Afa2013-Comentada

8/13/2019 Afa2013-Comentada

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TURMA IME/ITA

1.(Epcar (Afa) 2013) O grfico de uma funo polinomial do segundo grau ( )y f x ,= que tem

como coordenadas do vrtice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), tambm passar pelo ponto decoordenadasa) (1, 18) b) (0, 26) c) (6, 4) d) (1, 36)

2.(Epcar (Afa) 2013) O grfico abaixo descreve uma funo f : A B

Analise as proposies que seguem.

I. A *= II. f sobrejetora se [ ]B e, e=

III. Para infinitos valores de x A, tem-se ( )f x b=

IV. ( ) ( ) ( ) ( )f c f c f b f b 2b+ + =

V. f funo par.VI. ( )x | f x d = /

So verdadeiras apenas as proposiesa) I, III e IV b) I, II e VI c) III, IV e V d) I, II e IV

3.(Epcar (Afa) 2013) Dois corredores partem de um ponto ao mesmo tempo e se deslocam daseguinte forma: o primeiro tal, que sua velocidade 1y dada em funo da distncia xpor elepercorrida atravs de

( )21

4, se x 200y n n n 8

x , se 200n x 200 n 1200 2

= +

< +

em que nvaria no conjunto dos nmeros naturais no nulos.O segundo tal que sua velocidade 2y dada em funo da distncia xpor ele percorrida

atravs de 2x

y 4.100

= +

Tais velocidades so marcadas em km/h, e as distncias, em metros.Assim sendo, ambos estaro mesma velocidade aps terem percorridoa) 800 m b) 900 m c) 1000 m d) 1100 m


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2

4.(Epcar (Afa) 2013) A sequncia8

x, 6, y, y3

+

tal, que os trs primeiros termos formam

uma progresso aritmtica, e os trs ltimos formam uma progresso geomtrica.Sendo essa sequncia crescente, a soma de seus termos

a)92

3

b)89

3

c)86

3

d)83

3

5.(Epcar (Afa) 2013) Iro participar do EPEMM, Encontro Pedaggico do Ensino Mdio Militar,um Congresso de Professores das Escolas Militares, 87 professores das disciplinas deMatemtica, Fsica e Qumica. Sabe-se que cada professor leciona apenas uma dessas trsdisciplinas e que o nmero de professores de Fsica o triplo do nmero de professores deQumica.Pode-se afirmar quea) se o nmero de professores de Qumica for 16, os professores de Matemtica sero a

metade dos de Fsica.b) o menor nmero possvel de professores de Qumica igual a 3.c) o nmero de professores de Qumica ser no mximo 21.d) o nmero de professores de Qumica ser maior do que o de Matemtica, se o de Qumica

for em quantidade maior ou igual a 17.

6.(Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, sero instaladas trs barracas: I, II e III.Nelas, sero alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira quefiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NOdeve ficar na barraca III, ento onmero de maneiras distintas de distribu-los igual aa) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240

7.(Epcar (Afa) 2013) Um dado cbico tem trs de suas faces numeradas com 0, duas com1 e uma com 2. Um outro dado, tetradrico, tem duas de suas faces numeradas com 0,uma com 1 e uma com 2. Sabe-se que os dados no so viciados.Se ambos so lanados simultaneamente, a probabilidade de a soma do valor ocorrido na face

superior do dado cbico com o valor ocorrido na face voltada para baixo no tetradrico ser iguala 3 dea) 12,5% b) 16,6% c) 37,5% d) 67,5%

8.(Epcar (Afa) 2013) Uma pirmide regular ABCV, de base triangular ABC, tal, que suaaresta lateral AV mede 3 cm.

Sendo 5 cma altura de tal pirmide, a distncia, em cm, de A face BCV igual a

a)302

b) 7 c)262

d) 2 2

9.(Epcar (Afa) 2013) Uma caixa cbica, cuja aresta mede 0,4 metros, est com gua at7

8

de sua altura.Dos slidos geomtricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NOprovocatransbordamento de gua

a) uma esfera de raio 3 2 dm.

b) uma pirmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meam 30 cm.

c) um cone reto, cujo raio da base mea 3 dm e a altura 3 dm.

d) um cilindro equiltero, cuja altura seja 20 cm.

10.(Epcar (Afa) 2013) Sejam ae bdois nmeros reais positivos.As retas re sse interceptam no ponto (a, b)


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3

Sea

, 0 r2

e

b0, s,

2

ento uma equao para a reta t, que passa por (0, 0) e tem a

tangente do ngulo agudo formado entre re scomo coeficiente angular,

a) ( )2 23abx 2a b y 0+ = b) ( )2 23bx b a b y 0+ =

c) ( )2 23ax a a b y 0+ = d) ( )2 23abx 2 a b y 0+ =

11.(Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferncia de menor raio possvel que circunscreve a elipse

de equao 2 2x 9y 8x 54y 88 0+ + = correto afirmar quea) tem raio igual a 1.b) tangencia o eixo das abscissas.c) secante ao eixo das ordenadas.d) intercepta a reta de equao 4x y 0.=

12.(Epcar (Afa) 2013) No plano cartesiano, seja P(a,b) o ponto de interseo entre as curvas

dadas pelas funes reais f e gdefinidas por ( )x1

f x2

=

e ( ) 1

2

g x log x.=

correto afirmar que

a) 22

1a log

1log

a

=

b) ( )2 2a log log a=

c) 1 12 2

1a log log

a

=

d) 2 12

a log log a=

13.(Epcar (Afa) 2013) Considere os seguintes conjuntos numricos , , , , = econsidere tambm os seguintes conjuntos:

( ) ( )

( )

( ) ( )

AB

D

=

=

=

Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D,nesta ordem,

a) 3; 0,5 e52

b) 20; 10 e 5

c) 10; 5 e 2 d)3

;2

3 e 2,31

14.(Epcar (Afa) 2013) Considerando os nmeros complexos 1z e 2z , tais que:

1z a raiz cbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante

2z raiz da equao4 2x x 12 0+ = e ( )2Im z 0>

Pode-se afirmar que 1 2z z+ igual a

a) 2 3 b) 3 3+ c) 1 2 2+ d) 2 2 2+

15.(Epcar (Afa) 2013) As razes da equao algbrica 3 22x ax bx 54 0 + + = formam umaprogresso geomtrica.

Se a, b , b 0, ento ab

igual a


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4

a)23

b) 3 c)32

d)13

16.(Epcar (Afa) 2013) Considere as matrizes A e B, inversveis e de ordem n, bem como amatriz identidade I.

Sabendo que ( )det A 5= e ( )11

det I.B .A ,3 = ento o ( )

t

1 1det 3. B .A igual a

a) n5 3 b)n1

2

3

5 c)

n315

d) n 13

17.(Epcar (Afa) 2013) As seis questes de uma prova eram tais, que as quatro primeirasvaliam 1,5 ponto cada, e as duas ltimas valiam 2 pontos cada.Cada questo, ao ser corrigida, era considerada certa ou errada. No caso de certa, eraatribuda a ela o total de pontos que valia e, no caso de errada, a nota 0 (zero).Ao final da correo de todas as provas, foi divulgada a seguinte tabela:

N DA

QUESTO

PERCENTUAL

DE ACERTOS1 40%2 50%3 10%4 70%5 5%6 60%

A mdia aritmtica das notas de todos os que realizaram tal prova a) 3,7 b) 3,85 c) 4 d) 4,15

18.(Epcar (Afa) 2013) Uma piscina com ondas artificiais foi programada de modo que a altura

da onda varie com o tempo de acordo com o modelo ( )x x x

f x 3 sen sen sen2 4 4 2

= +

em que ( )y f x= a altura da onda, em metros, e xo tempo, em minutos.

Dentre as alternativas que seguem, assinale a nica cuja concluso NOcondiz com o modeloproposto.a) A altura de uma onda nunca atinge 2 metros.b) Entre o momento de deteco de uma crista (altura mxima de uma onda) e o de outra

seguinte, passam-se 2 minutos.c) De zero a 4 minutos, podem ser observadas mais de duas cristas.d) As alturas das ondas observadas com 30, 90, 150,... segundos so sempre iguais.

19.(Epcar (Afa) 2013) Sejam as funes reais f, g e h definidas por ( )sen x cos x

f x ,

cossec x sec x

= +

( )g x sec x= e ( )h x cossec x ,= nos seus domnios mais amplos contidos no intervalo

[ ]0,2 .

A(s) quantidade(s) de interseo(es) dos grficos de fe g; fe h; ge h(so),respectivamentea) 0, 0 e 4 b) 3, 1 e 4 c) 2, 3 e 4 d) 0, 2 e 3

20.(Epcar (Afa) 2013) Um tringulo tal que as medidas de seus ngulos internos constituemuma progresso aritmtica e as medidas de seus lados constituem uma progressogeomtrica.Dessa maneira, esse tringulo NOa) acutngulo. b) equiltero. c) obtusngulo. d) issceles.


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Gabarito:

Resposta da questo 1: A

Sendo V(xv, yv) o vrtice de uma funo polinomial do segundo grau dada por f(x) = ax2+ bx +

c. Toda funo polinomial do segundo grau pode ser escrita atravs de sua forma cannica f(x)= a (x xv)

2+ yv. Portanto, f(x) = a (x 5)2+ 2. Como f(4) = 3, temos:

a (4 5)2= 3, a = 1, logo f(x) = (x 5)2+ 2.Portanto, o ponto (1, 18) pertence ao grfico da funo, pois (1 5)2+ 2 = 18.


I. VERDADEIRA. Grfico de f no contnuo em x = 0.II. FALSA. Da no teramos funo de A em B, pois f(a) e f(a) no existiriam.III. VERDADEIRA. Para todo x < b, temos f(x) = b.IV. VERDADEIRA. ( ) ( ) ( ) ( )f c f c f b f b b ( b) ( b) b 2b. + + = + + =

V. FALSA. f(a) f(a)

VI. FALSA. x a,b tal que f (x) d. =

Resposta da questo 3: C

Resolvendo a equao, temos:

2

2

2

2

n n n 8 xx 4

200 2 100

nx 100n 100n 800 2x 800

x(n 2) 100 (n n)

100 (n n)x

n 2

+ = +

+ = +

= +

+=

Se n = 3 x = 1200, no convm, pois 200 3 < 1200 200 (3 + 1) falsa.

Se n = 4 x = 1000, convm, pois 200 4 < 1000 200 (4 + 1) verdadeira.

Se n = 5 x = 1000, no convm, pois 200 5 < 1000 200 (5 + 1) falsa.

Assim sendo, ambos estaro mesma velocidade aps terem percorrido 100 m.


P.A. (x, 6, y) x + y = 6 2 x = 12 y

P.G. (6, y, y + 8/3) y2 6y 16 = 0 y = 8 ou y = 2

y = 8 x = 4y = 2 x = 14 (no convm, pois a sequncia crescente).

Portanto, a soma dos elementos da sequncia ser: 4 + 6 + 8 + 8 + 8/3 = 86/3.


M = nmero de professores de MatemticaF = o nmero de professores de Fsica


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6

Q = nmero de professores de QumicaDe acordo com o problema, temos:

F 3 Q

M F Q 87

M 3Q Q 87M 87 4 Q

=

+ + =

+ + =

=

Como 87 4Q > 0, temos 4Q > 87 Q < 21,75.Portanto, o nmero de professores de Qumica ser no mximo 21.

Resposta da questo 6: B

1 caso: Soldados A e B na barraca I

Barraca I: C8,2 = 28Barraca II: C6,3 = 20Barraca III: C3,3= 1

Total(1) = 28 20 1 = 560.

2 caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II

Barraca I: C8,3= 56Baraca II CC5,2 =10Barraca III: C3,3= 1Total(2) = 56 10 1 = 560.

Ento, o nmero de maneiras distintas de distribu-los igual a 560 + 560 = 1120.


Resultados do dado cbico: {0, 0, 0, 1, 1, 2}Dado tetradrico: {0, 0, 1, 2}

Somas possveis (contanto as repetidas) = 6 4 = 24

Soma igual a 3: {(1,2), (1,2), (2,1)}

Portanto, a probabilidade de que a soma dos valores ocorridos em cada dado seja trs, ser

dada por:3 1

P 12,5%.24 8

= = =



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No tringulo VOM:22 2R 5 3 R 4 R 2+ = = = e a = 1

No tringulo VOM:22 2m 5 1 m 6= + =

O tringulo AMV issceles de base VM (AM = AV = 3)

Logo,2

2 26 6 30d 3 d 9 d2 4 2

+ = = =

Resposta da questo 9: D

Calculando agora o volume de cada slido dado, temos:


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8

Resposta da questo 10: D

Calculando os coeficientes angulares das retas r e s

rb 0 b 2b

ma a aa2 2

= = =

e s

b bb b2 2ma 0 a 2a

= = =

Calculando a tangente do ngulo agudo formado pelas reatas r e s.

= = ++

2 2

2b b3aba 2a

tg tg2b b 2 (a b )1a 2a

.

Portanto, a reta t passa pelo ponto (0, 0) e tem coeficiente angular t 2 23ab

m2 (a b )

= +

.

Logo, sua equao ser dada por2 2

2 23 a b

y 0 ( x 0 ) 3 a b x 2 (a b ) y 0 .2 (a b )

= + = +


2 2x 9y 8x 54y 88 0+ + = x2 8x + 16 + 9 (y2 6y + 9) = 88 + 16 + 81


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10


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = =1 1 1 1 11 1 1 1 1

det I B A det B A det B det A det B 5 detB3 3 3 3 15

( ) ( )

= = = = =

n n 1t1 1 1 1 n 1 1 n2 2

1 1 3 3det 3 B A det 3 (A B 3 det A B 3

5 15 3 5 5


Questo 1: 0,4 1,5 = 0,6; Questo 2: 0,5 1,5 = 0,75

Questo 3: 0,1 1,5 = 0,15; Questo 4: 0,7 1,5 = 1,05

Questo 5: 0,05 2,0 = 0,1; Questo 6: 0,6 2,0 = 1,2

Somando os resultados, temos: 0,6 0,75 0,15 1,05 0,1 1,2 3,85.+ + + + + =


( )

2

x x x 3 x xf x 3 sen sen sen 2 cos x sen sen

2 4 4 2 2 4 4 2

3 x x 3 xsen sen sen

2 2 2 2 2

= + = =

=

[A] Verdadeira. O mximo que uma onda atinge 3/2 1 = 1,5 m.

[B] Verdadeira. O perodo da funo 2 min.2

=

[C] Falsa. As cristas sero observadas para x = 1 e x = 3.

[D] Verdadeira. sen230

2

= sen290

2

= sen2150

.2



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