Aerodinâmica I Introdução Objectivo: Determinar as forças que se ... · Aerodinâmica I...

Aerodinâmica I

Introdução

Objectivo: Determinar as forças que se exercem

sobre um corpo imerso num

escoamento

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Aerodinâmica I

Introdução

Sustentação

Resistência

Força Propulsiva


Peso

Força Propulsiva

Aeronave a voar a altitude e velocidade constante

Peso = Sustentação

Força Propulsiva = Resistência

Aerodinâmica I

Introdução

Força de Sustentação é a componente da força aerodinâmica

na direcção perpendicular ao escoamento de aproximação.


Força de Resistência é a

componente da força

aerodinâmica na direcção

do escoamento de

aproximação.

Aerodinâmica I

Introdução

Origem da força aerodinâmica:

1. Pressão na superfície do corpo


Aerodinâmica I

Introdução

Origem da força aerodinâmica:

2. Tensão de corte na superfície do corpo


Transição

TurbulentoTensão de

corte na parede

0=

∂

∂=

y

wy

Uµτ

Aerodinâmica I

IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:

a) Experimental


Aerodinâmica I

IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:

b) Teórica (Solução numérica de um modelo matemático)


Aerodinâmica I

Descrição do campo do escoamento

Variáveis a determinar:

• Pressão (1)

• Velocidade (3)


• Velocidade (3)

• Massa específica (1)

• Temperatura (1)

Aerodinâmica I


• Fluido é tratado como um meio contínuo

• Equação de estado(1)

- Fluido Incompressível ρ=constante

- Gás Perfeito p=ρRT


- Gás Perfeito p=ρRT

• Princípio de Conservação da Massa (1)

• Segunda lei de Newton (Balanço de quantidade de movimento)(3)

• 1ª Lei da Termodinâmica (Balanço de energia)(1)

Aerodinâmica I


• Metodologia Euleriana

- Análise do escoamento num volume fixo

no espaço


- Derivada temporal inclui duas parcelas

1. Variação com o tempo num ponto fixo

do espaço

2. Variação de ponto para ponto no espaço,

num determinado instante de tempo

Aerodinâmica I

Conceitos Básicos

• Derivada Material

Propriedade genérica→= ),,,( tzyxqq

zqyqxqqDq ∂∂∂∂∂∂∂


z

qw

y

qv

x

qu

t

q

Dt

Dq

t

z

z

q

t

y

y

q

t

x

x

q

t

q

Dt

Dq

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

Aerodinâmica I

Conceitos Básicos

• Teorema da divergência de Gauss

SVdSnQdVQ��

⋅=⋅∇ ∫∫


Balanço do campo vectorial a um volume infinitesimal

zyx ez

ey

ex

��

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

→⋅∇ Q��

Q�

Aerodinâmica I

Conceitos Básicos

• Transformação da derivada temporal de um volume

variável (V) no tempo para um volume fixo (Vo)

∂D ��


Propriedade genérica por unidade de massa

( ) ( )∫∫∫ ⋅+∂

∂=

oo SVVdSnvdV

tdV

Dt

D ��ρξρξρξ

→ξ

Aerodinâmica I

Balanço de uma propriedade genérica

(“Equação de conservação”)

• Volume variável no tempo

∫∫ = dVfdVD

ρξ


fontes/poços da propriedade

∫∫ =VV

dVfdVDt

Dξρξ

→ξf ξ

Aerodinâmica I



• Volume fixo

( ) ( ) =⋅+∂

∂∫∫ ∫ ξρξρξ dVfdSnvdV

t oo o VV S

��


• Como Vo é arbitrário

( ) ( )

( ) ( ) 0

0

=−⋅∇+∂

∂

=

−⋅∇+

∂

∂

∂

∫

∫∫ ∫

ξ

ξ

ρξρξ

ρξρξ

fvt

dVfvt

t

o

oo o

V

VV S

��

��

Aerodinâmica I



Propriedade ξ fξ

Massa 1 —


Massa 1 —

Quantidade de

movimentoForças

EnergiaCalor

Trabalho

v�

gzv

ue ++=2

2

Aerodinâmica I

Conservação da Massa (equação da continuidade)

• Forma integral

• Forma diferencial

( ) 0=⋅+∂

∂∫ ∫

o oV SdSnvdV

t

��ρ

ρ



( )

( ) 0

0

0

=⋅∇+

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=⋅∇+∂

∂

vDt

D

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

t

vt

��

��

ρρ

ρρρρρ

ρρ

Aerodinâmica I

Conservação da Massa (equação da continuidade)

• Fluido incompressível (ρ=constante)

• Forma integral

( ) 0=⋅∫ dSnv��



( ) 0=⋅∫oV

dSnv

0

0

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=⋅∇

z

w

y

v

x

u

v��

Aerodinâmica I

Balanço de Quantidade de Movimento

• Forma integral

Soma da forças aplicadas ao fluido no

( ) FdSnvvdVt

v

o oV S

��

=⋅+∂

∂∫ ∫ ρ

ρ

→F�


Soma da forças aplicadas ao fluido no

volume de controle Vo

→F�

• Forças de pressão + tensões normais

• Tensões de corte

• Forças mássicas (força da gravidade)

Aerodinâmica I


• Relação das forças com as variáveis que caracterizam

o escoamento

( )∫ ∂

+⋅∇+∇−=oV

ij gpF

τ

ρτ��


∫

∫

∫

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

o

o

o

V

zzyzxzz

V

zyyyxy

y

V

zxyxxxx

zyxz

pF

gzyxy

pF

zyxx

pF

τττ

ρτττ

τττ

Aerodinâmica I



(Navier-Stokes)

puuuu

gpz

vw

y

vv

x

vu

t

vij

∂∂∂∂∂∂∂∂

+⋅∇+∇−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

τττρρρρ

ρτρρρρ ��


zyxz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gzyxy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

zyxx

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

τττρρρρ

ρτττρρρρ

τττρρρρ

Aerodinâmica I


• Relação entre tensões e movimento do fluido

(modelo de Newton)

• As tensões são linearmente proporcionais

às derivadas das componentes da velocidade

(Navier-Stokes)


às derivadas das componentes da velocidade

• As constantes de proporcionalidade são

independentes da direcção. Fluido isotrópico

• As tensões não dependem explicitamente da

posição no espaço e da velocidade do fluido

• O tensor é simétrico, τxy=τyx, τxz=τzx, τyz=τzy

Aerodinâmica I


• Relação entre tensões e movimento do fluido

(modelo de Newton)

x

v

y

uA

x

uyxxyxx

∂

∂+

∂

∂==+

∂

∂+Θ

−= µττµµλσ 2

3

2

(Navier-Stokes)


z

w

y

v

x

u

y

w

z

vA

z

w

x

w

z

uA

y

v

xyx

zyyzzz

zxxzyy

yxxyxx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Θ

∂

∂+

∂

∂==+

∂

∂+Θ

−=

∂

∂+

∂

∂==+

∂

∂+Θ

−=

∂∂∂

µττµµλσ

µττµµλσ

23

2

23

2

3

Aerodinâmica I


• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)

wuv

x

v

y

uA

x

uyxxyxx

∂∂∂

∂

∂+

∂

∂==+

∂

∂+Θ

−= µττµµλσ

2

23

2


• µ, λ e A são parâmetros independentes dos gradientes

das componentes do vector velocidade

z

w

y

v

x

u

y

w

z

vA

z

w

x

w

z

uA

y

v

zyyzzz

zxxzyy

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Θ

∂

∂+

∂

∂==+

∂

∂+Θ

−=

∂

∂+

∂

∂==+

∂

∂+Θ

−=

µττµµλσ

µττµµλσ

23

2

23

2

Aerodinâmica I



- Escoamento Uniforme

zzyyxx A=== σσσ


- Pressão média (average pressure),

th

zzyyxx

pA

A

−≡

=== σσσ

( )

th

zzyyxx

pp

p

+Θ−=

++−=

λ

σσσ3

1

Aerodinâmica I



wuv

x

v

y

u

x

up yxxyxx

∂∂∂

∂

∂+

∂

∂==

∂

∂+Θ−−= µττµµσ

2

23

2


• As constantes λ e A desaparecem das relações entre tensões

e gradientes das componentes do vector velocidade

z

w

y

v

x

u

y

w

z

v

z

wp

x

w

z

u

y

vp

zyyzzz

zxxzyy

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Θ

∂

∂+

∂

∂==

∂

∂+Θ−−=

∂

∂+

∂

∂==

∂

∂+Θ−−=

µττµµσ

µττµµσ

23

2

23

2

Aerodinâmica I


• Equações de Navier-Stokes

( )

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

Θ∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

x

w

z

u

zx

v

y

u

yx

u

x

xx

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

µµµ

µρρρρ

2

3

2


( )

( )

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

Θ∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

Θ∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂

z

w

zy

w

z

v

yx

w

z

u

x

zz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gy

w

z

v

zy

v

yx

v

y

u

x

yy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

xzzxyyxx

µµµ

µρρρρ

ρµµµ

µρρρρ

2

3

2

2

3

2

Aerodinâmica I



Fluido incompressível, ρ=constante


∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

w

zy

w

z

v

yx

w

z

u

xz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gy

w

z

v

zy

v

yx

v

y

u

xy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

x

w

z

u

zx

v

y

u

yx

u

xx

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

νννρ

νννρ

νννρ

21

21

21

Aerodinâmica I



Fluido incompressível, ρ=constante

Viscosidade constante, ν=constante


∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

z

w

y

w

x

w

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gz

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

νρ

νρ

νρ

Aerodinâmica I



• Variação de quantidade de movimento,

- Derivada temporal,

Escoamento permanente (estacionário) se 0=∂

∂

t

v�

t

v

∂

∂�

ρ

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

- Termo convectivo,

• Força de pressão

- Gradiente de pressão,

• Forças viscosas

- Termo difusivo,

• Força mássica,

∂t

p∇�

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

vw

y

vv

x

vu

��

ρ

( )wuvuuuui ===∇⋅∇ 321 ,,��

µ

g�

ρ

Aerodinâmica I


• Condições de fronteira

1. Superfície Sólida

→+=

→+=

tvnvv

tvnvv stsns��

��Velocidade da superfície

Velocidade do fluido


→+= tvnvv tn

��Velocidade do fluido

• vt=vst – Condição de não escorregamento

(no-slip condition)

• vn=vns – Condição de impermeabilidade

(impermeability condition)

Referencial solidário com a superfície 0=⇒v�

Aerodinâmica I



2. Interface de dois fluidos não mísciveis

Velocidade do fluido 1

Velocidade do fluido 2→+=

→+=

tvnvv

tvnvv

tn

tn��

��

222

111


• – Continuidade do vector velocidade

• – Igualdade da tensão de corte

• – Discontinuidade da tensão normal

dada pela tensão superficial

21 vv��

=

21 ττ =

tsp∆=− 21 σσ

→

→

−=∆

21

21

11

rr

rrpts σσ Tensão superficial

Raios principais de

curvatura da superfície

Aerodinâmica I


• Inclusão das forças mássicas no termo de pressão

• Fluido em repouso

( ) gupDt

vDi

��

+∇⋅∇+∇−= νρ

1


• Pressão hidrostática

• pressão relativa à pressão hidrostática

hh pggp ∇=⇔+∇−=��

ρρ

110

≡hp

( ) ( )ih uppDt

vD∇⋅∇+−∇−=��

�

νρ

1

( )hppp −=

Aerodinâmica I

Balanço de Energia

• Forma integral

( )∫∫ +=⋅

+++

++

∂

∂

oo SVWQdSnvgz

vhdVgz

vu

t��

��

22

22

gzv

ue ++==2

2

ξ



Dissipação viscosa

( )

( ) ( ) Φ+⋅∇⋅≡⋅⋅∇

⋅⋅∇+∇⋅∇=∇⋅+

ijij

ij

vv

vTkpvDt

De

ττ

τρ

��

��)(

→Φ

Aerodinâmica I

Escoamento Couette Laminar e Incompressível

h

U

x

y


x

0=∂

∂

t

0=∂

∂

z

0=∂

∂

x

v�

• Escoamento permamente,

• Escoamento independente da direcção z,

(bi-dimensional)

• Escoamento completamente desenvolvido,

Aerodinâmica I


y

h

U

x


• Condições de Fronteira

- Impermeabilidade das paredes:

- Não escorregamento:

x

000 =⇒==⇒= vhyvy

Uuhyuy ˆ00 =⇒==⇒=

Aerodinâmica I


• Equação da continuidade

.0 constvy

v=⇔=

∂

∂


• Condição de fronteira

0=v

y∂

Aerodinâmica I


• Balanço de quantidade de movimento,

2

210

y

u

x

p

∂

∂+

∂

∂−= ν

ρ

x



• A pressão só pode variar com

tem de ser indepedente de

y

y

p

∂

∂−=

ρ

10

x

=

∂

∂0

x

vx

�

dx

dp

Aerodinâmica I



u

ydx

dp

y

u yx

∂

∂

∂==

∂

∂ τ

ρρν

112

2

x



y

uyx

∂

∂= µτ

Uuhy

uy

ˆ

00

=⇒=

=⇒=

Aerodinâmica I


• Solução

( )

−+=

−−=

ˆ

2

1ˆ

hy

dpU

yhydx

dpU

h

yu

µτ

µ


• Comprimento e velocidade de referência

−+=

2

hy

dx

dp

h

Uyx µτ

UU

hL

ref

ref

ˆ=

=

Aerodinâmica I


• Solução com variáveis adimensionais

−Λ−=

y

h

y

h

y

U

u

12

11ˆ

τ


• Números adimensionais

−Λ−=

h

y

U

yx

2

121

Re

2

ˆ21 2ρ

τ

dx

dp

U

h

hURe

µ

ν

2

ˆ

2

=Λ

= Número de Reynolds

Parâmetro do gradiente de pressão

Aerodinâmica I


• Números adimensionais

Número de Reynolds

2

ˆ

ˆ

U

h

U

Re

µ

ρ

∝


Parâmetro do gradiente de pressão

2

2

ˆ

h

U

dx

dp

h

U

µ

µ

=Λ

Aerodinâmica I


0.7

0.8

0.9

1

Λ=-2

Λ=-1

Λ=0

Λ=1

Λ=2

0.7

0.8

0.9

1


-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Λ=-2

Λ=-1

Λ=0

Λ=1

Λ=2

h

y

h

y

UU ˆ 2UR yxe ρτ

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