ÁLGEBRA Aula 4 Classificação das Funções Professor … · O símbolo “–1” em f -1 não...

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Aula 4 _ Classificação das Funções

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA

FUNÇÃO INJETORAÉ quando quaisquer dois elementos diferentesdo conjunto A têm imagens diferentes noconjunto B.

0

-3

2

4

1

6

8

Ou seja, “x” diferente

tem “y” diferente !!!

A B

2

FUNÇÃO SOBREJETORAÉ quando o conjunto Imagem da função forigual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD )

-1

1

3

1

9

Se M é o conjunto das mulheres

e H é o conjunto dos homens,

então não se pode ter homem

solteiro !!!M H

3

FUNÇÃO BIJETORAÉ uma função simultaneamente injetora esobrejetora.

-1

3

7

Ou seja, homens

e mulheres com os

mesmos direitos !!

1

5

9

M H

Injetora: “x” diferente

tem “y” diferente

Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

4

Testando seus conhecimentos1º) Classifique as funções como bijetora,

sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas:

é injetora é sobrejetora

a) b)

123

4567

123

4

6

5

é bijetora

não é sobrejetora, nem injetora

c) d)

123

456

123

345

1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: 6

2º) (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que

associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f :

a) é injetora e não é sobrejetora.b) é injetora e é sobrejetora.c) não é injetora e é sobrejetora.d) não é injetora e não é sobrejetora.

EuThiagoMailsonFrancisliClaúdiaDennys

1,73 -21,75 10

1,70 -2,31,61 0

√2 π

B R

Existem brasileiros com a mesma altura, portanto , “ f ” não é injetora!

Sobram elementos no conjunto contra domínio, portanto, “ f ” não é sobrejetora!

Resp.

(d)

7

3º) (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola de E

associa seu número de professores, então:a) f é uma função sobrejetora. b) f não pode ser uma função bijetora.c) f não pode ser uma função injetora. d) f é necessariamente uma função injetora.

IFRN“Empregad”éstica

Maris”bela”Flo”foca”

Over”dopping”Conte”râneo”

23 10131214

E P

Resp.

(a)

8

x y

D R

f(x)

f -1(x)

FUNÇÃO INVERSA:A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o

seguinte procedimento:

1º) Isola “x”;

2º) Troca “x” por “y” e vice versa.

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O símbolo para a

função inversa de f

é f -1 e lê-se “função

inversa de f”.

O símbolo “–1” em f -1 não é um expoente;

f -1(x) não significa 1 / f(x).

TESTE DA RETA HORIZONTAL

Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da

mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta

horizontal.

EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa ?

reta horizontal

x

y ou f(x)y=x2 ou f(x)=x2

2-2

4

0

FUNÇÃO INVERSA:

Conclusão: a função f(x)=x2 não tem inversa.

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4º) (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x – 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é:

A) (x + 3) : ( 3x – 1)B) ( 3x + 1) : ( 3 – x) C) ( 2x – 1) : (x + 1)D) ( 3x – 1) : (x + 3)

Vejamos:y = ( 3x – 1) : (x + 3)y = _3x – 1_

x + 3 1º) Isolando “x” ;_3x – 1_ = y

x + 3

3x – 1 = y . (x + 3) 3x – 1 = y . x + 3.y

3x – y . x = 3.y + 1 Colocando x em evidência:x .(3 – y) = 3.y + 1

x = _3.y + 1_3 – y 2º) Troca x por y.

y = _3.x + 1_ = ( 3.x + 1) : ( 3 – x) 3 – x

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FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)

exemplo:f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4

FUNÇÃO ÍMPAR:

f(a) = - f(-a)

exemplo:f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³

Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y.

Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.

y

x

f(x) = x²

y

x

f(x) = x³

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5º) a) Verifique se f(x) = 2x³ +5x é par ou ímpar:

Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7Logo f(x) = 2x³ +5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)

ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)

b) Mostre que f(x) = 3x² é par:

Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3

Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

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6º) Sendo o gráfico ao

lado de f(x), o gráfico

de f(– x) será :

Resp.:E

f(x) = f(-x)

Lembre-se:

Se

Então a função “f” é

par e ela é simétrica

ao eixo “y”.

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A função f écrescente

A função f écrescente

A função g édecrescente

A função g édecrescente

a b

g

g(a)

g(b)

a b

ff(a)

f(b)

O a b

f

f(a)

f(b)

O a b

g

g(a)

g(b)

Diz-se que f é crescentef se para a < b, então f(a) < f(b).

FUNÇÃO CRESCENTE ou DECRESCENTE:

Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

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7º) A partir da análise do gráfico, determine osintervalos onde a função é:

y

x-2 0 2 4 6

a) Decrescente ]0, 4[

b) Crescente ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[

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Função Composta

Função composta

Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x Є A.

AB C

x f(x) g(f(x))

Ex: f(x) = x+2 e g(y) = y2, então h(x) = g(f(x)) = (x+2)2

Se x = 3

Mais exemplos:Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = 3x , calcule:a) f(g(x))

b) g(f(x))

c) f(f(x))

d) g(g(x))

Função Composta

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Qual dos gráficos representa uma função injetora?

2 – Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

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3 – Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

4 – Dadas as proposições:p: Existem funções que não são pares nem ímpares.q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y.r: Toda função de A em B é uma relação de A em B.t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.Podemos afirmar que são falsas:a) Nenhuma b) Todas c) p,q e r d) t e) r e t

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5 – (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:a) 0b) 2/5c) -3d) 3/4e) 4/3

6 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:a) 2b) -2c) 0d) 3e) -3

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7 – (UFRJ) Considere a relação de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta:A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s;B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k;C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k;D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.

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8 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é:A) 2970.B) 2875.C) 2770.D) 2601.

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9 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar

em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção.O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose:A) 7 mB) 9 mC) 8 mD) 10 m

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10 – (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno.

De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são:A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.

X 1 5 20 100

Y 5 25 100 500

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11 – (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode representar uma função?

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12 – (UFRN) Determine o valor da expressão

para a = – 1.

a2

a319.

a2

a31 2

5

3

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13 – Vimos que se uma função “ƒ” é bijetora então ela admite uma função inversa “ƒ -1”. Diante de duas funções, “ƒ” e “g”, podemos obter uma composição entre elas, ou seja, uma função h = ƒ(g(x)) ou j = g(ƒ(x)). Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x – 4, resolva a equação ƒ -1(g(x)) = 0, seguindo o procedimento em cada item:a) Determine ƒ -1(x);b) Na função ƒ -1(x) obtida no item (a), substitua “x” por “g(x)”, em seguida, iguale a zero e resolva a equação;

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RELEMBRANDO:Resolva os exercícios do livro:P.89 _ 4P.95 _ 9P.99 _ 10P.100 _ 11P.101 _ 14 e 15P.107 _ 17 e 19P.112 _ 23 e 25OBS: Foram selecionados 10 exercícios de um total de 36 exercícios do referente capítulo do livro.

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