CAPITULO I.

PORCENTAGEM.

A expressão por cento já é familiar para você. Ela vem do latim percentum que quer dizer por cento.

Toda razão: a / b, na qual b = 100 chama-se porcentagem.

Em lugar da expressão por cento usamos o símbolo % que significa uma divisão por cem.

RAZÃO CENTEZIMAL:

Sabemos também que toda porcentagem poderá ser escrita na forma decimal:

21 % = 21/100 = 0,21 (vinte e um por cento).

225 % = 225:100 = 2,25 (duzentos e vinte e cinco por cento).

2,8 % = 2,8: 100 = 0,028(dois vírgula oito por cento).

45,2 % = 45,2: 100 = 0,452(quarenta vírgulas dois por cento).

EXEMPLOS:

1) Calcular 10 % de 300.10 % de 300 = 0,10 x 300= 30

2) Calcular 20% de 1000 Kg.20 % de 1000 = 0,20 x 1000 = 200 kg

3) Um jogador de Futebol, ao longo de um campeonato cobrou 80 faltas, transformando em gols 20% dessas faltas. Quanto gol de falta esse jogador fez?20 % de 80 = 0,20 x 80 = 16

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4) Se eu comprei um celular por R$ 300,00 reais e o revendi por R$ 600,00, qual foi o percentual de lucro que obtive na venda?

Temos que montar uma equação:

300 + 300. x/100 = 600

3.x = 600 – 300

X = 300 / 3

X = 100 %.

FATOR MULTIPLICATIVO.

_____ ACRÉSCIMO:___________________________________

Se, por exemplo, há um acréscimo de 20 % a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,20, que é o fator multiplicativo.

EXEMPLO:

Se aumentarmos o valor de um capital em 20%, sabendo-se que o capital é de R$ 1000,00?

1.000,00 x 1,20 = 1200,00

Acréscimo ou lucro Fator de multiplicação10 % 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4750% 1,50

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_______DECRÉCIMO:______________________________________

Se houver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator = 1 – taxa de desconto (na forma decimal).

Desconto Fator de multiplicação.10% 0,9025% 0,7534% 0.6660% 0,4090% 0,10EXEMPLO:

Se diminuirmos um capital em 10%, no caso do capital ser de R$ 1.000,00.

1.000,00 x (1 – 0,10) = 1000,00 x 0,90 = 900,00

EXEMPLO:

1) Comprei um carro por R$ 20.000,00, e vendi com lucro de 10%. Qual foi o preço de venda?

20.000,00 x 1,10 = 22.000,00

2) Um colégio começou o ano com 800 alunos e terminou o

ano com 30% de aumento no número de alunos. Qual o número de alunos em que terminou o colégio neste ano?

800 x 1,30 =1.040

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EXERCÍCIOS:

1) Em colégio estudam 750 alunos. Desses, 52% estudam no período da tarde. Quantos alunos estudam no período da tarde?

2) No final de uma temporada uma equipe de basquete havia ganhado 26 jogos dos 40 disputados. Qual foi a porcentagem de partidas ganhas pelo clube no final do campeonato?

3) Um comerciante comprou um objeto por R$ 2.000,00 e o vendeu por R$ 3.000,00, sabendo-se que houve um lucro. Qual foi a porcentagem de lucro em relação ao preço de compra?

4) Um investidor aplicou R$ 5.000,00 em caderneta de poupança no dia primeiro de setembro. Em primeiro de outubro foi creditado o rendimento referente a setembro, que foi de 3,5%, e em primeiro de novembro foi creditado o rendimento do mês de outubro. Se após esse último crédito o saldo passou a ser R$ 5392,35, determine qual o rendimento do mês de outubro em porcentagem?

5) Uma loja aumenta no Natal o preço de um par de sapatos que custa R$ 40,00, em 20 %. Ao entrar em liquidação no mês de Janeiro, essa loja passa a oferecer o mesmo par de sapatos com um desconto de 20% para pagamento à vista. Quanto você irá pagar pelo par de sapatos se comprarem-nos à vista?

6) Quanto é 15% de 800?

7) Quanto é 70% de 500?

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8) Quanto é 150% de 40?

9) Quanto é 100% de 200?

10) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é20% deste número?

11) Meu salário é de R$ 1800,00 tive um desconto de R$ 360,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário?

12) Tenho R$ 2500,00 aplicado em uma instituição financeira, no final do período obtive um lucro de 42%. Qual o capital que passei a possuir?

13) Comprei um carro por R$ 32.600,00, e vendi com prejuízo de 20%. Qual o valor da venda?

14) Ao comprar um produto por R$1500,00 obtive um desconto de 12 %. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

15) Um muro retangular de 10 m de comprimento por 2 m de altura tem 40 % de sua área pintada. Destes, 15 % são pintadas de vermelho. Determine a área do muro pintada de vermelho?

16) Um automóvel adquirido por R$ 20.000,00 foi vendido com 20 % de lucro sobre o preço de venda. Qual foi o lucro em reais?

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17) Um autor recebe de direitos autorais 10 % de um livro que é vendido por R$ 7,50. Para que o autor ganhe R$ 1173,00 de direitos autorais, quantos livros ele deverá vender?

18) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 em caderneta de poupança, que rendeu 23%, e R$ 50.000,00 em CDB, que rendeu 29 %. Após o crédito desses rendimentos, qual a quantia que o investidor vai possuir?

19) Das peças fabricadas num torno, sabe-se que 60 % são perfeitas, 30 % possuem pequenos defeitos e as restantes não são aproveitadas. O preço de venda de cada peça perfeita é de R$ 15,00, e de cada peça com pequenos defeitos é de R$ 12,00. Sabendo-se que o custo de produção de cada peça é de R$ 10,00. Qual o valor do lucro esperado pelo fabricante ao programar produção de 400 peças?

RESPOSTAS:

1) 3902) 65 %3) 50 %4) 4,2 %5) R$ 38,406) 1207) 3508) 609) 20010) 7511) 20 %12) R$ 3.550,0013) R$ 26.080,00

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14) R$ 180,0015) 1,2 m2

16) R$ 5.000,0017) 156418) R$ 89.100,0019) R$ 1.040,00

CAPÍTULO II.

REGRA DE TRÊS SIMPLES.

A regra de três simples é uma técnica que permite resolver problemas que envolvem duas grandezas proporcionais, de uma forma bastante prática.

Exemplos:

1) Se 2 pedreiros fazem 9 metros de calçada num dia de trabalho, quantos metros de calçada 10 pedreiros farão em um dia de trabalho?

RESOLUÇÃO:

Inicialmente colocamos os dados do problema em uma tabela:

Pedreiros Metros de calçada por dia.2 910 ↑ X ↑

Na coluna na variável, colocamos uma flecha para cima ou para baixo tanto faz.

Agora vem a parte mais importante: você deve descobrir se as grandezas dos problemas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. GDP ou GIP. Para isto basta você perguntar: “aumentando o número de pedreiros, aumenta os metros de calçada”.

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Se a resposta for sim, as grandezas são diretamente proporcionais, GDP.

Se a resposta for não, as grandezas são inversamente proporcionais, GIP.

Se as grandezas são diretamente proporcionais às flechas terão o mesmo sentido.

Se as grandezas forem inversamente proporcionais elas terão sentidos contrários.

Neste caso as duas flechas são para cima, pois as grandezas são diretamente proporcionais ou as duas flechas seriam para baixo, pois as duas grandezas são diretamente proporcionais.

2/10 = 9/ x

Resolvemos a proporção fazendo o produto em cruz:

2.x = 10. 9

2.x = 90

x = 45

Resposta:

Dez pedreiros farão 45 metros de calçada em um dia de trabalho.

2) Se 3 tratores fazem um aterramento em 5 horas, em quanto tempo 10 tratores farão esse mesmo aterramento?

RESOLUÇÃO:

Inicialmente colocamos os dados do problema em uma tabela:

Número de tratores. Tempo em horas.3 510 X ↑

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Montamos a tabela e colocamos a flecha virada para cima, na coluna da variável x.

E faremos a seguinte pergunta. Se aumentarmos o número de tratores, aumenta o número de horas para fazer o mesmo serviço?

Aqui a resposta será não, portanto as grandezas são inversamente proporcionais, e a outra flecha é colocada no sentido contrário da primeira:

Número de tratores. Tempo em horas.3 510 ↓ X ↑

Agora escrevemos a proporção invertendo uma das razões porque as grandezas são inversamente proporcionais:

10/3 = 5/ x

Multiplicamos em cruz, que é a propriedade fundamental das proporções:

10.x = 3.5

10.x = 15

X = 1,5 horas

Resposta:

Os 10 tratores farão este aterro em uma hora e meia.

EXERCÍCIOS:

1) Cinco máquinas enchem 300 garrafas de refrigerante por minuto. Quantas garrafas por minuto seriam cheias se tivesse4mos 6 máquinas idênticas as primeiras trabalhando?

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2) Cinco máquinas enchem certa quantidade de garrafas de refrigerante em 8 minutos. Em quanto tempo 8 máquinas encherão a mesma quantidade de garrafas de refrigerantes?

3) Se um romance de 400 páginas foi escrito com 32 linhas por página. Se esse romance for reeditado com 40 linhas em cada página, quantas páginas ele terá?

4) Com velocidade média de 50 Km/h, um automóvel percorre a distância entre duas cidades em 6 horas e 30 minutos. Quanto tempo levaria se mantivesse uma velocidade média de 60 Km/ h?

5) Reinaldo comprou 50 metros de arame e pagou R$ 25,00. Se comprar 120 m, quanto pagaria?

6) Uma laje de concreto de 12 cm de espessura gastou 60 sacos de cimento. Se a laje tivesse apenas 10 cm de espessura, quantos sacos de cimento teriam sido gasto?

7) As rodas dianteiras de um trator têm 1,8 m de perímetro e as trazeiras têm 3 m de perímetro. Enquanto a roda maior dá 54 voltas, quantas voltas dará a roda menor?

8) Se 33 coelhos comem 120 Kg de cenoura por dia, quantos quilogramas de3 cenoura comerão 77 coelhos?

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9) Com 200 Kg de trigo são produzidos 130 Kg de farinha. Quantos quilos de trigo serão necessários para produzir 32 Kg de farinha?

10) A combustão de 30 g de carbono fornece 110 g de gás carbônico. A combustão de 48 g de carbono irá fornecer quantas gramas de gás carbônico?

11) Uma foto tem 2 cm de altura por 3 cm de comprimento. Quero fazer uma ampliação dessa foto para que ela tenha 5 cm de altura. Qual será o comprimento da ampliação?

12) Cinco torneiras idênticas enchem um tanque em 10 horas. Em quanto tempo quatro dessas torneiras encheriam o mesmo tanque?

RESPOSTA:

1) 360 garrafas.2) 5 minutos.3) 320 páginas.4) 5h e 25 minutos.5) R$ 60,00.6) 50 sacos de cimento.7) 90 voltas.

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8) 2809) 49,23 Kg.10) 176 g.11) 7,5 cm.12) 12 horas e 30 minutos.

CAPÍTULOIII.

REGRA DE TRÊS COMPOSTAS. Às vezes, pode aparecer no mesmo problema mais de que duas grandezas. Para resolver esse tipo de problema, usamos a técnica de regra de três simples duas vezes.

EXEMPLO:

Se 2 torneiras enchem um tanque de 2100 litros em 3 horas, em quanto tempo 5 torneiras encherão um tanque de 7000 litros?

Como na regra de três simples montamos a tabela com os dados das grandezas.

Na coluna da variável colocamos a flechinha ou para cima ou para baixo, pois as outras serão colocadas em função da primeira.

Torneiras. Capacidade. (litros) Tempo. (horas)2 2100 35 7000 X ↑

Relacionamos cada uma das grandezas em relação à grandeza que contém a incógnita (x).

Uma de cada vez, primeiro capacidade e tempo e depois torneiras e tempo. É importante lembrar que quando analisaremos duas grandezas a outra é como se fosse constante.

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1) Se aumentarmos a quantidade de torneiras, o tempo aumenta?

A resposta é não, portanto as grandezas torneiras e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Então colocamos na coluna das torneiras uma flecha virada para baixo, para mostrar que essas grandezas são inversas. (GIP).

2) Se aumentarmos o volume do tanque, aumenta o tempo para enchê-lo?

A resposta é sim, portanto as grandezas volume e tempo são diretamente proporcionais. Então colocamos na coluna do volume a

Flecha virada para cima. (GDP).

Torneiras. Volume. (litros). Tempo. (horas)2 2100 35 ↓ 7000 ↑ X ↑

IMPORTANTE:

Para resolver, igualamos a razão que contém o x com o produto das outras razões, virando todas as flechas para cima:

3/x = 5/2. 21000/7000

3/x = 105/140

Usando a propriedade fundamental das proporções fazemos o produto em cruz:

105.x = 140.3

105.x = 420

X = 420/105

X = 4 horas.

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Resposta: 5 torneiras encherão um tanque de 7000 litros em 4 horas.

EXERCÍCIOS:

1) Em três dias, trabalhando 8 horas por dia, uma impressora imprime 20.000 folhetos. Quantos folhetos serão impressos se ela trabalhar 6 horas por dia durante 5 dias?

2) Seis costureiras confeccionam 12 vestidos em 4 dias de trabalho. Quantos dias de trabalho serão necessários para que 4 costureiras confeccionem 20 vestidos?

3) Três operários produzem 3 aparelhos em 3 horas. Em quantas horas quatro operários produziriam 4 aparelhos iguais àqueles?

4) O motor de um navio consome 200 litros de óleo em 5 horas, quando dá 1500 rotações por minuto. Exigindo-se do mesmo motor 1800 rotações por minuto, quantos litros de óleo consumirão em três horas de viagem?

5) Três operários constroem 25 metros de uma obra em 5 dias. Em quanto tempo, 6 operários construirão 30 m da mesma obra?

6) Uma empresa gasta R$ 360,00 para servir refeições a 30 operários, durante 40 dias. Quanto gastará para servir refeições a 80 operários, durante 60 dias?

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7) Cinco operários, trabalhando 4 horas por dia, custam a uma empresa R$ 12,00 por dia. Quantos custarão 7 operários, trabalhando 5 horas por dia?

8) Duas faxineiras, depois de 15 dias de serviço, receberam R$ 150,00. Quantos receberão 4 faxineiras por 16 dias de trabalho?

9) Um grupo de estudantes com 6 alunos entrevistou 24 pessoas em 4 dias. Em quantos dias 4 alunos entrevistariam 36 pessoas?

10) Num certo loteamento, um terreno de 10 m de frente por 15 m de fundo custa R$ 20.000,00. Quanto custará, no mesmo loteamento, um terreno com 15 m de frente por 12 m de fundo?

11) Quarenta pintores pintam um edifício em 10 dias. Querendo pintar fazendo o mesmo serviço em 8 dias, quantos pintores seriam necessários?

12) Oito máquinas produzem 600 peças de metal por hora. Quantas máquinas idênticas as primeiras são necessárias para produzir 1500 peças de metal por hora?

13) Para alimentar 12 pássaros durante 40 dias serão necessários 6 Kg de ração. Por quantos dias 8 Kg de ração alimentarão 20 pássaros?

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14) Um trenzinho de brinquedo dá três voltas na pista em 40 segundos. Quantas voltas dará em uma hora?

15) Um trem, à velocidade constante de 50 Km/h, vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em 8 horas. Se ele desenvolvesse a velocidade de 80 Km/h, em quanto tempo faria o mesmo trajeto?

16) Um navio foi abastecido com comida suficiente para alimentar 14 pessoas durante 45 dias. Se 18 pessoas embarcarem nesse navio, para quantos dias, no máximo, as reservas de alimentos serão suficientes?

RESPOSTAS:

1) 25.000 folhetos.2) 10 dias.3) 3 horas.4) 144 litros.5) 3 dias.6) R$ 1.440,00.7) R$ 21,00.8) R$ 320,009) 9 dias.10) R$ 24.000,00.11) 50 pintores.12) 20 máquinas.13) 32 dias.14) 270 voltas.15) 5 horas.16) 35 dias.

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