Algebra Linear Aplicada

7/26/2019 Algebra Linear Aplicada

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Algebra Linear AplicadaCaderno de Exerccios - 2015.1

Bacharelado em Ciencia e Tecnologia

1 Sistemas Lineares

[1] Dois sistemas lineares sao equivalentesse, e somente se, toda solucao de qualquer um dossistemas tambem e solucao do outro. Considere um sistema linear S.

(a) Seja S1 o sistema obtido a partir de Spermutando-se duas equacoes. Mostre queSe S1 sao equivalentes.

(b) Seja S1 o sistema obtido a partir de Smultiplicando-se uma das equacoes por umaconstante nao nula. Mostre que Se S1 sao equivalentes.

(c) Seja S1 o sistema obtido a partir de Sadicionando-se a uma equacao (membro amembro) um multiplo de uma outra equacao. Mostre que S e S1 sao equivalentes.

[Observacao: as operacoes descritas acima sao chamadasoperacoes elementaresnas linhasdo sistema S.]

[2] Sejam S um sistema linear e S1, o sistema obtido a partir de S atraves de um numerofinito de operacoes elementares nas linhas. Mostre que S e S1 sao equivalentes.

[3] Resolva o sistema de equacoes abaixo:

ax + y = a2

x + ay = 1

Para quais valores de a o sistema falha em ter solucao, e para quais valores de a o sitematem infinitas solucoes? E faca o mesmo para o sistema abaixo

ax + y = a3

x + ay = 1

[4] Determinar os valores de mpara os quais o sistema e determinado:

x + 2y 2z t = 12x 2y 2z 3t = 1

2x 2y z 5t = 93x y+ zmt = 0

1


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[5] Determinar os valores de ae bque tornam o sistema

3x 7y =a

x + y =b5x + 3y = 5a + 2b

x + 2y =a + b 1compatvel determinado. Em seguida resolver o sistema.

[6] Discutir o seguinte sistema linear (em funcao de a):

x + y az = 0ax + y z = 2x + ay z = a

[7] De uma interpretacao geometrica de uma equacao linear em tres incognitas. Descrevageometricamente todos os possveis conjuntos solucao para um sistema linear 3 3.

[8] Mostre que um sistema linear homogeneo de m equacoes e n incognitas e compatvelindeterminado sen > m.

[9] Resolver os sistemas homogeneos abaixo: Veroexem-plo

5,secao1.2(Eli-minacaodeGauss)dolivrodo

An-ton

Veroexem-plo

5,secao1.2(Eli-minacaodeGauss)dolivrodo

An-ton

(a)

x y+ 2z t = 03x + y+ 3z+ t = 0

x y z 5t = 0(b)

x + y+ z+ w t = 0x y z+ 2w t = 0

(c)

4x + 3y z+ t = 0

x y+ 2z t = 0

(d)

3x + 2y 12z = 0x y+ z = 0

2x 3y+ 5z = 0

[10] Mostre que o sistema nao-linear a seguir tem 18 solucoes se 0 2, 0 2 e0


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[13] Resolva o sistema a seguir para x, y e z.

1

x

+2

y4

z

= 1

2

x+

3

y+

8

z = 0

1x

+9

y+

10

z = 5

[14] Foram estudados tres tipos de de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-se que:

(i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidadesde vitamina C.

(ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.

(iii) O alimento III tem 3 unidades de vitamina, 3 unidades de vitamina C e nao contemvitamina B.

Se sao necessarias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C,

(a) encontre todas as possveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem aquantidade de vitaminas desejada.

(b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe umsolucao custando exatamente R$ 1,00?

[15] Um tratador de animais de um zoologico precisa dar 42 mg de vitamina A e 65 mg devitamina D por dia a um determinado animal. Ele possui dois suplementos alimentaresdisponveis: o primeiro contem 10% de vitamina A e 25% de vitamina D enquanto que ooutro contem 20% de vitamina A e 25% de vitamina D. Quanto de cada suplemento deveser dado ao animal diariamente.

[16] Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraneo ecolonial. A quantidade empregada em cada tipo de casa e dada pela matriz

Ferro Madeira Vidro Tinta TijoloModerno 5 20 16 7 17Mediterraneo 7 18 12 9 21Colonial 6 25 8 5 3

(a) Se ele vai construir 5, 7, 12 casas dos tipos modernos, mediterr aneo e colonial, res-pectivamente, quantas unidades de cada material serao empregados?

(b) Suponha agtora que os precos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolosejam respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10 reais. qual o preco unitario de cada tipo de

casa?

(c) Qual o custo total do material empregado?

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[17] Uma curva cubica plana de equacao y = ax3 +bx2 +cx + d passa pelos pontos (0, 10),(1, 7), (3,11) e (4,14). Encontre os coeficientes a, b, ce d e faca um esboco dessa curva.

[18] Sabendo-se que uma circunferencia tem equacao ax2

+ ay2

+ bx + cy + d= 0 e passa pelospontos (2, 7), (4, 5) e (4,3), encontre os coeficientes dessa equacao e faca um esbocoda curva.

[19] (ENADE-2011) Considere o sistema de equacoes lineares Ax = b, com m equacoes en incognitas. Supondo que a solucao do sistema homogeneo correspondente seja, unica,avalie as afirmacoes a seguir.

(I) As colunas da matriz A sao linearmente dependentes.

(II) O sistema de equacoes lineares Ax= b tem infinitas solucoes.

(III) Se m > n, entao a matriz A tem m

n linhas que sao combinacoes lineares de nlinhas.

(IV) A quantidade de equacoes do sistema Ax = b e maior ou igual a quantidade deincognitas.

Sao corretas apenas as afirmacoes:

(A) I e II. (B) II e III. (C) III e IV. (D) I, II e IV. (E) I, III e IV

Respostas de alguns exerccios:

6. Para a=-2 ou a=1 o sistema e incompatvel. Para a = 1 e a = 2 o sistema e compatveldeterminado.9. a) [(5/3)t,2t, (4/3)t, t] para todo t R.

b) (2z, 3z, z) para todo z R.11. = /2, =, = 0

13. (x= 13/7, y = 91/54, z= 91/8)14. a) Sejam x, y e z as quantidades de alimentos I, II e III respectivamente. Entao:

x = -5 + 3z , y = 8 - 3z ; onde (5/3) z (8/3)b) Sim. x= 1, y= 2 e z= 2.

16. a)

146 526 260 158 388

b)

492528

465

c) Cr$ 11.736, 00.

2 Matrizes

[1] SejamA=

a2 a 0a b 0 1

eB =

a b b 0

b2 0 1

. Existema, b R tais que A=B? Justifique.

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[2] Para cada 1 i 3 e 1 j 3, sejam aij = 10

jxidx e bij =

01

ixjdx. Se A= (aij) e

B = (bij), calcule A + B.

[3] Defina aij = (1)i (1)j, para cada 1 i 4 e 1 j 3. Calcule 12

A.

[4] (Traco de uma matriz) Dada uma matrizA = (aij) de ordemn, o traco deAe o numero

tr(A) =n

i=1

aii. Encontre o traco da matriz

1/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/2

. Mostre ainda, que

tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(AB) = tr(BA),

quaisquer que sejam as matrizes Ae B, ambas de ordem n.

[5] Mostre que toda matriz quadrada pode ser escrita como soma de uma matriz triangularsuperior com uma matriz triangular inferior.

[6] Sejam A =

0 13 2

e B =

0 31 2

. Calcule AB e BA, e decida se a multiplicacao em

M2(C) e comutativa.

[7] Determine todas as matrizes A22 tais que AB =BApara B = 2 0

1 1

.

[8] Se A=

3 24 3

. Encontre uma matriz B real de ordem 2 tal que B2 =A.

[9] Se A=

21

1

e B = 1 2 1, calcule AB e BA.

[10] Considere a matriz A:=

3 12 1

. Em cada item, encontre p(A).

(a) p(x) =x

2 (b) p(x) = 2x2

x + 1 (c) p(x) =x3

2x + 4

[11] Para cada polinomio real p(x) =a0+ a1x + a2x2 + + anxn, seja

M(p) :=

p(0) 0p(0) p(0)

onde p e a derivada de p. Prove que, para quaisquer polinomios p(x) e q(x),

M(p) + M(q) =M(p + q) e M(p) M(q) =M(p q)

[12] Determine os valores de a e b para que a matrizA =

a 00 b

satisfaca a equacao matricial

x2 x 2 = 0.

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[13] Uma matriz quadrada A, de ordem n, enilpotentese Ap = 0 para algum inteiro positivop; e unipotentese In A e nilpotente, onde In e a matriz identidade de ordem n. Se Ne nilpotente e U e unipotente, defina

exp N :=In+ N+ 1

2!N2 + + 1

k!Nk +

e

log U := (In U) 12

(In U)2 1k

(In U)k

Para as matrizesN=

0 a b0 0 c

0 0 0

e U=

1 x y0 1 z

0 0 1

, verifique que

exp log U=U e log exp N=N

Para cada t R, defina U(t) = exp tM onde

M=

0 1 2 30 0 4 50 0 0 60 0 0 0

.

Determine U(t) e verifique que para quaisquer s, t R,

U(s)U(t) =U(s + t)

[14] Para cada x R defina M(x) :=

cosh x sinh xsinh x cosh x

. Prove que, para todo x, y R,

M(x)M(y) =M(x + y).

[15] Considere a matriz A =

1/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/2

. Calcule A2 e A3. O que devem ser

An e A2n+1?

[16] Mostre que se uma matriz quadrada Asatisfaz A2 3A + I= 0, entao A1 = 3I A.[17] Seja Auma matriz quadrada.

(a) Mostre que (I A)1 =I+ A + A2 + A3 se A4 = 0.(b) Mostre que (I A)1 =I+ A + A2 + + An se An+1 = 0

[18] Explique por que em geral (A B)2 =A2 2AB+ B2 e (A B)(A + B) =A2 B2.

[19] Determinar se possvel xe y em Ra fim de que a matriz

2 x

y

2 seja ortogonal.[20] Seja A=

1 10 1

. Verifique que A2 =

1 20 1

e calcule A2014.

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[21] Seja B =

1 8 50 9 50 0 4

. Determine uma matriz triangular A com elementos diagonais posi-

tivos tal que A2 =B .

[22] Dada a matriz A =

1 2 11 1 3

1 1 0

determine uma matrizT, triangular inferior que seja

equivalente por linhas a A.

[23] Supondo que A = 0 e AB =AC ondeA, B,C sao matrizes tais que a multiplicacao estejadefinida. Pergunta-se:

(a) B =C?

(b) Se existe uma matriz Y, tal queY A= I, ondeI e a matriz identidade, entaoB =C?

[24] Seja A =

5 20 k

. Determine os valores de k para os quais A e uma raiz de f(x) =

x2 7x + 10.

[25] Mostre que, se A=

2 31 4

entao

A2 6A + 5I2 = 0 (matriz nula)[26] Se A2 = 2A4, mostre que (I+ A2)(I 2A2) =I.

[27] Para todo y Rnao-nulo, definaA(y) = 1 1/yy 1 . Prove que A(y)2 = 2A(y).[28] Mostre que A=

0 11 0

anula o polinomio p(x) =x2 + 1.

[29] Sejaa um numero real fixado. Encontre todas as matrizes reais quadradas de ordem 3 quecomutam com a matriz

a 1 00 a 10 0 a

[30] Mostre que, se a matriz quadrada B , de ordem 2, comuta com toda matriz quadrada A deordem 2, entao B =kI2 para algum escalar k.

[31] Seja B uma matriz real quadrada de ordem 2 que comuta com a matriz A =

1 20 3

.

Mostre que existem numeros reais ae btais que

B =aA + bI2

[32] Se A Mn(R) e uma matriz triangular superior, pode-se dizer que A2 tambem e umamatriz triangular superior? Justifique.

[33] Seja A=1 1

0 1

. Encontre uma formula para An

, n >0.

[34] SejamA= (aij) e B = (bij) em Mmn(C). Mostre que

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(a) (A + B)t =At + Bt

(b) (AB)t =B tAt

(c) (At)t =A

(d) (A)t =At, C

[35] Dada a matriz A =1 0 1

0 1 0

, encontre At.

[36] SejaA uma matriz quadrada. Mostre que e possvel escrever A como soma de uma matrizsimetrica com uma antissimetrica. E ainda, prove que a matriz nula e a unica matrizsimultaneamente simetrica e antissimetrica.

[37] Seja Auma matriz quadrada qualquer. Mostre que a matriz AAt e simetrica.

[38] Seja A uma matriz de ordem n. Defina B := A+ At e C := A At. Mostre que B esimetrica e C e antissimetrica.

[39] Uma rede de comunicacao tem cinco locais com transmissores de potencias distintas. Es-tabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a estacao i pode transmitir dire-tamente a estacaoj ,aij = 0 significa que a transmissao da estacaoi nao alcanca a estacaoj. Observe que a diagonal principal e nula significando que uma estacao nao transmitediretamente para si mesma.

A=

0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0

Qual seria o significado da matriz A2 =A A?Seja A2 = [cij]. Calculemos o elemento c42 =

5k=1 a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1. Note

que a unica parcela nao nula veio de a43a32 = 1 1. Isto significa que a estacao 4 transmitepara a estacao 2 atraves de uma retransmissao pela estacao 3, embora nao exista umatransmissao direta de 4 para 2.

(a) Calcule A2.

(b) Qual o significado de c13= 2?

(c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar

a afirmacao: A matriz A2 representa o numero de caminhos disponveis para se irde uma estacao a outra com uma unica retransmissao.

(d) Qual o significado das matrizes A + A2, A3 e A + A2 + A3?

(e) Se A fosse simetrica, o que significaria?

[40] Existem tres marcas de automoveis no mercado: o Jacare, o Piranhu e o Urubu. O termoaij da matrizA abaixo e a probabilidade de que um dono de carro da linhai mude para ocarro da coluna j, quando comprar um carro novo.

0, 7 0, 2 0, 10, 3 0, 5 0, 20, 4 0, 4 0, 2

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Os termos da diagonal dao a probabilidadeaiide se comprar um carro novo da mesmamarca.

A2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duascompras.

Calcule A2 e interprete.

[41] Seja A=

0 IB 0

, onde todos os blocos sao k k. Determine A2 e A4.


19) O problema no conjunto das matrizes 22 com entradas em R nao admite solucoes, poisas equacoes x = -1 e y = -1 nao tem solucao em R.

39)a)

1 1 2 3 10 2 2 2 21 0 2 1 10 1 0 2 00 0 1 0 1

40)

0, 59 0, 28 0, 130, 44 0, 39 0, 17

0, 48 0, 36 0, 16

3 Matrizes inversveis

[1] Seja Auma matriz inversvel de ordem n. Mostre que At e inversvel e (At)1 = (A1)t.

[2] Em que condicoes a matriz diagonal A =

a1 0 00 a2 0...

... . . .

...0 0

an

e inversvel e qual e sua

inversa?

[3] Calcule a inversa das matrizes:

(a)

cos sin sin cos

(b)

cosh x sinh xsinh x cosh x

[4] (Matrizes elementares) Uma matriz elementarde ordem n e uma matriz Eobtida deIn por meio de uma unica operacao elementar.

(a) De exemplos de matrizes elementares.

(b) Se aplicarmos em uma matriz A, de ordem n, a mesma operacao elementar quetransformou In em E, mostre que a matriz resultante e E A.

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(c) Prove que toda matriz elementar e inversvel.

(d) Descreva a matriz elementarE= 1 0 00 1 00 3 1, e encontre sua inversa.

(e) Mostre que, se

1 0 00 1 0

a b c

e uma matriz elementar, entao pelo menos uma entrada da

terceira linha deve ser um zero.

(f) Expresse a matriz A=

0 1 7 81 3 3 82 5 1 8

no formato A= E1E2E3R, onde cada Ei

e uma matriz elementar e Resta na forma escalonada por linhas.

(g) Para cada i= 1, 2, . . . , k, seja Ei uma matriz elementar e suponha que

Ek Ek1 . . . E1 A= In,

onde A e uma matriz de ordem n. Mostre que A = E11 E12 . . . E1k In. Concluaque A e inversvel e que

A1 =Ek Ek1 . . . E1 In.

[5] SejamAe B matrizes de ordem n. Mostre que, se A e inversvel e AB= 0 entao B = 0.

[6] Dizemos que uma funcao matricial A: I R Mmn(R) e diferenciavel se cada termoaij : I R e uma funcao diferenciavel, e neste caso, A(x) = (aij(x)) para cada xI.Sabendo-se que A(x) = (aij(x)) M4(R) e aij(x) =xi xj , encontre A(1).

[7] Para 1 i, j n, sejam aij, bij : I R R funcoes diferenciaveis e, defina A(x) =(aij (x)) e B(x) = (bij(x)) para cada x I. Mostre que:

(a) (AB) = AB+ AB (regra do produto)

(b) se A e inversvel entao (A1) = A1AA1

[8] Seja A uma matriz de ordem n. Mostre que se A2 = 0, entao In

A e inversvel e

(I A)1 =I+ A.[9] (Matrizes semelhantes) Dizemos que A, B Mn(K) sao semelhantes se existe P

Mn(K) inversvel tal que A = P1BP. Em particular, se A e semelhante a uma matriz

diagonal, dizemos que A e diagonalizavel.

(a) Mostre que a matriz A=

1 23 2

e diagonalizavel.

(b) Prove que as matrizes

0 10 0

e

1 10 0

nao sao semelhantes.

(c) Verifique se as matrizes1 2

1 2

e

1 00 0

sao semelhantes.

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(d) Para que valores de a, be creais, as matrizes

a bb a

e

c 00 c

sao semelhantes?

(e) SejamA, B,Ce Dmatrizes de ordemn, sendoAeB semelhantes,Ce Dsemelhantes.

E verdade que A + C e B+ D sao semelhantes? E quanto a AC e BD?

[10] Se A=

1 25 4

, encontre uma matriz P inversvel tal que P1AP =

6 00 1

. Conclua

que a matriz A e diagonalizavel.

[11] Mostre que, se A e B sao semelhantes entao An e Bn sao semelhantes para cada n > 0.Dado um polinomio p(t) =a0+ a1t + + antn, indicamos por p(A) a matriz

p(A) =a0I+ a1A + + anAn.Prove que se A e B sao semelhantes entao p(A) e p(B) sao semelhantes.

[12] Se Auma matriz de ordem n. Dada uma matriz inversvel P de ordem n, mostre quetr(P1AP) = tr(A).

Em particular, isto implica que matrizes semelhantes tem o mesmo traco.

[13] Seja A=

a ii b

, onde i2 = 1, a= (1 + 5)/2 e b= (1 5)/2. Mostre que A2 =A e

encontre todas as matrizes de M2(C) que satisfazem essa propriedade.

[14] Mostre que, se A2 =A entao (A + In)k =In+ (2

k 1)A.[15] Seja Jn a matriz de ordem n tal que suas entradas sao todas iguais a 1. Mostre que, se

n >1 entao In Jn e inversvel e(In Jn)1 =In 1

n 1Jn

[16] Uma matriz A Mn(R) chama-seortogonalse AAt =In. Mostre que a matriz

cos sin sin cos

e ortogonal para cada real.

[17] Dizemos que AMn(R) e ortogonalmente diagonalizavel se existe uma matriz ortogonalP Mn(R) tal que P1AP e diagonal. Neste caso, mostre que A e simetrica.

[18] Seja A uma matriz ortogonal em M2(R). Mostre que existe real tal qual A=cos sin sin cos .

[19] Sejam A e B matrizes ortogonais de ordem n. Mostre que AB, BA e A1 tambem saoortogonais.

[20] SejaAuma matriz quadrada com uma linha ou coluna nula. Mostre queAnao e inversvel.

[21] SejamA e B matrizes inversveis de ordemn. Mostre queAB e inversvel e que (AB)1 =B1A1. Conclua que (A1)1 =A.

[22] Seja A uma matriz quadrada simetrica inversvel. Mostre que a matriz inversa tambem esimetrica.

[23] Sejam A, B e C sao matrizes inversveis de mesma ordem tais que CA= B . Se a matrizXsatisfaz a equacao A(B1X) =C1A, podemos afirmar que:

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(a) X=A (b) X=B (c) X=C (d) X=AB (e) X=ABC

[24] Determine a Ra fim de que a matriz real 1 1 1

2 1 21 2 a

seja inversvel.

[25] Verifique se a matriz

A=

1 1 00 1 1

0 1 2

e inversvel e, em caso afirmativo, determine A1.

[26] Mostre que

A=

0 a 0 0 0b 0 c 0 00 d 0 e 00 0 f 0 g0 0 0 h 0

e singular.

[27] Encontre todos os valores de para os quais a matriz A I4 tem inversa, em que

A=

2 0 0 02 0 0 0

1 2 1 03 2 1 2

[28] Seja A=

A11 A12

0 A22

, onde todos os quatro blocos sao matrizes de ordemn.

(a) Se A11 e A22 sao inversveis, mostre que Atambem e inversvel e que

A1 =

A111 C

0 A122

(b) Determine C.


3. a)

cos sin sin cos

2. A1=

1/a1 0 00 1/a2 0...

... . . .

...

0 0 1/an

24. A e inversvel para a= 1. Se a = 1, entao a matriz A e equivalente a uma matriz comuma linha nula e portanto nao e inversvel.

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4 Sistemas lineares e matrizes

[1] Mostre que A e inversvel se, e somente se, o sistema AX = 0 tem somente uma unica

solucao, a nula.

[2] Verifique que o sistema

S:

x + y = 0y + z = 0

y + 2z = 1e de Cramer e determine sua solucao.

[3] Encontre o posto e a nulidade da matriz

A= 1 2 0 11 0 2 30 2 1 1

[4] Reduza as matrizes a forma reduzida por linhas e, calcule o posto e a nulidade.

(a)

1 2 3 12 1 2 3

3 1 2 3

(b)

0 1 3 22 1 4 3

2 3 2 1

(c)

0 2 21 1 33 4 22 3 1

[5] Explique por que a nulidade de uma matriz nunca e negativa.

[6] Dada um sistema linear Sde ordemmn, sejampce pao posto da matriz dos coeficientese da matriz ampliada, respectivamente. Entao, Sadmite uma unica solucao se, e somentese,

(a) pa < pc

(b) pa > pc

(c) pa=pc e n = pa

(d) pa=pc e n < pa

(e) pa = pc e n > pa

[7] Calcule um vetor coluna u=

xy

tal que

1 34 3

xy

= 3u.

[8] Determine k, para que o sistema admita solucao.4x + 3y = 2

5x 4y = 02x y = k

[9] Chamamos de sistema homogeneo de nequacoes emincognitas aquele sistema cujos termosindependentes, bi, sao todos nulos.

(a) Um sistema homogeneo admite pelo menos uma solucao. Qual e ela?

(b) Encontre os valores de k R, tais que o sistema homogeneo

2x 5y + 2z = 0

x + y + z = 02x + kz = 0

tenha uma solucao distinta da solucao trivial.

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5 Determinantes

[1] Dada uma permutacao Sn, mostre que sgn() = sgn(1).[2] Seja Auma matriz de ordem n. Prove que det A= det At.

[3] Mostre que se uma matriz quadrada A ortogonal, isto e, AtA = I, onde I e a matrizidentidade entao det A= 1.

[4] Mostre que seAe uma matriz quadrada de ordem n, isto e, comn linhas en colunas entaodet(kA) =kn det A

[5] Dada uma matriz A de ordem n, representaremos por fi(C) o determinante da matrizobtida a partir de A trocando-se sua i-esima coluna por C (coluna de ordem n1).Mostre que

fi(C1+ C2) =fi(C1) + fi(C2)

[6] Suponha que uma matriz A de ordem n tenha uma linha ou coluna nula. Prove quedet A= 0.

[7] Sem calculo, prove que a matriz

3 6 x1 2 y

2 4 z

tem determinante nulo quaisquer que sejam

x, y e z reais.

[8] Suponha que uma matriz quadrada A tenha duas colunas ou duas linhas iguais. Mostreque det A= 0.

[9] (Teorema de Binet) Seja Euma matriz elementar de ordem n. Se A e qualquer matrizde ordem n, mostre que det(EA) = det(E)det(A). Conclua que

det(AB) = det(A)det(B),

para quaisquer matrizesAe B, de mesma ordem.

[10] Calcule o determinante das matrizes:

(a)

3 1 5 00 2 0 1

2 0 1 31 1 2 0

(b) 1 0 0 0 03

2 0 0 0

2 1 1 0 02 4 0 1 03 5 8 4 2

(c) 1 3 4 1

1 0 5 2

4 2 3 11 2 1 1

[11] Verifique que se B =AAtA1, entao det(A) = det(B).

[12] Seja Auma matriz de ordem n tal que A + At = 0 (matriz nula). Prove que

det A= (1)n det A.Conclua que det A= 0, se n e mpar.

[13] Mostre que, se A e uma matriz ortogonal de ordem n entao|det A| = 1.[14] Seja Auma matriz antissimetrica de ordem 2015. Podemos afirmar que:

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(a) A e triangular superior;

(b) A e triangular inferior;

(c) A e diagonal;

(d) A e inversvel;

(e) A e singular;

[15] Sejam f1, f2, g1 e g2 funcoes diferenciaveis no intervalo (a, b). Se F : (a, b) R e dadapor F(x) = det

f1(x) f2(x)g1(x) g2(x)

,mostre que

F(x) = det

f1(x) f

2(x)

g1(x) g2(x)

+ det

f1(x) f2(x)g1(x) g

2(x)

[16] Mostre que

1 1 1a b ca2 b2 c2

= (b a)(c a)(c b).

[17] O determinante da matriz

1 cos a cos2acos a cos2a cos3a

cos2a cos3a cos4a

e igual a:

(a)1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3

[18] (Teorema de Laplace) Seja A uma matriz de ordem n e, defina Mij como a submatrizobtida de Aretirando-se a i-esima linha e a j-esima coluna.

(a) Se Aij e o cofator do elemento aij da matriz A, mostre que

Aij = (1)i+j det Mij

(b) Conclua que

det A=n

i=1

(1)i+jaijdet Mij

[19] Use operacoes elementares nas linhas da matriz

a + 2 b + 2 c + 2x + 1 y+ 1 z+ 1

2x

a 2y

b 2z

c

para calcular

seu determinante.

[20] Dada a matriz A =

2 1 30 2 1

5 1 3

, calcule:

(a) Adj(A) (b) det(A) (c) A1

[21] Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas:

(a)

2x y 2z = 54x + y + 2z = 12x y + z = 5 (b)

x 2y + z = 1

2x + y = 3y 5z = 4

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[22] Resolver os seguintes sistemas

(a) x y = 2x + y = 0

(b)

x y + z + t = 0x + y z + t = 1x + y + z t = 02x y z + 3t = 0

(c)

x y + z = 2x y + z = 0

y + 2z = 0

(d)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x1 + x2 + x3 x4 = 4x1 + x2 x3 + x4 = 4x1 x2 + x3 + x4 = 2

(e)

x + y + z = 42x + 5y 2z = 3x + 7y 7z = 5

(f)

1 2 2 11 0 2 11 2 2 13 4 4

3

xyzw

=

2248

[23] Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10m2 140gde nitrato, 190gde fosfatoe 250g de potassio.

Dispoe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caractersticas:

(i) Cada quilograma do adubo Icusta 5u.m

(ii) Cada quilograma do aduboI Icusta 6u.me contem 10g de nitrato, 100g de fosfato e30g de potassio.

(iii) Cada quilograma do adubo I IIcusta 5u.me contem 50g de nitrato, 20g de fosfato e20g de potassio.

(iv) Cada quilograma do adubo IV custa 15u.me contem 20g de nitrato, 40g de fosfatoe 35g de potassio.

Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamosdispostos a gastar 54u.ma cada 10m2 com adubacao?

[24] Dada uma matriz Ade ordem n, seja Adj(A) sua adjunta classica. Mostre que

Adj(A) A= (det A)In

[25] Seja A=

a bc d

uma matriz inversvel. Mostre que

Adj(A) =

d bc a

,

e conclua que

A1 = 1

ad bc

d bc a

.

[26] Seja Auma matriz inversvel de ordem ncom n >1. Mostre que

det (AdjA) = (det (A))n1

[27] Mostre que, se A e uma matriz quadrada tal que det A = 0 entao A e inversvel.

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[28] Seja Auma matriz quadrada inversvel.

(a) Mostre que (Adj A)1 = (det A1)A.

(b) Conclua que (Adj A)1 = Adj (A1).

[29] Mostre que, se A e singular entao det(AdjA) = 0.

[30] Mostre que, se det A= 1 entao Adj (Adj A) =A.

[31] Suponha que a matriz Q e uma matriz com propriedade de que Q1 =Qt. Mostre que

qij = Qijdet Q

onde Q= [qij]nn e Qij e o cofator de qij.

[32] Determine os valores de ae bpara que as matrizes abaixo sejam inversveis

(a)

1 1 12 1 2

1 2 a

(b)

a + 3 7 61 a 5 6

1 1 a + 2

[33] (Regra de Cramer) SejaAx = b um sistema linear de ordem n. Denote por j a matrizobtida substituindo-se as entradas da j-esima coluna de Apelas entradas da matriz

b=

b1

b2...bn

Se det A = 0, mostre que a unica solucao desse sistema e dada por

xj =detj

det A,1 j n.

[34] (Matriz de Vandermonde) Sejam a1, a2, . . . , an numeros complexos. Mostre que

1 a1 a21 an11 a2 a

22 an2

... ...

... . . .

...1 an a

2n ann

=

1i


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6 Cadeias de Markov

[1] Mostre que o vetor de estado estacionarioqde uma matriz de transicao regularP e o unico

vetor de probabilidade que satisfaz a equacao P q=q(ponto fixo).

[2] Uma cadeia de Markov e governada pela seguinte matriz de transicao:

0, 8 0, 30, 2 0, 7

. En-

contre o vetor de estado estacionario dessa matriz.

[3] Uma cadeia de Markov e governada pela seguinte matriz de transicao:

0, 8 0, 3 0, 20, 1 0, 2 0, 6

0, 1 0, 5 0, 2

.

Encontre o vetor de estado estacionario dessa matriz.

[4] Para a matriz de transicao P = 0, 4 0, 50, 6 0, 5

.(a) Calcule x(n) paran = 1, 2, 3, 4, 5, se x(0) =

01

.

(b) Enuncie por que P e regular e encontre seu vetor de estado estacionario.

[5] Seja Pa matriz de transicao

1/2 01/2 1

.

(a) Mostre que P nao e regular.

(b) Mostre que, quandoncresce,Pn

x(0)

converge a0

1

, para qualquer vetor-estado inicialx(0).

[6] Considere a matriz de transicao P=

0, 2 0, 1 0, 70, 6 0, 4 0, 2

0, 2 0, 5 0, 1

.

(a) Calcule x(1), x(2) e x(3) ate tres casas decimais se x(0) =

00

1

.

(b) Enuncie por que P e regular e encontre seu vetor de estado estacionario.

[7] Verifique que, se P e uma matriz de transicao regular de ordem k tal que a soma dasentradas de cada linha e 1, entao as entradas do vetor de estado estacionario sao todasiguais a 1/k.

[8] Mostre que a matriz de transicao P =

0 1/2 1/21/2 1/2 01/2 0 1/2

e regular e encontre seu vetor de

estado estacionario.

[9] O Joao ou esta alegre, ou esta triste. Se ele estiver alegre num dia, quatro em cinco vezes

ele estara alegre no dia seguinte. Se ele estiver triste num dia, uma em tres vezes ele estaratriste no dia seguinte. A longo prazo, quais sao as chances do Joao estar alegre num dadodia qualquer?

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[10] Um pas e dividido em tres regioes demograficas. Observa-se que, a cada ano, 5% dosmoradores da regiao 1 mudam para a regiao 2 e 5% mudam para a regiao 3. Dos moradoresda regiao 2, 15% mudam para a regiao 1 e 10% mudam para a regiao 3. Finalmente, dos

moradores da regiao 3, 10% mudam para a regiao 1 e 5% mudam para a regiao 2. A longoprazo, qual a porcentagem da populacao mora em cada uma das tres regioes?

[11] Duas substancias distintas estao em contato e trocam ons de sodio entre si. Sabe-se queum on de sodio do meio 1 tem probabilidade 0,7 de passar para o meio 2, enquanto queum on de sodio do meio 2 tem probabilidade 0,1 de passar ao meio 1. Colocando-se doismoles de sodio no meio 1, quais serao as concentracoes de sodio em cada um dos meios,apos um longo perodo de tempo?

[12] Foi observado que as probabilidades de um time de futebol ganhar, perder ou empatardepois de conseguir uma vitoria sao 1/2, 1/5e 3/10, respectivamente; e depois de ser derrotado

sao 3/10, 3/10e 2/5, respectivamente; e depois de empatar sao 1/5, 2/5 e 2/5, respectivamente.Se o time nao melhorar nem piorar, conseguira mais vitorias que derrotadas a longo prazo?

[13] Numa pesquisa procura-se estabelecer uma correlacao entre os nveis de escolaridade depais e filhos. Estabelendo as letras P (= 1) para os que concluram o curso primario, S(= 2) para o curso secundario e U (= 3) para o curso universitario, a probabilidade de umfilho pertencer a um destes grupos, dependendo do grupo em que o pai esta e dada pelamatriz

2/3 1/3 01/3 1/3 1/30 1/3 2/3

Qual e a probabilidade de um neto de um indivduo que realizou o curso secundario serum universitario?


13. A probabilidade e 1/3.

12. A probabilidade de ganhar, perder ou empatar, a longo prazo, sao aproximadamenteiguais a 1/3, sendo a probabilidade de ganhar ligeiramente maior.

7 Espacos Vetoriais[1] Verifique que o conjunto Rn :={(x1, . . . , xn) ; xi R, 1 i n}, e um espaco vetorial

sobre Kcom as seguintes operacoes:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) := (x1+ y1, . . . , xn+ yn) e a(x1, . . . , xn) := (ax1, . . . , a xn)

[2] SejamB eCmatrizes de ordemn com a seguinte propriedadeBx= C xpara todox Rn.Mostre que B =C.

[3] Seja V = R2. Definamos:

(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 2y1,x1+ y1)a(x, y) = (3ay,ax)

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Com essas operacoes definidas sobreV, perguntamos se este conjunto e um espaco vetorialsobre R.

[4] Mostre que o conjuntoMdas matrizes de ordem mncom entradas emK

, munido com asoperacoes usuais de adicao de matrizes e multiplicacao por escalar, satisfaz os oito axiomasde espaco vetorial.

[5] Mostre que C[a, b], munido com as operacoes usuais de multiplicacao escalar e adicao defuncoes, satisfaz os oito axiomas de espaco vetorial.

[6] Mostre que o elemento neutro em um espaco vetorial qualquer e unico.

[7] Prove que todo espaco vetorial sobre Ctambem e espaco vetorial sobre R.

[8] Seja K:= {(x1, x2, . . .) ; xi K, i >0}. Em K definimos as seguintes operacoes:(x1, x2, . . .) + (y1, y2, . . .) := (x1+ y1, x2+ y2, . . .) e a(x1, x2, . . .) := (ax1, ax2, . . .),

onde a K. Mostre que K e um espaco vetorial sobre K.[9] No conjunto R2 = {(x, y); x, y R2}, definamos as operacoes

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, 0) e (x, y) = (x,y)

Pergunta-se: nestas condicoes R2 e um espaco vetorial sobre R? Por que?

[10] Determine o vetor nulo nos seguntes espacos vetoriais (operacoes usuais):

(a) O espaco das matrizes 2 4(b) O espaco{f : [0, 1] R} onde f e contnua.(c) O espaco das funcoes de uma variavel com domnio nos numeros naturais.

(d) O espaco dos polinomios de grau menor ou igual a tres (incluindo o polinomio nulo).

[11] Prove que o conjunto das funcoes reais definidas e integraveis no intervalo [a, b] R e umespaco vetorial.

[12] Denotaremos porCk[a, b] o conjunto das funcoes reais definidas e de classe Ck no intervalo[a, b] R. Mostre que, Ck[a, b] e um espaco vetorial.

[13] Seja Ro conjunto dos numeros reais. Defina a multiplicacao por um escalar por

x= xe a soma, denotada por, por

x y = max (x, y)Pode-se dizer que R e um espaco vetorial em relacao a essas operacoes? Justifique.

[14] Seja V = {r R :r >0}. Considere sobre Vas seguintes operacoes :V V V

: R V Vdadas por r s = rs e r s = r onde r, s V e R. Mostre que V e um espacovetorial e exiba o elemento neutro de V.

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[15] Sejam (V,V,V) e (U,U,U) espacos vetoriais. Considere

U V = {(u, v) :u U, v V}

com as seguintes operacoes:

(u1, v1) + (u2, v2) = (u1 Uu2, v1 V v2)

e (u, v) = ( Uu, V v)

onde u, u1, u2 V e R. Mostre que (U V, +, ) e um espaco vetorial.[16] Consideremos no espaco vetorial R3, os vetoresu= (1, 2, 1), v= (3, 1,2) e w= (4, 1, 0).

(a) Calcule 2u + v 3w;(b) Resolva a equacao 3u + 2x= v + w;

(c) Resolva o sistema de equacoes, nas incognitas x, y R3:

u + y= v + z e v+ 2z=y.

Repostas de alguns exerccios:

3. Nao.

8 Subespacos vetoriais

[1] Seja V = R3 e considere o conjunto W :={(x,y,z) R3 ; x+z= 0}. Mostre queW esubespaco de V.

[2] Seja V = Mn(K) e considere o subconjunto W, das matrizes triangulares superiores.Mostre que W e subespaco de V.

[3] SejaSum sistema linear homogeneo mncom coeficientes em R. Mostre que o conjuntodas solucoes de S e um subespaco de Rn.

[4] Verifique se sao subespacos de P(R):

(a){p(t) P(R) ; degp(t)> 2}(b){p(t) P(R) ; p(0) = 2p(1)}(c){p(t) P(R) ; p(t)> 0, para todo t R}(d){p(t) P(R) ; p(t) +p(t) = 0}

[5] Verique se sao subespacos de C[0, 1]:

(a)

{f

C[0, 1] ; f(0) = 0

}(b){f C[0, 1] ; 10

f(x)dx= 0}(c){f C[0, 1] ; f(0) =f(1)}

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(d){f C[0, 1] ; f(t) = 0 em todos os pontos de [0, 1], exceto em um numero finito deles}[6] Considere o espaco vetorial das funcoes reais integraveis no intervalo [a, b] R. Se

W :=

f V ;

ba

f(x) dx= 0

,

prove que W e subespaco de V.

[7] Defina W :={f C2[0, 1] ; f(0) = 1}. Pode-se dizer que W e subespaco de C2[0, 1]?Justifique.

[8] Seja W C0[a, b] o subconjunto das funcoes diferenciaveis em [a, b]. Mostre que W e umsubespaco vetorial de C0[a, b].

[9] Mostre que W :=

a bc d

; a + b= 0

e subespaco de M2(R).

[10] Sejam P, Q : R R funcoes contnuas e, considere o conjunto WC2(R) das funcoesy = f(x) tais que

y+ P(x)y+ Q(x)y= 0 (x R)Mostre que W e um subespaco de C2(R).

[11] Mostre que os subconjuntos a seguir sao subespacos de Mn(R).

(a) U :={

A

Mn(R) ; At =A

}.

(b) V := {A Mn(R) ; AT =T A}, onde T Mn(R) e uma matriz dada.[12] Considere o conjunto V :={(aij) Mn(R) ; a11 0}. Prove que V nao e subespaco

vetorial de Mn(R).

[13] (Interseccao de subespacos) Sejam W1 e W2 subespacos de um espaco vetorial V.Mostre que W1 W2 e subespaco de V.

[14] Considere os conjuntosW1= {(x,y,z) R3 ; x+y= 0} eW2 = {(x,y,z) R3 ; y+z= 0}.Mostre que W1 e W2 sao subespacos de R

3 e descreva (esboce) o subespaco W1 W2.

[15] SejamW1= {matrizes triangulares inferiores de ordem n} eW2= {matrizes triangulares superiores de ordem n}.

Mostre que W1 e W2 sao subespacos de Mn(K) e descreva o subespaco W1 W2.[16] Seja V um espaco vetorial. Mostre que, se W1 e W2 sao subespacos de V entao W1+W2

tambem e subespaco de V.

[17] Denotaremos porVo espaco vetorial de todas as funcoes reais definidas no intervalo [a, a],a > 0. Se P

V e o subconjunto das funcoes pares e, I

V o subconjunto das funcoes

mpares, mostre queV =P I.

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[18] SejamU e V subespacos de um espaco vetorialW. Mostre que W =U Vse, e somentese, cada vetor w Wadmite uma unica decomposicao w= u + v, comu U e v V.

[19] Sejam U =

a b1 0 M2(K) ; a, b K e V = 1 0c d M2(K) ; c, d K. Deter-

mine U+ V.

[20] Mostre que, em M2(K), o vetor

3 20 0

e combinacao linear das matrizes

1 00 0

e

0 10 0

.

[21] (Subespaco gerado) Seja V um espaco vetorial. Dado S V, mostre que ger S e umsubespaco de V. [Por definicao, ger S e o conjunto de todas as combinacoes lineares de

vetores de S][22] Dados os polinomios p(x) = 1 e q(x) = 1 x, mostre que [p(x), q(x)] =P1(K).

[23] Sejam u =

1 00 0

e v =

0 10 0

. Mostre que [u,v,I2] coincide com o conjunto das

matrizes triangulares superiores de M2(K).

[24] Seja V um espaco vetorial sobre K. Mostre que:

(a) se S V entao S [S].(b) se S1

S2

V entao [S1]

[S2].

(c) se S V entao [S] = [[S]].(d) se S1 e S2 sao subconjuntos de V entao [S1] + [S2] = [S1+ S2].

[25] SejamU e V subespacos de um espaco vetorial V. Mostre que U+ V = [U V].[26] SeV = R3, u = (0, 1, 0) ev = (0, 1, 1), descreva e represente geometricamente o subespaco

[u, v].

[27] Mostre que os espacos vetoriais, a seguir, sao finitamente gerados.

(a) Rn

(b) Cn

(c) M2(R

) (d) Pn(K

)

[28] Mostre que P(R) nao e finitamente gerado.

[29] Encontre um conjunto de geradores dos seguintes subespacos de R4:

(a) U= {(x , y, z, t) R4 ; x y z+ t= 0}.(b) U= {(x , y, z, t) R4 ; x y = t z= 0}.

[30] Encontre um sistema de geradores do seguinte subespaco de R3:

V := {(x,y,z) R3

; x + z= 0 e x 2y= 0}

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[31] Consideremos os seguintes subespacos de R3:

U= [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] e V= [(0, 1, 0), (0, 0, 1)]

Determine um sistema de geradores de U V.[32] SejamU, V e Wos seguintes subespacos de R3:

U= {(x,y,z) R3 ; x= z}, V = {(x,y,z) R3 ; x= y = 0} e

W= {(x,y,z) R3 ; x + y+ z= 0}Verifique que U+V = R3, U+W = R3 e V +W = R3. Em algum dos casos a soma edireta?

[33] Mostre que os polinomios 1 t, (1 t)2

, (1 t)3

e 1 geram P3(R).

[34] Seja Uo subespaco de R3 gerado por (1, 0, 0) e W, o subespaco de R3 gerado por (1, 1, 0)e (0, 1, 1). Mostre R3 =UW.

[35] Verifique se as seguintes matrizes geram o espaco vetorial M2(R):1 00 1

,

1 10 0

,

0 01 1

,

0 11 2

.

[36] Mostre que os numeros complexos 2 + 3i e 1 2i geram o espaco vetorial Csobre R.[37] Mostre que os dois conjuntos {(1,1, 2), (3, 0, 1)} e {(1,2, 3), (3, 3,4)} geram o mesmo

subespaco de R3.

[38] Prove que os dois conjuntos abaixo formados de funcoes contnuas reais definidas em Rgeram o mesmo subespaco vetorial de C(R):

{sin2 t, cos2 t, sin t cos t} e {1, sin2t, cos2t}


4. a) Nao. b) Sim. c) Nao. d) Sim.5. Todos sao.

30.{(2, 1,2)}35. Sim.

29. a){(1,1,0,0), (1,0,1,0), (-1, 0, 0, 1)}29. b){(1,1,0,0), (0,0, 1, -1)}31. U V= [(0, 1, 1)].

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9 Base e Dimensao

[1] Mostre que o conjunto de vetores {(1 i, i), (2,1 + i)} de C2 e LD sobre C, mas LI sobreR.

[2] Mostre que o conjunto{1, cos x, cos2x} de vetores de C[, ] e LI.[3] Demonstre que o conjunto{1, ex, e2x} de vetores de C[0, 1] e LI.[4] Sejaa um numero real arbitrario. Mostre que o conjunto {1, (xa), (xa)2, . . . , (xa)n}

de vetores de Pn(R), e LI.

[5] Determine me n para que os conjuntos de vetores do R3 dados abaixo sejam LI.

(a)

{(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)

}(b){(1, 3, 5), (2, m + 1, 10)}(c)

{(6, 2, n), (3, m + n, m

1)

}

[6] SejaVum espaco vetorial e suponha que B e um subconjunto LI deV. Sev / [B], mostreque B {v} tambem e LI.

[7] Determine uma base de R4 que contenha os vetores (0, 1, 0, 1), (0, 1,1, 0) e (1, 1, 1, 0).[8] Sejam

W1 = a bc d ; a= d e b= c e W2 =

a bc d ; a= c e b= d .

(a) Determine W1 W2 e exiba uma base.(b) Determine W1+ W2. E soma direta? W1+ W2=M2(R)?

[9] SejamUeV subespacos de um espaco vetorialW, finitamente gerado. Mostre que dim Udim W e dim V dim W. E ainda, prove que

dim(U+ V) = dim U+ dim V dim(U V)

[10] Dados os subespacos U= [(0, 1, 0,

1), (1, 1, 0, 1)] e V =

{(x , y, z, t)

R4 ; y

z= 0

}, de

R4, determine dim(U V) e dim(U+ V).[11] No espaco vetorial R3 consideremos os seguintes subespacos vetoriais: S= [(1,1, 2), (2, 1, 1)],

T = [(0, 1,1), (1, 2, 1)], U ={(x,y,z) R3 ; x+ y = 4x z = 0} e V ={(x,y,z)R3 ; 3xyz= 0}. Determine as dimensoes de: S,T,U,V,S+ T,ST,T+ UeTU.

[12] Determine uma base e a dimensao do espaco solucao do seguinte sistema:

S:

x y z t = 02x + y + t = 0

z t = 0

[13] Considere o subespaco vetorial de M3(C) constitudo das matrizes simetricas. Determineuma base e calcule a dimensao desse subespaco.

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[14] SejamU eV subespacos de um espaco vetorial de dimensaon. Supondo que dim U > n/2e que dim V > n/2, prove que U V= {0}.

[15] Encontre uma base e a dimensao do seguinte subespaco deR4

:

U= {(x , y, z, t) |x y= 0 e x + 2y+ t= 0}.

[16] Para que valores de a R, o conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} e base de R3?[17] Mostre que as matrizes

1 10 0

,

2 10 0

,

0 11 0

e

0 00 2

formam uma base de M2(R).

[18] Considere o seguinte subespaco de C3 (sobre R):

W= [(1, 0, i), (1, 1 + i, 1 i), (1,1 i,1 + 3i)]Determine uma base desse subespaco.

[19] (a) Dado o subespaco V1 ={(x,y,z) R3 ; x+ 2y+z= 0}, encontre um subespaco V2tal que R3 =V1 V2.

(b) De exemplos de dois subespacos de dimensao dois de R3 tais que V1+ V2 = R3. A

soma e direta?

[20] Determine a dimensao dos seguintes subespacos de Mn(R):

(a) subespaco das matrizes simetricas;

(b) subespaco das matrizes antissimetricas;

(c) subespaco das matrizesAtais que A = 2At;

(d) subespaco das matrizesA= (aij) tais quen

i=1

aii= 0.

[21] Considere o sistema linear

S:

2x + 4y 6z = ax y + 4z = b

6y 14z = cSeja W R3 o conjunto solucao do sistema S.

(a) Que condicoes devemos impor a a, be c para que W seja subespaco vetorial de R3?

(b) Nas condicoes determinadas em (a), encontre uma base para W.

(c) Que relacao existe entre a dimensao de W e o grau de liberdade do sistema? Seriaeste resultado valido para quaisquer sistemas homogeneos?

[22] SejaB = {v1, . . . , vn} uma base de um espaco vetorialV. Sev = a1v1+ +anvne a1= 0,mostre que{v, v2, . . . , vn} tambem e uma base de V.

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[23] Mostre que o espaco vetorial R tem dimensao infinita.


5. a) m = 0.b) m = 5.c) n = 0 ou m = 1.

12. Uma base deste subespaco:{(1/3, -5/3, 1, 1)}. Dimensao igual a 1.

8. a) As matrizes

1 00 0

,

0 10 0

,

0 01 1

formam uma base para W1 W2.

b) As matrizes0 1

1 0

,1 0

0 1

,1 0

1 0

,0 1

0 1

formam uma base para W1+ W2. Asoma nao e direta.

18.{(1,0,i), (1, 1+1, 1-i)}.16. Para a = 0, para a = 1 e para a = 1.11. a) dim S = 2. b) dim T = 2. c) dim U = 1. d) dim V = 2. e) dim S+T = 3. f )

dim S T= 1. g) dim T+ U= 2. h) dim T U= 1.19. a) Para obter V2 tal que R

3 = V1

V2, o subespaco V2 deve ser gerado por apenas um

vetor nao nulo (para completar a dimensao R3) e deve ser tal que V1V2= {0}. Podemos tomarpor exemplo, V2= [(0, 0, 1)] = {(x,y,z)|x= 0, y = 0, z R}.

21. a) a= b = c = 0.

b) Resolva o sistema operando com as linhas. Verifique o grau de liberdade e quais s ao asvariaves livres. Atribua valor 1 para uma delas e 0 para as outras e repita o processo para obteras solucoes basicas. Cada solucao basica fornecera um vetor da base de W.

c) A dimensao de W e examente o grau de liberdade, pois cada grau determina umasolucao basica do sistema. O resultado e valido para qualquer sistema homogeneo.

10 Polinomios de Lagrange e Interpolacao Polinomial

[1] Sejam t0, t1, . . . , tn numeros reais distintos. Dados p0, p1, . . . , pn, mostre que existe umunico polinomiop(t) Pn(R) tal que

p(t0) =p0, p(t1) =p1, . . . , p(tn) =pn.

[2] Encontre o polinomio p(t) de grau 2 tal que p(0) = 1, p(1) = 2 e p(2) = 3.

[3] SejamL1(t), L2(t) e L3(t) em P2(R) tais que

L1(0) = 1, L1(1) =L1(2) = 0

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L2(1) = 1, L2(0) =L2(2) = 0

L3(2) = 1, L3(0) =L3(1) = 0

Mostre que{L1(t), L2(t), L3(t)} e uma base de P2(R).[4] Determine o polinomio p(t) sabendo que p(0) = 2, p(1) = 4 e p(2) = 6.[5] Sejam t0, t1, . . . , tn numeros reais distintos. Para cadaj = 0, 1, . . . , n, seja Lj(t)Pn(R)

o unico polinomio tal que Lj(xi) =ij (delta de Kronecker). Mostre que

B = {L0(t), L1(t), . . . , Ln(t)}

e uma base de Pn(R). Os polinomios em B sao chamados polinomios de interpolacao deLagrangedeterminados pelos numeros t0, t1, . . . , tn.

[6] Determine os polinomios de interpolacao de Lagrange em P2(R) determinados pelos numerosseguintes:

(a) (t0, t1, t2) = (0, 1, 2) (b) (t0, t1, t2) = (1, 2, 3) (c) (t0, t1, t2) = (4, 5, 6)

[7] Exprimir o polinomiop(t) como combinacao linear dos polinomios de Lagrange do Exerccioanterior nos seguintes casos:

(a) p(t) =t2 (b) p(t) =t2 + t + 1 (c) p(t) = 1

[8] Seja p(t) P2(R) e, suponha que p(0) =a, p(1) =b e p(2) =c. Calcule 20

p(t)dt.


7. a) t2 =L1+ 4t2.

b) t2 + t + 1 = L0 + 3L1 + 7L2.

c) 1 =L0+ L1+ L2.

6. a) L0= 1/2(t2 3t + 2), L1= (t2 + 2t), L2= 1/2(t2 t).

4. P(t) = 6t2 + 8t + 2.

11 Sequencias Recorrencias Lineares

[1] Mostre que sao sequencias recorrentes e determine a ordem, em cada caso:

(a) progressoes aritmeticas

(b) progressoes geometricas

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(c) sequencia de Fibonacci

[2] Sejama, b R fixados. Mostre que o conjunto de todas as sequencias recorrentes linearesde segunda ordem com coeficientes ae b, e um subespaco vetorial de

R.[3] Seja So subespaco das sequencias reais (x0, x1, x2, . . .) tais que xn+1 = 2xn xn1, para

todo n 1. Encontre uma base de Se determine sua dimensao.[4] Considere o conjunto Sdas sequencias

= (x0, x1, x2, . . .)

em que xn+1 = qxn para todo n 0, onde q R fixado. Mostre que S e um subespacovetorial de R, determine sua dimensao e uma base.

[5] Sejam a, b R tais que a2 + 4b > 0. Considere o subespaco Sde todas as sequenciasrecorrentes lineares de segunda ordem com coeficientes ae b.

(a) Mostre que existemq1, q2 Rdistintos tais que

1 = (1, q1, q21, q

31, . . .) e 2= (1, q2, q

22, q

32, . . .)

constituem uma base de S.

(b) Calcule a dimensao de S.

(c) Dado = (x0, x1, x2, . . .) em S, mostre que

=x1 x0

q1 q2 1+x0q1 x1

q1 q2 2

[6] A sequencia de Fibonacci = (x0, x1, x2, . . .) satisfaz xn+1 =xn+xn1 para todo n1,onde x0= 0 e x1 = 1. Mostre que

xn =(1 +

5)n (1 5)n

2n

5(n 0)

Conclua que xn e um numero inteiro, para todo n 0.[7] Sejam a, b R tais que a2 + 4b = 0. Considere o subespaco Sde todas as sequencias

recorrentes lineares de segunda ordem com coeficientes ae b.

(a) Mostre que se q= a/2 entao

1 = (1, q , q 2, q3, . . .) e 2= (0, q, 2q

2, 3q3, . . .)



(c) Dado = (x0, x1, x2, . . .) em S, mostre que

= x01+x1 x0q

q 2

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[8] Encontre uma base para o espaco vetorial das sequencias = (x0, x1, x2, . . .) tais quexn+1= 2xn xn1, para todo n 1.

[9] Sejam a, b R tais que a2

+ 4b < 0. Considere o subespaco Sde todas as sequenciasrecorrentes lineares de segunda ordem com coeficientes ae b.

(a) Mostre que existem >0 e tais que as sequencias 1 e 2, definidas por

1(n) =n cos(n) e 2=

n sin(n) (n 0)



[10] Seja So subconjunto das sequencias (x0, x1, x2, . . .) R tais que

xn+3 = 6xn+2 11xn+1+ 6xn (n 0)

Mostre que S e um subespaco vetorial de R e determine a dimensao e uma base.

[11] Seja So subconjunto das sequencias (x0, x1, x2, . . .) R tais que

xn+4 = 5xn+3 5xn+2 5xn+1+ 6xn (n 0)

Mostre que S e um subespaco vetorial de R e determine a dimensao e uma base.


1. a) As progressoes aritmeticas sao sequencias lineares de ordem 2, pois X(n+ 1) = 2Xn -X(n 1) para todo n maior ou igual a 1. Os coeficientes sao a = 2 e b = -1.

b) As progeressoes geometricas sao recorrentes lineares de ordem 1, pois X(n + 1) = qXn.

c) As sequencias de Fibonacci sao recorrentes lineares de ordem 2.

3. dim S= 2. Sendo 1 = (1, 0, -1, -2, -3, ..., - (n - 1), ...) e 2 = (0, 1 , 2, ..., n , ...). Estasduas sequencias sao progressoes geometricas de razao, -1 e 1 respectivamente e sao seuqenciaslinearmente independentes. Portanto,{1, 2} e uma base de S.

10.{1, 2n, 3n}.11.{1, (1)n, 2n, 3n}.5. b) Dimensao igual a 2.

7. b) Dimensao igual a 2.

9. b) Dimensao igual a 2.

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12 Coordenadas

[1] Determine as coordenadas do polinomio 1 t + t3 P3(R) em relacao:(a) a base canonica desse espaco;

(b) a base{1, 1 t, 1 + 2t2, 1 t3}.[2] Determine as coordenadas do vetor u= (4,5, 3) R3 em relacao as seguintes bases:

(a) canonica;

(b){(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)};(c){(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)};

[3] Determine as coordenadas da matriz1 12 0 de M2(R) em relacao a base

1 00 1

,

0 10 0

,

0 20 0

,

0 01 2

[4] SejaB = {u1, u2, . . . , un} uma base de um espaco vetorialVde dimensao n. Suponha queM= (aij) e uma matriz inversvel de ordem ne defina, para cada 1 j n,

vj =n

i=1 aijui.Mostre que{v1, v2, . . . , vn} e uma base de V.

[5] A matriz de mudanca de uma base B de R2 para a base C={(1, 1), (0, 2)} desse espacoe

1 02 3

.

(a) Determine as coordenadas de v na base B;

(b) Encontre a base B.

[6] A matriz de mudanca da base

{1 + t, 1

t2

}para uma baseCambas do mesmo subespaco

de P2(R) e

1 21 1

. Determine a base C.

[7] Considere o seguinte subespaco vetorial de M2(R):

U=

x yz t

; x y z= 0

.

(a) Mostre que os seguintes subconjuntos de M2(R) sao bases de de U:

B = 1 10 0 ,1 0

1 0 ,0 0

0 1 e C= 1 0

1 0 ,0

1

1 0 ,0 0

0 1 .

(b) Determine a matriz de mudanca de B para Ce a de C para B.

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(c) Encontre uma base D de U, de tal maneira que a matriz de mudanca de D para Bseja:

1 1 00 0 20 3 1

[8] Seja B ={u1, . . . , un} uma base de um espaco vetorial V e seja C ={v1, . . . , vn}, onde

vi = uni+1 e 1 i n. Mostre que C e uma base de Ve determine a matriz de mudancade B para C.

[9] SejaB = {u1, . . . , un} uma base de um espaco vetorialV e sejaC= {u1, u1u2, . . . , u1un}. Mostre queCtambem e uma base de Ve determine as matrizes de mudanca de basede B para C e de Cpara B .


1. a) (1, -1, 0,1).

b) (1, 1, 0, -1).

5. b){( 1, -1/3) (0, 2/3)}.6.{(2, 1, -1), (1, 2, 1)}.1. a) 4, -5 e 3.

1. b) 3, -5 e 2.

13 Transformacoes Lineares

[1] SejamV e W espacos vetoriais e T :V Wuma funcao.Mostre que:(a) se T e uma trasnformacao linear entao T(OV) =OW.

(b) se T(OV) =OW entao T nao e uma transformacao linear.

[2] Verifique se a funcaoT : R2 R2 definida porT(x, y) = (x2+y2, y), e uma transformacaolinear.

[3] Seja F : R3 R3 um operador linear e suponha que:F(1, 0, 2) = (1, 2, 3), F(0,1, 1) = (1, 3, 2) e F(0, 0,1) = (1, 2, 3).

Encontre F(x,y,z), para todo (x,y,z) R3.[4] Seja D:Pn(C) Pn(C) a aplicacao definida por D(p(z)) =p(z). Mostre que D e uma

transformacao linear.

[5] Defina T : C([0, 1]) R por T(f) = 1

0

f(x)dx. Mostre que T e uma transformacao

linear.

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[6] Mostre que T : R2 C([0, 1]) definida por

T(x, y)(t) =xet 2ye2t,(x, y) R2, t [0, 1],

e uma transformacao linear.

[7] Dada uma funcao C([0, 1]), defina T :C([0, 1]) C([0, 1]) por

T(f(t)) =f(t)(t), t [0, 1].

Mostre que T e um operador linear.

[8] Seja P Mn(C) uma matriz inversvel. Mostre que T : Mn(C) Mn(C) definido porT(X) =P1XP, e um operador linear.

[9] Verifique se a aplicacao T :Pn(R) Pn(R), em cada caso, e um operador linear:(a) T(p(t)) =tp(t) (b) T(p(t)) =p(t) + t2p(t)

[10] Considere o espaco vetorial Csobre K. Verifique se T : C C, definida por T(z) =z, eum operador linear, em cada caso:

(a) K = R (b) K = C

[11] Seja T :V Wuma transformacao linear e suponha que T(B) e LI em W, sempre queBfor LI em V. Mostre que T e injetora.

[12] SejaB = {e1, e2, e3} a base canonica de R3. SeF L(R3) e o operador tal que F(e1) =e3,F(e2) =e1 e F(e3) =e2:

(a) determine F(x,y,z);

(b) mostre que F3 =I3 e que, portanto, F2 =F1.

[13] Seja F L(R3) o operador definido por F(x,y,z) = (3x, x y, 2x + y+ z). Mostre que

(F2 I) (F 3I) = 0 (operador nulo)

[14] Seja Fum operador idempotente de um espaco vetorial V, isto e, F2 =F. Mostre que

V= Ker(F) Im(F)

[15] Seja F L(V) um operador tal que F2 F I = 0. Mostre que F e inversvel e queF1 =I F.


3. F(x, y, z) = (-3x -y -z, -6x -3y -2z, -9x -2y -3z).

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14 Nucleo e Imagem

[1] Mostre que uma transformacao linear T :V W e injetora se, e somente se,

Ker(T) = {OV}.

[2] Suponha que B V e LI emV. Sabendo-se que T :V W e uma transformacao linearinjetora, prove que T(B) e LI em W.

[3] (Teorema do Nucleo-Imagem) Seja T :V Wuma transformacao linear, onde V eum espaco vetorial de dimensao finita. Mostre que

dim Ker(T) + dim Im(T) = dim V.

[4] SejamV eW espacos vetoriais de mesma dimensao finita. Mostre que uma transformacaolinear T :V W e injetora se, e somente se, for sobrejetora.

[5] SejamV e W espacos vetoriais de mesma dimensao finita e considere uma transformacaolinear T :V W injetora. Prove queB e uma base de V se, e somente se, T(B) e umabase de W.

[6] Dizemos que uma transformacao linear T : V W e um isomorfismo se for injetora esobrejetora. Neste caso,V eW sao ditosisomorfos. Mostre queT : R3 P2(R) definidapor

T(a,b,c) =a + bt + ct2,

e um isomorfismo.

[7] Seja T : R3 R3 definida por T(x,y,z) = (z, y x, z y) e um isomorfismo, e calculesua inversa.

[8] SejamV eW espacos vetoriais finitamente gerados e suponha que dim V= dim W. Mostreque V e W sao isomorfos.

[9] Determine uma aplicacao linear T : R3 R4 tal que

Im(T) = [(1, 0, 1, 1), (1,

1, 0,

1)]

[10] Seja To operador linear de M2(R) definido por T(X) =BXpara cada X M2(R), ondeB =

1 02 1

. Determine o nucleo e a imagem de T.

[11] Existe algum automorfismo de R3 em R4? Justifique.

[12] Determine uma transformacao linear T : R2 R3 tal que Ker(T) = [(1, 1)].

[13] Seja T : M2(R) M2(R) definido por T(X) = MX XM, onde M = 1 20 1.

Determine uma base e a dimensao do nucleo e da imagem de T.

[14] Considere o espaco vetorial R= {(a1, a2, . . .) ; ai R}.

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(a) Mostre que o operador linear T : R R dado por T(a1, a2, . . .) = (0, a1, a2, . . .)e injetora mas nao e sobrejetora.

(b) Mostre que o operador linear T : R

R dado por T(a1, a2, . . .) = (a2, a3, . . .) e

sobrejetora mas nao e injetora.

(c) Conclua que R tem dimensao infinita.

[15] SejamU e V espacos vetoriais de dimensao finita e T L(U, V). O posto de T e definidopor

(T) = dim Im(T).

Mostre que:

(a) (F+ G) (F) + (G), para quaisquer F, G L(U, V).(b) (F

G)

min

{(F), (G)

}, para quaisquer F, G

L(U).


10. Ker(T) = {(0,0,0,0)}. Im(T) =M2(R) e qualquer base deste subespaco e base de Im(T).

15 Matriz de uma Transformacao Linear

[1] Considere a transformacao linear T :P2(R)

R2 definida por

T(a + bt + ct2) = (a c, b + c)Encontre a matriz de Tem relacao as basesB = {1, 1 t, 1 + t2} eC= {(0,1), (1, 1)}.

[2] Determine a matriz do operador de derivacao emPn(R) em relacao a base canonica desseespaco.

[3] Seja F :P2(R) P1(R) a funcao definida por

F(p(t)) =t 0

1

p(u)du + 1

0

p(u)du

(a) Mostre que F e uma transformacao linear.

(b) Determine a matriz deFem relacao as basesB = {1, t 1, t2 + t} eC= {2, 1 + t},de P2(R) e P1(R), respectivamente.

[4] Seja T :M2(R) P3(R) a transformacao linear definida por

T

1 10 0

= 1 + t, T

0 10 1

=t, T

1 01 0

=t2 t, T

0 01 0

=t2 + t3.

(a) Mostre que T e um isomorfismo.

(b) Determine a matriz de T em relacao as bases canonicas de M2(R) e P3(R).

(c) Encontre T1.

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[5] Seja M =

a bc d

M2(R). Determine a matriz do operador linear F L(M2(R)) dado

por F(X) =M X XMem relacao a base canonica desse espaco.

[6] SejaM=

1 01 1

M2(R). Determine o traco da matriz do operadorF deM2(R) dado

por F(X) =M Xem relacao a base canonica desse espaco.

[7] Se a matriz de um operador linear F de R3 em relacao a base canonica e1 1 00 1 0

0 1 1

e se H=I+ F+F

2

, determine a matriz de H em relacao a base canonica doR3

. Achetambem H(x,y,z).

[8] SejamB = {u1, . . . , un} e C= {v1, . . . , vm} bases de U e V, respectivamente. Se

:L(U, V) Mmn(R)

e definida por (T) = [T]B,C, mostre que e uma transformacao linear bijetora, e portanto,um isomorfismo. Conclua que dim L(U, V) =mn.

[9] SejaFum operador linear de um espaco vetorialVde dimensaon. SeFn1 = 0 (operadornulo) e Fn2

= 0, mostre que existe uma base de Vna qual a matriz de T e da seguinte

forma, onde a1, a2, . . . , an R:

a1 0 0 0 0a2 0 1 0 0...

... ...

. . . ...

...an2 0 0 1 0an1 0 0 0 1

an 0 0 0 0

[10] Dada a matriz M =1 1 21 0 1, encontre a transformacao linear T : R3 R2 de

maneira que, sendo

B = {(1, 1, 0), (0,1, 1), (1, 0, 1)} e C= {(1, 0), (1,1)},

se tenha M= [T]B,C.

[11] Sejam B e C bases de um espaco vetorial U (de dimensao finita) e, defina M = MB,Ca matriz de mudanca da base B para a base C. Se T : U U e um operador linear,mostre que

[T]C

=M1[T]B

M.

Conclua que duas matrizes de um operador linear em rela cao a duas bases distintas saosempre semelhantes.

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[12] Seja F :P2(R) P2(R) o operador linear, cuja matriz em relacao a base

B = {1, 1 + t, 1 + t + t2}

e

[F]B =

1 0 00 1 1

0 0 1

Determine a matriz de F em relacao a base canonica de P2(R).

[13] Seja F :P2(R) P2(R) o operador linear definido por

F(p(t)) =p(t) + tp(t)

Determine a matriz de Fem relacao a base B = {1, 1 + t, 1 + t + t2}. SejaCuma base deP2(R) tal que

[F]C=

0 2 00 0 2

0 0 0

Encontre a base C.


5. (2 1 -1 3).

16 Espacos com Produto Interno

[1] Mostre que Rn e um espaco euclidiano em relacao ao produto interno usual:

(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) :=x1y1+ x2y2+ + xnynEm seguida, calculeu, v e o angulo entre u, v R3 nos casos:

(a) u= (1/2, 2, 1) e v= (2, 1,

3) (b) u= (2, 1, 0) e v= (

2, 0, 2)

[2] Sejama, b Rnao nulos. Dados u= (x1, y1) e v= (x2, y2) em R2, defina

u, v = x1x2a2

+y1y2

b2

Mostre queu, vdefine um produto interno em R2.[3] Mostre que Pn(R) e um espaco euclidiano em relacao ao produto interno:

(p(t), q(t)

:=

1

0

p(t)q(t)dt

Em seguida, calcule(p(t), q(t) e o angulo entre os vetores nos casos:

37


38/61

(a) p(t) =t e q(t) = 1 t2 (b) p(t) =t 1/2 e q(t) =12

t 12

[4] Mostre que Mmn(R) e um espaco euclidiano em relacao ao produto interno:

A, B := tr(ABt)Em seguida, considerando M2(R) com o produto interno acima, e

A=

1 10 1

e B =

1 00 0

calcule o angulo entre Ae B, e:

(a)

A, B

(b)

A

e

B

(c) d(A, B)

[5] Sejam u e v vetores de um espaco euclidiano tais quev = 1,u = 1 eu v = 2.Determine o angulo entre ue v.

[6] (Desigualdade de Lagrange) Dados xi, yi R, para 1 i n, mostre que ni=1

xiyi

2

ni=1

xi

2 ni=1

yi

2

[7] (Desigualdade Triangular) Seja V um espaco euclidiano. Mostre que, para quaisquer

u, v V:u + v u + v

[8] Num espaco vetorial euclidiano, prove que:

(a)u = vu + v, u v = 0.(b)u + v2 = u2 + v2 u, v = 0.

[9] (Identidade do Paralelogramo) Mostre que num espaco euclidiano vale a identidade:

1

4u + v

2

1

4u

v

2 =

u, v

[10] Dados u e v num espaco vetorial euclidiano, com v nao nulo, determine o vetor de menor

norma do conjunto{u + tv ; t R}

[11] Seja Tum isomorfismo de um espaco euclidiano V em relacao ao produto internou, v.Mostre que PT :V V Rdefinido por

PT(u, v) = T(u), T(v)tambem e um produto interno sobre V.

[12] (Matriz de Gram) Seja {e1, e2, . . . , en} uma base de um espaco euclidianoV. Para cada1 i, j n, defina aij = ei, ej.

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39/61

(a) Mostre que a matriz A:= (aij) e simetrica.

(b) Mostre que se u=n

i=1

xiei e v=n

i=1

yiei entao

u, v = [u]tA[v]

[13] (Lei dos Cossenos) Sejamu e v dois vetores nao nulos de um espaco vetorial euclidiano.Se e o angulo entre ue v, mostre que

u + v2 = u2 + v2 2uv cos

[14] Sejam u e v vetores de um espaco euclidiano. Prove queu, v = 0 se, e somente se,

u + v

u

para todo R.

[15] Sejame1, e2, . . . , er vetores unitarios de um espaco euclidiano tais que eiej = 1 sempreque i =j . Calcule o angulo entre ei e ej , quando i =j .

17 Ortogonalidade

[1] Mostre que

1

2,

1

cos x, 1

sin x

e um subconjunto ortonormal de C([, ]) em

relacao ao produto internof(x), g(x) =

f(x)g(x)dx.

[2] Considere P2(R) com o produto internop(t), q(t) = 10

p(t)q(t)dt. Para que valor de

m, p(t) = mt2 1 e ortogonal a g(t) = 1 +t? E se o produto interno for definido pora(t), b(t) =

11

a(t)b(t)dt?

[3] Mostre que a base canonica de P2(R) nao e ortonormal em relacao ao produto interno

dado por p(t), q(t) = 10

p(t)q(t)dt. Defina um produto interno em P2(R) no qual a base

canonica e ortonormal.

[4] Encontre p(t) P2(R) que seja ortogonal a q(t) = 1 e r(t) = t, em relacao ao produtointerno dado porp(t), q(t) =

11

p(t)q(t)dt.

[5] Seja B ={e1, e2, . . . , en} uma base ortonormal de um espaco euclidiano V. Para cadav V, mostre que

v= u, e1e1+ u, e2e2+ u, enen[6] Considere o espaco vetorial C([0, 2]) com o produto internof, g =

2

0 f(x)g(x)dx. Se

u0(x) = 1, u2n(x) = cos nx e u2n1(x) = cos nx

para todo n 1 inteiro e x [0, 2], mostre que{u0, u1, u2, . . . } e ortogonal.

39


40/61

[7] No espaco vetorial C([1, e]), considere o produto interno

f(x), g(x)

=

e

1

(ln x)f(x)g(x)dx

(a) Se f(x) =x, calculef.(b) Encontre um polinomio p(t) P1(R) ortogonal a funcao constante f(x) = 1.

[8] SejaS= {v1, . . . , vn} um subconjunto ortogonal de um espaco euclidianoV. Suponha queu vi para todo i= 1, 2, . . . , n. Mostre que, u w qualquer que seja w [S].

[9] Seja S ={v1, . . . , vn} um subconjunto ortonormal de um espaco euclidiano V. Dadou V, mostre que o vetor

v:= u u, v1v1 u, v2v2 u, vnvne ortogonal a qualquer vetor de [S].

[10] (Gram-Schmidt) SejaVum espaco euclidiano nao vazio de dimensao finita. Mostre queVadmite uma base ortonormal.

[11] Usando o processo de de Gram-Schmidt, ortonormalize a base u1 = (1, 1,1), u2 =(0,1, 1), u3= (0,1, 0) do R3, utilizando o produto interno usual do R3.

[12] Seja W= {(x,y,z) R3 ; x 2y= 0}. Determine uma base ortonormal de W.

[13] (Polinomios de Legendre) Considere P2(R) munido do produto internop(t), q(t) =11p(t)q(t)dt. Ortonormalize a base canonica de P2(R) utilizando o processo de Gram-

Schmidt. Os polinomios obtidos neste processo sao conhecidos comopolinomios de Legen-dre.

[14] Seja B = {e1, e2, . . . , er} um conjunto ortonormal de vetores de um espaco euclidiano V.(a) (Desigualdade de Bessel) Mostre que, para todo u V,

u2 r

i=1

u, ei2

(b) (Identidade de Parseval) Se B e uma base de V, mostre que para todo u V,

u2 =r

i=1

u, ei2

[15] Considere o espaco Pn(R) com o produto interno

n

i=0

aiti,

n

i=0

biti =

n

i=0

aibi

Pode-se dizer que a base canonica de Pn(R) e ortonormal?

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41/61

[16] SejamVum espaco euclidiano eU V, um subespaco vetorial. Mostre que ocomplementoortogonal de U e um subespaco vetorial de V e

V =U UConclua que

dim U= dim V dim U[17] Seja V o subespaco de R4 gerado por (1, 0, 1, 1) e (1, 1, 2, 0). Encontre uma base de V e

ortonormalize essa base.

[18] Seja U := {(0, y , x) ; x, y R} R3. Encontre o complemento ortogonal de U.[19] (Projecao Ortogonal) Seja U um subespaco de um espaco euclidiano V, de dimensao

finita.

(a) Mostre que a projecao ortogonalde um espaco euclidianoV, de dimensao finita, sobreum subespaco Udefine um operador linear E L(V).

(b) Conclua que E2 =E.

(c) Prove que KerE=U e ImE=U.

(d) Use o item anterior para verificar que

V= KerE ImE

[20] No espaco vetorial Pn(R), defina

p(t), q(t) =n

k=0

p

k

n

q

k

n

(a) Mostre quep(t), q(t) e um produto interno em Pn(R)(b) Para p(t) =t e q(t) =at + b, calculep(t), q(t).(c) Se S= [t], encontre S.

[21] No espaco vetorial P(R) de todos os polinomios, defina

p(t), q(t) = +

0etp(t)q(t)dt

(a) Mostre que essa integral impropria converge absolutamente quaisquer que sejamp(t), q(t) P(R).

(b) Para cada n 0 inteiro, defina xn(t) =tn. Mostre quexm(t), xn(t) = (m + n)!.(c) Calculep(t), q(t) quando p(t) = (t + 1)2 e q(t) =t2 + 1.(d) Encontre todos os polinomios emP1(R) ortogonais a p(t) = 1 + t.

[22] Encontre a projecao ortogonal de P3(R) sobre o subespaco U= [1 t, 1 +t2], em relacaoao produto interno

p(t), q(t)

= 1

0p(t)q(t)dt. E, calcule a projecao ortogonal de p(t) =

1 + t + t2 + t3 sobre U.

[23] Encontre a projecao ortogonal de (1, 1, 1, 1) R4 sobre o subespaco [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)].

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18 Decomposicao QR e Quadrados Mnimos

[1] Seja A Mmn(R) uma matriz com posto coluna maximo. Entao existem uma matriztriangular superiorR Mn(R) eQ Mmn(R), com vetores coluna ortonormais, tais queA= QR.

[2] Encontre a decomposicao QR da matriz1 0 11 1 0

1 1 1

[3] Encontre a decomposicao QR, onde possvel.

(a)

1 12 3

(b)

1 20 1

1 4

(c)

1 1 10 1 1

(d)

1 0 20 1 1

1 2 0

(e)

1 2 11 1 10 3 1

(f)

1 0 11 1 11 0 11 1 1

[4] SejaWum subespaco de dimensao finita de um espaco euclidianoV. Dadov V, mostreque projW(v) e a melhor aproximacao de v por vetores em W, isto e,

u projW(v) < u w,

para todo w Wdiferente de projW(v).[5] Calcule o centroide dos vetores e interprete geometricamente.

(a) u1= (1, 2, 1), u2 = (1,2, 0) e u3= (0, 0,1)(b) u1= (1, 1), u2 = (1, 2), u3 = (4,1) e u4= (2, 2)

[6] Seja uo centroide dos vetores u1, u2, . . . , up do Rn. Calcule

u u12 + u u22 + + u up2

no exerccio acima.

[7] Uma experiencia forneceu os seguintes valores: (x1, y1) = (3, 6) =P, (x2, y2) = (1, 3) =Q,(x3, y3) = (5, 9) =R e (x4, y4) = (3, 6) =S. Encontre a equacao geral da reta que melhorse adapta a estes resultados.

[8] Suponhamos z=ax + by e que foram obtidos experimentalmente os seguintes resultados:

Se x= 1 e y = 0, entao z= 2;

Se x= 0 e y = 1, entao z= 3;

Se x= 1 e y = 1, entao z= 2;

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Se x= 1 e y= 1, entao z= 0.Encontrar a formula aproximada paraz.

[9] Supoe-se que z=ax+by+ct e uma funcao linear de tres variaveisx, y e t. Os seguintesresultados sao obtidos experimentalmente:

Se x= 1, y= 0, t = 0, entao z= 1;

Se x= 1, y= 0, t = 1, entao z= 1; Se x= 2, y= 1, t = 0, entao z= 3;

Se x= 4, y= 0, t = 3, entao z= 4.Encontre a formula aproximada paraz.

[10] Encontre um polinomio homogeneo do segundo grau cujo grafico se ajuste bem aos pontosP = (1, 2), Q= (3, 1), R= (4, 2) e S= (2, 0).

[11] Encontre um polinomio homogeneo de quarto grau cujo grafico se ajuste bem aos pontos(2, 2), (1, 1), (1, 2) e (2, 1).

19 Isometrias ou Transformacoes Ortogonais

[1] Mostre que a rotacao em torno da origem de um angulo [0, 2] e uma isometria em R2.

[2] Prove que T L(R2

) definida por

T(x, y) =

1

2x

3

2 y,

3

2 x +

1

2y

e uma isometria.

[3] Para que valores de m, n Ro operador linear T L(R3) definido por

T(x,y,z) =

x,my+

2

2 z,ny+

2

2 z

e uma isometria?

[4] Sejam T1 e T2 duas isometrias de um espaco euclidiano V. Mostre que T1 T2 e T11tambem sao isometrias.

[5] Seja Tum operador linear sobre um espaco euclidiano V. Mostre que sao equivalentes:

(a) T e uma isometria.

(b) se B e uma base ortonormal de V entao T(B) tambem e base ortonormal.

(c)

T(u), T(v)

=u, v

para quaisquer u, v

V.

[6] Mostre que a matriz de mudanca de base entre duas bases ortonormais de um espacoeuclidiano de dimensao finita e ortogonal.

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[7] Seja Tuma isometria de um espaco euclidiano V. Mostre que T conserva o cosseno doangulo entre dois vetores nao nulos de V.

[8] Seja V um espaco euclidiano de dimensao finita. Mostre queT L(V) e uma isometriase, e somente se, a matriz de T em relacao a uma base ortonormal e ortogonal.[9] Determine a isometria do R3 cuja matriz em relacao a base canonica e

1/2 1/

2 0

0 0 1a b c

,

onde a, be c sao numeros reais a serem encontrados.

[10] Prove que toda isometria de um espaco euclidiano de dimensao finita e um isomorfismo.


9.

1/

2 1/

2 0

0 0 11/2 1/2 0

3. m= 1/2 e n= 1/2.

20 Operadores Autoadjuntos

[1] Seja V um espaco euclidiano de dimensao finita. Mostre que T L(V) e autoadjunto se,e somente se, a matriz de T em relacao a uma base ortonormal e simetrica.

[2] Considere uma base ortonormal B de um espaco euclidianoVde dimensaon. Denote porLS(V) o subconjunto de L(V) dos operadores simetricos.

(a) Mostre que LS(V) e um subespaco de L(V).

(b) Prove que : L(V) Mn(R) definida por (T) = [T]B e uma aplicacao linear.(c) Verifique que (LS(V)) e o subespaco das matrizes simetricas em Mn(R).

(d) Mostre que dim LS(V) =n(n + 1)/2.(e) Conclua que todo operador T L(V) autoadjunto pode ser identificado com uma

unica matriz simetrica em Mn(R).

[3] Defina TL(R3) por T(x,y,z) = (2x+ 2z, x+z, x+z). Mostre que a matriz de T emrelacao a base B ={(1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} e simetrica. O operador T e autoadjunto?Justifique.

[4] SejaHum subespaco de um espaco euclidianoV. Entao, cadav Vse expressa de modounico, como

v=h + t,

onde h H e t H. Considere a aplicacao A: V V definida porA(v) =h t, para todo v V.

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(a) Mostre que A e um operador linear e autoadjunto.

(b) Se V = R3, com o produto interno usual, e H= [(1, 1, 0)], determine a matriz de Aem relacao a base canonica de R3.

[5] Seja V um espaco euclidiano de dimensao finita. Mostre que duas quaisquer das proprie-dades a seguir de um operador A L(V) implicam a restante:

(a) A e autoadjunto (b) A e isometria (c) A2 =I

[6] Seja T L(V) um automorfismo autoadjunto. Mostre que A1 e autoadjunto.[7] Seja A um operador autoadjunto de um espaco euclidiano V e suponha que H e um

subespaco invariante por A. Mostre que H tambem e invariante por A.

[8] Seja T um operador autoadjunto de um espaco euclidiano V. SeT(v), v= 0 para todov V, mostre que T =O (operador nulo).

[9] SejamT , S L(V) operadores autoadjuntos. Mostre queTS e autoadjunto se, e somentese, T S=S T.


3. T nao e autoadjunto, pois < T(1, 0, 0); (0, 1, 0) > = < (2, 1, 1); (0, 1, 0) > ao passo que = = 0.

21 Autovalores e Autovetores

[1] Encontre os autovalores e autovetores do operador T L(R3) dado por:

(a) T(x, y) = (x + y, x y)(b) T(x, y) = (x,y)

(c) T(1, 0) = (0,1), T(0, 1) = (1, 0)(d) T(x, y) = (y, x)

[2] Determine os autovalores e autovetores do operadorT de R4 cuja matriz em relacao a base

canonica e:

3 1 0 00 3 0 00 0 4 00 0 0 3

[3] SejaB = {e1, e2, . . . , en} uma base do espaco vetorialV. SeT L(V) satisfazT(ei) =ieipara 1 i n, determine o polinomio caracterstico de T.

[4] Encontre os autovalores e bases dos autoespacos do operador linear T : P2(R)P2(R)definido por

T(a + bt + ct

2

) = 2c + (a + 2b + c)t + (a + 3c)t2

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[5] Seja T :M2(R) M2(R) definido por

Ta bc d = 2c a + c

b 2c d Encontre os autovalores de T e bases dos autoespacos de T.

[6] Calcule o polinomio caracterstico e os autovalores das matrizes:2 01 1

,

1 13 1

,

2 10 1

e

1 31 1

[7] Calcule o polinomio caracterstico e os autovalores da matriz:

2 1 0 00 2 0 00 0 1 10 0 2 4

[8] SejamA Mn(R) e um numero real. Mostre que sao equivalentes:(a) e um numero autovalor de A;

(b) O sistema (InA)X=Onde equacoes tem solucoes nao-triviais, onde X Mn1(R).(c) Existe um vetor nao-nuloX

Mn1(R) tal que AX=X.

(d) e uma solucao da equacao caracterstica det(In A) = 0.[9] Mostre que A Mn(K) e invertvel se, e somente se, Anao possui autovalor = 0.

[10] Seja

1 10 1

a matriz de um operador T de R2 em relacao a base canonica. Encontre os

autovalores de T. Existem, neste caso, dois autovetores linearmente independentes?

[11] Suponha que 1 e 2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T : R2 R2.

Mostre que:

(a) os autovetores v1 e v2 correspondentes sao LI.(b) T(v1) e T(v2) sao LI.

[12] Seja A Mn(K) uma matriz triangular. Qual o polinomio caracterstico de A?[13] SejamA = (aij) e B = (bij) matrizes triangulares emMn(K) tais que aii=bii sempre que

1 i n. Mostre que pA() =pB().[14] Seja Tum operador linear em um espaco vetorial V, e suponha que e autovalor de T.

(a) Mostre que n e autovalor de Tn.

(b) Se p(t) =a0+ a1t + + antn, mostre que p() e autovalor de p(T).

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[15] Considere as matrizes

1 2 10

1 1

0 0 1 e

1 3 10 2 0

0 0 3 .

(a) Mostre que Ae B sao inversveis.

(b) Calcule AB e BA e observe que estes produtos sao distintos.

(c) Encontre os autovetores de AB e BA. O que voce observa?

(d) Encontre os autovetores de AB e BA. O que voce nota?

(e) Motivado pelos itens anteriores, mostre que: se A e B sao matrizes inversveis demesma ordem, os autovalores de AB e BA sao os mesmos.

(f) Mostre ainda que, se 1 e um autovalor de AB com autovetorv, entao1 e autovalor

deBAcom autovetorBv. Da mesma fora, se2 e um autovalor deBAcom autovetorw, entao 2 e autovalor de AB com autovetor Aw.

[16] Mostre que autovetores associados a autovalores distintos sao linearmente independentes.

[17] Seja V um espaco vetorial de dimensao n e suponha que T L(V) possui n autovaloresdistintos. Mostre que Vpossui uma base cujos vetores sao autovetores de T.

[18] Sejav um espaco euclidiano eT L(V) um operador linear autoadjunto. Suponha que uevsao autovetores deTassociados a autovalores distintos. Mostre queu e v sao ortogonais.

[19] (Jose F. Andrade

1

) Seja T :R

R o operador linear definido por

T(e1) =e2 e T(ei) =ei1+ ei+1, n >1.

Mostre que T e autoadjunto e que nao possui autovalores.

[20] Considere o operador T :C1([0, 1]) C1([0, 1]) definido por

T(f)(x) =x +

x0

f(t)dt

(a) Mostre que T e um operador linear.

(b) Encontre os autovalores e autovetores de T.

[21] Seja A=

a bc d

uma matriz arbitraria em M2(R).

(a) Mostre que pA() =2 tr(A) + det(A).

(b) Conclua que os autovalores de Asao

=1

2

(a + d)

(a d)2 + 4bc

1

Matematica Universitaria, n. 37 (2004), pp. 9-14

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(c) Suponha que b = 0 e que Aadmite dois autovalores 1 e 2, distintos. Mostre que

ba 1 e

ba 2

sao dois autovetores associados a 1 e 2, respectivamente.


1. a)

2 e (1,

2 -1) ; -

2 e (-1,

2 + 1).

b) -1 e qualquer vetor nao nulo.

c) Nao ha valores proprios reais.

2. 3 (triplo) e (1,0,0,0) e (0,0,0,1); 4 e (0,0,1,0).

7. p(t) = (t 2)3 (t-3); 2 (duplo) e 3.6. a) t2 -3t + 1; 1/2(3 5).6. b) t2 -4; 2.6. c) t2 -3t +2; 1 e 2;

6. d) t2

-4; 2.10. 1 (duplo). Nao ha.

15. c) Sao iguais. 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3.15. d) Sao diferentes. V1 = (x, 0, 0), V2 = (1/3y,y, 0), V3= (5/4z,2z, z).

5. = 1, = 2, = 1. Base do auto-espaco associado a = 1 e:

0 00 1

e

2 31 0

.

Base do autoespaco associado a =

2 e 1 0

1 0. Base do auto-espaco associado a = 1

e

2 11 0

.

22 Diagonalizacao de Operadores

[1] Verifique que o operador T :M2(R) M2(R) dado por

T

x yz t

=

x t y+ z

y z x + t

e diagonalizavel, encontre uma base de autovetores de Te a matriz deTem relacao a essabase.

48


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[2] Considere o operador T :P2(R) P2(R) definido por

T(p(t)) =p(t) + tp(t) 3p(t)

Verifique que T e diagonalizavel, encontre uma base de autovetores de Te a matriz de Tem relacao a essa base.

[3] Seja V um espaco vetorial de dimensao finita e suponha que (T) = {1, 2, . . . , r} paraT L(V). Se T e diagonalizavel, mostre que

V =V(1) V(2) V(r)

[4] Seja T : C4 C4 o operador linear cuja matriz, em relacao a base canonica de C4 sobreC, e:

1 1 0 00 2 0 00 0 1 10 0 2 3

Verifique se T e diagonalizavel. Em caso afirmativo, encontre uma base de autovetores deTe a matriz de T em relacao a essa base.

[5] Estude a matriz

1 0 0m 2 0

n 0 2

quanto a possibilidade de diagonalizacao.

[6] Considere o operador T :M2(R) M2(R) definido por

T(X) =

1 10 0

X+ X

0 01 1

Verifique se T e diagonalizavel.

[7] SejaTum operador linear no espaco vetorialVde dimensao finita. Se existe uma base de

Vna qual a matriz de T e diagonal, mostre que essa base e formada por autovetores de T.

[8] Suponha que A Mn(K) tem n autovalores distintos. Mostre que A e diagonalizavel.Conclua que, se T L(V) e um operador linear no espaco vetorial V de dimensao n comn autovalores distintos entao T e diagonalizavel.

[9] Determine se a matriz

B =

6 3 24 1 2

10 5 3

e diagonalizavel sobre Re sobre C. Encontre bases para os autoespacos de B.

[10] Seja A=

1 23 4

. Calcule A9 e, para todo p >0, determine Ap.

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[11] Considere a matriz A=

0 0 21 2 11 0 3

. Calcule A2014 e conclua que det A2014 = 24028.

[12] Verifique que a matriz A=

0 1 10 1 1

1 1 1

e diagonalizavel e calcule Ap (p >0 inteiro).

[13] SejamA=

3 1 01 2 1

0 1 3

e n, um inteiro positivo. Calcule An.

[14] (Raiz quadrada de uma matriz) Dizemos que A Mn(K) tem uma raiz quadradase existe B Mn(K) tal que B2 = A. Determine todas as razes quadradas da matrizA =

1 22 1 . Conclua que A possui quatro razes quadradas em M2(C), mas naoadmite raiz quadrada emM2(R).

[15] Encontre uma raiz quadrada real da matriz

1 3 10 4 5

0 0 9

.

[16] Encontre a exponencial da matriz A =

1 02 1

(isto e, eA).

[17] Para A Mn(K

), mostre que e

A

e inversvel, com inversa eA

.

[18] Seja um numero real qualquer e considere a matriz A=

0 0

. Mostre que

eA =

cos sin sin cos

[19] Seja A=

a b0 a

M2(R), comb = 0. Mostre que Anao e diagonalizavel e calcule eA.

[20] Seja A Mn(K

). Mostre que d

dteAt =AeAt

[21] Dados A Mn(K) e X0 Mn1(K), prove que a equacao diferencialX =AX,

admite uma unica solucao tal que X(0) =X0.

[22] Para A, B Mn(K), mostre que AB =BAse, e somente se,

eA+B

= eA

eB

[23] Em cada caso, calcule Ap e eA.

50


51/61

(a)

2 43 13

(b)

0 7 61 4 0

0 2 2

(c)

0 1 5 92 1 6 80 0 0 3

0 0 1 2

(d)

1 4 2 24 1 2 22 2 1 42 2 4 1

[24] (Logaritmo de uma matriz) Dizemos que A Mn(K) tem um logaritmo se existeB Mn(K) tal que eB = A. Determine todos os logaritmos matriz A =

1 12 1

.

Conclua que existem infinitos logaritmos de A emM2(C).

[25] (a) Escreva o seguinte sistema de equacoes diferenciais em forma matricial:

y1 = 3y1y2 = 2y2y3 = 5y3

(b) Resolva o sistema.

(c) Encontre uma solucao do sistema que satisfaz as condicoes iniciaisy1(0) = 1,y2(0) = 4e y3(0) = 2.

[26] (a) Resolva o seguinte sistema de equacoes diferenciais: y1 =y1+ y2y2 = 4y1 2y2

(b) Encontre a solucao que satisfaz as condicoes iniciaisy1(0) = 1 e y2(0) = 6.

[27] (a) Resolva o sistema:

y1 = 4y1+ y3y2 = 2y1+ y2y3 = 2y1+ y3

(b) Encontre a solucao que satisfaz as condicoes iniciaisy1(0) = 1,y2(0) = 1 ey3(0) = 0.[28] SejaA Mn(K) uma matriz diagonalizavel com autovalores1, 2, . . . , n. Mostre que, se

y =

y1y2...

yn

satisfaz a equacao diferencial matricial

y = Ay

entao cada yi e uma combinacao linear de e1x, e2x, . . . , enx.

51


52/61

[29] Resolva o sistema

x = xy =

2x + y

,

sujeito as condicoes iniciais x(0) = 1 e y(0) = 1.[30] Para a equacao diferencial y y 6y = 0, mostre que as substituicoes y1 =y e y2 =y

levam ao sistema y1 =y2y2 = 6y1+ y2

Resolva este sistema e depois resolva a equacao diferencial original.

[31] Resolva a equacao diferencial y 6y+ 11y 6y= 0.[32] (O Pendulo Simples) O pendulo simples e constitudo por uma partcula de massa

suspensa por uma corda inextensvel de comprimento L e de massa desprezvel. Quandosolta de uma posicao que faz um angulo0 com a vertical, sob acao da forca da gravidade,a partcula oscila no plano vertical, descrevendo um arco de crculo em torno da posicaode equilbrio que e a vertical (faca uma figura!).

(a) Mostre que a equacao do movimento do pendulo e:

d2

dt2 +

g

Lsin = 0

(b) Defina 20 =g/L, e mostre que para valores pequenos de , o movimento do pendulopode ser modelado pela equacao:

d2

dt2 + 20= 0

(c) Resolva a equacao diferencial do item (b).

[33] Resolva o sistema de equacoes diferenciais de segunda ordem: y1 = 2y1+ y2+ y

1+ y

2

y2 = 5y1+ 2y2+ 5y1 y2[34] Descreva um metodo geral para resolver um sistema de equacoes diferenciais lineares de

segunda ordem da forma Y =AY, onde A e diagonalizavel.

[35] Resolver o sistema

x(t) = 3x(t) + z(t)y(t) = 2y(t)z(t) = x(t) + 3z(t)

satisfazendo a condicao inicial x(0) =y(0) =z(0) = 1.

[36] Resolver o sistema

x(t) = 2x(t) + y(t)y(t)

Algebra Linear Aplicada

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