Alga 1 Polares Cilindricas Esfericas

5/6/2018 Alga 1 Polares Cilindricas Esfericas - slidepdf.com

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GUIDG.COM – PG. 1

4/1/2010 – ALGA-1: Revisão – Coordenadas: Polares, Cilíndricas e Esféricas.

* Desenvolvido a partir da Apostila de Álgebra 1 (DMAT, UDESC-CCT)* Revisão de conteúdo sem formalidades, com exercícios resolvidos.

Antes do sistema polar, é importante que você esteja familiarizado com a tabela de ângulos notáveis,pois será necessário para a construção de gráficos e localização de pontos (uma calculadora cientifica

irá ajudar).

θ 0π

6 ff

ff π

4 ff

ff π

3 ff

ff π

2 ff

f

π =

180º

sen θ 01

2 f

f 2p wwwwwwwwwwwwwwwww

2 f

ff

ff


2 f

ff

ff

f 1 0

.

Circunferência de raio 1, com centro em (0,0)

cos θ 13p wwwwwwwwwwwwwwwww

2 ff

ff

ff


2 f

ff

ff

f 1

2 f

f0 -1

Coordenadas Polares.

Assim como o sistema cartesiano P(x,y) existem outros sistemas, um deles é o sistema polar, os

outros sistemas que estudaremos serão: as coordenadas cilíndricas e as esféricas.

Considere as figuras ao lado:ρρρρ: letra grega rô, θθθθ: letra grega theta.

No sistema polar, localiza-se um ponto através:

1 - Da distância desse ponto até a origem e

chamamos de ρρρρ.

2 – Pelo ângulo que essa reta forma com o eixo

polar.

Obs: a distância , é chamada de raio vetor .

E o ponto é apresentado na forma P(ρρρρ,,,, θθθθ))))

Os únicos cuidados são:θθθθ > 0> 0> 0> 0 ,,,, e ρρρρ > 0> 0> 0> 0 então estará como na figura 1.

Exemplo: (2,π

4 ff

).

Mas se θ < 0θ < 0θ < 0θ < 0 ,,,, e ρρρρ > 0> 0> 0> 0 então estará como na

figura 2. Exemplo: (2, @3π

4 ff

ff

f)

(fig.1)

(fig.2)



GUIDG.COM – PG. 2

Exemplos de representação de pontos com o sistema polar, (dica: refaça os exemplos!)

a) P2 @2 ,π

4 ffd e

b) P3 @2 ,@π

4 ff

ffd e

Relação entre o sistema cartesiano e o sistema polar. Convertendo Coordenadas.

(1) Fazendo coincidir a origem do sistema polar (ρ, θ)

com à do sistema cartesiano (x,y) , a relação que se tem

para o primeiro quadrante (fig.3) é o triangulo retângulo,

então a partir disso vale as relações trigonométricas seno e

co-seno.

senθ =cateto oposto

hipotenusa ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff=

y

ρ

f

f[ y = ρ A senθ

cosθ =cateto adjacente

hipotenusa ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff=

x

ρ

ff[ x = ρ A cos θ (fig.3)

(2) Agora se elevarmos as duas ao quadrado e somarmos membro a membro temos:

y = ρ A senθ [ y2 = ρ2Asen2 θ

x = ρ A cos θ [ x2 = ρ2Acos2 θ

X\Z

Logo: y2 + x2 = ρ2Asen2 θ + ρ2

Acos2 θ

Ou: y2 + x2 = ρ2 sen2 θ + cos2 θb c

Mas: sen2 θ + cos2 θ = 1 (Relação fundamental)

Então: y2 + x2 = ρ2

Ou: ρ =F y2 + x2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Com essas relações, podemos converter coodernadas polares em cartesianas ou vice e versa.



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Coordenadas cilíndricas:

Agora que já conhecemos o sistema polar, basta adicionar o eixo z e pronto, passamos a ter o sistema

cilíndrico. Este se mostra muito útil quando precisamos determinar áreas e volumes quando a

superfície limite é de revolução.

No sistema cartesiano representamos um ponto

pelas coordenadas P(x,y,z). No cilíndrico porP(ρ, θ, z), que são na verdade as coordenadas

polares (ρ, θ) mais a coordenada z do sistema

cartesiano (ver fig. ao lado).

O que ocorre em cilíndricas, é que escrevemos

as coordenadas polares (para um ponto

qualquer), e arrastamos o ponto no eixo z (do

sistema cartesiano), em qualquer sentido.

Curiosidade: Imagine que você tenha a coordenada ρ ρρ ρ constante, se

variarmos θ em 360º, passamos a ter uma circunferência (de raio ρ ρ ρ ρ )

, e por último arrastando a circunferência no eixo z, então geramos

uma superfície cilíndrica , e por isso o sistema tem esse nome.

Veja a figura ao lado, se você imaginou alguma coisa parecida,

então esta no caminho certo!

Convertendo coordenadas cilíndricas, relações de conversão:

A mesma relação é válida, mas agora

adicionamos o z:

y = ρ A senθ [ y2 = ρ2Asen2 θ

x = ρ A cos θ [ x2 = ρ2Acos2 θ

z = z

X̂̂\̂^̂̂Z

Logo: ρ =F y2 + x2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Podemos obter θθθθ,,,, dividindo o primeiro pelo

segundo, lembrando da relação:.

tgθ =senθ

cosθ ff

ff

ff

ff.

.

y x

ff=

ρ A senθ

ρ A cos θ

ff

ff

ff

ff

ff

ff

f

.y

x ff

= tgθ

.

Logo: θ = arc tg yx ff

f



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Coordenadas Esféricas:

Visto o sistema polar e o cilíndrico, vamos para

o sistema esférico. Este pode parecer

complicado, mas veremos que é só aparência. A

diferença para o sistema polar é que ele se

encontra no espaço (assim como o cilíndrico).

Defini-se a posição do ponto pela sua distânciaaté a origem ρρρρ (rô), mais duas coordenadas

angulares θθθθ (theta) e φφφφ (fi).

O ponto é apresentado na forma P(ρ, θ, φ), onde

ρ é o raio vetor, θ é a longitude, e φ é a co-

latitude.

Agora o que realmente importa : As relações de conversão entre os sistemas.

Esféricas em cartesianas:

x = OR = ρ A senφ A cosθ

y = RQ = ρ A senφ A senθ

z = QP = ρ A cosφ

X̂̂\̂^̂̂Z

Cartesianas em esféricas:

ρ =F x2 + y2 + z2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww .

θ = arc tgyx ff

ff.

φ = arc coszρ ff

.

Demonstração:

Dos triângulos da figura deduzimos:

Triângulo OPQ:

senφ =cateto oposto

hipotenusa ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff=

OQ

ρ

ff

ff

ff[ OQ = ρ A senφ

cosφ =cateto adjacente

hipotenusa ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff=

QP

ρ ff

ff

ff[ QP = ρ A cos φ

Então: z =

QP= ρ A

cosφ

Agora o triângulo ORQ:

senθ =cateto oposto

hipotenusa ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

f=

RQ

OQ ff

ff

ff[ RQ = OQA sen θ

Substituindo OQ: y = RQ = ρ A senφ A senθ

cosθ =cateto adjacente

hipotenusa f

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff=

OR

OQ f

ff

ff[ OR = OQA cosθ

Substituindo OQ: x = OR = ρ A senφ A cosθ



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Agora se elevarmos todas as relações ao quadrado e somarmos membro a membro, temos:

x2 = ρ2Asen2 φ Acos2 θ

y2 = ρ2Asen2 φ Asen2 θ

z2 = ρ2Acos2 φ

X̂̂^̂\^̂̂̂Z

x2 + y2 + z2 = ρ2Asen2 φ Acos2 θ + ρ2A sen2 φ A sen2 θ + ρ2Acos2 φ

Fatorando:

x2 + y2 + z2 = ρ2Asen2 φ cos2 θ + A sen2 θ

b c+ ρ2

Acos2 φ

Relação fundamental:

x2 + y2 + z2 = ρ2Asen2 φ + ρ2Acos2 φ

Ou:

x2 + y2 + z2 = ρ2 sen2 φ + cos2 φb c

Relação fundamental (de novo):

x2 + y2 + z2 = ρ2

Ou:

ρ =F x2 + y2 + z2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Agora se pegarmos as duas primeiras relações demonstradas anteriormente e dividirmos, obtemos:

x y ff= ρ

Asenφ

Acosθ

ρ A senφ A senθ f

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff

ff x

y

ff=

cosθ

senθ f

ff

ff

ff

f(invertendo e aplicando a relação: tgθ =

senθ

cosθ

ff

ff

ff

ff)

tgθ =y

x

ff

Assim:

θ = arc tg yx ff

ff

O mesmo para:

z = ρ A cosφ

Então:

z

ρ ff

= cosφ [ φ = arc coszρ f

ff

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