www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 1Anlise Combinatria ANLISE COMBINATRIA 1. INTRODUO Questes de anlise combinatria sero aquelas que perguntaro de quantas formas pode ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos:1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema? 2)Quantosnmerosdetrsalgarismospodemserformados,dispondo-sedos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)? 3)Quantostiposdesaladas,feitadetrstiposdefrutasdiferentes,podemser formados com as seguintes frutas: banana, ma, pra, uva, laranja, mamo, melo? Ouseja,aAnliseCombinatriaseprestaaoseguinte:adescobrironmerode maneiras possveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessrio descrever todas essas maneiras! Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito. Exemplo 01:Suponhamosqueeutenhoumamoedanamoevoulan-latrs vezes para o ar. A pergunta : quantos so os resultados possveis para esses trs lanamentos da moeda? Ora,sefssemostentardescrevertodasaspossibilidades,poderamosfaz-lopor intermdio de um desenho, chamado diagrama da rvore. Da seguinte forma: 1 Lanamento2 Lanamento 3 LanamentoResultados Cara -- K, K, K Cara Coroa -- K, K, C Cara Cara -- K, C, K Coroa Coroa -- K, C, C Cara -- C, K, K Cara Coroa -- C, K, C Coroa Cara -- C, C, KCoroa Coroa -- C, C, C Nosresultados,chamamoscaradeKecoroadeC.Eassim,pormeiododesenho acima,percebemosquehoitodiferentespossveisresultadosparaolanamentodeuma moeda trs vezes! Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o tal do diagrama da rvore! AentraaAnliseCombinatria!Usandotcnicassimples,podemoschegarao resultadoprocurado,semprecisardesenharosresultadospossveis!Vejaadiantecomo faremos isso. moeda www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 2Anlise Combinatria 2. TCNICAS DA ANLISE COMBINATRIA 2.1 PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Este princpio tambm conhecido como Princpio Multiplicativo.Consiste emqu?Consistememdividirmosonossoeventoemetapas.E para cada umadessasetapas,individualmenteanalisadas,descobriremosqualoseunmerode resultados possveis! Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lanar uma moeda trs vezes. Da, fica bem fcil dividi-lo em etapas: cada etapa ser um lanamento. Confere? Destarte, teremos: 1 etapa) 1 lanamento da moeda; 2 etapa) 2 lanamento da moeda; 3 etapa) 3 lanamento da moeda. Poisbem!Conformedissemos,temosquedescobrirosresultadospossveis individuais de cada etapa. Ou seja, ao lanarmos a moeda a primeira vez, quantos sero os resultados possveis para esse primeiro lanamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dar com o segundo lanamento e com o terceiro. Da, teremos: 1 etapa) 1 lanamento da moeda 2 resultados possveis 2 etapa) 2 lanamento da moeda 2 resultados possveis 3 etapa) 3 lanamento da moeda 2 resultados possveis Finalmente,oPrincpioFundamentaldaContagemvemnosdizer:agora,basta multiplicarosresultadosparciais(de cadaetapa),eteremosoresultado total(paratodoo evento)! Teremos: 2x2x2=8 A mesma resposta do diagrama da rvore! Semprecisarmosfazerdesenhoalgum,conclumosquehoitopossveisresultados para o lanamento de uma moeda trs vezes! Enunciado do Princpio Fundamental da Contagem: Se um acontecimento pode ocorrer por vrias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: P1 o nmero de possibilidades da 1 etapa; P2 o nmero de possibilidades da 2 etapa; . . Pk o nmero de possibilidades da k-sima etapa, ento: (P1 x P2 x ... x Pk) o nmero total de possibilidades do acontecimento ocorrer! Exemplo 02:Numafestaexistem80homense90mulheres.Quantoscasais diferentes podem ser formados? Sol.: Oobjetivoformarumcasal.Ora,umcasalcompostodeumhomemeuma mulher! Logo, para cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas: 1 etapa) escolha do homem 80 resultados possveis; 2 etapa) escolha da mulher 90 resultados possveis. Pelo princpio da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 80x90 = 7200 Resposta!www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 3Anlise Combinatria Exemplo 03:Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1, 2 e 3 lugares? Sol.: Quais sero as etapas desse evento? Ora, a definio do 1 colocado, a do 2 e a do 3! Trs etapas, portanto. Teremos: 1 etapa) Definio do 1 colocado 4 resultados possveis; 2 etapa) Definio do 2 colocado 3 resultados possveis; 3 etapa) Definio do 3 colocado 2 resultados possveis. Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 4x3x2 = 24 Resposta! Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1, 2 e 3 colocados numa corrida, dispondo-se de 4 competidores. Exemplo 04:Quantosnmerosdetrsalgarismosdistintospodemser formados, dispondo dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5? Sol.: Onossoeventoomesmodoexemploanterior,formarumnmerodetrs algarismosdistintos.Mastemumadiferenafundamental,apresenadoalgarismozero entre os algarismos que podem ser usados.Vamos dividir em trs etapas: definio do primeiro algarismo, definio do segundo e definio do terceiro. Teremos: 1 etapa) definio do primeiro algarismo: 5 resultados possveis. O algarismo zero noconta,poisumnmeronuncainiciaporzero.Umasenhanumrica(dobanco,do cofre...) pode iniciar por zero, mas um nmero no.2etapa)definiodosegundoalgarismo:5resultadospossveis.Dispomosde seis algarismos, mas j usamos um deles na primeira posio. Resta-nos, portanto, cinco. 3etapa)definiodoterceiroalgarismo:4resultadospossveis.Dispomosde seis algarismos, mas j usamos dois deles nas duas primeiras posies. Resta-nos, portanto, quatro. Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 5x5x4= 100 Resposta! Exemplo 05:Quantosnmerosparesdetrsalgarismosdistintospodemser formados, dispondo dos algarismos de 0 a 9? Sol.: Aquitemosduasrestries:1)oalgarismo0nopodeserusadonaprimeira posio; e 2) o ltimo algarismo tem que ser 0, 2, 4, 6 ou 8 para o nmero ser par.Nesta questo, teremosqueseparar aanlisedoalgarismo0 dosoutrosalgarismos pares (2, 4, 6 e 8), conforme veremos a seguir. 1 situao) Nmero terminando em 0 (zero) Vamosiniciaraanlisepeloltimoalgarismo,poisparaestasituaonecessrio queonmerotermineem0.Depois,passamosaverificaroprimeiroalgarismo,poiseste tem uma restrio (no pode ser 0). Definio do 3 algarismo: 1 possibilidade(s pode ser 0); ____________ 1p www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 4Anlise Combinatria Definio do 1 algarismo: 9 possibilidades (qualquer um dos algarismos de 1 a 9).____________ Definio do 2 algarismo:8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas j usamos dois deles. Resta-nos, portanto, oito. ____________ Multiplicando-se as possibilidades, teremos: 9x8x1= 72Quer dizer que h 72 nmeros pares de trs algarismos distintos terminando em zero. 2 situao) Nmero terminando em 2, 4, 6 ou 8 Vamosiniciaraanlisepeloltimoalgarismo,poisparaestasituaonecessrio que o nmero termine em 2, 4, 6 ou 8. Depois, passamos a verificar o primeiro algarismo, pois este tem uma restrio (no pode ser 0). Definio do 3 algarismo: 4 possibilidades(2, 4, 6 ou 8); ____________ Definio do 1 algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas no podemos usar o 0 (o nmero no inicia por 0) e nem o algarismo que j foi usado como 3 algarismo. Resta-nos, portanto, oito.____________ Nadefiniodo1algarismo,nasituaoanterior,havamosencontradooutra quantidadedepossibilidades:9.devidoaessadiferenaquetivemosqueseparara terminao em zero das outras terminaes pares. Definio do 2 algarismo:8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas j usamos dois deles. Resta-nos, portanto, oito. ____________ Multiplicando-se as possibilidades, teremos: 8x8x4= 256 Quer dizer que h 256 nmeros pares de trs algarismos distintos terminando em2, 4, 6 ou 8. Somandoosresultadosobtidosnasduassituaes,encontraremosarespostada questo: 72 + 256 = 328 (Resposta!) Concluindo, h 328 nmeros pares de trs algarismos distintos. 2.2. ARRANJO ParausaroArranjonecessrioquenohajarepetiodoselementosdentrodo grupo a ser formado, e a ordem dos elementos deve ser relevante, ou seja: 1 Passo) Criaremos um resultado possvel para o grupo; 2 Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1 passo); 3Passo)Compararemososdoisresultadosque estodiantedens(1e2passos):Se forem resultados diferentes: resolveremos a questo por Arranjo!

A frmula do Arranjo a seguinte:1p9p 1p9p8p 4p 4p8p 4p8p8p )! (!,p n nAp n-=www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 5Anlise Combinatria Onde: n o nmero de elementos do conjunto universo; e p o nmero de elementos do grupo a ser formado.

Importante: Toda questo que pode ser resolvida por Arranjo, poder tambm ser resolvida peloPrincpioFundamentaldaContagem!OcaminhodevoltaPrincpioFundamentalda Contagem para Arranjo nem sempre ser possvel! Paraquemandamaisesquecido,essesinaldeexclamao(!)significaaoperao fatorial.Trata-se,tosomente,deumprodutoqueseiniciacomoprpriovalor(que antecede o sinal !) e vai se reduzindo at chegar a um.Exemplos: 8!=8x7x6x5x4x3x2x1 5!=5x4x3x2x1 1!=1 E assim por diante! Observemque,semprequeformosfazerumadivisoentrefatoriais,repetiremoso menor deles, e desenvolveremos o maior at que se iguale ao menor.Obs.: O fatorial de zero no segue a regra acima, o valor dele : 0! = 1. Exemplo: ! 5! 5 6 7 8! 5! 8 =Viram?Eagora?Ora,agorarestacortarmoso5!donumeradorcomodo denominador. E teremos apenas que: 6 7 8! 5! 5 6 7 8! 5! 8 = = = 336 Exemplo 06:Quantosnmerosdetrsalgarismosdistintospodemserformados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? Soluo: 1 Passo) Criando um resultado possvel, podemos ter: (1 2 3) O nmero cento e vinte e trs. Pode ser? Claro! 2 Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1) Chegamos ao nmero trezentos e vinte e um. 3 Passo) A comparao! So iguais ou diferentes os dois resultados acima? Ora, tratando-se de nmeros, claro que so distintos! Concluso: resolveremos a questo por Arranjo! O conjunto universo tem 5 elementos (so os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5). Ou seja, n=5. Os grupos tero apenas 3 elementos (nmeros de 3 algarismos). Da, p=3. Agora, s nos resta aplicar a frmula do Arranjo. Teremos: )! (!,p n nAp n-= www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 6Anlise Combinatria = = = =-= 3 4 5! 2! 2 3 4 5! 2! 5)! 3 5 (! 53 , 5A 60 Resposta! Ouseja,podemosformar60nmeroscom3algarismosdistintos,dispondodos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. 2.3. COMBINAO Assimcomooarranjo,nopodehaverrepetiodoselementos.Eaordemdos elementos NO relevante, ou seja: 1 Passo) Criaremos um resultado possvel para o grupo; 2 Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1 passo); 3Passo)Compararemososdoisresultadosque estodiantedens(1e2passos):Se forem resultados iguais: resolveremos a questo por Combinao! A frmula da Combinao a seguinte:)! ( !!,p n pnCp n-=Onde: n o nmero de elementos do conjunto universo; e p o nmero de elementos do grupo a ser formado. Exemplo 07:Dispondodasseguintesespciesdefrutas{ma,mamo,melo, banana,pra,uva,laranjaemelancia},quantostiposdesaladaspodemser formadas, contendo trs tipos de frutas? Soluo: 1 Passo) Criando um resultado possvel: (mamo, melo e ma) 2 Passo) Invertamos a ordem! Teremos: (ma, melo e mamo) 3 Passo) Comparemos:A salada do primeiro passo igual ou diferente da salada do segundo passo? O sabor o mesmo? Claro que sim! Os resultados so iguais! Concluso: a questo sai por Combinao! O conjunto universo tem 8 elementos (as oito frutas disponveis). Ou seja, n=8. Os grupos tero apenas 3 elementos (as trs frutas usadas na salada). Da, p=3. Agora, s nos resta aplicar a frmula da Combinao. Teremos: )! ( !!,p n pnCp n-= = = = =-=1 2 36 7 81 2 3 . ! 5! 5 6 7 8! 5 !. 3! 8)! 3 8 ( ! 3! 83 , 8C 56Ouseja:podemserformados56tiposdesaladas,comtrsespciesdefrutas, dispondo daquelas oito espcies relacionadas! Exemplo 08:Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 3 matemticos. De quantas maneiraspodemosformarcomissesde10pessoas,demodoquetodosos matemticos participem da comisso? Sol.: www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 7Anlise Combinatria Ora,seosmatemticosdevemfazerpartedacomisso,entotrslugaresda comisso vo ficar reservados para os trs matemticos, restando sete vagas ainda a serem preenchidas. Essas vagas sero disputadas pelos no-matemticos, que so um total de 17.Assim,paraobtermosonmerodecomissesdiferentesquepodemserformadas, faremos uma combinao de 17 pessoas para 7 lugares, ou seja: C17,7. Resposta! Exemplo 09:Numjogodeloteria,umapostadormarcarseisdezenas,entreas cemdezenasexistentes.Dequantasformasdiferentespoderoapostador preencher o seu jogo? Sol.:Conjunto universo: {100 dezenas}O objetivo selecionar um grupo de 6 dezenas! Obviamente que tem ser dezenas diferentes! Logo, arranjo ou combinao! Um resultado possvel: {10, 20, 30, 40, 50, 60} Invertendo-se a ordem:{60, 50, 40, 30, 20, 10} So apostas diferentes? No! So perfeitamente iguais! Logo, Combinao! Teremos: ! 94 1 2 3 4 5 6! 94 95 96 97 98 99 100! 94 ! 6! 100)! 6 100 ( ! 6! 1006 , 100 ==-= CC100,6 = 1.192.052.400 Resposta! Comessaresposta,descobrimosonmerodejogospossveis,comousodeseis dezenas,numacarteladeloteria.Dessemodo,seumapessoafazumnicojogodeseis dezenas,tentandoganharaboladadeumaacumuladadetrssemanas,achancede aquela combinao vir a ser a sorteada de uma em 1.192.052.400. Exemplo 10:Dispondodeumconjuntoformadoporsetemdicosecinco enfermeiros,queremosformarequipescompostasportrsmdicosedois enfermeiros. Quantas equipes podem ser formadas, nessas condies? Sol.: uma questo de combinao uma vez que a ordem das pessoas dentro da comisso no relevante. Como faremos agora? Simples: dividiremos a questo em duas! Cada categoria ser trabalhadaemseparadodaoutra.Ouseja,faremosduasoperaesdeCombinao! Teremos: Conjunto Universo: { 7 mdicos,5 enfermeiros } Subgrupo: = = =1 2 3 !. 4! 4 5 6 7! 3 !. 4! 73 , 7x x x x xC 35 = = =1 2 !. 3! 3 4 5! 2 !. 3! 52 , 5xx xC 10 Multiplicaremos os resultados de cada lado para chegarmos resposta: 35x10=350 Resposta! www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 8Anlise Combinatria 2.4. PERMUTAO A Permutao to somente um caso particular do Arranjo! QuandoestivermosemumaquestodeArranjo(jsabemoscomoidentific-la!)e observarmos que o n (nmero de elementos do conjunto universo) igual ao p (nmero de elementosdosgruposaseremformados),entoestaremosdiantedeumaquestode Permutao! Exemplo 11:Quatro carros (C1, C2, C3 e C4) disputam uma corrida. Quantas so as possibilidades de chegada para os quatro primeiros lugares? Soluo: Teremos, pois, que: A4,4 = P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Resposta! Agora,passemosaestudarumtipodequestoquebastanteabordadoem concursos. Explanaremos este tema em seis situaes possveis. Adiante! Exemplo 12:QUESTES DOS SEIS AMIGOS NO CINEMA SITUAO1)Seisamigosvoaocinema.So3rapazese3moas.Dequantas formaspoderemoscoloc-losdispostosnumamesmafila,emseispoltronas vizinhas? Sol.:So6pessoasno conjuntouniverso,esoseis elementosnafila(nogrupo).Logo, Arranjo de 6 em 6: A6,6, que igual a Permutao de 6. Ento, para esse enunciado, faremos: P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 Resposta! SITUAO2)Seisamigosvoaocinema.So3rapazese3moas.Dequantas formaspoderemoscoloc-losdispostosnumamesmafila,emseispoltronas vizinhas, de modo que as trs moas fiquem sempre juntas? Sol.: Emfacedaexignciaanunciada,lanaremosmodeumartifcio:passaremosa considerar as pessoas que tm de estar sempre juntas como sendo uma nica pessoa! Almdisso,nestepresenteexemplo,emvezdetrabalharmosapenascomuma permutao, teremos que trabalhar com duas: 1 Permutao) Para todo o conjunto de pessoas (atentando para o fato de que as trs moas que so inseparveis sero consideradas uma s); Da, com trs homens e uma mulher (3 inseparveis = 1 apenas!), somamos um total de quatro pessoas! Permutando-as, teremos: P4 = 4! = 24 formaes. 2 Permutao) Para o conjunto dos elementos inseparveis (as trs moas): Permutando as trs mulheres, teremos: P3 = 3! = 6 formaes. Vejamos a ilustrao abaixo: www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 9Anlise Combinatria P3 = 3x2x1 = 6 P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 Esses dois resultados parciais (24 e 6), referentes ao conjunto inteiro e aos elementos inseparveis, tero que ser agora multiplicados, para chegarmos ao resultado final. Teremos: 6x24= 144 Resposta! SITUAO3)Seisamigosvoaocinema.So3rapazese3moas.Dequantas formaspoderemoscoloc-losdispostosnumamesmafila,emseispoltronas vizinhas, de modo que os trs rapazes fiquem sempre juntos e as trs moas fiquem sempre juntas? Sol.:Agoraaexignciaespecficacriadoissubgruposdeelementosinseparveis.J sabemos como proceder com eles.Teremos: P3=3x2x1=6P3=3x2x1=6 P2 = 2! = 2x1 = 2 Observemos que a permutao para o conjunto completo foi apenasP2. Claro! Uma vezqueos trsrapazessoconsideradosums,eastrsmoas idem!onossoartifcio dos elementos inseparveis! No podemos esquecer dele! Da, compondo nosso resultado, teremos: 6x6x2= 72Resposta! SITUAO4)Seisamigosvoaocinema.So3rapazese3moas.Dequantas formaspoderemoscoloc-losdispostosnumamesmafila,emseispoltronas vizinhas, de modo que as trs moas no fiquem todas juntas? Sol.:Sedototaldeformaspossveisdeorganizarosamigos(respostadasituao1) subtrairmosonmerodeformaspelasquaisasmoasficarosemprejuntas(respostada situao2),oresultadoqueencontraremosexatamenteoquepedenesteexemplo.Ou seja:

= Da, faremos: 720 144 = 576 Resposta! Total de formaes sem restrio Total de formaes com as moas juntas Total de formaes com as moas no todas juntas M1 M2M3 H1 H2H3 H1 H2 H3 M3M2M1 www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 10Anlise Combinatria SITUAO5)Seisamigosvoaocinema.So3rapazese3moas.Dequantas formaspoderemoscoloc-losdispostosnumamesmafila,emseispoltronas vizinhas, de modo querapazes e moas fiquem sempre alternados? Sol.:Agoraoseguinte:rapazsempreaoladodemoa,evice-versa!Teremosduas situaes possveis: 1a) a fila comeando com um homem; e 2a) a fila comeando com uma moa.Trabalhando a primeira situao possvel, teremos: H1 M1 H2 M2 H3 M3 Neste caso, teremos os trs rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se d em relao s moas! Permutao dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Permutao das moas:P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Compondo nosso resultado, para esta primeira situao, teremos: 6x6= 36 Ocorre que a questo no acaba a, uma vez que j havamos constatado que h uma outrapossibilidade:adequeafilacomececomumamoaesquerda(aoinvsdeum rapaz)! Teremos: M1 H1 M2 H2 M3 H3 Aquinovamenteastrsmoaspermutaroentresi,enquantoqueostrsrapazes tambm permutaro entre si! Faremos: Permutao das moas:P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Permutao dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Compondo nosso resultado, para esta segunda situao, teremos igualmente: 6x6= 36 Finalmente,somandoosresultadosparciais(rapazesquerdaemoa esquerda), teremos: 36+36= 72 Resposta! SITUAO6)Seisamigosvoaocinema.So3rapazese3moasDequantas formaspoderemoscoloc-losdispostosnumamesmafila,emseispoltronas vizinhas, de modo que somente as moas fiquem todas juntas? Sol.:Oquesepedenestaquesto(porcontadapalavrasomente)onmerode maneirasdiferentesemqueas3moasfiquemsemprejuntasenquantoqueos3rapazes no fiquem todos juntos.1 Soluo: Assim, para que os trs homens no fiquem todos juntos necessrio que as moas fiquemjuntasnomeio da fila. Reparemqueas moasno podemestar juntasnas pontas, poisassimostrshomensficariamjuntos!Hduassituaespossveisparao posicionamento das moas: www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 11Anlise Combinatria 1 situao: H1 M1 M2M3H2H3

2 situao: H1 H2M1 M2M3 H3

Na primeira situao teremos os trs rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se d em relao s moas! Permutao dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Permutao das moas:P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Compondo nosso resultado, para esta primeira situao, teremos: 6x6= 36 Da mesma forma, na segunda situao teremos os trs rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se d em relao s moas! Permutao dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Permutao das moas:P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Compondo nosso resultado, para esta segunda situao, teremos: 6x6= 36 Finalmente, somando os resultados parciais, teremos: 36+36= 72 Resposta! 2.5. PERMUTAO CIRCULAR umcaminhoderesoluoqueserutilizadoquandoestivermosemumproblema quesai porPermutao,e em queos elementosdogrupo estarodispostos emuma linha fechada,ouseja, todosos elementos dogrupo teroumelementoa sua esquerdae asua direita. Exemplo 13:Dequantasmaneiraspodemoscolocarquatropessoasemquatro posies ao redor de uma mesa redonda? Sol.: PC 4 = (4-1)! = 3! = 3x2x1 = 6Resposta! Portanto, h 6 maneiras de dispor quatro pessoas ao redor de uma mesa redonda. Da, conclumos, Permutao CircularAmesanoprecisanecessariamentesercircular,elapodeteroutrasformas: quadrada, oval... So tambm questes de permutao circular: o nmero de maneiras de sefazerumcolarcom10contascoloridas;onmerodemaneirasdedisporsete crianas em uma brincadeira de roda etc. 3 moas 3 moas www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 12Anlise Combinatria 2.5. PERMUTAO COM REPETIO Passemos a mais dois exemplos: Exemplo 14:Quantosanagramaspodemserformadoscomasletrasdapalavra SAPO? Sol.: A primeira coisa a se fazer aqui explicar o conceito de anagrama.Anagrama apenas uma formao qualquer que se possa criar com um determinado grupodeletras.Essaformaoqualquernoprecisaserumapalavra,umvocbuloque constenodicionrio!Podeseralgomesmoininteligvel.Contantoquesejaformadopor aquelas letras. Da,seeutenhoasletrasdapalavraSAPO,soexemplosdeanagramasos seguintes: (S O P A) , (A S P O) , (A S O P), (P S O A), (O P S A) etc. Portanto, Anagramas de uma palavra so todas as formaes possveis ao rearranjar as letras. Ora,rearranjarasletrasomesmoquepermut-las!Assim,podemosafirmarque questes de anagrama se resolvem por permutao! Ok? Como SAPO tem 4 letras no repetidas, teremos: P4=4!=4x3x2x1=24 anagramas Resposta! Exemplo 15:Quantosanagramaspodemserformadoscomasletrasdapalavra PAPAGAIO? Sol.: A questo de anagrama, logo se resolve por Permutao!Da, a pergunta: entre os elementos do conjunto universo, h algum que se repete? Sim! Vejamos: P A P A G A I O Ou seja, a letra P aparece duas vezes, e a letra A aparece trs vezes!Da, teremos uma Permutao com Repetio! Teremos: = = =! 3 2! 3 4 5 6 7 8! 1 ! 1 ! 1 ! 3 ! 2! 81 , 1 , 1 , 3 , 28P 3.360 Resposta! www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 13Anlise Combinatria 3. EXERCCIOS RESOLVIDOS 01. Temos7cadeirasemfilaindiananumeradasde1a7para4pessoasse sentarem, onde 3 cadeiras ficaro vazias. De quantos modos isso pode ser feito?Sol.: No desenho abaixo, dispomos as 7 cadeiras em fila e colocamos 4 pessoas sentadas (A, B, C e D), ficando 3 cadeiras vazias.

1 23 4 5 6 7 Sabemosqueaordemdaspessoasrelevante,portantopodesetratardeuma questo de arranjo, princpio multiplicativo ou permutao. Se o nmero de pessoas fosse maior que o de cadeiras, digamos: 10 pessoas para 7 cadeiras,teramosqueescolher7pessoasnogrupode10pessoas.Da,poderamosfazer um arranjo: A10,7, e descobriramos a resposta. Bem simples!Mas a situao diferente temos mais cadeiras do que pessoas, entretanto podemos resolver de forma semelhante: podemos escolher 4 cadeiras entre as 7 disponveis para que as pessoas se sentem. como se as 4 pessoas estivessem escolhendo um nmero de 1 a 7. Vejamos: A BCD 1 346 3 461 4 613 ... 2 347 ... Paraescolher4nmerosdistintosemumgrupode7nmeros,ondeaordem relevante, podemos usar a tcnica de Arranjo. Teremos: = =-= 4 5 6 7)! 4 7 (! 74 , 7A840 (Resposta!) H outra forma de resolver a questo que considero mais simples. Vejamos! Vamos pegar o desenho anterior e colocar nas cadeiras vazias a letra V.

12 3 4 5 6 7 Aopermutarmosasletras(A,B,CeV)comoseestivssemospermutandoas pessoasnas7cadeirasdisponveis.Squeteremosquefazerumapermutaocom repetio, uma vez que a letra V aparece repetida (3 vezes).Aplicao da frmula de permutao com repetio: = = =! 3! 3 4 5 6 7! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 3! 71 , 1 , 1 , 1 , 37P 840 (Resposta!) Mesmssima resposta! ABCD ABCD VVV www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 14Anlise Combinatria 02. (GestorFazendrioMG2005ESAF)Marcela eMriofazem parte de umaturma de quinze formandos, onde dez so rapazes e cinco so moas. A turma rene-se paraformarumacomissodeformaturacompostaporseisformandos.O nmero de diferentes comisses que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mrio no participe igual a: a) 504c) 284e) 84 b) 252 d) 90 Sol.: Aordemdaspessoasdentrodogrupodosseisformandosselecionadosno relevante! Da, trata-se de uma questo de combinao!Dados da questo: - Uma turma de 15 formandos (10 rapazes e 5 moas). - A comisso composta por 6 formandos.- Marcela participa da comisso e Mrio no participa.AMarcelatemlugargarantidonacomisso,entoumadasseisvagasdela.Da, resta-nos somente 5 lugares na comisso.Quantosformandosvodisputaresses5lugaresquerestamnacomisso?Dos15 formandos,doisnodisputam:MrioquenoparticipaeMarcelaquejtemsuavaga reservada. Da, 13 formandos disputam 5 lugares! Paradescobrirmosototaldediferentescomisses,bastafazerumaCombinaode 13 formandos para 5 lugares:= = == 9 11 131 2 3 4 5 ! 8! 8 9 10 11 12 13! 5 ! 8! 135 , 13C 1287 Resposta! Esta questo foi anulada! Nenhuma das alternativas continha a resposta correta! 03. Aps colocar em ordem crescente todos os nmeros que se obtm permutando-se os algarismos 1, 3, 4, 7 e 8, que posio ocupa o nmero 78413? Sol.: Vamos listar as vrias situaes em que o nmero formado menor que 78413.1) 1 _ _ _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P4=4!=24 2) 3 _ _ _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P4=4!=24 3) 4 _ _ _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P4=4!=24 4) 7 1 _ _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P3=3!=6 5) 7 3 _ _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P3=3!=6 6) 7 4 _ _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P3=3!=6 7) 7 8 1 _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P2=2!=2 8) 7 8 3 _ _ : a quantidade de nmeros desta forma igual a P2=2!=2 Paramos por aqui! O prximo nmero j o 78413! Aquantidadedenmerosqueprecedemo78413dadapelasomadosresultados nas oito situaes: 24+24+24+6+6+6+2+2 = 94 nmeros Portanto, o nmero 78413 ocupa a 95 posio. (Resposta!) www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 15Anlise Combinatria 04. (TcnicoBACEN2005FCC)Osclientesdeumbancocontamcomumcarto magntico e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferena positiva entre o primeiro algarismo e o ltimo algarismo 3, igual a (A) 936(C) 784(E) 728 (B) 896(D) 768 Sol.: A senha tem as seguintes caractersticas:(i) composta por 4 algarismos distintos; (ii) vai de 1000 a 9999; (iii) o mdulo da diferena entre o 1 algarismo e o ltimo igual a 3. Faremos o seguinte desenho para a senha: ________________ 1 alg.2 alg.3 alg. 4 alg. Caso no existisse o item (iii) descrito acima, a soluo da questo seria pelo Princpio da contagem: 1 Etapa) Definio do 1 algarismo: h 9 possibilidades (algarismos de 1 a 9); 2Etapa)Definiodo2algarismo:h9possibilidades(algarismosde0a9,menos aquele que foi usado como primeiro algarismo); 3 Etapa) Definio do 3 algarismo: h 8 possibilidades (algarismos de 0 a 9, tirando os dois algarismos que foram usados nas duas primeiras posies); 4 Etapa) Definio do 4 algarismo: h 7 possibilidades (algarismos de 0 a 9, tirando os trs algarismos que foram usados nas trs primeiras posies). Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: 9x9x8x7= 4536 senhas. Esta seria a resposta caso no existisse o item (iii) descrito anteriormente. Incluindooitem(iii),asoluoseguirporumcaminhodiferente.Teremosque detalhartodasaspossibilidadesemqueomdulodadiferenaentreoprimeiroeltimo algarismo da senha igual a 3. Vejamos quais so elas: 1 situao) iniciando por 1 e terminando em 4: 1 __ __ 42 situao) iniciando por 2 e terminando em 5: 2 __ __ 5 3 situao) iniciando por 3 e terminando em 0: 3 __ __ 0 4 situao) iniciando por 3 e terminando em 6: 3 __ __ 6 5 situao) iniciando por 4 e terminando em 1: 4 __ __ 16 situao) iniciando por 4 e terminando em 7: 4 __ __ 77 situao) iniciando por 5 e terminando em 2: 5 __ __ 2 8 situao) iniciando por 5 e terminando em 8: 5 __ __ 8 9 situao) iniciando por 6 e terminando em 3: 6 __ __ 310 situao) iniciando por 6 e terminando em 9:6 __ __ 911 situao) iniciando por 7 e terminando em 4:7 __ __ 412 situao) iniciando por 8 e terminando em 5:8 __ __ 5 13 situao) iniciando por 9 e terminando em 6:9 __ __ 6 www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 16Anlise Combinatria Pronto! Descrevemos todasas possibilidadesemqueomduloda diferena entreo primeiro e ltimo algarismo da senha igual a 3. Para encontrarmos o total de senhas necessrio preencher as duas posies do meio da senha que foram deixadas em branco na lista construda acima. Quantas senhas de 4 algarismos distintos existem para a 1 situao, isto , iniciando por 1 e terminando em 4? Para encontrar a resposta, usaremos o Princpio Fundamental da Contagem.Na 1 situao, a senha inicia por 1 e termina por 4:1 __ __ 4 Analisemos as possibilidades para os dois algarismos do meio, lembrando que a senha formada por 4 algarismos distintos. 1 Etapa) Definio do 2 algarismo: h 8 possibilidades (so eles: 0,2,3,5,6,7,8,9); 1 __ __ 4 2Etapa)Definiodo3algarismo:h7possibilidades(osalgarismosda1etapa, tirando aquele que acabou de ser usado como 2 algarismo). 1 __ __ 4 Multiplicando-se as possibilidades, teremos: 8x7= 56 senhas para a primeira situao. Todas as outras doze situaes (2 13) tm as mesmas caractersticas da situao queanalisamosacima(4algarismosdistintoscomosdoisdomeioembranco).Da, encontraremos a mesma quantidade de senhas para cada uma delas: 56 senhas. Como ao todo so 13 situaes e em cada uma delas h 56 senhas, ento o total de senhas igual a: 13x56 = 728 senhas. (Resposta: Alternativa E!) 05. Marcam-se 6 pontos sobre uma reta r e, sobre a paralela s, tomam-se 4 pontos. Quantos tringulos podemos formar unindo 3 quaisquer desse 10 pontos? Sol.: Paraformarumtringuloprecisamosdetrspontos.Eaordementreessestrs pontos no relevante! Portanto, trata-se de uma questo de Combinao! Paraencontrarmosototaldetringulosformadospelosdezpontos,faremosuma combinao dos 10 pontos, tomados 3 a 3: C10,3 =_ 10!___ 3! (10-3)! C10,3 =_ 10.9.8.7!_ 6 . 7! C10,3 =120

Entretanto, dessas 120 combinaes, algumas delas no formam tringulos! Acondionecessriapara que trspontos distintosformemumtringulo queos trs pontos no estejam sobre uma mesma reta. E, nesta questo, temos pontos sobre duas retas. Da, devemos retirar: as combinaes dos 6 pontos da reta r, tomados 3 a 3; e as combinaes dos 4 pontos da reta s, tomados 3 a 3. 8p 8p7p www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 17Anlise Combinatria Passemos ao clculo dessas duas combinaes.As combinaes dos 6 pontos da reta r, tomados 3 a 3, igual a: C6,3 = _ 6!___ C6,3 = _6.5.4.3!_ 3! (6-3)! 6 . 3! C6,3 = 20 As combinaes dos 4 pontos da reta s, tomados 3 a 3, igual a: C4,3 = _ 4!___ C4,3 = 4.3!_ 3! (4-3)! 3!.1! C4,3 = 4 Parafinalizar, vamos retirar dototaldas120combinaesaquelasquenoformam tringulos: total de tringulos = 120 20 4 total de tringulos = 96 (Resposta!) 06. Quantas diagonais tm um polgono regular de 10 lados? Sol.: Umpolgonodiz-seregularsetivertodososseusladosengulosiguais.Como exemplosdepolgonosregulares,temos:tringuloeqiltero,quadrado,pentgono, hexgono, heptgono, octgono, enegono, decgono etc.Um polgono de 10 lados ter tambm 10 vrtices. A diagonal um segmento de reta determinado por dois vrtices no-consecutivos.O nmero total de segmentos de reta determinados pelos 10 vrtices igual a: 4529 10! 8 ! 2! 8 9 10)! 2 10 ( ! 2! 102 , 10== =- = C Entreesses45segmentos,almdasdiagonaisestoincludostambmosladosdo polgono. Como existem 10 lados, o nmero de diagonais ser: 45 10 = 35 diagonais (Resposta!) 07. De quantas maneiras podemos distribuir 12 funcionrios em trs agncias (A, B eC)demodoqueemAfique4pessoas,emBfiquem5pessoaseemC,3 pessoas? Sol.: Devemosescolher4entreos12funcionriosparaficaremnaagnciaA.Como estamos preocupados apenas em distribuir os funcionrios nas agncias, entoa ordem das pessoasdentrodaagncianotemrelevncia.Assim,podemosusarafrmulada Combinao para calcular a quantidade de maneiras.495249 10 11 12! 8 ! 4! 8 9 10 11 12)! 4 12 ( ! 4! 124 , 12= = =- = C maneiras AgoraaagnciaB.Entreas8pessoasrestantes,selecionamos5pessoaspara ficarem na agncia B. Faremos uma combinao de 8 elementos tomados 5 a 5. 56 7 8! 3 ! 5! 5 6 7 8)! 5 8 ( ! 5! 85 , 8= = =- = C maneiras J foram distribudas 9 pessoas, restando apenas 3 pessoas para 3 lugares na agncia C. Faremos uma combinao de 3 elementos tomados 3 a 3. 13 , 3 = C maneira www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 18Anlise Combinatria Para cada combinao (495) de pessoas na agncia A, teremos 56 maneiras de dispor 5 pessoas na agncia B, e por sua vez 1 maneira de dispor 3 pessoas na agncia C. Portanto, devemos multiplicar os resultados obtidos acima: 495x56x1 = 27720 maneiras Concluindo, existem 27720 modos de distribuirmos as 12 pessoas nas 3 agncias. 08. (MPU 2004 ESAF) Paulo possui trs quadros de Gotuzo e trs de Portinari e quer exp-losemumamesmaparede,ladoalado.Todososseisquadrosso assinados edatados.ParaPaulo,osquadrospodem serdispostosem qualquer ordem,desdequeosdeGotuzoapareamordenadosentresiemordem cronolgica, da esquerda para a direita. O nmero de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos igual a a) 20. b) 30.c) 24. d) 120. e) 360. Sol.: A questo envolve os seguintes quadros: 3 quadros de Gotuzo e 4 de Portinari. Solicita-se o nmero de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos, desdequeosdeGotuzoapareamordenadosentresiemordemcronolgica,da esquerda para a direita. So trs quadros de Gotuzo, que designaremos por: G1, G2 e G3.E so trs quadros de Portinari, que designaremos por: P1, P2 e P3.Considere que o quadro G1 cronologicamente mais antigo que o quadro G2, e este por sua vez mais antigo que o quadro G3. O mesmo se aplicando aos quadros de Portinari. Podemosresolverestaquestopelafrmuladapermutaocomrepetio,apesar dosquadrosnoserepetirem!Sequisermosqueosquadrosapareamsobdeterminada ordem, consideraremos esses como sendo iguais!Nestaquesto,ostrsquadrosdeGotuzodevemaparecersobdeterminadaordem (no caso, em ordem cronolgica). Para a aplicao da frmula de permutao com repetio, devemos considerar os quadros de Gotuzo como sendo iguais. Veja a ilustrao abaixo. Nos6quadros,oGserepete3vezes,eosoutrosaparecemsomente1vez. Aplicando a frmula da permutao com repetio, teremos: 1 , 1 , 1 , 36P = = =! 3! 3 4 5 6! 1 ! 1 ! 1 ! 3! 6120 Resposta! Daremos outro exemplo para que fique bem compreendido! Qualonmerodediferentesmaneirasqueosseisquadrospodemser expostos tendo os quadros de Gotuzo em ordem cronolgica e tambm os quadros de Portinari em ordem cronolgica? Paraaplicarmosafrmuladapermutaocomrepetio,vamosconsiderarqueos quadro de Gotuzo so iguais e os quadros de Portinari so iguais. Teremos: Nos 6 quadros, o G se repete 3 vezes, e o P tambm se repete 3 vezes. Aplicando a frmula da permutao com repetio, teremos: 3 , 36P = ==! 3 6! 3 4 5 6! 3 ! 3! 620 Resposta! G GP1 P2 P3 G G GP P P G www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 19Anlise Combinatria Mais um exemplo que tem muito haver com esta questo. 09. Nos anagramas da palavra ROMANCE, qual o nmero de vezes que as letrasA, M, O, R aparecem nesta ordem (no necessariamente juntas)? Sol.: Resolveremosestaquestodeformasemelhanteaqueapresentamosnofinalda soluo da questo anterior, ou seja, atravs da frmula da permutao com repetio. Como queremos que as letras A M O R apaream nesta ordem, temos que consider-las como letras iguais. Ento, na palavra ROMANCE, vamos substituir as letras A, M, O, R pela letra X. A nossa palavra agora : XXXXNCE Para aplicar a frmula, temos que verificar as repeties das letras. A palavra tem7 letras, sendo que a letra X aparece 4 vezes e as outras letras somente 1 vez. Da: 1 , 1 , 1 , 47P = = =! 4! 4 5 6 7! 1 ! 1 ! 1 ! 4! 7210 Resposta! 10. Quantas palavras (com ou sem significado) de 5 letras distintas, sendo 3 vogais e 2 consoantes, podem ser formadas com as letras a, e, i, o, u, b, c, d, f? Sol.: Observe que no uma questo de simplesmente permutar as letras, pois do total de 9 letras, temos que escolher 3 vogais e 2 consoantes.Primeiramentevamoscalcularonmerodemaneirasdeselecionaras5letrasque formaro a palavra, sem nos preocupar com a ordem das letras. Da, usaremos inicialmente a frmuladaCombinao.(Estaparteinicialdasoluodaquestocomosequisssemos montarumacomissodehomensemulheres,ondeasvogaisfossemoshomenseas consoantes as mulheres). Temos5vogaisdisponveis(a,e,i,o,u)paraescolher3,dafaremosuma combinao de 5 elementos tomados 3 a 3, ou seja: 1024 5! 2 ! 3! 3 4 5)! 3 5 ( ! 3! 53 , 5== =- = CTemos4consoantesdisponveis(b,c,d,f)paraescolher2,dafaremosuma combinao de 4 elementos tomados 2 a 2, ou seja: 623 4! 2 ! 2! 2 3 4)! 2 4 ( ! 2! 42 , 4== =- = COtotaldeformasdeescolherasletras(ou,comparativamente,demontaras comisses) dado pelo produto dos dois resultados acima: 60 6 102 , 4 3 , 5= = C CPortanto, temos 60 maneiras diferentes de escolher as letras que comporo a palavra. Porexemplo,umadessas60possibilidadesapalavra:aeibc.Ora,essascincoletras ainda podem ser permutadas para formar outras palavras.Portanto,paracadaumadas60possibilidades,faremosapermutaodascinco letras. Assim, o total de palavras solicitado na questo igual a: 60 x 5! = 60 x 120 = 7200 palavras (Resposta!) www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 20Anlise Combinatria 11. Qualonmerodemodosque6letrasXe4letrasYpodemsercolocadosem seqncia de modo que duas letras Y no fiquem juntas? Sol.: Como as letras Y no podem ficar juntas, temos que colocar as letras X e letras Y se alternando na sequncia. Vamos dispor as letras X e deixar em branco as possveis posies das letras Y. __________________________ Observe que existem 7 posies que as letras Ypodem ocupar. Como h 4 letras Y, temosqueescolher4posiesentreas7existentes.Paratanto,usaremosafrmulada combinao.(PoisumavezqueasletrasYsoiguais,entoaopermutarasposiesque elas ocupam no haver diferena). Teremos uma combinao de 7 elementos tomados 4 a 4: = =- =65 6 7)! 4 7 ( ! 4! 74 , 7C 35 modos (Resposta!) 12. Qual o nmero de solues inteiras no negativas da equao x+y+z=6? Sol.: Sefosseumaequaocommenosvariveis,porexemplo:x+y=6,atque poderamos resolver por tentativas, seno vejamos: 1) x=0y=6 2) x=1y=5 3) x=2y=4 4) x=3y=3 5) x=4y=2 6) x=5y=1 7) x=6y=0 Ao todo temos 7 solues inteiras no negativas. Ok? Paraaequaox+y+z=6seriabemmaistrabalhosoencontrarassoluespor tentativas. Vamos ensinar um mtodo de soluo rpido pela Anlise Combinatria. Asoma dos valoresdex, ye zdeveser igual a 6.Desenharemosseis pontospara representar esse valor 6. Vamos dividir esses seis pontos em trs partes que correspondero as trs variveis x, y e z. Para tanto, usaremos duas barras para fazer as separaes das partes. Cada modo de dipormos os pontos e as barras dar origem a uma soluo para a equao. Por exemplo: x=1; y=3; z=2 x=2; y=2; z=2 x=0; y=3; z=3 x=2; y=0; z=4 Se permutarmos esses 8 smbolos (6 pontos e 2 barras) encontraremos todas as solues inteiras no negativas da equao.Como os smbolos se repetem devemos fazer uma permutao com repetio.132 222 033 420 XXXXXX www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 21Anlise Combinatria 2827 8! 2 ! 6! 82 , 68== = PPortanto, temos 28 solues inteiras no negativas para a equao x+y+z=6. Podemos estabelecer uma frmula para este tipo de questo. Frmula:)! 1 ( !)! 1 (-- +=n rr nsolues de nOnde: n o nmero de variveis (x, y, z,...) da equao; e r valor da constante que fica no segundo membro da equao. Na questo acima, tnhamos n=3 e r=6. Na equao x+y+z+w=8, qual o valor de n e de r? Teremos: n=4 e r=8. 13. Umalanchonetevendetrstiposderefrigerantes:Kuat,PepsieSprite.De quantas maneiras uma pessoa pode comprar cinco garrafas de refrigerante? Sol.: EstaumaquestoquechamamosdeCombinaocomRepetio.Vejamoso porqu.Ao levarmos para casa cinco refrigerantes, a ordem dos refrigerantes dentro da sacola no tem a menor importncia. Ou seja, os dois resultados abaixo so iguais. {Kuat, Kuat, Kuat, Pepsi, Sprite}={Sprite, Pepsi, Kuat, Kuat, Kuat} Comoaordemdoselementosnotemrelevncia,entoestamosdiantedeuma questo de Combinao. Entretanto, nas questes de combinao que vimos at o momento nopoderiahaverelementosrepetidos dentrodogrupo.Enestaquestotemoselementos repetidos!Porexemplo,nogrupoacima,temos3Kuats.Porissochamamosestetipode questo de Combinao com Repetio. Pararesolveraquesto,nousaremosafrmuladaCombinao.Omtodoque usaremosbaseadonaquestoanterior:encontraronmerodesoluesinteirasno negativas de uma equao linear. ChamaremosdexonmeroderefrigerantesKuatcomprados,deyonmerode refrigerantesPepsi compradosedezonmero derefrigerantesSpritecomprados.Asoma dex,yezdeveseriguala5,poissegundooenunciadosocompradascincogarrafas. Assim, podemos formar a equao: x+y+z=5 Desta forma, no desenho haver 5 pontos e 2 (=3 variveis menos 1) barras.

Se permutarmos esses 7 smbolos (5 pontos e 2 barras) encontraremos todas as solues inteiras no negativas da equao. 2126 7! 2 ! 5! 72 , 57== = PPortanto, temos 21 solues inteiras no negativas para a equao x+y+z=5. Traduzindoesseresultadoparaaquestodosrefrigerantes,afirmamosqueh21 maneiras de comprar cinco garrafas de refrigerante nessa lanchonete. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 22Anlise Combinatria 14.(BB1 2007 CESPE) Julgue o item: 1. Se 6 candidatos so aprovados em um concurso pblico e h 4 setores distintos ondeelespodemserlotados,ento h,no mximo,24maneirasdeserealizarem tais lotaes. Sol.: A soluo desta questo semelhante a da questo anterior. Vejamos. Os 6 candidatos sero distribudos nos 4 setores, podendo inclusive haver setores que no recebam nenhum candidato. Faremos as seguintes designaes: x o nmero de candidatos lotados no 1 setor; y o nmero de candidatos lotados no 2 setor; z o nmero de candidatos lotados no 3 setor; w o nmero de candidatos lotados no 4 setor; A soma de x, y, z e w igual a 6. Da: x+y+z+w=6 Desta forma, no desenho haver 6 pontos e 3 (= 4 variveis menos 1) barras.

Se permutarmos esses 9 smbolos (6 pontos e 3 barras) encontraremos todas as solues inteiras no negativas da equao. 8467 8 9! 3 ! 6! 93 , 69= = = PPortanto,temos84maneirasdistintasdeefetuaralotaodosseiscandidatos. Logo, o item est errado! 15. (AFRFB2009Esaf)Dequantasmaneiraspodemsentar-setrshomensetrs mulheres em uma mesa redonda, isto , sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? a) 72c) 216 e) 720 b) 360 d) 36 Soluo:Chamaremos os homens de: H1, H2 e H3 e as mulheres de M1, M2 e M3.Umasituaoemquehomensemulheresficamalternadosmostradanodesenho abaixo: Se houvesse apenas os trs homens em torno da mesa, o nmero de maneiras que eles poderiam sentar-se seria igual a: Permutao circular = (n-1)! = (3-1)! = 2! = 2 maneiras H2 M2 M1 H1 M3 H3 www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 23Anlise Combinatria Agoratemosquepermutarastrsmulheres.Serumapermutaosimples,eno circular,poisnapermutaoanterior(permutaocircular)jexclumosassituaesque representam apenas giros dos homens em torno da mesa. Permutao simples das mulheres = 3! = 6 maneiras O total de possibilidades igual ao produto das duas permutaes: Total = 2 x 6 = 12 maneiras (Resposta!) Esta questo foi anulada pela ESAF, pois nenhuma das opes de resposta correta. Podemosgeneralizarestaquestoparaumaquantidadequalquerdehomense mulheres. Considerequetenhamosmhomensemmulheresemtornodamesa.Dequantas formas eles podem sentar-se, de modo que os homens e as mulheres se alternem?A resposta dada pela seguinte expresso: m!(m-1)! www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 24Anlise Combinatria EXERCCIOS DE ANLISE COMBINATRIA 01. (MPE Tocantins 2006 CESPE) Os princpios de contagem, na matemtica, incluem: IPrincpiodaSoma:seumeventoE1podeocorrerdeN1maneirasdistintas,E2,deN2 maneiras distintas, ..., Ek, de Nk maneiras distintas, e se quaisquerdois eventos no podem ocorrersimultaneamente,entoumdoseventospodeocorreremN1+N2+...+Nk maneiras distintas.IIPrincpiodaMultiplicao:considerequeE1,E2,...,Eksoeventosqueocorrem sucessivamente;seoeventoE1podeocorrerdeN1maneirasdistintas,oeventoE2pode ocorrer de N2 maneira distintas, ..., o evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, ento todosesseseventospodemocorrer,naordemindicada,emN1N2...Nkmaneiras distintas. Considerandootextoacimaeainformaodoportalwww.mp.to.gov.br,deque,no MinistrioPblicodoEstadodoTocantins(MPE/TO),h85promotoresdejustiae12 procuradores de justia, julgue os itens subsequentes. 1. Considere que se deseje eleger, entre osprocuradores eospromotores do MPE/TO, um presidente,umvice-presidenteeumouvidor,paraadireodeumclubedosmembros doMPE/TO,demodoquenenhumapessoapossasereleitaparamaisdeumcargo. Nessasituao,corretoafirmarqueh288maneirasdiferentesdeseescolheremos trs membros para a direo do clube e este resultado uma conseqncia do Princpio da Soma.2. H 97 maneiras diferentes de se escolher uma pessoa entre os promotores de justia e os procuradores de justia do MPE/TO. 3.Considereque,entreospromotoresdejustiadoMPE/TO,haja27mulheres.Suponha que60promotorestenhammenosde50anos,eque,nestegrupo,haja15mulheres. Nessasituao,umdoseventostermenosde50anosousermulhertem72 maneiras distintas de ocorrer.4.H70maneirasdiferentesdeseconstituirumcomitquecontenhaexatamente4 membros escolhidos de uma lista de 8 procuradores de justia. 02. (TRT-RJTcnico2008Cespe)Considerandoqueasmatrculasfuncionaisdosservidores de um tribunal sejam formadas por 5 algarismose que oprimeiro algarismo de todas a matrculassejao1ouo2,entoaquantidademximadematrculasfuncionaisque podero ser formadas igual a A. 4 103.D. 2 105. B. 1 104.E. 3 105. C. 2 104. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 25Anlise Combinatria 03. (DETRAN/ES2010Cespe)Acercadosprincpiosedastcnicasdecontagem,julgueos itens subsequentes. 1.Considerando-seque,noestadodoEspritoSanto,asplacasdosautomveisvariemde MOX0001aMTZ9999,corretoconcluirqueonmerototaldeautomveisquepodem ser licenciados nesse estado igual a 162.000. 04. (BB2009Cespe)SupondoqueAndr,Bruna,Cludio,LeilaeRobertosejam,no necessariamentenestaordem,oscincoprimeirosclassificadosemumconcurso,julgue os itens seguintes. 1. Existem 120 possibilidades distintas para essa classificao. 2. Com Andr em primeiro lugar, existem 20 possibilidades distintas para a classificao.3.ComBruna,LeilaeRobertoclassificadosemposiesconsecutivas,existem36 possibilidades distintas para classificao.4. O nmero de possibilidades distintas para a classificao com um homem em ltimo lugar 144. 05. (Auditor Fiscal de Vitria-ES 2007 CESPE) Paraformar-seumanagrama,permutam-seasletrasdeumapalavra,obtendo-seouno uma outra palavra conhecida. Por exemplo, VROAL um anagrama da palavra VALOR. Com base nessas informaes, julgue os prximos itens, relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR.1. O nmero de anagramas distintos inferior a 100.2. O nmero de anagramas distintos que comeam com VL igual a 6.3. O nmero de anagramas distintos que comeam e terminam com vogal superior a 15.4. O nmero de anagramas distintos que comeam com vogal e terminam com consoante superior a 44. 06. (Agente da Polcia Federal (Regional)2004 CESPE) Texto para os itens de 1 a 4Conta-senamitologiagregaqueHrcules,emumacessodeloucura,matousua famlia.Paraexpiarseucrime,foienviadopresenadoreiEuristeu,quelheapresentou umasriedeprovasaseremcumpridasporele,conhecidascomoOsdozetrabalhosde Hrcules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leo de Nemia, capturar a cora de Cerinia e capturar o javali de Erimanto.Considere que a Hrcules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatria. Alm disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez.ComrelaoaonmerodepossveislistasqueHrculespoderiapreparar,julgueositens subseqentes. 1. O nmero mximo de possveis listas que Hrcules poderia preparar superior a 12 10!. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 26Anlise Combinatria 2.OnmeromximodepossveislistascontendootrabalhomataroleodeNemiana primeira posio inferior a 240 990 56 30.3.Onmeromximodepossveislistascontendoostrabalhoscapturaracorade CerinianaprimeiraposioecapturarojavalideErimantonaterceiraposio inferior a 72 42 20 6.4.Onmeromximodepossveislistascontendoostrabalhoscapturaracorade CeriniaecapturarojavalideErimantonasltimasduasposies,emqualquer ordem, inferior a 6! 8!. 07. (TJ/ES2010Cespe)Alberto,Bruno,Srgio,JaneteeReginaassistiroaumapeade teatrosentadosemumamesmafila,ladoalado.Nessasituao,julgueositens subsequentes. 1. A quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas podero ocupar os assentos igual a 120.2.CasoJaneteeReginasentem-senasextremidadesdafila,entoaquantidadede maneiras distintas de como essas 5 pessoas podero ocupar os assentos igual a 24.3. Considere que Srgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas podero ocupar os assentos igual a 48. 08. (Banco da Amaznia 2010 Cespe) Suponha que um banco tenha um carto especial para estudantes, que j venha com senha de 4 algarismos escolhidos de 0 a 9 e atribudos ao acaso. Com relao a essa situao, julgue os itens subsequentes. 1.Aoserealizartodasascombinaespossveis,comosalgarismos2e1juntos,nessa ordem, obtm-se, no mximo, 192 senhas diferentes.2.Podem-seobter2.016senhasemqueo0,necessariamente,um,esomenteum,dos algarismos e os outros 3 algarismos so distintos.3. Ao se utilizar somente os algarismos 1, 3, 4 e 7, podem-se obter 12 senhas de algarismos distintos e que no sejam maiores que 4.173. 09. (Papiloscopista PF 2004 CESPE) A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos da matemtica, julgue os itens que se seguem. 1.Considereque,nadisputaentreduasequipes,aprimeiraquevencer4jogosser consideradavencedora.SeumadasequipesAtivervencidoos3primeiros confrontos,entoogrficoaseguircapazderepresentartodasaspossibilidadesdeA vencer a disputa. A perde A perdeA perde A perde 4 jogo 5 jogo 6 jogo 7 jogo A venceA venceA venceA vence www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 27Anlise Combinatria 2. O nmero de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra Papiloscopista inferior a 108. 3.Considere a seguinte situao hipottica. Umagrandeempresacatalogaseusbenspatrimoniaisusandocdigosformadosporuma cadeiade6caracteres,sendotrsletrasiniciais,escolhidasemumalfabetode26letras, seguidasde3dgitos,cadaumescolhidonointervalode0a9,nosepermitindocdigos com 3 letras iguais e(ou) 3 dgitos iguais.Nessa situao, a empresa dispe de at 107 cdigos distintos para catalogar seus bens. 10.(TRT 16 regio Anal. Jud. CESPE 2005) Julgue o item que se segue. 1.Onmerodecadeiasbinrias(quescontm0e1)de8dgitos,equetenham exatamente 3 zeros, superior a 50. 11. (BB3 2007 CESPE) Julgue o item seguinte. 1. Uma mesa circular tem seus 6 lugares que seroocupadospelos6 participantes deuma reunio.Nessasituao,onmerodeformasdiferentesparaseocuparesseslugarescom os participantes da reunio superior a 102. 12.(Agente da PF 2009 Cespe) A Polcia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades esto na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. Considerando as informaes do texto acima, julgue o prximo item. 1.Seumaorganizaocriminosaescolher6das17cidadescitadasnotexto,comexceo daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, ento essa organizao ter mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. 13.(PETROBRAS2007 CESPE) Julgue os itens que se seguem. 1.Considereque,nofinaldeumareuniodeexecutivos,foramtrocados78apertosde mos;cadaexecutivoapertouumanicavezamodetodososoutros.Nessecaso,o nmero de executivos presentes nessa reunio era inferior a 15. 14.(ABIN2010CESPE)Comrelaoaosprincpiosetcnicasdecontagem,julgueositens subsequentes. 1.Casoochefedeumrgodeintelignciatenhadeescolher3agentesentreos7 disponveis para viagens um deles para coordenar a equipe, um para redigir o relatrio de misso e um para fazer os levantamentos de informaes , o nmero de maneiras de que esse chefe dispe para fazer suas escolhas inferior a 200. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 28Anlise Combinatria 2.Casooservidorresponsvelpelaguardadeprocessosdedeterminadorgotenhade organizar,emumaestantecom5prateleiras,3processosreferentesacidadesdaregio Nordeste, 3 da regio Norte, 2 da regio Sul, 2 da regio Centro-Oeste e 1 da regio Sudeste, demodoqueprocessosderegiesdistintasfiquememprateleirasdistintas,entoesse servidor ter 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos. 3. Considere que seja possvel chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 nibus ou por um dos 2 barcos disponveis e que, dado o carter sigiloso de uma operao aserrealizadanessacidade,osagentesqueparticiparodessaoperaodevamchegar referidacidadedemaneiraindependente,emveculosdistintos.Emfacedessasituao, sabendo-se que o rgo de inteligncia dispe de apenas um carro e que os deslocamentos devemocorrernomesmodia,corretoafirmarqueonmerodemaneirasdeoservidor responsvel pela organizao das viagens escolher os veculos para transporte de 3 agentes para essa misso inferior a 50. 15.(ABIN2010CESPE)Considereque,emumrgodeinteligncia,oresponsvelpor determinadosetordisponhade20agentes,sendo5especialistasemtcnicasde entrevista, 8 especialistas em reconhecimento operacional e 7 especialistas em tcnicas delevantamentodeinformaes,todoscombomdesempenhonatarefade acompanhamento de investigado. A partir dessas informaes, julgue os itens a seguir. 1.Se,paracumprirdeterminadamisso,fornecessriofazer,simultaneamente, reconhecimento operacional em 3 locais diferentes, ento o responsvel pelo setor ter 340 maneiras distintas de comporuma equipe da qual faam parte 3 agentes especialistas para essa misso, sendo um especialista para cada local. 2.Hmaisde270maneirasdistintasdeoresponsvelpelosetororganizarumaequipe compostapor1especialistaementrevista,1emreconhecimentooperacionale1em levantamento de informaes, para determinada misso. 3. Considere que uma das tcnicas de acompanhamento de investigado que se desloque por umaruaretilneaconsistaemmanterumagentenomesmoladodaviaqueoinvestigado, algunsmetrosatrsdeste,edoisoutrosagentesdoladoopostodarua,umcaminhando exatamenteaoladodoinvestigadoeoutro,algunsmetrosatrs.Nessasituao,h10 maneirasdistintasde3agentespreviamenteescolhidosseorganizaremduranteuma misso de acompanhamento em que seja utilizada essa tcnica. 16.(Escrivo da Polcia Federal (Regional) 2004 CESPE)ParaumainvestigaoaserfeitapelaPolciaFederal,sernecessriaumaequipe com 5 agentes. Para formar essa equipe, a coordenao da operao dispe de 29 agentes, sendo9dasuperintendnciaregionaldeMinasGerais,8daregionaldeSoPauloe12da regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe, todos os agentes tero atribuies semelhantes, de modo que a ordem de escolha dos agentes no ser relevante. Com base nessa situao hipottica, julgue os itens seguintes. 1. Podero ser formadas, no mximo, 19 14 13 7 5 3 equipes distintas.www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 29Anlise Combinatria 2.Seaequipedeveconterexatamente2agentesdaregionaldoRiodeJaneiro,onmero mximo de equipes distintas que a coordenao dessa operao poder formar inferior a 1917117. 3. Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da regionaldeSoPauloe2agentesdaregionaldeMinasGerais,entoacoordenaoda operao poder formar, no mximo, 12 11 9 8 4 equipes distintas. 17.(Banco da Amaznia 2010 Cespe) Considerando que, dos 100 candidatos aprovados em umconcurso,30sejammulheres,sendoqueapenas20%delastmidadeacimade30 anos;e,entreoshomens,40%tmidadeacimade30anos,julgueositensquese seguem. 1. Selecionando-se, entre os referidos candidatos, somente homens com idade acima de 30 anos, possvel formar mais de 20.000 grupos, no ordenveis, de quatro candidatos.2.Seforemseparadassomenteasmulheresacimade30anose10%doshomens,ento serpossvelformar525gruposdiferentesde5pessoas,compostospor3homense2 mulheres.3.Seumcandidatotiverdeescolher,emordemdepreferncia,7cidadesparatrabalhar, entre10apresentadaspelobanco,entohavermaisde144opesdeescolhaparaesse candidato. 18.(MPETocantinsAnalista2006CESPE)Emcadaumdositenssubseqentes, apresentada uma situao hipottica, seguida de uma assertiva a ser julgada. 1.Umaconcessionriaofereceaosclientesasseguintesopesparaaaquisiodeum veculo: 4 cores externas, 4 cores internas, 4 ou 5 marchas, com ou sem ar condicionado, comousemdireohidrulica,comousemvidrosetravaseltricas.Dessemodo,so, no mximo, 128 as opes distintas para a escolha de um veculo. 2. Os ramais de telefone em uma repartio tm 4 dgitos, formatados com os algarismos 0, 1,...,9.Seessesnmerospossuempelomenosumdgitorepetido,entoaquantidade de nmeros de ramais que possvel formar superior a 4.000. 3. Um juiz deve sortear 5 homens e 6 mulheres para formar o corpo de jurados no tribunal dojri,entre10homense13mulheresconvocados.Nessasituao,onmerode possibilidades diferentes de se formar o corpo de jurados inferior a 1.970. 19.(PolciaCivilES2010Cespe)Desdedezembrode2009,umaaeronavenotripulada sobrevoa e monitora as fronteiras do Brasil como Paraguai,o Uruguai e a Argentina na regiodeFozdoIguau.Aotodo,sero6estaesequipadascom2aeronavescada, operadas pela Polcia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhes. 1. Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeo e manuteno, sendo que no podem ser selecionadas as 2 aeronaves de uma mesma estao, e que todas as seis estaes j possuam as duas aeronaves previstas, ento o nmero de formas distintas de se fazer essa escolha ser superior a 150. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 30Anlise Combinatria 20.(TRE-BATcnico2010Cespe)Ojogodedomintradicionaljogadocom28peas, igualmentedivididasentre4jogadoressentadosfaceafaceemtornodeumamesa retangular.Aspeas soretangularesepossuemumamarcaoqueasdivideemduas metadesiguais;emcadametade:ounohnadagravado,ouestgravadoum determinado nmero de buracos que representam nmeros. As metades representam 7 nmeros:1,2,3,4,5,6e0,sendoesteltimorepresentadoporumametadesem marcao. Cada nmero ocorre em 7 peas distintas. Em 7 peas, denominadas buchas, onmeroaparecenasduasmetades.Existetambmumavariaodedomin conhecida como double nine, em que as metades representam os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peas. A partir dessas informaes, julgue os itens subsequentes. 1. Uma variao de domin cujas metades representem os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 ter um total de 82 peas. 2. No domin tradicional, os 4 jogadores podem se sentar mesa de 6 maneiras distintas. 3. Considereque cada jogador, na sua vez, retire as 7 peas ao mesmo tempo.Nesse caso, aspeasdeumdomintradicionalpoderoserdivididasentreos4jogadoresde 28!/(7!)4 maneiras distintas. 4.Entretodasaspossveisdivisesdaspeasdeumdomintradicionalentreos4 jogadores,emmaisde100milhesdelasalgumdelescomearojogocomtodasas7 buchas. Gabarito:01ECCC11C 02c12E 03E13C 04CECE14ECE 05ECEE15ECE 06CCEC16EEE 07CEC17CCC 08ECE18ECE 09CEE19C 10C20ECCC