Algebra Linear Apostila 3a[1]

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FACULDADE DE CINCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. lvaro Fernandes Serafim ltima atualizao: 01/12/2007. 1Esta apostila de lgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouas Freire. A formatao e a adaptao so do Professor lvaro Fernandes Serafim. Temas desta apostila: Transformao linear - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 1 Imagem de uma transformao linear - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 10 Ncleo de uma transformao linear - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -pg. 13 Matriz associada a uma transformao linear - - - - - - - - - - - - - - -pg. 17 Autovalores e autovetores de uma transformao linear - - - - - - - -pg. 21 Exerccios gerais - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - pg. 28 Transformao linear At agora s trabalhamos com funes reais de uma varivel real, ou seja, funes cujos domnioseimagenssosubconjuntosdeR.Porexemplo:f(x)=2x+1;f(x)=x2;f(x)=ex,etc. Vamosagoratratardefunesquetmcomodomnioecontradomniooutrosespaosvetoriais como R2, R3, M2(R), etc . Assim, tanto a varivel independente quanto a varivel dependente sero vetores, razo pela qual, funes deste tipo so tambm chamadas de funes vetoriais. Vamos estudar uma classe especial de funes definidas entre espaos vetoriais que so aquelasquepreservamasoperaesdeadioe amultiplicaoporumescalar.Enfatizaremosas transformaes lineares de Rn em Rm. Tais transformaes tm importncia fundamental no estudo da lgebra Linear e muitas aplicaes na Fsica e nas Engenharias. Para dizer que T uma transformao (ou funo) de um espao vetorial V num espao vetorialW,escrevemosT:VW.SendoTumafuno,todovetorvVestassociadoaum nico vetor imagem w W, tal que w = T(v). Exemplos: 1) T: R2 R3

T(x, y) = (x,y,x + y). Exemplos de algumas imagens: T(1, 2) = (1, 2, 3); T(0, 1) = (0, 1, 1). 2) T : R3 R3

T(x, y, z) = (x, y, 0). Esta transformao chamada de projeo ortogonal do R3 sobre o plano XY, pois ela transforma um vetor qualquer do R3 na sua projeo sobre o plano XY. 2 Definio de transformao linear Observaes: 1)NocasoemqueV=WumatransformaolinearT:VVtambmchamadadeoperador linear. 2) A definio nos diz em palavras que se T uma transformao linear ento a imagem da soma asomadasimagenseaimagemdeumvetormultiplicadoporumescalarigualaoescalar multiplicado pela imagem do vetor. 3) As condies i)eii) da definio so equivalentesaT(u + v) = T(u) + T(v). Isto significa dizer que para verificarmos se uma transformao linear, podemos verificar apenas esta condio. Exemplos: 1) A transformao T: R R, tal queT(x) = 2x linear. De fato: i) T(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = T(x) + T(y). ii) T(x) = 2(x) = (2x) = T(x). 2)AtransformaoT:RR,talqueT(x)=x,constantereal,linear.Estecasouma generalizao do anterior. As transformaes acima tm como grfico uma reta passando pela origem e motivaram a definio de transformao linear. Pode-se mostrar que toda transformao linear de R em R do tipo descrito acima. Sejam V e W dois espaos vetoriais sobre R. Uma transformao linear T: V W uma aplicao (funo) que satisfaz as seguintes condies: i)T(u + v) = T(u) + T(v), u, v V. ii) T(u) = T(u), u Ve R. 3 3) A transformao T: R2 R, tal queT(x, y) = x + y linear. De fato: i) T( (x1, y1) + (x2, y2) )= T(x1 + x2, y1 + y2) = x1 + x2 + y1 + y2 = (x1 + y1) + (x2 + y2 ) = = T( (x1, y1) ) + T( (x2, y2) ). ii ) T( (x1, y1) ) = T( (x1, y1) ) = x1 + y1 = (x1 + y1) = T(x1, y1). 4)AtransformaoT:R2R,talqueT(x,y)=x+y+1nolinear.Defato,acondioi) falha: i) T( (x1, y1) + (x2, y2) ) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2) + 1T(x1, y1) + T(x2 + y2 ) = = (x1 + y1 + 1) + (x2 + y2 + 1) = (x1 + x2) + (y1 + y2) + 2. No necessrio verificar a segunda condio, visto que a primeira condio falhou. Deoutraforma,poderamosmostrar,comumexemplonumrico,queestatransformaono linear. Por exemplo, T(1, 1) = 3 eT(2, 2) = 5. Logo, T( 2(1, 1) ) 2 T(1, 1), isto 5 6. 5) A transformao T: R2 R2,tal queT(x, y) = (x2, y)no linear. De fato, a condio i) falha: i) T( (x1, y1) + (x2, y2) ) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ( (x1 + x2)2 ,y1 + y2 )T(x1, y1) + T(x2 + y2) = = (x12 , y1) + (x22 , y2) = (x12 + x22 ,y1 + y2),pois sabemos que(x1 + x2)2x12 + x22. Deoutraforma,poderamosmostrar,comumexemplonumrico,queestatransformaono linear. Por exemplo,T(1, 1) = (1, 1)e T(2, 1) = (4, 1), mas T( (1, 1) + (2, 1) ) = T(3, 2) = (9, 2) (1, 1) + (4, 1) = (5, 2). Exerccios: Verifique quais das seguintes aplicaes so lineares: a)T: R3 R2definida porT(x, y, z) = (2x, y). b) T: R2 Rdefinida porT(x, y) = xy. c)T: R Rdefinida porT(x) = |x|. d) T: M2(R) R definida porT w z y xw zy x+ + + =||.|

\|. 4Algumas transformaes lineares do plano 1) Reflexo em relao ao eixo ox. T: R2 R2 T(x, y) = (x, -y). 2) Reflexo em relao ao eixo oy. T: R2 R2 T(x, y) = (-x, y). 3) Reflexo em relao origem. T: R2 R2 T(x, y) = (-x, -y). 4) Reflexo em relao 1a bissetriz (reta y = x). T: R2 R2 T(x, y) = (y, x). 55) Cisalhamento horizontal de fator . T: R2 R2 T(x, y) = (x + y, y). Porexemplo,atransformaoT:R2R2,talqueT(x,y)=(x+3y,y)uma transformao de cisalhamento de fator 3. Podesermostradoque,seTforaplicadosobrecadapontodo quadrado 2x2 mostrado na figura 1, ento o conjunto das imagens forma o paralelogramo sombreado na figura 2. A idia chave mostrar queTtransforma segmentos de reta em segmentos deretae,depois,verificarqueosvrticesdoquadradosotransformadosnosvrticesdo paralelogramo. Porexemplo,aimagemdopontou = (0, 2) T(u) = (6, 2) e a imagemde v = (2, 2)T(v) = (8, 2). A transformao T deforma o quadrado transladando-se a base superior paraadireitaemantendoainferiorfixa.TransformaesdecisalhamentoaparecemnaFsica,na Computao Grfica, na Geologia, na Cristalografia, etc. Figura 1.Figura 2. 6) A Rotao de um ngulo . A operao que gira cada vetor do R2 por um ngulo fixado chamada de uma rotao doR2deumngulo.VamossuporqueooperadorTgiraovetorv=(x,y)nosentidoanti-horrio por um ngulo positivo , obtendo o vetor w = T (v) = (x, y). Seja o ngulo formado pelo vetor v com o eixooxero mdulo dos vetores v e w. Da trigonometria bsica, temos que: x = r cos() e y = r sen(). x = r cos( + ) ey = r sen( + ). 6 Desenvolvendoxe y, usando o cosseno e o seno da soma, obtemos: ( ) ( )( ) ( )+ = = ycos xsen y ysen xcos x. E, portanto,T (x, y) = ( xcos() ysen(), xsen() + ycos() ). Exemplos a) T90(x, y) = ( xcos(90) ysen(90), xsen(90) + ycos(90) ) = (y, x). Por exemplo, T90(1, 0) = (0, 1). b)T45(x, y) = (xcos(45) ysen(45), xsen(45) + ycos(45) ) = ||.|

\|+ ) y x (22), y x (22. Por exemplo, T45 (1, 1) = ( 0,2 ). Propriedades das transformaes lineares Propriedade 1: Se T: V W uma transformao linear ento T(0) = 0, isto , o vetor nulo de V sempre transformado no vetor nulo de W. De fato, T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) T(0) = 2.T(0) T(0) = 0. Temos como conseqncia: se T(0) 0, ento T no uma transformao linear. Exemplo: A transformao T: R2 R, tal que T(x, y) = x + y + 1, no linear, pois T (0, 0) 0. Observao:O fato deT(0) = 0no garante queTseja uma transformao linear. Por exemplo, a transformao T: R R2; T(x) = (x2, x), tal que T(0) = (0, 0) mas T no linear. De fato, T(1) = (1, 1); T(2) = (4, 2)eT(1+2) = T(3) = (9, 3) T(1) + T(2). Propriedade 2: Se T: V W uma transformao linear ento T( u) = T(u). De fato, T( u) = T( 1.u ) = ( 1).T(u) = T(u). Propriedade 3: Se T: V W uma transformao linear ento T(u v) = T(u) T(v). De fato, T(u v) = T(u + (1 )v) = T (u) + ( 1).T(v) = T(u) T(v). 7Exemplos: 1) Sabendo que T: V W uma transformao linear tal queT(u) = w1 e T(v) = w2, calcule T(3u 5v). Soluo:T(3u 5v) = T(3u) T(5v) = 3T(u) 5T(v) = 3w1 5w2. 2) Se v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn eT uma transformao linear, ento:

T(v) = T(1v1 + 2v2 + ... + nvn) = 1T(v1) + 2T(v2) + ... + nT(vn). Este resultado uma generalizao do exemplo anterior. 3)SabendoqueT:R2RumatransformaolinearequeT(1,2)=4eT(1,4)=3, determine T(2, 6)eT(50, 100). Como (2, 6) = (1, 2) + (1, 4), ento T(2, 6) = T( (1, 2) + (1, 4) ) = T(1, 2) + T(1, 4) = 4 3 = 1. Como (50, 100) = 50(1, 2), ento T(50, 100) = T( 50(1, 2) ) = 50.T(1, 2) = 50.4 = 200. ***** Umresultadoimportantesobreastransformaeslinearesqueelasficamcompletamente determinadas se conhecemos as imagens dos vetores de uma base qualquer do domnio. Para determinar a lei da transformao linear, encontramos as coordenadas de um vetor v genrico do domnio e aplicamos a definio de transformao linear, isto ; | ||||||.|

\|=n21v# v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn. Desta forma, T(v) = T(1v1 + 2v2 + ... + nvn) = 1T(v1) + 2T(v2) + ... + nT(vn) = 1w1 + 2w2 + ... + nwn. T(v) = 1w1 + 2w2 + ... + nwn. Sejam V e W espaos vetoriais = {v1, v2, ..., vn} base de V e w1, w2, ...wn vetores arbitrrios de W. Ento, existe uma nica transformao linear T: V W tal que T(vi) = wi, i = 1, 2, ..., n. 8Exemplos: Determine as transformaes lineares a seguir. 1) T: R2 R3, tal que T(1, 0) = (1, 2, 3) e T(0, 1) = ( 1, 0, 1). Soluo: = {(1, 0), (0, 1)} uma base (cannica) do R2 econhecemos as imagens dos vetores desta base. ( ) | |||.|

\|=21y x,( ) ( ) ( ) 1 0, 0 1, y x,2 1 + = ye x 2 1= = .Ento: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 3x 2x, y, x 1 0, 1, y 3 2, 1, x 1 0, T 0 1, T 1 0, 0 1, T y x, T2 1 2 1+ = + = + = + = . Logo,( ) = y x, T ( ) y 3x 2x, y, x + . Observe que esta lei satisfaz as condies do problema: T(1, 0) = (1, 2, 3)eT(0,1) = ( 1, 0, 1). 2) T: R2 R2, tal queT(1, 1) = (1, 0) e T(1, 1) = (1, 2). Soluo: = {(1, 1), (1, 1)} uma base do R2. Vamos, inicialmente, encontrar as coordenadas de um vetor genrico v = (x, y) em relao a essa base. ( ) | |||.|

\|=bay x, (x, y) = a(1, 1) + b(1, 1) = += y b ax b a 2x yb e 2y xa=+= . Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = |.|

\| + |.|

\| += + = + = 2) (1,2x y0) (1,2y x1 1, b.T 1 1, a.T 1 1, b 1 1, a T y) T(x, x) y (y,22x 2y,2x y2y x = |.|

\| ++= . Logo,( ) = y x, T ( ) x y y, . Observe que esta lei satisfaz as condies do problema: T(1, 1) = (1, 0) e T(1, 1) = (1, 2). 3) T: M2(R) R, tal queT1 00 02; T0 10 04; T0 01 01; T0 00 13|\

|.| =|\

|.| =|\

|.| = |\

|.| = . Soluo:Como ||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|1 00 0 w +0 10 0z +0 01 0y +0 00 1 x =w zy x, ento 3w + z 4y + 2x =1 00 0T w +0 10 0T z +0 01 0T y+0 00 1T x=w zy xT ||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|. 94) T: R3 R2, tal queT(1, 0, 0) = (1, 2), T(0, 1, 0) = (1, 1) e T(0, 0, 1) = (1, 0). Soluo: Como( ) ( ) ( ) ( ) 1 0, 0, z. + 0 1, 0, y. + 0 0, 1, x. = z y, x, , ento T(x, y, z)=T( x.(1, 0, 0 ) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) ) =x.T(1, 0, 0) + y.T(0, 1, 0) + z.T(0, 0, 1)= = x.(1, 2) + y.(1, 1) + z.(1, 0) = (x + y + z , 2x + y). Logo, T(x, y, z) = (x + y + z, 2x + y). Observe que esta lei satisfaz as condies T(1, 0, 0) = (1, 2), T(0, 1, 0) = (1, 1)eT(0, 0, 1) = (1, 0). ***** Exerccios: 1) Determine a transformao linear para cada uma das aplicaes abaixo: a)T: R2 R3, tal que( ) ( ) ( ) ( ) 4 1, 2, 1 0, T e 5 1, 3, 2 1, T = = . b) T: R3 R2, tal que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0, 1 0, 0, Te1 1, 0 1, 0, T , 0 2, 0 0, 1, T = = = . c)T: R3 R3, tal que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3, 0, 1 4, 0, Te5 1, 2, 0 1, 0, T , 3 2, 1, 1 2, 1, T = = = . 2)a) Qual a transformao linear T: R2 R3, tal que( ) ( ) ( ) ( ) 0 1, 0, 2 0, T e 1 2, 3, 1 1, T = = ? b) Determine( ) ( ) 1 0, T e 0 1, T , usando o item (a). 10 Imagem de uma transformao linear VamosestudarumsubespaoimportantedocontradomnioWdeumatransformaolinear T: V W. Definio: Teorema: Seja T: V W uma transformao linear. Ento a Im(T) um subespao vetorial de W. De fato, i) 0 Im(T), pois em qualquer transformao linear T(0) = 0. ii) Sejam w1ew2 vetores pertencentes a Im(T). Ento w1 + w2 Im(T), pois: v1 Vtal queT(v1) = w1e v2 Vtal queT(v2) = w2. Ento, w1 + w2 = T(v1) + T(v2) = T(v1 + v2). iii) Seja w Im(T)e R. Ento w Im(T). Pois, v V, tal que T(v) = w. Ento, w = T(v) = T(v). A imagem de T, indicada por Im(T), o conjunto dos vetores w de W tais que existe um vetor v em V que satisfaz T(v) = w, isto , Im(T) = {w W / v VeT(v) = w}. 11Transformao linear sobrejetora Exemplo: Dada a transformao T: R2 R3, tal que T(x, y) = (0, x, y), determine Im(T). Im(T)= {T(x, y);(x, y) R2} = {(0, x, y);x e y R} = = {x(0, 1, 0) + y(0, 0, 1);x e y R} = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)]. A imagem da transformaoT o subespao gerado pelos vetores j = (0, 1, 0)ek = (0, 0, 1). Este subespao corresponde graficamente ao plano zy do R3: Neste caso, dim(Im(T)) = 2 3 = dim(R3). Assim, a transformao no sobrejetora. OsgeradoresdaIm(T)poderiamserencontradostambmdeoutraforma.Tomeumabase qualquerdodomnioecalculeaimagemdessesvetores.Osubespaogeradoporestesvetores Im(T).Noexemploanteriortemosque{(1,0),(0,1)}umabase(cannica)doR2.Temosento que Im(T) = [T(1, 0), T(0, 1)] = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)]. Este resultado vlido de uma forma geral para todas as transformaes lineares e enunciado da seguinte forma: Seja T: V W uma transformao linear e = {v1, v2, ...,vn} uma base de V. Ento Im(T) = [T(v1), T(v2), ...,T(vn)]. Este resultado nos diz que a imagem de uma transformao linear gerada pelas imagens dos vetores de uma base qualquer do domnio. Quando a imagem de uma transformao linear T: V W igual ao contradomnio, dizemos que a transformao T sobrejetora. Para que isto ocorra necessrio que dim(Im(T)) = dim(W), j que Im(T) W. 12Exemplos: Determine os geradores da imagem das transformaes lineares abaixo e tambm uma base para imagem: 1) T: R3 R4, tal que T(x, y, z) = (x + 2z, 0, y, 0). T(1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0). T(0, 1, 0) = (0, 0, 1, 0). T(0, 0, 1) = (2, 0, 0, 0). Assim, Im(T) = [(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 0)] = [(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)]. Uma base para imagem neste caso = {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}. Neste caso, dim(Im(T)) = 2 4 = dim(R4). Assim, a transformao no sobrejetora. 2) T: R2 R2, tal que T(x, y) = (x, y) (Reflexo em torno do eixo OY). T(1, 0) = (1, 0). T(0, 1) = (0, 1). Assim, Im(T) = [(1, 0), (0, 1)] = R2. Uma base para imagem neste caso = {(1, 0), (0, 1)}. Neste caso, dim(Im(T)) = 2 = dim(R2). Assim, a transformao sobrejetora. Proposio:SeT:VWumatransformaolinearedim(V)dim(W),Tnopodeseruma transformao injetora. Exerccio: Demonstre esta proposio (use o Teorema do Ncleo e da Imagem). Por exemplo, impossvel obter uma transformao injetoraT: M2(R) R3. Por que? Proposio: Seja T: V W uma transformao linear. Se T bijetora , ento dim(V) = dim(W). Ora, se T injetora, ento dim(V) dim(W). ComoTtambm sobrejetora, ento dim(V) dim(W). Logo, T bijetora na nica condio dim(V) = dim(W). Obs.: Uma transformao linear bijetora tambm chamada de isomorfismo. Teorema do Ncleo e da Imagem Se T: V W uma transformao linear, ento dim(V) = dim(N(T)) + dim(Im(T)). 17 Matriz associada a uma transformao linear Vamos agora relacionar as transformaes lineares s matrizes e veremos que, num certo sentido, o estudo das transformaes lineares equivalente ao estudo das matrizes. Consideremos o seguinte exemplo: Seja A a matrizA = ||.|

\|1 1 01 2 1 e consideremos a transformao linear que indicaremos por TA: TA : R3 R2

( ) z , y , xA T= |||.|

\|zyxA , isto ,( )||.|

\| + +=|||.|

\|||.|

\|=z yz y 2 xzyx1 1 01 2 1z , y , xA T . Observequetomamosovetor( ) z , y , xnaformadematrizcolunaparaqueaoperaocoma matriz A estivesse bem definida. Podemosinterpretar( ) z , y , xA T =( ) z y , z y 2 x + +,poisascoordenadasdovetor( ) z , y , xA Tem relao base cannica do R2 ( ) | |z , y , xA T= ||.|

\| + +z yz y 2 x. Observao:DadaumamatrizAMmxn(R),elapodeserinterpretadacomoumatransformao linear TA: Rn Rmonde os vetores so tomados atravs de suas coordenadas em relao s bases cannicas do Rn e Rm. De uma maneira geral, fixada uma matriz A, A Mmxn (R), e considerando a aplicao TA do Rn em Rm TA: Rn Rm ( ) TAv A v = onde v considerado um vetor coluna do Rn, isto , v uma matriz coluna n x 1, podemos afirmar que TA uma transformao linear. De fato: Usando as propriedades de matrizes j conhecidas, temos que: TA(u + v) = A (u + v) = A u + A v = A u + A v = TA(u) + TA(v). Dados V e W espaos vetoriais, = {v1, v2, ...vn} base de V e = {w1, w2, ...wm} base de W,toda matriz A de ordem m x n induz uma transformao linear de V em W: T: V W [T(v)] =A [v] . 18Exemplos: 1)SejaA =|\

|.|1 1 02 1 2,determineatransformaolinearinduzidaporAdeR3emR2, onde = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e = {(1, 0), (0, 1)} so as bases cannicasdo R3 e R2, respectivamente. Soluo:T: R3 R2 [T (x, y, z)] = A[v] As coordenadas do vetor (x, y, z) em relao base so| ||||.|

\|=zyxv . [T (x, y, z )] =| |||.|

\|+ + =|||.|

\|||.|

\| =z y 2xy xzyxv A2 2 1 20 1 1. Assim, T(x, y, z) = (x y)(1, 0)+(2x + y + 2z)(0, 1) = (x y ,2x + y + 2z). 2) Sejam V = R2,consideradocom abase= {(1, 0), (0, 1)},W = R3com a base = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}e A = |\

|.|||1 21 01 1.Determine TA: R2 R3. Soluo: [(x, y)] = xy|\

|.| . Logo, [T(x, y)] = A[(x, y)] = 1 21 01 1|\

|.||||\

|.| =++|\

|.|||xyx 2yxx y. Portanto, T(x, y) = (x + 2y)(1, 0, 0) + x(1, 1, 0) + (x + y)(1, 1, 1) = (3x + 3y,2x + y,x + y). Definio de matriz associada a uma transformao linear Observao: No caso em que e so as bases cannicas, indicamos a matriz da transformao linear simplesmente por [T], isto ,| |T= [T]. Seja T: V W uma transformao linear, V e W espaos vetoriais de dimenso n em, respectivamente. Considere = {v1, v2,...,vn} base de V e = {w1, w2, ...,wm} base de W. Definimos a matriz da transformao T em relao s bases e , e indicamospor| |T ,comosendoamatrizdeordemmxncujaj-simacoluna formada pelas coordenadas do vetor T(vj) na base . 19Exemplos: 1) Considere V = R3 eW = R2com as suas respectivas bases cannicas e. Sendo T: R3 R2, definida por T(x, y, z) = (x + 2y,y + z), determine a matriz da transformao [T]. Soluo: T(1, 0, 0) = (1, 0),T (0, 1, 0) = (2, 1) e T (0, 0, 1) = (0, 1). Como [(1, 0)] = ||.|

\|01,[(2, 1)] = ||.|

\|12 e [(0, 1)] = ||.|

\|10,ento| |||.|

\|=1 1 00 2 1T . 2) Considere V = R2 e W = R3com as suas respectivas bases cannicas e. a) Sendo T: R2 R3, definida por T(x, y) = (3x + 3y,2x + y,x + y), determine [T]. Soluo: T(1, 0) = (3, 2, 1) eT(0, 1) = (3, 1, 1). Como (3, 2, 1)] = |||.|

\|123e (3, 1, 1)] = |||.|

\|113,ento| ||||.|

\|=1 11 23 3T . b) Sendo |||.|

\|=1 11 23 3A , determine TA: R2 R3. Soluo: Sendo a base cannica de R2, temos que| |||.|

\|=yxy) (x,. Assim,| | | | = y) (x, A y) T(x, = |||.|

\|+++=||.|

\||||.|

\|y xy 2x3y 3xyx1 11 23 3.SendoabasecannicadeR3,temos ento, T(x, y) = (3x +3y)(1, 0, 0) + (2x + y)(0, 1, 0) + (x + y)(0, 0, 1) = (3x + 3y,2x + y,x + y). Assim,TA(x, y) = (3x + 3y,2x + y,x + y). Comparando os resultados dos itens a)eb), observe queT(x, y) = TA(x, y)eque [T] = A. Conclumos que a transformaoTtem como matriz associada amatriz A que induz TA. 20 Oresultadoobservadonoexemplo2anteriorgeralparatodasastransformaeslineareseest traduzido no seguinte teorema: Exerccio: Considere V = R2 e W = R3com as suas respectivas bases cannicas e. Seja T: R2 R3 a transformao linear induzida pela matriz |||.|

\|=1 11 23 3A . Determine T(1, 2). Soluo: Como| ||||.|

\|=1 11 23 3T , temos que| |2) T(1,=| |T.| |2) (1,|||.|

\|=||.|

\||||.|

\|=349211 11 23 3 . Logo, T(1, 2) = 9(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1) = (9, 4, 3). Exerccio: Considere V = R3 e W = R2com as respectivas bases = { (1, 1, 0), (-1, 0, 1), (0, 0, 1) }deVe = { (1, 1), (0, 2) }deW. Seja ||-1 0 1T =3 1 -1| | |\ . a matriz associada a transformao linear T: R3 R2. Nestas condies, determine T(x, y, z). Soluo: | | || | |T(x, y, z) T (x, y, z) = .Calcule | |(x, y, z) eobtenha | |y(x, y, z) = y-xz+x-y| | | | |\ ..Assim, | | || | |( )y-y+z+x-y -1 0 1 x-2y+zT(x, y, z) T (x, y, z) y-x =3y+y-x- z+x-y 3 1 -1 -2x+5y-zz+x-y | || | | | | | |= = = ||| |\ . \ . \ .|\ .. | |x-2y+zT(x, y, z) T(x, y, z) (x-2y+z) (1, 1) + (-2x+5y-z) (0, 2) (x-2y+z, -3x+8y-z)-2x+5y-z| |= = = |\ . Resposta:T(x, y, z) (x-2y+z, -3x+8y-z) = . SejaT:VWumatransformaolinear,VeWespaosvetoriaisdedimenso finita de bases ordenadas e , respectivamente. Ento| | | | | | = v T T(v) . 21 Autovalores e autovetores de uma transformao linear VamosanalisaragoraumdeterminadoaspectodeumoperadorlinearT,ouseja,deuma transformao linear de um espao vetorial V nele prprio, T: V V. Consideremos a transformao T : R2 R2 , tal que T(x, y) = (x, y) (reflexo em relao ao eixo ox). A pergunta que se coloca : Existem vetores cujas imagens pelo operador T continuam na mesma reta (com a mesma direo)? Observemos que: Todo vetor que est sobre o eixo OX mantido fixo por T, isto , T(x, 0) = (x, 0). Todo vetor que est sobre o eixo OY continua sobre o eixo OY, isto , T(0, y) = (0, y) =(0, y). Os eixos OX e OY neste caso so ditos invariantes em relao ao operador T.Todo vetor sobre o eixo OX transformado noutro vetor sobre o mesmo eixo. O mesmo acontece com vetores sobre o eixo OY. Ser que todo operador tem essa propriedade? Isto , existe sempre um vetor v tal que T(v) = v, sendo um nmero real ? Vejamos mais um exemplo. T: R2 R2, tal que T(x, y) = (y, x)(Rotao de 90). Existe algum vetorvque depois de sofrer uma rotao de 90continua sobre a mesma reta? Resp.: Apenas o vetor nulo possui essa propriedade. 22A nossa questo agora investigar o seguinte aspecto: Dado um operador linear T: V V, quevetoresdeVsotransformadosemmltiplosdesimesmos?Estainvestigaovainoslevar aos conceitos de autovalor e autovetor. Tais conceitos tm inmeras aplicaes, principalmente no estudodasequaesdiferenciais.Tambmforneceminformaesimportantesemprojetosde Engenharia e aparecem naturalmente nas reas de Fsica e Qumica. Definio de autovalor e autovetor Observao: Os autovalores so tambm chamados de valores caractersticos ou valores prprios. Os autovetores so tambm chamados de vetores caractersticos ou vetores prprios. Exemplos: 1) Considere o operador linear T: R2 R2, tal que T(x, y) = (x, y). Todos os vetores da forma v = (x, 0), x 0, so autovetores associados ao autovalor = 1, uma vez que T(v) = 1.v. Todos os vetores da forma v = (0, y), y 0, so autovetores associados ao autovalor = 1, uma vez que T(v) = 1.v. 2) Considere o operador linear T: V V, tal que T(v) = v, R. Claramente percebemos que qualquer vetorv 0 autovetor associado ao autovalor . 3) Considere o operador linear T: R2 R2, tal que T(x, y) = (x, y) (reflexo em relao origem). Todos os vetores v (0,0) so autovetores associados ao autovalor = 1, uma vez que T(v) = v. 4) Considere o operador linear T: R3 R3, tal que T(x, y, z) = 5(x, y, z). Todos os vetores v (0,0,0) so autovetores associados ao autovalor = 5, uma vez que T(v) = 5v. Seja T: V V um operador linear. Se existe um vetor v V (v 0) e R, tal que T(v) = v dizemos ento que um autovalor de T e v um autovetor de T associado a . 23Definio: De fato V um subespao de V: i) 0 V, pois T(0) = 0 = 0. ii) Se v1 e v2 V, ento v1 + v2 V, pois: v1 V T(v1) = v1. v2 V T(v2) = v2. Assim, T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2). iii) Se v1 Vek R, ento kv1 V, pois: v1 V T(v1) = v1. Assim, T(kv1) = kT(v1) = kv1 = (kv1). Exemplos: a) Os autoespaos do operador linear T: R2 R2, tal que T(x, y) = (x, y) so: V1 = {(x, 0); x R}eV1 = {(0, y); y R}como foi verificado no exemplo 1 anterior. b) O autoespao do operador linear T: R2 R2, tal que T(x, y) = 3(x, y) : V3 = {(x, y) /x Rey R} = R2. Observe que T(v) = 3v,para todo v R2. O conjunto de todos os vetores de V tais que T(v) = v um subespao de V chamado de autoespao (ou subespao) associado ao autovalor e indicado porV. V = {v V/T(v) = v}. 24Clculo dos autovalores e autovetores Oclculodosautovaloreseautovetorespodesetornarbastantetrabalhososeusarmos simplesmenteadefinio.Vamosbuscarummtodoprticoparaencontrarautovalorese, conseqentemente,autovetoresdeumoperadorT.Issoserobtidoatravsdamatrizassociadaao operador. Definio:

Assim, um autovalor Re um autovetorv Rnso as solues da equao Av = v,pois: T(v) = Av e T(v) = v. Queremos, portanto, encontrar os valores detais que Av = v, para v 0. Av = vAv = In v Av In v = 0 (A In)v = 0. Obs.:In a matriz identidade de ordem n. A equao matricial (A In)v = 0 nos leva a um sistema quadrado homogneo com n equaes e n incgnitas. Uma vez que estamos procurando autovetores v 0, no queremos que o sistematenhaapenasasoluotrivial(casoemquenohaverautovetor).Estamos,portanto, interessadosnocasoemqueosistemasejapossvelindeterminado(tenhainfinitassolues).Isto acontecer se det(A In) = 0 (lembre-se da Regra de Cramer: Se o sistema homogneo, ento o determinante da matriz dos coeficientes nulo implica num sistema possvel indeterminado). Exemplo 1: Encontreosautovalores, osautovetores e os autoespaosdooperadorT: R2 R2, talque ( ) ( ) y x, y x, T = . Soluo:A matriz associada a este operador linear ||.|

\| =1 0 0 1A . Queremos encontrar os valores detais que (A I2)v = 0. Assim: ||.|

\|=||.|

\|||.|

\| ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\| 00yx 1 00 1

00yx 1 00 11 00 1 . O sistema acima ter soluo no trivial se, e somente se,01 00 1det =||.|

\| . Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definimos os autovalores e autovetores de A como sendo os autovalores e autovetores da transformao induzida por A, em relao base cannica do Rn. T: Rn Rn T(v) = Av. 25 01 00 1det =||.|

\| (1 ).(1 ) = 0 1 + + 2 = 0 2 1 = 0 = 1 ou = 1. Osautovaloresso,portanto,=1e=1.Paracadaumdelesencontramososseguintes autoespaos associados: Para = 1: (A I2)v = 0 (A I2)v = 0 ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\| 00yx

1 00 1 1 0 0 1 ||.|

\|=||.|

\|||.|

\| 00yx0 0 0 2 = += + 0 0y 0x0 0y 2x . A soluo deste sistema x = 0, y, isto , {(x, y) R2 ;x = 0} = [(0, 1)]. Logo, o autoespao associado a = 1V1 = [(0, 1)]. Para = 1: (A I2)v = 0 (A + I2)v = 0 ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|||.|

\|+||.|

\| 00yx

1 00 1 1 0 0 1 ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|00yx2 00 0 = += +0 2y 0x 0 0y 0x . A soluo deste sistema y = 0, x, isto , {(x, y) R2 ;y = 0} = [(1, 0)]. Logo, o autoespao associado a = 1V-1 = [(1, 0)]. Exemplo 2: Encontreosautovalores, osautovetores e os autoespaosdooperadorT: R3 R3, talque ( ) ( ) 3z x z, 2y x 2z, z y, x, T + + + = . Soluo:A matriz associada a este operador linear |||.|

\| =3 0 11 2 12 0 0A . 26Queremos encontrar os valores detais que (A I3)v = 0. Assim: |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\||||.|

\||||.|

\| 000zyx 3 0 11 2 12 0

000zyx 1 0 00 1 00 0 13 0 11 2 12 0 0 . O sistema acima ter soluo no trivial se, e somente se,0 3 0 11 2 12 0 =|||.|

\| det . 0 3 0 11 2 12 0 =|||.|

\| det 3 52 + 8 4 = 0. Lembremos o seguinte fato: Todas as soluesinteiras(se houver)deumaequao polinomial 0 c ... c c n2 n21 n1n= + + + + com coeficientes inteiros ci so divisores do termo independente cn. No nosso caso, 3 52 + 8 4 = 0, as nicas possveis solues inteiras so os divisores de 4, ouseja,1,2e4.Substituindosucessivamentecadaumdestesvaloresnaequao encontramosrapidamente=1comoumaraiz.Logo,podemosfatorarestaequao(usandoo dispositivo prtico de Briot-Ruffini) como ( 1)( 2)2 = 0(verifique!) Osautovaloresso,portanto,=1e=2.Paracadaumdelesencontramososseguintes autoespaos associados: Para = 1: (A I3)v = 0 (A I3)v = 0 |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\||||.|

\||||.|

\| 000zyx

1 0 00 1 00 0 13 0 11 2 12 0 0 |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| 000zyx2 0 11 1 12 0 1 = + += + += + 0 2z 0y1x0 1z 1y1x0 2z 0y1x . O conjunto soluo deste sistema : {(x, y, z) R3 ;x = 2zey = z} = {(2z, z, z) / z R} = {z(2, 1, 1) / z R} = [(2, 1, 1)]. Logo, o autoespao associado a = 1V1 = [(2, 1, 1)]. 27Para = 2: (A I3)v = 0 (A 2I3)v = 0 |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\||||.|

\||||.|

\| 000zyx

2 0 00 2 00 0 23 0 11 2 12 0 0 |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| 000zyx1 0 11 0 12 0 2 = + += + += + 0 1z 0y1x0 1z 0y1x0 2z 0y2x . O conjunto soluo deste sistema : {(x, y, z) R3 ;x = z } = {(z, y, z) / z , y R} ={z(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) / z , y R} = = [(1, 0, 1), (0, 1, 0)]. Logo, o autoespao associado a = 2V2 = [(1, 0, 1), (0, 1, 0)]. ***** Oscasosanalisadosnosexemplosanterioressogerais,isto,valemparatodososoperadores lineares e esto traduzidos nos seguintes resultados: Os autovalores (e autovetores) de um operador linearTso os mesmos da matriz associada a T em relao a uma base qualquer. Observemosquedet(AIn)=0umpolinmionavarivel.Estepolinmiochamadode polinmio caracterstico da matriz A (ou de T). Seja T: V V um operador linear, uma base de V e dim(V) = n.Resolver a equao T(v) = v equivalente a resolver a equao AX = In X, onde A =| |T

eX =| |v . Seja T: V V um operador linear, uma base de V e dim(V) = n. SeA =| |T , ento: autovalor de T det(A In) = 0. 28EXERCCIOS GERAIS 1. Verifique se a transformao 2: T 2, tal que( ) ( ) y 5 , y x y , x T + = linear. 2.a) Qual a transformao linear 3: T 2 tal que( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 4 , 2 3 , 1 T 4 , 1 , 3 2 , 1 T e = = ? b) Determine, se possvel, o vetor( )2y , x , tal que( ) ( ) 7 = , 1 , 5 y , x T . 3. Considere a transformao linear 4: T 3 tal que( ) ( ) z 5 z,y 2 , x 0 ,0 x,y,z T + = . a) Determine uma base para N(T); b) Determine, justificando, dim (N(T)) edim (Im(T)); c) Determine, justificando, geradores para Im(T); d) T sobrejetora? Justifique a sua resposta. 4.a) Determine uma transformao linear 3: T 3, tal que ( ) ( ) { } 0 z y x / z , y , x T N3= + + = e ( ) ( ) 1 , 1 , 1 2 , 0 , 0 T = . b) Determine( ) | | 1 , 2 , 1 T, sendo( ) ( ) ( ) { } 0 , 7 , 2 , 3 , 2 , 1 , 1 , 3 , 2 = base de 3 . 5. Sabendo que a matriz de uma transformao linear 3 2: T nas bases( ) ( ) { } 0 , 1 , 1 , 1 A =do 2e( ) ( ) ( ) { } 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 B =do 3 | |((((

=122032TAB: a) Encontre a expresso de( ) y , x T ; b) Determine, se possvel, 2v tal que( ) ( ) 1 , 2 , 2 v T = . 6.Osvetores( )11,1 v = e( )22, 1 v = soautovetoresdeumoperadorlinear 2 2: T , associadosaosautovalores51 = e12 = ,respectivamente.Determineaimagemdovetor ( ) 4,1 v =por esse operador. Referncias Bibliogrficas: lgebra Linear Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle. lgebra Linear Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetzler. lgebra Linear Caliolli. lgebra Linear com Aplicaes Anton / Rorres. lgebra Linear e suas Aplicaes David C. Lay.