Algebra de Boole

Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital

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Eng.: Roberto Bairros dos Santos. Um empreendimento Bairros Projetos Didáticos

www.bairrospd.kit.net

Este trabalho tem por objetivo apresentar os conceitos básicos da álgebra Boole permitindo a aplicação dos postulados, teoremas, propriedade e identidades em circuitos eletrônicos digitais facilitando o seu entendimento e simplificação.


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Conteúdo 1 Conceito: ................................................................................................................3 2 O que é uma Funções Lógicas: ..............................................................................4 3 Estados lógicos na eletrônica: ................................................................................5 4 Funções lógicas básicas: ........................................................................................6 5 O circuito Lógico:....................................................................................................8 6 Como descrever uma função lógica: .......................................................................9 7 A tabela Verdade. .................................................................................................10

7.1 Função “E” (AND):..........................................................................................11 7.2 Função “OU” (OR): .........................................................................................13 7.3 Função NÃO (Inversora) (NOT): .....................................................................15

8 Circuito digital:.....................................................................................................17 8.1 Exemplo de análise de circuito digital:...........................................................18

9 Funções especiais:................................................................................................21 9.1 Função “NÃO E” (NAND): ...............................................................................22 9.2 Função “NÃO OU” (NOR):...............................................................................25 9.3 Função “OU EXCLUSIVO” (EXOR): ................................................................27 9.4 Função “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR):......................................................29

10 Postulados da álgebra de Boole: ........................................................................31 10.1 Postulado do produto:.................................................................................31 10.2 Postulado da soma:.....................................................................................32 10.3 Postulado da Inversão:................................................................................33 10.4 Aplicando os postulados na prática: ...........................................................34

10.4.1 Chaves eletrônicas digitais: ..................................................................34 10.4.2 Implementando a função NOT sem usar a porta inversora:..................36

11 Propriedades das funções lógicas: .....................................................................39 11.1 Propriedade Comutativa: ............................................................................40 11.2 Propriedade Associativa: .............................................................................41 11.3 Propriedade distributiva: ............................................................................42

12 Teorema de Demorgan: ....................................................................................45 12.1 Aplicando na prática do Teorema de Demorgan:.........................................47

13 Teorema do Mutual: .........................................................................................49 14 Identidades: ......................................................................................................50 15 Simplificação usando álgebra de Boole: ............................................................54

15.1 Equação na forma da soma de produtos:....................................................55 15.2 Dicas para a simplificação usando álgebra de Boole:..................................56 15.3 Exemplos de simplificação usando a Álgebra de Boole: ..............................57


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1 Conceito: A álgebra de Boole é um sistema completo para operações lógicas. Este sistema é usado para colocar de uma forma matemática o pensamento lógico com base nas alternativas que podem assumir somente duas possibilidades: Falso ou Verddeiro! Seu nome se deve ao matemático inglçês George Boole que foi o primeiro a definir um sistema lógico. A álgebra de boole tem grande aplicação em circuitos digitais como computador, telefones celulares, jogos eletrônicos, microcontroladores, CLP (Controlador Lógico Programável). A álgebra de Boole também é aplicada na programação de computador, programação de CLP, programação de microcontroladores. O conhecimento da álgebra de Boole é fundamental par ao técnico eletrônico. A álgebra de Boole será tratada neste trabalho sempre sob o ponto de vista da eletrônica digital, você irá estudar a álgebra de Boole de forma a poder entender o funcionamento de um circuito digital. O estudo teórico será desenvolvido tendo em vista sua aplicação prática, você verá exemplos práticos em praticamente todos os tópicos. A álgebra de Boole estuda as funções e variáveis lógicas. O conhecimento da álgebra de Boole vai permitir otimizar circuitos digitais. Uma das principais aplicações desta álgebra é na simplificação de funções lógicas, com este conhecimento é possível projetar circuitos digitais menores e mais baratos. O conhecimento da álgebra de Boole pode ser aplicado até mesmo no campo da pneumática, existem circuitos pneumáticos digitais, que usam funções lógicas. O estudo da álgebra de Boole é basicamente matemático, trata as funções lógicas somente sob o aspecto matemático, no entanto, vamos enfocar este assunto tendo em vista a sua aplicação em circuitos digitais. A lógica de Boole foi desenvolvida pelo filósofo e matemático inglês George Boole que morreu em 1864. A álgebra de Boole é base matemática dos computadores digitais modernos, Boole é considerado um visionário e um dos fundadores da ciência da computação. Boole morreu sem ter visto um computador!

George Boole.


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2 O que é uma Funções Lógicas: A álgebra de Boole estuda as funções e operações que utilizam variáveis lógicas. Uma variável só pode assumir dois valores tais que uma vez declarado um valor o outro deve ser declarado de forma que se um for declarado verdadeiro o outro deverá ser declarado falso. Os valores lógicos também são chamados de estados lógicos. Qualquer duas afirmativas declaradas de forma que a existência de uma implica da não existência da outra pode ser considerada um para de variáveis lógicas, veja os exemplos abaixo. No estudo original da lógica de Boole os estados das variáveis lógicas são declarados como Falso e Verdadeiro. Você irá ver esta forma de declarar variáveis no formato inglês False e True principalmente em linguagem de computadores, microcontroladores e especificações de componentes eletrônicos digitais! Veja que se a variável assume o estado Falso com certeza não há duvida que ela não é verdadeira, porque se uma afirmativa é declarado falso não há possibilidade de ser verdadeiro. Na matemática é mais comum tratar as variáveis lógicas como números onde por convenção o número 1(um) significa o equivalente ao estado verdadeiro da álgebra de Boole e o número 0 (zero) é equivalente ao estado falso. Nós vamos usar esta notação nesse trabalho.


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3 Estados lógicos na eletrônica: Em circuitos elétricos os estados das variáveis lógicas são declarados como ligados e desligados. Um circuito ligado com certeza não esta desligado! O significado de ligado ou desligado pode mudar de circuito para circuito ou de componente para componente. O estado ligado mais comum na eletrônica digital é aquele em que a tensão no circuito é igual a +5 V e o estado desligado é aquele em que a tensão é 0V. Na prática existe uma faixa de tensão em o estado pode ser considerado o (zero) e uma faixa de tensão que pode ser considerado 1 (um), estes detalhes serão estudados no momento apropriado, por enquanto vamos considerar ligado como sendo uma tensão próxima de +5V e desligado uma tensão próxima de 0V! Nos diagramas os componentes eletrônicos sempre serão desenhados no seu estado inicial desligado, então uma chave desenhada com os contatos abertos significa que este é no seu estado 0 (zero ou Falso) antes de alguém apertar o botão da chave, se for desenhada com os contatos fechados significa que este é o seu estado (zero ou Falso). Veja o desenho abaixo.

Figura mostrando o diagrama elétrico de chaves e contatos de relês. A figura abaixo mostra três tipos de chaves. A chave mais a direita é uma chave com duas possibilidade de conexão, o desenho mostra o estado da chave antes de ser pressionada!

Exemplo de botões e chaves usadas em automação! Observe o desenho na chave indicando que entre os parafusos de cima a chave possui um contato NF e entre os parafusos de baixo um contato NA! Os contatos NA e NF também são chamados de NC e NO (Normally Close, Normally Open)!


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4 Funções lógicas básicas: Existem três funções lógicas básicas: Função “E”. Função “OU”. Função “Não” ou "Inversora". Estas são as denominações das funções em português, mas estas mesmas funções são também conhecidas com a sua denominação em inglês, mais concisa: Função “AND”, Função “OR” e função “NOT”, assim ao longo deste trabalho você irá usar as duas denominações. A partir das funções básicas é possível desenvolver funções mais complexas, a maioria não recebe uma denominação especial, mas têm algumas que, pelo seu uso, recebem nomes e símbolos especiais, são elas: Função “NAND”. Função “NOR”. Função “EXOR”. Função “EXNOR”. Neste caso, a denominação inglesa é mais usada. Os capítulos seguintes descrevem os detalhes de cada uma destas funções e mostra exemplos de aplicação em circuitos elétricos, linguagem de CLP LADDER e de linguagem de programação C # (se pronuncia C#). Estes exemplos são importantes para que você veja a abrangência da álgebra de Boole. No início do estudo da eletrônica digital no ensino técnico o curso era voltado para as aplicações em circuitos digitais comportas lógicas, porque esta era a tecnologia do momento. Hoje as portas lógicas t~em pouca aplicação em máquinas de automação industrial o CLP e microcontroladores são os dispositivos usados atualmente para esta função. O CLP é programado via PC usando uma linguagem chamada LADDER que é similar ao desenho de um circuito elétrico, os símbolos usados são simples porque na época que o CLP foi inventado os computadores não tinham grande recursos gráficos, o sistema operacional da época era o DOS. O microcontroldor é um dispositivo eletrônico especialmente desenvolvido para controlar máquina, é um microprocessador com circuitos de entrada e saída já montados internamente, isto facilita o uso em controle de máquinas. A programação de um microcontrolador é feita via PC usando uma linguagem de alto nível, normalmente o C++. Um PC normal também pode controlar máquinas desde que seja acrescentada alguma placa especial para entrada e saída de sinais digitais.


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Observe que a tecnologia digital evolui rapidamente, por isto, estudar em detalhes as portas lógicas hoje não mais uma tarefa produtiva, no entanto a álgebra de Bool continua sendo a base teórica para a aplicação destes dispositivos. Você deverá concentrar especial atenção no estudo da álgebra de Boole, pois a tecnologia poderá mudar, mas a base continuará a mesma por um bom tempo ainda!


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5 O circuito Lógico: Um circuito digital é usado para controle de máquinas. O seu funcionamento é baseado na álgebra de Boole. O diagrama abaixo mostra a estrutura de um circuito lógico.

As variáveis de entrada podem ser chamadas em eletrônica de sinais de entrada o mesmo ocorre com as variáveis de saída. O termo entrada e saída também é um termo usado na eletrônica, não é um termo matemático. Chamar as variáveis de entrada e saída fica mais fácil para o técnico entender o processo. Por exemplo: Se o circuito digital é um alarme, os sinais de entrada são: A chave colocada na porta do carro e o botão do controle remoto o sinal de saída irá ligar a buzina do carro, o circuito lógica deverá processar uma função que irá ligar saída quando a porta estiver aberta (chave fechada) e o botão do alarme não estiver acionado!


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6 Como descrever uma função lógica: Uma função lógica pode ser descrita de várias formas: Através da tabela verdade, através da equação lógica ou através de um diagrama lógico, linguagem de CLP Ladder, linguagem de computador C++, Basic etc... Para os matemáticos as equações lógicas são a formas mais importantes de descrever uma função lógica, para o técnico eletrônico ou mecatrônico, a tabela verdade e o diagrama lógico são os mais importantes. Para desenhar um diagrama lógico que represente uma função lógica, existem as portas lógicas, que são símbolos gráficos que expressão uma função lógica. A tabela verdade é um gráfico onde todas as possibilidades de combinação de estados das entradas e das saídas são desenhados. Outra forma de representar uma função lógica é através da programação de CLP chamada LADDER que nada mais é do que um programa de computador que simula um diagrama elétrico! Se você for chamado para consertar um equipamento digital ele vai precisar do diagrama do equipamento. O diagrama é desenhado na forma de portas lógicas. Você deverá conhecer o comportamento das funções lógicas e os símbolos das portas lógicas que representam as funções lógicas! Se você for chamado para consertar uma máquina controlada por CLP, você vai precisar entender o programa escrito em linguagem LADDER que nada mais é do que um diagrama elétrico, isto foi feito para facilitar a vida do técnico. Um circuito elétrico com contatos de chaves em série e paralelo que liga e desliga uma bobina é simples para um técnico entender, neste caso você deve reconhecer as funções lógicas construídas através de circuito elétricas. Programas CLP é um das atividades mais lucrativas para o técnico eletrônico! Se você for chamado para programar um PC usando uma linguagem de computador, você terá que fazer um curso extra para aprender a escrever as funções lógicas usando esta linguagem, este é um trabalho mais apropriado para um técnico em informática. Cada vez mais está aparecendo máquinas controladas por computador, desta forma é aconselhável que você conheça este tipo de programação. A boa notícia é que escrever um programa para controle de máquina não requer todo o conhecimento desenvolvido em cursos de informática. Uma linguagem muito usada no campo da eletrônica é o C++! Por outro lado, um técnico em informática não pode ser contratado para fazer o programa de controle de uma máquina, isto porque ele não entende nada de eletrônico e a máquina vai tratar com componentes eletrônicos. Este é um campo bem promissor para o técnico eletrônico e mecatrônico!


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7 A tabela Verdade. A tabela verdade é a forma mais importante para descrever uma função lógica e consiste de um desenho na forma de uma tabela em que descreve todas as possibilidades que as variáveis de entrada podem assumir e para cada uma das possibilidades é descrito o estado da variável de saída. As variáveis de entrada são descritas normalmente com as letras do início do alfabeto e as de saída com as letras do final do alfabeto. Este trabalho irá estudar funções lógicas até quatro variáveis de entrada. A seqüência com que os valores das variáveis de entrada podem assumir não é relevante, no entanto vamos seguir um padrão que é o mesmo usado por fabricantes de CI para descrever uma tabela verdade. As tabelas verdades abaixo mostram todas as possibilidades para um número de variáveis entre um e quatro!


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7.1 Função “E” (AND): A função “E” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B for 1. Esta função é chamada de produto lógico, pois tem o comportamento exatamente igual ao produto algébrico. A figura abaixo mostra a tabela verdade da função “E” (AND)

Equação literal é descrita abaixo:

A.BZ Note que o símbolo da operação é um ponto não ode ser usado o "x" como na álgebra. Note que basta uma entrada estar com o valor 0 (zero) para que a saída assuma o valor 0 (zero), não importa qual o estado da outra entrada. Você pode dizer que zero vezes qualquer coisa é zero! Símbolo da porta lógica. “E” (AND) é mostrado abaixo.

O circuito abaixo implementa uma função AND:

A lâmpada liga quando a chave A "E" a chave "B" estiverem ligadas! Circuito série! Programa em Ladder (linguagem de CLP):

Note a semelhança com o circuito elétrico descrito acima!


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Linguagem C++; Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = a& b; } Note que a variável deve ser declarada antes do tipo booleana, isto em linguagem de computador significa que esta variável obedece a álgebra de Boole e pode assumir só dois valores FALSE ou TRUE, note a aplicação direta do estudo em curso! Não foi usado o sinal de multiplicação para que o computador saiba que a operação é uma operação lógica!


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7.2 Função “OU” (OR): A função “OU” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 somente quando a entrada A ou a entrada B forem 1. Esta função é chamada de soma lógica, pois tem o comportamento “quase” idêntico a soma algébrica (na soma algébrica 1+1 não é 1 e sim 2). A tabela verdade da função “OU” (OR) é mostrado na figura abaixo:

Equação da função “E” (OR) é mostrada abaixo:

BAZ O símbolo da Porta Lógica “OU” (OR) é mostrado abaixo.

O circuito abaixo implementa uma função OR:

A lâmpada irá acender se a chave A "OU" a chave B estirem ligadas. Circuito paralelo! Programa em Ladder (linguagem de CLP):


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Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = a | b; }


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7.3 Função NÃO (Inversora) (NOT): A função "NOT" inverte o estado lógico da entrada, esta é uma função de uma variável onde a saída é o inverso da entrada! Esta função pode ser chamada de função "NÃO", "Inversora" ou NOT. O mais comum em português é chamar de função inversora! A Tabela verdade da função "Inversora" (NOT) é mostrada abaixo:

A equação da função NOT é mostrada abaixo:

AZ Algumas vezes a função inversora é escrita de forma diferente em função de que desenhar a barra sobre uma letra é complicado em programas do tipo editore de texto. Neste trabalho uma função inversora poderá ser descrita como: Z=A' O símbolo da porta Lógica “NOT” é mostrado abaixo

Observe que o que caracteriza uma função inversora no desenho é a bolinha, o triângulo simboliza um amplificador genérico. Algumas vezes esta porta é desenhada com a bolinha na entrada como na figura abaixo!


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O circuito abaixo implementa uma função inversora:

O circuito usa uma chave normalmente fechada (NF), quando você ligar a chave, a lâmpada irá apagar. Com a chave desligada (desenho) a lâmpada irá acender! Programa em Ladder (linguagem de CLP):

Note o símbolo do contato normalmente fechado! Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !a; }


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8 Circuito digital: Um circuito digital é composto por uma combinação de portas lógicas gerando uma nova função. Os circuitos podem ser os mais variados possíveis, no entanto este trabalho irá abordar circuitos com no máximo 4 variáveis. Neste momento vamos ver o conceito básico para análise de um circuito digital, que é uma das habilidades que o técnico eletrônico ou mecatrônico teve ter! A análise de um circuito digital consiste em levantar a tabela verdade deste circuito. Mais tarde veremos como levantar a equação do circuito a partir da tabela verdade. A análise um circuito digital não é difícil, mas pode ser trabalhosa uma vez que você terá que testar todas as possibilidades, isto é analisar o circuito linha a linha. Em um circuito com duas entradas existem 4 possibilidades, três entradas 8 possibilitar, quatro entradas de 16 possibilidades! Abaixo são mostradas as tabelas verdades com os valores de entrada padronizados!


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8.1 Exemplo de análise de circuito digital: Exemplo 1. O circuito representa uma ova função, você deverá analisar linha por linha para determinar a variável de saída. As figuras abaixo mostram o resultado da análise para cada uma das alternativas!

Circuito digital do exemplo 1 a ser analisado!

Analise do circuito para A=0 B=0. A entrada do CI1 apresenta o valor 1, como o Ci1 é uma inversora a saída assumirá o valor 0! As entradas do CI2 apresentam os valores 0 e 0. A saída será o resultado da lógica CI2=0.0 que é igual a zero. Você poderia ter abreviado este raciocínio se prestasse atenção no circuito e verificasse que o valor zero da entrada B é aplicado direto a uma das entradas da porta AND que calcula o produto lógico, em um produto zero vezes qualquer coisa é zero!

Análise do circuito para A=0 e B=1. Aqui você pode abreviar o cálculo se perceber que o valor 1 da entrada B é aplicado direto a uma das entradas do CI3 que calcula a soma lógica em uma soma lógica se uma das entradas é igual a um a saída será um. Na soma um mais qualquer coisa é um!


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Análise do circuito para A=1 e B=0. Na figura só é mostrado o caminho relevante. Com o zero da entrada B é aplicado uma das entradas do CI2 este assume na saída o valor zero, este valor zero é aplicado a uma das entradas do CI3 que calcula a soma. Como na soma se uma das entradas é zero não dá para afirmar nada sobre a saída, isto vai depender do valor da outra entrada. Olhando o circuito o valor da outra entrada do CI3 é zero também, então a saída será zero.

Análise do circuito para A=1 e B=1. A saída será 1. Transferindo estas análises para a Tabela Verdade (T.V.) temos a solução do circuito. Note que é uma função totalmente nova.

Tabela verdade do circuito 1.


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Exemplo 2. Veja agora a análise do circuito abaixo. Para simplificar o desenho foi desenhado duas vezes a entrada A e B evitando o cruzamento de linhas no desenho, você só deve ter o cuidado de colocar o mesmo valor nos dois locais com letras iguais! Eletricamente elas devem ser no mesmo!

Solução:

Passando para a tabela verdade:

Esta é uma função interessante onde a saída é um quando A for diferente de B!


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9 Funções especiais: Existem algumas funções complexas são especialmente úteis em circuitos digitais, estas funções são listadas neste capítulo. Uma função complexa pode sempre ser escrita usando as portas básicas, você terá dois circuitos diferentes gerando a mesma tabela verdade cada representando uma equação diferente. Quando duas equações diferentes possuem a mesma tabela verdade, estas duas equações são consideradas iguais e você pode usar o sina de igual para uni-las o mesmo ocorre com os circuitos. Se você concluir que dois circuitos diferentes possuem a mesma tabela verdade, então você pode substituir um por outro. Você pode dizer que os circuitos são equivalentes. Na análise abaixo será apresentada a nova tabela verdade de novas funções juntamente com os seus símbolos, diagrama elétrico, diagrama de CLP e o digrama do circuito equivalente!


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9.1 Função “NÃO E” (NAND): A função “NÃO E” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B for 1. Esta função é uma associação da função “E” com uma função “NOT”. Esta função é descrita como NAND mesmo em português A tabela verdade da função “NÃO E” (NAND) é apresentada abaixo.

A equação da função NAND é apresentada abaixo.

A.BZ A figura abaixo mostra o símbolo da porta lógica. “NÃO E” (NAND).

Símbolo da função NAND. Note a bolinha na saída indicando que após a função AND o valor deve ser invertido. Quando você for analisar um circuito com este tipo de porta uma forma simples de encarar o problema é fazendo duas operações: Primeiro multiplique e depois inverta! É mais simples que decorar a tabela verdade de mais uma função! O circuito abaixo implementa uma função NAND!

Quando as chaves estiverem desligadas a lâmpada estará ligada, pois neste caso a bobina do relê auxiliar estará desligada e o seu contato NF estará dando passagem de corrente para que a lâmpada acenda! A lâmpada só vai apagar quando as duas chaves estiverem ligadas!


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Neste circuito é usado um relê que é um dispositivo eletromecânico composto por uma bobina e uma série de contatos. O número e tipo de contatos dependem do tipo de relê. O contato é acionado quando a bobina é ligada. Se for um contato normalmente aberto NA este contato irá fechar. Se for um contato normalmente fechado NF, este contato irá abrir! Os relês foram muito usados no passado na construção de comandos lógicos, hoje ainda aparecem em algumas aplicações! A figura abaixo mostra um relê!

Na figura da direita é apresentado um relê usado na automação industrial com mais de um par de contatos. Na figura da esquerda é apresentado um rele automotivo dá para ver tr~es contatos: O contato NA (normalmente aberto), o contato NF (Normalmente fechado) e o contato COM (COMUM)! O diagrama deste tipo de relê é mostrado abaixo! O contato comum é aquele que fica fechando entre o contato NA e NF. Como relê desligado o contato fechado com o contato comum é o NF! Em comandos lógicos os relês são usados como componentes auxiliares para montar a lógica, no caso da função NAND o relê foi usado para implementar uma operação de inversão do estado. A figura abaixo mostra o símbolo de um relê!

Símbolo de um relê auxiliar.


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Programa em Ladder (linguagem de CLP):

Neste caso também é necessário usar uma bobina auxiliar, exatamente como no circuito elétrico. Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !(a & b); } O parêntese é necessário para indicar par ao processador que primeiro ele tem fazer o produto lógico (função AND) depois este resultado será invertido! O circuito abaixo apresenta a mesma tabela verdade da função NAND, logo, eles são equivalentes. Se você não tiver uma porta NAND no seu estoque, monte o circuito abaixo que o resultado será o mesmo. Levante a tabela verdade do circuito abaixo r comprove que os circuitos são equivalentes!

Circuito equivalente a uma função NAND!


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9.2 Função “NÃO OU” (NOR): A função “NOR” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 somente quando a entrada A ou a entrada B forem 0. Está é uma função complexa composta da associação de uma função “OU” (OR) básica em série com uma função “Inversora” (NOT). A tabela verdade da função “NOU” (NOR): é mostrada abaixo:

A Equação da função NOR é mostrada abaixo:

O símbolo da Porta Lógica “NÃO OU” (NOR) é mostrado abaixo.

Note a bolinha na saída indicando que após a função OR o valor deve ser invertido. Quando você for analisar um circuito com este tipo de porta uma forma simples de encarar o problema é fazendo duas operações: Primeiro some e depois inverta! O circuito abaixo implementa uma função NOR!


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Programa em Ladder (linguagem de CLP):

Neste caso também é necessário usar uma bobina auxiliar, exatamente como no circuito elétrico. Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !(a | b); } O parêntese é necessário para indicar par ao processador que primeiro ele tem fazer a soma lógica (função OR) depois este resultado será invertido! O circuito abaixo apresenta a mesma tabela verdade da função NAND, logo, eles são equivalentes. Se você não tiver uma porta NAND no seu estoque, monte o circuito abaixo que o resultado será o mesmo. Levante a tabela verdade do circuito abaixo r comprove que os circuitos são equivalentes!

Circuito equivalente a uma função NAND!


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9.3 Função “OU EXCLUSIVO” (EXOR): A função “OU EXCLUSIVA" também conhecida como EXOR relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem diferentes. Esta função é chamada de desigualdade e tem o apelido de XOR. A Tabela verdade da função “EXOR” é mostrado abaixo

Para levantar a tabela verdade você deverá pensar da seguinte forma: A saída será um quando as entradas forem diferentes. Por isto esta função é chamada de desigualdade! A equação da função EXOR é mostrada abaixo:

BA Z Símbolo da porta lógica. “OU EXCLUSIVO” (EXOR) é mostrado abaixo.

O circuito abaixo implementa a função lógica EXOR. Neste circuito é usada uma chave de duas posições você pode encontrar este tipo de chave em qualquer ferragem, ela é chamada de chave hotel! Esta chave possui um contato comum (COM) e dois outros contatos um NA e outro NF!

Note que o estado ligado (igual a um ) e desligado (igual a zero) é só uma questão de convenção, no circuito acima a posição que a chave está ligada é marcada com o número 1 e a posição que a chave está desligada é marcada com a posição 0! Programa em Ladder (linguagem de CLP): O programa em Ladder não pode reproduzir o circuito acima uma vez que não existe a função chave escada em Ladder, no entanto é possível criar esta função com dois contatos; um NA e outro NF desde que os dois sejam acionados pela mesma entrada!


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Na posição do desenho as duas chaves estão desligadas e não existe um caminho para a corrente chegar a bobina Z. Se somente a entrada A for ligada o contato de cima fecha e o contato de baixo abre, quando o contato da entrada A de cima fechar é criado um caminho para a corrente chegar a bobina Z. O mesmo acontece se somente a entrada B for ligada. Quando as duas entradas são ligadas ao mesmo tempo a corrente não encontra um caminho para chegar a bobina Z! Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = a ^ b; } O C++ possui um operador para a função EXOR! A função EXOR pode ser implementada usando portas lógicas, o circuito abaixo é uma forma de fazer isto:

Circuito equivalente a porta EXOR!


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9.4 Função “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR): A função “NÃO OU EXCLUSIVO” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem iguais. Esta função é chamada de igualdade. A tabela verdade da função “EXNOR” é mostrada abaixo.

A equação é mostrada abaixo:

Ou ainda a forma abaixo menos comum:

O símbolo da porta lógica. “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR) é mostrado abaixo.

O circuito que implementa a função EXNOR é mostrado abaixo:

O diagrama Ladder pode ser visto abaixo:


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Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !(a ^ b); } O C++ não possui um operador para a função EXNOR! O circuito abaixo é implementa uma função EXNOR!

Circuito equivalente a uma porta EXNOR


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10 Postulados da álgebra de Boole: Os postulados são aquelas relações retiradas das funções lógicas e que servirão de base para todo o desenvolvimento do raciocínio matemático. Através da observação da tabela verdade de uma função é possível chegar aos, como é mostrado a seguir.

10.1 Postulado do produto: Olhando a tabela verdade do produto podemos tirar as seguintes relações:

Sempre que uma das variáveis for 0(zero), a saída será 0 (zero). Como em um produto aritmético! Sempre que uma variável de entrada for o inverso da outra, a saída será “0”. Podemos chegar a esta conclusão recorrendo a primeira observação, pois pelo menos uma das variáveis será “0” (pois uma é o inverso da outra, e só podem assumir um de dois estados, zero ou um). Sempre que uma das variáveis de entrada for “1”, a variável de saída vai ter o mesmo valor da outra variável.Sempre que as variáveis de entrada forem iguais, a saída assume o mesmo valor das variáveis de entrada. A partir destas observações, chagamos aos seguintes postulados:

Observe que X é uma variável qualquer e pode assumir qualquer um dos dois estados possíveis, zero ou um. A equação 2 indica o produto de duas variáveis de entrada que assumiram o mesmo estado. Na equação 4 temos o produto de duas variáveis de entrada com estados diferentes.


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10.2 Postulado da soma: Olhando a tabela verdade da soma podemos tirar as seguintes relações:

Sempre que uma das variáveis for 1 (um), a saída será 1 (um). Quase igual a soma aritmética somente cuidar que na linha 4 que 1+1=1 na álgebra de Boole! Sempre que uma variável de entrada for o inverso da outra, a saída será “1”. Podemos chegar a esta conclusão recorrendo a primeira observação, pois pelo menos uma das variáveis será “1” (pois uma é o inverso da outra, e só podem assumir um de dois estados, zero ou um). Sempre que uma das variáveis de entrada for “0”, a variável de saída vai ter o mesmo valor da outra variável .Sempre que as variáveis de entrada forem iguais, a saída assume o mesmo valor das variáveis de entrada. A partir destas observações, chagamos aos seguintes postulados:

Observe que X é uma variável qualquer e pode assumir qualquer um dos dois estados possíveis, zero ou um. A equação 2 e indica a soma de duas variáveis de entrada que assumiram o mesmo estado. Na equação quatro temos a soma de duas variáveis de entrada com estados diferentes.


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10.3 Postulado da Inversão: Este é o postulado mais simples de todos, no entanto de extrema aplicação, não parece mas é tão importante quanto os outros. Como tabela verdade a função inversora só tem duas linhas, existe somente um postulado, descrito a seguir:

Se a variável de entrada for invertida duas vezes, a saída não será alterada, assumirá o mesmo estado da variável de entrada. Na verdade sempre que a variável de entrada for invertida um número par de vezes, a saída assumirá o mesmo estado da variável de entrada.

A equação é mostrada ao lado esta equação diz que invertendo o invertido a saída não muda nada, isto equivale a dizer que colocar duas portas inversoras em série, em termos de função lógica equivale a uma ligação de um condutor da entrada até a saída. Por que então fazer isto? Este postulado que serão vistas mais tarde como: reforço do sinal, atraso no tempo de propagação do sinal etc. Note que inverter uma variável que já está barrada significa eliminar a inversão, isto vai ocorrer se o numero de barras for par, se o número de barras for impar pode ser reduzido a uma só barra. Uma variável com um número par de barras equivale a uma variável sem inversão, uma variável com um número impar de barras equivale a uma variável com uma só barra.


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10.4 Aplicando os postulados na prática: Os parágrafos seguintes descrevem algumas aplicações bastante úteis para as funções lógicas desenvolvidas até aqui!

10.4.1 Chaves eletrônicas digitais: Podemos construir chaves digitais, de forma que uma das entradas de uma porta “AND” ou “OR” bloqueie a passagem do sinal, que é aplicado a outra porta. A entrada que servirá de chave (bloqueando ou não a passagem do sinal) é normalmente chamada de “entrada de habilitação”, recebe o símbolo “E” do inglês “enable”(habilitar). Circuito com porta “OU”:

Se a entrada de habilitação E estiver ligada no nível “1” (um +5V), a saída Z ficará grampeada no estado “1”, pois Z = 1+ sinal=1, neste caso a saída assume o valor 1 seja qual for o estado do sinal. Esta condição na tabela verdade é marcada com a letra X na coluna do sinal para indicar que o sinal pode assumir qualquer valor. Quando a entrada E é ligada ao estado “0” (zero terra), a saída assumirá o mesmo estado da entrada do sinal, pois Z= 0+ sinal. Os circuito que trabalha com alimentação de 5V é chamado de TTL (Transistor Transistor Logic) e os detalhes da sua ligação será visto na unidade apropriada. No circuito TTL um entrada com nível lógico 0 (zero) sempre deve estar ligada no terra (0V), já o nível lógico 1 (um) admite duas possibilidades: ser ligado direto ao +5V ou não estar ligado a circuito elétrico algum. Em eletrônica quando você não liga uma entrada a ponto algum do circuito você diz que a entrada está aberta! Note que a conexão elétrica que equivale ao nível lógico 1 (um) é aquele que liga a entrada ao +5V da fonte. A conexão elétrica que equivale ao nível lógico 0 (zero) é o terra onde está conectado o 0V da fonte! Neste caso quando a saída assumir o valor 1 (um) a tensão será de +5V e quando a saída assumir o valor 0 (zero) a tensão será de 0V!


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Circuito com porta “E”:

Se a entrada de habilitação E estiver ligada no nível “0” (zero terra), a saída Z ficará grampeada no estado “0”, pois Z = 0 seja qual for a outra entrada.. Quando a entrada E é ligada ao estado “1” (um +5V), a saída assumirá o mesmo estado da entrada do sinal pois Z= S . A configuração usando porta “E” é mais comum, pois deixa a saída desligada no bloqueio. Podemos ter variantes usando portas “NAND”, “NOR”, EXOR ou EXNOR.


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10.4.2 Implementando a função NOT sem usar a porta inversora:

Podemos implementar a função NOT usando portas NAND, NOR, EXOR ou EXNOR, estes circuitos são mostrados a seguir:

10.4.2.1 Função NOT usando Porta NAND: A porta NAND pode ser considerada uma porta inversora em série com uma porta E, de forma que a porta NAND tem a função inversora já implementada. Se você olhar a tabela verdade da função NAND verá que nas linhas 1 e 4 as entradas possuem o mesmo valor e que a saída Z possui o valor inverso do valor das entradas.

A partir desta observação é possível criar uma função inversora a partir de uma NAND, basta conectar as duas entradas juntas e a saída assumira o inverso das entradas! O circuito é mostrado abaixo!


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10.4.2.2 Função NOT usando porta NOR: A filosofia é a mesma usada na construção da função inversora usando NAND somente que usando agora, a função NOR. A tabela verdade na função NOR é mostrada abaixo. Se você olhar a tabela verdade da função NOR verá que nas linhas 1 e 4 as entradas possuem o mesmo valor e que a saída Z possui o valor inverso do valor das entradas.

A partir desta observação é possível criar uma função inversora a partir de uma NOR, basta conectar as duas entradas juntas e a saída assumira o inverso das entradas! O circuito é mostrado abaixo!


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10.4.2.3 Função NOT usando porta EXOR: Implementar a função NOT usando EXOR não é a configuração muito usada com portas lógicas, no entanto este processo é bastante usado em linguagem de programação. No circuito eletrônico uma chave pode ser usada para inverter ou não o sinal digital. Olhando a tabela verdade da função EXOR mostrada abaixo você pode observar que nas linhas 3 e 4 onde a variável de entrada B é igual 1 (um) a variável de saída Z é igual ao inverso da entrada A! Nas linhas 1 e 3 quando a variável de entrada B assume o valor 0 (zero) a variável de saída Z é igual a entrada A!

Baseado na observação acima é possível criar o circuito abaixo onde a função da chave é inverter ou não o sinal de entrada!


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11 Propriedades das funções lógicas: As funções lógicas possuem propriedades semelhantes aquela das funções aritméticas, estas semelhanças ajudarão você a memorizar estas relações. As propriedades das funções recebem os mesmos nomes das propriedades das funções aritméticas: * Comutativa. * Associativa. * Distributiva. Somente a propriedade distributiva apresenta alguma diferença e será tratada de forma especial. Devido a semelhança com a aritmética fica muito simples entender e aplicar estas propriedades. Não vamos demonstrá-las, mas se o estudante quiser provar a igualdade pode usar o método conhecido de levantar a tabela verdade dos dois lados da igualdade, se as saídas forem iguais, a igualdade é verdadeira.


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11.1 Propriedade Comutativa: Esta propriedade afirma que: Variáveis podem ser trocadas de posição sem que o resultado se altere. Na prática isto implica em que o técnico não precisa se preocupar em qual o pino de entrada da porta irá conectar o sinal. Comutativa da soma:

Comutativa do produto:


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11.2 Propriedade Associativa: Esta propriedade é muito útil, pois permite que uma função de três variáveis possa ser implementada com funções de duas variáveis. Se no circuito existe uma porta “E” ou uma porta “OU” de três entradas, estas portas podem ser substituídas por duas portas de duas entradas, veja o circuito da figura abaixo. Associativa do produto:

Associativa da Soma:

Figura mostrando como montar um circuito com duas portas AND com resultado semelhante a um circuito de uma porta AND com três entradas!

Figura mostrando como montar um circuito com duas portas OR com resultado semelhante a um circuito de uma porta OR com três entradas!


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11.3 Propriedade distributiva: Existem duas propriedades distributivas na álgebra de Boole, enquanto que na aritmética existe apenas uma e esta é uma das principais dificuldades no estudo da álgebra de Boole, de forma que, o estudante deve ter o máximo de atenção, e, poderá ser que no início não encontre certa dificuldade em visualizar esta propriedade, por isto, é preciso fazer bastante exercícios. A seguir descrevemos as duas propriedades, que a título didático vamos chamar de distributiva do produto na soma e distributiva da soma no produto.


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11.3.1.1 Propriedade distributiva do produto na soma: A propriedade distributiva do produto na soma é mostrada abaixo:

Esta propriedade pode ser vista como a distribuição do produto, fora do parêntese, entre as somas dentro dos parênteses. Observe que o parêntese na equação do lado direito da igualdade pode ser excluído, pois não há duvidas de que primeiro deve ser feito a operação do produto. Este tipo de operação existe na álgebra comum. Esta operação pode ser realizada no sentido inverso, isto é, partindo do lado direito da igualdade para chegar a equação do lado esquerdo da igualdade. Esta ação também é conhecida como colocar em evidência, isto ocorre quando existe duas ou mais parcelas com uma variável comum, ou um conjunto de duas ou mais variáveis comuns. Neste caso a variável comum pode ser “colocada em evidência”, esta ação é muito usada na simplificação de funções álgebra convencional em operações com frações, aqui, esta ação também será usada para simplificar funções. A seguir é mostrada a ação de “colocar em evidência”, que é a expressão contrária da distributiva. Ação de colocar em evidência onde a variável “A” é a variável comum. Distributiva do Produto na soma.


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11.3.1.2 Distributiva da soma no Produto: Esta propriedade não existe na álgebra convencional, por isto você deve prestar bastante atenção, pois não é intuitiva como as outras propriedades. Esta propriedade pode ser vista como a distribuição da soma fora do parêntese nos produtos dentro do parêntese. O resultado da operação da distributiva no lado esquerdo da igualdade faz aparecer no lado direito, dois novos parênteses cada um com uma soma e o produto entre eles. O parêntese é necessário para evitar que primeiro seja feito o produto. Aqui até podemos dizer que existe uma ação semelhante à ação de colocar em evidência ao fazer a operação inversa partindo do lado direito da igualdade para chegar na equação do lado esquerdo! Distributiva da soma no produto:


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12 Teorema de Demorgan: Este é um dos teoremas mais importantes da álgebra de Boole. Este teorema relaciona as funções de soma lógica e produto lógico. Por este teorema podemos afirmar que basta uma função lógica além da inversora, por exemplo, a soma, pois um produto pode ser implementado usando a função lógica da soma e da inversora. O mesmo ocorre para o produto. O teorema de Demorgan é mostrado na equação 1 relacionando a função soma ao produto, a equação 2 é outra forma de mostrar este teorema: Equação 1:

Equação 2:

O teorema de Demorgan também pode ser escrito em função do produto: Equação 3:

Equação 4:

Aplicando o Teorema de Demorgan:

Uma aplicação simples do teorema de Demorgan é implementar uma função “OR” a partir de uma função “AND”, isto ocorre quando em um projeto o técnico precisa de uma porta “OU” e têm sobrando uma porta “NAND” e duas inversoras. O circuito é descrito na figura abaixo. A mesma técnica você pode usar para implementar uma função “AND” usando portas OR e inversoras!


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Alguns diagramas europeus descrevem a função NAND com o desenho de uma porta OU tendo duas bolinhas em série com as entradas para indicar a inversão (lembre-se que a bolinha simboliza inversão). O diagrama mostra Teorema de Demorgan escrito usando o diagrama europeu!.


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12.1 Aplicando na prática do Teorema de Demorgan: Vamos mostrar uma forma prática de aplicar o Teorema de Demorgan, este é um método mnemônico denominado: Método das Três inversões; Neste método para aplicar o Teorema de Demorgam a uma equação você deverá fazer três inversões: 1 Inverter as entradas. 2 Inverter as operações. 3 Inverter toda a equação. Exemplo 1: Aplicação do método das três inversões no produto B .A Z Solução: 1 Invertendo as entradas:

2 Invertendo a operação:

3 Invertendo tudo:

Exemplo 2: O Teorema de Demorgan pode ser aplicado a qualquer tipo de equação. Se uma equação tiver um dos seus termos como uma variável barrada indicando uma inversão você pode aplicar o Teorema de Demorgam para eliminar a inversão. Por exemplo, aplicando o teorema de Demorgan na equação:

Solução: 1 Invertendo as entradas:

Pois A A 2 Invertendo as operações:

B .A Z 3 Invertendo tudo:


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Exemplo 3: Aplique o Teorema de Demorgan na equação:

Aqui o Teorema de Demorgan será aplicado as três variáveis ao mesmo tempo! 1 Invertendo as entradas

Note que a inversão de B barrado e C barrado resulta em B sem barra e C sem barra devido ao teorema de inversão (duas inversões se anulam). 2 Invertendo as operações:

3 Invertendo tudo:

Exemplo 4: Neste vamos mostrar como deve ser tratado um erro bastante comum para os iniciantes no estudo da eletrônica digital. O estudante desavisado tende a interpretar as variáveis barradas de uma soma ou de um produto lógico como se fossem iguais a toda as operações barradas, como é mostrado na equação a seguir.

B A B A Z ou

ISTO É UM ERRO GRAVE!!! O Teorema de Demorgan mostra que para inverter toda a equação é preciso inverter a operação também. O correto é:

B .A B A Z Ou


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13 Teorema do Mutual: Este teorema diz que: Se existe uma relação conhecida e verdadeira, é possível criar uma segunda relação verdadeira a partir da primeira, simplesmente trocando as operações, e invertendo os números “1” e “0”. Este teorema pode ser exemplificado a partir dos postulados anteriores, que sempre foram explicitados aos pares. Observe como o postulado do produto pode ser deduzido a partir do postulado da soma, como é mostrado a seguir: Partindo da Equação 1:

Trocando a soma por um produto e o “0” por “1” pode-se chagar a equação 1 do produto. .

O Teorema de Demorgan também pode servir como exemplo. Dada uma das equações é possível deduzir a segunda. Se por exemplo fosse dada a equação.

Trocando a soma pelo produto, chagaríamos a equação.

. Note que aqui não havia nem o número zero nem o número um para serem invertidos. Note ainda que, as barras não foram alteradas. O Teorema do Mutual não fala nada a respeito das barras.


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14 Identidades: Identidades são novas relações deduzidas baseadas nos postulados e teoremas As identidades apresentam grande aplicação prática na simplificação de circuitos eletrônicos digitais. A simplificação dos circuitos digitais será estudada separadamente. Para provar a veracidade da Identidade você pode usar a Tabela verdade aplicada aos dois lados da igualdade, se as tabelas verdades forem iguais então, a identidade é verdadeira! Outra forma é tentar entender a equação usando os postulados e teoremas, este será o método que nós vamos usar nesta etapa do trabalho, isto porque, este é um método semelhante ao usado na simplificação das equações lógicas, que será visto nos capítulos seguintes.


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Identidade 1:

Note que esta identidade pode ser aplicada a um circuito digital simplificando o circuito. Se você aplicar a identidade 1 no circuito da figura a seguir você verá que este circuito pode ser substituído por um condutor, isso mesmo todo o circuito pode ser substituído por um fio! Note que neste circuito a variável B não tem a menor influência no resultado, usando a identidade 1 você conseguirá simplificar circuitos consideravelmente e inda irá fazer muita economia!

Prova da identidade 1 usando a álgebra de Boole:

Colocando o “A” em evidência, pois o “A” está presente nas duas parcelas.

Como ( 1 + B ) = 1, todo o parêntese pode ser eliminado e substituído pelo número “1”.

Finalmente o produto por 1 pode ser eliminado pois A = A . 1.


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Identidade 2:

Neste caso a simplificação não é tão marcante como na identidade 1, mas mesmo assim, houve a economia de uma porta “E” e de uma porta inversora. O mais importante desta identidade é a prova usando álgebra de Boole, pois será necessário o uso da propriedade distributiva da soma no produto, esta é uma propriedade difícil de identificar no início.

Distribuindo a soma “A+” no produto

Como!

Então!

Como 1. X = 1!

Para aplicação de esta identidade ser mais prática você pode usar o seguinte raciocínio: Se em uma soma de duas parcelas uma variável aparece nas duas parcelas e ainda está sozinha em uma das parcelas e a variável está barrada somente em uma das parcelas então esta variável pode ser simplificada usando a identidade 1. A variável simplificada vai ficar com o formato da variável na parcela em que ela está sozinha. Este método de memorização é resumido abaixo: 1 A variável aparece nas duas parcelas! 2 A variável está sozinha na primeira parcela! 3 A variável está barrada somente em uma das parcelas! 4 A variável será simplificada na parcela em que não está sozinha Observe os exemplos abaixo:


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Exemplo 5: Dada a equação abaixo:

Aqui a variável “A” aparece na primeira e na segunda parcela! A variável A está sozinha na primeira parcela! Na primeira parcela a variável A está barrada e na segunda parcela a variável A não está barrada!

A variável “A” que não está sozinha é simplificada mantendo o formato da primeira parcela, isto é, A barrado! Exemplo 6: Dada a equação abaixo:

A variável A satisfaz as condições e pode ser simplificada na parcela em que não está sozinha!

Exemplo 7: Dada a equação abaixo.

Note que o conjunto de variáveis A . B funciona como uma só variável, pois na segunda parcela a barra passa por sobre as duas variáveis, tem que passar sobre as duas, não esqueça o erro grave do exemplo 4, assim é possível aplicar a identidade dois para simplificar esta equação. 1 O conjunto de variáveis A.B está presente nas duas parcelas! 2 O conjunto de variáveis A.B está sozinho na primeira parcela! 3 O conjunto de variáveis A.B está barrado na segunda parcela e está sem barra na primeira parcela! O conjunto A.B pode ser simplificado na segunda parcela. O resultado abaixo:


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15 Simplificação usando álgebra de Boole: Simplificar uma função lógica consiste em aplicar a álgebra de Boole a esta função de forma à torna-la mais simples, com menos operações. Na prática este procedimento leva os circuitos mais simples, com menos componentes, por sua vez mais econômicos. Existem duas formas básicas de simplificar uma função lógica, a primeira é usando diretamente os postulados, os teoremas, as propriedades e identidades já estudadas. Outra forma é chamada de mapa de Karnaugh, que é um método gráfico mais simples, e por isto, mais prático, este método será estudado em separado. O método usando a álgebra de Boole não tem uma regra bem definida, depende do estudo, da prática e da dedicação de cada um. Você verá alguns exemplos, você receberá algumas sugestões e o primeiro é: Faça o máximo de exercícios possível. Este não é o método mais prático para simplificar funções lógicas, o método do Mapa de karnaugh é mais prático e será usado na maioria das vezes, no entanto, a simplificação usando a álgebra de Boole pode ser aplicado a funções com qualquer número de variáveis e o mapa de karnaugh só é prático até quatro variáveis! A prática neste tipo de simplificação também servirá para você firmar os conceitos já estudados, e ainda para entender como funciona o Mapa de Karnaugh no futuro!


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15.1 Equação na forma da soma de produtos: O primeiro passo para simplificar uma equação usando a álgebra de Boole é colocar a equação na forma de soma de produtos. Toda a equação pode ser colocada na forma da soma de produtos, esta afirmação é baseada no Teorema da expansão de shannon que será visto em unidade separada! A equação abaixo mostra um exemplo deste tipo de estrutura.

.C B . A C .B .A C . B . A Z O diagrama desta equação é mostrado na figura abaixo. Observe no diagrama que o circuito é montado em três partes: * Uma parte constituída das inversoras, caso haja. * Uma etapa comporta “E” (produto). * Uma etapa final com porta “OU” (soma).

Circuito implementado usando a soma!


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15.2 Dicas para a simplificação usando álgebra de Boole:

Não existe uma regra para simplificar equações usando álgebra de Boole, existem algumas dicas baseadas na experiência, essas dicas são descritas abaixo. * Procure organizar colocando as parcelas com o maior número de variáveis comuns, lado a lado formando duplas. * Trabalhe as parcelas aos pares. * Procure colocar as variáveis comuns em evidência, com isto aparecerão as simplificações básicas. * Tente eliminar primeiro os parênteses, se houver! * Avance um passo de cada vez, usando em cada passo um dos teoremas ou identidades apresentados anteriormente! Ao trabalhar as parcelas busque simplificação usando os teoremas, propriedades ou identidade da Álgebra de Boole. A figura mostrada o resumo do estudo da Álgebra de Boole desenvolvido até aqui!

Tabela com o resumo. Você deverá usar esta tabela para simplificar equações usando a álgebra de Boole! A dica mais importante para ajudar você a aprender a simplificar uma função lógica usando a álgebra de Boole é: Pratique muito e estude exemplos!


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15.3 Exemplos de simplificação usando a Álgebra de Boole:

Exemplo 01: Este exemplo mostra o processo básico para usar a álgebra de Boole na simplificação de uma equação lógica.

ACBDABCDABCDZ ......... O primeiro passo consiste em verificar se existe alguma variável ou conjunto de variáveis que podem ser colocados em evidência em duas parcelas. As parcelas podem estar lado a lado ou não! Na equação dada as variáveis A e B barrado estão presentes nas duas primeiras parcelas, logo, podem ser colocados em evidência!

ACBDCDCDBAZ ...)..(. Observe que você tem outras opções, como por exemplo, A e C nas duas últimas parcelas. Escolha uma e torça para que seja a melhor opção, algumas vezes a sua escolha leva a um caminho que não chega a melhor solução e você neste momento não tem como saber isso! Continue trabalhando dentro do parêntese, não esqueça tente eliminar primeiro os parênteses! Neste caso dentro do parêntese o C é comum as duas parcelas, logo pode ser colocado em evidência dentro do parêntese!

ACBDDDCBAZ ...)).((. Agora surgiu uma simplificação encontrada nos teoremas da soma (Equação 3 da tabela com o resumo) aplicada a variável D!

1 DD ACBDCBAZ ...)1.(.

Agora surgiu dentro dos parênteses outra simplificação esta encontrada nos Teoremas do produto ( (equação 4 da tabela do resumo) a variável C!

CC 1.

ACBDCBAZ ..... A equação ficou sem parênteses, agora você tem que procurar novamente as variáveis comuns aos pares de parcelas! Neste caso conjunto de variáveis A e C são comuns as duas parcelas. Note que a ordem com que é escrito o produto ou a soma não interfere no resultado (propriedade associativa).

)...(. BDBCAZ


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A função que resultou possui um parêntese, olhando este parêntese você pode identificar a identidade 2, pois: A variável B está presente as duas parcelas. A variável B esta barrada na primeira parcela e não barrado na segunda parcela. A variável B está sozinha na primeira parcela. A variável B pode ser simplificada na segunda parcela então!

).(. DBCAZ Esta função ainda tem um parêntese, mas este não contém nenhuma simplificação possível, esta equação pode ser considerada uma solução para o exercício na prática será aquela com o menor número de portas, no entanto vamos manter um padrão em que a solução não deverá conter parêntese! Este tipo de padrão fica mais fácil de ser implementado na forma de um circuito digital, pois se enquadra dentro da lógica da soma dos produtos! Observe ainda que as variáveis sejam escritas na ordem DCBA!

ACDABCZ ....

Algebra de Boole

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