Algebra Ensino Distancia

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VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ÁLGEBRA Rio de Janeiro / 2009 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO Conteudista Conteudista Isidorio Rodrigues Queiroz

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VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

ÁLGEBRA

Rio de Janeiro / 2009

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

ConteudistaConteudistaIsidorio Rodrigues Queiroz

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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB.

Universidade Castelo Branco - UCBAvenida Santa Cruz, 1.631Rio de Janeiro - RJ21710-250 Tel. (21) 3216-7700 Fax (21) 2401-9696www.castelobranco.br

Un3a Universidade Castelo Branco

Álgebra / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2009. - 44 p.: il.

ISBN

1. Ensino a Distância. 2. Título.

CDD – 371.39

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Apresentação

Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-

ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-peram retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.

Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.

Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes

Reitor

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Orientações para o Autoestudo

O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos defi nidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito.

Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-plementares.

As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.

Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.

Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas.

A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.

Bons Estudos!

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Dicas para o Autoestudo

1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.

2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.

3 - Não deixe para estudar na última hora.

4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.

5 - Não pule etapas.

6 - Faça todas as tarefas propostas.

7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.

8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.

9 - Não hesite em começar de novo.

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SUMÁRIO

Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 09

Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 11

UNIDADE I

RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTO

1.1 - Relação refl exiva ou refl exibilidade ................................................................................................... 131.2 - Relação simétrica ................................................................................................................................ 131.3 - Relação transitiva ............................................................................................................................... 131.4 - Relação de equivalência ..................................................................................................................... 141.5 - Relação antissimétrica ........................................................................................................................ 171.6 - Relação de ordem ............................................................................................................................... 181.7 - Operações internas .............................................................................................................................. 181.8 - Grupoide ............................................................................................................................................. 19

UNIDADE II

PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO

2.1 - Associatividade ................................................................................................................................... 212.2 - Comutatividade ................................................................................................................................... 222.3 - Existência do elemento neutro ............................................................................................................ 222.4 - Elementos simetrizáveis ..................................................................................................................... 252.5 - Distributividade .................................................................................................................................. 26

UNIDADE III

GRUPOS, ANÉIS E CORPOS

3.1 - Introdução à teoria dos grupos ............................................................................................................ 283.2 - Grupos fi nitos ..................................................................................................................................... 303.3 - Subgrupos ........................................................................................................................................... 323.4 - Potência de um grupo ......................................................................................................................... 343.5 - Subgrupos cíclicos .............................................................................................................................. 343.6 - Homomorfi smo de grupos .................................................................................................................. 363.7 - Isomorfi smo de grupos ....................................................................................................................... 373.8 - Estrutura de anel ................................................................................................................................. 393.9 - Estrutura de corpo ............................................................................................................................... 41

Referências bibliográfi cas ........................................................................................................................... 44

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9Quadro-síntese do conteúdo programático

UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS

I - RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CON-JUNTO1.1 - Relação refl exiva ou refl exibilidade1.2 - Relação simétrica1.3 - Relação transitiva1.4 - Relação de equivalência1.5 - Relação antissimétrica1.6 - Relação de ordem1.7 - Operações internas1.8 - Grupoide

II - PROPRIEDADE DE UMA OPERAÇÃO2.1 - Associatividade2.2 - Comutatividade2.3 - Existência do elemento neutro2.4 - Elementos simetrizáveis2.5 - Distributividade

III - GRUPOS, ANÉIS E CORPOS3.1 - Introdução à teoria dos grupos3.2 - Grupos fi nitos3.3 - Subgrupos3.4 - Potência de um grupo3.5 - Subgrupos cíclicos3.6 - Homomorfi smo de grupos3.7 - Isomorfi smo de grupos3.8 - Estrutura de anel3.9 - Estrutura de corpo

• Mostrar que através de uma relação especial (chamada de equivalência) é possível subdividir um conjunto em “pedaços” chamados de classe de equi-valência.

• Mostrar a importância das propriedades de uma operação nos Ensinos Fundamental e Médio.

• Construir as principais estruturas algébricas.

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11Contextualização da Disciplina

A disciplina Álgebra, também conhecida por Estruturas Algébricas, visa dar uma noção das principais estru-turas da Matemática (conjunto munido de uma ou mais operações com certas propriedades) e intercalá-la com os conceitos primitivos do ensino básico.

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13UNIDADE I

RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTORELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTO

1.11.1 - Relação ReflexivaRelação Reflexiva ou Reflexibilidade

Diremos que R é uma refl exiva se:

∀ x ∈E, (x, x) ∈E ou ∀ x ∈E, x R x.

Exemplo: 1) E = {1, 2, 3}.2) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2)} não é refl exiva, pois (3, 3) ∉ R1.3) R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 3)} é refl exiva. 2) Seja E = N e x R y ⇔ x ≤ y Ex. 2 ≤ 5 ⇒ 2 < 5 ou 2 = 5 ou: x ≤ y ⇔ x < y ou x = y 5 ≤ 3 ⇔ 5 < 3 ou 5 = 3 é falso!

1.21.2 - Relação Simétrica

Diremos que R é simétrica se:

∀ x, y ∈E se (x, y) ∈E, então y R x.Ou ∀ x, y ∈E se x R y, então y R x.

Exemplo: 1) E = {1, 2, 3} a) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2)} não é simétrica, pois (2, 1) ∉ R1.b) R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1)} é simétrica.c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3)} é simétrica, pois x = y.

2) Seja E = R e x R y ⇔ x ≤ y Se a R b, então b R a (2, 3); (2, 2); (3, 3) ...a ≤ b então b ≤ a 2 < 3 2 = 2 3 = 3 (F)

1.31.3 - Relação Transitiva

Diremos que R é transitiva, se:

∀ x, y, z ∈E se (x, y) ∈R e (y, z) ∈R, então (x, z) ∈R.Ou, se x R y e y R z, então x R z.Exemplo: 1) E = {1, 2, 3}a) R1 = {(1, 2); (2, 3); (1, 3)} é transitiva.b) R2 = {(1, 3); (2, 3)} é transitiva.c) R3 = {(1, 1); (1, 2)} é transitiva.d) R4 = {(1, 3); (3, 1)} não é transitiva, pois não tem (1, 1) nem (3, 3).

Não é transitivo ⇒ {(1, 2); (2, 5); (1, 5); (3, 6); (5, 7)}.

Seja E ≠ φ e R uma relação binária contida em E x E, isto é, R ⊂ E x E.

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141.41.4 - Relação de Equivalência

Diremos que R é de equivalência se: a) R é refl exiva x R x.b) R é simétrica x R y ou y R x.c) R é transitiva (x R y) e (y R x), então x R y.

Exemplo:1) E = {(1, 2, 3)}a) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 3)} é refl exiva; é simétrica; é transitiva. Logo, é R equivalente.b) R2 = {(1, 1); (2, 1); (1, 2); (2, 2)} (3, 3)∉ R não é refl exiva, não é R equivalente.c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)} é refl exiva; é simétrica; é transitiva. Logo, é R de equivalente.d) R4 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (1, 2)} não é simétrica, logo não é R de equivalência.

2) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x é divisor de y.R é de equivalência?R = {(1, 1); (2, 2); (4, 4); (1, 2); (1, 4); (2, 4)}Não é simétrica, logo não é de equivalência.

Classes de Equivalência

Seja R uma relação de equivalência em um conjunto E. Chamamos de classe de equivalência de um elemento

a ∈E e indicamos por a , ao conjunto:

a = {x ∈E / x R a}

O conjunto de todas as classes de equivalência é indicado por E/R, chamado de conjunto quociente de E por R.

As classes de equivalência determinam uma partição em E.

Exemplo: E = {1, 2, 3, 4}R = {(1, 1); (1, 3); (1, 4); (3, 1); (3, 3); (3, 4); (2, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 1)}

Eu posso ter:

1 = {x ∈E/x R 1} = x R 1 ⇔ (x, 1) ∈R. Então temos: {1, 3, 4}

2 = {x ∈E/x R 2} = x R 2 ⇔ (x, 2) ∈R. Então temos: {2}

3 = {x ∈E/x R 3} = x R 3 ⇔ (x, 3) ∈R. Então temos: {1, 3, 4}

4 = {x ∈E/x R 4} = x R 4 ⇔ (x, 4) ∈R. Então temos: {1, 3, 4}

A partir daí, temos que 1 = 3 = 4 e a rigor teremos duas classes. ⇒ E/R = {{1, 3, 4}; {2}}

A interseção é vazia e a união é E.

E

partição em E.

1

3 2

4

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15Em outros pares poderia dar:

E

1 2 3 4

E

1

2

3

4

Exercícios Resolvidos

I) Seja E = (a ∈Z/-3 ≤ a ≤ 3} e x R y ⇔ x – y = 2 k, x ∈y

a) Construa a relação R. k = 0 ⇒ x – y = 0 ⇒ x = y⇒ (-3, -3); (-2, -2); (-1, -1); (0, 0); (1, 1); (2, 2); (3, 3)k = 1 ⇒ x – y = 2(-1, -3); (0, -2); (1, -1); (2, 0); (3, 1)k = -1 ⇒ x – y = -2(-3, -1); (-2, 0); (-1, 1); (0, 2); (1, 3)k = 2 ⇒ x – y = 4(1, -3); (2, -2); (3, -1)k = -2 ⇒ x – y = -4(-3, 1); (-2, 2); (-1, 3)k = 3 ⇒ x – y = 6(3, -3)k = -3 ⇒ x – y = -6(-3, 3)

E/R = {{-3, -1, 1, 3}; {-2, 0, 2}}b) Determine E/R.)

- 3 = {-3, -1, 1, 3}

- 2 = {-2, 0, 2}

-1 = {-3, -1, 1, 3} - 3 = -1 = 1 = 3

0 = {-2, 0, 2} - 2 = 0 = 2

1 = {-3, -1, 1, 3}

2 = {-2, 0, 2}

3 = {-3, -1, 1, 3}

c) Prove que R é de equivalência.c1 = Refl exiva ⇒ ∀ x ∈R, x R x ⇒ x – x = 2 k ⇒ 0 = 2 k ∴k = 0c2 = Simétrica ⇒ ∀ x, y ∈R, se x R y, então y R x.Se x R y, então x – y = 2 k, então –x + y = -2 k, então y – x = 2 (-k), então y R x.c3 = Transitiva ⇒ ∀ x, y, z ∈R, se x R y e y R z, então x R z.Se x R y ⇒ x – y = 2 a, a ∈ZSe y R z ⇒ y – z = 2 b, b ∈Z+

⇒ x – z = 2 a + 2 b⇒ x – z = 2(a + b) ⇒ x – z = 2 c; c ∈Z

E

∴k = 0

-3 -2

-2 0

+1 2

+3

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16 II) Seja E = {a ∈Z/-4 ≤ a ≤ 4} e x R y ⇔ x 2 - 2 x = y 2 - 2 y.a) Determine a relação.

b) Determine E/R.

c) Prove que a relação é de equivalência.

Observação

Pelo primeiro exercício, notamos que toda relação do tipo: x – y = 2 k; x – y = 3 k; x – y = -2 k; x – y = -3 k, etc. (k ∈Z). São relações de equivalência.

Assim, podemos estabelecer que qualquer relação do tipo: x – y = k . m, em que k, m ∈Z é uma relação de equivalência em Z. Estabeleceremos que as classes de equivalências a (a barra) dessa relação são do tipo:

a = {x ∈Z/x R a} = {x ∈Z/x – a = k . m} e o conjunto de todas as classes de equivalência será:

Z/m = { 1,...,2,1,0 −m }

Tomemos por exemplo, m = 4

Assim, temos: x – y = 4 k; k ∈Z e a = {x ∈Z/x – a = 4 k}; Z / m = { 3,2,1,0 }.

a) 0 = {x ∈Z/x R 0} = {x ∈Z/x - 0 = 4 k} 0 = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto zero.b) 1 = {x ∈Z/x R 1} = {x ∈Z/x - 1 = 4 k} 1 = {..., -7, -3, 1, 5, 9, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto um.c) 2 = {x ∈Z/x R 2} = {x ∈Z / x - 2 = 4 k} 2 = {..., -6, -2, 2, 6, 10, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto dois.d) 3 = {x ∈Z/x R 3} = {x ∈Z / x - 3 = 4 k} 3 = {..., -5, -1, 3, 7, 11, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto três.

Como fi caria 4 ?

4 = {x ∈Z/x R 4} = {x ∈Z/x - 4 = 4 k} ∴ 4 = {..., -4, 0, 4, 8, ...} = 0

E se fi zer -1 ?

-1 = {x ∈Z/x R -1} = {x ∈Z/x – (-1) = 4 k} ∴-1 = {..., -5, -1, 3, ...} = 3

Assim, temos: O conjunto Z foi subdividido em 4 classes de equivalências distintas, em que a interseção é vazia e a união é Z.

Seja m = 3; então temos:

Z / 3 = { 0 , 1, 2 }

0 = {x ∈Z/x R 0} = {x ∈Z/x - 0 = 3 k} = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}

1 = {x ∈Z/x R 1} = {x ∈Z/x - 1 = 3 k} = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}

2 = {x ∈Z/x R 2} = {x ∈Z/x - 2 = 3 k} = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}

Page 17: Algebra Ensino Distancia

17As classes a (chamadas de classe residual módulo m) representam restos da divisão de inteiros por 3.

a) 0 é o conjunto de todos os inteiros que divididos por 3 deixam restos zero.b) 1 é o conjunto de todos os inteiros que divididos por 3 deixam restos 1.c) 2 é o conjunto de todos os inteiros que divididos deixam restos 2.

Adição Módulo m

∀ ∈ba, Z/m, a ⊕ b = ba +

Multiplicação módulo m

∀ ∈ba, Z/m, a ⊗ b = ba.

Exemplo:

1) Calcule em Z/3 :

a) 02102121 =⊕⇒=+=⊕b) 12212222 =⊕⇒=+=⊕c) 03203.232 =⊗⇒==⊗d) 033 =⊗

2) Calcule em Z/31 :

a) 26132 ��b) ��1711

c) ��1514

1.51.5 - Relação Antissimétrica

Observamos que uma relação R é antissimétrica em E se:

∀ x, y ∈E, se (x, y) ∈R e (y, x) ∈R, então x = y.Ou∀ x, y ∈E, se x R y e y R x, então x = y.

Exemplo: E = {1, 2, 4}a) R1 = {(1, 2); (2, 1); (2, 4)} não é antissimétrica.b) R2 = {(1, 2); (1, 4)} é antissimétrica.c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (4, 4)} é antissimétrica e simétrica ao mesmo tempo.d) R4 = {(1, 2); (2, 4); (4, 2)} não é antissimétrica.e) R5 = {(1, 2); (2, 2)} é antissimétrica.

Obs.: A relação só será antissimétrica se não houver pares simétricos. Ex.: letra a e letra b.

Quando o/se antecedente for verdadeiro e o subsequente falso, então será verdadeiro. Isto é: {VeF = então V.

Se a condicional der falsa, então é verdadeiro.)(F

Page 18: Algebra Ensino Distancia

181.61.6 - Relação de Ordem

Diremos que uma relação R é de ordem em E se:

a) ∀ x ∈E, x R xb) ∀ x, y, z ∈E se x R y e y R z, então x R z.c) ∀ x, y ∈E se x R y e y R x, então x = y.

Exemplo: I) E = {1, 3, 5}a) R1 = {(1, 1); (1, 3); (3, 3); (5, 5)} ela é refl exiva (1, 1); (3, 3); (5, 5), ela é transitiva e antissimétrica. Logo,

é relação de ordem.b) R2 = {(1, 1); (3, 1); (3, 3); (5, 5)} é refl exiva, antissimétrica e transitiva. Logo, é uma relação de ordem.c) R3 = {(1, 1); (3, 3); (5, 5); (1, 5)} é refl exiva, transitiva e antissimétrica. Logo, é uma relação de ordem.d) R4 = {(1, 1); (3, 5); (3, 3); (5, 5); (5, 3)} só tem simetria. Não é antissimétrica. Logo, não é relação de

ordem.

II) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x ≤ y. Escreva os pares da relação e verifi que se é de ordem.E = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (4, 4)} É transitiva, refl exiva e antissimétrica. Logo, é relação de ordem.

III) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x é divisor de y. Escreva os pares da relação e verifi que se a relação é de ordem.E = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (4, 4)} É transitiva, é refl exiva e é antissimétrica. Logo, é de ordem.

1.71.7 - Operações Internas

Seja E ≠ φ . Chamamos de operação interna em E ou operação em E a toda função do tipo.f: E . E → E (x, y) → x∗ y. Em que x∗ y é a imagem da função f.

Notamos que x∗ y é um elemento de E.

Ilustrações:I) Seja E = {0, 1, 2, 3} e f: E×E → E em que x∗ y = resto (x, y) → x∗ y da divisão de x + y por 4.

Os pares ordenados de E×E podem ser dispostos através da tábua abaixo:

∗ 0 1 2 3

0

1

2

3

Page 19: Algebra Ensino Distancia

19Assim, temos: (0, 0) → 0∗ 0 = 0 (0, 1) → 0∗ 1 = 1...(3, 3) → 3∗ 3 = 2

II) Seja E = N e f: E . E → E (x, y) → x∗ y = x – y

Não é uma operação em E.

Notamos que y > x, (x – y) ∉ N.

Logo, a subtração não é uma operação em N quando y > x, (x – y).

Mas a subtração é uma operação em Z.

1.81.8 - Grupoide

Seja E ≠ φ e ""∗ uma operação defi nida em E. Chamamos de grupoide ao par (E, ∗ ).

Exemplo: 1) (N, +); grupoide aditivo Nota-se que a adição é uma operação em N.

2) (N, .); grupoide multiplicativo Nota-se que a multiplicação é uma operação em N.

3) Seja A = {x/x = 2 n; n ∈Z}. Prove que (A, ∗ ), em que a∗ b = a + b, é uma operação em A.

Devemos provar que:

∀ a, b ∈A, (a∗ b) ∈A. Sejam a, b ∈A: Então a = 2 n1; n1 ∈Z. b = 2 n2; n2 ∈Z.

Então: a∗ b = 2 n1 + 2 n2

a∗ b = 2 (n1 + n2) ⇒ a∗ b = 2 n3; 2 n3 ∈Z.

Logo: (a∗ b) ∈A.

4) Seja A = {x/x = 2 n, n ∈Z}. Prove que (A, ∗ ), em que a∗ b = a . b é uma operação em A.

Sejam a, b ∈A: Então a = 2 n1; n1 ∈Z. b = 2 n2; n2 ∈Z.

Então: a∗ b = 2 n1 . 2 n2 ⇒ Então a∗ b = 2 . 2n1n2 ⇒ a∗ b = 2 n3; n3 ∈Z.

Logo: (a∗ b) ∈A.

∗ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Page 20: Algebra Ensino Distancia

20 5) Seja A = {x/x = 2 n +1, n ∈Z}. Prove que (A, ∗ ) não é um grupoide, em que a∗ b = a + b.

Sejam a, b, ∈A; então a = 2 n1 + 1 ; n1 ∈ Z. b = 2 n2 + 1 ; n2 ∈ Z.

Então a∗ b = 2 n1 + 1 + 2 n2 + 1; então: a∗ b = 2 n1 + 2 n2 + 2.

Então a∗ b = 2 (n1 + n2) + 2; então: a∗ b = 2 n3 + 2; n3 ∈Z.

Logo: (a∗ b) ∉ A.

6) Seja A = {a, b} e P(A) = {φ , {a}, {b}, {a, b}} que é o conjunto das partes de A (subconjunto de A). Cons-trua as tábulas dos grupoides. (A, I ) e (A, U ).

7) Resolva a equação [ ] 160)2()(3 =∗+∗∗ xxx em N, em que a∗ b = a + b + a . b.

[ ] 160)22().(3 =+++++∗ xxxxxx

⇒ � �)22(3 xx � + (3 x + 2) = 160

3 + (2 x + x²) + 3 (2 x + x²) + 2 + 3 x = 160

x² + 2 x + 3 + 6 x + 3 x² + 2 + 3 x = 160

4 x² + 11 x + 5 – 160 = 0

4 x² + 11 x – 155 = 0

x = ���

8

248012111x

��

8

260111x

8

5111 ��

x’ = 58

40�

x’’ = �

4

31

8

62N

� � {a} {b} {a, b}

� � � � �

{a} � {a} � {a}

{b} � � {b} {b}

{a, b} � {a} {b} {a, b}

� � {a} {b} {a, b}

� � {a} {b} {a, b}

{a} {a} {a} {a, b} {a, b}

{b} {b} {a, b} {b} {a, b}

{a, b} {a, b} {a, b} {a, b} {a, b}

Page 21: Algebra Ensino Distancia

21

Seja E ≠ φ e ""∗ uma operação defi nida em E.

UNIDADE II

PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃOPROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO

2.12.1 - Associatividade

Diremos que uma operação é associativa em E ou que (E, ∗ ) é um semigrupo se:

∀ x, y, z ∈E, (x∗ y)∗ z = x∗ (y∗ z)

Exemplo:1) A adição usual é associativa em N, Z, Q ou R.

∀ a, b, c ∈R, (a + b) + c = a + (b + c)

2) A multiplicação é associativa em N, Z, Q ou R.

∀ a, b, c ∈R, (a . b) . c = a . (b . c)

3) A operação a∗ b = a b (potenciação) em Z não é associativa.

∀ a, b, c ∈R, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c)

a b ∗ c = a∗ b c

(a cb ) = acb)(

(F)

Exercícios Resolvidos

1) Verifi que a associatividade nas operações:

I) x∗ y = x + y + 4, defi nida em R.∀ a, b, c ∈R, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c) ⇒ (a + b + 4)∗ c = a∗ (b + c + 4)

⇒ (a + b + 4) + c + 4 = a + (b + c + 4) + 4

⇒ a + b + 4 + c + 4 = a + b + c + 8 (V)

II) x� y =2

xy, definida em R

a, b, c �R, (a� b)� c = a� (b� c) (a . b)� c = a� (b . c)

(2

ab)� c = a� (

2

bc)

4

..

4

..

2

)2

..(

2

).2

.(

cbacba

cbac

ba

�� (V)

.

Page 22: Algebra Ensino Distancia

22 III) x∗ y = 22 yx + , defi nida em R + .

∀ a, b, c ∈R + , (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c)

43421∝

+ )( 22 ba ∗ c = a∗43421

β

)( 22 cb + ⇒ ∝ ∗ c = a∗ β

⇒ 222 )( c+α = 222 )( c+β ⇒ 2∝ + c 2 = 2β + c 2 ⇒ 222 )( ba + + c 2 = a 2 +

222 )( cb + ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 (V).

IV) a∗ b = ab

ba

��

1, defi nida em R – {1, -1}.

V) a∗ b = a + b – ab, defi nida em R.

VI) a ∗ b = a, defi nida em R.

VII) (a, b)∗ (c, d) = (ac, d + ac), defi nida em R . R.

VIII) (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d + 2 b . d), defi nida em R . R.

2.22.2 - Comutatividade

Diremos que uma operação ""∗ é comutativa em E se:∀ x, y ∈E, x∗ y = y∗ x

Exemplo: 1) A adição é comutativa em N, Z, Q ou R.∀ a, b ∈R, a + b = b + a

2) A multiplicação é comutativa em N, Z, Q ou R.∀ a, b ∈R, a . b = b . a

3) A operação a∗ b = a 2 (potenciação) em N não é comutativa.∀ a, b ∈N, a∗ b = b∗ a ∴a b = b a (F)

4) A operação (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + b) não é comutativa em N . N.∀ (a, b), (c, d) ∈ N . N, (a, b)∗ (c, d) = (c, d)∗ (a, b) ⇒ (ac, ad + d) = (ca, cb + d) (F)

2.32.3 - Existência do Elemento Neutro

Seja ""∗ uma operação defi nida em E. Diremos que ""∗ admite o elemento neutro e se:∀ x ∈E, x∗ e = e∗ x = x

Exemplo: 1) A adição em N, Z, Q ou R admite o zero como elemento neutro.∀ x ∈R, x + 0 = 0 + x = x

Page 23: Algebra Ensino Distancia

232) A multiplicação em N, Z, Q ou R admite a unidade como elemento neutro.∀ x ∈R, x . 1 = 1 . x = x

3) Considere a operação x ∗ y = x + y – 4 defi nida em R. Vamos determinar o elemento neutro.∀ x ∈R, x∗ e = e ∗ x = x ⇒ x + e – 4 = e + x – 4 – x; então: x + e – 4 = x; e = 4.

4) Seja x∗ y = x + xy uma operação defi nida em R-{0}. Determine o elemento neutro.

Notamos que a operação não é comutativa.

Vejamos:∀ a, b ∈R, a∗ b = b∗ a ∴a + ab = b + ba (F)

Então, temos que verifi car a existência do elemento neutro à esquerda e à direita da operação.

Assim, temos:a) x∗ e = x (elemento neutro à direita) x + x e = x x e = 0 ∴e = 0; x ≠ 0

b) e∗ x = x (elemento neutro à esquerda)

e + e x = x e = 1+x

x e (1 + x) = x

Observamos que o elemento neutro não é único, pois o elemento neutro à esquerda é literal.

Assim, concluímos que a operação não admite o elemento neutro.

5) Seja x∗ y = 2

yx + uma operação defi nida em R. Determine o elemento neutro.

Notamos que a operação é comutativa; então:

∀ x ∈R, x∗ e = e∗ x = x

xxeex=+=

+22

Então 2

ex + = x ⇒ x + e = 2 x ⇒ e = x; ≠ o elemento neutro.

6) Seja (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + d) uma operação em R*×R.

Vejamos a comutatividade:

∀ (a, b), (c, d) ∈R . R, (a, b)∗ (c, d) = (c, d)∗ (a, b) ⇒ (ac, ad + b) = (ca, cb + d) (F)

a) Elemento neutro à esquerda:

∀ (x 1 , x 2 ) ∈ R*×R, (e 1 , e 2 )∗ (x 1 , x 2 ) = (x 1 , x 2 )

(e 1 x 1 , e 1 x 2 + e 2 ) = (x 1 , x 2 )

e 1 x 1 = x 1 → e 1 = 1

1

xx

→ e 1 = 1; x ≠ 0

e 1 x 1 + e 1 = x 2 → x 2 + e 2 = x 2 → e 2 = 0

Page 24: Algebra Ensino Distancia

24b) Elemento neutro à direita:

∀ (x 1 , x 2 ) ∈ R*×R, (x 1 , x 2 )∗ (e 1 , e 2 ) = (x 1 , x 2 )

(x 1 e 1 , x 1 e 2 + x 2 ) = (x 1 , x 2 )

x 1 e 1 = x 1 → e 1 = 1; x 1 ≠ 0

x 1 e 2 + x 2 = x 2

x 1 e 2 = 0 → e 2 = 0; x 1 ≠ 0

Logo: (e 1 , e 2 ) = (1,0).

Exercícios Resolvidos

Determine o elemento neutro:

1) x∗ y = xy

yx

��

1, defi nida em R- {1, -1}.

x∗ 1 = 1

xxe

ex�

��

1

x + e = (1 + x e)

x + e = x + x 2 e

e - x 2 e = 0

e (1 - x 2 ) = 0

e = 21

0x−

→ e = 0; x ≠ 1; x ≠ -1.

2) x∗ y = 22 yx + , defi nida em R.

x∗ e = x22 ex + = x

x 2 + e 2 = x 2

e 2 = 0 ∴e = 0

3) x ∗ y = x + y – xy, defi nida em R.

x ∗ e = x

x + e – xe = x

e (1 – x) = 0

e = x−1

0 ∴ e = 0; x ≠ 0

4) (a, b)∗ (c, d) = (a . c, b + d), defi nida em R×R.

Page 25: Algebra Ensino Distancia

252.42.4 - Elementos Simetrizáveis

Seja (E, ∗ ) um grupoide com elemento neutro ""e . Diremos que um elemento a ∈E é simetrizável se existir a’ ∈E (simétrico de a) tal que:

a∗ a’ = a’∗ a = e

Exemplo: 1) Em (Z, +), temos: elemento neutro é zero. a + a’ = a’ + a = 0 ∴ a’ = -a

Notamos que todos os elementos são simetrizáveis.

Ex.: 4∗ (-4) = (-4)∗ (4) = 0

2) Seja (R, .): elemento neutro é um.

a . a’ = a’ . a = 1 ∴ a’ = a1

; a ≠ 0.

Notamos que todos os elementos não-nulos são simetrizáveis, assim os elementos simetrizáveis pertencem ao conjunto R- {0} ou R * .

Ex.: 21

. 2 = 2 . 21

= 1; 54

. a’ = 1

3) Seja x∗ y = x + y – 2, defi nida em R.

a) Elemento neutro: x∗ e = x ⇒ x + e – 2 = x ⇒ e = 2

b) Elementos simetrizáveis: a∗ a’ = 2 a + a’ – 2 = 2 ∴ a’ = 4 – a → todos os elementos são simetrizáveis.

Notamos, por exemplo, que:

a) O simétrico de 4 é zero ⇔ 4∗ 0 = 0∗ 4 = 2

b) O simétrico de 5 é -1 ⇔ 5∗ (-1) = (-1)∗ 5 = 2

4) Seja x∗ y = 3 33 yx + uma operação em R.

Qual é o simétrico de -1?

a) Elemento neutro;x∗ e = x

3 33 ex + = x

x 3 + e 3 = x 3

e = 0

Page 26: Algebra Ensino Distancia

26b) Elemento simétrico;

a∗ a’ = 0

3 33 'aa + = 0

a 3 + a’ 3 = 0

a’ 3 = -a 3

a’ = 3 3a− = -a

c) Simétrico.

a’ = - (-1) = 1

Exercícios Resolvidos

I) Seja x∗ y = x + y – 5, defi nido em R. Qual é o simétrico de 5?a) Elemento neutro;x∗ e = xx∗ e – 5 = xe = 5

b) Elemento simétrico;a∗ a’ = 5a + a’ – 5 = 5a + a’ = 10a’ = 10 – a

c) Simétrico.a’ = 10 – 5a’ = 5

II) Seja (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, bd), defi nida em R×R. Qual é o simétrico de (-1, 2)?

III) Considere a operação defi nida em R×R, por: (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + bc). Qual é o simétrico de (2, 1)?

2.52.5 - Distributividade

Seja E ≠ φ em que se defi na duas operações ""∗ e ""Τ . Diremos que a operação ""Τ é distributiva em relação à operação ""∗ se:

∀ a, b, c ∈E a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c) direita (b∗ c) T a = (b T a)∗ (c T a) esquerda

Exemplo: 1) A operação de multiplicação é distributiva em relação à adição e à subtração, em N, Z, Q ou R.

∀ a, b, c ∈E a (b + c) = ab + ac (b + c) . a = ba + ca

∀ a, b, c ∈E a (b - c) = ab - ac (b - c) . a = ba - ca

Page 27: Algebra Ensino Distancia

272) Sejam a T b = a + b – ab e a∗ b = a + b – 1 operações defi nidas em R.

Verifi que se “T” é distributiva em relação à “∗ ”.

Comutatividade em (T). a T b = b T aa + b – ab = b + a – ba (V)

a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c)a T (b + c – 1) = (a + b – ab)∗ (a + c – ac)a + (b + c – 1) – a (b + c – 1) = a + b – ab + a + c – ac – 1a + b + c – 1 – ab - ac + a = a + b – ab + a + c – ac – 1 (V)

Exercícios Resolvidos

I) Verifi que se “T” é distributiva em relação à “∗ ”, nos casos:

1) a� b = a + b – 3 e a T b = a + b -3

ab, definidas em R.

a T b = b T a a T (b � c) = (a T b ) � (a T c)

a + b -3

ab= b + a -

3

baa T (b + c – 3) = (a + b -

3

ab)� (a + c -

3

ac)

a + b + c – 3 -3

)3( � cba= a + b -

3

ab+ a + c -

3

ac- 3

a + b + c – 3 -3

ab-

3

ac+

3

3a= a + b -

3

ab+ a + c -

3

ac- 3

(V)

2) (a, b) T (c, d) = (ac, bd) e (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d) defi nidos em R×R.

Comutatividade em T.

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)(ac, bd) = (ca, db)

(a, b) T {(c, d)∗ (e, f)} = [(a, b) T (c, d)]∗ [(a, b) T (e, f)](a, b) T (c + e, d + f) = (ac, bd)∗ (ae, bf)(a (c + e), b (d + f) = (ac + ae, bd + bf)

(ac + ae, bd + bf) = (ac + ae, bd + bf) (V)

3) (a, b) T (c, d) = (ac, ad + bc) e (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d), defi nidas em R×R.

Comutatividade T.

(a, b) T (c, d) = (c, d) T (a, b)(ac, ad + bc) = (ca, cb + da) (V)

(a, b) T [(c, d)∗ (e, f)] = [(a, b) + (c, d)]∗ [(a, b) T (e, f)]

(a, b) T (c + e, d + f) = (ac, ad + bc)∗ (ae, af + be)(a (c + e), a (d + f) + b (c + e)) = (ac + ae, ad + bc + af + be)(ac + ae, ad + af + bc, be) = (ac + ae, ad + bc + af + be)

Page 28: Algebra Ensino Distancia

28 UNIDADE III

GRUPOS, ANÉIS E CORPOSGRUPOS, ANÉIS E CORPOS

3.13.1 - Introdução à Teoria dos Grupos

Seja E ≠ φ , em que se defi ne uma operação ∗ . Diremos que “∗ ” defi ne em E uma estrutura de grupo ou que (E, ∗ ) é um grupo se:

a) ∀ a, b, c ∈E, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c) associativa.b) ∀ x ∈E, x∗ e = e∗ x = x ter elem. neutro.c) ∀ x ∈E, x∗ x’ = x’∗ x = e ter simétrico.

Se, além das condições acima, tivermos ∀ a, b ∈E, a∗ b = b∗ a, diremos que o grupo é comutativo ou que o grupo é abeliano.

Exemplo:1) São grupos abelianos. (Z, +), (R, +), (R*, .)

2) (N, +) não é um grupo.

3) (R, ∗ ) é um grupo, em que a∗ b = a + b – 2.

3) (R, ∗ ), a∗ b = a + b – 2.a) Associatividade∀ a, b, c ∈E, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c)(a + b – 2)∗ c = a∗ (b + c – 2)(a + b – 2) + c – 2 = a + (b + c – 2) – 2a + b + c – 4 = a + b + c – 4 (V)

b) Comutatividade∀ a, b ∈E, a∗ b = b∗ a ⇒ a + b – 2 = b + a – 2 (V)

c) Elemento neutro∀ x ∈ , x∗ e = xx + e – 2 = xe – 2 = 0 ∴e = 2

d) Elemento simetrizável ∀ x ∈ , x∗ x’ = ex + x’ – 2 = 2x’ = 4 – x é abeliano

Exercícios Resolvidos

1) a∗ b = ab

ba

��

1, E = R- {1, -1}

2) a∗ b = 2

ab , E = R* ou E = R- {0}

a) Associativa: ∀ a, b, c ∈R, (a∗ b)∗ c = a∗ (b, c).

Page 29: Algebra Ensino Distancia

29� �

��

2()

2(

bcac

ab��� ) � � c = a� �

2

c�=

2

3av

2

2

.

2

2

. abacab

����

442

2

2

2 abcabc

abcabc

��� (V).

b) Comutatividade: a, b�R*, a � b = b� a �22

baab� (V).

c) Elemento Neutro: x �R*, x � e = x 2

xe= x xe = 2 x e = �

2

2xe = 2.

d) Elemento Simetrizável: x �R*, x � x' = e �x

xxxxx 4

'4'22

'.����� .

3) (a, b)∗ (c, d) = (ac, bd), defi na em E = R*×R*

a) Associatividade: ∀ (a, b), (c, d), (e, f) ∈R*×R* [(a, b)∗ (c, d)]∗ (e, f) = (a, b)∗ [(c, d), (e, f)] (ac, bd)∗ (e, f) = (a, b)∗ (ce, df) (ace, bdf) = (ace, bdf) (V)

b) Comutatividade:

∀ (a, b), (c, d) ∈R* . R*, (a, b)∗ (c, d) = (c, d)∗ (a, b) ⇒ (ac, bd) = (ca, db).

c) Elemento neutro: (x 1 , x 2 )∗ (e 1 , e 2 ) = (x 1 , x 2 )(x 1 e 1 , x 2 e 2 ) = (x 1 , x 2 )x 1 e 1 = x 1 ∴e 1 = 1x 2 e 2 = x 2 ∴ e 2 = 1

d) Elemento simetrizável:

∀ (x 1 , x 2 ) ∈R* . R*, (x 1 , x 2 )∗ (x '1 , x '

2 ) = (1, 1)

(x 1 x '1 , x 2 x '

2 ) = (1, 1)

x 1 x '1 = 1 ⇒ x '

1 = 1

'x

x 2 x '2 = 1 ⇒ x '

2 = 2

'x

4) (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d), defi nida em E = R×R.

5) (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + bc), defi nida em E = R*×R.

c) Elemento neutro:

d) Elementeo simetrizável:

Page 30: Algebra Ensino Distancia

303.23.2 - Grupos Finitos

Seja (G, ∗ ) um grupo.

Se G é um conjunto fi nito, diremos que (G, ∗ ) é um grupo fi nito.

Todo grupo fi nito pode ser representado por uma tábua de operação ∗ , em que:

I) Não há repetições de elementos em linhas e colunas.

II) O elemento neutro é determinado pela interseção de uma linha (equivalente à linha fundamental) com uma coluna (equivalente à coluna fundamental).

III) Se a tábua é “simétrica” em relação à diagonal principal, o grupo é abeliano.

IV) Não há regra prática para se verifi car diretamente na tábua a associatividade; temos que testar todos os compostos (x∗ y)∗ z = x∗ (y∗ z).

Exemplo: E = {a, b, c}; (E, ∗ ) é um grupo, em que a operação ∗ é defi nida pela tábua:

a) Elemento neutro é b b) Elemento simetrizável a → c ⇔ a∗ c = b b → b ⇔ b∗ b = b

c) Associatividade: (x∗ y)∗ z = x∗ (y∗ z)

c1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) c2) (a ∗ c) ∗ b = a ∗ (c ∗ b) a ∗ c = a ∗ c b ∗ a = b ∗ b b = b b = b c3) (b ∗ a) ∗ c = b ∗ (c ∗ a) c4) (b ∗ c) ∗ a = b ∗ (c ∗ a) a ∗ c = b ∗ b c ∗ a = b ∗ b b = b b = b

c5) (c ∗ a) ∗ b = c ∗ (a ∗ b) c6) (c ∗ b) ∗ a = c ∗ (b∗ a) b ∗ b = c ∗ a c ∗ a = c ∗ a b = b b = b

Principais Grupos Finitos

I) Grupo de Klein:

Elemento neutro: “e” simétricos: e → e a → a b → b c → c

� a b c

a c a b

b a b c

c b c a

� e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Page 31: Algebra Ensino Distancia

31II) Grupo cíclico de ordem 4:

* e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c a e

c c b e a

III) ( )⊕;/ nZ Grupo aditivo das classes residuais:

Elemento neutro: “ 0 ” simétricos: 0 → 0 1 → 4 2 → 3

Exercícios Resolvidos

1) Seja A = {f1, f2, f3, f4} em que f1(x) = x; f2(x) = x1

; f3(x) = -x; f4(x) = x1−

. Construa a tábua do grupo (A, ○),

em que “○” é operação de composição de funções e determine todos os simétricos:

(f2 ○ f4) (x) = f2 (f4 (x)) = f2 ( x1−

) = x1

1− = -x

(f2 ○ f4) (x) = f3

(f1 ○ f1) (x) = f1 (f1(x)) = f1 (x) = (f1 ○ f1) (x) = f1

(f1 ○ f2) (x) = f1(f2(x)) = f1 ( x1

) = (f1 ○ f2) (x) = f2

(f1 ○ f3) (x) = f1 (f3(x) = f1 (-x) = (f1 ○ f2) (x) = f3

(f1 ○ f4) (x) = f1 (f4(x) = f1 ( x1−

) = (f1 ○ f4) (x) = f4

(f2 ○ f2) (x) = f2 ( x1

) = x11

= x

(f2 ○ f2) (x) = f1

(f3 ○ f2) (x) = (f3 (-x)) = +x (f3 ○ f3) = f1

simétricos: f1 é f1

f2 é f2

f3 é f3

f4 é f4

� 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

○ f1 f2 f3 f4

f1 f1 f2 f3 f4

f2 f2 f1 f4 f3

f3 f3 f4 f1 f2

f4 f4 f3 f2 f1

Page 32: Algebra Ensino Distancia

32 2) Seja G = { Jr

, , , 4 , 5 , 6 } ⊂ Z/7. Construa a tábua do grupo (G, ⊗ ), determinando seus simétricos.

Obs.: Multiplica-se a 1ª linha c/ a 1ª coluna; divide por 7 e o resto é o resultado.

Elemento neutro: 1 1 = 1

2 = 4 e 4 = 2

5 = 5 e 5 = 3

6 = 6

O simetrizável é quando multiplicamos a coluna pela linha e encontramos o elemento neutro.

3.33.3 - Subgrupos

Seja (A, ∗ ) um grupo, B ≠ φ , B ⊂ A. Diremos que (B, ∗ ) é um subgrupo de (A, ∗ ) se:

1) e ∈B, e elemento neutro de (A, ∗ ).2) ∀ a ∈B, ∃ a’ ∈B.3) ∀ a, b ∈B, (a∗ b) ∈B.

Ex.: 1) (Z, +) é um subgrupo de (R, +).

a) 0 ∈ Z; 0 elemento neutro de (R, +).b) ∀ a ∈Z, a’ ∈Z ∴a’ = -a.c) ∀ a, b ∈Z, (a + b) ∈Z.

2) (A, +) é um subgrupo de (Z, +), em que A = {x ∈Z/ x = 2 m; m ∈Z}.

a) 0 ∈A, fazendo m = 0.b) Seja a ∈A; então a = 2 b; b ∈Z.Então a + a’ = 0 ∴a’ = -a. Logo: a’ = -2 b, então a’ = 2 (-b), logo a’ ∈A.

c) Sejam c, d ∈A.Então: c = 2 m1; m1 ∈Z ⇒ Então c + d = 2 m1 + 2 m2 d = 2 m2; m2 ∈Z = 2 (m1 + m2) = 2 m3 Então: c + d = 2 m3; m3 ∈Z. Logo, (c + d) ∈A.

3) Seja (Z/6), ⊕ ) um grupo.Verifi que se (A, ⊕ ) é um subgrupo de (Z/6, ⊕ ), em que:

a) A = { 4,0 } → Elemento neutro 0 (V).

→ O simétrico de 4 é 2 ∴ 2 ∉ A

Logo, não é subgrupo.

b) A = { 4,2,0 } → Tem o elemento neutro 0 . (V).

→ O simétrico de 0 é 0 , e 2 é 4 .

→ E a soma ∈⊕ ba A, pois 0 + 0 = 0 ; 2 + 2 = 4 ; 2 + 4 = 6 ∴ 6 = 0 e 4 + 4 = 68 = 2

Portanto, é um subgrupo.

� 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

Page 33: Algebra Ensino Distancia

334) Seja (Z/8; ⊕ ), determine todos os seus subgrupos:

Em (Z/8; ⊕ ), temos: → Elemento neutro 0 . (V).

→ Os simétricos de 0 é 0 ; 1 é 7 ; 2 é 6 ; 3 é 5 ; 4 é 4 .

Vejamos os subgrupos:

a) Com 1 elemento:H1 }0{ → somente esse.

b) Com 8 elementos:H1 = }7,6,5,4,3,2,1,0{ .

c) Com 2 elementos:H1 = }4,0{ .

d) Com 3 elementos:Opções A = }7,1,0{ → ∉=+ 211 A

B = }6,2,0{ → ∉=+ 422 A

C = }5,3,0{ → ∉=+ 633 C

Todas falsas

e) Com 4 elementos:

Opções D = }4,7,1,0{ (F)

E = }4,6,2,0{ (V)

F = }4,5,3,0{ (F)

Então: H4 = }6,4,2,0{ .

f) Com 5 elementos:

Opções G = }6,2,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 321 G

H = }5,3,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 211 H

I = }5,3,6,2,0{ (F) ∉=⊕ 422 I

g) Com 6 elementos:

Opções Jr

= }4,6,2,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 321 J

L = }4,5,3,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 211 L

M = }4,5,3,6,2,0{ (F) ∉=⊕ 145 M

h) Com 7 elementos:

Opções: N = }5,3,6,2,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 422 N

Page 34: Algebra Ensino Distancia

345) Considere o grupo de Klein. Quais são os seus subgrupos?

Elemento neutro → e simétricos: e → e; a → a; c → c; H1 = {e}; H2 = {e, a, b, c}; H3 = {e, a}; H4 = {e, b}; H5 = {e, c}

6) Considere o grupo defi nido pela tábua abaixo. Quais os subgrupos:

Elemento neutro: e simétricos: e → e; a → c; b → b; d → f H1 = {e} H2 = {a, b, c, d, e, f} H3 = {e, b} H4 = {e, a, c}

3.43.4 - Potência de um Grupo

Seja (E, ∗ ) um grupo e a ∈E.

Defi nições:1) (*a) n = a∗ a∗ a∗ ... ∗ a2) (*a) 0 = e (elemento neutro de (E, ∗ ))3) (*a) n− = (*a’) n

Ilustração: Considere o grupo (E, ∗ ), defi nido abaixo:

Elemento neutro: c simétricos: c → c; a → e; b → d

a) (*d) 2 = d∗ d) = eb) (*c) 3 = (c∗ c)∗ c = c∗ c = cc) (*b) 3 = (b∗ b)∗ b = a∗ b = ed) (*e) 2− = (*e’) 2 = (*a) 2 = a∗ a = d

3.53.5 - Subgrupos Cíclicos

Seja (E, ∗ ) um grupo e a ∈E. Chamamos de subgrupo cíclico, gerado pelo elemento a ∈E e indicamos por [a], ao conjunto: [a] = {(*a) n /n ∈Z}.

� e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

� a b c d e f

a c d e f a b

b d e f a b c

c e f a b c d

d f a b c d e

e a b c d e f

f b c d e f a

� a b c d e

a d e a b c

b e a b c d

c a b c d e

d b c d e a

e c d e a b

Page 35: Algebra Ensino Distancia

35Exemplo: Seja o grupo (E, ∗ ).

[b] = {b} Elemento neutro = b

a) [c] = {(*c) n /n ∈Z} ⇒ n = 0 → (*c) 0 = b; n = 1 → (*c) 1 ; n = 2 → (*c) 2 = d

n = -1 → (*c) 1− = (*a) 1 = a; n = -2 → (*c) 2− = (*a) 2 = f

n = 3 → (*c) 3 = e; n = -3 → (*c) 3− = (*a) 3− = e[c] = {b, c, d, a, f, e}.

b) [a] = {(*a) n /n ∈Z} = {f, e, d, c, b, a}.

c) [d] = {(*d) n /n ∈Z} = {f, b, d}.

d) [f] = {(*f) n /n ∈Z} = {d, b, f}.

Exercícios Resolvidos

1) Seja A = {1, -1, i, -i}. O grupo (A, .) em que i 2 = -1 é cíclico. [1] = {1}. [-1] = {1, -1}. [i] = {-1, -i, 1, i} = A. [-i] = {-1, i, 1, -i} = A.

Logo: (A, .) é um grupo cíclico, sendo i e –i seus geradores.

2) Seja A = {a, b, c, d}. Verifi que se o grupo (A, ∗ ) é cíclico. Caso seja, determine seus elementos geradores.

[a] = {a}. [b] = {c, d, a, b} = A é um gerador. [c] = {a, c}. [d] = {c, b, a, d} = A é um gerador.

Logo: (A, ∗ ) é cíclico sendo b e d seus geradores.

3) Seja (Z/4, ⊕ ) um grupo:

a) Construa a tábua;b) Determine seus geradores;c) Verifi que se é cíclico, determinando seus possíveis geradores.

� a b c d e f

a f a b c d e

b a b c d e f

c b c d e f a

d c d e f a b

e d e f a b c

f e f a b c d

(.) 1 -1 i -i

1 1 -1 i -i

-1 -1 1 -i i

i i -i -1 1

-i -i i 1 -1

� a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

Page 36: Algebra Ensino Distancia

363.63.6 - Homomorfismo de Grupos

Sejam os grupos (A, ∗ ) e (B, T). Chamamos de homomorfi smo de (A, ∗ ) em (B, T), a toda função do tipo:

f: A → B/ ∀ a, b ∈A, f (A∗ B) = f (a) + f (b).

Ex.: (R, +) e (R *+ , .) ∴f = R → R *

+ /f(n) = 2 r

Ilustração:

(R, +) (R *+ , .)

1 f 2 1 = 2 Então, f(1 + 2) = 8. f (1 + 2) = f(1) . f(2); de um modo geral, 2 f 2 2 = 4 faremos ∀ a, b ∈R, f (a + b) = f (a) . f (b)

1 + 2 f 2 12+ = 8 2 ba+ = 2 a . 2 b (V)

Mostramos que a situação acima vale para toda função f: R → R *+ . Tomemos por exemplo:

f: R → R *+ /f(x) = x + 1

∀ a, b ∈R, f(a + b) = f(a) . f(b)

a + b + 1 = (a + 1) . (b + 1) (F)

Pequeno resumo da aula anterior: (Homomorfi smo)

(A, ∗ ) e (B, T) ∴f: A → B/ ∀ a, b ∈A

f:(a ∗ b) = f(a) T f(b)

2) Sejam os grupos:(R*, .) e (R, +). Mostre que F: R *

+ → R/F(x) → log 2 x é um homomorfi smo de (R *+ , .) em (R *

+ , .).

(R *+ , .) e (R, +)

Fx = log 2 x

∀ a, b ∈ R *+ : F(a, b) = F(a) + F(b)

⇓ log 2 (a . b) = log 2 a + log 2 b (V) Propriedade dos logaritmos

3) Seja o grupo (R *+ , .). Verifi que se F: R *

+ → R *+ /F(x) = x é um homomorfi smo de (R *

+ , .) em (R *+ , .).

(R *+ , .) (R *

+ , .) F(x) = x

∀ a, b ∈ R *+ : F(a . b) = f(a) . f(b)

ba. = a . b (V) Propriedade produto das raízes

4) Seja (Z, +) um grupo e F: Z → Z/f(x) = x + 2. Verifi que se a função dada é um homomorfi smo de (Z, +) em (Z, +).

(Z, +) e (Z, +) F(x) = x + 2∀ a, b ∈ Z: F(a + b) = f(a) + f(b) a + b + 2 = a + 2 + b + 2 (F)

Page 37: Algebra Ensino Distancia

373.73.7 - Isomorfismo de Grupos

Sejam os grupos (A, ∗ ) e (B, T). Chamamos de isomorfi smo de (A, ∗ ), em (B, T), a toda função do tipo:

1) ∀ a, b ∈A, f(a∗ b) = f(a) T f(b).

2) f é bijetora. Nesse caso, também diremos que os grupos são isomorfos.

Exemplo:

1) Sejam os grupos (R *+ , .) e (R, +). Mostre que f: R*→R/f(x) = log 2 x é um isomorfi smo de (R *

+ , .) em (R, +).

a) ∀ a, b ∈ R *+ , f(a, b) = f(a) + f(b)

log 2 (a . b) = log 2 a + log 2 b (V)

b1) Sobrejetora: Im (f) = R f(x) = log 2 x ou y = log 2 x

y = log 2 x

x = 1 → log 2 1 ⇒ y = 0 x = 21 ⇒ y = log 2

1

2 ⇒ y = -1

x = 2 → log 2 2 ⇒ y = 1

x = 4 → log 2 4 ⇒ y = 2 x = 41 ⇒ y = log 4

1

2 ⇒ y = -2

D(f) = R* Im(f) = R. (V)

b2) Injetora ⇒ Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a) = f(b), então log 2 a = log 2 b. Entre a = b (V).

2) Considere os grupos (R, +) e (R *+ , .). Mostre que f: R→R *

+ /f(x) = 2 2 é um isomorfi smo de (R, +) em (R *+ , .).

a) ∀ a, b ∈R, f(a + b) = f(a) . f(b)

2 ba+ = 2 a . 2 b (V)

b1) Sobrejetora: Im (f) = R *+ ⇒ y = x2 x = 0 → y = 1

x = 1 → y = 2 x = -1 → y = 2

1 x = 2 → y = 4 x = -2 → y = 4

1 D(f) = R Im(f) = R *

+ (V)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

x

y

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

x

y

Page 38: Algebra Ensino Distancia

38b2) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b.

Se f(a) = f(b), então 2 a = 2 b , então a = b. (V)

Obs.: y = a x ⎯⎯→⎯ VT . x = a y

y = log a x

3) Sejam os grupos (Z×Z, +) e (Z, +). Mostre que f: Z×Z → Z/f(x, y) = x é um epimorfi smo (homomorfi smo

sobrejetor) de (Z×Z, +) em (Z, +).

a) (a, b), (*c, d) ∈ Z×Z, f(a, b) + (c, d) = f(a, b) + f(c, d) f(a + c, b + d) = f(a, b) + f(c, d) a + c = a + c (V)

b1) Sobrejetora: Im(f) = Z f(x, y) = x logo: f(0, 0) = 0; f(0, 1) = 0; f(1, 2) = 1; f(1, 3) = -1 (Z×Z) = Z (V) ou seja, é todo o Z. (V)

b2) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a, b) = f(c, d), então (a, b) = (c, d), então a = c e b = d.

Se f(a, b) = f(c, d), então a = c e não ocorre b = d, logo é falso. Exemplo: f(-1, 2) = -1 (-1, 2) (F). f(-1, 3) = -1 (-1, 3) -1

4) Considere os grupos (Z, +) e (Z×Z, +). Mostre que f: Z → Z×Z/f(x) = (x, 0) é um monomorfi smo (homo-morfi smo injetor) de (Z, +) em (Z×Z, +).

a) ∀ a, b ∈Z, f(a + b) = f(a) + f(b) (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0). (V)

b) Sobrejetora: Im(f) = Z×Z (F) Se f(x) = (x, 0) ⇒ Im(f) ≠ Z×Z

c) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a) = f(b), então (a, 0) = (b, 0) ⇒ a = b. (V)

5) Sejam os grupos (R,+) e (R,T) em que a T B = a + b + 1.Verifi que se f: R→R/f(x)=x–1 é um isomorfi smo de (R, +) em (R, T).

a) Homomorfo:∀ a, b ∈R, f(a + b) = f(a) T f(b) a + b – 1 = (a – 1) T (b – 1) a + b – 1 = a – 1 + b – 1 + 1 a + b – 1 = a + b – 1 (V)

b) Sobrejetora:f(x) = x – 1 D = Rx = 0 → y = -1 Im = R (V)x = 1 → y = 0x = -1 → y = -2x = 2 → y = 1x = -2 → y = -3

-2 -1 1 2

-1

1

x

y

Page 39: Algebra Ensino Distancia

39c) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a) = f(b), então a – 1 = b – 1, então a = b. (V)

Isso é Isomorfi smo!

3.83.8 - Estrutura de Anel

Seja A ≠ φ , em que se defi ne duas opções ∗ e T. Diremos que as operações defi nem em E uma estrutura de anel ou que (E, ∗ , T) é um anel se:

a) (A, ∗ ) é um grupo abeliano.b) ∀ a, b, c ∈A, (a T b) T c = a T (b T c).c) ∀ a, b, c ∈A a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c). (b∗ c) T a = (b T a)∗ (c T a).

Notas: 1) Seja (E, ∗ , T) um anel.Se ∀ a, b ∈E, a T b = b T a, diremos que o anel é comutativo.

2) Seja (E, ∗ , T) um anel comutativo.Se ∀ x ∈E, x T e = e T x = x, diremos que (E, ∗ , T) é um anel comutativo com elemento neutro, também

chamado de anel comutativo com unidade.

Exemplo:

1) (Z, +, .) é o anel dos inteiros.

2) (R, +, .) é o anel dos reais.

3) ( ⊗⊕,,nz ) é o anel das classes residuais.

4) Seja (R, ∗ , T) um grupo abeliano, em que a ∗ b = a + b – 1. Verifi que se (R, ∗ , T) é um anel comutativo

com unidade, em que a T b = a 1 + b 2 – a 1 b 2 .

a) Associatividade (T):∀ a, b, c ∈R, (a T b) T c = a T (b T c) (a + b – ab) T c 2 = a 1 T (b + c 2 - bc) a + b – ab + c – (a + b – ab) . c = a + b + c – ab – a (b – c – bc) a + b – ab + c – ca – ab + abc = a + b + c – ab – ac + abc Lado1 = lado 2.

b) Comutativa:∀ a, b ∈R, a T b = b T a a + b – ab = b + a – ab (V)

c) Distributividade:∀ a, b, c ∈R, a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c)a T (b + c – 1) = (a + b – ab)∗ (a + c – ac)a + (b + c – 1) – a (b + c – 1) = (a + b – ab) + (a + c – ac) – 1a + b + c – 1 – ab – ac + a = a + b – ab + a + c – ac – 1 (V)

Page 40: Algebra Ensino Distancia

40d) Elemento neutro (T):

∀ x ∈R, x T e = x

x + e – xe = x

e (1 – x) = 0

e = x−1

0 ⇒ e = 0; x ≠ 1

5) Seja (R×R, ∗ ) um grupo abeliano, em que (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d). Verifi que se (R×R, ∗ , T) é um anel comutativo, em que (a, b) T (c, d) = (ac, 0).

6) Seja (R×R, ∗ ) um grupo abeliano, em que (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d).

Elementos Inversíveis de um Anel

Seja (E, ∗ , T) um anel comutativo com unidade. Diremos que um elemento a ∈E é inversível se a T a’ = a’ T a = e.

O conjunto dos elementos inversíveis de E é dado por U(E).

Exemplo:

1) (Z, +, .)

a . a’ = 1 ⇒ a’ = a1 ∈Z ⇒ a = 1 ou a’ = -1

Logo: U(Z) = {1, -1}

2) (R, +, .)

a . a’ = 1 ⇒ a’ = a1 ∈R; a ≠ 0

Então U(R) = R –{0}.

3) ( 5Z , ⊕ , ⊗ ) → { 4,3,2,1 }.

⊗1 'a = 1 → 'a = 1 a . 'a = 1 ⇒ ⊗2 'a = 1 → 'a = 3 ⊗3 'a = 1 → 'a = 2 Logo: U( 5

Z ) { 4,2,3,1 }

⊗4 'a = 1 → 'a = 1

4) ( 6Z , ,⊕ ⊗ )

⊗1 'a = 1 → 'a = 1

⊗2 'a = 1 → ≠ 'a ∈ 6Z

a . 'a = 1 ⇒ ⊗3 'a = 1 → ≠ 'a ∈ 6Z

⊗4 'a = 1 → ≠ 'a ∈ 6Z

⊗5 'a = 1 → 'a = 5 U( 6Z ) = {1, 5 }

Page 41: Algebra Ensino Distancia

413.93.9 - Estrutura de Corpo

Seja (E, ∗ , T) um anel comutativo com unidade. Diremos que (E, ∗ , T) é um corpo se todos os elementos diferentes do zero do anel (elemento neutro de 1ª operação) admitem o simétrico ou:

∀ x ≠ e (zero do anel), x T x’ = x’ T x = e (unidade do anel).

1) (R, +, .) é o corpo dos números reais.

Notamos que ∀ x ≠ 0, se x’ = 1 ou x’ = x1

.

2) ( ,nZ ⊕ , ⊗ ) é um corpo, se n é primo.

Exemplo: ( 7Z , ⊕ , ⊗ )

111 =⊗ 142 =⊗

153 =⊗ 166 =⊗ U 7

Z = { 6,5,4,3,2,1 } todos ≠ 0

3) Seja (R, ∗ , T) um anel comutativo com unidade, em que a ∗ b = a + b – 1 e a T b = a + b – ab. Verifique se (R, ∗ , T) é um corpo.

a) Zero do anel (elemento neutro da 1ª equação)

∀ x ∈R, x∗ ∈ = xx + e – 1 = xe = 1

b) Unidade do anel (elemento neutro da 2ª equação)

x T e = x → x + e – xe = x

e (1 – x) = 0 ∴e = x−1

0 ∴ e = 0; x ≠ 1

c) Elemento inversível

∀ x ≠ 1, x T x’ = 0

x + x’- x . x’ = 0

x’ (1 – x) = -x ⇒ x’ = x

x−

−1

Nota: Seja o corpo (R×R, +, .), em que: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Consideremos um elemento qualquer (a, b) ∈ R×R. Assim, temos: (a, b) = (a, 0) + (0, b) (a, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1)

Page 42: Algebra Ensino Distancia

42Identifi cando todo par (x, 0) por x e chamando o par (0, 1) de um constante i, temos:

a b i(a, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1)

(a, b) = a + b . i forma algébrica de um número complexo.

Exemplo: (-2, 3) = -2 + 3i (4, -5) = 4 – 5i Etc.

Assim, considerando i = (0, 1), temos:

i . i = i 2 = (0, 1) . (0, 1)

i 2 = (0 – 1, 0 + 0)

i 2 = (-1, 0) ⇒ i 2 = -1 ⇒ i = 1−

i 3 = i 2 . i = (-1, 0) . (0, 1) (0 – 0, -1 + 0) → i 3 = (0, 1) → -1 (0, 1) = -1 . i = -i

Page 43: Algebra Ensino Distancia

43

Se você:

1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;

Então, você está preparado para as avaliações.

Parabéns!

Page 44: Algebra Ensino Distancia

44Referências Bibliográficas

ALENCAR FILHO, Edgard. Elementos de Álgebra Abstrata. 4 ed. São Paulo: Nobel, 1990._______. Teoria Elementar dos Números. São Paulo: Nobel, 1992.AYRES, Frank. Álgebra Moderna. São Paulo: McGraw-Hill, 1974.DOMINGUES, H. H. e IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982.GARCIA, Arnaldo. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro: IMPA, 1988.GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. 4 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.