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Algebra Ensino Distancia
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VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
ÁLGEBRA
Rio de Janeiro / 2009
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
ConteudistaConteudistaIsidorio Rodrigues Queiroz
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB.
Universidade Castelo Branco - UCBAvenida Santa Cruz, 1.631Rio de Janeiro - RJ21710-250 Tel. (21) 3216-7700 Fax (21) 2401-9696www.castelobranco.br
Un3a Universidade Castelo Branco
Álgebra / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2009. - 44 p.: il.
ISBN
1. Ensino a Distância. 2. Título.
CDD – 371.39
Apresentação
Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-
ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-peram retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Autoestudo
O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos defi nidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-plementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Autoestudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 09
Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 11
UNIDADE I
RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTO
1.1 - Relação refl exiva ou refl exibilidade ................................................................................................... 131.2 - Relação simétrica ................................................................................................................................ 131.3 - Relação transitiva ............................................................................................................................... 131.4 - Relação de equivalência ..................................................................................................................... 141.5 - Relação antissimétrica ........................................................................................................................ 171.6 - Relação de ordem ............................................................................................................................... 181.7 - Operações internas .............................................................................................................................. 181.8 - Grupoide ............................................................................................................................................. 19
UNIDADE II
PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO
2.1 - Associatividade ................................................................................................................................... 212.2 - Comutatividade ................................................................................................................................... 222.3 - Existência do elemento neutro ............................................................................................................ 222.4 - Elementos simetrizáveis ..................................................................................................................... 252.5 - Distributividade .................................................................................................................................. 26
UNIDADE III
GRUPOS, ANÉIS E CORPOS
3.1 - Introdução à teoria dos grupos ............................................................................................................ 283.2 - Grupos fi nitos ..................................................................................................................................... 303.3 - Subgrupos ........................................................................................................................................... 323.4 - Potência de um grupo ......................................................................................................................... 343.5 - Subgrupos cíclicos .............................................................................................................................. 343.6 - Homomorfi smo de grupos .................................................................................................................. 363.7 - Isomorfi smo de grupos ....................................................................................................................... 373.8 - Estrutura de anel ................................................................................................................................. 393.9 - Estrutura de corpo ............................................................................................................................... 41
Referências bibliográfi cas ........................................................................................................................... 44
9Quadro-síntese do conteúdo programático
UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS
I - RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CON-JUNTO1.1 - Relação refl exiva ou refl exibilidade1.2 - Relação simétrica1.3 - Relação transitiva1.4 - Relação de equivalência1.5 - Relação antissimétrica1.6 - Relação de ordem1.7 - Operações internas1.8 - Grupoide
II - PROPRIEDADE DE UMA OPERAÇÃO2.1 - Associatividade2.2 - Comutatividade2.3 - Existência do elemento neutro2.4 - Elementos simetrizáveis2.5 - Distributividade
III - GRUPOS, ANÉIS E CORPOS3.1 - Introdução à teoria dos grupos3.2 - Grupos fi nitos3.3 - Subgrupos3.4 - Potência de um grupo3.5 - Subgrupos cíclicos3.6 - Homomorfi smo de grupos3.7 - Isomorfi smo de grupos3.8 - Estrutura de anel3.9 - Estrutura de corpo
• Mostrar que através de uma relação especial (chamada de equivalência) é possível subdividir um conjunto em “pedaços” chamados de classe de equi-valência.
• Mostrar a importância das propriedades de uma operação nos Ensinos Fundamental e Médio.
• Construir as principais estruturas algébricas.
11Contextualização da Disciplina
A disciplina Álgebra, também conhecida por Estruturas Algébricas, visa dar uma noção das principais estru-turas da Matemática (conjunto munido de uma ou mais operações com certas propriedades) e intercalá-la com os conceitos primitivos do ensino básico.
13UNIDADE I
RELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTORELAÇÕES ESPECIAIS SOBRE UM CONJUNTO
1.11.1 - Relação ReflexivaRelação Reflexiva ou Reflexibilidade
Diremos que R é uma refl exiva se:
∀ x ∈E, (x, x) ∈E ou ∀ x ∈E, x R x.
Exemplo: 1) E = {1, 2, 3}.2) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2)} não é refl exiva, pois (3, 3) ∉ R1.3) R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 3)} é refl exiva. 2) Seja E = N e x R y ⇔ x ≤ y Ex. 2 ≤ 5 ⇒ 2 < 5 ou 2 = 5 ou: x ≤ y ⇔ x < y ou x = y 5 ≤ 3 ⇔ 5 < 3 ou 5 = 3 é falso!
1.21.2 - Relação Simétrica
Diremos que R é simétrica se:
∀ x, y ∈E se (x, y) ∈E, então y R x.Ou ∀ x, y ∈E se x R y, então y R x.
Exemplo: 1) E = {1, 2, 3} a) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 2)} não é simétrica, pois (2, 1) ∉ R1.b) R2 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1)} é simétrica.c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3)} é simétrica, pois x = y.
2) Seja E = R e x R y ⇔ x ≤ y Se a R b, então b R a (2, 3); (2, 2); (3, 3) ...a ≤ b então b ≤ a 2 < 3 2 = 2 3 = 3 (F)
1.31.3 - Relação Transitiva
Diremos que R é transitiva, se:
∀ x, y, z ∈E se (x, y) ∈R e (y, z) ∈R, então (x, z) ∈R.Ou, se x R y e y R z, então x R z.Exemplo: 1) E = {1, 2, 3}a) R1 = {(1, 2); (2, 3); (1, 3)} é transitiva.b) R2 = {(1, 3); (2, 3)} é transitiva.c) R3 = {(1, 1); (1, 2)} é transitiva.d) R4 = {(1, 3); (3, 1)} não é transitiva, pois não tem (1, 1) nem (3, 3).
Não é transitivo ⇒ {(1, 2); (2, 5); (1, 5); (3, 6); (5, 7)}.
Seja E ≠ φ e R uma relação binária contida em E x E, isto é, R ⊂ E x E.
141.41.4 - Relação de Equivalência
Diremos que R é de equivalência se: a) R é refl exiva x R x.b) R é simétrica x R y ou y R x.c) R é transitiva (x R y) e (y R x), então x R y.
Exemplo:1) E = {(1, 2, 3)}a) R1 = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 3)} é refl exiva; é simétrica; é transitiva. Logo, é R equivalente.b) R2 = {(1, 1); (2, 1); (1, 2); (2, 2)} (3, 3)∉ R não é refl exiva, não é R equivalente.c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)} é refl exiva; é simétrica; é transitiva. Logo, é R de equivalente.d) R4 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (1, 2)} não é simétrica, logo não é R de equivalência.
2) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x é divisor de y.R é de equivalência?R = {(1, 1); (2, 2); (4, 4); (1, 2); (1, 4); (2, 4)}Não é simétrica, logo não é de equivalência.
Classes de Equivalência
Seja R uma relação de equivalência em um conjunto E. Chamamos de classe de equivalência de um elemento
a ∈E e indicamos por a , ao conjunto:
a = {x ∈E / x R a}
O conjunto de todas as classes de equivalência é indicado por E/R, chamado de conjunto quociente de E por R.
As classes de equivalência determinam uma partição em E.
Exemplo: E = {1, 2, 3, 4}R = {(1, 1); (1, 3); (1, 4); (3, 1); (3, 3); (3, 4); (2, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 1)}
Eu posso ter:
1 = {x ∈E/x R 1} = x R 1 ⇔ (x, 1) ∈R. Então temos: {1, 3, 4}
2 = {x ∈E/x R 2} = x R 2 ⇔ (x, 2) ∈R. Então temos: {2}
3 = {x ∈E/x R 3} = x R 3 ⇔ (x, 3) ∈R. Então temos: {1, 3, 4}
4 = {x ∈E/x R 4} = x R 4 ⇔ (x, 4) ∈R. Então temos: {1, 3, 4}
A partir daí, temos que 1 = 3 = 4 e a rigor teremos duas classes. ⇒ E/R = {{1, 3, 4}; {2}}
A interseção é vazia e a união é E.
E
partição em E.
1
3 2
4
15Em outros pares poderia dar:
E
1 2 3 4
E
1
2
3
4
Exercícios Resolvidos
I) Seja E = (a ∈Z/-3 ≤ a ≤ 3} e x R y ⇔ x – y = 2 k, x ∈y
a) Construa a relação R. k = 0 ⇒ x – y = 0 ⇒ x = y⇒ (-3, -3); (-2, -2); (-1, -1); (0, 0); (1, 1); (2, 2); (3, 3)k = 1 ⇒ x – y = 2(-1, -3); (0, -2); (1, -1); (2, 0); (3, 1)k = -1 ⇒ x – y = -2(-3, -1); (-2, 0); (-1, 1); (0, 2); (1, 3)k = 2 ⇒ x – y = 4(1, -3); (2, -2); (3, -1)k = -2 ⇒ x – y = -4(-3, 1); (-2, 2); (-1, 3)k = 3 ⇒ x – y = 6(3, -3)k = -3 ⇒ x – y = -6(-3, 3)
E/R = {{-3, -1, 1, 3}; {-2, 0, 2}}b) Determine E/R.)
- 3 = {-3, -1, 1, 3}
- 2 = {-2, 0, 2}
-1 = {-3, -1, 1, 3} - 3 = -1 = 1 = 3
0 = {-2, 0, 2} - 2 = 0 = 2
1 = {-3, -1, 1, 3}
2 = {-2, 0, 2}
3 = {-3, -1, 1, 3}
c) Prove que R é de equivalência.c1 = Refl exiva ⇒ ∀ x ∈R, x R x ⇒ x – x = 2 k ⇒ 0 = 2 k ∴k = 0c2 = Simétrica ⇒ ∀ x, y ∈R, se x R y, então y R x.Se x R y, então x – y = 2 k, então –x + y = -2 k, então y – x = 2 (-k), então y R x.c3 = Transitiva ⇒ ∀ x, y, z ∈R, se x R y e y R z, então x R z.Se x R y ⇒ x – y = 2 a, a ∈ZSe y R z ⇒ y – z = 2 b, b ∈Z+
⇒ x – z = 2 a + 2 b⇒ x – z = 2(a + b) ⇒ x – z = 2 c; c ∈Z
E
∴k = 0
-3 -2
-2 0
+1 2
+3
16 II) Seja E = {a ∈Z/-4 ≤ a ≤ 4} e x R y ⇔ x 2 - 2 x = y 2 - 2 y.a) Determine a relação.
b) Determine E/R.
c) Prove que a relação é de equivalência.
Observação
Pelo primeiro exercício, notamos que toda relação do tipo: x – y = 2 k; x – y = 3 k; x – y = -2 k; x – y = -3 k, etc. (k ∈Z). São relações de equivalência.
Assim, podemos estabelecer que qualquer relação do tipo: x – y = k . m, em que k, m ∈Z é uma relação de equivalência em Z. Estabeleceremos que as classes de equivalências a (a barra) dessa relação são do tipo:
a = {x ∈Z/x R a} = {x ∈Z/x – a = k . m} e o conjunto de todas as classes de equivalência será:
Z/m = { 1,...,2,1,0 −m }
Tomemos por exemplo, m = 4
Assim, temos: x – y = 4 k; k ∈Z e a = {x ∈Z/x – a = 4 k}; Z / m = { 3,2,1,0 }.
a) 0 = {x ∈Z/x R 0} = {x ∈Z/x - 0 = 4 k} 0 = {..., -8, -4, 0, 4, 8, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto zero.b) 1 = {x ∈Z/x R 1} = {x ∈Z/x - 1 = 4 k} 1 = {..., -7, -3, 1, 5, 9, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto um.c) 2 = {x ∈Z/x R 2} = {x ∈Z / x - 2 = 4 k} 2 = {..., -6, -2, 2, 6, 10, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto dois.d) 3 = {x ∈Z/x R 3} = {x ∈Z / x - 3 = 4 k} 3 = {..., -5, -1, 3, 7, 11, ...} obs.: aqui são todos Z/4, dão resto três.
Como fi caria 4 ?
4 = {x ∈Z/x R 4} = {x ∈Z/x - 4 = 4 k} ∴ 4 = {..., -4, 0, 4, 8, ...} = 0
E se fi zer -1 ?
-1 = {x ∈Z/x R -1} = {x ∈Z/x – (-1) = 4 k} ∴-1 = {..., -5, -1, 3, ...} = 3
Assim, temos: O conjunto Z foi subdividido em 4 classes de equivalências distintas, em que a interseção é vazia e a união é Z.
Seja m = 3; então temos:
Z / 3 = { 0 , 1, 2 }
0 = {x ∈Z/x R 0} = {x ∈Z/x - 0 = 3 k} = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}
1 = {x ∈Z/x R 1} = {x ∈Z/x - 1 = 3 k} = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}
2 = {x ∈Z/x R 2} = {x ∈Z/x - 2 = 3 k} = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}
17As classes a (chamadas de classe residual módulo m) representam restos da divisão de inteiros por 3.
a) 0 é o conjunto de todos os inteiros que divididos por 3 deixam restos zero.b) 1 é o conjunto de todos os inteiros que divididos por 3 deixam restos 1.c) 2 é o conjunto de todos os inteiros que divididos deixam restos 2.
Adição Módulo m
∀ ∈ba, Z/m, a ⊕ b = ba +
Multiplicação módulo m
∀ ∈ba, Z/m, a ⊗ b = ba.
Exemplo:
1) Calcule em Z/3 :
a) 02102121 =⊕⇒=+=⊕b) 12212222 =⊕⇒=+=⊕c) 03203.232 =⊗⇒==⊗d) 033 =⊗
2) Calcule em Z/31 :
a) 26132 ��b) ��1711
c) ��1514
1.51.5 - Relação Antissimétrica
Observamos que uma relação R é antissimétrica em E se:
∀ x, y ∈E, se (x, y) ∈R e (y, x) ∈R, então x = y.Ou∀ x, y ∈E, se x R y e y R x, então x = y.
Exemplo: E = {1, 2, 4}a) R1 = {(1, 2); (2, 1); (2, 4)} não é antissimétrica.b) R2 = {(1, 2); (1, 4)} é antissimétrica.c) R3 = {(1, 1); (2, 2); (4, 4)} é antissimétrica e simétrica ao mesmo tempo.d) R4 = {(1, 2); (2, 4); (4, 2)} não é antissimétrica.e) R5 = {(1, 2); (2, 2)} é antissimétrica.
Obs.: A relação só será antissimétrica se não houver pares simétricos. Ex.: letra a e letra b.
Quando o/se antecedente for verdadeiro e o subsequente falso, então será verdadeiro. Isto é: {VeF = então V.
Se a condicional der falsa, então é verdadeiro.)(F
181.61.6 - Relação de Ordem
Diremos que uma relação R é de ordem em E se:
a) ∀ x ∈E, x R xb) ∀ x, y, z ∈E se x R y e y R z, então x R z.c) ∀ x, y ∈E se x R y e y R x, então x = y.
Exemplo: I) E = {1, 3, 5}a) R1 = {(1, 1); (1, 3); (3, 3); (5, 5)} ela é refl exiva (1, 1); (3, 3); (5, 5), ela é transitiva e antissimétrica. Logo,
é relação de ordem.b) R2 = {(1, 1); (3, 1); (3, 3); (5, 5)} é refl exiva, antissimétrica e transitiva. Logo, é uma relação de ordem.c) R3 = {(1, 1); (3, 3); (5, 5); (1, 5)} é refl exiva, transitiva e antissimétrica. Logo, é uma relação de ordem.d) R4 = {(1, 1); (3, 5); (3, 3); (5, 5); (5, 3)} só tem simetria. Não é antissimétrica. Logo, não é relação de
ordem.
II) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x ≤ y. Escreva os pares da relação e verifi que se é de ordem.E = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (4, 4)} É transitiva, refl exiva e antissimétrica. Logo, é relação de ordem.
III) Seja E = {1, 2, 4} e x R y ⇔ x é divisor de y. Escreva os pares da relação e verifi que se a relação é de ordem.E = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (4, 4)} É transitiva, é refl exiva e é antissimétrica. Logo, é de ordem.
1.71.7 - Operações Internas
Seja E ≠ φ . Chamamos de operação interna em E ou operação em E a toda função do tipo.f: E . E → E (x, y) → x∗ y. Em que x∗ y é a imagem da função f.
Notamos que x∗ y é um elemento de E.
Ilustrações:I) Seja E = {0, 1, 2, 3} e f: E×E → E em que x∗ y = resto (x, y) → x∗ y da divisão de x + y por 4.
Os pares ordenados de E×E podem ser dispostos através da tábua abaixo:
∗ 0 1 2 3
0
1
2
3
19Assim, temos: (0, 0) → 0∗ 0 = 0 (0, 1) → 0∗ 1 = 1...(3, 3) → 3∗ 3 = 2
II) Seja E = N e f: E . E → E (x, y) → x∗ y = x – y
Não é uma operação em E.
Notamos que y > x, (x – y) ∉ N.
Logo, a subtração não é uma operação em N quando y > x, (x – y).
Mas a subtração é uma operação em Z.
1.81.8 - Grupoide
Seja E ≠ φ e ""∗ uma operação defi nida em E. Chamamos de grupoide ao par (E, ∗ ).
Exemplo: 1) (N, +); grupoide aditivo Nota-se que a adição é uma operação em N.
2) (N, .); grupoide multiplicativo Nota-se que a multiplicação é uma operação em N.
3) Seja A = {x/x = 2 n; n ∈Z}. Prove que (A, ∗ ), em que a∗ b = a + b, é uma operação em A.
Devemos provar que:
∀ a, b ∈A, (a∗ b) ∈A. Sejam a, b ∈A: Então a = 2 n1; n1 ∈Z. b = 2 n2; n2 ∈Z.
Então: a∗ b = 2 n1 + 2 n2
a∗ b = 2 (n1 + n2) ⇒ a∗ b = 2 n3; 2 n3 ∈Z.
Logo: (a∗ b) ∈A.
4) Seja A = {x/x = 2 n, n ∈Z}. Prove que (A, ∗ ), em que a∗ b = a . b é uma operação em A.
Sejam a, b ∈A: Então a = 2 n1; n1 ∈Z. b = 2 n2; n2 ∈Z.
Então: a∗ b = 2 n1 . 2 n2 ⇒ Então a∗ b = 2 . 2n1n2 ⇒ a∗ b = 2 n3; n3 ∈Z.
Logo: (a∗ b) ∈A.
∗ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
20 5) Seja A = {x/x = 2 n +1, n ∈Z}. Prove que (A, ∗ ) não é um grupoide, em que a∗ b = a + b.
Sejam a, b, ∈A; então a = 2 n1 + 1 ; n1 ∈ Z. b = 2 n2 + 1 ; n2 ∈ Z.
Então a∗ b = 2 n1 + 1 + 2 n2 + 1; então: a∗ b = 2 n1 + 2 n2 + 2.
Então a∗ b = 2 (n1 + n2) + 2; então: a∗ b = 2 n3 + 2; n3 ∈Z.
Logo: (a∗ b) ∉ A.
6) Seja A = {a, b} e P(A) = {φ , {a}, {b}, {a, b}} que é o conjunto das partes de A (subconjunto de A). Cons-trua as tábulas dos grupoides. (A, I ) e (A, U ).
7) Resolva a equação [ ] 160)2()(3 =∗+∗∗ xxx em N, em que a∗ b = a + b + a . b.
[ ] 160)22().(3 =+++++∗ xxxxxx
⇒ � �)22(3 xx � + (3 x + 2) = 160
3 + (2 x + x²) + 3 (2 x + x²) + 2 + 3 x = 160
x² + 2 x + 3 + 6 x + 3 x² + 2 + 3 x = 160
4 x² + 11 x + 5 – 160 = 0
4 x² + 11 x – 155 = 0
x = ���
8
248012111x
��
8
260111x
8
5111 ��
x’ = 58
40�
x’’ = �
�
4
31
8
62N
� � {a} {b} {a, b}
� � � � �
{a} � {a} � {a}
{b} � � {b} {b}
{a, b} � {a} {b} {a, b}
� � {a} {b} {a, b}
� � {a} {b} {a, b}
{a} {a} {a} {a, b} {a, b}
{b} {b} {a, b} {b} {a, b}
{a, b} {a, b} {a, b} {a, b} {a, b}
21
Seja E ≠ φ e ""∗ uma operação defi nida em E.
UNIDADE II
PROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃOPROPRIEDADES DE UMA OPERAÇÃO
2.12.1 - Associatividade
Diremos que uma operação é associativa em E ou que (E, ∗ ) é um semigrupo se:
∀ x, y, z ∈E, (x∗ y)∗ z = x∗ (y∗ z)
Exemplo:1) A adição usual é associativa em N, Z, Q ou R.
∀ a, b, c ∈R, (a + b) + c = a + (b + c)
2) A multiplicação é associativa em N, Z, Q ou R.
∀ a, b, c ∈R, (a . b) . c = a . (b . c)
3) A operação a∗ b = a b (potenciação) em Z não é associativa.
∀ a, b, c ∈R, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c)
a b ∗ c = a∗ b c
(a cb ) = acb)(
(F)
Exercícios Resolvidos
1) Verifi que a associatividade nas operações:
I) x∗ y = x + y + 4, defi nida em R.∀ a, b, c ∈R, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c) ⇒ (a + b + 4)∗ c = a∗ (b + c + 4)
⇒ (a + b + 4) + c + 4 = a + (b + c + 4) + 4
⇒ a + b + 4 + c + 4 = a + b + c + 8 (V)
II) x� y =2
xy, definida em R
a, b, c �R, (a� b)� c = a� (b� c) (a . b)� c = a� (b . c)
(2
ab)� c = a� (
2
bc)
4
..
4
..
2
)2
..(
2
).2
.(
cbacba
cbac
ba
�� (V)
.
22 III) x∗ y = 22 yx + , defi nida em R + .
∀ a, b, c ∈R + , (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c)
43421∝
+ )( 22 ba ∗ c = a∗43421
β
)( 22 cb + ⇒ ∝ ∗ c = a∗ β
⇒ 222 )( c+α = 222 )( c+β ⇒ 2∝ + c 2 = 2β + c 2 ⇒ 222 )( ba + + c 2 = a 2 +
222 )( cb + ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 (V).
IV) a∗ b = ab
ba
��
1, defi nida em R – {1, -1}.
V) a∗ b = a + b – ab, defi nida em R.
VI) a ∗ b = a, defi nida em R.
VII) (a, b)∗ (c, d) = (ac, d + ac), defi nida em R . R.
VIII) (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d + 2 b . d), defi nida em R . R.
2.22.2 - Comutatividade
Diremos que uma operação ""∗ é comutativa em E se:∀ x, y ∈E, x∗ y = y∗ x
Exemplo: 1) A adição é comutativa em N, Z, Q ou R.∀ a, b ∈R, a + b = b + a
2) A multiplicação é comutativa em N, Z, Q ou R.∀ a, b ∈R, a . b = b . a
3) A operação a∗ b = a 2 (potenciação) em N não é comutativa.∀ a, b ∈N, a∗ b = b∗ a ∴a b = b a (F)
4) A operação (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + b) não é comutativa em N . N.∀ (a, b), (c, d) ∈ N . N, (a, b)∗ (c, d) = (c, d)∗ (a, b) ⇒ (ac, ad + d) = (ca, cb + d) (F)
2.32.3 - Existência do Elemento Neutro
Seja ""∗ uma operação defi nida em E. Diremos que ""∗ admite o elemento neutro e se:∀ x ∈E, x∗ e = e∗ x = x
Exemplo: 1) A adição em N, Z, Q ou R admite o zero como elemento neutro.∀ x ∈R, x + 0 = 0 + x = x
232) A multiplicação em N, Z, Q ou R admite a unidade como elemento neutro.∀ x ∈R, x . 1 = 1 . x = x
3) Considere a operação x ∗ y = x + y – 4 defi nida em R. Vamos determinar o elemento neutro.∀ x ∈R, x∗ e = e ∗ x = x ⇒ x + e – 4 = e + x – 4 – x; então: x + e – 4 = x; e = 4.
4) Seja x∗ y = x + xy uma operação defi nida em R-{0}. Determine o elemento neutro.
Notamos que a operação não é comutativa.
Vejamos:∀ a, b ∈R, a∗ b = b∗ a ∴a + ab = b + ba (F)
Então, temos que verifi car a existência do elemento neutro à esquerda e à direita da operação.
Assim, temos:a) x∗ e = x (elemento neutro à direita) x + x e = x x e = 0 ∴e = 0; x ≠ 0
b) e∗ x = x (elemento neutro à esquerda)
e + e x = x e = 1+x
x e (1 + x) = x
Observamos que o elemento neutro não é único, pois o elemento neutro à esquerda é literal.
Assim, concluímos que a operação não admite o elemento neutro.
5) Seja x∗ y = 2
yx + uma operação defi nida em R. Determine o elemento neutro.
Notamos que a operação é comutativa; então:
∀ x ∈R, x∗ e = e∗ x = x
xxeex=+=
+22
Então 2
ex + = x ⇒ x + e = 2 x ⇒ e = x; ≠ o elemento neutro.
6) Seja (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + d) uma operação em R*×R.
Vejamos a comutatividade:
∀ (a, b), (c, d) ∈R . R, (a, b)∗ (c, d) = (c, d)∗ (a, b) ⇒ (ac, ad + b) = (ca, cb + d) (F)
a) Elemento neutro à esquerda:
∀ (x 1 , x 2 ) ∈ R*×R, (e 1 , e 2 )∗ (x 1 , x 2 ) = (x 1 , x 2 )
(e 1 x 1 , e 1 x 2 + e 2 ) = (x 1 , x 2 )
e 1 x 1 = x 1 → e 1 = 1
1
xx
→ e 1 = 1; x ≠ 0
e 1 x 1 + e 1 = x 2 → x 2 + e 2 = x 2 → e 2 = 0
24b) Elemento neutro à direita:
∀ (x 1 , x 2 ) ∈ R*×R, (x 1 , x 2 )∗ (e 1 , e 2 ) = (x 1 , x 2 )
(x 1 e 1 , x 1 e 2 + x 2 ) = (x 1 , x 2 )
x 1 e 1 = x 1 → e 1 = 1; x 1 ≠ 0
x 1 e 2 + x 2 = x 2
x 1 e 2 = 0 → e 2 = 0; x 1 ≠ 0
Logo: (e 1 , e 2 ) = (1,0).
Exercícios Resolvidos
Determine o elemento neutro:
1) x∗ y = xy
yx
��
1, defi nida em R- {1, -1}.
x∗ 1 = 1
xxe
ex�
��
1
x + e = (1 + x e)
x + e = x + x 2 e
e - x 2 e = 0
e (1 - x 2 ) = 0
e = 21
0x−
→ e = 0; x ≠ 1; x ≠ -1.
2) x∗ y = 22 yx + , defi nida em R.
x∗ e = x22 ex + = x
x 2 + e 2 = x 2
e 2 = 0 ∴e = 0
3) x ∗ y = x + y – xy, defi nida em R.
x ∗ e = x
x + e – xe = x
e (1 – x) = 0
e = x−1
0 ∴ e = 0; x ≠ 0
4) (a, b)∗ (c, d) = (a . c, b + d), defi nida em R×R.
252.42.4 - Elementos Simetrizáveis
Seja (E, ∗ ) um grupoide com elemento neutro ""e . Diremos que um elemento a ∈E é simetrizável se existir a’ ∈E (simétrico de a) tal que:
a∗ a’ = a’∗ a = e
Exemplo: 1) Em (Z, +), temos: elemento neutro é zero. a + a’ = a’ + a = 0 ∴ a’ = -a
Notamos que todos os elementos são simetrizáveis.
Ex.: 4∗ (-4) = (-4)∗ (4) = 0
2) Seja (R, .): elemento neutro é um.
a . a’ = a’ . a = 1 ∴ a’ = a1
; a ≠ 0.
Notamos que todos os elementos não-nulos são simetrizáveis, assim os elementos simetrizáveis pertencem ao conjunto R- {0} ou R * .
Ex.: 21
. 2 = 2 . 21
= 1; 54
. a’ = 1
3) Seja x∗ y = x + y – 2, defi nida em R.
a) Elemento neutro: x∗ e = x ⇒ x + e – 2 = x ⇒ e = 2
b) Elementos simetrizáveis: a∗ a’ = 2 a + a’ – 2 = 2 ∴ a’ = 4 – a → todos os elementos são simetrizáveis.
Notamos, por exemplo, que:
a) O simétrico de 4 é zero ⇔ 4∗ 0 = 0∗ 4 = 2
b) O simétrico de 5 é -1 ⇔ 5∗ (-1) = (-1)∗ 5 = 2
4) Seja x∗ y = 3 33 yx + uma operação em R.
Qual é o simétrico de -1?
a) Elemento neutro;x∗ e = x
3 33 ex + = x
x 3 + e 3 = x 3
e = 0
26b) Elemento simétrico;
a∗ a’ = 0
3 33 'aa + = 0
a 3 + a’ 3 = 0
a’ 3 = -a 3
a’ = 3 3a− = -a
c) Simétrico.
a’ = - (-1) = 1
Exercícios Resolvidos
I) Seja x∗ y = x + y – 5, defi nido em R. Qual é o simétrico de 5?a) Elemento neutro;x∗ e = xx∗ e – 5 = xe = 5
b) Elemento simétrico;a∗ a’ = 5a + a’ – 5 = 5a + a’ = 10a’ = 10 – a
c) Simétrico.a’ = 10 – 5a’ = 5
II) Seja (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, bd), defi nida em R×R. Qual é o simétrico de (-1, 2)?
III) Considere a operação defi nida em R×R, por: (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + bc). Qual é o simétrico de (2, 1)?
2.52.5 - Distributividade
Seja E ≠ φ em que se defi na duas operações ""∗ e ""Τ . Diremos que a operação ""Τ é distributiva em relação à operação ""∗ se:
∀ a, b, c ∈E a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c) direita (b∗ c) T a = (b T a)∗ (c T a) esquerda
Exemplo: 1) A operação de multiplicação é distributiva em relação à adição e à subtração, em N, Z, Q ou R.
∀ a, b, c ∈E a (b + c) = ab + ac (b + c) . a = ba + ca
∀ a, b, c ∈E a (b - c) = ab - ac (b - c) . a = ba - ca
272) Sejam a T b = a + b – ab e a∗ b = a + b – 1 operações defi nidas em R.
Verifi que se “T” é distributiva em relação à “∗ ”.
Comutatividade em (T). a T b = b T aa + b – ab = b + a – ba (V)
a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c)a T (b + c – 1) = (a + b – ab)∗ (a + c – ac)a + (b + c – 1) – a (b + c – 1) = a + b – ab + a + c – ac – 1a + b + c – 1 – ab - ac + a = a + b – ab + a + c – ac – 1 (V)
Exercícios Resolvidos
I) Verifi que se “T” é distributiva em relação à “∗ ”, nos casos:
1) a� b = a + b – 3 e a T b = a + b -3
ab, definidas em R.
a T b = b T a a T (b � c) = (a T b ) � (a T c)
a + b -3
ab= b + a -
3
baa T (b + c – 3) = (a + b -
3
ab)� (a + c -
3
ac)
a + b + c – 3 -3
)3( � cba= a + b -
3
ab+ a + c -
3
ac- 3
a + b + c – 3 -3
ab-
3
ac+
3
3a= a + b -
3
ab+ a + c -
3
ac- 3
(V)
2) (a, b) T (c, d) = (ac, bd) e (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d) defi nidos em R×R.
Comutatividade em T.
(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)(ac, bd) = (ca, db)
(a, b) T {(c, d)∗ (e, f)} = [(a, b) T (c, d)]∗ [(a, b) T (e, f)](a, b) T (c + e, d + f) = (ac, bd)∗ (ae, bf)(a (c + e), b (d + f) = (ac + ae, bd + bf)
(ac + ae, bd + bf) = (ac + ae, bd + bf) (V)
3) (a, b) T (c, d) = (ac, ad + bc) e (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d), defi nidas em R×R.
Comutatividade T.
(a, b) T (c, d) = (c, d) T (a, b)(ac, ad + bc) = (ca, cb + da) (V)
(a, b) T [(c, d)∗ (e, f)] = [(a, b) + (c, d)]∗ [(a, b) T (e, f)]
(a, b) T (c + e, d + f) = (ac, ad + bc)∗ (ae, af + be)(a (c + e), a (d + f) + b (c + e)) = (ac + ae, ad + bc + af + be)(ac + ae, ad + af + bc, be) = (ac + ae, ad + bc + af + be)
28 UNIDADE III
GRUPOS, ANÉIS E CORPOSGRUPOS, ANÉIS E CORPOS
3.13.1 - Introdução à Teoria dos Grupos
Seja E ≠ φ , em que se defi ne uma operação ∗ . Diremos que “∗ ” defi ne em E uma estrutura de grupo ou que (E, ∗ ) é um grupo se:
a) ∀ a, b, c ∈E, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c) associativa.b) ∀ x ∈E, x∗ e = e∗ x = x ter elem. neutro.c) ∀ x ∈E, x∗ x’ = x’∗ x = e ter simétrico.
Se, além das condições acima, tivermos ∀ a, b ∈E, a∗ b = b∗ a, diremos que o grupo é comutativo ou que o grupo é abeliano.
Exemplo:1) São grupos abelianos. (Z, +), (R, +), (R*, .)
2) (N, +) não é um grupo.
3) (R, ∗ ) é um grupo, em que a∗ b = a + b – 2.
3) (R, ∗ ), a∗ b = a + b – 2.a) Associatividade∀ a, b, c ∈E, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c)(a + b – 2)∗ c = a∗ (b + c – 2)(a + b – 2) + c – 2 = a + (b + c – 2) – 2a + b + c – 4 = a + b + c – 4 (V)
b) Comutatividade∀ a, b ∈E, a∗ b = b∗ a ⇒ a + b – 2 = b + a – 2 (V)
c) Elemento neutro∀ x ∈ , x∗ e = xx + e – 2 = xe – 2 = 0 ∴e = 2
d) Elemento simetrizável ∀ x ∈ , x∗ x’ = ex + x’ – 2 = 2x’ = 4 – x é abeliano
Exercícios Resolvidos
1) a∗ b = ab
ba
��
1, E = R- {1, -1}
2) a∗ b = 2
ab , E = R* ou E = R- {0}
a) Associativa: ∀ a, b, c ∈R, (a∗ b)∗ c = a∗ (b, c).
29� �
��
2()
2(
bcac
ab��� ) � � c = a� �
2
c�=
2
3av
2
2
.
2
2
. abacab
����
442
2
2
2 abcabc
abcabc
��� (V).
b) Comutatividade: a, b�R*, a � b = b� a �22
baab� (V).
c) Elemento Neutro: x �R*, x � e = x 2
xe= x xe = 2 x e = �
2
2xe = 2.
d) Elemento Simetrizável: x �R*, x � x' = e �x
xxxxx 4
'4'22
'.����� .
3) (a, b)∗ (c, d) = (ac, bd), defi na em E = R*×R*
a) Associatividade: ∀ (a, b), (c, d), (e, f) ∈R*×R* [(a, b)∗ (c, d)]∗ (e, f) = (a, b)∗ [(c, d), (e, f)] (ac, bd)∗ (e, f) = (a, b)∗ (ce, df) (ace, bdf) = (ace, bdf) (V)
b) Comutatividade:
∀ (a, b), (c, d) ∈R* . R*, (a, b)∗ (c, d) = (c, d)∗ (a, b) ⇒ (ac, bd) = (ca, db).
c) Elemento neutro: (x 1 , x 2 )∗ (e 1 , e 2 ) = (x 1 , x 2 )(x 1 e 1 , x 2 e 2 ) = (x 1 , x 2 )x 1 e 1 = x 1 ∴e 1 = 1x 2 e 2 = x 2 ∴ e 2 = 1
d) Elemento simetrizável:
∀ (x 1 , x 2 ) ∈R* . R*, (x 1 , x 2 )∗ (x '1 , x '
2 ) = (1, 1)
(x 1 x '1 , x 2 x '
2 ) = (1, 1)
x 1 x '1 = 1 ⇒ x '
1 = 1
'x
x 2 x '2 = 1 ⇒ x '
2 = 2
'x
4) (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d), defi nida em E = R×R.
5) (a, b)∗ (c, d) = (ac, ad + bc), defi nida em E = R*×R.
c) Elemento neutro:
d) Elementeo simetrizável:
303.23.2 - Grupos Finitos
Seja (G, ∗ ) um grupo.
Se G é um conjunto fi nito, diremos que (G, ∗ ) é um grupo fi nito.
Todo grupo fi nito pode ser representado por uma tábua de operação ∗ , em que:
I) Não há repetições de elementos em linhas e colunas.
II) O elemento neutro é determinado pela interseção de uma linha (equivalente à linha fundamental) com uma coluna (equivalente à coluna fundamental).
III) Se a tábua é “simétrica” em relação à diagonal principal, o grupo é abeliano.
IV) Não há regra prática para se verifi car diretamente na tábua a associatividade; temos que testar todos os compostos (x∗ y)∗ z = x∗ (y∗ z).
Exemplo: E = {a, b, c}; (E, ∗ ) é um grupo, em que a operação ∗ é defi nida pela tábua:
a) Elemento neutro é b b) Elemento simetrizável a → c ⇔ a∗ c = b b → b ⇔ b∗ b = b
c) Associatividade: (x∗ y)∗ z = x∗ (y∗ z)
c1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) c2) (a ∗ c) ∗ b = a ∗ (c ∗ b) a ∗ c = a ∗ c b ∗ a = b ∗ b b = b b = b c3) (b ∗ a) ∗ c = b ∗ (c ∗ a) c4) (b ∗ c) ∗ a = b ∗ (c ∗ a) a ∗ c = b ∗ b c ∗ a = b ∗ b b = b b = b
c5) (c ∗ a) ∗ b = c ∗ (a ∗ b) c6) (c ∗ b) ∗ a = c ∗ (b∗ a) b ∗ b = c ∗ a c ∗ a = c ∗ a b = b b = b
Principais Grupos Finitos
I) Grupo de Klein:
Elemento neutro: “e” simétricos: e → e a → a b → b c → c
� a b c
a c a b
b a b c
c b c a
� e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
31II) Grupo cíclico de ordem 4:
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a
III) ( )⊕;/ nZ Grupo aditivo das classes residuais:
Elemento neutro: “ 0 ” simétricos: 0 → 0 1 → 4 2 → 3
Exercícios Resolvidos
1) Seja A = {f1, f2, f3, f4} em que f1(x) = x; f2(x) = x1
; f3(x) = -x; f4(x) = x1−
. Construa a tábua do grupo (A, ○),
em que “○” é operação de composição de funções e determine todos os simétricos:
(f2 ○ f4) (x) = f2 (f4 (x)) = f2 ( x1−
) = x1
1− = -x
(f2 ○ f4) (x) = f3
(f1 ○ f1) (x) = f1 (f1(x)) = f1 (x) = (f1 ○ f1) (x) = f1
(f1 ○ f2) (x) = f1(f2(x)) = f1 ( x1
) = (f1 ○ f2) (x) = f2
(f1 ○ f3) (x) = f1 (f3(x) = f1 (-x) = (f1 ○ f2) (x) = f3
(f1 ○ f4) (x) = f1 (f4(x) = f1 ( x1−
) = (f1 ○ f4) (x) = f4
(f2 ○ f2) (x) = f2 ( x1
) = x11
= x
(f2 ○ f2) (x) = f1
(f3 ○ f2) (x) = (f3 (-x)) = +x (f3 ○ f3) = f1
simétricos: f1 é f1
f2 é f2
f3 é f3
f4 é f4
� 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
○ f1 f2 f3 f4
f1 f1 f2 f3 f4
f2 f2 f1 f4 f3
f3 f3 f4 f1 f2
f4 f4 f3 f2 f1
32 2) Seja G = { Jr
, , , 4 , 5 , 6 } ⊂ Z/7. Construa a tábua do grupo (G, ⊗ ), determinando seus simétricos.
Obs.: Multiplica-se a 1ª linha c/ a 1ª coluna; divide por 7 e o resto é o resultado.
Elemento neutro: 1 1 = 1
2 = 4 e 4 = 2
5 = 5 e 5 = 3
6 = 6
O simetrizável é quando multiplicamos a coluna pela linha e encontramos o elemento neutro.
3.33.3 - Subgrupos
Seja (A, ∗ ) um grupo, B ≠ φ , B ⊂ A. Diremos que (B, ∗ ) é um subgrupo de (A, ∗ ) se:
1) e ∈B, e elemento neutro de (A, ∗ ).2) ∀ a ∈B, ∃ a’ ∈B.3) ∀ a, b ∈B, (a∗ b) ∈B.
Ex.: 1) (Z, +) é um subgrupo de (R, +).
a) 0 ∈ Z; 0 elemento neutro de (R, +).b) ∀ a ∈Z, a’ ∈Z ∴a’ = -a.c) ∀ a, b ∈Z, (a + b) ∈Z.
2) (A, +) é um subgrupo de (Z, +), em que A = {x ∈Z/ x = 2 m; m ∈Z}.
a) 0 ∈A, fazendo m = 0.b) Seja a ∈A; então a = 2 b; b ∈Z.Então a + a’ = 0 ∴a’ = -a. Logo: a’ = -2 b, então a’ = 2 (-b), logo a’ ∈A.
c) Sejam c, d ∈A.Então: c = 2 m1; m1 ∈Z ⇒ Então c + d = 2 m1 + 2 m2 d = 2 m2; m2 ∈Z = 2 (m1 + m2) = 2 m3 Então: c + d = 2 m3; m3 ∈Z. Logo, (c + d) ∈A.
3) Seja (Z/6), ⊕ ) um grupo.Verifi que se (A, ⊕ ) é um subgrupo de (Z/6, ⊕ ), em que:
a) A = { 4,0 } → Elemento neutro 0 (V).
→ O simétrico de 4 é 2 ∴ 2 ∉ A
Logo, não é subgrupo.
b) A = { 4,2,0 } → Tem o elemento neutro 0 . (V).
→ O simétrico de 0 é 0 , e 2 é 4 .
→ E a soma ∈⊕ ba A, pois 0 + 0 = 0 ; 2 + 2 = 4 ; 2 + 4 = 6 ∴ 6 = 0 e 4 + 4 = 68 = 2
Portanto, é um subgrupo.
� 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1
334) Seja (Z/8; ⊕ ), determine todos os seus subgrupos:
Em (Z/8; ⊕ ), temos: → Elemento neutro 0 . (V).
→ Os simétricos de 0 é 0 ; 1 é 7 ; 2 é 6 ; 3 é 5 ; 4 é 4 .
Vejamos os subgrupos:
a) Com 1 elemento:H1 }0{ → somente esse.
b) Com 8 elementos:H1 = }7,6,5,4,3,2,1,0{ .
c) Com 2 elementos:H1 = }4,0{ .
d) Com 3 elementos:Opções A = }7,1,0{ → ∉=+ 211 A
B = }6,2,0{ → ∉=+ 422 A
C = }5,3,0{ → ∉=+ 633 C
Todas falsas
e) Com 4 elementos:
Opções D = }4,7,1,0{ (F)
E = }4,6,2,0{ (V)
F = }4,5,3,0{ (F)
Então: H4 = }6,4,2,0{ .
f) Com 5 elementos:
Opções G = }6,2,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 321 G
H = }5,3,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 211 H
I = }5,3,6,2,0{ (F) ∉=⊕ 422 I
g) Com 6 elementos:
Opções Jr
= }4,6,2,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 321 J
L = }4,5,3,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 211 L
M = }4,5,3,6,2,0{ (F) ∉=⊕ 145 M
h) Com 7 elementos:
Opções: N = }5,3,6,2,7,1,0{ (F) ∉=⊕ 422 N
345) Considere o grupo de Klein. Quais são os seus subgrupos?
Elemento neutro → e simétricos: e → e; a → a; c → c; H1 = {e}; H2 = {e, a, b, c}; H3 = {e, a}; H4 = {e, b}; H5 = {e, c}
6) Considere o grupo defi nido pela tábua abaixo. Quais os subgrupos:
Elemento neutro: e simétricos: e → e; a → c; b → b; d → f H1 = {e} H2 = {a, b, c, d, e, f} H3 = {e, b} H4 = {e, a, c}
3.43.4 - Potência de um Grupo
Seja (E, ∗ ) um grupo e a ∈E.
Defi nições:1) (*a) n = a∗ a∗ a∗ ... ∗ a2) (*a) 0 = e (elemento neutro de (E, ∗ ))3) (*a) n− = (*a’) n
Ilustração: Considere o grupo (E, ∗ ), defi nido abaixo:
Elemento neutro: c simétricos: c → c; a → e; b → d
a) (*d) 2 = d∗ d) = eb) (*c) 3 = (c∗ c)∗ c = c∗ c = cc) (*b) 3 = (b∗ b)∗ b = a∗ b = ed) (*e) 2− = (*e’) 2 = (*a) 2 = a∗ a = d
3.53.5 - Subgrupos Cíclicos
Seja (E, ∗ ) um grupo e a ∈E. Chamamos de subgrupo cíclico, gerado pelo elemento a ∈E e indicamos por [a], ao conjunto: [a] = {(*a) n /n ∈Z}.
� e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
� a b c d e f
a c d e f a b
b d e f a b c
c e f a b c d
d f a b c d e
e a b c d e f
f b c d e f a
� a b c d e
a d e a b c
b e a b c d
c a b c d e
d b c d e a
e c d e a b
35Exemplo: Seja o grupo (E, ∗ ).
[b] = {b} Elemento neutro = b
a) [c] = {(*c) n /n ∈Z} ⇒ n = 0 → (*c) 0 = b; n = 1 → (*c) 1 ; n = 2 → (*c) 2 = d
n = -1 → (*c) 1− = (*a) 1 = a; n = -2 → (*c) 2− = (*a) 2 = f
n = 3 → (*c) 3 = e; n = -3 → (*c) 3− = (*a) 3− = e[c] = {b, c, d, a, f, e}.
b) [a] = {(*a) n /n ∈Z} = {f, e, d, c, b, a}.
c) [d] = {(*d) n /n ∈Z} = {f, b, d}.
d) [f] = {(*f) n /n ∈Z} = {d, b, f}.
Exercícios Resolvidos
1) Seja A = {1, -1, i, -i}. O grupo (A, .) em que i 2 = -1 é cíclico. [1] = {1}. [-1] = {1, -1}. [i] = {-1, -i, 1, i} = A. [-i] = {-1, i, 1, -i} = A.
Logo: (A, .) é um grupo cíclico, sendo i e –i seus geradores.
2) Seja A = {a, b, c, d}. Verifi que se o grupo (A, ∗ ) é cíclico. Caso seja, determine seus elementos geradores.
[a] = {a}. [b] = {c, d, a, b} = A é um gerador. [c] = {a, c}. [d] = {c, b, a, d} = A é um gerador.
Logo: (A, ∗ ) é cíclico sendo b e d seus geradores.
3) Seja (Z/4, ⊕ ) um grupo:
a) Construa a tábua;b) Determine seus geradores;c) Verifi que se é cíclico, determinando seus possíveis geradores.
� a b c d e f
a f a b c d e
b a b c d e f
c b c d e f a
d c d e f a b
e d e f a b c
f e f a b c d
(.) 1 -1 i -i
1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
� a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
363.63.6 - Homomorfismo de Grupos
Sejam os grupos (A, ∗ ) e (B, T). Chamamos de homomorfi smo de (A, ∗ ) em (B, T), a toda função do tipo:
f: A → B/ ∀ a, b ∈A, f (A∗ B) = f (a) + f (b).
Ex.: (R, +) e (R *+ , .) ∴f = R → R *
+ /f(n) = 2 r
Ilustração:
(R, +) (R *+ , .)
1 f 2 1 = 2 Então, f(1 + 2) = 8. f (1 + 2) = f(1) . f(2); de um modo geral, 2 f 2 2 = 4 faremos ∀ a, b ∈R, f (a + b) = f (a) . f (b)
1 + 2 f 2 12+ = 8 2 ba+ = 2 a . 2 b (V)
Mostramos que a situação acima vale para toda função f: R → R *+ . Tomemos por exemplo:
f: R → R *+ /f(x) = x + 1
∀ a, b ∈R, f(a + b) = f(a) . f(b)
a + b + 1 = (a + 1) . (b + 1) (F)
Pequeno resumo da aula anterior: (Homomorfi smo)
(A, ∗ ) e (B, T) ∴f: A → B/ ∀ a, b ∈A
f:(a ∗ b) = f(a) T f(b)
2) Sejam os grupos:(R*, .) e (R, +). Mostre que F: R *
+ → R/F(x) → log 2 x é um homomorfi smo de (R *+ , .) em (R *
+ , .).
(R *+ , .) e (R, +)
Fx = log 2 x
∀ a, b ∈ R *+ : F(a, b) = F(a) + F(b)
⇓ log 2 (a . b) = log 2 a + log 2 b (V) Propriedade dos logaritmos
3) Seja o grupo (R *+ , .). Verifi que se F: R *
+ → R *+ /F(x) = x é um homomorfi smo de (R *
+ , .) em (R *+ , .).
(R *+ , .) (R *
+ , .) F(x) = x
∀ a, b ∈ R *+ : F(a . b) = f(a) . f(b)
ba. = a . b (V) Propriedade produto das raízes
4) Seja (Z, +) um grupo e F: Z → Z/f(x) = x + 2. Verifi que se a função dada é um homomorfi smo de (Z, +) em (Z, +).
(Z, +) e (Z, +) F(x) = x + 2∀ a, b ∈ Z: F(a + b) = f(a) + f(b) a + b + 2 = a + 2 + b + 2 (F)
373.73.7 - Isomorfismo de Grupos
Sejam os grupos (A, ∗ ) e (B, T). Chamamos de isomorfi smo de (A, ∗ ), em (B, T), a toda função do tipo:
1) ∀ a, b ∈A, f(a∗ b) = f(a) T f(b).
2) f é bijetora. Nesse caso, também diremos que os grupos são isomorfos.
Exemplo:
1) Sejam os grupos (R *+ , .) e (R, +). Mostre que f: R*→R/f(x) = log 2 x é um isomorfi smo de (R *
+ , .) em (R, +).
a) ∀ a, b ∈ R *+ , f(a, b) = f(a) + f(b)
log 2 (a . b) = log 2 a + log 2 b (V)
b1) Sobrejetora: Im (f) = R f(x) = log 2 x ou y = log 2 x
y = log 2 x
x = 1 → log 2 1 ⇒ y = 0 x = 21 ⇒ y = log 2
1
2 ⇒ y = -1
x = 2 → log 2 2 ⇒ y = 1
x = 4 → log 2 4 ⇒ y = 2 x = 41 ⇒ y = log 4
1
2 ⇒ y = -2
D(f) = R* Im(f) = R. (V)
b2) Injetora ⇒ Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a) = f(b), então log 2 a = log 2 b. Entre a = b (V).
2) Considere os grupos (R, +) e (R *+ , .). Mostre que f: R→R *
+ /f(x) = 2 2 é um isomorfi smo de (R, +) em (R *+ , .).
a) ∀ a, b ∈R, f(a + b) = f(a) . f(b)
2 ba+ = 2 a . 2 b (V)
b1) Sobrejetora: Im (f) = R *+ ⇒ y = x2 x = 0 → y = 1
x = 1 → y = 2 x = -1 → y = 2
1 x = 2 → y = 4 x = -2 → y = 4
1 D(f) = R Im(f) = R *
+ (V)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
x
y
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
x
y
38b2) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b.
Se f(a) = f(b), então 2 a = 2 b , então a = b. (V)
Obs.: y = a x ⎯⎯→⎯ VT . x = a y
y = log a x
3) Sejam os grupos (Z×Z, +) e (Z, +). Mostre que f: Z×Z → Z/f(x, y) = x é um epimorfi smo (homomorfi smo
sobrejetor) de (Z×Z, +) em (Z, +).
a) (a, b), (*c, d) ∈ Z×Z, f(a, b) + (c, d) = f(a, b) + f(c, d) f(a + c, b + d) = f(a, b) + f(c, d) a + c = a + c (V)
b1) Sobrejetora: Im(f) = Z f(x, y) = x logo: f(0, 0) = 0; f(0, 1) = 0; f(1, 2) = 1; f(1, 3) = -1 (Z×Z) = Z (V) ou seja, é todo o Z. (V)
b2) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a, b) = f(c, d), então (a, b) = (c, d), então a = c e b = d.
Se f(a, b) = f(c, d), então a = c e não ocorre b = d, logo é falso. Exemplo: f(-1, 2) = -1 (-1, 2) (F). f(-1, 3) = -1 (-1, 3) -1
4) Considere os grupos (Z, +) e (Z×Z, +). Mostre que f: Z → Z×Z/f(x) = (x, 0) é um monomorfi smo (homo-morfi smo injetor) de (Z, +) em (Z×Z, +).
a) ∀ a, b ∈Z, f(a + b) = f(a) + f(b) (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0). (V)
b) Sobrejetora: Im(f) = Z×Z (F) Se f(x) = (x, 0) ⇒ Im(f) ≠ Z×Z
c) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a) = f(b), então (a, 0) = (b, 0) ⇒ a = b. (V)
5) Sejam os grupos (R,+) e (R,T) em que a T B = a + b + 1.Verifi que se f: R→R/f(x)=x–1 é um isomorfi smo de (R, +) em (R, T).
a) Homomorfo:∀ a, b ∈R, f(a + b) = f(a) T f(b) a + b – 1 = (a – 1) T (b – 1) a + b – 1 = a – 1 + b – 1 + 1 a + b – 1 = a + b – 1 (V)
b) Sobrejetora:f(x) = x – 1 D = Rx = 0 → y = -1 Im = R (V)x = 1 → y = 0x = -1 → y = -2x = 2 → y = 1x = -2 → y = -3
-2 -1 1 2
-1
1
x
y
39c) Injetora: Se f(a) = f(b), então a = b. Se f(a) = f(b), então a – 1 = b – 1, então a = b. (V)
Isso é Isomorfi smo!
3.83.8 - Estrutura de Anel
Seja A ≠ φ , em que se defi ne duas opções ∗ e T. Diremos que as operações defi nem em E uma estrutura de anel ou que (E, ∗ , T) é um anel se:
a) (A, ∗ ) é um grupo abeliano.b) ∀ a, b, c ∈A, (a T b) T c = a T (b T c).c) ∀ a, b, c ∈A a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c). (b∗ c) T a = (b T a)∗ (c T a).
Notas: 1) Seja (E, ∗ , T) um anel.Se ∀ a, b ∈E, a T b = b T a, diremos que o anel é comutativo.
2) Seja (E, ∗ , T) um anel comutativo.Se ∀ x ∈E, x T e = e T x = x, diremos que (E, ∗ , T) é um anel comutativo com elemento neutro, também
chamado de anel comutativo com unidade.
Exemplo:
1) (Z, +, .) é o anel dos inteiros.
2) (R, +, .) é o anel dos reais.
3) ( ⊗⊕,,nz ) é o anel das classes residuais.
4) Seja (R, ∗ , T) um grupo abeliano, em que a ∗ b = a + b – 1. Verifi que se (R, ∗ , T) é um anel comutativo
com unidade, em que a T b = a 1 + b 2 – a 1 b 2 .
a) Associatividade (T):∀ a, b, c ∈R, (a T b) T c = a T (b T c) (a + b – ab) T c 2 = a 1 T (b + c 2 - bc) a + b – ab + c – (a + b – ab) . c = a + b + c – ab – a (b – c – bc) a + b – ab + c – ca – ab + abc = a + b + c – ab – ac + abc Lado1 = lado 2.
b) Comutativa:∀ a, b ∈R, a T b = b T a a + b – ab = b + a – ab (V)
c) Distributividade:∀ a, b, c ∈R, a T (b∗ c) = (a T b)∗ (a T c)a T (b + c – 1) = (a + b – ab)∗ (a + c – ac)a + (b + c – 1) – a (b + c – 1) = (a + b – ab) + (a + c – ac) – 1a + b + c – 1 – ab – ac + a = a + b – ab + a + c – ac – 1 (V)
40d) Elemento neutro (T):
∀ x ∈R, x T e = x
x + e – xe = x
e (1 – x) = 0
e = x−1
0 ⇒ e = 0; x ≠ 1
5) Seja (R×R, ∗ ) um grupo abeliano, em que (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d). Verifi que se (R×R, ∗ , T) é um anel comutativo, em que (a, b) T (c, d) = (ac, 0).
6) Seja (R×R, ∗ ) um grupo abeliano, em que (a, b)∗ (c, d) = (a + c, b + d).
Elementos Inversíveis de um Anel
Seja (E, ∗ , T) um anel comutativo com unidade. Diremos que um elemento a ∈E é inversível se a T a’ = a’ T a = e.
O conjunto dos elementos inversíveis de E é dado por U(E).
Exemplo:
1) (Z, +, .)
a . a’ = 1 ⇒ a’ = a1 ∈Z ⇒ a = 1 ou a’ = -1
Logo: U(Z) = {1, -1}
2) (R, +, .)
a . a’ = 1 ⇒ a’ = a1 ∈R; a ≠ 0
Então U(R) = R –{0}.
3) ( 5Z , ⊕ , ⊗ ) → { 4,3,2,1 }.
⊗1 'a = 1 → 'a = 1 a . 'a = 1 ⇒ ⊗2 'a = 1 → 'a = 3 ⊗3 'a = 1 → 'a = 2 Logo: U( 5
Z ) { 4,2,3,1 }
⊗4 'a = 1 → 'a = 1
4) ( 6Z , ,⊕ ⊗ )
⊗1 'a = 1 → 'a = 1
⊗2 'a = 1 → ≠ 'a ∈ 6Z
a . 'a = 1 ⇒ ⊗3 'a = 1 → ≠ 'a ∈ 6Z
⊗4 'a = 1 → ≠ 'a ∈ 6Z
⊗5 'a = 1 → 'a = 5 U( 6Z ) = {1, 5 }
413.93.9 - Estrutura de Corpo
Seja (E, ∗ , T) um anel comutativo com unidade. Diremos que (E, ∗ , T) é um corpo se todos os elementos diferentes do zero do anel (elemento neutro de 1ª operação) admitem o simétrico ou:
∀ x ≠ e (zero do anel), x T x’ = x’ T x = e (unidade do anel).
1) (R, +, .) é o corpo dos números reais.
Notamos que ∀ x ≠ 0, se x’ = 1 ou x’ = x1
.
2) ( ,nZ ⊕ , ⊗ ) é um corpo, se n é primo.
Exemplo: ( 7Z , ⊕ , ⊗ )
111 =⊗ 142 =⊗
153 =⊗ 166 =⊗ U 7
Z = { 6,5,4,3,2,1 } todos ≠ 0
3) Seja (R, ∗ , T) um anel comutativo com unidade, em que a ∗ b = a + b – 1 e a T b = a + b – ab. Verifique se (R, ∗ , T) é um corpo.
a) Zero do anel (elemento neutro da 1ª equação)
∀ x ∈R, x∗ ∈ = xx + e – 1 = xe = 1
b) Unidade do anel (elemento neutro da 2ª equação)
x T e = x → x + e – xe = x
e (1 – x) = 0 ∴e = x−1
0 ∴ e = 0; x ≠ 1
c) Elemento inversível
∀ x ≠ 1, x T x’ = 0
x + x’- x . x’ = 0
x’ (1 – x) = -x ⇒ x’ = x
x−
−1
Nota: Seja o corpo (R×R, +, .), em que: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Consideremos um elemento qualquer (a, b) ∈ R×R. Assim, temos: (a, b) = (a, 0) + (0, b) (a, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1)
42Identifi cando todo par (x, 0) por x e chamando o par (0, 1) de um constante i, temos:
a b i(a, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1)
(a, b) = a + b . i forma algébrica de um número complexo.
Exemplo: (-2, 3) = -2 + 3i (4, -5) = 4 – 5i Etc.
Assim, considerando i = (0, 1), temos:
i . i = i 2 = (0, 1) . (0, 1)
i 2 = (0 – 1, 0 + 0)
i 2 = (-1, 0) ⇒ i 2 = -1 ⇒ i = 1−
i 3 = i 2 . i = (-1, 0) . (0, 1) (0 – 0, -1 + 0) → i 3 = (0, 1) → -1 (0, 1) = -1 . i = -i
43
Se você:
1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as avaliações.
Parabéns!
44Referências Bibliográficas
ALENCAR FILHO, Edgard. Elementos de Álgebra Abstrata. 4 ed. São Paulo: Nobel, 1990._______. Teoria Elementar dos Números. São Paulo: Nobel, 1992.AYRES, Frank. Álgebra Moderna. São Paulo: McGraw-Hill, 1974.DOMINGUES, H. H. e IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982.GARCIA, Arnaldo. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro: IMPA, 1988.GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. 4 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.