screencasting, foram disponibilizadas em dois livros, “Livro do Aluno” e “Manual do Professor”, que podem ser empregados em aula presenciais, em laboratórios de informática das escolas, ou na Educação a Distância, visto que ficarão disponíveis no site do Mestrado Profissional em Ensino de Física e de Matemática da UNIFRA. Palavras-chave: Trigonometria. Ensino Médio. Software GeoGebra. Vídeos.

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ABSTRACT In this study, through the difficulties encountered by students in solving problems in trigonometry, our aim was to create activities with the help of the software GeoGebra for the teaching of trigonometry in high school. The literature review covered the use of computational tools in education, trigonometry teaching and the use of the software GeoGebra in mathematics teaching. Moreover, were presented the resources used to build the product of the dissertation and an analysis of textbooks that approach contents of Trigonometry. Initially the survey was developed with 29 students of 2nd year of high school, in a public school in the municipality of Santa Maria, for whom a test was administered. With the correction of the solutions and their classification, it was found that the percentage of total or partially correct responses did not reach 50%. Thus, from the observation of these difficulties, a set of activities was planned to help teachers develop these topics as well as a way to allow students to learn autonomously, through videos. The activities, developed with help of GeoGebra, CamStudio and Screencasting, are available in two books, "Student Paper" and "Teacher Manual", that can be used in class attendance, in school computer labs and in Distance Education, and will be available on the website of the Master Professional course in Physics and Mathematics Teaching, of UNIFRA. Keywords: Trigonometry. High School. Software GeoGebra. Videos.

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 10

2 REVISÃO DE LITERATURA 14

2.1 O USO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS NA

EDUCAÇÃO

14

2.2 O ENSINO DE TRIGONOMETRIA 16

2.3 O USO DO GEOGEBRA NO ENSINO DE MATEMÁTICA 20

2.3.1 O GeoGebra 20

2.3.2 Trabalhos sobre o uso do GeoGebra no Ensino de Matemática 28

2.4 RECURSOS USADOS NA ELABORAÇÃO DO PRODUTO FINAL 33

2.5 ANÁLISES DE LIVROS DIDÁTICOS 34

3 METODOLOGIA DA PESQUISA 37

3.1 INSTRUMENTOS E PARTICIPANTES DA PESQUISA 37

3.2 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES 38

4 ANÁLISE DAS RESPOSTAS DOS ALUNOS AO QUESTIONÁRIO 39

5 APRESENTAÇÃO DOS CONCEITOS E ATIVIDADES 45

5.1 CONSTRUÇÕES BÁSICAS COM O GEOGEBRA 45

5.2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO 45

5.3 ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA 48

5.4 ÂNGULO CENTRAL 54

5.5 MEDIDAS DE ARCOS EM GRAUS E RADIANOS 55

5.6 CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA 58

5.7 ARCOS CÔNGRUOS 61

5.8 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 61

5.9 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 64

5.10 VALORES ESPECIAIS DE SENO E COSSENO DE UM ÂNGULO 71

5.11 REDUÇÃO DO SEGUNDO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE 71

5.12 REDUÇÃO DO TERCEIRO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE 74

5.13 REDUÇÃO DO QUARTO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE 74

5.14 GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE 75

6 ENCONTROS PLANEJADOS PARA O TRABALHO COM ALUNOS 83

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS 86

9

REFERÊNCIAS 88

APÊNDICES 92

APÊNDICE A 93

APÊNDICE B

96

10

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho, propomos o desenvolvimento de estratégias para o ensino de

Trigonometria, por meio da uma ferramenta computacional, o software GeoGebra. Com este

software podem ser elaborados diferentes tipos de atividades, para Ensino Fundamental,

Médio ou Superior. Nesta dissertação, utilizaremos essa ferramenta como um recurso para o

ensino de Trigonometria. Fazer conjecturas, discutir em duplas os resultados obtidos, explicar

passo a passo os caminhos que os alunos precisam utilizar para obter a resposta do que foi

proposto e descrever com palavras a construção de resultados, são atividades que podem ser

desenvolvidas, de forma a proporcionar uma melhor compreensão dos conteúdos de

Trigonometria.

A escolha do tema pelo autor vai ao encontro das suas dificuldades, apresentadas

quando aluno. Na 8º série do Ensino Fundamental, foi desenvolvido o tema Trigonometria,

com a construção de figuras no quadro negro e a identificação de cada desenho. No entanto,

parecia ao autor e aos seus colegas que havia apenas o objetivo de transmitir os conteúdos,

“vencer” a matéria proposta, sem preocupação com a aprendizagem. Já no Ensino Médio, o

tema foi desenvolvido com base no que havia sido ensinado Ensino Fundamental, como uma

sequência do conteúdo, por meio da mesma metodologia de uso do quadro-negro e do giz.

Assim, não possibilitando a interação entre os alunos e sem qualquer relação com fatos

históricos e com a contextualização da Trigonometria, não houve aprendizagem do assunto,

apenas memorização de regras.

Dessa forma, ao escolher o tema para a dissertação de mestrado, pensamos em

contribuir para uma aprendizagem mais dinâmica e que se aproxime da realidade dos alunos.

A possibilidade de facilitar a aprendizagem, somada com uma metodologia mais dinâmica,

são metas a perseguir neste trabalho, tentando minimizar o que foi exposto acima, sobre o

ensino de Trigonometria ministrado às turmas frequentadas pelo autor. Assim, faz parte desta

proposta de trabalho apresentar um recurso que possa ser usado para acompanhar os alunos,

em sala de aula ou no Ensino a Distância, durante o processo de ensino e aprendizagem da

Trigonometria.

Trazer uma nova proposta de ensino requer cuidado, principalmente quando se utiliza

a informática como ferramenta básica de trabalho. É necessário ser crítico, porque o uso do

software não nos garante sucesso na aprendizagem e pode reforçar procedimentos de

memorização. Devem ser apontadas as dificuldades encontradas no desenvolver do trabalho,

11

além de ser feita uma análise da atividade proposta, para verificar os resultados, visando

valorizar o trabalho em grupo e a construção do conhecimento.

Fioreze (2010, p. 54) alerta sobre o uso de novas tecnologias no ensino: “O

computador não pode ser concebido simplesmente como um gerador de respostas para os

alunos, pois se estará podando a capacidade criadora do ser humano, construtora de novas

habilidades e perspectivas”.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (BRASIL, 1998,

p. 44), há a recomendação de que os recursos tecnológicos podem ser usados em aulas de

Matemática com várias finalidades, tais como “meio para desenvolver autonomia pelo uso de

softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções”.

Portanto, não pensamos em usar o computador e o software GeoGebra para substituir

aulas baseadas apenas em recursos como quadro-negro e giz. Acreditamos que o uso desse

software, para o ensino de Trigonometria, é uma maneira de desenvolver os alunos e torná-los

mais autônomos e conscientes das atividades que estão realizando.

Nas Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+),

lemos que há três grandes competências a serem desenvolvidas na área de Ciências da

Natureza, Matemática e suas Tecnologias: representação e comunicação; investigação e

compreensão; contextualização. O ensino de Trigonometria se faz presente no

desenvolvimento de tais competências, conforme vemos em relação à investigação e

compreensão:

Reconhecer a existência de invariantes ou identidades que impõem as condições a serem utilizadas para analisar e resolver situações-problema; por exemplo, estabelecer identidades ou relações como [...] a relação entre catetos e hipotenusa em qualquer triângulo retângulo; ou ainda a identidade fundamental da trigonometria. (BRASIL, 2002, p. 116).

No mesmo documento, ainda são citados os eixos ou temas estruturadores do ensino

de Matemática e, no eixo “Álgebra: números e funções” surge a unidade temática

“Trigonometria”. O documento considera que muito tempo é investido no cálculo algébrico e

pouco se leva em consideração a análise de gráficos e as aplicações, especialmente na

resolução de problemas que envolvem medições de distâncias inacessíveis e os modelos que

correspondem a fenômenos periódicos.

Além disso, essas orientações complementares sugerem o ensino da Trigonometria do

triângulo retângulo no 1º ano do Ensino Médio e a Trigonometria do triângulo qualquer e da

primeira volta, no 2º ano desse nível de ensino.

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Já o documento posterior, denominado “Orientações Curriculares para o Ensino

Médio” (BRASIL, 2006, p. 73), no tocante ao ensino de Trigonometria, indica:

No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um trabalho com a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das funções seno, co-seno e tangente, priorizando as relações métricas no triângulo retângulo e as leis do seno e do co-seno como ferramentas essenciais a serem adquiridas pelos alunos no ensino médio. Na introdução das razões trigonométricas seno e co-seno, inicialmente para ângulos com medida entre 00 e 900, deve-se ressaltar que são as propriedades de semelhança de triângulos que dão sentido a essas definições; segue-se, então, com a definição das razões para ângulos de medida entre 900 e 1800. A partir das definições e de propriedades básicas de triângulos, devem ser justificados os valores de seno e co-seno relativos aos ângulos de medida 300, 450 e 600.

Mais adiante, dentro das mesmas orientações, lemos: “Os alunos devem ter a

oportunidade de traçar gráficos referentes às funções trigonométricas, aqui se entendendo que,

quando se escreve f(x)=seno (x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de

círculo tomada em radianos”. (BRASIL, 2006, p. 74).

Assim, essa visão dos documentos oficiais, aliada às preocupações existentes sobre as

dificuldades no ensino de Trigonometria, deram margem à investigação apresentada nesta

dissertação, desenvolvida a partir das seguintes questões:

a) Que dificuldades os alunos de Ensino Médio apresentam, na resolução de

problemas de Trigonometria no triângulo retângulo?

b) É possível criar estratégias de ensino que envolvam o software GeoGebra para

auxiliar os alunos na aprendizagem das funções trigonométricas?

Para responder a essas questões, a presente pesquisa foi desenvolvida com os

seguintes objetivos:

Objetivo geral: A partir da investigação sobre dificuldades encontradas pelos alunos

na resolução de problemas de Trigonometria, elaborar atividades com o auxílio do software

GeoGebra, para o ensino de Trigonometria no Ensino Médio.

Objetivos específicos:

a) analisar as dificuldades encontradas por alunos de Ensino Médio na resolução

de problemas de Trigonometria;

b) elaborar atividades para o ensino de funções trigonométricas, com auxílio do

software GeoGebra, para uso de alunos do Ensino Médio;

c) criar vídeos sobre esse conjunto de atividades, para uso de professores e alunos

de Ensino Médio.

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Esta dissertação apresenta, no capítulo 2, uma revisão de literatura sobre uso de

computadores na Educação, ensino de Trigonometria e uso do GeoGebra. Além disso, no

mesmo capítulo, ainda é apresentada uma análise de livros didáticos que abordam o ensino de

Trigonometria, no Ensino Fundamental ou Médio.

No capítulo 3, são apontados os procedimentos metodológicos da investigação e no

capítulo 4, a análise do teste aplicado a alunos de ensino Médio.

No capítulo 5, são apresentados os conceitos e as atividades a eles relacionadas,

elaboradas com o auxílio do GeoGebra, complementadas, no capítulo 6, com uma sugestão de

uso do material criado.

São ainda apresentadas, no capítulo 7, as considerações finais, seguidas das referências

e dos apêndices.

14

2 REVISÃO DE LITERATURA

Para fundamentar a proposta desenvolvida nesta dissertação, inicialmente foram

revisados textos sobre uso de ferramentas computacionais na Educação, sobre ensino de

Trigonometria e sobre o GeoGebra. Para isso, buscamos dissertações defendidas em

Programas de Pós-Graduação da área de Ensino de Ciências e Matemática, bem como artigos

que enfocam os temas abordados na pesquisa e trabalhos apresentados em congressos da área.

Em seguida, foram analisados livros didáticos que abordam a Trigonometria no Ensino

Fundamental ou Médio.

2.1 O USO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS NA EDUCAÇÃO

O uso de computadores na Educação já está bastante discutido. Desde a década de 80

do século passado, quando a linguagem LOGO, desenvolvida por Seymour Papert, foi

difundida no Brasil, muitos autores têm se dedicado a explicar as diferentes possibilidades dos

computadores para o ensino e a aprendizagem. Valente (1995) primeiramente cita o

computador como máquina de ensinar, como, por exemplo, quando são empregados tutoriais,

programas de exercício e prática, jogos e simulações. Em seguida, menciona o uso do

computador como ferramenta educacional, citando, entre outros, os programas de

processamento de texto, as planilhas, os banco de dados e os softwares que gerenciam

gráficos.

Outra função do computador como ferramenta, segundo Valente (1995), é de

transmitir informações, servindo como comunicador, quando computadores podem ser

interligados em rede. Também é citada a possibilidade de auxiliar pessoas com dificuldades

motoras, que podem, por meio de recursos acoplados ao computador, comunicar-se com os

demais.

Em outro texto, Valente (1999, p. 94) comenta o uso de multimídia e da Internet:

No caso da multimídia, deve ser feita uma diferenciação entre o uso de uma multimídia já pronta e o uso de sistemas de autoria para o aprendiz desenvolver sua multimídia. [...] no caso da multimídia, existem outras facilidades como, a combinação de textos, imagens, animação, sons etc., que facilitam a expressão da idéia. Porém, a ação que o aprendiz realiza é a de escolher entre opções oferecidas pelo software.

O autor ainda acrescenta que o uso de sistemas multimídias ou da Internet auxiliam o

estudante na busca de informação, pois pode, ao navegar na web, encontrar um número muito

15

grande de dados. No entanto, se essas informações não forem utilizadas, “não há nenhuma

maneira de estarmos seguros de que esta informação será transformada em conhecimento.

Nesse caso, cabe ao professor suprir essas situações para que a construção do conhecimento

ocorra”. (VALENTE, 1999, p. 94).

Gravina e Santarosa (1998) analisaram ambientes informatizados que oferecem

ferramentas para se trabalhar o processo ensino-aprendizagem dentro de uma abordagem

construtivista. Segundo as autoras, as características da Matemática fazem com que as ações,

inicialmente aplicadas a objetos concretos, sejam generalizadas em esquemas e,

posteriormente, sobre objetos abstratos, sejam generalizadas em conceitos e teoremas.

Gravina e Santarosa (1998, p.8) consideram que

Da criança ao matemático profissional, os objetos mudam de natureza: de físicos passam a abstratos, mas continuam guardando uma ‘concretude’, dada pela representação mental, figural ou simbólica, a eles associada, e é sobre estes objetos que são aplicadas as ações mentais.

Os ambientes informatizados são aliados potenciais frente às dificuldades do processo

de ensino e aprendizagem, pois objetos que eram apresentados formalmente, com auxílio

apenas de um desenho, podem ser movimentados e o aluno pode compreender os elementos

invariantes.

As autoras comentam as possibilidades do uso de softwares de Geometria Dinâmica

(como o Cabri Géomètre) no ensino de Geometria:

Os desenhos de objetos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõem o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação. [...] O aluno age sobre os objetos matemáticos num contexto abstrato, mas tem como suporte a representação na tela do computador. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998, p. 14).

Após a apresentação de exemplos de uso de vários softwares, as autoras alertam para o

fato de que os ambientes informatizados não garantem a construção do conhecimento.

Segundo elas, o professor deve projetar as atividades a serem desenvolvidas, pois

Não basta colocar a disposição do aluno um programa de construção em Geometria; o aluno certamente vai aprender alguma coisa. Mas a apropriação de idéias matemáticas significativas nem sempre acontecem de forma espontânea, mesmo nestes ambientes, e assim um trabalho de orientação por parte do professor, se faz necessário. (GRAVINA; SANTAROSA, 1998, p. 21).

16

2.2 O ENSINO DE TRIGONOMETRIA

O ensino de Trigonometria e as dificuldades encontradas por professores e estudantes,

têm sido abordados em vários textos. Nascimento (2005), em sua dissertação de mestrado

defendida na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, procurou maneiras de se ensinar

Trigonometria no triângulo retângulo para que os alunos se apropriassem desse conhecimento,

fugindo da mecanização. Com este intuito, a autora construiu, junto com alunos do 1º ano do

Ensino Médio, uma tabela trigonométrica, baseada nas que foram descobertas pelos

matemáticos da Grécia Antiga, porém contextualizando e passando para a linguagem

matemática de hoje. Para isso, a autora trabalhou História da Matemática e materiais

manipuláveis com os alunos.

Nascimento (2005) decidiu utilizar somente lápis, papel, borracha, régua, calculadora,

transferidor e esquadro, evitando recursos computacionais como ferramenta do trabalho. Sua

justificativa é que, embora a maioria das escolas públicas e particulares possua computadores,

poucas disponibilizam estes recursos para as aulas.

Silva (2005), que também defendeu sua dissertação na Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo, investigou uma abordagem de ensino de Trigonometria no triângulo

retângulo com o objetivo de desenvolver uma aprendizagem significativa para os alunos do 1º

ano do Ensino Médio. Para tanto, elaborou uma sequência didática com situações-problema,

baseadas em acontecimentos da História da Matemática, e com manipulação e observação de

figuras geométricas.

Silva (2005) acredita que, na Trigonometria no triângulo retângulo, o desenho, como

forma de apresentar o conceito, é uma importante ferramenta para o desenvolvimento do

aluno. Sua sequência é formada por quatro atividades: na primeira, é solicitado aos alunos que

construam triângulos retângulos com ângulos notáveis, utilizando régua e compasso; na

segunda, são propostos problemas envolvendo triângulos retângulos com quaisquer ângulos;

na terceira, são propostas situações baseadas em ocorrências da História da Matemática e, na

quarta, foi introduzido o estudo das relações trigonométricas na circunferência.

Nas suas conclusões, o autor sugeriu, para futuras pesquisas correlatas, que se

desenvolvam atividades semelhantes, porém utilizando outros tipos de recursos, além da

régua e compasso (construção de formas geométricas no papel), a saber: materiais concretos

(experimentos) ou softwares (computadores), ou ainda, uma articulação entre os três tipos.

Para Silva (2005), essa articulação pode ajudar o aluno a melhorar sua apreensão perceptiva e

operatória. Sua sugestão foi proposta devido ao fato de que os alunos tiveram dificuldades

17

durante a aplicação da sequência didática e, refletindo sobre isso, o autor acredita que o uso

de ambiente computacional poderia amenizar os problemas, visto que o aluno interage mais

com problemas que contenham figuras.

Fernandes (2010), em outro trabalho defendido na Pontifícia Universidade Católica de

São Paulo, procurou desenvolver as relações trigonométricas no triângulo retângulo, com base

na proposta curricular do estado de São Paulo. Os sujeitos de sua pesquisa foram 12

estudantes do 2º ano do Ensino Médio noturno de uma escola pública e a escolha do grupo se

deu pelo fato de que os alunos já tinham estudado Trigonometria e, assim, possuíam

conhecimentos sobre o assunto. O autor justificou a escolha do tema pelo fato de os alunos

aprenderem esse conteúdo de forma mecânica e sem significado. O trabalho seguiu os passos

da Engenharia Didática e, também, fundamentou-se em conceitos de Ausubel.

Fernandes (2010) buscou valorizar a aprendizagem da Trigonometria não somente

com o lápis, borracha, papel e transferidor, mas também com a ferramenta computacional,

para que os alunos pudessem reconstruir e interpretar o que foi feito por meio dos materiais

concretos, com vistas à visualização das construções e, desta forma, ao entendimento dos

conceitos trigonométricos.

A pesquisa de Fernandes (2010) foi estruturada da seguinte maneira: primeiramente,

os alunos, trabalhando com lápis, borracha, papel e transferidor, realizaram quatro atividades.

Em seguida, usando o software GeoGebra, os estudantes realizaram mais duas atividades,

confrontadas com as primeiras. Segundo o autor, ainda que todas as atividades tivessem

importância para o desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, o uso do GeoGebra permitiu que

a aprendizagem fosse significativa.

Serres e Basso (2010) investigaram as contribuições possíveis do uso de mídias

digitais de comunicação na aprendizagem matemática, desenvolvendo um trabalho com

alunos das séries finais do Ensino Fundamental. Seu estudo apontou que as mídias digitais

podem agir como potencializadoras da interação entre alunos e professores, além de colaborar

na aprendizagem da Matemática. Foi realizada uma atividade semanal, na qual os estudantes

publicaram um diário virtual, contendo atividades e reflexões sobre os conteúdos vistos em

aula.

Os autores escolheram, como ferramenta computacional, os pbworks, que são sites da

internet que permitem interação e cooperação entre professor-aluno e possuem histórico de

modificações, em que é possível avaliar a evolução dos registros dos alunos. Além deste

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recurso, foram utilizados e-mails e MSN1. Serres e Basso (2010) relataram a participação

ativa dos alunos nesse ambiente de ensino-aprendizagem, no qual a comunicação virtual

diminuiu a distância entre professor e aluno e, também, estimulou a aproximação dos

estudantes mais tímidos, que encontraram um canal de comunicação em que podiam ser

ouvidos, revelando ao professor suas dúvidas e incertezas.

Também foram buscados trabalhos sobre Educação a Distância, visto que o material a

ser elaborado neste projeto pode servir para cursos dessa modalidade, por ser autoexplicativo.

Entre vários trabalhos, encontramos o de Bello (2004) que, em sua dissertação, pesquisou as

possibilidades de construção do conhecimento matemático em um ambiente virtual. Assim,

implementou um curso sobre Geometria na plataforma de hospedagem TelEduc, utilizando o

Cabri-Géomètre, para analisar a relação entre interação, mediação pedagógica e recursos

tecnológicos no ensino da Matemática.

Bello (2004), que defendeu sua dissertação na Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, utilizou o curso virtual de Geometria para discutir a interação entre os participantes e o

papel dos professores formadores como mediadores pedagógicos no processo de

aprendizagem. Para o autor, as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), na

Educação à Distância, refletem novas possibilidades de gerenciar e administrar os recursos,

além de permitir ao aluno novas formas de agir. No ensino tradicional, o aluno assume o

papel de receptor passivo, aceitando ou não a mensagem proposta pelo educador. É priorizada

a educação na qual o aluno memoriza e reproduz, por meio de avaliações propostas pelo

professor. Por outro lado, com o uso das tecnologias, o professor pode cumprir o papel de

orientador e mediador entre o aluno e a sua aprendizagem, criando um ambiente colaborativo

de ensino e aprendizagem.

Segundo Bello (2004), as TIC privilegiam a construção do conhecimento de forma

colaborativa, dada a facilidade da troca de informações e busca de novos dados com o uso da

Internet. As tecnologias empregadas em um curso a distância privilegiam o papel do aluno

como um sujeito ativo de sua aprendizagem.

As interações no ambiente virtual ocorreram por meio das ferramentas correio

eletrônico, sessões de bate-papo e fóruns de discussões. Segundo o autor, estas criaram

situações de interatividade, que refletem o fato de que o processo de construção do

conhecimento de maneira colaborativa pode contribuir para que o aluno seja um agente ativo

e o professor, um mediador da aprendizagem.

1 Microsoft Service Network.

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A junção das discussões on-line com a utilização do Cabri-Géomètre propiciou uma

troca de arquivos entre os alunos, que gerou novas resoluções, com base nas observações dos

colegas, remetidas imediatamente para análise, o que alimentava e dava continuidade à

discussão, gerando uma construção coletiva do conhecimento.

Por fim, Bello (2004) apontou as perspectivas da pesquisa sobre essa temática, em que

os softwares que possibilitam construções geométricas, em ambientes colaborativos, podem

contribuir para a implementação de cursos à distância.

Piva, Dorneles e Spilimbergo (2010), em recente artigo, propuseram uma sequência de

atividades orientadas, a ser realizada no laboratório de informática, com utilização dos

softwares livres Trigonometria e Círculo Trigonométrico. As autoras entendem que, ao propor

atividades em ambiente informatizado, é necessário que o professor selecione previamente o

software, aprenda a utilizá-lo e elabore um roteiro de orientação.

As autoras desenvolveram, através dos softwares, seis atividades com o objetivo de

explorar os conceitos da Trigonometria. Na primeira, chamada “reconhecendo o triângulo

retângulo”, os alunos observam, passo a passo, a construção das razões trigonométricas. A

segunda, chamada “reconhecendo o círculo trigonométrico”, mostra a construção do círculo

trigonométrico a partir do triângulo retângulo; a terceira, “entendendo as razões

trigonométricas”, propõe que o aluno explore as razões trigonométricas. A quarta atividade é

denominada “construindo seno, coseno, tangente e cotangente para ângulos entre 0 e 90

graus”; a quinta, “construindo seno, coseno, tangente e cotangente para ângulos maiores que

90 graus” e a sexta, “construindo seno, coseno, tangente e cotangente para ângulos

quaisquer”.

Piva, Dorneles e Spilimbergo (2010) destacaram dois pontos positivos em sua

pesquisa: a facilidade de operação dos softwares e o interesse e participação dos alunos nas

atividades computacionais. Apontaram, também, que o uso de softwares permite a realização

de simulações, o que conduz os alunos a construírem suas análises e conclusões próprias e,

por essas razões, defendem a utilização de ambientes informatizados no processo de ensino e

aprendizagem de Matemática.

Carneiro et al. (2007) relataram a implementação de uma oficina virtual de vídeo e

videoconferência, para auxiliar a formação de professores, alunos e demais pessoas

interessadas no Ensino a Distância. Os autores planejaram uma oficina virtual, abordando três

temas: a participação em videoconferências, a construção de vídeos e a criação de

apresentações de slides.

20

Para conhecer as necessidades dos usuários, Carneiro et al. (2007) desenvolveram uma

experiência-piloto, por meio da qual puderam constatar que o tempo de duração de um vídeo

é um fator a ser considerado, pois é necessário não cansar o usuário do recurso. Também a

estrutura e organização dos vídeos foi testada, para que a experiência com a oficina tivesse

sucesso.

A experiência de Carneiro et al. (2007) tem em comum com esta pesquisa o fato de

que também notamos a necessidade de planejamento dos vídeos e de organização de sua

estrutura, para que professores e alunos possam acessar o material segundo o seu próprio

ritmo. Assim, ao disponibilizar para alunos e professores um conjunto de vídeos sobre

Trigonometria, primeiramente criamos o conjunto de atividades e as testamos, para garantir

que o material vai ao encontro do interesse dos usuários e pode ser aproveitado nos cursos a

que se destina.

2.3 O USO DO GEOGEBRA NO ENSINO DE MATEMÁTICA

2.3.1 O GeoGebra

Segundo Hohenwarter e Hohenwarter (2008), o GeoGebra é um software interativo de

Geometria Dinâmica, que pode ser considerado um livro usado tanto para oficinas quanto

para autoaprendizagem. Com este recurso computacional, pode ser trabalhado o ensino de

Matemática desde o Ensino Fundamental até o Superior. Apresenta uma sequência de

atividades, ferramentas de Geometria algébrica, comandos e uma seleção de características

diferentes. Explicações sobre o software estão disponíveis em

http://www.GeoGebra.org/book/intro-en.zip.

Com o GeoGebra, é possível trabalhar com a Álgebra, a Geometria e o Cálculo.

Podem ser feitas construções com pontos, vetores, segmentos, retas e seções cônicas, bem

como funções; também é possível modificar esses entes dinamicamente. Por outro lado,

equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente.

O GeoGebra possui na sua área de trabalho uma janela algébrica que corresponde a

um objeto de Geometria, e vice-versa. Possui, ainda, uma janela gráfica, na qual podem ser

operadas as ferramentas de Geometria, por meio do mouse, para criar construções

geométricas no bloco de desenho, na janela de gráficos. Por outro lado, para a janela

algébrica, podem ser dados comandos e escritas funções no campo de entrada, usando o

teclado.

21

A interface do usuário do GeoGebra pode ser ocultada. Caso se pretenda utilizar esse

software para o Ensino Médio, pode-se ocultar a janela da Álgebra e os eixos das coordenadas

e trabalhar apenas com o teclado de ferramentas de desenho e Geometria. Pode-se, também,

introduzir um sistema de coordenadas utilizando grades, entrada algébrica com a finalidade de

orientação.

Para ativar uma ferramenta, basta clicar no ícone correspondente. Já para abrir a caixa

de ferramentas, clica-se na parte inferior de uma tecla e seleciona-se outra ferramenta a partir

desta caixa. O software GeoGebra pode ser instalado no computador a partir do site

www.GeoGebra.org/webstart.

Com base em Araújo e Nóbriga (2010), apresentamos, a seguir, os principais

elementos do software GeoGebra, com as indicações sobre as ações que permitem usá-lo para

as construções que vão ser apresentadas neste trabalho.

A janela principal da área de trabalho do GeoGebra é apresentada na Figura 1, a

seguir:

Figura 1 – Tela do GeoGebra

O software GeoGebra apresenta, na parte superior da área de trabalho, a Barra de

Menu, que apresenta os seguintes itens: Arquivo, Editar, Opções, Ferramentas, Janelas e

Ajuda . Destacamos, aqui, apenas as janelas que serão usadas nas atividades deste trabalho.

22

a) Arquivo – clique sobre esta opção toda vez que desejar uma nova janela. Para isso

desloque o seletor até a opção Novo e clique. O GeoGebra questiona se queremos gravar

ou não, mesmo que não tenha sido construída qualquer atividade.

b) Exibir – De maneira análoga, desloque o seletor até a opção Eixo e clique – as

coordenadas que aparecem na janela de visualização podem ser ocultadas; para

aparecerem novamente, clique sobre a mesma opção.

c) Malha – Ao clicar sobre esta opção, aparecerá, na área de trabalho do GeoGebra, uma

malha tracejada que pode ter seu tamanho aumentado ou diminuido por meio do botão de

rolagem do mouse. Esta opção, quando selecionada novamente, permite ocultar a malha.

A Barra de Ferramentas do GeoGebra está dividida em 11 janelas e cada uma possui

várias ferramentas. Para selecionar uma ferramenta, clique na parte inferior da janela e o

programa abre as opções. A Barra de Ferramentas do GeoGebra se apresenta conforme a

figura 2, a seguir:

Figura 2 – Barra de Ferramentas do GeoGebra

Como exemplo, clicamos na janela 3 e apresentam-se as opções, conforme a Figura 3,

a seguir:

Figura 3 – Menu da janela 3

A seguir, mostramos os ícones da Barra de Ferramentas que serão trabalhados neste

projeto e em suas aplicações.

23

No Menu da janela 1

Esta ferramenta permite selecionar, mover e manipular objetos. Também

podemos selecioná-la clicando a tecla ESC.

No Menu da janela 2

Cria um ponto em um espaço livre, em um objeto ou em uma interseção. No

GeoGebra, a indicação do nome do ponto é automática, ou seja, ao criar o ponto,

automaticamente aparece um rótulo. Este rótulo é criado em ordem alfabética e letras

maiúsculas.

Nesta opção, pode(m) ser representado(s) o(s) ponto(s) de interseção

entre dois objetos. Para utilizar a opção, clica-se diretamente na interseção ou sucessivamente

sobre cada objeto, para mostrar o ponto de intersecção.

No Menu da janela 3

Com esta ferramenta, pode-se criar uma reta que passa por dois

pontos. Se os pontos já existirem, basta clicar sobre eles, sucessivamente. Caso contrário,

pode-se criá-los com a ferramenta ativada.

Esta ferramenta cria um segmento de reta definido por dois

pontos. Da mesma forma que na ferramenta acima, se os pontos já existirem, basta clicar

sobre eles, sucessivamente. Se não existirem, criam-se os pontos com a ferramenta ativada.

Esta ferramenta cria uma semirreta definida por dois pontos. Se

os pontos já existirem na área de trabalhos, clique sobre eles, sucessivamente. Se os pontos

não existirem, basta criá-los com a ferramenta ativada.

24

No Menu da janela 4

Com esta ferramenta pode ser construída uma reta perpendicular a uma reta,

semirreta, vetor, eixo ou a um lado de um polígono. Para criar a reta, pode-se clicar sobre um

ponto e sobre uma direção, que, em geral, é a da reta, semirreta, vetor, eixo ou lado de

polígono em relação ao qual a reta deve ser perpendicular.

Com esta ferramenta, pode ser construída uma reta paralela a uma reta,

semirreta, segmento, vetor, eixo ou lado de um polígono. Da mesma forma que é indicado na

opção acima, para criar a reta paralela basta clicar sobre um ponto e uma direção.

Com esta ferramenta pode ser construída a bissetriz de um ângulo. Para isso,

deve-se clicar nos três pontos que determinam o ângulo, sendo que o segundo será o vértice

do ângulo. Dessa forma, o software cria a bissetriz do menor ângulo definido pelos três

pontos.

No Menu da janela 6

Com esta ferramenta, pode ser construído um círculo

a partir do seu centro e de um de seus pontos.

Esta ferramenta constrói um semicírculo definido a partir de

dois pontos. Se os pontos já estiverem na área gráfica, basta clicar sobre eles. Caso contrário,

basta criar os pontos com a ferramenta ativada e o semicírculo será traçado no sentido horário.

Com esta ferramenta, pode ser construído um arco

circular a partir de dois pontos. Para utilizá-la, é preciso clicar primeiro sobre o centro. Se os

outros pontos forem clicados em sentido anti-horário, o GeoGebra constrói o menor arco

definido por três pontos. Se forem clicados no sentido horário, constrói o maior.

25

Esta ferramenta constrói um setor circular a partir do

centro e dois pontos. Se os pontos já estiverem na área gráfica, basta clicar sobre eles,

primeiramente sobre o centro; se os outros pontos forem clicados em sentido anti-horário, o

GeoGebra construirá o menor setor definido por estes três pontos. Se o sentido for horário

construirá o maior. Se os pontos não estiverem definidos, basta criá-los com a ferramenta

ativada.

No Menu da janela 8

Esta ferramenta torna possível marcar e medir um ângulo definido por três

pontos, em que o segundo ponto clicado é o vértice. Pode-se também criar o ângulo clicando

sobre os seus lados. Se os elementos forem clicados em sentido anti-horário, o GeoGebra cria

o maior ângulo definido por esses três pontos; já no sentido horário, cria o menor ângulo

definido pelos pontos.

No Menu da janela 10

Esta ferramenta, quando ativada, permite que sejam escolhidos os

objetos que se pretende mostrar. Desmarcando-a, os objetos ficam ocultos.

Esta ferramenta permite escrever textos na área gráfica. Para que isso ocorra,

clique na área, escreva o texto pretendido e, ao final, clique novamente.

No Menu da janela 11

Esta ferramenta permite movimentar o sistema de eixos, bem

como todos os objetos nele contidos. Serve para fazer ajustes com relação à posição dos

objetos na janela de visualização.

Esta ferramenta permite aumentar o tamanho da figura que está na área gráfica.

26

Esta ferramenta permite reduzir o tamanho da figura que está na área gráfica.

As opções “ampliar” e “reduzir” funcionam como um zoom.

Esta ferramenta pode ocultar objetos. Com ela selecionada, clique

sobre o objeto que deseja ocultar e ele ficará destacado. Para ocultá-lo, selecione outra

ferramenta ou clique na tecla ESC e o objeto ficará oculto. Da mesma forma, com essa

ferramenta pode-se exibir objetos que estavam ocultos.

Esta ferramenta permite ocultar os rótulos dos objetos. Pode-se

também exibi-los, quando estiverem ocultos.

Função do botão direito do mouse

Ao clicar com o botão direito do mouse em uma área em branco da janela de

visualização, aparece a janela indicada na Figura 4:

Figura 4 – Janela de Visualização

Exibe ou esconde os eixos coordenados.

Exibe ou esconde uma malha no sistema de eixos.

Aumenta ou diminui o tamanho da tela.

Permite mudar a escala dos eixos.

27

Tornam visíveis todos os objetos que foram escondidos

Visualização Padrão Retorna o sistema de eixos e à escala a posição inicial.

Se clicarmos com o botão direito do mouse sobre um objeto já existente, aparece outra

janela com diversas opções. Para exemplificar, clicamos sobre um ponto A, conforme

exemplo apresentado em Araújo e Nóbrega (2010, p.14) e reproduzido na Figura 5, a seguir:

Figura 5 – Janela para o Ponto A

Esconde ou exibe objetos.

O rótulo é o nome do objeto. Esta opção permite esconder ou exibir o

rótulo.

Deixa um rastro do objeto ao ser movimentado.

Permite dar um novo nome (rótulo) ao objeto.

Permite apagar o objeto.

Esta opção permite alterar as cores, espessura, intensidade de

preenchimento, condições para o objeto aparecer, entre outras propriedades.

28

Com essa rápida visão sobre as ferramentas do GeoGebra, é possível, posteriormente,

criar as atividades a serem desenvolvidas por alunos ou professores.

Para verificar, também, o que tem sido produzido sobre o uso do GeoGebra,

destacamos, a seguir, alguns trabalhos.

2.3.2 Trabalhos sobre o Uso do GeoGebra no Ensino de Matemática

Entre vários trabalhos já existentes, desenvolvidos em Programas de Pós-Graduação

em Ensino de Ciências e Matemática, sobre experiências com uso do GeoGebra, apontamos

as dissertações de Freitas (2009), Lucas (2009), Scano (2009), Araújo (2010), Machado

(2010), Santos (2010) e Santos (2011).

• Freitas (2009) defendeu sua dissertação na Universidade Cruzeiro do Sul. Seu trabalho

teve como objetivo verificar a utilização de um software educativo no ensino e aprendizagem

de Matemática, com enfoque nas possibilidades de exploração dos registros de representação

semiótica, segundo as teorias do pesquisador francês Duval.

Os professores receberam um CD contendo o tutorial do GeoGebra, um guia para seu

uso e três gravações feitas por meio de um software que captura telas do computador, com

áudio. Com isso, docentes puderam assistir passo a passo a construção narrada das

possibilidades de uso do GeoGebra.

Após essa etapa de conhecimento do software, os docentes propuseram atividades para

o ensino de funções, inclusive das funções trigonométricas, de modo a explorar os registros

algébrico e gráfico das funções. Ao final dos encontros, os professores avaliaram o software e

seu uso, por meio de um questionário. Freitas (2009) considerou que, em sua pesquisa, pôde

atestar o potencial do GeoGebra para trabalhos com diversas representações de funções,

viabilizando um acesso dinâmico e concreto aos objetos matemáticos.

• Lucas (2009) defendeu sua dissertação na Universidade Federal de São Carlos, com o

objetivo de construir um ambiente virtual de aprendizagem (AVA) para o ensino de

Geometria Analítica, com a utilização de visualizadores 3D idealizados no GeoGebra. O autor

aplicou sua proposta em uma turma de primeiro ano de um curso de Licenciatura em

Matemática de uma universidade privada de São Paulo.

O ambiente virtual de aprendizagem no qual foi implementada a experiência é o

Moodle e nele foram idealizados cinco módulos de ensino sobre Geometria Analítica. A

experiência foi desenvolvida, no primeiro mês, no laboratório de informática da universidade

29

e, no mês seguinte, na sala de aula do curso. Foram avaliados os acessos dos alunos ao

ambiente e registrados os comentários postados no fórum.

Apesar de alguns problemas que impediram a finalização da experiência, Lucas (2009)

concluiu que os objetivos foram alcançados, pois os alunos mostraram empenho na resolução

das tarefas e dedicação aos estudos.

• Scano (2009), em trabalho defendido na Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, utilizou o GeoGebra para o estudo de função afim em um 9º ano do Ensino

Fundamental. O autor embasou sua pesquisa nas teorias da Didática Francesa e construiu uma

sequência didática para que os alunos expressassem algébrica e graficamente a dependência

das variáveis de uma função afim.

Scano (2009), em revisão de literatura, havia encontrado informações sobre as

dificuldades dos alunos de vários níveis de ensino em relação à função afim. Depois da

aplicação da sequência de ensino, ressaltou que o uso do GeoGebra, como ferramenta de

simulação e recurso dinâmico, trouxe grandes contribuições ao seu trabalho, pois auxiliou na

compreensão do comportamento dos gráficos de uma função afim.

• Araújo (2010) defendeu sua dissertação na Pontifícia Universidade de São Paulo, com

base em teorias da Didática Francesa, com o objetivo de avaliar a aplicação de uma sequência

didática a alunos de 9º ano do Ensino Fundamental e 2º ano do ensino Médio, sobre os

conceitos de circunferência e mediatriz de um segmento, com o uso do software GeoGebra.

Os alunos, que frequentavam uma escola pública da cidade de São Paulo, foram

convidados a participar da pesquisa, em horários extra-classe. Inicialmente foi feita uma

investigação diagnóstica sobre os conhecimentos dos estudantes a respeito do assunto e, em

seguida, foram aplicadas atividades, com uso do GeoGebra, com as produções dos alunos

registradas pelo professor-pesquisador.

Araújo (2010) encontrou algumas dificuldades no uso do software pelos alunos,

especialmente porque, em algumas atividades, os estudantes prenderam-se às concepções

intuitivas, ligadas ao desenho, sem aproveitar o caráter do software, de permitir a conservação

das propriedades dos entes construídos. Como produto da dissertação, foi apresentada a

sequência didática proposta, como sugestão para outros professores trabalharem com os

mesmos conceitos ou com outros, que envolvam lugares geométricos e uso do software

GeoGebra.

• Machado (2010) defendeu dissertação na Universidade Federal de Ouro Preto e teve,

como objetivos, investigar as contribuições que um projeto de ensino, desenvolvido em

ambientes informatizados, pode trazer para o ensino-aprendizagem de Geometria Espacial. Os

30

participantes de sua pesquisa foram alunos de 2º ano do Ensino Médio de uma escola da rede

pública de uma cidade mineira.

O autor considerou, como ponto de partida para as atividades desenvolvidas, a

interface amigável de softwares como GeoGebra e Sketchup. A pesquisa foi desenvolvida em

colaboração com a professora da turma e, pela falta de computadores na escola, o trabalho foi

feito em uma lan house próxima à escola. Foram aplicados um questionário para a professora

e um pré-teste para os alunos, para avaliar conhecimentos prévios de Geometria.

O trabalho com os alunos foi desenvolvido em seis aulas, em que, a partir de uma

familiarização com os softwares, os alunos trabalharam as atividades propostas. As sessões

foram, em parte, filmadas e, também, observadas pelo pesquisador. Os alunos, em cada

sessão, avaliavam o trabalho desenvolvido.

Machado (2010, p. 93) concluiu que, no ensino de Matemática,

[...] não basta trocarem-se os instrumentos. Uma aula não se torna moderna simplesmente por ser realizada com recursos do Data Show, nenhuma aula pode ser considerada tradicional apenas porque as anotações estão sendo feitas no quadro-negro. O que a pesquisa revela é que no ensino de Matemática podem-se utilizar as tecnologias para favorecer a investigação, para aguçar questionamentos, para tornar aulas mais dinâmicas, para tornar os alunos mais construtores e menos receptores de conhecimento.

Como produto de sua dissertação, Machado (2010) apresentou um conjunto de

atividades que podem ser usadas pelos professores, com o auxílio dos softwares por ele

utilizados, para a introdução do ensino de Geometria Espacial.

• Santos (2010) desenvolveu seu trabalho de mestrado na Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo, apoiou-se na Didática Francesa e em autores que trabalham com uso

de tecnologias na educação. A autora teve como objetivo verificar quais as dificuldades e

possibilidades de professores de Matemática ao usarem o software GeoGebra em atividades

que envolvem o teorema de Tales. Participaram da investigação quatro professoras do Ensino

Fundamental da rede pública de São Paulo

A proposta de Santos (2010) incluiu a elaboração de oficinas, das quais participaram

as professoras. Primeiramente foi aplicado um instrumento de coleta de dados para sua

identificação e, em seguida, as professoras resolveram as atividades propostas, de criação de

aulas com o uso do GeoGebra.

Santos (2010) identificou dificuldades conceituais apresentadas por algumas docentes

e concluiu que o uso do GeoGebra permitiu que esses problemas fossem identificados, o que

pode levá-las a aprofundar seus estudos. Também foi possível notar que algumas das

31

professoras, apesar de mostrarem entusiasmo com as possibilidades de uso do software,

mantiveram, em suas propostas de aula, as mesmas estratégias de ensino empregadas nas

aulas expositivas.

• Santos (2011) também desenvolveu seu trabalho de mestrado na Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo e apoiou-se na Didática Francesa, usando a teoria de

Duval sobre registros de representação semiótica. O objetivo do trabalho foi de elaborar,

aplicar e analisar uma sequência didática para o ensino de funções logarítmicas, usando o

GeoGebra. Durante oito encontros, seis alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma escola

paulista trabalharam com as atividades, em turno inverso ao de suas aulas. Foram feitas

gravações em áudio dos diálogos mantidos entre os alunos e análise das produções das duplas.

Santos (2011) concluiu, a partir do seu trabalho, que somente o uso de livros e listas de

exercícios não é suficiente para a aprendizagem. A utilização do software GeoGebra permite

contemplar situações em que os alunos têm oportunidade de investigar, elaborar e testar

hipóteses, conjecturar e, assim, generalizar e abstrair conceitos matemáticos.

Também foram revisados relatos de experiência e comunicações científicas,

apresentados no X Encontro Nacional de Educação Matemática, relativos ao uso do

GeoGebra.

• Brunet et al. (2010) apresentaram resultados parciais de uma investigação realizada

com 19 alunos universitários, que foram desafiados a construir um triângulo conhecendo

apenas as medidas de dois de seus lados. Os investigadores supunham que, dados lados de

medidas 3 e 4, os alunos tendem a entendê-los como catetos e calcular a medida da

hipotenusa. Recolhidas as soluções propostas pelos alunos, os pesquisadores constataram que,

efetivamente, a maior parte dos alunos usou o teorema de Pitágoras para determinar o terceiro

lado. Em seguida, os autores apresentaram o software e foi possível verificar a mudança de

pensamento por parte dos pesquisados, confirmando a hipótese de que o GeoGebra permite,

por meio de visualização dinâmica, possibilidades de mudança de pensamento.

• Silva (2010) relatou experiência desenvolvida por um grupo de professores de

Matemática que construíram práticas de sala de aula para uso do GeoGebra e de outros

recursos tecnológicos. Os professores levaram seus alunos a utilizar, além do software, a

produção de vídeos e posterior publicação, tanto no Youtube como no Orkut.

Após a exploração do software, os alunos realizaram atividades sobre conceitos de

Geometria Plana e avaliaram as atividades desenvolvidas. Os professores concluíram que

esses recursos tecnológicos têm grande potencial para o ensino, mas acreditam serem

32

necessárias mais pesquisas, para aprofundar a formação do professor que vai usar as novas

tecnologias.

• Lopes e Andrade (2010) apresentaram uma comunicação sobre pesquisa em

andamento, com o objetivo de analisar potencialidades do GeoGebra na construção de

conceitos básicos de Trigonometria. Os investigadores elaboraram um módulo de ensino, com

auxílio do software GeoGebra, aplicado a 14 alunos de Licenciatura em Matemática, sob

forma de minicurso. Após o desenvolvimento de atividades, os estudantes foram solicitados a

planejar uma aula para alunos de Ensino Fundamental ou Médio. Os pesquisadores

consideraram que os alunos tiveram facilidade em utilizar o GeoGebra e foram criativos em

montar atividades para seus alunos.

• Lovis e Franco (2010) comunicaram parte de uma pesquisa de mestrado em que o

GeoGebra foi usado para o ensino de Geometria Euclidiana e Hiperbólica. Na investigação,

também foram propostas atividades com o software durante um minicurso para professores de

Matemática. Inicialmente foi aplicado um questionário, para conhecer as opiniões dos

professores e suas práticas relacionadas ao uso de tecnologias no ensino. Dos 41 professores

participantes, apenas um declarou utilizar frequentemente o laboratório de informática da

escola para ministrar aulas.

Após a realização das atividades, com auxílio de monitores, foi perguntado aos

professores se usariam o GeoGebra em atividades com seus alunos e 14 deles responderam

negativamente. Os pesquisadores concluíram que, apesar das dificuldades apresentadas pelos

professores, o GeoGebra foi fundamental para o desenvolvimento das atividades, permitindo-

lhes a realização das construções de forma dinâmica e interativa e favorecendo a compreensão

dos conceitos estudados. No entanto, a falta de conhecimento sobre as ferramentas do

computador, demonstrada por alguns docentes, pode ter dificultado a aprendizagem das

ferramentas do próprio software.

Resumindo essa revisão sobre trabalhos relacionados ao uso do GeoGebra, podemos

notar que as experiências foram feitas com alunos de todos os níveis de ensino e também que

houve diversidade de conteúdos abordados. Os investigadores consideraram positivo o

emprego do software, ainda que encontrassem, em alguns casos, dificuldades para a

implementação das propostas. Nesses casos, alertaram para a importância de novas pesquisas

sobre o uso do GeoGebra.

33

2.4 RECURSOS USADOS NA ELABORAÇÃO DO PRODUTO FINAL

O produto final desta dissertação consiste em dois livros eletrônicos, para auxiliar

alunos e professores a revisar os conteúdos de Trigonometria do Ensino Fundamental e

preparar o trabalho com as funções trigonométricas, estudadas no Ensino Médio. O primeiro

deles, “Livro para Ensinar”, apresenta vídeos que ensinam a trabalhar com o programa

GeoGebra e, ao mesmo tempo, apresentam conteúdos de Trigonometria. Além disso, há

atividades (exercícios) para os estudantes resolverem com o auxilio do GeoGebra. No

segundo livro, “Manual do Professor”, estão resolvidas todas as atividades que foram

elaboradas no primeiro livro, é uma espécie de guia didático, servindo, também, como

gabarito para os estudantes. Esses livros serão disponibilizados no site do Mestrado

Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática e no Portal Educacional da UNIFRA.

Nos livros constam tutoriais, com apoio do software GeoGebra, em que as telas do

computador são capturadas pelo Screencast e transformadas em vídeos pelo CamStudio. Esses

vídeos permitem que os alunos façam uma revisão dos conteúdos de Trigonometria, no

laboratório de informática de sua escola ou em qualquer ambiente no qual possa acessar a

Internet.

Um tutorial é um tipo de recurso que pode substituir aulas de revisão ou mesmo aulas

introdutórias sobre um conteúdo, pois o computador apresenta as informações referentes a um

determinado assunto, de forma compacta. Conforme Valente (1995, p. 8), a vantagem dos

tutoriais

[...] é o fato de o computador poder apresentar o material com outras características que não são permitidas no papel como: animação, som e a manutenção do controle da performance do aprendiz, facilitando o processo de administração das lições e possíveis programas de remediação.

Além disso, os tutoriais permitem que o professor necessite de pouco treino para o seu

uso, visto que o material já está pronto e cabe-lhe atuar como mediador para a aprendizagem

do aluno.

Um Screencast é uma técnica que permite a captura de todas as ações realizadas pelo

usuário na tela do computador, incluindo os movimentos do mouse e os cliques. Sua

vantagem para o ensino é a possibilidade de mostrar visualmente aos estudantes como a tela

aparecerá para eles e onde devem clicar. Além disso, é um recurso relativamente fácil de

preparar, atualizar e modificar. Os screencasts podem, muitas vezes, incorporar uma narração

em áudio. (PETERSON, 2007). O termo Screencast foi proposto em 2004 por Jon Udell,

ainda que já houvesse outros produtos desse tipo usados desde 1993. (VALENTE, 2007).

34

Para implementar a técnica do screencast, há opções de softwares, com ou sem custo

para o usuário. Dentre esses, foi escolhido o CamStudio, porque é de código aberto e de fácil

domínio. Esse programa foi originalmente criado pela companhia RenderSoft Software e

registra a atividade da tela do computador, sendo o resultado armazenado em um arquivo com

formato .AVI2. Entre as suas características mais importantes, Hernández Arce (2003, p. 19-

21) registra a sua interface (Figura 6), a possibilidade de seleção da área de trabalho e a

qualidade de reprodução.

Figura 6 – Interface do CamStudio

2.5 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS

Visto que os livros didáticos são, em geral, os recursos mais utilizados pelos

professores para o ensino de Trigonometria, fizemos uma análise de três livros, empregados

em escolas do município de Santa Maria, RS, onde esta dissertação foi desenvolvida.

No livro Componente Curricular: Matemática (BIANCHINI; PACCOLA, 2004),

utilizado na escola em que o autor desenvolvia sua prática, foi possível observar que os

autores fazem um breve comentário sobre a importância da História da Matemática, em

relação ao tema a ser desenvolvido nas aulas, neste caso, a Trigonometria no Triângulo

Retângulo. Este livro, em seu Capítulo l, cita o astrolábio, introduzido pelos árabes na

Península Ibérica. Ao utilizarmos esse instrumento, fazemos uso dos conceitos de

Trigonometria. Logo, fica clara a preocupação em querer ensinar Matemática por meio dos

fatos históricos ocorridos ao longo do tempo.

2 Audio Video Interleave

35

Em sequência a esta atividade, o livro pressupõe que o aluno se encontra apto a

começar a aprender Trigonometria no ciclo trigonométrico. É importante destacar a qualidade

do livro e a preocupação com que o aluno aprenda. Por outro lado, em nenhum momento é

mencionada alguma proposta que possa auxiliar o docente em seu processo de ensinar; desta

forma, é pertinente que se construa uma sequência didática, utilizando ferramenta

computacional como estratégia de ensino, com vistas a um aprendizado de melhor qualidade.

Os autores procuram elucidar o conhecimento apresentado, por meio de exemplos,

leituras complementares, ilustrações, com vistas à interação entre alunos e, por fim, exercícios

para complementar o conhecimento adquirido e desenvolvido nas aulas. O livro traz

ilustrações que ajudam o aluno a entender o que esta sendo exposto em aula pelo professor;

para que isso possa acontecer, utilizam-se cores diferentes nas ilustrações, cujo objetivo é

diferenciar e determinar certos segmentos, arcos, funções, entre outros. Por outro lado, não

valoriza um possível enriquecimento de estratégias que os alunos possam vir adquirir e assim

obter uma melhor compreensão do conteúdo que está sendo desenvolvido.

Na visão do autor deste projeto, o livro de Bianchini e Paccola (2004) não garante que

o aluno vai aprender realmente os conteúdos, pois continuam sendo desenvolvidas, nas aulas,

as mesmas técnicas e ferramentas que visam somente à transmissão do conteúdo, sem

valorizar as estratégias que os alunos possam vir a desenvolver. É um livro muito bom de ser

trabalhado em sala de aula, porém, deveria aproximar a Matemática da realidade em que

vivem atualmente os alunos, e, dessa forma, utilizar a ferramenta computacional para tornar o

aprender mais atraente e desafiador na vida destes estudantes.

Em seguida, analisamos o livro Matemática Completa (GIOVANNI; BONJORNO,

2005), que faz um abordagem sobre a Trigonometria de forma mais objetiva, baseada em

definições e exercícios, sem aparentar preocupação com fatos históricos e uma possível

relação que poderia ser feita para explorar melhor este tema. Para introduzir o assunto, os

autores trabalham com as relações trigonométricas no triângulo retângulo, e para isso, passam

a ensinar ao aluno o uso correto de uma calculadora científica, para encontrar resultados sobre

funções trigonométricas dos ângulos dados. Os autores dão continuidade ao trabalho

apresentando novos assuntos correlatos à Trigonometria no ciclo trigonométrico e, para isso,

desenvolvem claramente cada atividade proposta. Trabalham com figuras ilustrativas,

coloridas, para facilitar o entendimento e, por fim, a resolução de exercícios.

Consideramos que o interesse, no trabalho com Trigonometria, não se prende apenas à

aprendizagem do recurso tecnológico, que nem sempre favorece a construção do

conhecimento em todas as suas dimensões. Seria apropriado desenvolver os conteúdos, de

36

maneira que estes estudantes possam ser agentes ativos da construção do conhecimento e que

interajam uns com os outros na busca do saber. Em algum momento, seria desejável que

fossem apresentados fatos históricos que envolveram o estudo da Trigonometria, afim de que

se pudesse enfatizar a importância desse tema no decorrer da história e das atividades

cotidianas.

Um fator relevante acerca do livro de Giovanni e Bonjorno (2005) é o alerta para o

fato de que empregar apenas um recurso tecnológico não dá garantia de sucesso na

aprendizagem; uma metodologia de ensino aplicada com cuidado e, principalmente, que seja

atraente ao aluno, pode minimizar as dificuldades por eles apresentadas.

Por último, analisamos o livro Matemática: Contexto e Aplicações (DANTE, 2004),

que tem como objetivo fazer com que o aluno compreenda o conteúdo proposto, resolva

exercícios que envolvem o mundo real, mas que também sejam capazes de entender a teoria

sobre o tema. É proposto ao aluno que refaça exercícios resolvidos, com vistas a uma melhor

compreensão do que está sendo trabalhado em sala de aula. No Capitulo 1 do volume 2, há o

início do trabalho com Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer. É feito um estudo

sobre as propriedades conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos, mas sem explorar os

fatos históricos envolvidos. O autor também não sugere o uso das novas tecnologias na

educação.

O livro de Dante (2004) possui todas as atividades indicadas em figuras coloridas,

representando geometricamente os conteúdos envolvidos, por meio de desenhos. Além disso,

traz sempre, em cada seção, uma reflexão sobre o assunto desenvolvido, cuja finalidade é

chamar a atenção do aluno para algo que considera importante. Explica claramente ao leitor o

porquê do raio ser igual a 1 quando trabalhamos com o ciclo trigonométrico.

Se analisarmos o Guia do Livro Didático de 2012, vemos que o livro Matemática:

Contexto e Aplicações, de Luiz Roberto Dante, novamente foi escolhido entre os

recomendados para o Ensino Médio pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD). Na

síntese do livro, vemos que, no Volume 2, há 88 páginas dedicadas à Trigonometria,

distribuídas em seis capítulos, nos quais os conteúdos são abordados inicialmente em textos e

questões, para contextualizar os conceitos. O conteúdo e os procedimentos de cálculo são

apresentados por meio de situações-problema. No entanto, há umas observações, no Guia,

sobre a falta de indicações para o uso de tecnologias no ensino de Matemática.

37

3 METODOLOGIA DA PESQUISA

Esta pesquisa, de caráter quanti/qualitativo, foi desenvolvida em duas etapas. Na

primeira, a investigação teve caráter naturalista ou de campo; conforme Fiorentini e Lorenzato

(2006), em uma pesquisa de campo a coleta de dados é realizada “diretamente no local em

que o problema ou fenômeno acontece” (p. 106).

Na segunda etapa, foram desenvolvidas atividades sobre conteúdos de Trigonometria,

elaboradas com auxílio do GeoGebra, da técnica de screencasting e da criação de vídeos, por

meio do software CamStudio.

3.1 INSTRUMENTOS E PARTICIPANTES DA PESQUISA

Na primeira etapa da pesquisa, foi aplicado um questionário (Apêndice A), com vistas

a analisar dificuldades de alunos de Ensino Médio em relação a conteúdos de Trigonometria,

para, a partir dos resultados, ajustar o planejamento das atividades. Para a análise das

respostas dos alunos ao questionário, foram decididas as respostas que seriam consideradas

corretas, parcialmente corretas ou incorretas e, a seguir, foi feita a contagem do número de

soluções de cada tipo e a sua exemplificação.

Participaram dessa primeira etapa 29 alunos de 2º ano do Ensino Médio, de uma

escola pública do município de Santa Maria, RS. Esta escola pertence a uma comunidade de

um bairro local, apresenta 10 funcionários que, segundo a direção, são chamados de Agentes

Educacionais. É uma escola de Ensino Fundamental, Médio e Educação de Jovens e Adultos

(EJA). No turno da manhã ocorrem as aulas de turmas da 5º a 8º séries do Ensino

Fundamental, sendo duas turmas de 5º, 6º e 7º séries e mais uma turma da 8º série. Já no turno

da tarde, as aulas se destinam a alunos de 1º a 4º séries do Ensino Fundamental, distribuídas

da seguinte maneira: uma turma de 1º série, duas turmas de 2º, 3º e 4º séries.

No Ensino Médio ministrado nessa escola, as aulas ocorrem no turno da manhã, com

uma turma de cada ano, ou seja, 1º, 2º e 3º ano. Esta escola possui também aulas no período

da noite, com turmas do Ensino Médio (uma para cada ano) e EJA. Para os alunos do EJA, as

turmas estão distribuídas em três etapas, que correspondem aos níveis 4, 5 e 6, representando

turmas de 6º, 7º e 8º séries do Ensino Fundamental. A escola tem cerca de 530 alunos.

38

3.2 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES

Após a análise dos livros didáticos e a detecção das dificuldades dos alunos

participantes da pesquisa em relação aos conceitos de Trigonometria, esses tópicos foram

revisados, para que a proposta apresentasse conceitos corretos. Para desenvolver os conteúdos

de Trigonometria, foi escolhido o software GeoGebra, de forma que, passo a passo, os

usuários do material possam compreender os conceitos e as construções feitas.

O conjunto de atividades sugeridas traz a indicação de que o trabalho poderá ser

desenvolvido em duplas ou em grupo, portanto o que irá determinar o número de participantes

vai ser o número de computadores disponíveis para a prática das atividades. A ideia principal

é fazer com que os alunos entendam Trigonometria e passem a expressar, oralmente ou pela

escrita, o que aprenderam e, desta forma, os professores possam mediar a aprendizagem e

propor cada atividade desenvolvida. É sugerido que o trabalho seja desenvolvido com os

alunos a partir do momento em que possuírem domínio do software GeoGebra.

A metodologia do trabalho em grupo, a preocupação com a linguagem ao apresentar

os conteúdos e a interação entre os alunos são pontos relevantes da proposta.

39

4 ANÁLISE DAS RESPOSTAS DOS ALUNOS AO QUESTIONÁRIO

O questionário aplicado aos participantes foi elaborado com questões retiradas de

livros didáticos. As questões A e D foram retiradas de Estephan, Tosatto e Perachi (2002); as

questões B e C, de Bigode (2000).

As respostas esperadas para as questões do teste são apresentadas a seguir:

Questão A) Considere um triângulo equilátero de lado l. Uma altura h desse triângulo

divide a base ao meio.

I) Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo ABH e obtenha uma fórmula para

calcular a altura h, conhecendo-se a medida do lado l.

Resposta:

II) Calcule a medida de h quando:

) 4 c) l= 4 6

) l= 3 d) l= 15 cm

a l cm cm

b cm

=

Respostas:

III) Quanto mede o ângulo Ầ do triângulo ABH?

Resposta: m(Â)=600, porque o triângulo é eqüilátero.

40

IV) Determine o valor de sen60º no triângulo ABH:

Resposta:

B) O pé da escada de 15 cm de comprimento apoiada numa parede está distante 9 m

da parede. Calcule a distância entre o topo da escada e o chão. Um modelo da

situação é dado pelo esquema:

Resposta:

h=12 m

Como a base da escada está sobre o caminhão e a distância desta base ao chão é de 2

metros, conforme a figura, temos:

distância total=h+2

distância total=12+2=14 m

C) Num domingo de sol, Fernanda brinca com sua pipa. A linha já está esticada com 160

m, representando um segmento de reta. Qual a altura aproximada da pipa em relação

ao chão, sabendo que a mão de Fernanda fica a 1,5 m do chão e que a linha forma 15º

com a horizontal e está perfeitamente esticada.

Dicas: cos15º= 0,966 e sen15º = 0,259

41

Resposta:

h1=2,59 x 160

h1=41,44 m

sendo h1 a distância da pipa até a altura em que fica o braço de Fernanda em

relação ao chão.

Desta maneira, para encontrarmos a distância total, devemos somar h1 a 1,5 m , ou

seja:

distância total=h1+1,5

distância total=41,44+1,5=42,94 m

D) Para calcular o raio da Terra, sobe-se numa torre de altura h e mede-se o ângulo θ que a

reta BC do horizonte forma com a vertical BO, do extremo da torre ao centro da terra

(veja a figura):

OBS: Nesta figura, BOC é um triângulo retângulo e o ângulo de 90º está no

vértice C.

a) Qual é a medida da hipotenusa do triângulo BOC?

42

b) Qual é a medida do cateto oposto ao ângulo θ?

c) Como podemos representar a medida do lado BO, quando h mede 1000m?

d) O cateto CO tem a medida igual ao raio da terra?

e) Escreva sen θ em função do raio da terra.

Resposta: Sendo R a medida do raio da terra, temos:

a) h+R

b) m(CO) ou R

c) m(BO)=1000+R

d) Verdadeiro

e)

Portanto, foram consideradas totalmente corretas as respostas que seguiram o padrão

esperado. Se o aluno cometeu algum erro, mas o desenvolvimento esteve de acordo com a

solicitação, sua resposta foi considerada parcialmente correta. As demais situações

distribuíram-se entre “erradas” ou “em branco”. Os resultados são apresentados no Quadro 1,

a seguir.

43

Questões Respostas

Totalmente corretas

Parcialmente corretas

Incorretas Em branco

N. % N. % N. % N. %

A-I 0 0 4 14 11 38 14 48

A-II-a 1 3 0 0 13 45 15 52

A-II-b 1 3 1 3 9 31 18 62

A-II-c 0 0 0 0 11 38 18 62

A-II-d 0 0 0 0 9 31 20 69

A-III 0 0 0 0 8 28 21 72

A-IV 1 3 1 3 5 17 22 76

B 1 3 1 3 12 41 15 52

C 2 7 4 14 12 41 11 38

D-a 10 34 0 0 16 55 3 10

D-b 10 34 0 0 15 52 4 14

D-c 3 10 0 0 7 24 19 66

D-d 10 34 0 0 8 28 11 38

D-e 2 7 1 3 4 14 22 76

Quadro 1 – Distribuição das respostas dos alunos

Na questão A – I, alguns alunos obtiveram uma fórmula errada, mas, ao aplicá-la na

questão II, seu desenvolvimento foi correto. Nesse caso, a questão A-II foi considerada

correta.

Também foram observados muitos erros decorrentes da falta de conhecimento das

operações e propriedades, como exemplo:

- troca de 2a por 2a × ;

- desconhecimento de como calcular o m.m.c, quando necessário;

- confusão na troca de sinais quando era preciso isolar uma variável;

- troca do seno por cosseno, seno por tangente, etc;

- apesar de lembrarem do Teorema de Pitágoras, não houve identificação da

hipotenusa do triângulo retângulo.

44

Foram observadas, também, dificuldades no exercício D – letras ( a, b, c, d, e), em

que os estudantes não souberam retirar os dados apresentados no desenho e responder às

perguntas de acordo com esses dados.

Se observarmos as percentagens apresentadas no Quadro 1, vemos que, em sete

questões, os alunos deixaram em branco mais de 60% das respostas. Nessas mesmas questões,

notamos que o número de acertos é, no máximo, dois. Vemos ainda que as percentagens

respostas totalmente ou parcialmente corretas não chega a 40%, em qualquer das questões.

Esses resultados são preocupantes, levando-se em conta que os alunos frequentavam o 2º ano

do Ensino Médio e era esperado que conhecessem, do Ensino Fundamental, os tópicos

introdutórios à Trigonometria no ciclo trigonométrico, a saber, a Trigonometria no triângulo

retângulo.

A partir da constatação dessas dificuldades e com base nos conteúdos apresentados

nos livros didáticos analisados, sobre Trigonometria, planejamos um conjunto de atividades

para auxiliar professores a desenvolverem esses tópicos, bem como possibilitar aos alunos

uma maneira de aprender de forma autônoma, por meio dos vídeos disponibilizados.

As atividades, elaboradas com auxílio do software GeoGebra e disponibilizadas nos

dois livros, “Livro do Aluno” e “Manual do Professor”, podem ser empregadas em aula

presenciais, em laboratórios de informática das escolas, ou na Educação a Distância, visto que

ficarão disponíveis no site do Mestrado Profissional em Ensino de Física e de Matemática da

UNIFRA.

É importante destacar que o material disponibilizado não é um livro didático, ou seja,

não tem a pretensão de apresentar todos os conceitos ou propriedades necessários ao estudo

da Trigonometria. A utilização do “Livro do Aluno” pressupõe que o conteúdo já tenha sido

apresentado em aulas regulares ou que esteja sendo introduzido pelo professor com auxílio

das atividades. Dessa forma, o aluno pode, no laboratório de informática ou na Internet,

acessar as atividades, resolver os exercícios propostos e estudar os conteúdos de

Trigonometria. Da mesma forma, a sugestão de atividades, apresentada no capítulo 6, é

apenas um indicativo para aulas presenciais de Matemática, para um 2º ano do Ensino Médio,

no trabalho com Trigonometria.

45

5 APRESENTAÇÃO DOS CONCEITOS E ATIVIDADES

Para a elaboração das atividades apresentadas a seguir, sobre os conceitos a serem

trabalhados com os alunos, com o auxílio do software GeoGebra, foram consultados os

seguintes autores, com adaptações: Carmo, Morgado e Wagner (1992); Lima et al. (1996) e

Giovanni e Bonjorno (2005).

5.1 CONSTRUÇÃO BÁSICA COM O GEOGEBRA

Todas as atividades que foram desenvolvidas ao longo deste trabalho têm como

construção básica a sequência apresentada a seguir, passo a passo:

a) Abra o software GeoGebra;

b) Barra de Ferramentas: desloque o seletor até o Menu da janela 11, em seguida

clique em Exibir/Esconder Objeto para ocultar ou exibir os eixos cartesianos, depois

disso, ative outra ferramenta ou pressione Esc. para marcar primeira janela;

c) Barra de Menu: selecione a opção Exibir , depois disso desloque o seletor até a opção

Malha. Neste instante será exibida a malha de fundo na janela de visualização do

GeoGebra;

d) Selecione novamente o Menu da janela 11, procure a opção Ampliar e aumente ou

diminua o tamanho da malha para melhor se adequar à proposta. Este processo

também pode ser feito por meio da barra de rolagem do mouse.

5.2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO

Para definir as razões trigonométricas de um ângulo agudo α, vamos construir um

ângulo agudo, de vértice B e, sobre um dos lados deste ângulo, marcar arbitrariamente os

pontos 1 2 3, A , A , A , ....A Traçamos perpendiculares a esse lado por esses pontos e

determinamos os pontos 1 2 3C, C , C , C , ... respectivamente, no outro lado do ângulo.

46

Figura 7 - Razão trigonométrica no triângulo retângulo

Obtemos, assim, os triângulos retângulos 1 1 2 2ABC, A BC , A BC ,... todos semelhantes.

Podemos, então, estabelecer as relações, em que significa a medida do segmento AC,

significa medida do segmento BC, e assim por diante.

1 1 2 21

1 2

1 22

1 2

1 1 2 23

1 2

... k

... k

... k

AC A CAC

BC BC BC

BA BABA

BC BC BC

AC A CAC

BA BA BA

= = =

= = =

= = =

• O número 1k é chamado seno do ângulo agudo α e se indica por: =AC

senBC

α .

• O número 2k é chamado cosseno do ângulo agudo α e se indica por:

cos =BA

BCα .

• O número 3k é chamado tangente do ângulo agudo α e se indica por:

tan =AC

BAα .

Obs: Os valores de 1k , 2k e 3k variam de acordo com o ângulo ABC e não dependem dos

pontos A1, A2, A3, ...

Essas funções seno, cosseno e tangente não são independentes, pois, aplicando o

teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, temos:

47

e

Atividade 1: Como construir as razões trigonométricas no triângulo retângulo com o

GeoGebra

Passo a passo:

a) abra o software GeoGebra;

b) na Barra de Ferramentas selecione e abra o Menu da Janela 3. Desloque o seletor

até a opção Reta Definida por dois pontos – selecione dois pontos e construa a reta a

na Janela de Visualização do GeoGebra. Ao selecionar, os pontos serão rotulados,

automaticamente, como A, B e reta, como a;

c) nesta mesma janela, construa uma nova reta, b, que passe pelo ponto A e por um outro

ponto, que será rotulado como C; este ponto C será rotulado automaticamente após

clicarmos pela segunda vez na área de trabalho do GeoGebra para criar a reta b.

Pressione ESC;

d) avance o seletor até o Menu da Janela 8, selecione a opção Ângulo –clique

primeiramente sobre o ponto B, depois em A e por último em C para formar o ângulo.

(O ângulo formado deve ser agudo). Pressione ESC;

e) selecione o ângulo anteriormente criado, depois desloque o seletor até a opção Editar.

Selecione Propriedades / Básico – no retângulo onde está indicado Exibir rótulo ,

ative a opção Nome. Feche a opção;

f) ative o Menu da Janela 2 e a opção Novo ponto – utilize a malha de fundo e marque

dois novos pontos sobre a reta a, que serão rotulados como pontos D e E. Pressione

ESC;

g) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta

Perpendicular – clique primeiramente sobre o ponto D, depois sobre a reta a.

Construa desta maneira a reta perpendicular c. Repita este processo clicando sobre o

ponto E e a reta a, construa a reta perpendicular d. Por último, clique sobre o ponto B

depois na reta a, para construir a reta perpendicular e. Pressione ESC;

48

h) retorne para o Menu da Janela 2 e selecione a opção Interseção de dois objetos –

clique diretamente sobre a interseção da reta b com a reta c e encontre o ponto F.

Repita este processo clicando sobre a interseção da reta b com a reta d, para encontrar

o ponto G. Por último, clique na interseção da reta b com a reta e, marque o ponto H.

Pressione ESC;

i) selecione o ponto A, vá até a Barra de Menu, clique em Editar e ative a opção

Propriedades / Básico / Nome – Renomeie o ponto A para ponto B. Observe que o

GeoGebra diferencia um rótulo do outro quando a eles atribuímos um mesmo nome,

por isso aparecerá o ponto B1; repita o processo clicando sobre o ponto B1,

renomeando para A, o ponto E para A, por último o ponto D para ponto A. Nesta

mesma opção, selecione o ponto C. Selecione a opção Exibir rótulo – desmarque o

quadrado à esquerda desta opção para esconder este rótulo. Selecione agora o ponto H,

renomeie este ponto para C, depois disso, selecione os pontos G e F e os renomeie,

respectivamente, para C. Renomeie novamente o ponto 3C para 1C . Feche. Inverta as

posições dos termos 1 2 e AA ;

j) clique sobre o ponto B, desloque o seletor até a Barra de Menu / Editar - selecione a

opção: Propriedades: Estilo / Tamanho do Ponto – reduza para um. Repita este

processo clicando sobre cada ponto e reduzindo para um o tamanho de todos os

demais pontos que aparecem neste desenho. Feche a opção.

Exercício 1:

a) Construa no GeoGebra um triângulo retângulo ABC, de lados AB= 1cm, AC= 2cm,

BC= √5cm, sendo α o ângulo C.

b) Determine os valores de sen α, cos α e tan α.

5.3 ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

Dados dois pontos A e B, distintos, de uma circunferência, um arco de circunferência

é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por esses dois pontos. Na

Figura 8, a seguir, é indicado, em vermelho, o arco AB.

49

Figura 8 - Arco de circunferência AB

Os pontos A e B são chamados de extremidades dos arcos. Para estabelecer a

diferença entre os arcos determinados por A e B, podemos considerar um ponto em cada um

deles; veja Figura 9, a seguir, na qual estão indicados os arcos APB e AQB.

Figura 9 - Distinção entre os arcos APB e AQB

- Se as extremidades de um arco coincidem com as extremidades de um diâmetro, cada um

dos arcos denomina-se semicircunferência (Figura 10).

Figura 10 - Semicircunferência

50

- Se os pontos A e B coincidem, eles determinam na circunferência o arco nulo ou o arco de uma volta (Figura 11).

Figura 11 - Arco nulo e arco de uma volta

Atividade 2: Como construir um arco de circunferência utilizando o software GeoGebra

Passo a passo:


b) desloque o seletor até o Menu da Janela 6 e abra a Caixa de Ferramentas e procure a

opção: Circulo definido pelo centro e um de seus pontos – clique para selecionar o

centro e, depois um ponto do círculo. Cada elemento construído no GeoGebra recebe um

nome, ou seja, um rótulo. Neste caso, temos o círculo c de centro A ao qual pertence o

ponto B;

c) nesta mesma janela, selecione agora a opção: Arco circular dado o centro e dois pontos

- clique primeiramente no centro, depois em dois pontos distintos da circunferência,

considerando B um desses pontos. Neste caso o GeoGebra criará um terceiro ponto de

rótulo C e arco d. Pressione Esc;

d) selecione o centro A e, depois na Barra de Menu desloque o seletor sobre a opção

Editar. Selecione a opção: Propriedades / Básico / Exibir Rótulo – desmarque a caixa

indicada nesse rótulo. Feche a opção;

e) repita o processo anterior, clicando sobre o ponto C, desloque o seletor até a opção:

Básico / Nome – renomeie este ponto para A utilizando o teclado do seu computador,

após, sem fechar a caixa, ative outra opção. Selecione a opção: Estilo / Tamanho do

ponto – reduza para 1, repita este processo para o ponto B e para o centro do círculo. Em

seguida, feche a caixa;

51

f) com o mouse selecione o Arco circular d, após volte para a Barra de Menu, em Editar .

Vá para opção:Propriedades: Cor – Verde / Estilo/ Espessura da linha - mude para 5.

Nesta mesma opção, selecione a circunferência, Estilo/ Estilo de linha – modelo

tracejado. Feche a caixa;

g) Esconda o rótulo que representa o Arco e a Circunferência, da mesma maneira como foi

feito na letra d deste exercício. Feche a caixa.

Atividade 3: Como distinguir um arco do outro utilizando o GeoGebra para a construção

Passo a passo:


b) na Barra de Ferramentas, clique sobre o Menu da Janela 6, abra a Caixa de

Ferramentas e com o seletor desloque até a opção: Circulo definido por três pontos –

selecione três pontos do círculo;

c) clique sobre o ponto A e depois na Barra de Menu e avance o seletor sobre a opção:

Editar / Propriedades / Básico / Nome – digite Q utilizando o teclado, após selecione o

ponto C e renomeie este ponto para A. Depois disso, ative a opção Estilo / Tamanho do

ponto – reduza para 1. Clique também sobre os rótulos B e Q e faça as mesmas reduções.

Feche;

d) selecione agora o Menu da janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção: Novo

ponto - marque este ponto na curva entre A e B, reduza para 1 o tamanho deste ponto e

renomeie para P, como foi feito no item anterior. Feche;

e) na Barra de Ferramentas, avance com o seletor até o Menu da janela 6, selecione a

opção: Arco circular dados três pontos – clique sobre os pontos A, Q e B, nesta ordem,

para criar o Arco Circular d. Pressione ESC;

f) selecione o Arco construído anteriormente e, na Barra de Menu, avance o seletor sobre

Editar / Propriedades / Cor – vermelho / Estilo/ Espessura da linha – altere para 5.

Feche;

g) selecione novamente o Menu da Janela 6, depois disso desloque o seletor sobre a opção:

Arco Circular dados Três Pontos - clique sobre os pontos A, P e B. Após, repita o que

foi feito na letra f deste exercício para o arco de rótulo e. Opções: Propriedades / Cor –

Verde / Estilo/ Espessura do Ponto – altere para 5. Feche;

52

h) selecione agora o rótulo representado pela Circunferência. Esconda-o da mesma maneira

que foi feito na Atividade 2, letra d. Repita este processo para os rótulos que representam

os Arcos;

i) Na Barra de Ferramentas, desloque o seletor sobre o Menu da Janela 10: Selecione a

opção: Inserir texto – escreva na janela, para o Arco de cor verde: “Arco APB”, clique

em OK. Já para o Arco de cor vermelha, repita o processo e escreva: “Arco AQB” e clique

em OK;

j) clique sobre cada rótulo de arco, desloque-os para que fiquem mais visíveis. Na Barra de

Menu, avance o seletor sobre Editar / Propriedades / Cor – vermelho ou verde,

conforme os rótulos se refiram a arcos em vermelho ou em verde.3

Atividade 4: Como construir com o GeoGebra arcos que coincidem com as extremidades de

um diâmetro ou arcos denominados “semicircunferências”

Passo a passo:


b) desloque o seletor até o Menu da Janela 6 e abra a Caixa de Ferramentas, depois disso,

marque a opção: Semicírculo Definido por dois Pontos – selecione dois pontos para

construir o Semicírculo. Estes pontos serão marcados como A e B. Repita este processo

clicando primeiramente em B depois em A. Observe que no primeiro semicírculo o

GeoGebra criou o rótulo c, já para o segundo o rótulo d. Pressione Esc;

c) selecione o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção:

Segmento Definido por dois Pontos – Selecione os pontos A e B para construir o

Segmento de reta que será indicado pelo GeoGebra pelo rótulo a. Pressione Esc. no

teclado do seu computador para ativar em seguida o menu da primeira janela;

d) selecione o Semicírculo c. Vá até a Barra de Menu e faça as mesmas alterações que

foram feitas na Atividade 3, letra f. Repita este processo para o Semicírculo d, desta vez

escolha a cor verde. Feche;

e) selecione a Semirreta a. Vá até a Barra de Menu, avance sobre a opção Editar: desloque

o seletor sobre a opção: Propriedades / Básico / Exibir rótulo – desmarque a caixa

indicada pelo ícone da figura. Repita este processo para o Semicírculo c, depois disso,

3 A mesma operação pode ser feita clicando com o botão direito do mouse sobre o elemento desejado e escolhendo a ferramenta pretendida.

53

para o Semicírculo d. Nesta mesma janela selecione agora o ponto A, opção: Estilo /

Tamanho do ponto – reduza para 1. Repita o este processo para o ponto B. Feche.

Atividade 5: Como construir com o GeoGebra arco nulo ou arco de uma volta

Passo a passo:


b) repita a atividade 2, letra b. Repita mais uma vez o processo e construa uma nova

circunferência com as mesmas características da primeira. Assim teremos um círculo d,

com centro C, ao qual pertence o ponto D;

c) selecione o Menu da Janela 11, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção: Exibir/

Esconder Objeto – selecione os pontos A, depois o ponto C, após ative outra ferramenta

ou pressione Esc. no seu teclado e os pontos A e C são ocultos;

d) na Barra de Ferramentas, retorne para o Menu da Janela 2 e abra esta Caixa de

Ferramentas e ative a opção: Novo Ponto - clique em um ponto qualquer da

circunferência d, que seja diferente do ponto D. Pressione ESC;

e) selecione este ponto e vá até a Barra de Menu, avance em Editar , opções: Propriedades

/ Básico / Nome – renomeie o ponto E para P, digitando em seu teclado, após selecione

outra ferramenta ou feche;

f) clique sobre o ponto B e repita o que foi feito na letra c, mas desta vez, selecione a opção:

Exibir / Esconder Rótulo - selecione o ponto D depois os rótulos c e d, que representam

as circunferências. Eles vão ficar ocultos porque a ferramenta ainda está ativada.

Pressione ESC;

g) ative o Menu da Janela 10 e abra a Caixa de Ferramentas, procure pela opção: Inserir

Texto - clique próximo ao ponto B que foi oculto anteriormente e escreva o texto A≡ B.

Repita este processo próximo ao ponto D, escreva o mesmo texto. Clique em OK;

h) selecionando novamente a janela 10, Insira o Texto, escreva:

Para a primeira circunferência: “AB: Arco Nulo”

Para a segunda circunferência: “APB: Arco de uma volta”.

i) altere a espessura da linha e a cor do texto, para isso vá até a Barra de Menu, avance em

Editar opões: Propriedades / Cor – vermelho para o Arco nulo AB e verde para o Arco

APB.

54

5.4 ÂNGULO CENTRAL

Definição: Ângulo central de uma circunferência é todo ângulo que tem seu vértice no

centro da circunferência e seus lados são semirretas secantes à circunferência.

Diz-se que o arco AB subentende o ângulo central AOB, que está sendo representado

por α, na Figura 12.

Figura 12 - Representação do ângulo central

A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que o subentende. Indica-se a

medida de um arco AB por m (AB).

A medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Por

exemplo, na Figura 13, os arcos AB e CD possuem a mesma medida, porque subentendem o

mesmo ângulo α, porém não têm o mesmo comprimento.

Figura 13 - Representação do ângulo central e de arcos que o subentendem

55

Atividade 6: Como construir um ângulo central no GeoGebra

Passo a passo:


b) repita a atividade 2, letra b;

c) clique sobre o ponto A e, depois vá até a Barra de Menu, clique em Editar opções:

Propriedade / Básico / Nome – renomeie para O este ponto, utilizando o teclado do

computador. Após, selecione o ponto B e renomeie para A. Feche;

d) selecione novamente o Menu da Janela 6 e abra a Caixa de Ferramentas, avance o seletor

sobre a opção: Arco circular dados o centro e dois pontos - selecione o centro e dois

pontos para construir o Arco d, neste caso, o GeoGebra criará um terceiro ponto, B.

Clique em ESC;

e) selecione o Arco d, e na Barra de Menu, clique em Editar, opções: Propriedades / cor –

vermelho / Estilo / espessura da linha – altere para 5. Feche;

f) retorne para o Menu da Janela 3 e abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção:

Segmento definido por dois pontos - selecione os pontos O e A e depois O e B. Os

segmentos criados serão rotulados pelo GeoGebra como OA = a e OB = b. Pressione ESC;

g) selecione agora o Menu da Janela 8, abra esta Caixa de Ferramentas e procure pela

opção: Ângulo - selecione três pontos da circunferência, clique primeiramente sobre o

ponto A, depois no centro O e por último em B. Pressione ESC;

h) selecione este Ângulo, depois desloque até a Barra de Menu e clique sobre Editar ,

opções: Propriedades / Básico / Exibir Rótulo – abra o retângulo a direita e clique sobre

a palavra Nome. Nesta mesma opção, selecione os segmentos OA e OB. Para cada um

destes, desmarque o quadrado à esquerda para esconder o seu rótulo. Esconda também o

rótulo que representa a circunferência c. Ainda para esta, selecione Estilo / Estilo de

linha – modelo tracejado. Feche. Com isso está sendo representado um ângulo central.

5.5 MEDIDAS DE ARCOS EM GRAUS E RADIANOS Para medir ângulos e arcos, utilizamos, como unidades de medida, o grau e o radiano.

a) Grau

56

Um grau é definido como a medida do ângulo central subentendido por um arco igual

a 1

360 da circunferência que contém este arco. Dividindo uma circunferência em 360 partes

iguais, determinamos 360 arcos, cada um deles medindo 1 grau (10). Sendo assim, a

circunferência mede 3600.

Um minuto é igual a 1/60 do grau e 1 segundo é igual a 1/60 do minuto. Assim:

• 1º = 60’ (60 minutos)

• 1’ = 60’’ (60 segundos)

• 1º = 3600’’( 3600 segundos)

b) Radiano

Um radiano é definido como a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da

circunferência que contem esse arco.

A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco

determinado pelo ângulo e o raio da circunferência. Indica-se o radiano por rad.

O comprimento de uma circunferência de raio r é 2πr. Como um arco de comprimento

r mede 1 rad , então um arco de uma volta completa, ou seja, um arco de comprimento 2πr,

mede 2π rad. Dessa forma, podemos concluir que as medidas 3600 e 2π rad são equivalentes.

Dada uma circunferência de raio r, para calcular o comprimento s de um arco AB,

dessa circunferência, em radianos, conhecendo sua medida β, em graus, pode-se usar a

seguinte proporção:

3600 - 2π rad

β - s

Logo,

57

Figura 14 - Comprimento de arco em radianos de uma circunferência

Assim, podemos indicar as equivalências entre as medidas de ângulos em graus e em

radianos, no Quadro 2:

Unidade Medidas

Grau 00 900 1800 2700 3600

Radiano 0

Π

2π

Quadro 2 – Equivalências entre medidas de ângulos em graus e radianos

Atividade 7: Como mostrar o comprimento de um arco em uma circunferência utilizando o

GeoGebra

Passo a passo:


b) desloque o seletor até o Menu da Janela 6; abra a Caixa de Ferramentas e procure a

opção: Circulo definido pelo centro e um de seus pontos - clique em um ponto, que será

o centro, em outro, que será a extremidade do raio e construa um círculo. Neste caso,

teremos o círculo c de centro A e extremidade do raio em B. Repita este processo e

construa outras três novas circunferências com as mesmas características da primeira.

Assim, teremos um círculo d, com centro C e extremidade do raio em D, outro círculo e,

de centro E e extremidade do raio em F e por último teremos uma circunferência f de

centro G e extremidade do raio em H. Pressione ESC;

c) Selecione novamente o Menu da Janela 6, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção:

Arco circular Dado o Centro e Dois de seus Pontos - selecione o centro e depois dois

58

pontos. Este segundo ponto deverá ser o mesmo ponto B e, após o seletor ter percorrido

uma volta completa, o terceiro ponto também será B;

d) repita o processo anterior para as demais circunferências. O seletor deverá percorrer

respectivamente um quarto de volta para criar o rótulo g e o ponto I na segunda

circunferência, utilizando a malha para visualizar a distância pretendida. Depois disso,

meia volta para criar o rótulo h e o ponto J, na terceira circunferência e, por último, três

quartos de volta na quarta circunferência, criando o rótulo k e o ponto K. Pressione ESC;

e) altere a cor e a espessura da linha na circunferência c, conforme foi feito na Atividade 2,

letra f. Depois disso, repita este processo para os demais arcos, considerando também o

Estilo de linha para as circunferências d, e, f;

f) selecione o rótulo c, depois desloque o seletor até a Barra de Menu, avance sobre a

opção Editar , clique sobre a opção: Propriedades /Básico / Exibir rótulo - desmarque o

quadrado que está indicado à esquerda desta opção. Faça o mesmo para os rótulos (d, g, e,

h, f, k). Clique sobre o ponto A e, nesta mesma janela, selecione Exibir Objetos –

desmarque o quadrado a esquerda para esconder este ponto. Repita este processo para os

pontos B, C, D, I, J, E, F, G, H, K. Feche;

g) ative o Menu da Janela 10 e abra a Caixa de Ferramentas, procure pela opção: Inserir

Texto - clique na área de trabalho abaixo de cada circunferência e escreva,

respectivamente, 2 rad.Arco de π , rad.Arco deπ , rad.2

Arco deπ

e 3

rad.2

Arco deπ

Como foi feito anteriormente, altere a cor de cada texto para verde.

Exercício 2: Construa, usando o GeoGebra:

a) um arco de 750

b) um arco de 142º

c) um arco de 2500

d) um arco de 3200

5.6 CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA

Uma circunferência pode ser percorrida em dois sentidos. Quando um deles é

escolhido como sendo o positivo, então se diz que a circunferência está orientada. Na Figura

11, o arco AB pode ser percorrido no sentido anti-horário (deslocamento do arco vermelho, na

59

figura 15) ou horário (deslocamento do arco verde). Estabelecemos como positivo o sentido

anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros de um relógio) e, como negativo, o

sentido horário.

Figura 15 - Arcos Orientados

Atividade 8: Como construir um arco orientado com o GeoGebra

Passo a passo:



c) selecione o ponto A e vá até a Barra de Menu e clique em Editar , ative a opção:

Propriedades / Básico / Nome – renomeie o ponto A para ponto O com auxilio do

teclado, repita este processo clicando em B, renomeando para A. Feche;

d) ative o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção: Reta

Definida por dois Pontos – Selecione os pontos O e A para construir a reta a;

e) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e com o seletor marque a

opção: Reta Perpendicular – clique primeiramente sobre o ponto O, depois sobre a reta

construída no item anterior para construir a reta perpendicular b;

f) ative agora o Menu da janela 2 e com o seletor abra a Caixa de Ferramentas e selecione

a opção: Interseção de dois objetos - clique sobre a interseção do círculo com a reta

perpendicular para marcar o ponto B na semicircunferência superior;

60

g) desloque o seletor até o Menu da Janela 11, a seguir abra a Caixa de Ferramentas e

selecione a opção: Exibir / Esconder rótulo – selecione a circunferência c, para esconder

o rótulo. Ative outra ferramenta ou pressione ESC;

h) no Menu da Janela 3, abra novamente a Caixa de Ferramentas e selecione a opção:

Segmento definido por dois pontos – selecione o ponto O depois o ponto A, para

construir o segmento d. Repita este processo clicando novamente sobre este centro, depois

no ponto B para construir o segmento e. Pressione ESC;

i) refaça o que foi feito na letra g deste mesmo exercício, porém ative a opção Exibir /

Esconder objetos – selecione os objetos representados pelas retas a, b depois disso,

pressione ESC. Já para os rótulos e, d, repita o que foi feito na letra g;

j) selecione o Menu da Janela 8, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção: Ângulo –

selecione três pontos, começando por A, depois em O e por último em B. Pressione ESC

ao final;

k) selecione agora o ângulo construído anteriormente, a seguir desloque o seletor até a Barra

de Menu, clique em Editar , opção: Propriedades / Básico / Exibir Rótulo e desmarque

a caixa à esquerda. Feche;

l) avance o seletor até o Menu da Janela 6, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a

opção: Arco Circular dados o Centro e dois Pontos – Selecione o centro O, depois A e

por último desloque o seletor pela circunferência até encontrar B e construa o arco f.

Repita o processo clicando em OBA para criar o arco g. Pressione ESC;

m) selecione o setor f, vá à Barra de Menu, Editar e clique sobre a opção: Propriedades /

Cor - vermelho / Estilo – altere para 5. Faça o mesmo para o Setor g. Utilize a cor verde e

estilo 5 para fazer essas mesmas alterações. Esconda os rótulos que representam a

circunferência c e os arcos, da mesma forma em que foi feito anteriormente na letra g

deste exercício. Pressione ESC;

n) agora selecione o segmento AO, desloque o seletor até a Barra de Menu, clique em

Editar , depois selecione a opção: Propriedades / Estilo de Linha – modelo tracejado

Faça o mesmo para o segmento OB. Feche;

o) ative o Menu da Janela 10 e abra a Caixa de Ferramentas, procure pela opção: Inserir

Texto - clique na área de trabalho e escreva para o arco vermelho: medida (AB) = π ⁄ 2 rad

e clique em OK. Repita este processo para o arco verde, neste escreva: medida (AB) = -3π

⁄ 2 rad e clique em ok;

61

p) altere a cor dos textos escritos no item anterior. Desloque o seletor até a Barra de Menu,

clique em Editar , depois selecione a opção: Propriedades / Cor - vermelho. Repita este

processo para o arco verde.

5.7 ARCOS CÔNGRUOS

Ao percorrer uma circunferência orientada no sentido positivo, um arco que mede

mais do que 2π rad é um arco de mais de uma volta. Da mesma forma, ao percorrer no

sentido negativo, um arco menor do que 2π rad é um arco de mais de uma volta. Com isso,

podemos ter arcos com mesma origem A e mesma extremidade B que diferem apenas pelo

número de voltas. Esses arcos são denominados arcos côngruos de uma circunferência.

Em uma circunferência orientada, se o arco medir α radianos, a expressão geral dos

arcos côngruos a ele é dada por:

Também se diz que α + 2kπ são as várias determinações do arco e que α é sua

primeira determinação. Não é possível representar com o Geogebra as várias determinações,

porque nele os arcos são sempre demarcados pela menor.

5.8 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Fixados dois eixos perpendiculares, que se cortam em um ponto O, podemos orientá-

los da seguinte maneira: no eixo horizontal, o sentido positivo é para a direita e no eixo

vertical, o sentido positivo é para cima. O plano associado a esse sistema de eixos, chamado

sistema cartesiano ortogonal, é o plano cartesiano. Dado um ponto P qualquer do plano

cartesiano, traçam-se por P paralelas aos eixos cartesianos, obtendo, na intersecção com os

respectivos eixos, os pontos P1 e P2, em que P1 se encontra no eixo horizontal e P2, no eixo

vertical. A medida do segmento , indicada por x, é chamada abscissa do ponto P; a

medida do segmento , indicada por y, é chamada ordenada do ponto P. (Figura 16).

62

Figura 16 – Eixos Perpendiculares Orientado

Observe agora as extremidades dos quadrantes do ciclo trigonométrico. Cada arco

trigonométrico tem como extremidade um único ponto na circunferência, isto é, a cada x real

podemos associar um único ponto na circunferência, ao qual chamamos de imagem de x no

ciclo. O ponto B, de coordenadas (0, 1) é a extremidade do 1° quadrante e o arco AB mede

. O ponto C, de coordenadas (-1,0) é a extremidade do 2° quadrante e o arco AC mede

. O ponto D, de coordenadas (0,-1) é a extremidade do 3° quadrante e o arco AD mede

. Finalmente o ponto A é extremidade do 4° quadrante e o arco ABA mede 2π rad

(Figura 17).

Figura 17 - Circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico

Exercício 3:

Determine os quadrantes onde se encontram as extremidades dos arcos de:

63

a) 2630º

b) -1645º

Atividade 9: Como construir no GeoGebra uma circunferência trigonométrica

Passo a passo:



c) selecione o ponto A, vá até a Barra de Menu, clique em Editar e ative a opção

Propriedades / Básico / Nome – Renomeie o ponto A para ponto O com o auxilio do

teclado, repita este processo clicando em B, renomeando para A. Feche ou pressione ESC;

d) ative o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção Reta


e) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta

Perpendicular – clique primeiramente sobre o ponto O, depois disso sobre a reta

construída no item anterior e construa a reta perpendicular b;

f) selecione o Menu da janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e clique sobre a opção

Interseção de dois objetos – clique sobre a interseção da reta a com a circunferência c

para marcar os pontos B (à esquerda). Repita o processo clicando sobre a reta b e depois

na circunferência c para marcar os pontos C (acima) e D (abaixo). Pressione Esc.;

g) renomeie o ponto D para B, B para C e C para D da mesma maneira que foi feito nesta

atividade, letra c;

h) avance o seletor sobre o Menu da janela 10, abra a Caixa de Ferramentas e clique sobre

a opção Inserir Texto - selecione um ponto da reta a, localizado no intervalo de O até A e

escreva o texto: r = 1. Selecione novamente esta opção e escreva junto ao ponto A: (1, 0).

Repita este processo para os pontos B, C e D escrevendo, respectivamente, (0, 1), (-1, 0) e

(0, -1). De maneira análoga, marque na circunferência os respectivos quadrantes no

sentido anti-horário: I, II, III e IV, utilizando a opção inserir texto. Escreva também, para

o arco que representa o quadrante I, = 2

AB radπ

, para o que representa o quadrante II,

= .AC radπ , para o que representa o quadrante III 3

= rad.2

ADπ

e para o que

representa o quadrante IV, = 2 rad.ABA π

64

i) selecione o centro O e desloque o seletor até a Barra de Menu, clique em Editar e

marque a opção: Propriedades: Estilo / Tamanho do Ponto – reduza para um. Repita

este processo clicando sobre os pontos A, B, C e D. Feche a opção.

5.9 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

a) Seno e Cosseno

As razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) tinham sido definidas no item 5.2

apenas para um ângulo agudo, ou seja, para 00<α<900. Como um ângulo pode ser medido em

radianos, então ficam definidos o seno, o cosseno e a tangente para o intervalo (0,π/2) em ℝ.

Agora, vamos estender essas definições para todos os reais (se possível), de forma que sejam

mantidas as relações: sen2x+cos2x=1 e .

Dada uma circunferência trigonométrica C e um número real x, vamos percorrer a

circunferência, a partir da origem A, um comprimento igual a x, no sentido positivo se x>0 e

no sentido negativo, se x<0, atingindo um ponto M da circunferência que chamaremos de

M(x). Seja a função E: ℝ → C tal que a cada x ∈ ℝ associa o ponto M(x) da circunferência.

Se x>2π , é necessário dar mais de uma volta até atingir o ponto M; da mesma forma, se x<0.

M(x) é um ponto bem definido, pois, se tomarmos um ponto qualquer P da

circunferência C, ele é imagem, pela função E, de uma infinidade de números reais, da forma

x+2kπ, com k ∈ Z e 0≤x≤2π. Portanto, conforme já vimos, x e x+2kπ são arcos côngruos.

Seja então, na Figura 18, o arco AM, cuja medida m(AM) é igual a x. M é o ponto na

circunferência, de ordenada M ´ e abscissa M ”. Como o arco AM é determinado pelo ângulo

central AOM, da circunferência trigonométrica, então m(AOM)=x.

65

Figura 18 – Representação do seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico.

No triângulo retângulo OM’M, temos:

Pelo teorema de Pitágoras,

Assim, mantém-se uma das relações trigonométricas.

Na Figura 18, o eixo horizontal orientado recebe o nome de eixo dos cossenos e o eixo

vertical orientado, eixo dos senos.

b) Tangente

Na Figura 18, o eixo paralelo ao eixo das ordenadas, passando pelo ponto A, é

chamado eixo das tangentes, cuja origem é A e o sentido positivo é para cima. Seja T o ponto

de intersecção da semirreta com o eixo das tangentes. Definimos como tangente de x a

medida do segmento AT.

Os triângulos OM´M e OAT são semelhantes, porque têm dois ângulos

respectivamente congruentes. Portanto, os lados homólogos são proporcionais. Logo:

66

Assim, mantém-se a segunda relação trigonométrica.

Note que, para esta definição, é necessário que

Atividade 10: Como construir no GeoGebra a representação do seno, cosseno e tangente de

um ângulo, no ciclo trigonométrico

Passo a passo:



c) selecione o ponto A e vá na Barra de Menu, clique em Editar e ative a opção

Propriedades / Básico / Nome – Renomeie o ponto A para ponto O, repita este processo

clicando em B e renomeando para A. Feche a opção;






f) selecione o Menu da Janela 2, depois disso abra a Caixa de Ferramentas e selecione a

opção Novo ponto – clique em um ponto qualquer que esteja sobre circunferência c e que

pertença ao primeiro quadrante e ele será nomeado como B. Pressione Esc. Após,

renomeie este ponto B para ponto M, como foi feito anteriormente na letra c deste mesmo

exercício;

g) selecione o Menu da Janela 4 e abra a Caixa de Ferramentas. Avance o seletor sobre a

opção Reta paralela – Clique sobre o ponto M e depois sobre a reta a. Repita novamente

o que foi feito, clicando mais uma vez no ponto M, a seguir na reta b. Assim, construímos

uma reta d, paralela à reta a e a reta e, paralela à reta b;

67

h) selecione novamente o Menu da Janela 2, desta vez selecione a opção Interseção de

dois objetos – clique diretamente sobre a interseção da reta b com a reta d para marcar o

ponto B. Repita novamente, clicando agora sobre a intersecção da reta e com a reta a, para

marcar o ponto C. Pressione Esc.;

i) clique sobre o ponto B e renomeie para M’, da mesma maneira que foi feito anteriormente

na letra c. Repita este processo clicando no ponto C e renomeando para M’’. Nesta mesma

janela selecione a opção: Estilo / Tamanho do ponto – reduza para 1.Reduza também os

pontos M, M’, O e A. Feche a opção;

j) construa uma nova reta que passe pelos pontos O e M da mesma maneira que foi feito

anteriormente na letra d. Observe que esta reta ficou renomeada como reta f. Pressione

Esc;

k) selecione o ponto A e depois construa – como foi feito anteriormente, na letra e - uma

nova reta perpendicular à reta a, passando por A, que será nomeada pelo GeoGebra como

g. A seguir, marque o segundo ponto de interseção da reta f com a reta g, seguindo os

mesmos passos da letra h deste exercício, clicando sobre a interseção, encontrando B.

Pressione Esc.;

l) selecione o ponto B e na Barra de Menu desloque o seletor em Editar e ative a opção

Propriedades / Estilo / Tamanho do ponto – reduza para 1. Nesta mesma janela,

selecione a opção Básico / Nome - renomeie este ponto para T. Feche a opção;

m) clique no Menu da Janela 3 e abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção

Segmento definido por dois pontos - trace os segmentos OM, OT, OM’, OM’’, MM’,

MM’’, OA e AT. Estes segmentos vão ser nomeados, automaticamente, pelo GeoGebra.

Pressione Esc.;

n) selecione o Menu da Janela 11, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção Exibir

esconder / objetos – clique sobre as retas d, e, f. Pressione Esc;

Para arcos maiores do que 900, ou seja, no segundo, terceiro e quarto quadrantes,

modificam-se as representações do seno, cosseno e tangente, apresentadas na Figura 19:

68

Figura 19 – Representações do seno, cosseno e tangente nos segundo, terceiro e quarto quadrantes.

Atividade 11: Como construir no GeoGebra as representações do seno, cosseno e tangente

para arcos maiores que 90º

Passo a passo:


b) repita a atividade 2, letra b. Repita o processo e construa outras duas novas

circunferências com as mesmas características da primeira, ou seja, com raios de mesma

medida que o da primeira circunferência. Assim, teremos uma circunferência d, com

centro C e extremidade do raio em D e por último teremos uma circunferência e, de centro

E e extremidade do raio em F. Pressione ESC;

c) selecione o Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas e selecione a opção Reta

definida por dois Pontos – Selecione os pontos A e B para construir a reta que será

indicada pelo GeoGebra pelo rótulo a. Pressione ESC;

d) selecione o Menu da Janela 4, abra a Caixa de Ferramentas e marque a opção Reta

Perpendicular – clique primeiramente sobre o ponto A, depois disso sobre a reta a,

construída no item anterior e construa a reta perpendicular b. Repita o processo clicando

sobre o ponto C, e depois sobre a reta a, para construir outra perpendicular, ao ponto C, de

rótulo f. Por último, clique sobre o ponto E, depois na reta a, para construir a última

perpendicular pretendida, de rótulo g;

e) selecione o Menu da Janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e ative a opção Novo

ponto – Na primeira circunferência, clique em um ponto qualquer sobre ela, pertencente

ao 2º quadrante, para marcar o ponto G. Repita este processo para a segunda

circunferência e marque um ponto qualquer do 3º quadrante e encontre H, por último, na

69

terceira circunferência, marque um novo ponto que pertença ao 4º quadrante que será

rotulado como ponto I. Pressione ESC;

f) repita o que foi feito na letra c deste mesmo exercício, desta vez selecione os pontos A e G

para construir a reta h. Repita o processo e clique sobre os pontos C e H e construa a reta

i. Por último clique sobre os pontos E e I para construir a reta j. Pressione ESC;

g) selecione o Menu da Janela 4 e abra a Caixa de Ferramentas. Avance o seletor sobre a

opção Reta perpendicular – Clique sobre o ponto G e depois sobre a reta a, para

construir a reta perpendicular k. Repita novamente o que foi feito, clicando sobre o ponto

B, a seguir na reta a, para construir a reta perpendicular l. Na segunda circunferência,

clique sobre o ponto H, depois sobre a reta a para construir a reta m. Clique sobre o ponto

D após, sobre a reta a e encontre a reta n. Na terceira circunferência clique sobre o ponto

F, depois sobre a reta a e encontre a reta perpendicular p. Por último clique sobre o ponto

I, após sobre a reta a e encontre a reta perpendicular q. Pressione ESC;

h) volte ao Menu da Janela 4 e selecione a opção Reta paralela – clique sobre o ponto G e

depois sobre a reta a, para construir a reta r, paralela à reta a. Repita o processo clicando

sobre o ponto H e depois sobre a reta a para construir a reta paralela s. Por último clique

sobre o ponto I, depois sobre a reta a para encontrar a paralela t. Pressione ESC;

i) selecione novamente o Menu da Janela 2, desta vez selecione a opção Interseção de

dois objetos – Para a primeira circunferência clique diretamente sobre a interseção da reta

a com a reta k para marcar o ponto J. Repita novamente o processo clicando agora sobre a

interseção da reta b com a reta r para marcar o ponto K. Por último, clique diretamente

sobre a interseção da reta h, com a reta l para marcar o ponto L. Para a segunda

circunferência clique sobre a interseção da reta a com a reta m para encontrar o ponto M.

Clique agora sobre a interseção da reta s com a reta f para marcar o ponto N. Por último,

clique na interseção da reta i com a reta n e encontre o ponto O. Para a terceira

circunferência clique sobre a reta g com a reta t para marcar o ponto P. Clique novamente

sobre a interseção da reta a com a reta q, para encontrar o ponto Q, depois clique na

circunferência e, depois sobre a reta j para marcar o ponto R. Por último clique sobre a

interseção da reta j com a reta p e encontre o ponto S. Pressione ESC;

j) no Menu da Janela 3, abra novamente a Caixa de Ferramentas e selecione a opção:

Segmento definido por dois pontos – selecione o ponto L depois o ponto G, para

construir o segmento 1a . Repita este processo clicando sobre o ponto K depois em G e

construa o segmento1b . Agora sobre o ponto J depois em G para construir o segmento 1c .

70

Por último para esta primeira circunferência, clique sobre os pontos B e L e construa o

segmento 1d . Para a segunda circunferência, construa os seguintes segmentos, clicando

respectivamente sobre os pontos H e O, segmento 1e , pontos H e M, segmento 1f , pontos

H e N, segmento 1g . Por último, pontos D e O para o segmento 1h . Já para a terceira

circunferência, clique sobre os pontos S e R e marque o segmento 1i , agora sobre os

pontos P e I e encontre o segmento1j , depois sobre os pontos Q e I e encontre 1k . Por

último sobre os pontos F e S e marque o segmento 1l . Pressione ESC;

k) Selecione a reta k, depois desloque o seletor até a Barra de Menu, opção Propriedades.

Ative o ícone Básico / Exibir objetos – desmarque a caixa à esquerda desta opção.

Depois disso, para esta circunferência, nesta mesma opção, clique sobre as retas h, r, s e l.

Repita este processo para a segunda circunferência. Clique sobre a reta m depois sobre a

reta i, por último sobre a reta n, para que possamos escondê-las. Para a terceira

circunferência, nesta mesma opção, selecione a reta j, depois a reta q, p e por último a reta

t.

l) sem fechar esta janela, nesta mesma opção, selecione o rótulo 1b , opção Nome – clique

dentro do retângulo ao lado e renomeie este rótulo para cosseno. Repita este processo,

escrevendo o mesmo nome para os rótulos 1 1g e j . Já para os segmentos 1 1 1, f e kc , nesta

mesma opção, renomeie-os para seno. Para os segmentos 1 1 1, h e ld , renomeie para

tangente. Nesta ordem, selecione o rótulo cosseno da primeira circunferência. Cor –

vermelho / Estilo / Espessura da linha – altere para 5. Repita este processo para os

rótulos cosseno da segunda e terceira circunferência. Agora selecione o rótulo seno. Cor –

azul / Estilo / Tamanho do ponto - altere para 5. Já para o rótulo tangente, escolha a

Cor- verde e faça as mesmas alterações. Observe que no GeoGebra, quando renomeados

os rótulos para nomes iguais, ele diferencia em sequência numérica um rótulo do outro.

Nesta janela, volte para a opção Básico / Exibir rótulo – esconda todos os demais rótulos

que aparecem na sua tela. Feche a opção.

m) selecione o Menu da Janela 6, opção Setor circular dado o centro e dois pontos.

Clique sobre o centro A da primeira circunferência, depois sobre o ponto B, após desloque

o seletor sobre a circunferência até encontrar o ponto G. Desta maneira vai ser criado o

arco 1c . Repita este processo para a segunda circunferência. Desta vez, clique sobre os

pontos escondidos C, D e H, para construir o arco 1d . Para a terceira circunferência,

71

clique sobre os rótulos também escondidos E, F e I, para construir o arco 1f . Pressione

ESC;

n) selecione o arco da primeira circunferência, depois disso, na Barra de Menu, desloque

em Propriedades / Estilo / Preenchimento- altere para 25. Repita este processo para a

segunda e terceira circunferência. Feche.

5.10 VALORES ESPECIAIS DE SENO E COSSENO DE UM ÂNGULO

Vamos destacar os valores de seno e cosseno para os arcos de 0 rad, rad, π rad,

rad e 2π rad, indicados no Quadro 3:

Radiano 0

π

2π

Seno 0 1 0 -1 0

Cosseno 1 0 -1 0 1

Quadro 3 – Valores especiais de seno e cosseno

Exercício 4:

Com o auxilio da representação feita no GeoGebra, determine:

a) cos 7π ⁄ 2 c) tan 11π

b) sen (- 900)

5.11 REDUÇÃO DO SEGUNDO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE

Conforme a Figura 20, considerando o eixo das ordenadas como eixo de simetria,

podemos encontrar os valores de seno e cosseno de um ângulo que se encontra no segundo

quadrante, isto é, tal que π/2 < x < π. Traçando uma paralela ao eixo das abscissas pelo ponto

B, determinamos o ponto B´de modo que o triângulo OBB´ é isósceles, pois os lados OB e

OB´tem mesma medida (a medida do raio). Logo, os ângulos da base são congruentes. Duas

paralelas cortadas por uma transversal (OB) determinam ângulos congruentes. Assim,

72

O) = m(AÔB´). Portanto, x = m(AÔB´). Podemos indicar

m(AÔB´) por π-x e, assim, sen(π-x) = sen x e cos (π-x ) = -cos x.

Logo, por uma das relações trigonométricas,

Figura 20 - Redução do segundo para o primeiro quadrante

Atividade 12: Redução do segundo para o primeiro quadrante utilizando o GeoGebra

Passo a passo:



c) selecione o ponto A e vá até a Barra de Menu, clique em Editar , ative a opção

Propriedades / Básico / Nome – Renomeie o ponto A para ponto O e repita este processo

clicando em B, renomeando para A. Feche a opção;






73

f) insira um ponto B na circunferência c, no primeiro quadrante; repita o que foi feito

anteriormente na letra d para construir a reta d que passará pelo centro O e por este ponto

B. Pressione ESC;

g) selecione o Menu da janela 4, abra a caixa de Ferramentas e avance o seletor até a

opção Reta Paralela – clique sobre o ponto B e sobre a reta a, para criar a reta e, paralela

à reta a. Pressione ESC;

h) no Menu da Janela 2, abra a Caixa de Ferramentas e selecione opção Interseção de

dois Objetos - clique sobre a intersecção da reta e, com a circunferência c para marcar o

ponto C. Pressione ESC. Depois disso renomeie este ponto para B’, como foi feito

anteriormente na letra c deste mesmo exercício. Repita este mesmo processo, clicando

sobre a intersecção da reta a, com a circunferência c, renomeie este ponto para A’;

i) clique no Menu da Janela 3, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção Segmento

definido por dois pontos - construa os segmentos OB e OB’, de rótulos f e g;

j) ative o Menu da Janela 11, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção Exibir /

esconder objetos - clique sobre a reta d, após pressione ESC;

k) desloque o seletor até a Barra de Menu e ative o modo Editar . Procure a opção

Propriedades / básico – exibir rótulo - selecione o rótulo f do segmento OB, depois

disso desative esta marcação, clicando com o seletor no quadrado indicado por esta opção.

Faça o mesmo para os rótulos c e g. Agora, nesta mesma janela, selecione a reta e e, com

Estilo / Estilo de linha - selecione o modelo tracejado. Feche;

l) agora ative o Menu da janela 8, opção Ângulo, selecione a reta a, depois o segmento

OB.Pressione ESC. Agora esconda o rótulo do ângulo, como foi feito no item anterior.

Ative a opção Cor / azul / Estilo / Tamanho – reduza para 20 / Preenchimento – altere

para50. Feche;

m) ative o Menu da Janela 10, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção: Inserir

Texto – clique em um ponto próximo ao ângulo construído anteriormente, digite “x” e

clique em OK;

n) construa um novo ângulo, como foi feito na letra l deste mesmo exercício. Desta vez

selecione a reta e e o segmento OB’. Pressione ESC. Esconda o rótulo e depois ative a

opção Estilo / Tamanho – altere para 50 / Preenchimento – altere para 25. Feche;

o) ative novamente a opção Inserir Texto como foi feito anteriormente e escreva em um

ponto correspondente ao arco AB`, “π – x” e clique em OK;

74

p) ative a Barra de Menu como foi feito anteriormente, Propriedades / Estilo / Tamanho

do ponto – clique sobre cada ponto e reduza para 1. Feche.

5.12 REDUÇÃO DO TERCEIRO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE

Conforme a Figura 21, prolongando o segmento OB na direção do terceiro quadrante,

encontramos o ponto B´ na intersecção com a circunferência trigonométrica. Os ângulos AÔB

e A´ÔB´ são congruentes porque são opostos pelo vértice. Mas m(A´ÔB´)=π+x . Assim:

Figura 21 – Redução do terceiro para o primeiro quadrante

sen(π+x)= - sen x

cos (π+x) = - cos x

tg(π+x) = tg x

5.13 REDUÇÃO DO QUARTO PARA O PRIMEIRO QUADRANTE

Na Figura 22, se traçarmos uma paralela ao eixo das ordenadas pelo ponto B, então, o

triângulo BOB´ é isósceles, porque a medida dos lados OB e OB´são iguais (são raios da

circunferência). Logo, os triângulos A´OB e A´OB´ são congruentes pelo caso Lado-ângulo-

ângulo oposto, porque é perpendicular a .

Assim, os ângulos BÔA´ e B´ÔA´são congruentes e podemos escrever:

75

Figura 22 – Redução do quarto para o primeiro quadrante

sen (2π-x)= - sen x

cos (2π-x)=cos x

tg(2π-x)=- tg x

Exercício 5:

Construa, utilizando o Software GeoGebra, as representações para:

a) Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante;

b) Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante;

Exercício 6:

A partir das reduções ao primeiro quadrante, determine, usando o GeoGebra:

a) sen 8π ⁄ 3 c) tan 37π ⁄ 4

b) cos 240º

5.14 GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE

a) Funções periódicas

Definição: Uma função f: ℝ → ℝ chama-se periódica quando existe um número k ≠ 0

tal que f(x+k)=f(x), para todo x ∈ ℝ. O menor valor positivo de k é chamado período da

função f.

No item 5.9, vimos que, dada uma circunferência trigonométrica C, a cada número

real x corresponde, por uma função E, um ponto M da circunferência que chamamos de M(x).

76

Também vimos que M(x) é um ponto bem definido, pois, se tomarmos um ponto

qualquer P da circunferência trigonométrica, ele é imagem, pela função E, de uma infinidade

de números reais, da forma x+2kπ, com k ∈ Z e 0≤x≤2π. Portanto, conforme já vimos, x e

x+2kπ são arcos côngruos e sen (x+2kπ)=sen(x), cos(x+2kπ)=cos x e tg (x+2kπ)=tg x; nesse

último caso, é necessário lembrar que

Assim, as funções seno, cosseno e tangente são periódicas e temos elementos para

construir os seus gráficos, denominados, respectivamente, de senóide, cossenóide e

tangenóide.

I) Seja a função f: ℝ → ℝ, definida por y = senx. Para a representação do seu gráfico,

vamos tomar apenas valores de x no intervalo [0, 2π];

� O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais: D= ℝ;

� O conjunto imagem da função y = sen x é o intervalo [-1,1]; isto é, -1 ≤ sen x ≤ 1 e,

para ∀ y ∈ [-1,1] ⋺ x ∈ ℝ tal que y= sen x

� Toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x, a função seno assume o

mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo em que isso acontece, o período da

função y = sen x é P = 2π.

Figura 23- Gráfico da função seno em um período

Atividade 13: Como construir o gráfico da função seno utilizando o GeoGebra

Passo a passo:


77

b) desloque o seletor até a Barra de Menu, avance até o ícone Opções / Janela de

Visualização. Marque o quadrado referente à Distância, após abra o retângulo ao lado e

selecione / Unidades - marque π / Rótulo – marque x. Feche;

c) na parte inferior da tela da área de trabalho do GeoGebra, existe uma barra chamada,

Campo de Entrada. Clique dentro do retângulo, depois disso, na caixa ao lado com um

sinal de igualdade. Procure a função sin(x). Clique nesta opção para que ela possa aparecer

no retângulo maior, tecle Enter. Assim, está construído o gráfico da função seno, que é

chamado senóide;

d) ative o Menu da Janela 2, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção Novo Ponto:

marque este ponto clicando na reta x, sobre a distância 2

π, que será o ponto A, a seguir

marque um novo ponto na distância 3

2

π, que será o ponto B. Pressione ESC;

e) ative o Menu da Janela 4, selecione a opção Reta Perpendicular - clique sobre o ponto

A, depois sobre a reta x e construa a perpendicular a. Repita este mesmo processo, clicando

sobre o ponto B e a reta x para construir a reta perpendicular b. Pressione ESC;

f) selecione o rótulo f (senóide), volte a Barra de Menu e avance até Editar . Desloque o

seletor sobre a opção Propriedades / Básico – nome: substitua o nome deste rótulo por

Senóide. Cor – azul. Feche;

g) ative novamente o Menu da Janela 2, desta vez selecione a opção Intersecção Entre

Dois Objetos - clique na intersecção da reta a com a curva Senóide para marcar o ponto C.

Repita o processo, clicando na reta b e na curva Senóide para marcar o ponto D. Pressione

ESC;

h) ative o Menu da Janela 3 e abra a Caixa de Ferramentas. Selecione a opção Segmento

Definido Por Dois Pontos - construa os segmentos AC e BD. Pressione ESC. Volte para a

Barra de Menu, Editar, selecione o ponto A. NA opção Propriedades / Estilo /

Tamanho do ponto – reduza para 1. Repita este processo para os pontos B, C e D. Com

esta mesma janela aberta, clique sobre a reta a, na opção Básico / Exibir objetos –

desmarque o ícone indicado pela figura. Repita este processo para a reta b. Agora clique

sobre o segmento AC, para que possamos alterar a sua cor e espessura da linha. Cor –

vermelho / Estilo / Espessura de linha – altere para 5. Repita este processo para o

segmento BD. Por último clique sobre o rótulo do ponto A. Ative a opção: Básico / Exibir

78

Rótulo – desmarque o quadrado representado por este ícone, faça o mesmo para os rótulos

B, C e D. Feche;

i) selecione novamente o Menu da Janela 3, ative a opção Segmento de reta, como foi feito

anteriormente. Clicando sobre o eixo vertical e em um ponto abaixo da senóide, construa

um segmento cujo comprimento é 2π (EF). Depois disso, esconda todos os rótulos que

representam os segmentos de reta, seguido dos pontos E e F. Para isso siga os mesmos

passos do item anterior. Da mesma maneira reduza o tamanho destes pontos, ativando a

opção: Estilo / Tamanho do ponto – reduza para 1. Feche;

j) ative o Menu da Janela 10, abra a Caixa de Ferramentas, selecione a opção Inserir

Texto – Clique acima do segmento construído anteriormente e escreva: P = 2π. Altere o

formato deste texto para uma fonte maior em negrito. Para isso, ative a Barra de Menu,

Editar, opções: Propriedades / Texto – negrito, fonte 18. Clique em OK.

II) Seja a função f: ℝ → ℝ, definida por y = cos x. Para a representação do seu gráfico, vamos

tomar apenas valores de x no intervalo [0, 2π].

� O domínio da função y = cos x é o conjunto dos números reais: D= ℝ;

� O conjunto imagem da função y = cos x é o intervalo [-1,1]; isto é, -1 ≤ cos x ≤ 1 e,

para ∀ y ∈ [-1,1] ⋺ x ∈ ℝ tal que y= cos x

a) Toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x, a função cosseno assume o

mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo em que isso acontece, o período da

função y = cos x é P = 2π.

Figura 24 - Gráfico da função cosseno em um período

79

Atividade 14: Como construir por meio do GeoGebra o gráfico da função cosseno

Passo a passo:

Para construir esta atividade usaremos alguns passos que foram empregados na

atividade anterior:


b) refaça a letra b do exercício anterior;

c) refaça a letra c do exercício anterior, desta vez selecione a função cos (x);

d) refaça a letra d do exercício anterior, clique na reta x sobre a distância π, para marcar o

ponto A. A seguir, na distância 2π, para marcar o ponto B;

e) refaça a letra e do exercício anterior;

f) refaça a letra f do exercício anterior, desta vez, renomeie o rótulo f para Cossenóide, cor

azul;

g) refaça a letra g do exercício anterior, desta vez clique sobre a intersecção da reta a, com a

curva Cossenóide para marcar o ponto C, depois disso repita o processo clicando na

intersecção da reta b com a Cossenóide para marcar o ponto D;

h) refaça a letra h do exercício anterior;

i) refaça a letra i do exercício anterior;

j) refaça a letra j do exercício anterior.

Seja o conjunto A, determinado por:

Seja a função f: ℝ - A → ℝ, definida por y = tg x. Para a representação do seu gráfico,

vamos tomar apenas valores de x no intervalo [0, 5π/2];

� O domínio da função y = tg x é o conjunto de números reais pertencentes a ℝ - A;

� O conjunto imagem da função y = tg x é ℝ;

� O período da função y=tg x é P=π.

80

Figura 25 - Gráfico da função tangente

Atividade 15: Como construir no GeoGebra o gráfico da função tangente

Passo a passo:

Da mesma maneira que foi construído na atividade anterior, utilizaremos como

referência a Atividade 13:


b) refaça a letra b da Atividade 13;

c) refaça a letra c da Atividade 13, agora selecione a função tan (x);

d) refaça a letra d da Atividade 13;

e) refaça a letra e da Atividade 13. Depois clique sobre a perpendicular a, desloque o seletor

até a Barra de Menu, Editar, opões: Propriedades / Estilo / Estilo de linha – selecione

o modelo tracejado. Repita este processo para a perpendicular b. Feche;

f) refaça a letra f da Atividade 13, desta vez, renomeie o rótulo f para Tangenóide ou

Tangentóide, de cor azul;

g) selecione o ponto A e desloque o seletor até a Barra de Menu, Editar, opções:

Propriedades / Estilo / Tamanho do ponto – reduza para 1. Básico / Exibir rótulo –

desmarque o ícone indicado por um quadrado na figura. Repita este mesmo processo para

o ponto B. Feche;

81

h) refaça a letra i da Atividade 13. Desta vez construa um segmento de reta cuja medida seja

π. Esconda o rótulo deste segmento de reta e dos pontos C e D, da mesma maneira que foi

feito anteriormente. Além disso, reduza para 1 o tamanho destes pontos. Feche;

i) refaça a letra j da Atividade 13 e somente altere o texto, que deve ser “P = π”.

Função par e ímpar

Definição: Diz-se que uma função f: A → B é par quando f(-x) = f(x), para todo x ∈

A. Se f(-x) = - f(x), para todo x ∈ A, então a f chama-se ímpar.

Pelo que já foi estudado nos itens anteriores, temos que:

• A função y=sen x é impar, pois sen(-x) = - sen(x), para todo x∈ ℝ;

• A função y=cos x é par, pois cos(x) = cos (-x), para todo x∈ ℝ;

• A função y=tg x é ímpar, pois tg(-x) = - tg(x), para todo x do seu domínio.

Nas figuras 26, 27 e 28, a seguir, são apresentadas as representações dessas

propriedades para as funções seno, cosseno e tangente.

Figura 26 – A função seno é ímpar

82

Figura 27 – A função cosseno é par

Figura 28 – A função tangente é ímpar

83

6 ENCONTROS PLANEJADOS PARA O TRABALHO COM ALUNOS

Apresentamos, a seguir, a sugestão de uma sequência de atividades planejadas para o

trabalho com alunos de 2º ano do Ensino Médio, focada em cursos presenciais.

a) PRIMEIRO ENCONTRO

No primeiro encontro, propõe-se a aplicação do questionário apresentado no

Apêndice, para verificar as dificuldades dos alunos da turma.

b) SEGUNDO ENCONTRO

Neste encontro, propõe-se a apresentação de um vídeo aos alunos, de

aproximadamente 10 minutos, cujo tema tem por finalidade mostrar qual foi à origem da

Trigonometria, com vistas a uma reflexão sobre a História da Matemática. Este vídeo

encontra-se disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=sH2Y6xK7x_Y

Em seguida, é feita a apresentação do software GeoGebra para os alunos, por meio dos

vídeos que compõem o produto desta dissertação.

c) TERCEIRO ENCONTRO

Com o auxilio do GeoGebra e apoio do professor, os alunos realizam as atividades 1

(p. 47) e 2 (p. 50). Para encerrar este encontro, será aplicado o exercício 1 (apresentado na

lista de atividades, na p. 48), para ser analisado o nível de entendimento que o aluno está

apresentando no início do trabalho.

d) QUARTO ENCONTRO

Com o auxilio do GeoGebra, serão realizadas as atividades 3, 4 e 5 (p. 51-53).

Também será proposta uma discussão em grupo sobre exercícios relativos ao conteúdo,

apresentados no Livro do Aluno, com vistas à formalização do conteúdo já trabalhado e

desenvolvido, de forma que os alunos, por meio da interação entre colegas, possam apresentar

os tipos de estratégias utilizadas para solucionar os problemas propostos.

e) QUINTO ENCONTRO

84

Novamente com o auxilio do GeoGebra, serão realizadas as atividades 6 e 7 (p. 55-

57), depois disso pretende-se aplicar o exercício 2 (p. 58), para que haja participação dos

alunos e análise das respostas aos exercícios.

f) SEXTO ENCONTRO

Este encontro deve ser iniciado com as atividades 8 e 9 (p. 59-63), sendo após

aplicado o exercício 3 (p. 62).

g) SÉTIMO ENCONTRO

Será dada sequência à aula anterior, com as atividades 10 e 11 (p. 66-68).

h) OITAVO ENCONTRO

Neste encontro, será feita a atividade 12 (p. 72). Logo após, o exercício 4 (p. 72).

i) NONO ENCONTRO

Neste encontro, sugere-se a realização dos exercícios 5 e 6 (p. 75).

j) DÉCIMO ENCONTRO

Neste encontro, são propostas as atividades 13 e 14 (p. 76-79).

k) DÉCIMO PRIMEIRO ENCONTRO

Neste encontro, daremos sequência às atividades trabalhadas no encontro anterior e,

após, será proposta a atividade 15 (p. 80).

l) DÉCIMO SEGUNDO ENCONTRO

Neste encontro, serão aplicados exercícios relativos so conteúdo, constantes do Livro

do Aluno, para que se possa verificar a compreensão dos estudantes.

85

m) DÉCIMO TERCEIRO ENCONTRO

Neste último encontro, sugere-se a aplicação de um novo questionário (Apêndice B), para

verificar a aprendizagem dos alunos. O questionário, apresentado no Apêndice B, foi

elaborado com base em livros didáticos do Ensino Médio (DANTE, 2004, 2005; PAIVA,

2003).

86

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Tendo em vista as dificuldades apresentadas por alunos de Ensino Médio na resolução

de problemas de Trigonometria, este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de elaborar

atividades com auxílio do software GeoGebra, para o ensino de Trigonometria. Além disso,

foram criados vídeos sobre o conjunto de atividades, disponibilizados on line, para uso de

professores e alunos, no site de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de

Matemática da UNIFRA. Consideramos, assim, que o objetivo geral e os específicos foram

atingidos, pois nos propusemos, efetivamente, a elaborar atividades, com auxílio do

GeoGebra, e criar vídeos sobre essas atividades.

Ao final deste trabalho, tendo analisado as dificuldades dos alunos no questionário e

tendo produzido um material que vai ser disponibilizado para professores, concordamos com

Gravina e Santarosa (1998), quando alertam para o fato de que os ambientes informatizados

não garantem a construção do conhecimento. Realmente, é necessário que o professor oriente

o trabalho do aluno, quando coloca a disposição dele um software de Geometria.

Procuramos atender à indicação de Silva (2005), que, em sua dissertação, sugeriu a

realização de outras pesquisas que utilizassem materiais concretos ou softwares, visto que

esse autor teve dificuldades durante a aplicação da sequência didática para o ensino de

Trigonometria e acreditou que um ambiente computacional poderia amenizar os problemas,

com maior interação dos alunos com os problemas.

Também foi determinante, para as decisões que tomamos, a leitura da dissertação de

Fernandes (2010), que buscou valorizar a aprendizagem da Trigonometria também com a

ferramenta computacional, com vistas à visualização das construções e, desta forma, ao

entendimento dos conceitos trigonométricos.

Outro fator que contribuiu para a elaboração do questionário e das atividades foi a

análise de livros didáticos, pois nos permitiu acompanhar os tópicos que são propostos para o

ensino da Trigonometria do triângulo retângulo e das funções trigonométricas. Assim, o

professor, que costuma basear-se em livros-texto, terá uma sequência de atividades que

poderão complementar seu trabalho e permitir aos alunos uma maior interação com o

computador.

Como construímos vídeos, que serão usados por professores em laboratórios de

informática, mas que também podem ser empregados na educação a distância, foi importante,

também, o relato de Carneiro et al. (2007), sobre a implementação de uma oficina virtual de

87

vídeo e videoconferência para auxiliar a formação de professores e alunos, abordando a

construção de vídeos e a criação de apresentações de slides.

O software GeoGebra é um caderno interativo que pode ser usado tanto para oficinas

quanto para auto aprendizagem. Por meio deste recurso, então, foram apresentadas, passo a

passo, atividades a serem desenvolvidas com alunos de Ensino Médio. Também foram

construídos vídeos por meio do programa CamStudio, que gera o registro de tudo o que ocorre

na tela do computador durante a construção das atividades, capturado pela técnica do

Screencast.

Com relação ao CamStudio, apesar da acessibilidade aos recursos citados, o software

não possui o editor Equation, que é um recurso importantíssimo para trabalhar com elementos

matemáticos, fato este que gerou certas dificuldades para mostrar a representação escrita em

um determinado instante de certas atividades. Por outro lado, esse software facilitou bastante

a construção dos vídeos, devido ao fato de que permite salvar, passo a passo, todas as

informações que são criadas em formatos diversos (balões explicativos), para cada atividade.

Cabe, então, ao autor, organizar o que é criado durante este processo, para tornar o trabalho

que envolve o registro das gravações o mais dinâmico possível.

Após a elaboração das atividades, passo a passo, bem como dos vídeos, planejamos

encontros para o trabalho com os alunos, em que sugerimos, ao professor que se proponha a

utilizar os materiais disponibilizados nos livros eletrônicos, uma sequência de ações, nas quais

as atividades já planejadas são inseridas.

Consideramos que o tema Trigonometria é fascinante, pois é desafiador e estimulante;

assim, temos a satisfação de ter concluído este trabalho, com aprofundamento dos estudos

sobre Trigonometria e sobre o GeoGebra, bem como com a aprendizagem dos recursos

computacionais para elaboração de vídeos e dos livros eletrônicos.

Esperamos, assim, contribuir para o ensino de Trigonometria, na escola em que foi

desenvolvida inicialmente a pesquisa, mas também em qualquer ambiente escolar em que o

produto desta dissertação, disponibilizado no site do curso de Mestrado Profissionalizante em

Ensino de Física e de Matemática, possa ser acessado.

88

REFERÊNCIAS

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APÊNDICES

APÊNDICE A – QUESTIONÁRIO INICIAL

Prezado (a) aluno (a)

Estou realizando uma pesquisa sobre as dificuldades dos alunos em Matemática, e

solicito que você responda as questões a seguir. Não é necessário identificar-se e suas respostas

indicam sua autorização para que esses dados sejam usados na pesquisa.

Resolva os exercícios a seguir, apresentando todos os cálculos.

A) Considere um triângulo equilátero de lado l. A altura h desse triângulo divide a base ao

meio.

II) Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo ABH e obtenha uma fórmula para

calcular a altura h, conhecendo-se a medida do lado l.

II) Calcule a medida de h quando:

) 4 c) l= 4 6

) l= 3 d) l= 15 cm

a l cm cm

b cm

=

III) Quanto mede o ângulo Ầ do triângulo ABH?

IV) Determine o valor de sen60º no triângulo ABH:

B) O pé da escada de 15 cm de comprimento apoiada numa parede está distante 9 m da

parede. Calcule a distância entre o topo da escada e o chão. Um modelo da situação é

dado pelo esquema:

C) Num domingo de sol, Fernanda brinca com sua pipa. A linha já está esticada com 160

m, representando um segmento de reta. Qual a altura aproximada da pipa em relação ao

chão, sabendo que a mão de Fernanda fica a 1,5 m do chão e que a linha forma 15º com

a horizontal. Dica: cos15º= 0,966 e sen15º = 0,259

D) Para calcular o raio da Terra, sobe-se numa torre de altura h e mede-se o ângulo θ que a

reta BC do horizonte forma com a vertical BO, do extremo da torre ao centro da terra

(veja a figura):

OBS: Nesta figura, o triângulo retângulo BOC é um triângulo retângulo e o ângulo

de 90º está no vértice C.

f) Qual é a hipotenusa do triângulo BOC?

g) Qual é o cateto oposto ao ângulo θ?

h) Como podemos representar a medida do lado BO, quando h mede 1000m?

i) O cateto CO tem a medida igual ao raio da terra?

j) Escreva a razão sen θ em função do raio da terra?

APÊNDICE B – QUESTIONÁRIO FINAL

Para a resolução das questões a seguir, sugerimos que utilize o GeoGebra, para visualizar o que é pedido. 1) Conhecidos os valores de sen x para o ângulo da 1ª volta e usando arcos côngruos, podemos calcular sen x para qualquer x Є R. Determine: a) sen 390º

b) sen

2) Verifique se os valores abaixo são positivos, negativos ou nulos:

a) sen 3

2

π c) sen

9

2

π

b) sen 8π 3) Localize o ponto na circunferência trigonométrica correspondente ao número x e verifique se cos x é positivo, negativo ou nulo:

a) cos 40

9

π

b) cos 12π 4) Esboce o gráfico de cada uma das funções dadas por suas leis, determinando o seu domínio, conjunto imagem e período: a) 4 sen xy =

b) 4 + 2cos xy =

c) 4 + 2sen xy =

5) Um rio tem largura de 100 m. Um barco atravessa este rio em um ponto onde as margens

são paralelas, mas é empurrado pela corrente, formando um ângulo de 600 com a margem de

partida. Quantos metros foram percorridos pelo barco, aproximadamente, até atingir a margem

oposta?

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