FACULDADE DE CINCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. lvaro Fernandes Serafim ltima atualizao: 01/12/2007. 1EstaapostiladelgebraLinearfoielaboradapelaProfessoraIlkaRebouasFreireepelo Professor lvaro Fernandes Serafim. Temas desta apostila: Matrizes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 01. Operaes com matrizes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 05. Matrizes inversveis - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 12. Determinantes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 15. Sistemas lineares - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 20. Operaes elementares e escalonamento - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 25. Regra de Cramer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - pg. 30. Aplicao: Circuito eltrico simples - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 31. Aplicao: Construindo curvas e superfcies por pontos especificados- - - - - - - - pg. 34. Exerccios gerais - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 20. Matrizes Um conglomerado composto por 5 lojas numeradas e 1 a 5. A tabela a seguir apresenta o faturamento, em reais, nos quatro primeiros dias do ms de agosto de um determinado ano. 01/0802/0803/0804/08 Loja 11.9502.0001.8001.950 Loja 21.5001.8002.0002.300 Loja 33.0002.8002.9002.500 Loja 42.5003.0002.7501.900 Loja 52.0002.3502.4503.000 Qual o faturamento da loja 3 no dia 2? Qual o faturamento total de todas as lojas no dia 3? Qual o faturamento total da loja 1 nos 4 dias? Podemos representar a tabela acima, abstraindo o significado de suas linhas e colunas, da seguinte maneira (que chamamos de matriz): ||||||.|

\|3000 2450 2350 20001900 2750 3000 25002500 2900 2800 30002300 2000 1800 15001950 1800 2000 1950 Esta matriz possui 5 linhas (representando o nmero de lojas) e 4 colunas (representando o nmero de dias). Dizemos que ela possui ordem 5x4; Os elementos desta matriz so os nmeros que representam o faturamento; Um elemento genrico de uma matriz representado por ija , ondeiindica a linha que ele ocupa eja coluna. Para a matriz acima temos1950 a11 = ; 2800 a32 = ;etc... Para a situao apresentada na matriz acima, temos que=ijafaturamento da loja i no dia j. 2Definio: Sejamm n 1 1e , dois nmeros inteiros. A matriz de ordem mxn (l-se m por n), queindicaremos( )mxnija A = ,consisteemm.nelementosdispostosemmlinhasencolunas, conforme a tabela |||||.|

\|=mn 3 m 2 m 1 mn 2 23 22 21n 1 13 12 11a a a aa a a aa a a aA...... ... ... ... ......... ou

=mn 3 m 2 m 1 mn 2 23 22 21n 1 13 12 11a a a aa a a aa a a aA...... ... ... ... ........., ondeaij indica o elemento da i-sima linha e j-sima coluna. Temos a variao de i comom 3 2 1 i ,..., , , =e a variao de j comon 3 2 1 j ,..., , , = . Observao:Oelementoaijpodepertenceraqualquerconjunto(nmeros,funes,polinmios, matrizes, etc). Trabalharemos com matrizes em que os elementosaij sero nmeros reais. Existe uma srie de situaes em que utilizamos a representao matricial. Exemplos: 1.AmatrizPabaixoforneceaquantidadedevitaminasA,BeC(representadasnascolunas) contidas nos alimentos I e II (representados nas linhas). ||.|

\|=1 0 50 3 4P . Assim, 0 a13 =indica que no existe vitamina C no alimento I.

2. Considere a ligao entre pontos (os quais podemrepresentarpessoas,cidades,pases, etc.) representada ao lado. Seja =. j i. j i , 1aija ligado est no se0,a ligado est se A forma matricial do diagrama, admitindo-se que todo ponto est ligado a si mesmo, : 1 1 0 11 1 1 10 1 1 01 1 0 1|\

|.|||| Curiosidade A palavra matriz deriva da palavra latina mater, que significa me. Quando o sufixo izacrescentado,osignificadotorna-setero.Assimcomoumteroenvolveumfeto,os colchetes de uma matriz envolvem seus elementos. Assim como o tero d origem a um beb, uma matrizgeracertostiposdefuneschamadastransformaeslineares,queserovistas posteriormente. 3Tipos especiais de matrizes. Matriz nula aquela em quea i jij = 0, , . Exemplo: ||.|

\|=0 0 00 0 0A . Matriz linha toda matriz do tipo( )xn 1ija A = . Exemplo:( ) 3 4 0 1 = A . Esta matriz tem ordem 1x4. Matriz coluna toda matriz do tipo( )1 mxija A = . Exemplo: |||.|

\|102= A . Esta matriz tem ordem 3x1. Obs.:Umescalar(umnmeroreal) 11a podeserinterpretadocomoumamatrizdeordem1x1 ( )11a . Matriz quadrada toda matriz do tipo( )nxnija A = , isto , o nmero de linhas igual ao nmero de colunas. Neste caso, dizemos que A uma matriz quadrada de ordem n e podemos usar a notao An. Obs.:Numamatrizquadrada,oselementosdaforman 3 2 1 k akk..., , , , = sochamadosde elementos da diagonal principal. Exemplo: |||.|

\|5 0 40 1 37 1 2 quadrada de ordem 3. Os elementos da diagonal principal so 2, 1e5. Dizemos tambm que os elementos 7,1e4 formam a diagonal secundria. Matrizdiagonal amatrizquadradaemqueoselementosque noesto na diagonal principal so nulos. Exemplo: |||.|

\|5 0 00 1 00 0 2. 4Matriz escalar a matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal so iguais. Exemplo: |||.|

\|2 0 00 2 00 0 2. Matriz identidade uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal so iguais a 1. Usamos a notao nIpara indicar a matriz identidade de ordem n. Exemplo:( )||||||.|

\|=|||||.|

\|=|||.|

\|=||.|

\|= =1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1I1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1I1 0 00 1 00 0 1I1 00 1I 1 In 4 3 2 1...... ... ... ............, .. . , , , ,

. Matriztriangularsuperiorumamatrizquadradaemquetodososelementosabaixoda diagonal principal so nulos, isto ,j i 0 aij> = se , . Exemplo: Matriz triangular inferior uma matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal principal so nulos, isto ,j i 0 aij< = se , . Exemplo: 5 Operaes com matrizes 1.Igualdade. Duasmatrizes( ) ( )rxsijmxnijb B a A = =esoiguaissepossuemamesmaordem,isto, s n r m = = e e j , i , b aij ij =. 2.Adio. Asomadeduasmatrizesdemesmaordem( ) ( )mxnijmxnijb B a A = = e umaoutramatrizCde mesma ordem mxn que denotamos porB A C + = , tal que( ) j i b a c c Cij ij ijmxnij + = = , , onde , . Propriedades da adio: i)Comutatividade: A + B = B + A. ii)Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C. iii)Elemento neutro: A + 0 = 0 + A, onde0representa a matriz nula. iv)Elemento oposto: Dada a matriz A, existe a matriz oposta de A, que denotaremos por A, tal que A + (A) = 0. Exemplo: Sejam ||.|

\|=||.|

\| =1 3 15 0 2B4 0 52 3 1A e, determine A + B. ||.|

\|= +3 3 47 3 1B A . 3. Multiplicao por um escalar. Seja( )mxnija A = ekumescalar.DefinimosamatrizkAcomosendoamatriz kA B = ,onde ( )mxnijb B = , tal que ij ijka b = .Isto , multiplicamos todos os elementos de A por k. Exemplo: Seja ||.|

\|=0 23 1A . A matrizA 5 B = ||.|

\|=0 1015 5B . Propriedades da multiplicao por escalar: i) k(A + B) = kA + kB. ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A. iii) k1 .(k2A) = (k1 . k2 )A. Obs.:Ak kA = . 6A diferenaA B a soma de A com a oposta de B, isto A + (B). Exemplo: Sejam ||.|

\|=||.|

\| =1 3 15 0 2B4 0 52 3 1A e, determineA B. ||.|

\| = 5 3 63 3 3B A . 4. Multiplicao de matrizes. Consideremos a seguinte situao, que ir motivar a definio de multiplicao de matrizes. Umcorretordabolsadevalores,calculandoopatrimnioadquiridonodiapordoisclientes,nas quatro primeiras horas do prego, montou as seguintes matrizes: ||.|

\|=1200 800 3000 20001000 1800 2000 5000A e|||||.|

\|=435 , 22B em que: Cada elemento ijada matrizA a quantidade das aes de uma empresa adquiridas pelo clienteinahoraj.Porexemplo,oelemento800 a23 = nosdizqueforamadquiridas800 aes pelo cliente 2 na hora 3. Cada elemento ijbda matrizB o preo, em dlares, de cada ao na hora i. Por exemplo, o elemento 21b nos diz que na hora 2 o preo de cada ao era de 2,5 dlares. Quanto investiu cada cliente para adquirir suas aes? Esseinvestimentocalculadomultiplicando-seonmerodeaesadquiridasemcadahorapelo preo unitrio e somando-se os resultados. Cliente 1: 50002 + 20002,5 + 18003 + 10004 = 24400. Cliente 2: 20002 + 30002,5 + 8003 + 12004 = 18700. A matriz C em que cada elemento ijc o investimento do cliente i dada por ||.|

\|=1870024400C . AmatrizCdenominadaprodutodamatrizApelamatrizB,istoAB C = .Elafoiobtida multiplicando-se a primeira linha de A pela coluna de B e a segunda linha de A pela coluna de B. Observe como isto foi feito: 7 ( )|||||.|

\| =435 , 221000 1800 2000 5000 c11 = 50002 + 20002,5 + 18003 + 10004 = 24400. ( )|||||.|

\| =435 , 221200 800 3000 2000 c21= 20002 + 30002,5 + 8003 + 12004 = 18700. De uma maneira geral, dadas as matrizes( )mxkija A = e ( )kxnijb B =o produto da linha i de A pela coluna j de B igual a ( )kj ik j 3 3 i j 2 2 i j 1 1 ikjj 3j 2j 1ik 3 i 2 i 1 ib a ... b a b a b ab...bbba ... a a a + + + + =||||||.|

\| . Definio: Dadas as matrizes( )mxkija A = e ( )kxnijb B =o produto da matrizA pela matriz B a matriz AB C = , ( )mxnijc C = , tal que ijc igual ao produto da linhaide A pela colunajde B. Equivalentemente: Considere as matrizes( )mxkija A = e ( )kxnijb B = . Definimos a matriz produtoAB C =como sendo a matriz de ordemmxn, isto ( )mxnijc C = , tal que kj ik j 2 2 i j 1 1 ik1 ppj ip ijb a b a b a b a c + + + = ==... . Ateno! Deacordocomadefinio,somentepossvelmultiplicarmatrizes ondeonmerodecolunasdaprimeiraigualaonmerode linhasdasegundamatriz.Odiagramaabaixoauxiliaa interpretao. 8Exemplo: Sejam ||.|

\|=||.|

\|=2 1 30 2 1B2 10 2A e. Determine o produtoAB . Como A possui ordem 2x2eB ordem 2x3, ento o produto possvel e, neste caso,AB C =possui ordem 2x3. Os elementos da matriz C so: ( ) 2310 2 c11=||.|

\| = .( ) 4120 2 c12=||.|

\| = .( ) 0200 2 c13=||.|

\| = . ( ) 7312 1 c21=||.|

\| = .( ) 4122 1 c22=||.|

\| = .( ) 4202 1 c23=||.|

\| = . Logo, a matriz||.|

\|=||.|

\|||.|

\|=4 4 70 4 22 1 30 2 12 10 2C . Obs.:PercebaquenesteexemplonopossvelcalcularoprodutoBA.Issojnosadiantaquea operao de multiplicao entre matrizes no comutativa, necessariamente. Propriedades da multiplicao de matrizes. Desde que sejam possveis os produtos entre as matrizes, so vlidas as seguintes propriedades: i) A(BC) = ABAC. (distributiva esquerda). ii) (AB)C = ACBC. (distributiva direita). iii) (AB)C = A(BC). (associativa). iv) A.0 = 0. Observaes: 1.O produto de matrizes no , necessariamente, comutativo! Exemplo:Sejam ||.|

\|=||.|

\|=2 11 0B4 12 1A e.PodemosverificarrapidamentequeBA AB , pois ||.|

\|=||.|

\|=10 34 1BA9 45 2ABe . Em alguns casos as matrizes comutam. Por exemplo, se ||.|

\| =||.|

\|=3 02 3D1 01 1C e, verifique queDC CD = . 92.Indicamos ,, AAA A AA A3 2= =.n termos....A AAAA An= . Exemplo: Se ||.|

\| =3 21 1A , calcule 2A . ||.|

\| =||.|

\| ||.|

\| = =7 84 13 21 13 21 1AA A2. 3.SeAB = 0 no podemos concluir que A = 0ouB = 0. Exemplo: ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|0 00 01 00 00 00 1. 4.Amatrizidentidadeoelementoneutromultiplicativonasoperaesdemultiplicaesde matrizes. Se( )mxnija A = ,entoA A Im= . etambmA I An = . .Ilustraremosesteresultadocomum exemplo: Se |||.|

\|=l k j ih g f ed c b aA , entoA A I3= . etambmA I A4 = . . Al k j ih g f ed c b al k j ih g f ed c b a1 0 00 1 00 0 1A I3=|||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|= . . Al k j ih g f ed c b a1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1l k j ih g f ed c b aI A4=|||.|

\|=|||||.|

\||||.|

\|= . . 10Transposio de matrizes Definio:Dadaumamatriz( )mxnija A = ,chamamosdetranspostadamatrizAeindicamospor TA , a matriz( )ij jinxmjiTa a a A = =quetal , . Em outras palavras, as linhas da matriz transposta so as colunas de A e as colunas da matriz transposta so as linhas de A. Exemplo 1: Dada a matriz |||.|

\|=|||||.|

\|=3 4 2 31 3 1 20 7 0 1A ,3 1 04 3 72 1 03 2 1ATquetemos . Exemplo 2: Dada a matriz( )|||.|

\|= =321B 3 2 1 BTquetemos , . Propriedades da matriz transposta. i)( ) A ATT= . ii)( )T T TB A B A + = + . iii)( )T TA k A k = . iv)( )T T TA B AB = . Demonstraes dos itens ii)eiv): ii)Considereasmatrizes( )mxnija A = e( )mxnijb B = .SejaB A C + = ,isto,( )mxnijc C = ,talque ij ij ijb a c + = .Assim,( )T TC B A = + . Temos ento( )nxmjiTc C = , tal que: ji ji ij ij ij jib a b a c c + = + = = .Da, T T TB A C + = . Obs.: verdadeiro tambm que( )T T TB A B A = . Mostre este resultado. iv)Considereasmatrizes( )mxkija A = e( )kxnijb B = .SejaAB C = ,isto,( )mxnijc C = ,talque pjk1 pip ijb a c= = .Assim,( )T TC AB = . Temos ento( )nxmjiTc C = , tal que: pik1 pjp jpk1 ppi pjk1 pip ij jia b b a b a c c = = = = = = =. Da, T T TA B C = . 11Definio:Uma matriz quadrada A dita simtrica se ela igual sua transposta, isto , TA A = . Exemplo:TA5 3 23 4 02 0 1A =|||.|

\|= . Comoconseqnciadadefinio,emtodamatrizsimtricaoselementosopostosadiagonal principal so iguais. Definio:Uma matriz quadrada A dita anti-simtrica se ela igual oposta da sua transposta, isto , TA A = . Exemplo:TA0 4 24 0 12 1 0A =|||.|

\| = . Comoconseqnciadadefinio,emtodamatrizanti-simtricaoselementosopostosadiagonal principal so simtricos e a diagonal principal nula. 12Matrizes inversveis Definio:SejaAumamatrizquadradadeordemn.DizemosqueAumamatrizinversvelse existirumamatrizBtalque nI BA AB = = .AmatrizBchamadadeinversadamatrizAe denotada por 1A B= . Obs.: evidente que a matriz inversa 1A, se existir, deve ser tambm quadrada de ordem n, pois 1A comuta com A. Exemplo 1: A matriz ||.|

\|=4 17 2A inversvel e a sua inversa ||.|

\|=2 17 4A1, pois: 21 1I A A AA1 00 14 17 22 17 42 17 44 17 2= = ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|=||.|

\|||.|

\| . Exemplo 2: Determine, se possvel, a inversa da matriz ||.|

\|=2 53 8A . Fazendo ||.|

\|=d cb aA1, temos: ( ) ( )( ) ( )||.|

\|=||.|

\|+ ++ +||.|

\|=||.|

\|||.|

\| =1 00 1d 2 c 3 d 5 c 8b 2 a 3 b 5 a 81 00 12 53 8d cb aI A A21 8 d 5 c1 d 2 c 30 d 5 c 83 b 2 a0 b 2 a 31 b 5 a 8= = = += + = = = += +e ee isto , ||.|

\|=8 53 2A1, pois temos tambm 21I1 00 18 53 22 53 8AA =||.|

\|=||.|

\|||.|

\|=. Exerccio: Mostre que a matriz ||.|

\|=8 42 1Ano inversvel. Exemplo 3: Determine, se possvel, a inversa da matriz |||.|

\|=1 9 41 3 21 1 1A . Fazendo |||.|

\|=i h gf e dc b aA1, resulta: 13|||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| =1 0 00 1 00 0 11 9 41 3 21 1 1i h gf e dc b aI A A31 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )|||.|

\|=|||.|

\|+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +1 0 00 1 00 0 1i h g i 9 h 3 g i 4 h 2 gf e d f 9 e 3 d f 4 e 2 dc b a c 9 b 3 a c 4 b 2 a 2 1 i 2 5 h , 3 g1 i h g0 i 9 h 3 g0 i 4 h 2 g2 1 f 2 3 e , 1 d0 f e d1 f 9 e 3 d0 f 4 e 2 d1 c 4 b , 3 a0 c b a0 c 9 b 3 a1 c 4 b 2 a= = = = + += + += + += = = = + += + += + + = = = = + += + += + + e e e e e Portanto, |||.|

\| =2 1 2 5 32 1 2 3 11 4 3A1. Observao:Doexpostoobservamosque,paradeterminarainversadeumamatrizquadradade ordem n, temos de encontrar 2nvariveis, resolvendo n sistemas de n equaes an incgnitas cada um. Isto bastante trabalhoso! No estudo do escalonamento das matrizes veremos um outro mtodo para obter a inversa. Teorema:Se( )nxnija A = inversvel,entonicaamatriz( )nxnijb B = inversadeA,talque nI BA AB = = . Suponha que exista uma matriz( )nxnijc C = , tal que nI CA AC = = . ( ) ( ) B B I B CA AB C I C Cn n= = = = = ou ( ) ( ) B I B AC B C BA C I Cn n= = = = = . Logo,B C = . 14Propriedades da inversa de uma matriz. Se AeBso matrizes quadradas de ordemne inversveis, ento: i)( ) A A11=. ii)( )1 1 1A B AB = . iii)( ) ( )T11TA A= . Demonstraes: i) Como A inversvel, ento existe 1A C= , tal que nI AC CA = = . Da, A a inversa de C, isto ( )11 1A C A = = . ii) Para mostrar que 1 1A B a inversa de AB, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n1n1n1 1 1 1 1I B B B I B B I B B A A B AB A B = = = = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n1 1n1n1 1 1 1I A A A I A A I A A B B A A B AB = = = = = . iii) ComoA inversvel, temos que n1n1I A A I A A = = e. Usando as propriedades da matriz transposta, obtemos: ( ) ( )nTnT1I I A A = = . ( )nTT1I A A = .(1) De (1)e(2), conclumos que( ) ( )T11TA A= . ( ) ( )nTnT1I I A A = = . () ( )nT1 TI A A = .(2) Exerccio: Sabendo-se que A, B e C so matrizes quadradas de ordem n e inversveis, a matriz X na equao 1 TC B X A= : a)( )1TB C A . b)( )1TC A B . c)( )1TC B A . d)( )1TA B C . e)( )1TA C B . 15Determinantes AteoriadosdeterminantesteveorigememmeadosdosculoXVII,quandoeram estudadosprocessospararesoluodesistemaslinearesdeequaes.Algumasexpresses matemticas complicadas so sintetizadas utilizando-se os determinantes. Definio:SejaMumamatrizquadradadeordemn.ChamamosdeterminantedamatrizM(e indicamospordet(M)(ouoselementosdamatrizentrebarrasverticais)onmerorealque obtemos operando com os elementos de M da seguinte forma: 1. SeM de ordem1 n = , ento det(M) o nico elemento de M. ( ) ( )11 11a M det a M = =. Exemplo:( ) ( ) 6 M det 6 M = =. 2. SeM de ordem2 n = , ento det(M) o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundria. ( )21 12 22 1122 2112 11a . a a . a M deta aa aM = ||.|

\|=. Exemplo:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 . 6 4 . 3 M det4 26 3M = = ||.|

\|=. 3. SeM de ordem3 n = , ento det(M) definido por: ( )33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11a . a . a a . a . a a . a . a a . a . a a . a . a a . a . a M det + + = . Na prtica, utilizamos a Regra de Sarrus: Exemplo: Calcule det(A), sendo |||.|

\|=5 1 24 3 12 1 0A . () ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 27 5 1 1 1 4 0 2 3 2 1 1 2 2 4 1 5 3 0 A det = + + = . 164.SeMdeordem3 n > ,entocalcularemosodeterminantedeMusandooTeoremade Laplace. Veremos as definies preliminares de menor complementar e cofator que sero utilizados no citado teorema. Menor complementar. Definio: Considere M uma matriz quadrada de ordem n e seja ijaum elemento de M. Definimos o menor complementar do elemento ija , e indicamos ijD , como sendo o determinante da matriz que se obtm suprimindo a linha i e a coluna j de M. Exemplo. Seja |||.|

\|=2 3 35 1 24 3 4M . Determine 12De 31D . 115 14 3det D 112 35 2det D31 12=||.|

\|= =||.|

\|= e Cofator. Definio: Considere M uma matriz quadrada de ordem n e seja ijaum elemento de M. Definimos o cofator do elemento ija , e indicamos ijA , como sendo o nmero( )ijj iijD . 1 A+ = . Exemplo: Na matriz M dada anteriormente, calcule 31 12A Ae . ( ) ( ) ( ) 11 11 . 1 D . 1 = A122 112= = +. ( ) ( ) ( ) 11 11 . 1 D . 1 = A311 331= = +. Teorema de Laplace. O determinante de uma matriz M, de ordem n, a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores, isto , ( ) ==n1 kkj kjA . a M det (desenvolvimento pela coluna j) ou ( ) ==n1 kik ikA . a M det (desenvolvimento pela linha i) Observao: melhor escolher uma fila da matriz que possua a maior quantidade de zeros com a finalidade de simplificar os clculos do determinante. 17Exemplo: Seja |||||.|

\|=3 3 1 02 1 4 04 0 2 02 2 1 3M . Calcule det(M). Calcularemos este determinante expandindo a coluna1 j = , pois esta possui uma maior quantidade de zeros. ( ) = + + + = ==41 41 31 31 21 21 11 11411 1. . . . . det A a A a A a A a A a Mkk k ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + =+ + + +2 1 44 0 22 2 1. 1 . 03 3 14 0 22 2 1. 1 . 03 3 12 1 42 2 1. 1 . 03 3 12 1 44 0 2. 1 . 31 4 1 3 1 2 1 1 ( ) ( ) 186 62 . 3 12 4 48 6 . 3 = = + + = . Casoescolhssemosumaoutrafilaparacalcularodeterminantechegaramosaestamesma resposta, obviamente com uma quantidade maior de clculos. Exerccio: Seja |||||.|

\| =0 2 0 52 2 3 02 0 1 30 2 1 3B . Mostre que () 32 B = det . Principais propriedades dos determinantes. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Ento: a)() ( )TA det A det = . b) Se a matrizApossui fila nula, ento() 0 A det = . c)( ) () A det A detn = . d) Seamatriz Atriangular(superiorouinferior),ento()nn 33 22 11a a a a A = ... det ,isto,o det(A) o produto dos elementos da diagonal principal. e)( ) () () B det A det B A det = . 18Como conseqncia deste ltimo item, temos que( )() A det1A det1=, se() 0 A det . De fato, se existe 1A, ento: ( ) ( ) () ( ) ( )() A1A 1 A A I A A I A A1 1n1n1detdet det det det det = = = = . Teorema: Uma matriz A inversvel se, e somente se,() 0 A det . *** Os determinantes aparecem em diversas situaes na matemtica. No clculo do produto vetorial, no clculo de reas, volumes, equaes de retas, planos, parbolas, etc. Vejamos algumas situaes: Produto vetorial. Se( ) ( )3 2 1 3 2 1v v v v u u u u , , e , , = = sovetoresnoparalelosdoespao,ento 3 2 13 2 1v v vu u uk j iv u p

= = ortogonalaoplanodeterminadoporv u e etemsentidodadopela regra da mo direita. Clculo de reas. Ainda na figura anterior, temos que a rea do paralelogramo determinado porv u edado pelo valorabsolutodoprodutovetorialv u .UmoutrocasointeressanteovalosdareaSdeum tringulo de vrtices( ) ( ) ( )3 3 2 2 1 1y x C y x B y x A , e , , , . |||.|

\| =1 y x1 y x1 y x21S3 32 21 1det 19Clculo de volumes. Se( ) ( ) ( )3 2 1 3 2 1 3 2 1c c c c b b b b a a a a , ,e, , , , , = = =

sovetoresnocoplanaresdoespao, entooparaleleppedodeterminadoporelestemvolumeVdadopelomdulodoprodutomisto ( )|||.|

\|=3 2 13 2 13 2 1c c cb b ba a ac b a det , ,

. ( ) c b a V

, , = Equao da reta. Se( ) ( ), e ,2 2 1 1y x B y x A sodoispontosdistintosnoplano,entoexisteumanicaretade equao geral0 c by ax = + +que passa por estes dois pontos. Aretaobtidacalculando-seaequaocom determinante: 01 y x1 y x1 y x2 21 1= . Verifique que = = =1 2 2 11 22 1y x y x cx x by y a. 20Sistemas lineares Equao linear Dados os nmeros reais n 2 1,..., , e( 1 n ), a equao = + + + n n 2 2 1 1X ... X X , onde os iXso variveis (incgnitas) em, damos o nome de equao linear sobre. Exemplo: A equao1 w z 5 y x 2 = + + uma equao linear, enquanto que5 w z y x2= + + no uma equao linear. Nestes exemplos as variveis x, y, z e w substituem X1, X2, X3 e X4, respectivamente. Soluo de uma equao linear Umasoluodeumaequaolinear = + + + n n 2 2 1 1X ... X X umaseqnciaden nmerosreais( )n 2 1c ,..., c , c quesatisfazaequao,isto, = + + + n n 2 2 1 1c ... c c uma sentena verdadeira. Exemplo: Aseqncia( ) 6 , 1 , 2 , 1 umasoluodaequaolinear1 w z 5 y x 2 = + + ,pois ( ) ( ) ( ) ( ) 1 6 1 5 2 1 2 = + + uma sentena verdadeira. Encontre uma outra soluo para esta equao. Sistema linear Umsistemalineardeordemmxn(m,n1inteiros),umconjuntocommequaeslinearese cada equao comnincgnitas. Modo que se apresenta um sistema linear: = + + + = + + + = + + +m n mn 2 2 m 1 1 m2 n n 2 2 22 1 211 n n 1 2 12 1 11X a ... X a X a...X a ... X a X aX a ... X a X aS : Exemplo: = += + 6 y 2 x1 z y x 2S : umsistemalineardeordem2x3,isto,com2equaese3 incgnitas. n ,..., 2 , 1 i Xi= ,so as variveis reais; m ,..., 2 , 1 ii= ,so os termos independentes; j , i aij ,so os coeficientes reais. 21Soluo de um sistema linear Uma soluo de um sistema linear uma seqncia de nmeros reais( )n 2 1c , , c , c que soluo de todas as equaes do sistema. Exemplo: A seqncia( ) ( ) 4 , 3 , 0 z , y , x = uma soluo do sistema = += + 6 y 2 x1 z y x 2S : .Encontre outra! Sistema homogneo Se os termos independentes de um sistema linear forem todos nulos este sistema ser chamado de homogneo.Um sistema homogneo tem sempre a soluo trivial nula( ) 0 ,..., 0 , 0 . Exemplo: O sistema = += += +0 z y 3 x 20 z 3 y 2 x0 z y xA: homogneo. Uma soluo para este sistema (0,0,0). Existem outras solues para este sistema? Tente encontrar! Classificao de um sistema linear De acordo com o nmero de solues, um sistema linear classificado como: Sistema impossvel (SI): O sistema no admite soluo. Sistema possvel determinado (SPD): O sistema admite soluo nica. Sistema possvel indeterminado (SPI): O sistema admite infinitas solues. Exemplo: Resolva os sistemas lineares abaixo em 2e interprete geometricamente as solues. = = +0 y x 23 y x: A= = 6 y x 232yx: B= + = 2 y 2 x 41 y x 2: C Retas concorrentes.Retas coincidentes.Retas paralelas. 22Interpretao geomtrica dos sistemas lineares de ordem 3x3 As equaes que compe o sistema = + += + += + +3 3 3 32 2 2 21 1 1 1d z c y b x ad z c y b x ad z c y b x a representam graficamente planos no 3 . A depender da classificao do sistema, estes planos podem assumir algumas posies relativas: Sistema impossvel (SI): Sistema possvel indeterminado (SPI): Sistema possvel determinado (SPD): 23Forma matricial de um sistema linear Vamosagoraassociarumaformamatricialaumsistemalinear.Poderemosresolversistemas linearesdeformasistematizadacomousodasoperaeselementareseoescalonamentode matrizes, como veremos adiante. Considere o sistema linear S abaixo: = + + + = + + + = + + +m n mn 2 2 m 1 1 m2 n n 2 2 22 1 211 n n 1 2 12 1 11X a X a X aX a X a X aX a X a X aS

: Podemos associar a este sistema uma forma matricialB X A = , onde: mxnmn 2 m 1 mn 2 22 21n 1 12 11a a a... ... ... ...a a aa a aA|||||.|

\|=

chamadade matriz dos coeficientes; 1 nxn21X...XXX|||||.|

\|= chamadade matrizdas variveis; 1 mxm21...B|||||.|

\|= chamada de matriz dos termos independentes. Exemplo: A forma matricial do sistema = += += +0 z y 3 x 20 z 3 y 2 x0 z y xF : dada por |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|000zyx1 3 23 2 11 1 1,onde |||.|

\|=1 3 23 2 11 1 1A , |||.|

\|=zyxX e|||.|

\|=000B . 24Matriz ampliada de um sistema linear A matriz ampliada de um sistema linear = + + + = + + + = + + +m n mn 2 2 m 1 1 m2 n n 2 2 22 1 211 n n 1 2 12 1 11X a X a X aX a X a X aX a X a X aS

: definida por |||||.|

\|m mn 2 m 1 m2 n 2 22 211 n 1 12 11a a a... ... ... ... ...a a aa a a

. Por exemplo, a matriz ampliada do sistema = += += +0 z y 3 x 20 z 3 y 2 x0 z y xF : |||.|

\|0 1 3 20 3 2 10 1 1 1. Observao:Aonosreferirmosalinha( ) 0 1 1 1 damatrizampliada,estaremos indiretamente nos referindo a equao0 z y x = +do sistema F. Isto vale de uma forma geral. 25 Operaes elementares e escalonamento Seja S um sistema linear com m equaes e n incgnitas: Matriz ampliada de S: = + + + = + + + = + + +m n mn 2 2 m 1 1 m2 n n 2 2 22 1 211 n n 1 2 12 1 11X a X a X a...X a X a X aX a X a X aS

:|||||.|

\|m mn 2 m 1 m2 n 2 22 211 n 1 12 11a a a... ... ... ... ...a a aa a a

Asseguintesoperaessochamadasoperaeselementaressobreaslinhas(equaes)deuma matriz (sistema): 1) Trocar de posio (permutar) duas linhas de S (simbolicamente j iL L ); 2) TrocarumalinhadeSporelamesmamultiplicadaporumnmeroreal0 (simbolicamente i iL L ); 3) TrocarumalinhadeSporelamesmasomadacomumaoutralinhadeSpreviamente multiplicada por um nmero real0 (simbolicamente j i iL L L + ); SeumsistemalinearS1foiobtidodeumsistemalinearSatravsdeumnmerofinitode operaes elementares, dizemos que S1 equivalente S. Notao: S1 S. Teorema:Asoperaeselementaresnoalteramoconjuntosoluodeumsistemalinear,isto, sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto soluo. Estemecanismo(usodasoperaeselementares)extremamentetilpararesolverum sistema linear. Devemos encontrar um sistema equivalente S que seja mais simples. Vamos ver um exemplo... 26Exemplo: Resolva o sistema linear = + = + = + 1 z y x 30 z 2 y x 21 z y x: S . Devemos trabalhar com a matriz ampliada do sistema e aplicar a ela uma srie de operaes elementares adequadas. O objetivo aumentar o nmero de coeficientes iniciais nulos a cada linha (apartirdasegunda)emrelaolinhaprecedente.Esteprocedimentochamadode escalonamento de matriz. 1 3 32 3 3 1 2 232 2L L LL L L L L L Desta forma, o sistema originalS equivalente ao sistema 2S da ltima etapa do escalonamento. Podemos observar que o sistema 2Stem um formato mais simples do que S. = + = + = + 1 z y x 30 z 2 y x 21 z y xS : ~= = += + 2 z 22 z 0 y1 z y xS2 : . Resolvemos o sistema 2Scomeando pela ltima equao at a primeira. Desta forma, encontramos a soluo que a mesma do sistema proposto S. Este mtodo chamado de eliminao de Gauss (ou eliminao Gaussiana). 1 z 2 z 2 = = . ( ) 2 y 2 1 0 y 2 z 0 y = = + = + . ( ) ( ) 0 x 1 1 2 x 1 z y x = = + = + . A soluo do sistema2S ( ) ( ) 1 , 2 , 0 z , y , x = . Esta tambm a soluo do sistema S.Verifique! 27Matrizes escalonadas Definio: Uma matriz M est na forma escalonada (ou escada) se o nmero de zeros que precede o primeiro elemento no nulo de uma linha aumenta a cada linha, at que sobrem apenas linhas nulas, se houverem. Exemplos de matrizes escalonadas: Exemplos de matrizes no escalonadas: |||.|

\||||.|

\||||.|

\||||.|

\|1 3 7 0 02 3 0 0 09 8 4 1 2,6 0 00 0 05 2 0,2 1 02 4 06 8 3,3 2 04 2 35 2 1. Teorema: Todo sistema linear (matriz) equivalente a um sistema (matriz) escalonado. *** Curiosidade A palavra escalonar vem da palavra latina scala, que significa escada ou degrau. Escalonar uma matriz significa dar a ela a forma de escada. Discusso e soluo de um sistema linear Discutir um sistema linear significa classific-lo em sistema impossvel (S.I), sistema possvel determinado (S.P.D) ou sistema possvel indeterminado (S.P.I). SuponhaqueumsistemaS(commequaesenvariveisoriginalmente)tenhasido escalonadoe,retiradasasequaes(linhas)dotipo0=0,restampequaes(pm)comn variveis. I.Sealtimadasequaesrestantes( ) 0 X 0 ... X 0 X 0p p n 2 1 = + + + , ,entoosistema impossvel (S.I). Porexemplo,osistema = + += += + 3 z 0 y 0 x 02 z y x 01 z y x: S ,cujamatrizampliada |||.|

\|3 0 0 02 1 1 01 1 1 1, claramente impossvel. Caso contrrio, sobram duas alternativas: 28 II.Sep=n(nmerodeequaesigualaonmerodevariveis)osistemapossvel determinado (S.P.D). Porexemplo,osistema = + += += + +6 z 2 y 0 x 01 z y x 08 z y x: S ,cujamatrizampliada |||.|

\|6 2 0 01 1 1 08 1 1 1,possui nica soluo.Usando, neste caso, a eliminao Gaussiana, obtemos( ) ( ) 3 , 4 , 1 z , y , x = . III.Sep