Alg Linear 02

UTFPR Álgebra Linear Danielle Durski Figueiredo

ÁLGEBRA LINEAR

MATRIZES E OPERAÇÕES COM MATRIZES

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

É uma matriz quadrada onde para i > j.

Exemplos , ,

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

É uma matriz quadrada onde para i < j.

Exemplos , e

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Dadas duas matrizes e , então:

, onde

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:


1. Se e , então , onde:

, isto é:

2. Se e , então ,

onde:

Logo

Propriedades da Multiplicação de Matrizes (Desde que sejam possíveis as operações)

UTFPR Álgebra Linear Danielle Durski Figueiredo i) sendo I a matriz identidade

ii) e

iii)

iv) e

Observe que em geral , podendo inclusive um dos membros estar definido e o outro não.

Definições

Seja A uma matriz quadrada, então:

a) A é dita SIMÉTRICA, se e somente se, .

b)

Exemplo

b) A é dita ANTI-SIMÉTRICA, se e somente se, .

Exemplo

MATRIZES ELEMENTARES

Definição

Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:

i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;

ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;

UTFPR Álgebra Linear Danielle Durski Figueiredo iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha

multiplicada por uma constante diferente de zero.

Definição

Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.

Exemplos

1. Considere a matriz identidade . Então as matrizes

, , , são matrizes

elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira:

TEOREMASeja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação

elementar nas linhas de . Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem , então o resultado será igual a

.


Exemplo

2. Considere as matrizes elementares , e , obtidas conforme segue:

Considere agora a matriz . Verifique que:

=

=

=

Determinantes e Matriz Inversa

Determinantes

UTFPR Álgebra Linear Danielle Durski Figueiredo Definições

Se

Se

Propriedades dos determinantes

i)

ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por , o determinante fica multiplicado por k.

iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.

iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero.

v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.

vi) Se na matriz A cada elemento de uma linha é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:

As propriedades acima são verdadeiras se forem igualmente aplicadas às colunas das matrizes.

vii)


COMO CALCULAR UM DETERMINANTE

LAPLACE TRIANGULAÇÃO

Exemplo:

Calcular o det A = , pelo processo de triangulação.

det A =

det A =

det A =

det A =


det A =

det A =

det A =

MATRIZ INVERSA

Seja A é uma matriz quadrada n n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz B, também n n, que satisfaz a seguinte propriedade:

, em que é a matriz identidade n n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.

Normalmente a matriz inversa de A é indicada por , logo:

Exemplo

3. Ache a inversa da matriz

e e e


Logo

Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo:

Teorema

Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.

Observações

i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então é também invertível e .

ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se .

iii) Se A é uma matriz quadrada e , então .

Teorema

Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em .

Exemplo

4. Ache a inversa da matriz


. Assim, .

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (AULA 02)

1. Para cada , considere a matriz

a) Mostre que

2. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

3. Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica.

4. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então é uma matriz simétrica.

5. Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica.

6. Se , então podemos afirmar que ou ?


7. Suponha que e , então podemos afirmar que B=C ?

8. Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que , podemos afirmar que B=C ?

9. Podemos dizer que a seguinte igualdade é verdadeira?

10. Podemos dizer que a seguinte igualdade é verdadeira?

11. Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial.

Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos

formar uma matriz 33 assim: , que usando a correspondência

numérica fica: M =

Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo: C =

Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos

Transmitimos esta nova matriz . Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo

e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.

UTFPR Álgebra Linear Danielle Durski Figueiredo Questão Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz

, traduza a mensagem.

REPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (AULA 02)

1.

=

2. Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo e ..

3. Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo e .

4.

5. Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo e ..

6. Não! Encontre alguns contra-exemplos.

7. Não! . Sabemos que , e que podemos ter sem que , Logo B não é necessariamente igual a C.

8. Sim ! B=C

9. Não! 10. Não!

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