lgebra Bsica para Preuniversitarios- 1 - Cap. 1 OPERACIONES BSICAS DEL LGEBRA Expresiones algebraicas.- Conjunto de nmeros y letras enlazados entre s mediante los signosdelasoperacionesmatemticastalescomo:suma,resta,multiplicacin,divisin, potenciacin, radicacin o una combinacin de estos. Son expresiones algebraicas las siguientes: 1) 2 2 35 4 6 z y x + + 2)xyz 5 3)13 22 3 + xyz y x x 4) 5 24 2 37 26 5 2xy xyxy x x + Expresiones no algebraicas.- Son las expresiones trascendentes: -Las funciones trigonomtricas.Ejm.) 1 7 3 ( tan ; ) 5 2 (2+ + x x x sen -Las funciones logartmicas.Ejem.x x47log ; log -Las funciones exponenciales.Ejem. x x xe ; 7 ; 5 Trminosalgebraicos.-Sonlamenorexpresinalgebraicacuyaspartesnoestn separadas ni por el signo (+) ni por el signo (). Ejemplo: 7 4 3 2 3 2 3 35 , 7 , 7 , 3 z y x z y z y x Partes de un trmino algebraico: Signo78 x ExponenteParte literalCoeficiente Trminossemejantes.-Losquetienenigualparteliteralafectadosdelosmismos exponentes, no interesan los coeficientes. - 2 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Trminos semejantes: 2 3 2 3 2 37 , 4 , 5 y x y x y x Trminos no semejantes: 32235 , 3 , 43 2 5y x y x y x Valornumricodeunaexpresinalgebraica.-Seobtienealreemplazarlasletrasde una expresin algebraica por nmeros y luego realizar las operaciones indicadas. Ejemplo: Hallar el valor numrico de: 23 5 2 34 2x x yx y + +,para 2 ; 1 x y = = 2 23 5 2 3 3(2) 5(2) 2(1) 3 12 10 2 3 14 2 4(2) 1 2 8 1 2 9x x yx y + + + = = = + + + Clasificacin de las expresiones algebraicas.- Las expresiones algebraicas, de acuerdo a su forma se clasifican en: Clasificacin de las expresiones algebraicas.Enteras Racionales Fraccionarias Irracionales Expresionesalgebraicasracionales.-Laparteliteraltieneexponenteenterootambin porque el subradical no tiene letras. Expresiones racionales: 1)2 3 25 3 7 y z ax + + 2)7 3 25 3 7 y z x + + 3)4222 2115934yzxyzxzy+ + 4)xzzxyy x + +3 24 Expresionesalgebraicasirracionales.-Laparteliteraltieneexponentefraccionarioo tambin porque el subradical tiene letras. Expresiones irracionales: 1) 7131215 3 7 y z x + + 2)9171329 7 6 z y x + + 3) z y x 7 7 26 3+ + 4) xyz y x 7 2 26 22+ + lgebra Bsica para Preuniversitarios- 3 - Expresionesalgebraicasracionalesenteras.-Laparteliteraltieneexponenteentero positivo o tambin por no tener letras en su denominador. Expresiones racionales enteras: 1)20 7 29 4 3 y y x + + 2)671 1157 535z y x + + 3)7 3 4 3 26 t w z y x + 4)3 3 3 2 2 24 z y x z y x xyz + + Expresionesalgebraicasracionalesfraccionarias.-Laparteliteralposeeexponente entero y negativo. Expresiones racionales fraccionarias: 1)2 5 342 5 3 + + z y x 2)yz xz y x66 4 452 2++ + 3)2277221zy x+ +4)xyzxyyx+ + Lasexpresiones algebraicas, deacuerdo al nmero de trminos que lleva, se clasifican en MONOMIOS y POLINOMIOS. Monomios.-Son todas las expresiones que constan de un solo trmino algebraico. Ejemplos: 1)4 3 26 z y x 2) z y x2 35 Polinomios.-Son todas las expresiones que constan de dos o ms trminos algebraicos. Si tiene dos trminos se llaman binomio; si tiene tres trminos se llama trinomio, etc. Ejemplos: 1) 5 7 ) (2+ = x x P Binomio 2) 4 2 210 8 6 ) , ( y xy x y x P + =Trinomio Uso de los signos de agrupacin.-Los signos de agrupacin son: ( )parntesis{ } llaves | |corchete, barra o vnculo Tienen la misma funcin y nos indican que las cantidades encerradas entre los signos de agrupacin deben considerarse como una sola cantidad. Ejemplo: | | { } ( 3 5 2) 3 5 2 3 5 2 3 5 2 x y z x y z x y z x y z + + = + + = + + = + + - 4 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Reglas para suprimir signos de agrupacin.-Los signos de agrupacin se eliminan de la siguiente manera: -Si los signos de agrupacin son precedidos del signo (+), cada uno de los trminos que se encuentran dentro del signo de agrupacin mantienen su signo. Ejemplo: z y x z y x 7 3 4 ) 7 3 4 ( + = + + -Si los signos de agrupacin son precedidos del signo (), cada uno de los trminos que se encuentran dentro del signo de agrupacin cambian de signo. Ejemplo: | | z y x z y x 4 8 5 4 8 5 + = + Reglas para introducir signos de agrupacin.- Se procede de la siguiente manera: -Sielsignodeagrupacinquesevahaintroduciresprecedidodelsigno(+),los trminosquevanaencerrar dentrodelsignodeagrupacinesescritaconsu mismo signo. Ejemplo: ) 2 7 5 ( 2 7 5 z y x z y x + + = + -Sielsignodeagrupacinquesevahaintroduciresprecedidodelsigno(),los trminos que se van a encerrar dentro del signo de agrupacin se escriben con signo cambiado. Ejemplo: ) 3 9 7 ( 3 9 7 z y x z y x = + + Reduccin de trminos semejantes.-Se suman los coeficientes tomando en cuenta los signosdecadatrminoyacontinuacin,seescribenlasletrasconsusrespectivos exponentes. Ejemplos:1)3 3 3 36 ) 5 11 ( 5 11 x x x x = = 2)5 5 5 58 ) 12 4 ( 12 4 x x x x = = 3)2 2 2 2 2 2 24 ) 6 2 4 9 5 ( 6 2 4 9 5 x x x x x x x = + + = + + Grado.-Enunaexpresinalgebraicaracionalentera,esunnmeroenteropositivoque permite determinar el nmero de soluciones de una ecuacin algebraica. El grado de una expresin algebraica es de dos clases: absoluto y relativo. a)Grado absoluto.-Se refiere a todas las letras o variable de una expresin algebraica. b)Grado relativo.-Se refiere a una letra o variable de una expresin algebraica. lgebra Bsica para Preuniversitarios- 5 - Grado absoluto de un monomio.- Esta dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. Ejemplo:El grado absoluto de4 3 26 z y xes 9 Grado relativo de un monomio.-Esta dado por el exponente con respecto a una letra. Ejemplo:Si5 3 27 z y x es un monomio, entonces: El grado relativo con respecto a x es 2 El grado relativo con respecto a y es 3 El grado relativo con respecto a z es 5 Gradoabsolutode unpolinomio.-Estadeterminado por elgradoabsolutodeltrmino de mayor grado absoluto: Ejemplo:Si6 7 3 2 6 4 5 25 7 3 z y x z y x y x + El grado absoluto de este polinomio se determina de la siguiente manera: 6 7 3 2 6 4 5 25 7 3 z y x z y x y x + 7 12 166 7 3 2 6 4 5 25 7 3 z y x z y x y x + 7 12 16 Luego el grado absoluto del polinomio es 16. Grado relativo de un polinomio.-Esta dado por el exponente con respecto a una letra: Ejemplo:Si5 7 3 2 6 4 3 27 8 4 z y x z y x y x + es un polinomio: El grado relativo del polinomio con respecto a x es 4 El grado relativo del polinomio con respecto a y es 7 El grado relativo del polinomio con respecto a z es 5 Polinomios especiales.- Presentan determinadas caractersticas importantes: a) Polinomio ordenado con respecto a una de sus letras.-Los exponentes de la letra considerada van aumentando o disminuyendo segn la ordenacin: 1)El polinomio 5 2 6 5 ) (2 8 10 + = x x x x PCon respecto a x en forma decreciente. 2)El polinomio3 25 7 6 4 ) ( x x x x R + = Con respecto a x en forma creciente. b)Polinomiocompletorespectoaunadesusletras.-Tienetodaslaspotencias sucesivas de la letra que se considera, desde la potencia mxima hasta cero inclusive: - 6 -lgebra Bsica para Preuniversitarios El polinomio 6 9 7 3 8 5 ) (2 3 4 5 + + = x x x x x x Pes completo respecto a x. c)Polinomio homogneo.-Tiene todos sus trminos de igual grado absoluto: El polinomio4 3 43 8 7 y xy x + es homogneo d)Polinomio heterogneo.-Sus trminos no todos son de igual grado absoluto: El polinomio xy y y x x 7 3 8 76 3 2 4 + es heterogneo e)Polinomioenteroenx.-Tienetodossusexponentesenterospositivosysunica variable es x: El polinomio e dx cx bx ax + + + +2 3 4es entero de cuarto grado. Operacionesconexpresionesalgebraicas.-Sonlastransformacionesquesehacen para obtener una expresin equivalente, mediante la suma, resta, multiplicacin y divisin: I)Suma o adicin.-Se escriben los trminos uno a continuacin del otro con sus propios signos y se reducen los trminos semejantes. Suma de monomios.-Realizar las siguientes operaciones: 1)Sumar4x , 8yy3z escribimos uno a continuacin de otro con su propio signo 4x + 8y 3z 2)Sumar 5x2y , 3xy2 , x2y , 9xy2 y 7y3 escribiendo con sus propios signos 5x2y + 3xy2 + x2y + 9xy2 + 7y3reduciendo trminos semejantes = 6x2y + 12xy2 + 7y3 3)Sumar5x ,6y , 13x , 8y , 3z y8escribiendo con sus propios signos 5x + (6y) + (13x) + 8y + (3z) + 8reduciendo trminos semejantes = 5x 6y 13x + 8y 3z + 8simplificando = 8x + 2y 3z + 8 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 7 - Suma de polinomios.-Realizar las siguientes operaciones: 1)Sumarx y,2x + 3y z,4x + 5y se escribe los sumandos dentro de parntesis (x y) + (2x + 3y z) + (4x + 5y)=x y + 2x + 3y z 4x + 5y= x + 7y z Otra forma: xy2x+ 3yz4x+ 5y x + 7yzRespuesta 2)Hallar la suma de:x3 + xy2 + y3 ,5x2y + x3 y3 , 2x3 4 xy2 5y3 x3 + xy2+ y3 x3 5x2y y3 2x3 4xy2 5y3 4x3 5x2y3xy2 5y3 Respuesta II)Resta o sustraccin.-Para restar dos expresiones algebraicas, llamadas minuendo y sustraendosedebehallarunaexpresinllamadadiferenciaqueseconsiguerestando trminos semejantes. Para ello se utilizan los signos de agrupacin. Ejemplos:

1)Restarlosmonomios 2 25 ; 4 xy y x .Escribirel minuendocon supropiosignoyel sustraendo con el signo cambiado: 2 24 5 xy xy 2) Restar los monomios2 3 2 35 ; 3 y x y x . De igual forma: 2 3 2 3 2 3 2 3 2 32 5 3 ) 5 ( 3 y x y x y x y x y x = + = 3) De 3 4 32 + x x restar 4 3 22+ x x Escribir el minuendo con su propio signo y el sustraendo con signo cambiado: 7 7 4 3 2 3 4 3 ) 4 3 2 ( 3 4 32 2 2 2 2 + = + + = + + x x x x x x x x x x - 8 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Regla general para restar.-Escribir el sustraendo con los signos cambiados debajo del minuendo,demaneraquelostrminossemejantesquedenenlamismacolumnaya continuacin reducir. Ejemplo: Si 2 2 2 29 2 5 ) ( , 7 3 8 ) ( , 9 5 ) ( y xy x x R y xy x Q xy x x P + = + + = + = 1)Calcular: P + Q R Resultado: P + Q R= 9xy 6y2 + 16 5x2xy+ 9 + 8xy+ 3y2+ 7 5x2+ 2xy9y2 0+ 9xy6y2+ 16 2)Calcular: P Q + R 5x2xy+ 9 8xy3y27 5x22xy+ 9y2 10x211xy+ 6y2+ 2 Resultado: P Q + R= 10x2 11xy + 6y2 + 2 3) De2 2 3 43 5 8 y x y x x + restar 2 2 3 45 2 4 y x y x x + 8x4 5x3y+ 3x2y2 4x4 + 2x3y5x2y2 4x3 3x3y2x2y2 Respuesta III)Multiplicacinoproducto.-Consisteenhallarotraexpresinalgebraicallamada producto, dados dos cantidades multiplicando y multiplicador(llamados factores). ( ) ( ) ( ) P x Q x D x = a)Reglas de los signos de la multiplicacin.-Ley de los signos: +por+da++por da por+dapor da+ b)Multiplicacindemonomios.-Selellamamultiplicacindemonomiosala multiplicacin de un solo trmino por otro trmino -Se multiplica l termino del multiplicando por l termino del multiplicador.-Se suman los exponentes de las literales iguales.-Se escriben las literales diferentes en un solo trmino resultado.-Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.

Ejemplos: lgebra Bsica para Preuniversitarios- 9 - 1)Multiplicar 2 37 y x por 2 18 +m my x m m m m m my x y x y x y x4 2 2 1 3 2 1 2 356 ) 8 )( 7 ( ) 8 )( 7 (+ + + + + = = Resp. 2)Multiplicarz y23 , 34xyz ,z xy36 5 6 2 1 3 1 3 1 2 1 1 3 3 272 ) 6 )( 4 )( 3 ( ) 6 )( 4 )( 3 ( z y x z y x z xy xyz z y = = + + + + + Resp. c)Multiplicacindeunpolinomioporunmonomio.-Selellamamultiplicacinde monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio Reglas: -Semultiplicaeltrminodelmonomioporcadatrminodelpolinomio,sumandolos exponentes de las literales iguales.-Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente-Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales. Ejemplos: 1)Multiplicar 2 3 2 4 310 7 xy y x y x + por 2 2y x 3 4 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2 3 2 2 2 2 2( 7 10 )( ) ( )( ) ( 7 )( ) (10 )( ) xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy + = + + 5 6 4 5 3 47 10 xy xy xy = + En la prctica se suele multiplicar del modo siguiente: 2 3 2 4 310 7 xy y x y x + 2 2y x4 3 5 4 6 510 7 y x y x y x + 2 3 2 4 310 7 xy y x y x + 2 2y x4 3 5 4 6 510 7 y x y x y x + Resp. 2)Multiplicar xy y x y x + 2 5 38 5por33xy xy y x y x + 2 5 38 533xy4 2 5 6 4 43 24 15 y x y x y x + xy y x y x + 2 5 38 533xy4 2 5 6 4 43 24 15 y x y x y x + Resp. - 10 -lgebra Bsica para Preuniversitarios d)Multiplicacin de polinomios.-La multiplicacin de polinomios es la ms general de las multiplicaciones algebraicas. Reglas: -Se multiplica cada trmino del polinomio por cada trmino del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.-Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.-Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos: 1)Efectuar la multiplicacin de polinomios4 2 32 + x x, 6 3 52+ x x

4 2 32 + x x6 3 52+ x x2 3 420 10 15 x x x +x x x 12 6 92 3+ 24 12 182 + x x24 24 8 152 3 4 + + x x x xResp. 2)Efectuar la multiplicacin de:3 2 2 36 5 3 y y x xy x + conxy y x 5 32 2 + Los polinomios deben ordenarse con respecto a una letra: 3 2 2 35 6 3 y xy y x x +2 25 3 y xy x + multiplicando 3 2 2 3 4 53 15 18 9 y x y x y x x +4 3 2 2 3 45 25 30 15 xy y x y x y x + + 5 4 3 2 2 35 6 3 y xy y x y x +5 3 2 2 3 4 528 42 3 9 y y x y x y x x + +sumando Resp. IV)Divisin o cociente.-La divisin de expresiones algebraicas, llamados dividendo D y divisor d, consiste en hallar otras dos expresiones algebraicas llamadas cocientes Q y residuo R. Sientonces: D=Q d + R, donde:D : Dividendod: DivisorQ :CocienteR : ResiduodRQdD+ = Sientonces: D=Q d + R, donde:D : Dividendod: DivisorQ :CocienteR : ResiduodRQdD+ = lgebra Bsica para Preuniversitarios- 11 - a)Ley de los signos.- Es la misma que en la multiplicacin: Ley de los signos: +entre+da++entre da entre+daentre da+ b)Divisindemonomios.-Esladivisindeunmonomioentreotro,enfraccinse trabaja como reduccin de mltiplos iguales. Reglas: -Se aplica ley de signos-Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor-Seaplicaleydelosexponentestomandolasletrasquenoseencuentrencomo elevadas a cero (n = 1), y se escriben en orden alfabtico. n mnmn maaaa a= = Ejemplos: 1)Dividir 4 316 y x entrey x52 3 2 1 4 5 354 35 4 382162162 16 y x y xy xy xy x y x = = = Resp. 2)Dividir 1 230 +m my x entre 4 23 y x ( ) ( )2 12 1 2 4 2 2 1 4 52 430 3030 3 103 3m mm m m m m mx yx y xy x y x yxy+ + + = = + =Resp. 3)Dividir 2 4 320 z y x entre 2 5 35 z y x 1 0 1 0 2 2 5 4 3 32 5 32 4 32 5 3 2 4 34 45205205 20 = = == y z y x z y xz y xz y xz y x z y x Resp. c)Divisindeunpolinomioentreunmonomio.-Paradividirunpolinomioentreun monomiosedistribuyeelpolinomiosobreelmonomio,estoserealizaconvirtindolosen fracciones. - 12 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Reglas: -Colocamos el monomio como denominador de l polinomio.-Separamoselpolinomioendiferentestrminosseparadosporelsignoycadauno dividido por el monomio.-Serealizanlasrespectivasdivisionesentremonomiostalcomoserealizoenel capitulo anterior.-Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: 1)Dividir 4 3 2 2 3 46 12 9 6 xy y x y x y x + entrexy 3 ( ) ( )4 3 2 2 3 44 3 2 2 3 44 3 2 2 3 43 2 2 36 9 12 66 9 12 6 336 9 12 62 3 4 23 3 3 3xy xy xy xyxy xy xy xy xyxyxy xy xy xyx xy xy yxy xy xy xy + + == + = + 2)Dividir 2 2 3 2 2 3 1 42 8 6 4 + + + + + m a m a m a m ay x y x y x y x 4 1 3 2 2 3 4 1 3 2 2 32 2 2 2 2 2 2 22 14 6 8 4 6 82 2 2 22 3 4a m a m a m a m a m a ma m a m a m a mx y x y x y x y x y x yx y x y x y x yxy x y+ + + + + + + + + + + = + + = +

d)Divisin de polinomios.-En este tipo de divisin se procede de manera similar a la divisin aritmtica, los pasos a seguir son los siguientes: -Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido, en ordendescendente,sielpolinomionoescompletosedejanlosespaciosdelos trminos que faltan. -Elprimerterminodelcocienteseobtienedividiendoelprimerterminodeldividendo entre el primer miembro del divisor.

-Semultiplicaelprimertrminodelcocienteportodoslostrminosdeldivisor,se coloca este producto debajo de l dividendo y se resta del dividendo. -El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor. lgebra Bsica para Preuniversitarios- 13 - -Semultiplicaelsegundotrminodelcocienteportodoslostrminosdeldivisor,se coloca este producto debajo de l dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. -Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor. La intencin con este mtodo de divisin es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. Ejemplos: 1)Dividir 3 3 42 3+ x xentre12+ x x 3 2 23 2224 3 3 14 4 4 4 14 313 2x x x xx x x xx xx xx + + + + + + + Respuesta: Cociente:4x + 1 Residuo: 3x + 2 2)Dividir los polinomios: P(x) =6x3 9x2 + 5 entreQ(x) = 2x2 + x La operacin completa es la siguiente:

3 2 23 2226 9 5 26 3 3 61212 66 5x x x xx x xxx xx + + ++ Respuesta: Cociente:3x 6

Resto: 6x + 5 - 14 -lgebra Bsica para Preuniversitarios EJERCICIOS RESUELTOS Valor numrico de un polinomio: 1)( )3 23 2 5xP x x = + ,para x = 2 Solucin:( )3 2(2)3(2) 2(2) 5 24 8 5 27xP P = + = + = = 2) ( )4 32 3 2yP y y y = + para y = 2 Solucin: ( )( ) ( ) ( )( )4 32 22 2 3 2 2 2 32 24 4 52 P P = + = + = 3) ( )2 2,5 5 3,xyP xy xy x = +para x = 3; y = 2: Solucin: ( )( ) ( )( )22, ,5 3 2 5 3 2 3 3 90 60 9 141xy xyP P = + = + = 4)3 2 3 22 2 3 ) , , ( xyz z y x z xy z y x P + = , para x = 2; y = 2; z = 1: Solucin: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2, ,, ,3 323 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 24 64 880xyzxyzPP + = = + = Signos de agrupacin y reduccin: 5) Simplificar: | | ) ( 2 b a a a + + Solucin:| | | |2 2 2 a a a b a b a b = + = + = 6) Simplificar: | | y x y x x + + 2 3 Solucin: | | | | 3 2 3 3 4 x x y x y x x x x x = + = = + = lgebra Bsica para Preuniversitarios- 15 - 7) Simplificar:| | ) ( ) ( 2 n m n m m + Solucin:| | | |2 2 2 2 2 m m n m n m n m n = = = + 8) Simplificar:| | | | 1 2 4 3 2 4 + + + m n n m m Solucin:| | | | 4 2 3 4 2 14 2 3 4 2 15 2m m n n mm m n n mn= + + = + = + 9) Simplificar: { } 2 5 ( 2 ) x x y x y + + +( Solucin:( ) | || |2 5 2 2 5 22 4 2 4 2x x y x y x x y x yx x y x x y x y= + + = + + + ( = + + = + = + 10) Simplificar:{ }2 2 2 2 28 2 3 ( 3 ) x xy y x xy y x xy( + + + Solucin: { }2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 28 2 3 ( 3 )8 2 3 3 8 4x xy y x xy y x xyx xy y x xy y x xy x y ( + + + = + + + + + 11) Simplificar:| | 4 2 3 4 2 1 m m n n m ( + + + Solucin:| || |4 2 3 4 2 14 2 3 4 2 14 2 3 4 2 1 5 4m m n n mm m n n mm m n n m n ( + + + + + + + = + 12) Simplificar: 5 11 9 20 1 x y x y + Solucin: ( ) ( ) ( ) 5 11 9 20 1 5 20 11 9 1 25 12 10 x y x y x x y y x y + + + + - 16 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 13) Simplificar:( ) ( ) ( )2 2 2 2 24 3 2 3 x x xy y xy x y (+ + + + Solucin: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 24 3 2 34 3 2 34 3 2 3 6 3 4x x xy y xy x yx x xy y xy x yx x xy y xy x y x xy y ( + + + + ( + + + + + + + + Suma, resta, multiplicacin y divisin de monomios y polinomios: 14) Sumar: 3x2 + 5x2= 8x215) Sumar:4x3y 2x3y = 2x3y 16) Sumar: 5x3 + 3x3 2x3=6x3 17)Sumar:3x3 + 2x2 + 5x3 = 8x3 + 2x2 18) Sumar:

( )2 2 2 2xy 2 2 xy xy 3 xy 2 + = + 19)Sumar: 2 2 2 2 2x61x21132x21x x32= |.|

\|+ = + Si A = 3x3 ;B = 5x4 ;C = 3x2y3 ;D = 4x3y4 20) Hallar el producto de:A.B Solucin: =(3x3)( 5x4)= 15x7 21) Hallar el producto de:A.C Solucin:=(3x3)(3x2y)=9x5y 22) Hallar el producto de:B.C Solucin:=(5x4)(3x2y3) =15x6y3 23)Hallar el producto de:B.C.D Solucin: = ( 5x4)(3x2y3)(4x3y4) = 60x9y7 Siendo A = 3x3;B = 5x4;C = 3x2y3; D = 4x3y4 24) Hallar el cociente de:BA Solucin: =435 53 3xxx= 25) Hallar el cociente de:AB Solucin: =3143 35 5xxx= lgebra Bsica para Preuniversitarios- 17 - 26) Hallar el cociente de:(AxD)C Solucin: =3 3 4 6 442 3 2 3(3 )(4 ) 1243 3x xy xyxyxy xy= = 27) Hallar el cociente de:DB Solucin: =3 4 444 45 5xy yx x= 28)Desarrollar:) )( 3 )( (2a a a Solucin:2 1 1 23 ) )( 3 )( (+ + = a a a a 4 23 ) )( 3 )( ( a a a a = 29)Desarrollar:) )( )( 3 (2 3 2x a y x x Solucin: y x a x a y x x1 3 2 2 2 3 23 ) )( )( 3 (+ += y x a x a y x x6 2 2 3 23 ) )( )( 3 ( = 30)Multiplicar:c b a526153+ por 235ac Solucin: 211 2 2 2 12 2 2 35 3 1 23 5 6 55 3 5 1 5 23 5 3 6 3 55 218 3ac a b ca c abc acac abc ac+ +| | + |\ .| |= |\ .= + 31)Multiplicar: 2 22 1 25 3 9a ab b + porx a23 Solucin: 2 2 22 2 2 1 2 24 3 2 22 1 235 3 92 1 23 3 35 3 96 25 3ax a ab ba x a bx a bxax a bx a bx+ +| | + |\ .= + = + 32)Dividir: 221x entre32 Solucin: Parte numeral:432 23 13221== Por lo tanto:2 2433221x x = 211 2 2 2 12 2 2 35 3 1 23 5 6 55 3 5 1 5 23 5 3 6 3 55 218 3ac a b ca c abc acac abc ac+ +| | + |\ .| |= |\ .= + 33)Dividir: 4 2 3 25 3 x a y x entre23x Solucin:Separando coeficientes 24 223 224 2 3 2353335 3xx axy xxx a y x= 24 223 224 2 3 2353335 3xx axy xxx a y x+ = 2 2 324 2 3 23535 3x a yxx a y x+ =

- 18 -lgebra Bsica para Preuniversitarios PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO MONOMIOS Y POLINOMIOS 1. Encuentre el binomio a) 5xy2zb) 3a2b5xc) 2ax 3xw + yd) 4a 3b8 2. Identifique los trminos semejantes a) 3a; 5a; 7a b) 2a3; 4a2; 5ac) 3ab; 2ac; 4af d) 2b, 4b2; 2b3 3. Indique el qu no es trinomio a) 2x4 4x3 5x2b) x + y zc) 3a + 5b + 4c 5dd) 1/2a 3/4b + c 4. La simplificacin de 3x2 4xy + 2y2 5x2 6y2 + 4xy a) 2x2 xy + 4y2b) 2x4 + xy 4y4c) 2x2 + 4y2d) 2x2 4y2 5. Al operar 5b2 5b2 se obtiene a) 0 b) b2c) 10b2 d) 10b2 6. Sume 3x2 5xy + 9y3 con 9y2 5xy + 3x2 a)9y3 5xy + 3x2b)9y5 10xy + 6x2 c)9y3 + 9y2 xy + 3x2d)6x2 10xy + 9y2 + 9y3 7. Encuentre los trminos que no son semejantes a) 6a2; 5a2; 2a2b) 2a; 5a; 7ac) 3x3; 4x3; 5x3d) 2x; 3y; z 8. Opere (4a2 5ab + 3b2) (8a2 8a + 3ab 4b2) a) 4a2 8a + 8ab 7b2b) 12a2 8a 2ab b2 c) 4a2 + 8a 8ab + 7b2d) 12a2 8a 2ab + 4b2 9. Encuentre un monomio a) 2 3x2b) 3x2y3z4c) 7a2 4 d) 2 4w + 5w2 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 19 - 10.Identifique la expresin que no es un polinomio a) 7a8b5c5d3b) w2 + x5 + z5c) 3x5 + 4 d) 4x-2 5z2/3 11.El monomio 4x tiene grado: a)1 b)4 c)xd)N. A. 12.El monomio 5 a2 b tiene grado absoluto: a)3 b)2 c)5d)N. A. 13.Con respecto al monomio 5x3: a) El coeficiente es 3 y la parte literal x b) El coeficiente es 5 y la parte literal xc) El coeficiente es 5 y la parte literal x3 d) N. A. 14.Reducir: zx + 5zx + 9 zx a)zx b)15zx c)14zx d)6zx 15.Reducir: 7bx+1 4bx+1 3bx+1 a)14bx b)11bx+1 c)14bx+1 d)bx+1 16.Simplificar:72ax + 87ax 101ax + 243ax a) 173axb)330axc)157axd)137ax 17.Simplificar:9ax 31ax 40ax 11ax + 74ax

a)83ax b)82ax c)ax d)51ax 18.Simplificar:x3 + y3 ( x3 + 2x2y2 + y3) + [x3 + y3] a)x3 + y3 2x2y2 b)x3 + 2y3 + 2x2y2 c)x3 y3 2x2y2 d)N. A. 19.Simplificar: y x y x 2 5 4 3 + + a)x yb)2y 2xc)x + yd)y x - 20 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 20.Simplificar:((

+ +((

+ 1 2 4 3 2 42 2 2 2 2x y y x x a) 2x2 4y2 1 b) 2 5y2 c)x2 y2 4d)x2 5 21.Simplificar:{ } | |2 2 2 2 2 2 2 2 22 ) ( 2 3 ) ( x y x y x y x y x + + + + + a) x2 2y2 b) x2 + y2 c)2y2 x2 d)x 2y 22. Simplificar: | | { } | | 6 ) ( ) ( + + + + x z y x y x x x a) 3x z 6b) 3x + z + 6c)x + y + z d)x + 3z 6 SUMA DE POLINOMIOS 1.Sumar: 2x 3x + 6x 4x + 15x a) 30xb) 24xc) 22xd) 16x 2. Sumar:2mn2 3mn2 11mn2 + 8mn2 a) 18mn2b) 2mn2c) 4mn2d) 24mn2

3. Sumar:7a2b + 15a2b 21a2b 3a2b a) 2a2bb) 16a2bc) 40a2b d) 46a2b 4.Sumar:14pq + 11pq 9pq 16 a) 28pqb)12pq 16c) 16pq 16d) 0 5. Sumar:8h3f2 14h3f2 5 + h3f2 + 8 a) 3f2h3 5 b) 3 5f2h3 c) 13 5f2h3d) 8 10f2h3

6. Sumar:5xy 3xy 7 + 2xy + 11 a) 4xy + 4b) 10xy + 4c) 4d) 4xy 18 7. Sumar: 2/3 m2n2 3/4 m2n2 1/3 m2n2 1/2 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 21 - a) 7/4 m2n2 1/2b) -11/12 m2n2 c) 1/3 m2n2 5/4d) -5/12 m2n2 8. Sumar:1/4ab 2/7 3/5ab + 2/3 + 2/5ab a) 1/20ab + 8/21b) 1/20ab + 20/21c) 5/4ab + 8/21d) 3/4ab + 8/21 9. Sumar:1/2c2 7/5 1/8c2 1/10 + 2c2 a) 21/8c2 3/2b) 19/8c2 + 13/10 c) 19/8c2 3/2 d) 19/8c2 13/10 10. Sumar: {15m2 + 9n2 [3mn 27m2 + (7m2 + 15mn + 20n2) m2] + 18mn} a)50m2 + 11n2b) 50m2 10n2c) 36m2 + 11n2 d) 36m2 10n2 11.Sumar:x3 + {5/9 y3 [4/5 x3 (10/7 x3 + y3)]} a) 13/35x3 + 14/9y3b) 57/35x3 + 14/9y3 c) 57/35x3 4/9y3 d) 13/35x3 4/9y3 12.Sumar:(x + 2) + (x + 2) a) x + 4b) x + 2c) 2x + 4d) x2 + 4 13.Sumar:(x + 4) + (2x + 5) a) x3 + 9b) x + 2c) 3x + 9d) 2x + 9 14.Sumar:(x + 2) (x + 2) a) x + 4b) 2x + 4 c) x2 + 4d) 0 15.Sumar:(x + 4) (2x + 5) a)3x 9b) 3x + 9 c) 3x 9 d) x 1 16.Sumar:(x2 + 3x + 5) + (x2 + 3x + 5) a) 2x2 + 6x + 10b) x2 + 6x 10c) 22 - 6x + 10d) 24 + 6x + 10 17.Sumar: (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x + 5) a) x2 + 6x + 10b) 0c) 22 + 6x 10d) 24 + 6x + 10 - 22 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 18.Sumar:(x2 + 3x + 5) + (x4 + 3x + 5) a) x2 6x + 10b) x2 + 5x + 10 c) x2 + 9x + 10d) x4 + x2 + 6x + 10 19.Sumar:(x2 + 3x + 5) + (x4 + 2x + 6) a) x4 + x2 + 5x + 11b) x4 + 5x + 10 c) x2 + 5x + 11d) x2 + 6x + 11 20.Sumar:(x2 + 3x + 5) (x4 + 3x + 5) a) x4 + 5x + 10b) x4 + 5x 10 c)x4 + x2 d) x4 + 5x + 10 21.Sumar:(x2 + 3x + 5) (x4 + 2x + 6) a) x4 + x2 b) x4 + 5x + 10 c) x4 + x2 + x 1 d) x4 + 5x + 10 22.Sumar:(x2 + 4x + 5) (x4 + 2x + 6) a) x4 5x + 10b) x4 + 5x + 10c)x4 + x2 + 2x 1d) x4 + 5x + 10 23. Sumar:(x + 2) (x4 + 2x + 6) a) x4 + x2 + 2xb) x4 x2 + 2x c) x4 x 4 d) x4 + x2 + 2x PRODUCTO DE POLINOMIOS 1. Resolver: 2x3y2(5xy3 xy) a) 7 x4y5 x4y3 b) 10 x3y6 2 x3y2c) 10 x4y5 2 x4y3 d) x3y6 x3y2 2. Resolverx2y(8x 14y2) a)8x2y 14 x2y2b) 8 x2y + 14 x2y2c)8x3y x2y3d) 8 x3y + 14 x2y3 3. Resolver:1/7a2b3 ( 7ab 14 a2b + 11/3) a) 2 a4b4 a3b4 + 11/21 a2b3b) 14/7 a4b4 + 7/7 a3b4 + 11/21 a2b3 c) 2 a4b4 + a3b4 11/21 a2b3d)a3b5 a3b4 + 11 a3b2 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 23 - 4.Resolver: 8mp( 1/4m2p 1/2mp-1 + m2) a) 2 m3p 4 m2p 1 + 8 mp + 2b) 2 m2p + 4 mp 1 8 m2p c) 2 m3p + 4m2p 1 8 mp + 2d) 2 m2p 4 mp 1 + 8m2p 5.Resolver: (6x2 5x + 3)(x 7) a) 6 x3 + 47 x2 38 x + 21b)x3 47 x2 + 38 x 21 c)6 x3 47 x2 + 38 x 21d)6 x3 x2 + x + 21 6.Resolver:(4 a2 2 ab + 9 b2)(7 a2 + 5 ab 2 b2) a) 28a4 6a3b 45a2b2 49ab3 + 18b4b) a4 + a3b + a2b2 + ab3 b4 c) 28a4 + 6a3b + 45a2b2 + 49ab3 18b4d) 28a4 a3b a2b2 ab3 + b4 7.Resolver: (xa+2 3xa+1 4xa)(x2 + 3x) a) x(a + 4) 13x(a + 2) 12 x(a + 1)b) xa + 4 13xa + 2 12xa + 1

c) x4a 13x2a 12xad) xa + 4 + xa + 2 + xa + 1 8.Resolver: (1/2x2 x + 3/5)(5/2x 3) a) 5/4 x3 + 4 x2 9/2 x + 9/5b) 5/4 x3 4 x2 + 9/2 x 9 /5 c) x3 x2 + x 9/5d) 5/4 x3 + x2 x+ 9/5 9.Simplificar: 9(x3 10) + 3(4x 11) 5(4x2 + 3x 9) a) x3 x2 x 78b) 9x3 + 20x2 + 3x + 78 c) 9x3 20x2 3x 78d) 9x3 + 20x2 x 7 10.Simplificar: (4x2 6)(x4 + 9) (5x3 7)(x2 + 4) a) 4x6 + x5 6x4 x3 + x2 + 26b) 4x6 5x5 6x4 20x3 43x2 + 26 c) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 2d) 4x6 + 5x5 + 6x4 + 20x3 + 43x2 26 - 24 -lgebra Bsica para Preuniversitarios OPERACIONES COMBINADAS 1.Dados los polinomiosP(x) = x2 x + 2, Q(x) = 3x2 x 1yR(x) = 2x2 + 2x 3. CalcularP(x) . [Q(x) + R(x)] a)5x4 4x3 + 5x2 + 6x 8 b)5x4 + 3x3 4x2 + 3x + 8 c)5x4 4x2 8d)5x4 3x3 + x 8 2.El residuo de dividir 3x3 + x2 5x + 20 entre x + 2 es: a)4 b)6c)8d)10 3.Hallar el valor demsabiendo que el resto de dividir(m + 1)x3 + 2x2 4x + m entre(x + 2) es 1. a)1 b)3c)5d)7 4.Calcular el resto en la divisin x12 x9 + x3 + 1 entre x3 1 a)8 b)6c)4d)2 5.Halla el valor numrico de:4(bt 5c)si:b = 1 , t =2 , c = 5 a) 108b)12c)82d) 92 6. Halla el valor numrico de:b c4137+ si: b = 4 yc = 3 a) 6 b)103/12c) 8 d)121/2 7.Hallar el valor numrico de:9c 5sic = 3 a) 2 b)32c)22d) 22 8.Hallar el valor numrico de: b a +215si:53= a y23= b a)24b)3c)6/5d)6 9.Cul es el valor de: bb abb a +, sabiendo que b = 0? lgebra Bsica para Preuniversitarios- 25 - a)1b)2c)2 ad)2 b 10.Simplificar: ( ) ( ){ }( )2 2 27 3 5 3 2 3 x x y y x x ( + + + a)27 2 4 5 x x y + b)22 4 5 x x y + + c)25 2 3 3 x x y + e)N. A LENGUAJE ALGEBRAICO 1. La mitad de un nmero: a) 2x b) x/2c) xd)N. A. 2. El doble de un nmero ms tres: a) 2x + 3b) 2 (x + 3)c) x/2 + 3d)N. A. 3. El triple de un nmero menos cuatro: a) 3x 4b) 34 xc) x 34d)N. A. 4. La mitad del cubo de un nmero: a) 3 x/2b) 3/2 xc) x3/2d)N. A. 5. Siete menos un nmero: a) x 7b) 7 3c) 7 xd)N. A. 6. El doble de la suma de dos nmeros: a)2 m + nb)2 (m + n)c)m + n2d)N. A. 7.La edad de una persona hace cinco aos: a)5 x b)32 5c)x 5d)N. A. 8.El cuadrado ms el triple de un nmero: a)32 + 3 xb)x2 + 3 xc)x + 32d)N. A. 9.La expresin 2n 1 representa siempre a los nmeros: a)paresb)imparesc)primos d)racionales 10. Si al doble de cierto nmero se suma 6, el resultado es 4 unidades menos que el triple del nmero. Cul es el nmero? a)1b)5 c)10d)15 - 26 -lgebra Bsica para Preuniversitarios EJERCICIOS PROPUESTOS OPERACIONES BSICAS 1.Evale cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 x + 3x = 2b) x2/3 3x + 5x = 3/2 c) x2 +7 x =5d) 4xy 8y2x = 3;y = 0.5 2.Eliminar los trminos semejantes en los siguientes polinomios: a)8x 3x + 7x b)3x + 9y 2x 6y c)7a2 15b3 + 5b3 + 9a 2 4b3 d)3a+ 4c + 9c 7b 7a- 15c e)6x2y2 12x2y2 + x2y2f)a2 + b2 2b2 3a2 a2 + b2

g)x2yz + 3xy2z 2xy2z 2x2yz h)4 3 2a a a+ +i)56233252 2 2 2b a ab ab b a + j)4 322m m mm + 3.Eliminar parntesis y reducir trminos semejantes en los siguientes polinomios: a)(10b + 4) + (6 9b) (3b 7) b)20 + (7 + 2x) (3x 7) c)8x (15y + 16z 12x) ( 13x + 20y) (x + y + z) d)9x + 13y 9z |7x { y + 2z (5x 9y + 5z) 3z }| e)1 1 19 3 9 7 2 5 9 5 32 2 3x y z x y z x y z z ( | |+ + + `(|\ . ) 4. Dados los polinomios: A)2b2c 3b + 6cB)4b c2b + 12 b2cC)4 2c Ejecute las siguientes operaciones: a)A + B, b)A C, c)B A 5.Calcularelpermetrodelasiguiente figura: x2+ x2x2+ x3x2+ x 3x 6. El permetro de un rectngulo es 8x 6 y un lado es 3x + 7 Cunto mide el otro lado? lgebra Bsica para Preuniversitarios- 27 - Cap. 2 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Introduccin.-Enelestudiodelamatemtica,continuamenteencontramosexpresiones quemantienenlamismamecnica,sontanrepetitivasquenonecesitamosrealizarla operacin para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llamanotables, y puede encontrarse su respuesta sin realizar la operacin, por simple inspeccin. 1.-Cuadrado de un binomio.- Bsicamente se escriben as: ( )2a b +Se lee el cuadrado de la suma de dos cantidades ( )2a b Se lee el cuadrado de la diferencia de dos cantidades Efectuando las operaciones queda: 2 2 2( ) 2 a b a ab b + = + + 2 2 2( ) 2 a b a ab b = + Elcuadradodelasumadedoscantidades ( )2a b +esigualalcuadradodela primera ( )2a ms el doble producto de ellas ( ) 2abms el cuadrado de la segunda ( )2b .

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades( )2a b es igual al cuadrado de la primera ( )2amenoseldobleproductodeellas ( ) 2ab mselcuadradodela segunda ( )2b . Ejemplos: 1)Desarrollar( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 28 3 8 28 3 3 64 48 9 y x y y x x y xy x + = + + = + + 1)Desarrollar( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 28 3 8 28 3 3 64 48 9 y x y y x x y xy x + = + + = + + 2 6 3 4 4 2169 182 49 m n m n m n = + - 28 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Loimportanteenlosproductosnotablesnoesnecesariooperar,soloaprendera reconocerlos y sustituirlos. 2.-Cubodeunbinomio.-Lassiguientessonlasformasbsicasdeloscubosde binomio. ( )3a b +Se lee el cubo de la suma de dos cantidades ( )3a b Se lee el cubo de la diferencia de dos cantidades Efectuando las operaciones queda: 3 3 2 2 3( ) 3 3 a b a a b ab b + = + + + 3 3 2 2 3( ) 3 3 a b a a b ab b = + El cubo de la suma de dos cantidades( )3a b +es igual al cubo de la primera ( )3a mseltripleproductodelcuadradodelaprimeraporlasegunda ( )23a bmsel triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda ( )23ab ms el cubo de la segunda ( )3b.

Elcubodeladiferenciadedoscantidades ( )3a b esigualalcubodelaprimera ( )3amenoseltripleproductodelcuadradodelaprimeraporlasegunda ( )23a b mseltripleproductodelaprimeraporelcuadradodelasegunda ( )23abmenos el cubo de la segunda ( )3b. Ejemplos:

1)Desarrollar: 2 3 2 3 2 2 2 2 3(2 3 ) (2 ) 3(2 ) (3 ) 3(2 )(3 ) (3 ) xy xz xy xy xz xy xz xz + = + + +

6 3 5 2 4 2 3 38 36 54 27 xy xyz xyz x z = + + + 2)Desarrollar:2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3(2 3 ) (2 ) 3(2 ) (3 ) 3(2 )(3 ) (3 ) x y x x y x y y = +

6 4 2 2 4 68 36 54 27 x xy xy y = + lgebra Bsica para Preuniversitarios- 29 - 3.-Productodelasumaporladiferenciadedoscantidades.-Bsicamentese escriben as: ( )( ) a b a b + ( )( ) a b a b + Se lee el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Si los multiplicamos queda:2 2( )( ) a b a b a b + = La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. Ejemplos: 1)Efectuar4 6 2 2 2 3 2 3 2 3) ( ) ( ) )( ( y x y x y x y x = = + 2)Efectuar(3a+4b) (3a4b) = 9a216b2

3)Efectuar(5an+1 + 3am)(3am 5an+1) = 9a2m25a2n+2

4)Efectuar( ) ( ) ( )22( 1)( 1) 1 1 1 x y x y x y x y x y + + + = + + + = + (( 2 22 1 x xy y = + + Enelltimoejemplosepuedeconvertirunpolinomiodemsdedostrminosenun binomioconsolousarparntesisytomarloqueseencuentraenelparntesiscomoun todo. 5)Efectuar | || | (2 3 4)(2 3 4) 2 (3 4) 2 (3 4) x y z x y z x y z x y z + + = + 2 2 2 2 22 2 2(2) (3 4) 4 (9 24 16 )4 9 24 16x y z x y yz zx y yz z= = += + 4.-Productodedosbinomiosqueposeenuntrminocomn(x+a)(x+b).-El trmino comn es x, desarrollando se tiene: 2( )( ) ( ) x a x b x a b x ab + + = + + + El producto de dos binomios con un termino en comn es igual al cuadrado de ese termino,mselproductodeesteporlasumaalgebraica delosotrosdos,msel producto de estos. - 30 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Ejemplos:

1)Efectuar( )( ) ( ) ( )( )2 25 3 5 3 5 3 2 15 y y y y y y + = + + + =

2)Efectuar2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 24 2 3 2 2 5(4 )(4 3 ) (4 ) ( )4 ( )(3 )16 4 4 3x y x y x y y x y yx xy xy y+ + = + + += + + + 3)Desarrollar 2 2(2 3)( 5 4) (2)( 5) (3)( 5) (2)( 4) (3)( 4)10 15 8 12 10 23 12x x x x x xx x x x x+ = + + + = = 4)Efectuar ( )( )23 5 7 3 21 26 15 m m m m + = + 5.-Cuadrado de un trinomio.- Al efectuar el producto(a + b + c)2 se tiene: 2 2 2 2( ) 2( ) a b c a b c ab ac bc + + = + + + + + Elcuadradodeuntrinomioesigualalasumadeloscuadradosdecadatrmino, ms el doble producto algebraico de cada uno de ellos por los dems. Ejemplo: Desarrollar 2) 4 3 2 ( z y x + +

| |2 2 22 2 2(2) (3) (4) 2(2)(3) (2)(4) (3)(4)4 9 16 12 16 24x y z x y x z y zx y z xy xz yz= + + + + += + + + + + 6.-BinomiodeNewton.-Elresultadodeoperarunbinomioelevadoaunapotencia enteranosdaunpolinomioconunacantidaddefactoresigualalexponentems1.Por ejemplo, si el exponente es 3 tendr 4 factores, si el exponente es 6 tendr 7 factores, y as sucesivamente. Elfactornumricoporelcualsemultiplicacadafactordelpolinomiosedefinesegnel siguiente triangulo: lgebra Bsica para Preuniversitarios- 31 - Ejemplos: 1)Desarrollar ( )52 3 a b + La lnea que se debe usar es:1 5 10 10 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )5 5 0 4 1 3 2 2 3 4 52 3 2 3 52 3 102 3 102 3 52 3 3 a b a b a b a b a b a b b + = + + + + + 2)Desarrollar ( )622ax x La lnea que se debe usar es:1 6 15 20 15 6 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 6 5 4 3 21 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2 22 2 62 152 202 152 62 ax x ax ax x ax x ax x ax x ax x x = + + +

( )62 6 12 5 11 4 10 3 9 7 62 64 192 240 160 12 ax x a x a x ax a x ax x = = + + EJERCICIOS RESUELTOS Desarrollar los siguientes productos notables: 1) ( )221 2 1 x x x + = + + 2) ( )( )22 3 5 6 x x x x + + = + + 3) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 222 5 2 22 5 5 4 20 25 x x x x x = + = + 4) ( ) ( )2 222 2 2 4 3 21 1 1 122 2 2 4x x x x x x x x x| | | | | | = + = + |||\ . \ . \ . 5) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 3 2 33 22 3 2 32 3 32 3 3 8 36 54 27 x x x x x x x = + = + 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 2 33 22 3 2 3 2 2 6 12 8 x x x x x x x + = + + + = + + + 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 2 33 23 2 3 33 2 33 2 2 27 54 36 8 x x x x x x x = + = + 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 2 33 22 5 2 32 5 32 5 5 8 60 150 125 x x x x x x x + = + + + = + + + 9) ( )( ) ( )22 23 2 3 2 3 2 9 4 x x x x + = = 10) ( )( )25 5 25 x x x + = 11) ( )( ) ( )22 23 2 3 2 3 2 9 4 x x x x + = = - 32 -lgebra Bsica para Preuniversitarios CocientesNotables.-Sonaquelloscocientesquetienenreglasfijasyquepueden obtenerse sus resultados por simple inspeccin. 1.-Cocientedeladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentrelasumao diferencia de las cantidades: 2 2a ba ba b= + La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de esas cantidades es igual a la diferencia de las cantidades. 2 2a ba ba b= + Ladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentreladiferenciadeesas cantidades es igual a la suma de las cantidades. Ejemplos: 1)1112 =+xxx 2)xxx+ =1112 3)224 2 23 23 29 4mn xmn xn m x =4) 224 2 27 67 649 36nx mnx mx n m+ = 2.-Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades: 3 32 2a ba ab ba b+= ++ Lasumade los cubos dedoscantidadesentrela sumadeesas doscantidades es igualalcuadradodelaprimeracantidad,menoselproductodelaprimeraporla segunda, mas el cuadrado de la segunda. 3 32 2a ba ab ba b= + + Ladiferenciadeloscubosdedoscantidadesentreladiferenciadeesasdos cantidadesesigualalcuadradodelaprimeracantidadmaselproductodela primera por la segunda mas el cuadrado de la segunda. lgebra Bsica para Preuniversitarios- 33 - Ejemplos: 1)32111aa aa+= ++2) 3 32 227 1259 15 253 5m nm mn nm n= + + 3)6 34 2 22273 93x yx xy yx y= + +4) 5 54 3 222 4 8 162xx x x xx+= + ++ 3.-Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades: 4 43 2 2 3a ba a b ab ba b= + + + 4 43 2 2 3a ba a b ab ba b= + + 5 54 3 2 2 3 4a ba a b a b ab ba b= + + + + 5 54 3 2 2 3 4a ba a b a b ab ba b+= + ++ Se puede notar que: -Ladiferenciadepotenciasigualesparesoimparessiempreesdivisibleporla diferencia de las bases. -La diferencia de las potencias iguales pares siempre es divisible entre la suma de las bases. -Lasumadelaspotenciasigualesimparessiempreesdivisibleporlasumadelas bases. -La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni por la diferencia de las bases. 4 4a ba b++

4 4a ba b+ Estos cocientes, no son divisibles (las divisiones no son exactas) - 34 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Propiedades de los cocientes notables.- Tomar en cuenta lo siguiente: 1.- El cociente tiene tantos trminos como unidades tiene el exponente de las letras del dividendo. 2.- El primer trmino se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor y el exponente de la letra disminuye 1 en cada trmino. 3.- El exponente de b en el segundo trmino del cociente es 1 y va aumentando en 1 en los siguientes trminos. 4.- Cuando el divisor es a btodos los signos del resultado son +, y cuando el divisor es a + b, los signos se van alternando. + y Caso general: 1 2 3 2 1.....n nn n n nx yx x y x y yx y = + + + + Donde: N ne

y xy x 5 5No genera cociente notable, puesto que N e 5 y xy x2535 No genera cociente notable, puesto que N e35 Ejemplos: 1) 7 76 5 4 2 3 3 2 4 5 6x yx xy xy xy xy xy yx y= + + + + + + 2) 5 54 3 2 2 3 4m nm m n m n mn nm n+= + ++ 3) 6 65 4 3 2 2 3 4 5x yx xy xy xy xy yx y= + + + Sumaydiferenciadecubos.-Casosquepertenecenalafactorizacin,peroquees muy importante verlos ahora: 3 3 2 2( )( ) a b a b a ab b + = + + 3 3 2 2( )( ) a b a b a ab b = + +lgebra Bsica para Preuniversitarios- 35 - Ejemplos: 1) Efectuar 2 4 2 2 3 3 6( 4)( 4 16) ( ) 4 64 x x x x x + + = + = + 2) Efectuar 2 4 2 2 3 3 6( 3)( 3 9) ( ) 3 27 a a a a a + + = = EJERCICIOS RESUELTOS Hallar el cociente por simple inspeccin: 1) 422111xxx= +2) 3 62 2 4284 22m nm mn nm n+= ++ 3) 6 63 33 34977x yx yx y= +4) 6 34 2 22273 93x yx xy yx y= + + 5) ( ) ( ) ( )54 3 2 2 3 411 1 1 11aa a a aa= + + + + 2 3 41 a a a a = ++ + +6) 14 142 2a ba b 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12a a b a b a b a b a b b = + + + + + + 7) 32111aa aa+= ++ 8)8 8 8256 22 2x xx x = 7 6 5 4 3 22 4 8 16 32 64 128 x x x x x x x = + + + + + + + 9)Si10 a b = y 2 229 a b + = . Entonces el valor de( )2a b es: a)9 b) 19c)29d)49e)N. A. Solucin:Ambas expresiones sumadas constituyen el producto notable( )2a b :10 2 20 a b a b = = Restando:2 22 29 20 9 a ab b + = = Respuesta:Alternativa a) - 36 -lgebra Bsica para Preuniversitarios PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO PRODUCTOS NOTABLES 1.Multiplicar:(2x 3)2 a) 4x 12x + 9b) 4x2 + 12x + 9c) 4x2 12x 9 d) 4x2 12x + 9 2. Multiplicar:(5x 4)2 a) 25x2 + 40x + 16b) 25x 40x + 16c) 25x2 40x 16d) 25x2 40x + 16 3. Multiplicar: (7x + 5)2 a) 49x2 + 70x + 25b) 49x2 70x + 25 c) 49x2 + 70x 25d) 49x4 + 70x + 25 4. Multiplicar: (6x + 3)2 a) 36x4 + 36x + 9b) 36x2 + 36x + 9c) 36x + 36x + 9d) 36x2 + 36x 9 5. Multiplicar: (8x 9)2 a) 64x2 144x + 81b) 64x2 + 144x + 81 c) 64x2 144x 81d) 64x2 144 + 81 6. Multiplicar: (2x 7)2 a) 4x2 28x 49 b) 4x2 28x + 49 c) 4x2 + 28x + 49d) 4x2 28x + 48 7. Multiplicar: (10x + 6)2 a) 20x2 + 120x + 36b) 100x2 120x + 36 c) 100x2 + 120x + 35d) 100x2 + 120x + 36 8. Multiplicar: (11x + 3)2 a) 121x2 + 66x - 9b) 112x2 + 66x + 9 c) 121x2 + 60x + 9d) 121x2 + 66x + 9 9. Multiplicar: (20x 2)2 a) 400x2 + 80x + 4b) 80x2 80x + 4 c) 400x2 + 80x + 4d) 400x2 80x + 4 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 37 - 10.Multiplicar: (30x 1)2 a) 90x2 60x + 1b) 900x2 60x 1c) 900x2 60x + 1d) 900x2 + 60x + 1 11.Multiplicar: (3x + 4b) (3x 4b) a) 9x2 + 16b2 b) 9x2 16b2 c) 6x2 8b2 d) 9x 16b 12.Multiplicar: (8x2 + 7) (8x2 7) a) 16x2 14b) 64x4 49 c) 64x2 + 49 d) 64x2 49 13.Multiplicar: (9x9 10b6) (9x9 + 10b6) a) 18x18 20b12b) 81x18 100b12

c) 81x9 100b12d) 81x18 + 100b6 14. Multiplicar: (20x25 12b30) (20x25 + 12b30) a) 400x25 144b30b) 200x50 72b60

c) 400x50 + 144b60 d) 400x50 144b60 15. Multiplicar: (0.5x2 + 0.2 b2) (0.5x2 0.2b2) a) 0.25x4 4b4b) 2.5x4 0.4b4 c) 0.25x4 + 0.04b4d) 0.25x4 0.04b4 16. Multiplicar: (3x5 + b13) (3x5 b13) a) 9x10 b26b) 9x10 + b26 c) 9x5 b13d) 6x10 b26 17. Multiplicar: (2x + 2) (2x + 3) a) 4x2 10x + 6b) 4x2 + 10x + 6 c) 4x2 + 10x + 5d) 4x2 + 5x + 6 18. Multiplicar: (3x + 9) (3x + 2) a) 9x2 33x + 18b) 9x2 + 11x + 18c) 9x2 + 33x + 18d) 9x2 + 33x + 11 19. Multiplicar: (4x2 9) (4x2 6) a) 16x4 60x2 + 15b) 16x4 60x2 54 c) 16x4 + 60x2 + 54d) 16x4 60x2 + 54 - 38 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 20. Multiplicar: (8x2 3) (8x2 7) a) 64x4 80x2 + 21b) 64x4 80x2 21 c) 64x4 80x2 + 10d) 64x4 + 80x2 + 21 21. Multiplicar: (5x3 + 12) (5x3 10) a) 25x6 + 10x3 120b) 25x6 + 10x3 + 120 c) 25x6 10x3 120d) 25x6 + 10x3 2 22. Multiplicar: (14x3 + 3) (14x3 8) a) 196x6 70x3 24b) 190x6 70x3 24 c) 196x6 + 70x3 24d) 196x6 70x3 + 24 23. Multiplicar: (7x4 15) (7x4 + 8) a) 49x8 + 49x4 120b) 14x8 49x4 120 c) 49x8 49x4 120d) 49x8 49x4 +120 24. Multiplicar: (10x6 20) (10x6 + 25) a) 100x12 + 50x6 + 500b) 100x12 50x6 500 c) 20x12 + 50x6 500d) 100x12 + 50x6 500 25. Multiplicar: (12x8 8) (12x8 + 6) a) 144x16 24x8 + 48b) 24x16 24x8 48 c) 144x16 + 24x8 48d) 144x16 24x8 48 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 39 - PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES 1.Al simplificar la expresin283xxel resultado es: a)x2 2x + 4b)x2 + 2x + 4c)x 2 d)x 2.La expresin ( )( ) 4 1 a b +es equivalente a: a)4 4 ab a b + b)ab b a + + 4 c)1 4 + + b b a d)4 4 + + a b ab 3.Simplificar121 1 1 12 2 |.|

\| |.|

\|+ababb a b a a)ab/2b)2/abc)2/ad)2/b 4.El cuadrado de3m3 es: a)9m6 b)9m6 c)9m3 d)9m9 5.Qu resultado se obtiene al simplificar la expresin aa11, para a 1? a)2b)1c)0d) 1 6.Aldesarrollarlaexpresin(xy2)2unalumnocometeunerrorydalasiguiente respuesta: x2 2xy2 y4 .El error est en el: a) Exponente del primer trminob) Signo del segundo trmino c) Exponente del tercer trminod) Signo del tercer trmino 7.Cul de las siguientes expresiones es equivalente a: (m + n)2 4mn? a)(m n)2b)m2 2mn + n2 c)m2 4mn + n2d)N. A. 8.Al simplificar la expresin10 23 4312b ab ael resultado es: - 40 -lgebra Bsica para Preuniversitarios a)744bab)64ab c)764bad) 1 9.Sia = 3 yb = 1/2 ; entonces la expresina2 3bvale: a)7.5b)17.5c)2d) 1 10.Sip = 21,y q = 22 + 1; entonces, Cul es el valor de (p2 + q)? a) 1 b)1c)2/3 d) 3/2 11.El resultado de la operacin: (m n)2 (m n)(m + n)es: a)2n2 b) 2n(m + n)c)2n(n 2m) d)2mn 12.Al reducir la expresin:3(2p 5q) [(9p 2q) (p 6q) 4p + q]resulta: a)2(p 10q)b)2(p 5q)c)2(p 3q) d) 2(5p 7q) 13.Efectuar2 22 2x y x y x yRx y x y x y| | | | + = + || + +\ .\ . a)2b)xc)xyd)y 14.Reducir:( ) ( )( )( )( ) ( )( )27 9 58 7 13 2x x xx x x x+ + ++ + + + a)4/27b)4c)2/15d)1/5 15.Efectuar: 2x yy x+ + a)2x yxy| | + |\ .b)( )2x yxy+c)2 x y xyxy+ +d)4 16.Cul(es) de las expresiones siguientes es (son) igual(es) a x(y z)? I. (z y)(x)II. xy xzIII.(y z)x a)Slo Ib)Slo I y IIc)Slo I y IIId)Slo II y III lgebra Bsica para Preuniversitarios- 41 - EJERCICIOS PROPUESTOS PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Completa el desarrollo del cuadrado de un binomio: a) x2 + 10x + ____ = (x + ___ )2 b) y2 18y + ____ =(y ___ )2

c) m2 ____ + 36n2 = ( )2d) p2 + ___ + 64q2= ( )2 e) ____ 390y + 225 =( )2 f) 64x2 80xy + ____ = ( )2

Cuadrado de un binomio: 1)(c + d)2 2)(a + 1)23)(a2 + b2)2 4)(a2 + b3)2 5)(5 - a)26)(3x 1)2 7)(x3 y3)28)(y + 9)29)(3a + b)2 10)(3 + b)211)(x3 + y3)212)(x y)2 13)(2a 3b)2 14)(3x2 + 12)215)(a2 b3)2 Suma por la diferencia: 1)(x + 3) (x 3) 2)(x 5y) (z + 5y)3)(2a + b) (2a b) 4)(3a + 2b) (3a 2b)5)(z + l0)(z l0)6)(x + 3y) (x 3y) 7)(4a b) (4a + b) 8)(7u + 1) (7u 1) 9)(2a + 5b)(2a 5 b) 10)(3p 4g) (3p + 4g)11)(8m 3n) (8m + 3n)12)(7x + 8y) (7x 8y) 13)(5x3 9y4) (5x3 + 9y4)14)(3x 5y) (3x + 5y)15)(4n + 11)(4n 11) 16)(x2 6) (x2 + 6) 17)(a2 + 9)(9 a2)18)(uv + 1) ( uv 1) 19)(2x + 3x2) (2x 3x2)20)(x2 + y3) (x2 y3) 21)(1 y4z5) (1 + y4z5) 22)(x + y + z)(x + y z)23)(x y + z)(x + y z) 24)(x+ y+ z)(x y z) 25)(m + n + 1)(m + n 1) 26)(m n 1)(m n + 1) 27)(x + y - 2)(x y + 2) 28)(n2 + 2n + 1)(n2 2n 1) 29)(x2 2x + 3)(x2 + 2x + 3)30)(m2 m 1)(m2 + m 1) 31)(2a b c)(2a b + c) 32)(2x + y z)(2x y + z) - 42 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Cubos de binomios: 1)(x + 5)32)(1 + b)33)(2x + y)3 4)(a + 4b)3 5)(4x 5)36)(z 3)3 7)(2 2y)38)(2a 3b)39)(x2 + 4)3 10)(a2 b2)311)(2x2 + 3y2)312)(3x2 5y2)3 13)(ab + c2)314) (m pq)315)(2x5 3x2)3 Binomio de Newton: 1) 4) 5 3 ( x y 2) 5) 4 2 ( x y + 3) 6) 5 2 ( x y 4) 4 2 2) 2 4 ( x y +5) 5) 2 3 ( x y +6) 6) 3 10 ( x y 7) 421015|.|

\|+ x8) 7) 3 2 ( x y 9) 6) 3 3 ( x Otros productos: 1)( )( ) 2 1 2 1 x x + 2)( )( )2 24 4 x x +3)( )( ) 3 3 a b a b + 4)( )( )2 22 5 2 5 a a + 5)( )222 3 x a b ( + 6)(a + b c)2

7)2 21 1 3 22 3 2 3a b a b| | | | ||\ . \ .8)33 24 5a b| | |\ .

9)( )( )5 3 3 58 5 5 8 a b b a +10)| || |(2 3) (5 2) (2 3) (5 2) a b x y a b x y + + + Desarrollar los siguientes productos indicados: 1)(2x 3)22)(5x 4)2 3)(7x + 5)24)(6x + 3)2 5)(8x 9)26)(2x 7)2 7)(10x + 6)28)(11x + 3)2 9)(20x 2)210)(30x 1)2 11)(3x + 4b).(3x 4b)12)(8x2 + 7).(8x2 7) lgebra Bsica para Preuniversitarios- 43 - 13)(2x + 2) (2x + 3)14)(3x + 9) (3x + 2) 15)(4x2 9) (4x2 6)16)(8x2 3) (8x2 7) 17)(5x3 + 12) (5x3 10)18)(14x3 + 3) (14x3 8) 19)(7x4 15) (7x4 + 8)20)(10x6 20) (10x6 + 25) 21)(12x8 8) (12x8 + 6)22)(25x9 + 9) (25x9 8) 23)(9x9 10b6).(9x9 + 10b6)24)(20x25 12b30).(20x25 + 12b30) Comprobar los siguientes cocientes (indicar los correctos e incorrectos): 1)21644aaa= +2)2 225 495 75 7x yx yx y= + 3)2 2 4224 162 42 4a xya xya xy= ++4)2 2 a ba ba bx yx yx y= + 5)4229 363 63 6xxx= +6)4 42 22 216 254 54 5x yx yx y= + 7)( )( )( )21001010x yx yx y+ = + ++ 8)( )( )( )21691313a ba ba b = + 9)32111xx xx+= ++10)3 32 264 2716 12 94 3x yx xy yx y+= ++ 11)3 32 2125 2725 15 95 3a ba ab ba b+= ++12)9 66 3 2 43 2x yx xy yx y+= ++ 13)3227 19 3 13 1mm mm= + +14)12 158 4 5 104 58 1254 10 252 5a ba a b ba b= + + 15)4 22 12 14002020aaaxxx+++ = +16)3 6 92 4 2 3 62 3729 51281 72 649 8xy zxy xyz zxy z= + + 17)( )( )( )4623234977a b ma b ma b m+ = + ++ 18)3 182 6 126343 100049 70 1007 10a ba ab ba b= + + - 44 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Cap. 3 TEOREMA EL RESIDUO Polinomioenteroyracional.-Laparteliteraltieneexponenteenteropositivootambin por no tener letras en su denominador. Ejemplo.-Las siguientes expresiones son racionales: 1)20 7 29 4 3 y y x + + 2)6711157 535z y x + + 3)7 3 4 3 26 t w z y x + 4)3 3 3 2 2 24 z y x z y x xyz + + Residuo de la divisin de un polinomio enteroy racional en x por un binomio de la formaxa.-UnaformamuytilparadeterminarloscerosdeunPolinomio f(x)esel Teorema del Residuo, el cual vamos a explicar a continuacin. Efectuando la divisin de un polinomiof(x)= 3x3 4x2 3x 4 entrex 2 donde 2 es un nmero Independiente de x: 3x3 4x2 3x 4I x 23x3 + 6x2 3x2 + 2x + 1 2x2 3x 2x2 + 4x x 4 x + 2 2 En donde el Cociente es: 3x2 + 2x + 1 y el residuo es 2. El Polinomio, se puede expresar como:3x3 4x2 3x 4=(x 2)( 3x2 + 2x + 1) 2 Calculandof(2)en el ejemplo anterior, f(2)se obtiene sustituyendo 2 por xen la funcin. f(2)=3x3 4x2 3x 4=3(2)3 4(2)2 3(2) 4 = 24 16 6 4= 2 Se observa que el valor def(2)es igual al valor del residuo que se obtuvo en la divisin algebraica. Teorema del residuo: Si se divide el polinomio f(x) entre el binomiox a dondeaes un nmero real, el residuo es igualaf(a) lgebra Bsica para Preuniversitarios- 45 - Teorema del Factor.-Es importante recordar que al efectuar una divisin algebraica, si la divisin es exacta el residuo es igual a Cero. Siaes una raz de f(x) = 0,entoncesx aes un factor def(x). Divisinsinttica(RegladeRuffini).-Ladivisinsintticaesunprocedimiento "abreviado"paradeterminarelcocienteyelresiduoqueseobtienealdividirun polinomioP(x)degradon(n1),porunbinomiodelaformaxa;apartirdelos coeficientes de P(x) y el cero de x a. Ejemplos: 1)Sean dos polinomios:3 ) ( ; 2 5 3 4 ) (2 3 = + + = x x Q x x x x P DetermineelcocienteyelresiduoqueseobtienealdividirP(x)porQ(x):a)Usandoel mtodo de la divisin, b) Usando divisin sinttica Solucin: a)Dividiendo: 4x3 +3x2 5x+2x 34x3+12x24x2 + 15x +40 15x2 5x+2 15x2+45x 40x+2 40x+120 122 Se obtiene: Cociente =40 15 42+ + x xy Residuo = 122 b)Por divisin sinttica: Coeficientes de P(x) 43 5 23Cero dex 31245120 41540122 Coeficientes de cociente Residuo Los nmeros representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma:

12 es el producto de 4 y 3 45 es el producto de 15 y 3 120 es el producto de 40 y 3 Los nmeros representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma: - 46 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 4 es el coeficiente dex3en P(x)15 es la suma de 3 y 12 40 es la suma de 5y45 122 es la suma de 2 y 120 2)Sean8 ) ( ; 2 16 8 ) (4 3 = + + = x x Q x x x x P . Usandodivisinsinttica,determineelcocienteC(x)yelresiduoR(x)queseobtiene al dividirP(x) porQ(x). Solucin: OrdenandoP(x) en forma descendente de acuerdo a su grado: 16 2 0 8 ) (2 3 4 + + = x x x x x P , y realizando la divisin se tiene: 18 02168 80016 10020 Coeficientes del cociente Res. Losnmeros1,0,0y2son coeficientes del cociente. Y el nmero 0 es el residuo. Por lo queC(x)=x3 + 0x2 + 0x + 2; C(x)=x3 + 2 y R(x)=0 Nota: Observe que al realizar la divisin sinttica, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, deben escribirse. 3)SeanP(x)yQ(x)polinomios tales que:P(x)=x3 + x yQ(x)=x + 4 Usando divisin sinttica determine el cocienteC(x)yR(x) Solucin:Como P(x)=x3 + 0x2 + x + 0 y el cero x + 4 es 4tenemos que: 1010 4 1668414 1768 Por lo tanto el cociente que se obtiene, esx2 4x + 17 y el residuo es 68. 4)Realice la divisin de P(x) = 3x4 + 2x3 x2 + 4x + 2entrex + 2. Solucin: Reemplazando xpor2: 32142 6814202 3471022 Cociente:3x3 - 4x2 + 7x - 10 Residuo:R= 22. lgebra Bsica para Preuniversitarios- 47 - 5)Con la divisin sinttica determinar el cociente y el residuo de dividir el polinomio: 2x4 + 5x3 2x 8 entre x + 3. Solucin.-Como el divisor es x + 3, la ade la expresin x aes 3. Por lo tanto, la divisin sinttica tiene la forma siguiente: 2502 86 39 333 21 3G 1125 Coeficientesdel cociente Res. C(x) = 2x3 x2 + 3x 11;R= 25. 6)Si f(x) = 3x5 38x3 + 5x2 1, calcularf(4)por medio de la divisin sinttica. Solucin:Deacuerdoconel teorema del residuo, f(4) es el residuo cuandosedividef(x)entrex4.Al hacer la divisin sinttica, se obtiene: En consecuencia, f(4) = 7I9. 30385011248401807204 3121045180719 Coeficientes del cociente Res. Se puede utilizar la divisin sinttica para ayudar a calcular los ceros de polinomios. De acuerdo con el mtodo que se present en este ejemplo: f(c) = 0 si y slo si, el residuo de la divisin sinttica entrex aes 0 - 48 -lgebra Bsica para Preuniversitarios EJERCICIOS RESUELTOS Determinar, sin efectuar la divisin, si son exactas o no las divisiones siguientes: 1)Dividirx2 x 6entre x 3 Solucin: P(x) =x2 x 6 P(3) =32 3 6=0 Resp:Como P(3) = 0, la divisin de x2 x 6entre x 3es exacta. 2)Dividirx3 + 4x2 x 10entre x + 2 Solucin: P(-2) =(-2)3 + 4(-2)2 (-2) 10 P(-2) = 8 + 16 + 2 10 =0 Resp:Como P(-2) = 0, la divisin de

x3 + 4x2 x 10entre x + 2 3)Dividir2x4 5x3 + 7x2 9x + 3 entre x 1 Solucin: P(1) =2(1)4 5(1)3 + 7(1)2 (1) + 3 P(1) = 2 5 + 7 9 + 3 =3 Resp:La divisin es inexacta 4)Hallar el residuo de la divisin a4 5a3 + 2a2 6entre a + 3 Solucin: P(-3) = (-3)4 5(-3)3 + 2(-3)2 6 P(-3) =81 + 135 + 18 6=228 Residuo = 228 5)Sin efectuar la divisin, probar que: a + 1es factor dea3 2a2 + 2a + 5 Solucin: Unnmeroesfactordeotrosilodivide exactamente;paraprobarque(a+1)es un factor de a3 2a2 + 2a + 5, basta con mostrar que la divisin de a3 2a2 + 2a + 5entre a +1 es exacta: P(a) = a3 2a2 + 2a + 5 P(1) = (1)3 2(1)2 + 2(1) + 5 P(1) =1 2 2 + 5=0 a3 2a2 + 2a + 5es divisible entrea + 1 a + 1es factor de a3 2a2 + 2a + 5 6)Sin efectuar la divisin, probar que: x 5 es factor de x5 6x4 + 6x3 5x2 + 2x 10 Solucin: x 5tiene la forma x a , con a = 5 P(x)=x5 6x4 + 6x3 5x2 + 2x 10 P(5)=(5)5 6(5)4 + 6(5)3 5(5)2 + 2(5) 10 P(5)=3125 3750 + 750 125 + 10 10

P(5)=0 x 5divide a x5 6x4 + 6x3 5x2 + 2x 10 x 5 es un factor del polinomio dado lgebra Bsica para Preuniversitarios- 49 - 7)Sinefectuarladivisin,hallarsiladivisinsiguienteesonoexacta,ydeterminarel cociente y residuo, si lo hay: 2a3 2a2 4a + 16entrea + 2 Solucin: a + 2tiene la forma x a , con a = 2 Aplicando el mtodo de la divisin sinttica, procedemos de la siguiente manera: 22 416 4 1216226 8 0 El residuo es cero; por lo tanto, la divisin es exacta. Los coeficientes del cociente son respectivamente: 2,6,y8. El dividendo es de tercer grado, lo que indica que el cociente es de segundo grado. Resp: La divisin es exacta y el cociente es2a2 6a + 8 8)Dividir 6x3 + x2 + 8x 6 entre3x 1 Solucin:3x 1 tiene la forma x a,con x = 1/3 6186 2131/3 6393 Cociente:2 26 3 9( ) 2 33 3 3Qx x x x x = + + = + + Residuo: 3 - 50 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Divisibilidad de (an + bn) y (an bn)por(a + b)y(a b).-Si al realizar la divisin entera de un polinomio P(x) entre otro polinomio Q(x), el resto es nulo, decimos que P(x) es divisible por Q(x), o que Q(x) divide a P(x). Nota 1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la divisindeunpolinomioenteroenxporunbinomiodelaformabxa,sinefectuarla divisin, basta con sustituir la x por a/b. Nota 2: Si el divisor tiene la formax a,y si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible porx a.

Para un valor de n entero y positivo, se tiene: 1) n na ba bSiempre es divisible 2) n na ba b++Es divisible sines impar 3) n na ba b+Es divisible sines par 4) n na ba b+Nunca es divisible Propiedades: 1)El cocientea xa xn ntiene n trminos. 2)El desarrollo dea xa xn n; todos sus trminos son positivos. 3)El desarrolloa xa xn n+; sus trminos son de signos alternados: + , , + , , +. 4)Para que una divisinq np my xy x. Debe cumplirse que: = =qpnm nmero de trminos lgebra Bsica para Preuniversitarios- 51 - EJERCICIOS RESUELTOS Determineporsimpleinspeccin,sisonexactaslasdivisionessiguientesyencaso contrario, cul es el residuo: 1)Dividir: 511xx+ Solucin: 511xx+tiene la forma de: n na ba b+ 51 x+no es divisible por1 x Hallemoselresiduoaplicandoelteorema del residuo F(1) = (1)5 +1 = 2 Resp:Ladivisinesinexactayelresiduo es 2 2)Dividir:4 4a ba b++ Solucin: 4 4a ba b++tiene la forma de: n na ba b++ 4 4a b+no es divisible pora b + Porque n es par. El residuo es: F(b) = (b)4 +b4=b4 +b4=2b4 Resp:Ladivisinesinexactayelresiduo es 2b4 3)Dividir:1128+xx Solucin: 11 ) (1124 228+=+xxxx tiene la formab ab an n+ npar;18 xes divisible por12 x Resp:La divisin es exacta 4)Dividir:1111+aa Solucin: 1111+aa tiene la formab ab an n+ 111+ ano es divisible por1 a Resp:La divisin no es exacta, el residuo: F(1) = (1)11 + 1 =2 5)Hallar el cociente: 81 27 9 3332 3 45 5+ + + + =x x x xxx 6)Hallar el cociente:

2 23 3b ab ab ab a+ + = - 52 -lgebra Bsica para Preuniversitarios PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO TEOREMA DEL RESIDUO 1.Sisereparten(3x2+2x1)hectreasdeterrenoenpartesigualesentre(x+1) personas, a cada cual le corresponden: a) (3x 5) has.b) (3x 1) has. c)(3x + 1) has.d)(3x2 + x) has. 2.Hallar el residuo de dividirx3 3x2 + 2x 2 entrex + 1: a)8b)9c)8d)9 3.Hallar el residuo de dividir6x3 x2 + 3x + 5 entre2x + 1: a)3b)4c)5d)6 4.Hallar el residuo de dividira6 +a4 8a2 + 4a + 1 entre2a + 3: a)41964b)42964c)4164d) 41964 5.Hallar el resto en la siguiente divisin59 5350 351+ xx x: a)10b)9c)0d)1 6.Hallar el resto de215 +xx x: a)30b)31c)32d)33 7.Hallar el resto de11 3 5 411 20 300 + xx x x: a)1b)2c)3d)4 8.Por divisin sinttica hallar el cociente de:x3 x2 + 2x 2entrex + 1 a)x2 2x + 4 b)x2 + 2x 4c)x2 4x + 4 d)x2 2x 9.Por divisin sinttica hallar el cociente de:n4 5n3 + 4n 48entren + 2 a)a4 2 a3 a2b)a2 + 2a 4c)a4 +2 a3 + a2 +2 a +8d)N. A. 10.Determinar el cociente y el residuo de dividir2x4 + 5x3 2x 8entre x + 3. a) q(x) = 2x3 x2 + 3x 11yR = 25 b) q(x) = 2x3 + x2 + 3x 11yR = 24 c) q(x) = x3 x2 + x 11yR = 25 d) q(x) = 2x3 + x2 + 3x yR = 24 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 53 - EJERCICIOS PROPUESTOS TEOREMA DEL RESIDUO Hallar, sin efectuar la divisin, el residuo de dividir: 1) x3 3x2 + 4x 5entrex 2 2)x3 + 5x2 7x + 3 entrex 1 3) x3 + 3x + 5entrex + 1 4)x3 2x2 3x 38 entrex + 3 5) 2x3 7x2 + 5x + 3 entre x 1 6) 3x3 + 4x2 11x 13 entrex 2 7) 2x4 + 3x3 + 7x2 + 6x + 2 entrex + 1 8) 3x4 8x3 9x 7 entrex 3

9) 2x4 3x3 + 4x2 + 17x + 7 entre x 2 10) x5 + x4 + x3 + x2 + x + 22 entrex 2 11)2x5 7x4 - 5x3 + 9x2 24x + 17entrex 4 12)32x5 16x4 + 8x3 4x2 + 2x 1 entre x 1/2 Utiliceelteoremadelfactorparamostrarqueelbinomioxcesunfactordel polinomio dado. Emplee la divisin sinttica segn se requiera: 1)2x3 + 3x2 6x + 1 entrex 1 2) 3x3 9x2 4x + 12entrex 3 3) 5x4 + 8x3 + x2 + 2x + 4 entrex + 1 4) 3x4 + 9x3 4x2 9x + 9entrex + 3 5) 2x5 + 11x4 12x3 5x2 + 22x 8entrex 4 6) 3x5 + 17x4 + 17x3 + 35x2 4x 20entrex + 5 7) x6 x5 7x4 + x3 + 8x2 + 5x + 2entrex + 2 8) 2x6 5x5 + 4x4 + x3 7x2 7x + 2entrex 2 9) x3 4ax2 + 2a2x + a3 entrex a - 54 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Calcule un valor de k para el cual x csea un factor del polinomio dado: 1) x3 + 2x2 + 4x + kentrex + 1 2)x3 + 3x2 + kx 4entrex 1

3) 2x4 5x3 + kx2 6x + 8entre x 2 4)3x4 + kx3 + 6x2 9x + 3 entrex 1 Utilice el recproco del teorema del factor para hacer ver que x cno es un factor del polinomio dado: 1) 2x3 + 4x2 4x + 9entrex 2 2)3x3 9x2 + 5x + 12entrex + 3

3) 3x4 8x3 + 5x2 + 7x 3entrex 3 4) 4x4 + 9x3 + 3x2 + x + 4entrex + 2 Utilice la divisin sinttica para hallar el cociente y el residuo:

1) x3 + 5x2 2x 3 entrex 1 2) x3 + 7x2 + 15x 8 entrex + 2 3) 3x3 10x2 + 5x - 7 entrex 3 4) 4x3 - 18x2 11x + 5 entrex 5 5) x4 + x3 3x + 6 entrex 2 6) 3x4 4x3 + x2 7 entrex + 1 7) 2x4 + 5x2 + 3x 3 entrex + 4 8) 2x4 + 2x3 5x2 3x entrex 2 9) 2x5 7x4 + 10x3 22x2 4x 1entre x 3

10)3x5 + 7x4 x3 7x2 2x + 5entre x + 2 11)x6 + 3x5 11x4 + 4x3 5x2 + 7x 12 entrex 2 12)x6 8x4 10x2 + 9 entrex 3 lgebra Bsica para Preuniversitarios- 55 - Cap. 4 FACTORIZACIN Factorizacin de polinomios.-Factorizar una expresin algebraica consiste en escribirla como un producto. Ejemplo: ) 2 )( 3 ( 62+ = x x x xfactorizacinmultiplicacin) 2 )( 3 ( 62+ = x x x xfactorizacinmultiplicacin I)Factor comn.-Se observa si toda expresin tiene uno o ms factores comunes que pueden ser monomios o polinomios. a) Factor comn monomio: Es el factor que est presente en cada trmino del polinomio. Ejemplos: 1) Cul es el factor comn monomio en 12 18 24 x y z + ? Entre los coeficientes es el 6, o sea: ( ) 6.2 6.3 6.4 62 3 4 x y z x y z + = + 2)Cul es el factor comn monomio en:25 15 10 a ab ac ? El factor comn entre los coeficientes es 5 y entre los literales es a,por lo tanto: ( )25 15 10 5 3 2 a ab ac aa b c = 3) Cul es el factor comn en 2 2 2 26 30 12 xy xy xy +? El factor comn: 6xy

( )2 2 2 26 30 12 6 5 2 xy xy xy xy x y xy + = + 4)Factorizar:4 3 3 5 2 2 6 412 6 54 xy xy z xyz + (Factor comn 2 36xy) ( )4 3 3 5 2 2 6 4 2 3 2 2 2 3 412 6 54 6 2 9 xy xy z xyz xy x xyz y z + = + 5)Factorizar:3 2 2 4 2 2 316 8 24 40 xy xy xy xy (Factor comn 28xy) ( )3 2 2 4 2 2 3 2 2 216 8 24 40 8 2 1 3 5 xy xy xy xy xy xy xy y = - 56 -lgebra Bsica para Preuniversitarios b)Factorcomnpolinomio:Eselpolinomioqueapareceencadatrminodela expresin: Ejemplos: Factorizar: 1)( )( ) ( ) 1 2 3 2 x x y x + + Los dostrminos delaexpresindadatienencomofactor comnalbinomio(x2), luego expresamos en la forma: ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 3 2 2 1 3 x x y x x x y + + = + + 2) ( )( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 1 3 1 y x y x x + + + + + Los tres trminos tienen como factor comn al binomio (x + 1), luego:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 3 1 2 1 3 1 1 1 3 2 3 1 4 y x y x x x y y x y + + + + + = + + + = + + 3)Factorizar:( ) ( ) xa b ya b + + + Existe un factor comn que es(a + b) ( ) ( ) ( )( ) xa b ya b a b x y + + + = + + 4) Factorizar: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 am n bm n m n a b = II)Factorcomnporagrupacindetrminos.-Setratadeextraerundoblefactor comn. Ejemplos: 1)Factorizar:ap bp ap bq + + + Se extrae factor comn p de los dos primeros trminos y q de los dos ltimos ( ) ( ) p a b q a b = + + + Se saca factor comn polinomio ( )( ) a b p q = + + 2) Factorizar:( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 xy a mb xy b ma xy a ma mb xy b + + + = + + + ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 a xy m bm xy a b m xy = + + + = + + lgebra Bsica para Preuniversitarios- 57 - 3)Factorizar: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 2 2 3 3 3 2 2 abx y x aby abx aby y x + = + +

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 23 2 3 2 abx y y x ab x y = + + = + 4)Factorizar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2x ax bx ab x x a bx a x a x b + + + = + + + = + + 5)Factorizar: ( ) ( ) ( )2 1 1 2 n n n n n nx ax bx abx x x ax bx ab x x x a bx a+ + + + = + = + ( ( )( ) ( )( )n nx x a a b x x a a b = + = +( III)Trinomio cuadrado perfecto.- Recuerda: Cuadrado de un Binomio, es la operacin inversa. 2 2 22 ) ( y y x x y x + + = + Untrinomioescuadradoperfectocuandoeselcuadradodeunbinomio,osea,el producto de dos binomios iguales: Ejemplo.- 2 22 x x y y + + es un cuadrado perfecto, porque:( )22 22 x y x x y y + = + + Un trinomio es cuadrado perfecto, cuando se ordena con relacin a una letra, el primer y tercertrminosoncuadradosperfectos(otienenrazcuadradaexacta)ypositivosyel segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas. Ejemplos: 1) 2 26 9 x x y y + es un cuadrado perfecto, porque: Raz cuadrada de x2esx .Raz cuadrada de 9y2es 3y El doble producto de estas races es2(x)(3y)=6xyes el segundo trmino. 2) 4 2 2 416 18 25 x x y y + no es un cuadrado perfecto, porque: Raz cuadrada de16x4es4x2. Raz cuadrada de 25y2es5y El doble producto es2(4x2)(5y2)=40x2y2que no es el segundo trmino. - 58 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Reglaparafactorizaruntrinomiocuadradoperfecto.-Seextraelarazcuadradaal primeroytercertrminodeltrinomioyseseparanestasracesporelsignodelsegundo trmino.Elbinomioasformado,eslarazcuadradadeltrinomio,semultiplicaporsi mismo, o se eleva al cuadrado. 2 2 22 ( ) a ab b a b + = Ejemplos: 1)Factorizar: 8 4 2 44 4 x xy y +

x8 4x4y2+4y4x42(x4)(2y2) 2y24x4y2 Luego se tiene: ( )28 4 2 4 4 24 4 2 x xy y x y + = 2)Factorizar:6 3 6 31 14 416 16x x x x + + = + +.Es un trinomio cuadrado perfecto: 23 3 64121614 |.|

\|+ = + + x x x 3) Factorizar: 2 49 12 4 z xz x + + .Es un trinomio cuadrado perfecto:

2 2 4) 3 2 ( 9 12 4 z x z xz x + = + + IV)Diferencia de cuadrados perfectos.-Recuerda Producto de binomios conjugados 2 2) )( ( y x y x y x = + Sedenomina diferencia de cuadrados, a la diferencia de dos expresiones que tienen raz cuadrada exacta. Todadiferenciadecuadradossedescomponeendosfactoresunoeslasumadelas races y el otro es la diferencia de dichas races cuadradas. 2 2( )( ) a b a b a b = + Ejemplos: lgebra Bsica para Preuniversitarios- 59 - 1)Factorizar:24 x ( )( )24 2 2 x x x = + 2)Factorizar:29 y ( )( )29 3 3 y y y = + 3)Factorizar: ( )( )2 29 25 3 5 3 5 x y x y x y = + 4)Factorizar: 6 4 2 3 2 3 24 2 29 3 3x z y x z y x z y| || | = + | |\ .\ . 5)Factorizar: ( )( )2 24 25 2 5 2 5 z a z a z a = + 6)Factorizar:( )( )4 2 21 1 1 w w w = +

( )( )( )21 1 1 w w w = + + V.Trinomio cuadrado perfectopor adiciny sustraccin.- Se explicar mediante los siguientes ejemplos: Ejemplos: 1)Factorizar: 4 2 2 4x xy y + + Primeramente se averigua si este trinomio es cuadrado perfecto: La raz cuadrada de x4esx2. La raz cuadrada dey4esy2 El doble producto de estas races es2x2y2, luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Paraqueseacuadradoperfectohayquelograrqueelsegundotrminox2y2se convierta en 2x2y2,lo cual se consigue sumndolex2y2,para que el trmino no vare hay que restarle la misma cantidad que se suma es decir: x4+x2y2+y4 x2y2 x2y2 x4+2x2y2+y4x2y2=(x4 + 2x2y2 + y4)x2y2 Factorizando el trinomio cuadrado perfecto=(x2 + y2)2x2y2 Factorizando la diferencia de cuadrados=(x2 + y2 xy)(x2 + y2 + xy) Ordenando:( )( )4 2 2 4 2 2 2 2x xy y x xy y x xy y + + = + + + - 60 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 2)Factorizar: 4 2 2 44 8 9 x xy y + + La raz cuadrada de 4x4es2x2.La raz cuadrada de9y4es3y2 El doble producto de estas races es 12x2y2, luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Paraque8x2y2seconviertaen12x2y2lesumamos4x2y2yparaqueeltrinomiono vare restamos4x2y2y tendremos: 4x4+ 8x2y2 + 9y4 +4x2y2 4x2y2 4x4+12x2y2+9y4 4x2y2 = (4x4 + 12x2y2 + 9y4)4x2y2 Factorizando el trinomio cuadrado perfecto=(2x2 + 3y2)24x2y2 Factorizando la diferencia de cuadrados=(2x2 + 3y2 2xy)(2x2 + 3y2 + 2xy) Ordenando:( )( )4 2 2 4 2 2 2 24 8 9 2 2 3 2 2 3 x xy y x xy y x xy y + + = + + + VI)Sumadedoscuadrados.-Engeneralunasumadedoscuadradosnotiene descomposicinenfactoresracionales,esdecir,factoresenquenohayaraz,perohay sumas de cuadrados que, sumndoles o restndole una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y factorizarse. Ejemplo: 1)Factorizar: 8 864x y + La raz cuadrada de64x8es8x4y dey8 esy4. Paraquelaexpresindadaseauntrinomiocuadradoperfectohacefaltaquetengaun segundo trmino de 2(8x4)(y4) =16x4y4entonces al igual que en los casos anteriores, a la expresin dada le sumamos y restamos 16x4y4 y tendremos: 64x8+y8

+ 16x4y416x4y4 64x8+16x4y4 +y8 16x4y4 = (64x8 + 16x4y4 + y8)16x4y4 Finalmente: ( )( )8 8 4 2 2 4 4 2 2 464 8 8 4 8 4 x y x xy y x xy y + = + + + lgebra Bsica para Preuniversitarios- 61 - VII)Trinomiodelaforma 2x bx c + + .-Seconvierteadosbinomiosdesumayse completa con dos nmeros cuyo producto es c y cuya suma sea b. x2 + bx + c = ( + ) ( + ) x2 bx + c = ( ) ( ) 1 Identificarlaresta(debehaberunsolosignonegativo)yluegoloscuadrados perfectos. 2Calcularlasbasesdeloscuadradosperfectos(haciendolarazcuadradadecada uno) 3 Transformarladiferenciadecuadradosenunproductodebinomiosconjugados, formado por dichas bases. Ejemplos: 1)Factorizar:( )( )27 10 5 2 x x x x + + = + + 5 x 2 = 10 y 5 + 2 = 7 2) Factorizar:( )( )210 9 9 1 x x x x + += + + 9 x 1 = 9y9 + 1 = 10 3) Factorizar:( )( )28 12 6 2 x x x x + = (6) (2) = 12 y (6) + (2) = 8 4) Factorizar:( )24 210 25 5 z z z + = (5)(5)=25 y (5) + (5) = 10 5)Factorizar:( )( )24 12 6 2 x x x x + = + 6 (2) =12 y 6 +(2) = 4 (el 6 va en el binomio de suma) 6)Factorizar:( )( )24 5 5 1 x x x x + = + 5 (1) = 5 y 5 + (1) =4 (el 5 va en el binomio de suma) 7)Factorizar:( )( )28 20 10 2 z z z z = +

10 ( 2) = 20 y 10 + ( 2) = 8 (el 8 va en el binomio de resta) 8)Factorizar:( )( )22 15 5 3 w w w w = + 5 (3) = 15 y 5+ (3) = 2 (el 5 va en el binomio de resta) - 62 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 9)Factorizar:26 216 x x + Buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 6 y el producto 216, los cuales no se ven fcilmente. Para hallarlos, se descompone en factores primos el tercer trmino: 2162 Con estos factores primos1082 formamos dos productos. 542 Por tanteo, variando los273 factores de cada producto 93 obtendremos los dos nmeros 33 que buscamos, as: 1 2 2 2 = 83 3 3 = 272 2 2 3 = 24 3 3 = 92 2 3 = 122 3 3 = 18 27 8= 19, no sirven24 9= 15, no sirven18 12= 6, sirven Los nmeros buscados son 18 y 12, porque su diferencia es 6 y su producto 216: ( )( )26 216 18 12 x x x x + = + 10)Factorizar:266 1080 a a + Descomponiendo 1080se tiene: 10802 2 2 2=83 3 3 5=105 5402 2 2 2 3=243 3 5=45 2702 2 3 5 =302 2 3 3=36 1353453 105 + 8 = 113, no sirven 153 45 + 24 = 69, no sirven 55 30 + 36 = 66, sirven 1 ( )( )266 1080 36 30 a a a a + = VIII)Mtodo de las aspas.-Se aplica solo para trinomios de la forma2ax bx c + + .El trinomio se descompone de la siguiente forma: El1er.trmino:En dos factores que den resultado al primer trmino. El3er.trmino:En dos factores que den resultado al tercer trmino. Ejemplos: lgebra Bsica para Preuniversitarios- 63 - 1)Factorizar:28 2 3 x x Descomponiendo el 1er. y 3er. trminos: 8x2 2x 34x 3= 6x 2x + 1=4x--------- 2x ( )( )28 2 3 4 3 2 1 x x x x = + 2)Factorizar:22 15 x x + Descomponiendo el 1er. y 3er. trminos: x2 +2x 15 x+5+5x x3 3x +2x ( )( )22 15 5 3 x x x x + = + 3)Factorizar:23 7 2 x x + + 3x2 +7x+2 3x1x x26x 7x ( )( )23 7 2 3 1 2 x x x x + + = + + 4)Factorizar:28 2 3 x x 8x2 2x 3 4x 3 6x 2x14x 2x ( )( )28 2 3 4 3 2 1 x x x x = + 5)Factorizar:224 26 5 x x 24x2 26x 5 6x14x 4x 5 30x 26x ( )( )224 26 5 6 1 4 5 x x x x = + 6) Factorizar:26 13 6 x x + + 6x2 + 13x+ 6 3x24x 2x39x 13x ( )( )26 13 6 3 2 2 3 x x x x + + = + + IX)Cubo perfecto de binomios.- Recuerda cubo de un binomio 3 3 2 2 3( ) 3 3 x y x xy xy y + = + + + Se calculan sus races cbicas; dichas races sern las bases. Luego se determina el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, y el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda. Si estos clculos figuran en el cuatrinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto. - 64 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Ejemplos: 1)Factorizar: 3 2 2 38 36 54 27 a a b ab b + + 3 3 3 32 22 28 2 ; 27 33.(2) .( 3) 363.(2).( 3) 54a a b ba b a ba b ab= = = = Es un cuatrinomio cubo perfecto: ( )33 2 2 38 36 54 27 2 3 a a b ab b a b + + = 2)Factorizar:3 21 3 318 4 2x x x + 3 332 221 1; 1 18 21 33.( ) .( 1)2 41 33.( ).( 1)2 2x xx xx x= = = = Es un cuatrinomio Cubo Perfecto 33 21 3 3 11 18 4 2 2x x x x| | + = |\ . 3)Factorizar: 3 2 2 327 27 9 a a b ab b + + +

Raz cbica de 27a3 = 3 a Raz cbica de b3 = b

El 2 trmino:3(3 a)2.b = 3(9 a2).b = 27a2b

El tercer trmino:3(3 a) (b)2 = 9ab2

( )33 2 2 327 27 9 3 a a b ab b a b + + + = + 4)Factorizar: 3 2 3 28 96 64 48 m mn n m n + Ordenarlo con relacin a la letra m:

3 2 2 38 48 96 64 m m n mn n + Los signos van alternados, se trata del cubo de una diferencia:

( )33 2 2 38 48 96 64 2 4 m m n mn n m n + = X)Suma o diferencia de cubos perfectos.-Se denomina suma de cubos a la suma de dos cantidades donde ambas tienen raz cbica exacta. De los productos notables:(a + b)(a2 ab+ b2)=a3 + b3 (a b)(a2 + ab+ b2)= a3 b3 a) Suma de cubos: Es el producto del dos factores, el primero formado por la suma de lasbasesyelsegundofactorformadoporelcuadradodelaprimerabase,menosel producto de las dos bases ms el cuadrado de la segunda base. ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b + = + + lgebra Bsica para Preuniversitarios- 65 - b)Diferenciadecubos:Eselproductodeldosfactores,elprimeroformadoporla diferenciadelasbasesyelsegundofactorformadoporlasumadelcuadradodela primera base, mas el producto de las dos bases ms el cuadrado de la segunda base. ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b = + + Ejemplos: 1)Factorizar: ( ) ( ) ( )( )3 33 3 2 28 27 2 3 2 3 2 6 9 x y x y x y x xy y + = + = + + 2)Factorizar:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 25 3 5 5 3 5 5 3 5 3 5 5 x x x x x x x x (+ + = + + + + + (

| |2 2 26 2 25 30 9 5 25 3 15 10 25 x x x x x x x x( = + + + + + +

| | | |2 22 3 1 21 42 49 14 3 1 3 6 7 x x x x x x(( = + + = + + 3)Factorizar:( ) ( ) ( )3 3 333 2 125 3 2 5 x x x x =

( ) ( ) ( )( ) ( )2 23 2 5 3 2 3 2 5 5 x x x x x x (= + +(

| | | |2 2 2 22 2 9 12 4 15 10 25 2 1 49 22 4 x x x x x x x x x(( = + + + = + + 4)Factorizar:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 21 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x ( = + + (

| |2 2 21 1 2 1 1 1 2 x x x x x x x x x( = + + + ++ +

| | | || | | |2 322 2 2 1 2 1 1 2 1 x x x x x x( = + = = XI.Sumaodiferenciadedospotenciasiguales.-Estecriterioseempleapara descomponer en factores, expresiones de la forman ny x , donde n es entero y positivo, por cocientes notables las expresiones de la forma: 1)n na ba bSiempre es divisible2)n na ba b++Es divisible sines impar 3)n na ba b+Es divisible sines par4)n na ba b+Nunca es divisible - 66 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Ejemplos: 1) Factorizar: 5 532 x y + La raz quinta de x5esx,de32y5es2y, entonces: ( ) ( )( )55 5 5 4 3 2 2 3 432 2 2 (2) (2 ) (2 ) (2 ) x y x y x y x x y x y x y y + = + = + + + ( )( )4 3 2 2 3 42 2 4 8 16 x y x xy xy xy y = + + + 2) Factorizar: 7 14x y + desarrollando se tiene: ( ) ( )( )77 14 7 2 2 6 5 2 4 4 3 6 2 8 10 12x y x y x y x xy xy xy xy xy y + = + = + + + + Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin (Ruffini).-Al estudiar ladivisibilidad por x ademostramos que si un polinomio entero y racional en x se anula para x = a, el polinomio es divisible por x a. Este mismo principio aplica a la descomposicin de un polinomio en factores por el Mtodo de Evaluacin. Ejemplos: 1)Descomponer aplicando el mtodo de Ruffini: 3 22 2 x x x + Los factores del trmino independiente 2 son: + 1,1, + 2y 2. Veamos si el polinomio se anula para x = 1, x = 1, x = 2, x = 2. Siseanulaparaalgunosdeestosvalores,elpolinomioserdivisibleporxmenosese valor. 1+21 2 Coeficientes del polinomio +1+1+3+2 1+3+20Coeficientes del cociente El residuo es 0, el polinomio dado se anula para x = 1, luego es divisible por (x 1) Cociente: 23 2 x x + + . El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente:

( )( ) ( )( )( )3 2 22 2 1 3 2 1 1 2 x x x x x x x x x + = + + = + + lgebra Bsica para Preuniversitarios- 67 - 2)Descomponer por evaluacin: 3 23 4 12 x x x + Los factores de 12 son: (1,2,3,4,6y 12) 13 4 12 Coeficientes del polinomio +1+12 612 6 6Coeficientes del cociente El residuo es 0, el polinomio dado no se anula para x = 1, no es divisible por (x 1) 13 4 12 Coeficientes del polinomio 1 1 4 0140 12Coeficientes del cociente El residuo es 12, el polinomio no se anula para x = 1y no es divisible por (x+ 1) 1 3 4 12Coeficientes del polinomio +2+22 1211 6 0Coeficientes del cociente El residuo es 0, luego el polinomio se anula para x= 2 y es divisible por (x 2) Cociente: 26 x x

( )( ) ( )( )( )3 2 23 4 12 2 6 2 3 2 x x x x x x x x x + + = = + - 68 -lgebra Bsica para Preuniversitarios EJERCICIOS RESUELTOS Factor comn: 1) ( )2 3 2 4 3 5 4 2 2 2 3 312 24 36 48 12 1 2 3 4 m n m n m n m n m n mn m n m n + + = + + 2) ( )4 12 4 1 3n n n n+ = + 3) ( ) ( ) ( )( ) bx a x x a x a b x + = + 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 23 3 37 8 8 7 ( 8) 8 7 8 m x b x x m x x m x + + = + + = + 5) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 3 1 2 1 3 1 3 x x x x x x x x + + ( )( ) ( )( )( ) 1 ( 2)( 3) ( 2) 1 3( 3) 1 3 2 1 3 x x x x x x x x + + = + + ( )( )( ) 1 3 2 x x x + Agrupacin de trminos: 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ax by bx ay ax bx ay by xa b ya b a b x y + + + = + + + = + + + = + + 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 3 2 2 21 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x + ++ = + + + = + + + = + + 8) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 2 6 3 2 6 3 2 3 a b b x ax a b b x ax a b xb a + = + = +

( ) ( ) ( )( )2 2 23 2 3 3 1 2 a b x a b a b x = = 9) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 am an a m n am n m n + + = + + + ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 1 2 1 am n m n m n a = + + = + 10) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 3 2 2 21 1 1 a a a x a x a a a x a + ++ + + = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 aa a x a a a x = + + + + + = + + +

lgebra Bsica para Preuniversitarios- 69 - Trinomio cuadrado perfecto: 11) ( )24 2 2 4 2 2 21 49 14 49 14 1 7 1 xy xy xy xy xy + + = + + = +

12) ( ) ( )22 22 1 2 1 1 x x x x x + = + =

13) ( )3 2 2 3 3 3 2 232 200 160 8 4 25 20 a x y a xay a x y xy + = +

( ) ( )23 2 2 38 4 20 25 8 2 5 a x xy y a x y = + =

14) | | | | ( )2 2 224( 1) 4( 1) 1 2( 1) 1 2 2 1 2 3 x x x x x + + + + = + + = ++ = +

15) | |22 2 2 29( ) 12( ) 4( ) 3( ) 2( ) x y x y x y x y x y + + + = + +

( ) ( )2 23 3 2 2 5 x y x y x y = + + = Diferencia de cuadrados: 16) ( )( ) ( )( )( )4 2 2 21 1 1 1 1 1 x x x x x x = + = + + 17) ( ) ( ) | || | | || |2 22 ( ) ( 2) ( ) ( 2) 2 2) 2) a x x a x x a x x a x a x x + + = + + + + + = + + + | || |2 2) 2) a x a = + + 18) ( ) ( )( )22 2 2 22 a ab b x a b x a b x a b x + + = + = + + + 19) ( ) ( ) | || |22 2 2 21 2 1 2 1 1 ( ) 1 ( ) a d ad a ad d a d a d a d + = + = = + ( )( ) 1 1 a d a d = + + 20) ( ) ( ) | || |2 25 4 43 2 (5 4) 2(3 2) (5 4) 2(3 2) x x x x x x + = + + +

| || | ( ) ( )5 4 6 4 5 4 6 4 11 8 11 8 x x x x x x x x = + + = = + - 70 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Trinomios de la forma 2n nx bx c + + : 21) ( )( )6 3 2 3 315 26 13 2 x xy y x y x y + = 22) ( )( ) ( )( )( )4 2 2 2 28 9 9 1 9 1 1 x x x x x x x + = + = + + 23) ( )( ) ( )( )( )( )4 2 2 210 9 9 1 3 3 1 1 x x x x x x x x += = + + 24) ( )( )8 4 4 410 16 8 2 x x x x + = 25) ( )( )2( ) x ab cdx abcd x ab x cd + + = 26) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )5 3 4 2 2 240 144 40 144 36 4 6 6 2 2 x x x x x x x x x x x x x x + = + = = + + 27) ( )( ) ( )( )( )( )6 3 3 3 2 27 8 8 1 2 2 4 1 1 x x x x x x x x x x = + = + + + + Trinomio de la forma2n nax bx c + + : Mtodo del aspa 28)4 26 5 6 x x + 3x2 2 4x2 2x23 9x2 5x2 ( )( )4 2 2 26 5 6 3 2 2 3 x x x x + = + 29) 6 35 4 12 x x + 5x3 6 6 x3 x32 10x3 4x3 ( )( )6 3 3 35 4 12 5 6 2 x x x x + = + 30) 2 2 2 211 6 4 4 11 6 xy y x x xy y + + = + 4x 3y 3xy x 2y 8xy 11xy ( )( )2 211 6 4 4 3 2 xy y x x y x y + + = 31)6 37 33 10 y y 7y3 2 2y3 y3 5 35y3 33y3 ( )( )6 3 3 37 33 10 7 5 2 y y y y = + lgebra Bsica para Preuniversitarios- 71 - Factorizaciones cbicas: 32) ( )32 3 2 3 3 2 2 33 3 3 3 xy y xy x x xy xy y x y + + + = + + + = + 33) ( )36 4 2 23 3 1 1 x x x x + + + = + 34) ( )32 6 9 6 3 4 9 6 2 3 4 6 3 23 9 3 3 3 yx x y xy x xy xy y x y + + + = + + + = + 35) ( )( )3 3 3 28 2 2 2 4 x x x x x = = + + 36) ( )( )3 3 2 2x y x y x xy y + = + + Mtodo de Ruffini: 37)37 6 x x + 10 76 11 1 611 60 x2 + x 6= (x + 3) (x 2)

( )( )( )37 6 1 3 2 x x x x x + = + 38) 3 22 17 6 x x x + + 12 176 3315 615 20 x2 + 5x 2No es factorizable

( )( )3 2 22 17 6 3 5 2 x x x x x x + + = + 39)4 215 10 24 x x x +

10 15 10 24 11 1 14 24 11 14 240 2 2 224 11 120 ( )( )( )( )( )( )( )21 2 121 2 4 3x x x xx x x x= + = + + 40)312 16 m m + 10 1216 22 4 16 12 8 0 ( )( )( )( )( )( ) ( )222 2 82 4 22 4m m mm m mm m= + = + = + - 72 -lgebra Bsica para Preuniversitarios Completando cuadrados y otros: 41) ( )24 2 4 2 2 2 4 2 2 2 21 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x + + = + + + = + + = +

( )( ) ( )( )2 2 2 21 1 1 1 x x x x x x x x = + + + = ++ + 42) ( ) ( )224 4 2 2 4 2 2 264 64 16 16 16 64 (4) 8 4 x x x x x x x x x + = + + = + + = +

( )( ) ( )( )2 2 2 28 4 8 4 4 8 4 8 x x x x x x x x = + + + = + + + 43) 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2( 2 ) x xy y x xy y xy xy x xy y xy + + = + + + = + +

( ) ( ) ( )( )222 2 2 2 2 2x y xy x xy y x xy y = + = + + + 44) ( ) ( )5 5 2 2 5 2 2 2 3 21 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x ++ = ++ + = + ++ = + ++

( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 3 21 1 1 1 1 x x x x x x x x x x = ++ + ++ = ++ + 45) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 29 2 9 2 9 x a ab b x a ab b x a b + = + =

( )( ) ( )( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 3 x a b x a b x a b x a b = + = + + 46)( )22 2 2 2 24x a a x y + ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 xa a x y xa a x y ((= + + + 2 2 2 2 2 22 2 ax a x y ax a x y(( = + + + ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 x ax a y y x ax a ((= + + + ( ) ( )2 22 2x a y y x a ((= + ( ) ( ) ( ) ( ) x a y x a y y x a y x a = + + + + ((((

| || || || |x a y x a y y x a y x a = ++ + + +

lgebra Bsica para Preuniversitarios- 73 - PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO FACTORIZACIN 1.Al factorizar 2m mn se obtiene: a)( 1) mn mb) 2( ) m m n c)( ) m m n d)(1 ) m n 2.Al factorizar 21 a se obtiene: a) 2(1 ) a b) ( ) (1 ) 1 a a +c) ( ) ( 1) 1 a a + d) (1 ) a a

3.Factoriza213 12 x x + + a) ( ) ( 4) 3 x x + +b) ( ) ( 6) 2 x x + + c) ( ) ( 12) 1 x x d) ( ) ( 12) 1 x x + + 4.La expresina a +2es equivalente a: a) ( ) 1 + a ab)2a c) 3a d)22a 5.La expresin equivalente a 3 6x x es: a) 3x b)9xc) ( ) 13 3 x xd) ( ) x x x 3 3 6.Factorizar la siguiente expresin: 4 3 24 2 12 9 x x x x + + a)( )223 x +b)( ) ( )2 21 3 x x +c)( ) ( )2 21 3 x x d)( )21 x 7.Factorizar la siguiente expresin: 2 2 22 2 2 x y z xy xz yz + + + + + a) ( )2x y z +b)( )2x y z + c)( )2x y z + + d)( )22 x y z + + 8.La expresin 2 3 x x xm m m + + es igual a: a)6xmb)2(1 )x x xm m m + + c)2 3(1 )xm m m + +d) 63xm 9.El trinomio 242 x x se puede escribir como: a) ( )( ) 7 6 x x b)( )( ) 6 7 x x + +c)( )( ) 6 7 x x +d) ( )( ) 7 6 x x + - 74 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 10.Indicar uno de los factores de: 3 3 2 2x y xy xy + + + a) x y b)2 2xy c)x d) 2 2x y + 11.Factorizar: 6 41 x x x es:

a) ( )( ) 1 2 x x + b) ( )( )41 2 x x x + c)( )( )41 2 x x x d) ( )41 x x + 12.Factorizar 5 4 3 22 6 4 13 6 x x x x x + + a)( ) ( )( )31 3 2 x x x + + b)( ) ( )( )31 3 2 x x x c) ( ) ( )( )31 3 2 x x x + + +d) ( ) ( )31 3 x x +

13.Alfactorizarla expresin 22 5 3 x x , seobtiene( )( ) 2x a x b + +.Entonces, los valoresdeayb son respectivamente: a)1 y 3b)3 y 1 c)1 y 3d)1 y 3 14.Decir cul de las siguientes opciones es correcta. a) ( )( ) 4 7 28 32+ = x x x x b) ( )( ) 1 2 4 1 2 1 82 6+ + + = + a a a ac) ( )( ) ( )( ) y x a y x y x a + + = + + 1 4 4 d) ( )( ) a x a x a x 9 4 9 4 36 162 2+ = 15.Slo una de las siguientes opciones es falsa, decir cul es. a) ( ) ( )( ) ( ) | |2 2 3 3z z y x y x z y x z y x + + + = + b) ( ) ( ) ( )( ) y x b y x b y x 2 5 2 1 2 5 2 2 5 + = + c) ( )( ) y x y x y x 2 2 3 12 32 2+ = d) ( )2 23 11 9 66 121 = + x x x 16.Slo una de las siguientes opciones es correcta, decir cul es. a) ( )2 2 2 24 3 16 9 a xy a y x = b)( )2 24 1 4 4 1 y y y + = + + c)( )( ) 2 2 3 12 32 + = x x xd) ( )2 24 16 8 = x x x 17.Slo una de las siguientes opciones es correcta, decir cul es. a) ( )( )( )( ) x x x x x + + + = + 1 1 1 1 12 4 8c) ( )( ) 4 2 2 82 3+ + + = + x x x xb) ( )3 2 2 3 36 12 8 2 y xy xy x y x + = + d) ( )( ) 9 3 3 272 3+ + = a a a a lgebra Bsica para Preuniversitarios- 75 - 18.Factorizar: 5 2 38 8 x x x + a)( ) ( )( ) 4 2 2 12 2 + + x x x xb)( )( ) ( )( ) x x x x + + 1 1 2 22 c)( )( )( )( ) x x x x x + + + 1 1 4 2 22 d)( ) ( )( ) x x x + + 1 1 23 19.Factorizar: 3 2 2 38 4 2 y xy y x x + a)( )( )( ) y x y x y x 2 2 2 +c)( )( ) y x y x 2 22 2 b)( )( )( ) y x y x y x 2 2 2 + + +d)( )( )2 24 2 2 y xy x y x + + 20.Descomponer en factores:12 72 4+ x x a)( )( ) 4 32 2+ x xb)( )( )( )( ) 2 2 3 3 x x x x c)( )( ) 4 32 2 + x xd)( )( )( )( ) 2 2 3 3 + + x x x x 21.Diga cules son los factores de:( ) ( )2 2t s y x + + a)( ) ( )22 2 2 22 2 t st s y y x + + + + +b) ( )( ) t s y x t s y x + + + c) ( )( ) t s y x t s y x + + + + d) ( ) | |25 t y x + + 22.Descompngase en factores: 2 225 30 9 y xy x + a)( )( ) y x y x 5 3 5 3 + b) ( )( ) y x y x 5 3 5 3 c)( )( ) y x y x 3 5 3 5 d)( )( ) y x y x 3 5 3 5 + + 23.Al factorizar cd bc ad ab +uno de sus factores corresponde a: a) c a b) b a + c) a c d) d b 24.La factorizacin de 12 10 82 + x xcorresponde a: a)( )( ) 2 3 8 + x x b)( )( ) 3 2 8 + x x c)( )( ) 2 3 4 2 + x xd)( )( ) 2 3 4 2 + x x 25.La factorizacin de5 52 2 xy y x corresponde a: a) ( )4 42 y x xy b)( ) ( )2 22 y x y x xy + c)( )( )( ) y x y x y x xy + +2 22 e)( )( )2 2 2 22 y x y x xy + 26.Un trinomio cuadrtico que NO es factorizable corresponde a: a) 2 7 32+ x x b) 4 42+ x x c) 4 5 32+ x x d)24 4 x x + + - 76 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 27.La factorizacin de la expresin 4 581 xy xcorresponde a: a) ( )( ) y x y x x + 3 92 2 b) ( )( )( ) y x y x y x x + + 3 3 92 2 c) ( )( )33 3 y x y x x + d) ( )( )23 3 y x y x x + 28. Al factorizar la expresin ( ) ( ) b c b a 1 1se obtiene: a) ( )( ) c a b + 1 b) ( )( ) c a b + 1 c) ( )( ) c a b 1 d) ( )( ) c a b 1 29.Al factorizar la expresin( ) ( ) n x n m 1 1se obtiene: a) ( )( ) x m n 1b) ( )( ) x m n + 1 c) ( )( ) x m n 1 d) ( )( ) x m n + 1 30.La expresin( ) ( ) 1 4 + b aes una factorizacin de la expresin polinomial: a) 4 4 ab a b + b) ab b a + + 4c) 1 4 + + b b ad) 4 4 + + a b ab 31. Cul(es) de las expresiones siguientes es(son) factor(es) de la expresin algebraica 20 x 6 x 22 ? I)2 II)(x 5) III)(x + 2) a)Slo I b)Slo IIc)Slo I y IId)I, II y III 32.Cul(es)de las siguientesexpresioneses(son)factor(es) de 24 4 3y yx x ? I)2xy 3II)2xy + 3III)2xy + 1 a)Solo Ib)Solo IIc)Solo I y IId)Solo I y III lgebra Bsica para Preuniversitarios- 77 - EJERCICIOS PROPUESTOS FACTORIZACIN 1.Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: a)1002 yb)281 x c)2169 x d) 642 t e)4 625 9 a a f)41296 a g)29 144 t h)262 x i)6 6y x j) 812 z k)10 10b a l) 3 3x y 2. Factoriza los siguientes trinomios cuadrticos: a) 12 4 252 + x x b)2 215 6 y xy x c) 10 33 72 x x d) 9 12 42+ + x xe) 14 13 32+ x xf) 10 72+ + x x g) 49 142+ + z z h) 81 182+ x x i)36 122+ y y 3.Determinaslossiguientestrinomiossoncuadradosperfectos,sesas, factorzalos: a)64 162+ + y yb) 49 242+ z z c) 139 282+ w w d) 144 242+ w w e)169 262+ + y yf) 36 48 162+ x x g)24 28 49 y y + h)64 162+ + y yi) 49 242+ z z j) 139 282+ w w k) 144 242+ w w l)169 262+ + y y 4.Expresa como un producto de tantos factores como sea posible: 1) 30m2n2 + 75mn2 105mn32)28pq3x + 20p2qx2 44p3qx + 4pqx 3)14mp + 14mq 9np 9nq4)21ax + 35ay + 20y + 12x 5)175ax + 75ay 25bx 15by 6)20abc 30abd 60b2c + 90b2d 7)10abx2 + 4ab2x2 40aby2 16ab2y28)x2 + xy + xz + yz 9)25a 30ab + 15ab210) ab + a b 1 11)25x6 4y4 12) ap + aq + bm + bn - 78 -lgebra Bsica para Preuniversitarios 5.Factorizar aplicando los mtodos aprendidos: 1) 125 z3 + 64 y3

3) a3 9b2 27b3 + a2

5) 8b2 m2 + 24b2mn + 18b2 n2

7) 64m3 27y3

9) x2a y2b

11)16x4 25y2

13)27x3 54x2y + 36xy2 8y3

15)12x2 29x + 15

17)10m2 13mn 3n2

19)9a2 6ab + b2 25x2 + 10xy y2 21)(x + y)2 + 2 (x + y) 15

23)4a2mx + 8a2nx 2a2my 4a2ny

25)8x3 12x2y + 6xy2 y3

27)4x2 + 4xy + y2 18x 9y + 18

29)12x2z + 8y2z 15wx2 10y2w

31)a4 + 2a3 a2 2a

33)6x2 + 23x + 17

35)(a b)2 + 2 (a b) 24

37)m2 b2 2mn + n2 39)8a3 b3 41)6x4 11x3 10x2

43)4x2 12xy + 9y2 4a2b2 45)x4y x2y3

47)a2 b2 + a b 2) y6 26y3 27

4) 16 a4 24 a2 b + 9b2

6) 4x2 + 10x 6

8) 25x2 36y2

10)a2b3x2 n4 + a2b3 3a2b3x n4x2 + 3n4x

12)4x2y2 (x2 + y2 z2)2

14)6b2 + 13b 28

16)(x2 + 8x + 16) ( y2 + 2y + 1)

18)a3 + b3 a2 2ab b2 a b

20)x2 2xy + y2 + 6x 6y + 8 22)6(x + y)2 + 5(x + y) 6

24)m3 + n3 + m2 m n + n2

26)2x3 28x2 + 98x

28)3x2 17x + 10

30)x6 + 7x3 44

32)(m n)2 8 (m n) + 16

34)20a2 + 7a 6

36)3a2 + 5a 22 38)51x2y2 34xy2 17xy

40)b3 + 12 a2 b + 6a