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Agrupamento de Escolas “O Rouxinol”
Escola Básica 2, 3 de Corroios
_____________________________________ Matemática 8ºAno: Translações
Translações
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Se reparares com atenção, podes observar que certos
elementos se repetem periodicamente, numa
determinada direcção e sentido.
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Nos azulejos, por exemplo, podes observar essa
repetição.
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Na figura abaixo, ao passar-se de um elemento base
para a sua réplica é como se todos os pontos desse
elemento fossem deslocados segundo a mesma
direcção, o mesmo sentido e percorrendo a mesma
distância.
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Em baixo, a figura B foi obtida da figura A deslocando todos os seus
pontos segundo a mesma direcção, o mesmo sentido e percorrendo
a mesma distância.
A figura B diz-se que foi obtida por
translação da figura A.
A figura A é a figura original (o
objecto) e a figura B é a sua
imagem através de uma
translação.
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É como se todos os pontos se
deslocassem ao longo de rectas
paralelas!
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Na figura que podes observar agora, o deslocamento dos pontos foi
feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi
mantida a distância em todos os deslocamentos.
A figura D não foi obtida por
translação da figura C.
Não existe nenhuma translação
que permita obter a figura D a
partir da figura C.
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Uma translação transforma uma figura numa outra figura
geometricamente igual.
Todos os pontos da imagem resultam da figura original por um
deslocamento dos seus pontos definido por:
• uma direcção;
• um sentido;
• um comprimento.
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Manual - Vol. 3 – Página 42 – Analisar o exemplo
Mãos à obra:
Manual - Vol. 3 – Página 43 – Exercício 2
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Para obtermos a imagem de uma figura através de uma translação,
vimos que é necessário definir uma direcção, um sentido e um
comprimento.
Esta informação pode ser como que condensada naqulo a que se
chama um segmento de recta orientado, o qual se representa desta
forma:
Um segmento de recta
orientado define um
vector.
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Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo
sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo
vector.
Na figura abaixo estão representados diversos segmentos de recta
orientados que representam o mesmo vector, uma vez que têm a
mesma direcção, o mesmo sentido e a mesma norma (ou
comprimento).
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Um vector fica então definido
desde que se conheça:
• a direcção (que é dada pela
recta onde esse vector se
encontra: - a recta suporte do
vector)
• o sentido (um dos dois
possíveis na direcção)
• o comprimento (ou norma)
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Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem
através da translação associada ao vector representado a vermelho.
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1.º passo:A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro,
vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado
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2.º passo:Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado
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3.º passo:Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo
vector
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4.º passo:Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens
obtidas, obtendo-se a translação da figura original
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Propriedades das translações
Repara que na translação do triângulo da figura.
Podemos retirar algumas conclusões sobre as propriedades das
translações:
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1. Uma translação transforma um
segmento de recta num outro
segmento de recta paralelo e
geometricamente igual .
2. Uma translação transforma um
ângulo noutro ângulo
geometricamente igual (com a
mesma amplitude).
3. Uma translação transforma uma
figura noutra figura
geometricamente igual.
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Composição de translações
Repara na figura que representa uma mesa de bilhar.
Observa os deslocamentos da bola branca.
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A bola deslocou-se
primeiro segundo o
vector representado pela
letra a e, de seguida,
teve um novo
deslocamento segundo o
vector representado pela
letra b, ficando então
naquela posição.
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Composição de translações
Podemos imaginar a situação da mesa de bilhar como sendo a
translação dos círculos representados na figura abaixo.
Será que poderíamos chegar, de uma só vez, ao círculo representado a
laranja?
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Composição de translações
A figura abaixo mostra a resposta à pergunta anterior. Se considerarmos
o vector representado pela letra c e a translação associada a esse vector,
podemos obter directamente o círculo a laranja, a partir do círculo a
verde.
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Inicialmente fizemos uma composição de
duas translações. A primeira associada ao
vector seguida de uma outra associada ao
vector .
Aquela composição corresponde a fazer uma
única translação, agora associada ao
vector .
a
b
c
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Soma de vectores
O vector representa a soma dos outros dois vectores e e pode
escrever-se:
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c
a
b
a b c
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