Ajuste Numérico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CAMPUS DO SERTÃO EIXO DE TECNOLOGIA AJUSTE OU APROXIMAÇÃO

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Aula de ajuste numérico do prof. Arnaldo dos santos júnior - Campo Sertão

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOASCAMPUS DO SERTÃO

EIXO DE TECNOLOGIA

AJUSTE OU APROXIMAÇÃO

Considerações Matemáticas

� Considere uma função f: R�R.

� Por se tratar de uma função de uma única variável f(x), aderivada desta função é dita derivada total:

xdf )(

� Considere agora uma função f: R2�R. Temos nessecaso, uma função de duas variáveis f(x,y). Podemoscalcular as derivadas de f em relação a qualquer umadas variáveis:

dx

xdf )(

y

f(x,y) e

x

f(x,y)

∂∂

∂∂ Derivadas parciais

da função f(x,y).

Considerações Matemáticas

� Exemplo: Seja a função f(x,y) = 3x2 + 4y3. Obtenhaas derivadas parciais de f.

Derivada de f em relação a x: considera-se y como� Derivada de f em relação a x: considera-se y comoconstante.

� Derivada de f em relação a y: considera-se x comoconstante.

xx

f(x,y)6=

∂∂

212yy

f(x,y) =∂

Considerações Matemáticas

� Somatórias

m

m

k k xxxx +++=∑ =⋯

1 21

amaaaam

k⋅=+++=∑ =

1

mm

k=+++=∑ =

11111

)( 21 11 m

m

k

m

k kk xxxaxaxa +++==⋅∑ ∑= =⋯

Introdução

� Dado um conjunto de pontos, no ajuste ouaproximação, tenta-se encontrar uma função q(x) queaproximação, tenta-se encontrar uma função q(x) quemelhor aproxime esses pontos. Aqui, não existe anecessidade da função passar por todos os pontosconhecidos.

Introdução

60

80

100

120

y(x)

Ajuste X Interpolação

ajuste linearinterpolaçãopontos

75 80 85 90 95 1000

20

40

60

x

y(x)

No ajuste busca-se uma função que melhor represente os dados.Não exige-se que essa função passe pelos pontos fornecidos.

Quando utilizar?

� Quando se deseja extrapolar ou fazer previsões emregiões fora do intervalo considerado;

� Quando os dados tabelados são resultados deexperimentos, onde erros na obtenção destesresultados podem influenciar a sua qualidade.

Objetivo

� Minimizar os desvios (ou resíduos) de cada pontotabelado em relação a uma função ajustada.

Formulação

� Dada uma tabela com m pontos (xk, f(xk)), k=1,...,m emum intervalo [a,b]. Deseja-se encontrar uma funçãoq(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + ... + angn(x) que melhorajuste esses pontos. Ou seja, determinar a função q(x)ajuste esses pontos. Ou seja, determinar a função q(x)que mais se aproxime de f(x).

� Problema: Como escolher as funções g1(x), g2(x), ...,gn(x)?

Formulação

� Observando o diagrama de dispersão dos pontostabelados com o intuito de buscar a curva que melhorajusta os dados;

Formulação

� Baseando-se em fundamentos teóricos dos experimentosque forneceu a tabela.

� Ex.: Sabe-se que a relação entre tensão e corrente elétricaé linear – Lei de Ohm.

Método dos Mínimos Quadrados

� Método bastante utilizado para ajustar umadeterminada quantidade de pontos;

� Dados m pontos (x , f(x )), k=1,...,m e as n funções� Dados m pontos (xk, f(xK)), k=1,...,m e as n funçõesg1(x), g2(x), ..., gn(x) escolhidas de alguma forma.

� Considere que o número de pontos tabelados m ésempre maior ou igual ao número de funções escolhidas n(ou ao número de coeficientes a determinar ai);

� Encontrar os coeficientes a1, a2, ..., an tais que a funçãoq(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + ... + angn(x) se aproxime aomáximo de f(x).

Método dos Mínimos Quadrados

� Seja dk = f(xk) – q(xk) o desvio em xk. Um conceito deproximidade é que dk seja mínimo para todo k = 1, 2, ...,m.

� O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolheros ai’s de tal forma que a soma dos quadrados dosdesvios seja mínima.

[ ]2

11

2 )()(∑∑==

−==m

kkk

m

kk xqxfdS

Como minimizar essa função?

Método dos Mínimos Quadrados

Usando cálculo diferencial, sabe-se que para encontrar

[ ]2

11

2 )()(∑∑==

−==m

kkk

m

kk xqxfdS

� Usando cálculo diferencial, sabe-se que para encontrarum ponto de mínimo de S(a1, a2, ..., an), é necessárioachar inicialmente os pontos críticos (ou seja, todos osai’s).

0=∂∂

ia

S

Por que minimizar os quadrados?

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

� Neste tipo de ajuste consideramos as funções g1(x) =1 e g (x) = x. Assim, a função de ajuste é dada por1 e g2(x) = x. Assim, a função de ajuste é dada por

� onde a1 e a2 são os coeficientes a serem determinadospelo método dos mínimos quadrados.

xaaxq 21)( +=

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

[ ]2

11

2 )()(∑∑==

−==m

kkk

m

kk xqxfdS

� A condição de minimização é satisfeita se:

11 == kk

[ ]2

121

1

2 )(∑∑==

−−==m

kkk

m

kk xaaxfdS

021

=∂∂=

∂∂

a

S

a

S

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

[ ] 0)1()(2 21 =−−−=∂∂∑

m

kk xaaxfa

S [ ] 0)1()(21

211

=−−−=∂ ∑

=kkk xaaxf

a

[ ] 0)(1

21 =−−∑=

m

kkk xaaxf

0)(1

21

11

=−− ∑∑∑===

m

kk

m

k

m

kk xaaxf

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

∑∑∑ =+m

k

m

k

m

xfxaa 21 )(∑∑∑===

=+k

kk

kk

xfxaa11

21

1 )(

∑∑∑===

=+m

kk

m

kk

m

k

xfxaa11

21

1 )(1

∑∑==

=+⋅m

kk

m

kk xfxaam

1121 )(

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

∑∑ =+⋅m

k

m

k xfxaam 21 )(∑∑== k

kk

k11

21

=

∑∑

==

m

kk

m

kk xf

a

axm

12

1

1

)(

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

[ ] 0)()(2 21 =−−−=∂∂∑ k

m

kk xxaaxfa

S [ ] 0)()(21

212

=−−−=∂ ∑

=k

kkk xxaaxf

a

[ ] 0)(1

221 =++−∑

=

m

kkkkk xaxaxfx

0)(1

22

11

1

=++− ∑∑∑===

m

kk

m

kk

m

kkk xaxaxfx

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

∑∑∑===

=+m

kkk

m

kk

m

kk xfxxaxa

11

22

11 )(

=== kkk 111

∑∑∑===

=+m

kkk

m

kk

m

kk xfxxaxa

11

22

11 )(

=

∑∑∑

===

m

kkk

m

kk

m

kk xfx

a

axx

12

1

1

2

1

)(

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Linear

Agrupando as equações:

=

∑∑

=

=

==

=m

kkk

m

kk

m

kk

m

kk

m

kk

xfx

xf

a

a

xx

xm

1

1

2

1

1

2

1

1

)(

)(

Método dos Mínimos Quadrados

� Aplicação: encontrar a melhor reta que ajusta osvalores da tabela abaixo:

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

� Solução:

� Número de pontos tabelados m = 5.

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183

Método dos Mínimos Quadrados

2.2

2.4

2.6

2.8Diagrama de Dispersão

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

f(x)

Método dos Mínimos Quadrados

∑=

=++++=5

1

5,2175,05,025,00k

kx

∑=

=++++=5

1

222222 875,1175,05,025,00k

kx

∑=

=++++=5

1

768,87183,2117,26487,1284,11)(k

kxf

∑=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅5

1

4514,57183,21117,275,06487,15,0284,125,010)(k

kk xfx

⋅=

∑∑

=

=

==

=m

kkk

m

kk

m

kk

m

kk

m

kk

xfx

xf

a

a

xx

xm

1

1

2

1

1

2

1

1

)(

)(

=

4514,5

768,8

875,15,2

5,25

2

1

a

a

Método dos Mínimos Quadrados

� Solução do sistema:

=

7078,1

8997,01

a

a4

5

pontosajuste linear

7078,12a

xxq 7078,18997,0)( +=

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

0

1

2

3

x

f(x)

Função ajustada

∑=

==5

1

2 0392,0k

kdS

Soma dos quadrados dos resíduos

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Polinomial

� Pode-se estender o processo do cálculo da funçãoutilizaod no ajuste linear para o ajuste polinomial.Assim, uma função polinomial de grau (n-1) é dadaAssim, uma função polinomial de grau (n-1) é dadapor:

� onde os coeficientes aipodem ser obtidos através da

expansão do sistema utilizado no ajuste linear.

12321)( −++++= n

n xaxaxaaxq ⋯

0=∂∂

ia

Scom i = 1,2,...,n

Método dos Mínimos Quadrados

� Ajuste Polinomial

� A expansão resultará no seguinte sistema:

∑∑∑∑−

mmn

mm

xfxxxm 12 )(⋯

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

=

=

=

=

=

=

+

==

=

+

===

====

=

==

m

kk

nk

m

kkk

m

kkk

kk

nm

k

nk

m

k

nk

m

k

nk

m

k

nk

m

k

nk

m

kk

m

kk

m

kk

m

k

nk

m

kk

m

kk

m

kk

k

nk

kk

kk

xfx

xfx

xfx

xf

a

a

a

a

xxxx

xxxx

xxxx

xxxm

1

1

1

2

1

1

3

2

1

1

)1(2

1

1

11

1

1

1

1

4

1

3

1

2

11

3

1

2

1

1

1

1

2

1

)(

)(

)(

)(

⋮⋱⋮⋮⋮

Método dos Mínimos Quadrados

� Aplicação: encontrar a melhor parábola que ajustaos valores da tabela abaixo:

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

� Solução:

� Número de pontos tabeados m = 5.

� Polinômio adotado (n = 3):

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183

2321)( xaxaaxq ++=

Método dos Mínimos Quadrados

� Calculando os termos da matriz de coeficientes e dovetor de constantes:

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183

∑5

∑=

=++++=5

1

5,2175,05,025,00k

kx

∑=

=++++=5

1

222222 875,1175,05,025,00k

kx

∑=

=++++=5

1

333333 5625,1175,05,025,00k

kx

∑=

=++++=5

1

444444 3828,1175,05,025,00k

kx

Método dos Mínimos Quadrados

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183

∑5

∑=

=++++=5

1

768,87183,2117,26487,1284,11)(k

kxf

∑=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅5

1

4514,57183,21117,275,06487,15,0284,125,010)(k

kk xfx

∑=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅5

1

222222 4015,47183,21117,275,06487,15,0284,125,010)(k

kk xfx

Método dos Mínimos Quadrados

Montando o sistema de equações:

=

4514,5

768,8

5625,1875,15,2

875,15,25

2

1

a

a

=

4015,4

4514,5

3828,15625,1875,1

5625,1875,15,2

3

2

a

a

Solução:

=

8432,0

8647,0

0051,1

3

2

1

a

a

a

Equação da parábola:28432,08647,00051,1)( xxxq ++=

Método dos Mínimos Quadrados

8

10

12

ajuste parabólicopontos

-3 -2 -1 0 1 2 30

2

4

6

x

f(x)

Método dos Mínimos Quadrados

� Linearização

� Algumas funções de duas constantes podem serlinearizadas antes da aplicação do método dos mínimosquadrados, com o objetivo de obter o sistema dequadrados, com o objetivo de obter o sistema deequações como aquele apresentado anteriormente.

� Função Exponencial

bxaey =

Se aplicarmos o logarítmo em ambos os membros, teremos:

Método dos Mínimos Quadrados

� Função Exponencialbxaey =

)ln()ln()ln()ln( bxbx eaaey +== )ln()ln()ln()ln( bxbx eaaey +==

bxay += )ln()ln(

Se fizermos y* = ln(y), a1 = ln(a) e a2 = b, temos:

xaay 21* +=

Equação da reta. Daí o nome linearização.

Método dos Mínimos Quadrados

� Função Logarítmica

)ln(bxay =A função pode ser expandida para:

)ln()ln( xabay +=

A função pode ser expandida para:

Se fizermos y* = y, a1 = aln(b), a2 = a e x* = ln(x):

*21

* xaay +=

Método dos Mínimos Quadrados

� Função Potencialbaxy =

Se aplicarmos o logarítmo em ambos os membros, teremos:

)ln()ln()ln()ln( xbaaxy b +==

Se fizermos y* = ln(y), a1 = ln(a), a2 = b e x* = ln(x):

*21

* xaay +=

Se aplicarmos o logarítmo em ambos os membros, teremos:

Método dos Mínimos Quadrados

� Função Hiperbólica

bay +=

xay +=

Se fizermos y* = y, x* = 1/x, a1 = a, a2 = b:

*21

* xaay +=

Método dos Mínimos Quadrados

� Aplicação: encontrar a melhor função que ajusta osvalores da tabela abaixo:

x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1

Sugestão: utilizar uma função exponencial.

x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1

y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246

bxaey =

Método dos Mínimos Quadrados

Como vamos ajustar os pontos por uma exponencial,precisamos fazer a adaptação:

)ln(* yy =

Então faz-se um ajuste linear dos pontos de abscissa x eordenada y*.

x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1

y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246

y* 3,5986 2,8486 2,0986 1,3486 0,5988 -0,1508 -0,9014 -1,4024

Método dos Mínimos Quadrados

Número de pontos m = 8

x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1

y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246

y* 3,5986 2,8486 2,0986 1,3486 0,5988 -0,1508 -0,9014 -1,4024

Número de pontos m = 8

∑=

=8

1

3,0k

kx ∑=

=8

1

2 59,3k

kx ∑=

=8

1

0386,8)(k

kxf ∑=

−=⋅8

1

6461,8)(k

kk xfx

⋅=

∑∑

=

=

==

=m

kkk

m

kk

m

kk

m

kk

m

kk

xfx

xf

a

a

xx

xm

1

1

2

1

1

2

1

1

)(

)(

−=

6461,8

0386,8

59,33,0

3,08

2

1

a

a

Método dos Mínimos Quadrados

−=

5002,2

0986,1

2

1

a

a

Resolvendo o sistema:

2

xy 5002,20986,1* −=

Equação da reta:

Para adaptar esses valores, coeficientes da reta, para a funçãoexponencial, ainda basta fazer as seguintes adaptações:

Método dos Mínimos Quadrados

xy 5002,20986,1* −=

3)ln( 0986,11

1 ===⇒= eeaaa a

5002,22 −== ba

Então, a função exponencial que melhor ajusta os pontosfornecidos no exemplo é:

xey 5002,23 −=

Método dos Mínimos Quadrados

80

100

120

140

ajuste exponencialpontos

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

20

40

60

80

x

f(x)

Qualidade do Ajuste

� Uma forma de avaliar a qualidade do ajuste é atravésdo coeficiente de correlação de Pearson (r). Estecoeficiente pode ser calculado pela seguinte expressão:

� Sendo yk os valores tabelados da função e qk os valoresda função ajustada relativos aos valores xk.

( )( )[ ]

( ) ( )∑∑

==

=

−⋅−

−−=

m

kk

m

kk

m

kkk

qqyy

qqyyr

1

2

1

2

1∑∑

==

==m

kk

m

kk q

mq y

my

11

1e

1

Qualidade do Ajuste

� Esse coeficiente assume apenas valores entre -1 e 1:

� r = 1, significa uma correlação perfeita positiva entreduas variáveis;

� r = -1, significa uma correlação perfeita negativaentre duas variáveis, isto é, se uma aumenta a outradiminui;

� r = 0, indica que as duas variáveis não dependemlinearmente uma da outra.