GUIDG.COM 14/4/2010

PG. 1 ALGA-1: Exerccios Resolvidos Superfcies Qudricas

* Do Livro de Geometria Analtica -Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. 1 Reviso de contedo. 2 Veja alguns exemplos grficos de superfcies geradas a partir do computador. Parti ndo de exerccios mais simples, e seguindo at as formas mais complicadas. Uma brevssima reviso das equaes e dos grficos de superfcies: Elipside: Centro C(0, 0, 0): 2 22 y f fffffff+2b x z f fffffff+ f ffffff= 1 2 2 a c O sinais da equao so positivos. a, b e c so os eixos das elipses. Centro C(h, k, l): bc2 `a2 `a2 y @ k x @

h z @ l f fffffffffffffffffffffffff+ f fffffffffffffffffffffffffff+ f fffffffffffffffffffffff= 1 2 b2 2 a c Hiperbolide de uma folha: Centro C(0, 0, 0). Um dos sinais sempre negativo. 2 22 x y z f fffffff+ f fffffff f ffffff= (1) 1 ++-: @

2 b2 2 a c 2 22 x y z f fffffff f fffffff+ f ffffff= (2) 1 +-+ : @ 2 b2 2 a c 2 2 2 x y z f fffffff+

f fffffff+ f ffffff= (3) 1 -++ : @ 2 b2 2 a c Hiperbolide de duas folhas: Centro C(0, 0, 0). Dois sinais so sempre negativos. 2 22 x y z f fffffff f fffffff f ffffff= (1) 1 +--: @@ a2 b2 c2 2 22 x

y z f fffffff+ f fffffff f ffffff= (2) 1 -+-: @ @ 2 b2 2 a c 2 22 x y z f fffffff f fffffff+ f ffffff= 1 (3) --+ : @ @

2 b2 2 a c

GUIDG.COM

PG. 2

Parabolide Elptico: Os sinais so iguais. ax, by, cz 22 x y f fffffff+ f ffffffff= (1) cz 2 b2 a 22 x z f fffffff+ f fffffff= (2) by 2 2 a c 22 y z

f ffffffff+ f fffffff= (3) ax b2 2 c Parabolide Hiperblico (Sela): Os sinais so contrrios. 22 y x f fffffff@ f fffffff= (1) cz b2 2 a 2 2 z x f fffffff@ f fffffff= (2) by 2

2 c a 22 z y f ffffff@ f fffffff= (3) ax 2 b2 c Superfcie Cnica: Equaes semelhantes s do Elipside porem igualadas zero. O termo de sinal negativo indica o eixo dos cones. 2 22 x y z f fffffff+ f fffffff@ f ffffff= 0 (1) eixo z (fig. ao lado): 2 b2

2 a c z=0 , a = b, obtm-se uma superfcie cnica circular. Mas se a . b ento obtm-se uma superfcie cnica elptica. O mesmo se aplica nas demais equaes. 2 22 x y z f fffffff+ f fffffff+ f ffffff= (2) eixo x: 0 @ 2 b2 2 a c 2 22 x y z f fffffff@ f

fffffff+ f ffffff= (3) eixo y: 0 a 2 b2 c 2

GUIDG.COM

PG. 3

Superfcie Cilndrica: O grfico se auto explica, mas faremos algumas consideraes Imagine que voc tenha uma equao de uma curva, ento ela pode ser: uma circunferncia, e lipse, hiprbole ou parbola, mas no limitando-se apenas estas curvas. Esta equao chamada de diretriz, porque realmente dar uma direo ao plano. Imagine que as retas vermelhas esto avanando na direo (tanto faz o sentido) da curva azul, ento elas esto gerando o plano, por isso so as geratrizes. Se as retas se movessem muito rpido na direo da diretriz, ento viramos apenas o seu rastro formando um plano (figura ao lado). Exemplos: 22 xz f fffffff+ f ffffff= 1 x 2 = 2y 49 Superfcies degeneradas: Ainda existem casos onde os grficos podem representar qudri cas degeneradas, exemplos: a) b) c) d) e) x-16=0; doisplanosparalelos:x=4ex=-4 3y=0;umplano:oplanoy=0 x+2y =0;umareta:oeixodosz. 2x + 4y + 5z = 0; um ponto: a origem (0,0,0) 3x + 2y + z = -3; o conjunto vazio.

(Exemplos do livro, pg;289, Observao.)

GUIDG.COM

PG. 4

Livro, pg. 289, 8.6 Problemas Propostos, exerccio 01. Identificar as qudricas representadas pelas equaes: b) 2x + 4y + z -16 = 0 Soluo: 2x + 4y + z = 16 x y z [ ++= 1 16 8416 f ffffffff ffffffff ffffff f ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff y z , += 1 4 16 f ffffffff fffffff x=0 elipse:a=4 , b=2 . x z , += 1 8 16 f ffffffff ffffff

y=0 w wwwwwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwwwww elipse:a=4 , b=p8 = 2 p2 2,83 x z=0 , y + 84 f ffffff = 1 w wwwwwwwwwwwwwwwww f fffffff w wwwwwwwwwwwwwwwww elipse: a = p8 = 2 p2 2,83 , b=2 Os grficos sero gerados por computador, e os esboos ficaro por conta do estudante. Elipside

GUIDG.COM

PG. 5

i) z = x + y Soluo: x=0 , z = y Essa equao identifica uma parbola que intercepta o eixo z e percorre o eixo y y=0 , x=z Essa equao identifica uma parbola que intercepta o eixo z e percorre o eixo x z = x + y Essa equao identifica uma circunferncia, no centro do sistema xyz z=0, x+y=0 (raio = 0, no existe circunferncia) z=4, x+y=4 (raio = 2, existe circunferncia) e a medida que aumentamos z, o raio tambm aumenta (proporcionalmente), e o parabo lide vai crescendo infinitamente! Parabolide circular.

GUIDG.COM

PG. 6

n) 4y + z -4x = 0 Soluo: Apenas manipulando a equao, dividindo tudo por 4 e isolando x. = x f ffffff 2 2 2 + z @ 4x = 0 f ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 4 y 2 + z 4 [ y 4 Essa ltima equao, identifica uma elipse que varia no eixo x. Vemos que o eixo maior (2a) est em z, e o eixo menor (2b) em y. Dando valores para x, fica mais fcil de desenhar: x = 0 , no existe elipse! 2 = 1 f ffffff z x=1 , y2 + 4 eixo maior em z, a=4 , b=1

logo a=2 , b=1 2 22 = 4 f fffffff f ffffff z y z += 1 4 16 f fffffff x=4 , y2 + [ 4 eixo maior em z, a=16, b=4 logo a=4 , b=2 Veja que se zerarmos y e depois z , temos as parbolas de equaes: z = 4x e y = x . A parbola cinza do grfico tem equao: z = 4x Parabolide elptico. Veja que a elipse aumenta conforme percorre o eixo x. O software mudou o ngulo, mas os eixos onde a elipse varia, so os mesmos!

GUIDG.COM

PG. 7

Prova de exame, exerccio 5 (Udesc 2009/2). Identificar as qudricas definidas pelas equaes e representar graficamente: 22 2 x z y f ffffff a) @ + @ = 1 494 @ x 2 @ 3z2 + 2 f fffffff f fffffff b) y = Soluo: a) O processo o mesmo veja (e voc tem que dominar o contedo de hiprboles). 22 = 1 f fffffff (fig.a) (fig.b) z y f ffffff

x = 0, 9 @ 4 Identifica uma hiprbole. No eixo z (3), e em y (2). Com esses pontos traamos as assntotas e depois a hiprbole. 22 = 1 f ffffff x z + 49 f fffffff y= 0, @ Tambm identifica uma hiprbole no eixo z (3), e em x (2). z = 0, aqui no existe curva. Logo com as duas hiprboles j temos uma idia do que se trata e podemos fazer o grfico. Na (fig. a) mostra-se as assntotas. Em azul esto as do plano y0z, quando x = 0. Em verde esto as do plano x0z, quando y = 0. O significado das assntotas nesse caso, que o hiperbolide (de duas folhas) vai se aproximando das retas, mas nunca o tocando (isso nos da uma idia de como desenhar, por isso til). Hiperbolide de duas folhas.

GUIDG.COM b) y = @ x 2 @ 3z2 + 2 Soluo:

PG. 8

Um pouco confuso, mas manipulando chegamos a uma visualizao melhor da Podemos ver as parbolas e a elipse, siga as cor es. equao: Neste grfico somente uma parte das curvas foram feitas. y @ 2 = @ x 2 @ 3z2 x 2 + 3z2 = 2 @ y Agora dividindo por dois, isso por que quando fazemos y = 0, temos a equao igualada a um, e isso nos da uma elipse que varia no eixo y: 22 3z 2 @ y x += 22 2 22 f fffffffffff fffffff f ffffffffffffffff 2 @ y x z +

3 2 f fffffff = 2 22 f ffffff f ffffffffffffffff ou: 2 f ffff x z + 3 2 2 f fffffff = 1 f ffffff f ffff Ento quando y = 0 , Neste grfico podemos ver bem a elipse (como se fosse a boca do grfico) que define o parabolide elptico. Isso identifica uma elipse com eixo maior em

x, e eixo menor em y. Voltando a equao dada temos: y = @ x 2 @ 3z2 + 2 E quando fazemos z = 0 y = @ x 2 + 2 Isso identifica uma parbola no eixo 0y (em relao x) com concavidade negativa. E quando x = 0 y = @ 3z2 + 2 temos uma parbola tambm no eixo 0y (mas em relao z), com concavidade negativa. Logo, duas parbolas negativas e uma elipse que varia no eixo y. Parabolide elptico.

GUIDG.COM

PG. 9

Prova, exerccio 4 (4,0 pts.) (Udesc 2009/2). Identificar as seguintes superfcies e representar graficamente: As anlises ficam por conta do estudante, veja os grficos e exercite! a) z = -x -2y+1 22 2 xf fffffffzf ffffffyf fffffff b) @ += 1 + 49 4 z2 f ffffffy2 f fffffff c) @ = 3x 49 d) z-y=1 e) x+z-2z=0 f) 36x -72x +4y +9z = 36 Soluo: a) Parabolide elptico b)Hiperbolide de duas folhas c) Parabolide Hiperblico d) Superfcie Cilndrica e) Superfcie cilndrica f) Elipside. Parablica. circular.