ÁLGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014

5/27/2018 LGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014

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Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia Fone: (62) 3092-2268afonsoarioa!afonsoarioa"o#"$r % afonsoarioa!&ot#ail"o#

'RSS *+,RS . 3 GR/ - *G1R/ *+/R

" Su$esaos ,etoriais

Seja W um subconjunto de um espao vetorial V sobre um corpo K. W chamado subespao de V se W um

espao vetorial sobre o corpo K em relao s operaes de adio de vetores e multiplicao por escalar deV.

Assim:

eorema !": W subespao de V se# e somente se:

$i% W no&va'io.

$ii% u, v W u v W +

$iii%u W ku W, para todo k K

(orol)rio !":

W subespao de V se# e somente se:

$i% 0 W

$ii%u, v W u v W, , +

2" 'o#$inao *inear

Seja V u espao vetorial e{ }1 2 3 nS v , v , v , , v V= L . *i'&se +ue v V uma combinao linear dos vetores

de S# se e,istirem escalares 1 2 3 nc , c , c , , cL

# tais +ue 1 1 2 2 3 3 n nc v c v , c v c v v+ + + + =L

.

3" saos Gera7os

Seja V um espao vetorial e{ }1 2 3 nS v , v , v , , v V= L . *i'&se +ue S -era V ou +ue V -erado por S se

+ual+uer vetor de V puder ser escrito como combinao linear dos vetores de S# ou seja#

1 1 2 2 n nv V v c v c v c v = + + +L .

4" *. e *+

*i'emos +ue os vetores 1 2 nv , v , , vK

so inearmente /ndependentes $/% ou +ue o conjunto S0 1 1 2 nv , v , , vK

2 / se a e+uao 1 1 2 2 n nc v c v c v 0+ + + =K

admite to somente a soluo trivial c" 0 !# c3 0 !# ...# cn 0 !4 caso contr)rio di'emos +ue os vetores

1 2 nv , v , , vK so inearmente *ependentes $*%.

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "


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8m resumo:

( ) { }

( ) { }

1 2 n 1 1 2 2 n n

1 2 n 1 1 2 2 n n

i S v , v , , v LI c v c v c v 0 SPD

ii S v , v , , v LD c v c v c v 0 SPI

= + + + =

= + + + =

K K

K K

5" erios Resoli7os

". Se3

V= . Veri@i+ue se W um subespao real de V# ode:

a% ( ){ }3W x, y, z | x y z 0= + + =

Soluo:

Sejam ( ) ( )u 1,1, 2 W e v 3, 1, 2 W= = # ento:

$i% $!# !# !%3

$ii% u v 0 $"># "&"# &3&3% 0 $=# !# &=% 3

$iii%( )

( )

u 1,1, 2 W e k

ku k, k, 2k W

=

=

B

o-o# W um subespao vetorial real de V.

b% ( ){ }3W x, y, z | x 0=

Soluo:

$i% $!#!#!%3

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1 2 2 2ii u x , y , z W v x , y , z W

, , ento !

u v W, o"#erve !

u 2,3, $ v 2,3,%

#e 1 e 3, ento !

u v 1 2,3, $ 3 2,3,% u v 2 &, 3 ', $ 1%u v (, 12, 13 x ( 0

= =

+

= =

= =

+ = + + = + = = . Seja { }V . != o espao vetorial das @unes reais. Veri@i+ue +uais dos subconjuntos abai,o sosubespao de V:

a%( ){ }1W . ! | . 0 1= =

b%( ){ }2W . ! | . 3 0= =

Soluo:

a%( ){ }1W . ! | . 0 1= =

Sejam 1. , - W

# isto #( ) ( ). 0 1 e - 0 1= =

# ento:

( ) ( ) ( ) ( ). - 0 . 0 - 0 1 1 2 1+ = + = + = . 6ra# como 1

. - W+ # ento# W" no subespao de V.

b%( ){ }2W . ! | . 3 0= =

$i% ( )20 W , poi# 0 . 3 0 =

Sejam 1. , - W # isto # ( ) ( ). 3 0 e - 3 0= = # ento:

$ii% ( ) ( ) ( ) ( ) 2. - 3 . 3 - 3 0 0 0 . - W+ = + = + = + .

$iii%( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

, !

. - 3 . 3 - 3 0 0 0 . 3 - 3 W

+ = + = + = +

?ortanto# W3 subespao de V.

=. Se W" e W3 so subespaos vetoriais de V. 8nto# prove +ue o conjunto

{ }1 2 1 2 1 1 2 2W W W v V | v , W W= + = = + subespao vetorial de V.

Soluo:

Sejam W" e W3 subespaos de um espao vetorial W. A soma de W" e W3# escrita como W" W3# consiste de

todas as somas D" D3# onde 1 1 W

e 2 2 W

. Assim:

{ }1 2 1 2 1 1 2 2W W | W e W+ = + .

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina =


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*evemos notar +ue ! 0 ! ! 1 2 1 2W W , poi# 0 W , 0 W +

. Alm disso# vamos supor +ue D" D3 e DE"

DE3 tambm pertencem a W" W3# com 1 1 1 e / W

e 2 2 2 e / W

. 8nto:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 / / / / W W+ + + = + + + + e# para +ual+uer escalar F# temos:

( )1 2 1 2 1 2k k k W W+ = + + .

G. Seja( )2 2V = . Veri@i+ue se as matri'es A# H e ( so * ou /.

a%1 % 3 1 1 2

) , e $ 0 2 2 3 1

= = =

b%1 0 0 1 0 0

) , e 0 0 0 0 1 1

= = =

Soluo:

a%1 % 3 1 1 2

) , e $ 0 2 2 3 1

= = =

1 % 3 1 1 2 0 0x y z

$ 0 2 2 3 1 0 0

x 3y z 0

x 3y z %x y 2z 0 0 $x 2y 3z 0

$x 2y 3z 2y z 0 0 %x y 2z 0

2y z 0

+ + =

+ + =+ + + + + = = + + + + = + =

Iesolvendo o sistema:

x 3y z 0

$x 2y 3z 0

%x y 2z 0

1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0,% 0 1 0 0 0

$ 2 3 0 0 10 1 0 0 10 1 0 0 1 0, % 0 0 1 0, % 0 0 1 0 0

% 1 2 0 0 1$ + 0 0 1 0, % 0 0 10 1 0 0 0 $ 0 0 0 1 0

Lo-o!

x 0, y

+ + = + + = + =

=

: : : : :

0 e z 0 SPD ), e # o LI= =

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina G


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b%

1 0 0 1 0 0) , e

0 0 0 0 1 1

= = =

1 0 0 1 0 0 0 0x y z

0 0 0 0 1 1 0 0

x 0x y 0 0

y 0

z z 0 0 z 0

Lo-o !

x 0, y 0 e z 0 SPD ), e #o LI

+ + =

= = = =

= = =

. Se ( )n nV , n 2= . Veri@i+ue se os se-uintes conjuntos so subespaos de V.

a%{ }2W ) V | ) )= =

b%{ }W ) V | ) inver#4ve5=

Soluo:

a%{ }2W ) V | ) )= =

Vamos analisar uma matri' de 3J ordem.

$i% 2

1 0I W

0 1

=

# pois

2

2 2

1 0 1 0 1 0I I

0 1 0 1 0 1

= = =

$ii%

( )2

2 2 2

3 0 ' 03I W, poi# 3I 3I

0 3 0 '

= =

?ortanto# W no subespao de V.

b% { }W ) V | ) inver#4ve5=

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina


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Se A inversvel# ento# det AL!. Assim# a matri'1 0

) inver#4ve50 3

=

e a matri'

0 1 ta*"* inver#4ve5

3 0

=

# mas a matri'

AH ( )1 0 0 1 1 1

no inver#4ve5, poi# det ) 00 3 3 0 3 3

= + = + =

o-o# W no subespao de V.

M. Seja ( )V P= o espao vetorial de todos os polinNmios com coe@icientes reais

( ) 2 n0 1 2 np t a a t a t a t= + + + +L . Veri@i+ue se todos os polinNmios de -rau menor ou i-ual a G um subespaovetorial de V.

Soluo:

$i% p$!% L !# ou seja# no conjunto&va'io.

$ii% A soma dos elementos em( ){ }W p t | -rau %=

tambm pertencem a W.

$iii% 6s mOltiplos escalares de +uais elementos de W tambm pertencem a W.

?ortanto# ( ){ }W p t | -rau %= um subespao vetorial de V

;. 8screva o polinNmio ( ) 2 3p t 1 t $t t= + + + como combinao linear dos polinNmios "# t# tP# tQ.

Soluo:

Sejam e" 0 "# e3 0 t# e> 0 tP# e= 0 tQ. Assim:

( )

3 2 2 3

2 31 2 3 $

1 2 3 $

t $t t 1 a "t ct dt

o*parando !

a 1 " 1 c $ d 1

e

e 1 e t e t e t

Lo-o !

p t e e $e e

+ + + = + + +

= = = =

= = = =

= + + +

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina M


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6" ;ransfor#a


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( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

6 ! | 6 x, y x 3y,2x %y

Se7a* u u , v e v u , v , ento !

6 u 6 v u 3v , 2u %v u 3v , 2u %v

6 u 6 v u 3v u 3v , 2u %v 2u %v

6 u v 6 u 6 v

= +

= =

+ = + + +

+ = + + + +

+ = +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

8xe*p5o nu*rico !

6 ! | 6 x, y x 3y, 2x %y

Se7a* u 2, 3 e v 3, 2 , ento !

6 u v 6 %,% 10, 3%

e

6 u 6 v +,1' 3,1& 10,3%

= += =

+ = =

+ = + =

b%( ) ( )2 26 ! | 6 x, y x 1, y 1 = + +

Soluo:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) [ ]

( ) ( ) ( )

2 2

2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

6 ! | 6 x, y x 1, y 1

6 u v 6 u 6 v , , e u, v

Se7a* u u , u e v v , v

6 u v 6 u , u v , v

6 u v 6 u v , u v

6 u v u v 1, u v 1

)##i* !

6 u v 6 u 6 v

= + +

+ = +

=

+ = + + = + +

+ = + + + +

+ +

o-o# $,# C% no uma trans@ormao linear

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina


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@% ( ) ( ) ( )2 26 ! | 6 ) det ) =

Soluo:

( ) ( ) ( )2 26 ! | 6 ) det )

a " a ") 6 ad "c

c d c d

=

= =

emos +ue veri@icar +ue:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 1 2

1 1 2 21 2

1 1 2 2

1 1 2 21 2

1 1 2 2

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2

6 ) ) 6 ) 6 )

9nde !

a " a ") )

c d c d

)##i* !

a " a "6 ) 6 ) 6 6

c d c d

6 ) 6 ) a d " c a d " c

e

a a " "6 ) ) 6

c c d d

+ = +

= =

+ = +

+ = +

+ + + = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

6 ) ) a a d d " " c c

)##i* !

6 ) ) 6 ) 6 )

+ = + + + +

+ +

o-o# ( ) ( ) ( )2 2

6 ! | 6 ) det )

= no uma rans@ormao inear.

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "!


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-% ( )3 2x

2 1 36 ! | 6 x, y, z y

1 0 2z

=

Soluo:

( ) ( )

x2 1 3 2x y 3z

6 x, y, z y 6 x, y, z1 0 2 x 2z

z

+ + = = +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1

6 u v 6 u 6 v

u a , " , c v a , " , c

6 u 6 v 6 a , " , c 6 a , " , c

2a " 3c 2a " 3c6 u 6 v

" 2c " 2c

2 a " 3 c 2 a " 3 c6 u 6 v

" 2 c " 2 c

2 a "6 u 6 v

+ = +

= =

+ = +

+ + + + + = + + +

+ + + + + = + + +

+ + = 1 1 2 2 2

1 1 2 2

3 c 2 a " 3 c

" 2 c " 2 c

+ + + + + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 21 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2

6 u v 6 u 6 v

u a , " , c v a , " , c

6 u v 6 a , " , c a , " , c

2 a " 3 c 2 a " 3 c

6 u v 6 a a , " " , " 2 c " 2 c

2 a " 3 c 2 a " 3 c6 u v

" 2 c " 2

+ = +

= =

+ = + + + + +

+ = + + = + + + + + + + +

+ = + + 2c

(omo ( ) ( ) ( )6 u v 6 u 6 v + = + # ento# ( )

x2 1 3

6 x, y, z y1 0 2

z

=

uma rans@ormao inear.

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina ""


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3. Seja3 26 ! uma trans@ormao linear de@inida por: $"#"#"% 0 $"#3%# $"#"#!% 0 $3#>% e $"#!#!% 0

$>#=%.

a% *etermine $,#C#'%

b% *etermine( ) ( )3v | 6 v 3, 2 =

c% *etermine( ) ( )3v | 6 v 0,0 =

Soluo:

a% *etermine $,#C#'%

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

6 x,y,z 6 x 1,1,1 y 1,1,0 z 1,0,0

6 x,y,z x6 1,1,1 y6 1,1,0 z6 1,0,0

6 x, y, z x 1, 2 y 2, 3 z 3, $

6 x, y, z x, 2x 2y, 3y 3z, $z

6 x, y, z x 2y 3z, 2x 3y $z

= + + = + +

= + +

= + +

= + + + +

b% *etermine ( ) ( )3v | 6 v 3, 2 =

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3v | 6 v 3, 2

v a,",c

6 v 3, 2

6 a, ",c a 2" 3c, 2a 3" $c 3, 2

a 2" 3c 3 1 2 3 3 1 2 3 3

2z 3" $c 2 2 3 $ 2 0 1 2 $

1 2 3 3 a 2" 3c 3

0 1 2 $ " 2c $

" $ 2c

Su"#tituindo!

a 2" 3c 3 a 2 $ 2c 3c 3

a (

=

=

= + + + + =

+ + = + + =

+ + = + =

=

+ + = + + =

:

( )

$c 3c 3 a ( c 3 a ( c 3 a % c

)##i*!

V % c, $ 2c,c

+ = = = + = +

= +

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "3


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c% *etermine ( ) ( )3v | 6 v 0,0 =

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3v | 6 v 0, 0

v a , ", c

6 v 0, 0

6 a, ", c a 2" 3c, 2a 3" $c 0, 0

a 2" 3c 0 1 2 3 0 1 2 3 0

2z 3" $c 0 2 3 $ 0 0 1 2 0

1 2 3 0 a 2" 3c 00 1 2 0 " 2c 0

" 2c

Su"#tituindo !

a 2" 3c 0 a 2 2c 3c 0

a $c 3c 0 a c 0 a c

)##i*

=

=

= + + + + =

+ + = + + =

+ + = + = =

+ + = + + =

+ = = =

:

( )

!

V c, 2c, c=

>. Rostre +ue os se-uintes operadores em2

so lineares e descreva -eometricamente o +ue cada um deles@a'.

a% $,# C% 0 $&,# C% b% $v% 0 & v c% $,# C% 0 $C# ,%

Soluo:

a% $,# C% 0 $&,# C%

=. *ado o operador linear em2

de@inido por $,# C% 0 $,# !%# veri@i+ue se:

a% $3# 3% pertence ao nOcleo de

b% $># !% pertence ao nOcleo de

e determine:

c% 7$%

d% /m$%

Soluo:

c% 7$%

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina ">


14/21


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 26 ! | 6 x, y x, 0

6 x, y 0, 0 x, 0 0, 0 x 0

)##i* !

:;6< 0,0

=

= = =

=

d% /m$%

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ){ }

( ) ( ){ }

2 2

2

6 ! | 6 x, y x, 0

6 1, 0 1, 06 0,1 0, 0

)##i* !

1 01,0 "a#e de

0 0

Lo-o !

I* 6 x, 0 = x

=

==

=

G. *ada a trans@ormao linear ( ) ( )3 2

6 ! | 6 x, y, z 2x y z, 3x y 2z = + + e as bases A 0 1$"#"#"%#$!#!#"%# $!#!#"%2 e H 0 1$3#"%# $G#>%2:

a% *etermine[ ]

)

6

b% Se v 0 $># &=# 3%# calcule( )

6 v

# utili'ando a matri' encontrada no item $a%.

Soluo:

a% *etermine

[ ])

6

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "=


15/21


( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) 1 2 3

1 2 3

1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

2

) 1,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1 2,1 , %,3

a a a6

" " "

)##i*!

6 1,1,1 2, 2 a 2,1 " %,3 2, 2

2a %" 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2

a 3" 2 2 % 2 0 1 2 0 1 2

1 0 $a $ e " 2

0 1 2

6 0,1,1 0, 1 a 2,1 " %,3 0, 1

2a %

= =

=

= + =

+ = + =

= =

= + =

+

: :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

2 2

3 3

3 3

3 3

3 3

" 0 1 3 1 1 3 1 1 3 1

a 3" 1 2 % 0 0 1 2 0 1 2

1 0 %a % e " 2

0 1 2

6 0,0,1 1, 2 a 2,1 " %,3 1, 2

2a %" 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2

a 3" 2 2 % 1 0 1 % 0 1 %

1 0 13a 13 e "

0 1 %

= + =

= =

= + =

+ = + =

=

: :

: :

%=

Substituindo em

[ ]) 1 2 3

1 2 3

a a a6

" " "

=

[ ] [ ]) )1 2 3

1 2 3

a a a $ % 13 $ % 136 6

" " " 2 2 % 2 2 %

= = =

b% Se v 0 $># &=# 3%# calcule( )

6 v

# utili'ando a matri' encontrada no item $a%.

( ) [ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

))

6 v 6 v

Su"#tituindo !

3$ 3 % $ 13 2$ % 13 &

6 v $ 6 v2 3 2 $ % 22 2 % $

2

=

+ + = = = + +

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "G


16/21


="1ase e .i#enso

*ado o operador linear 3 36 ! de@inido por ( ) ( )6 x, y, z x 3y $z,3x $y +z, 2x 2y= + + + + + # determine:a% a ima-em de e uma base para a mesma.b% o nOcleo de e uma base para o mesmo.

c% Seja 6 ! V W uma trans@ormao linear. 8nuncie com suas palavras o teorema +ue relaciona a dimensodo nOcleo e da ima-em de .

Soluo:

a% A ima-em de e uma base para a mesma.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

6 x, y, z x 3y $z, 3x $y +z, 2x 2y

6 1,0,0 1,3, 2

6 0,1,0 3, $, 2

6 0,0,1 $, +,0

1 3 2 1 3 2 1 3 2

3 $ 2 0 % ( 0 % (

$ + 0 0 % 0 0 0 0

Lo-o !

1, 3, 2 , 0, %, ( u*a "a#e de I* 6 e a di* I* 6 2

= + + + + +

=

=

=

=

: :

b% o nOcleo de e uma base para o mesmo.

?rocuramos o conjunto $,# C# '% tal +ue ,# C# '% 0 $!# !# !%# isto #( ) ( ) ( )6 x, y, z x 3y $z,3x $y +z, 2x 2y 0, 0, 0= + + + + + = . *essa @orma:

Assim# para ' 0 " temos: 1!# &"# "2 e para ' 0 3# temos: 1!# &3# 32. *essa @orma# ( ) ( ){ }0, 1,1 , 0, 2, 2 umabase de 7($%# cuja dim 7($% 0 ".

c% Seja 6 ! V W uma trans@ormao linear. 8nuncie com suas palavras o teorema +ue relaciona a dimensodo nOcleo e da ima-em de .

eorema: Seja V de dimenso @inita e seja 6 ! V W uma trans@ormao linear. 8nto:

( ) ( )di* V di* :> 6 di* I* 6= +

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "


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8" /utoalores e /utoetores

A-ora# vamos aprender a encontrar os autovalores e os autovetores e a dia-onali'ar uma matri'# por meio deuma +uesto resolvida.

>?@* ?.*:

*ado o operador linear 3 36 ! de@inido por $,# C# '% 0 $>, 9 3C# &3, >C# G'%# determine:a% o polinNmio caracterstico e os autovalores de .b% o auto espao relacionado a cada autovalor de .c% uma base para cada auto espao encontrado.d% a matri' +ue dia-onali'a e a matri' dia-onal correspondente.

Soluo:

a% ?olinNmio (aracterstico e Autovalores de

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

6;x, y, z< @ 3x A 2y, A2x B 3y, %z

6 1,0,0 3, 2,0

6 0,1, 0 2, 3, 0

6 0,0,1 0,0,%

)##i*!

3 2 0

) 2 3 0

0 0 %

= =

=

=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

n

3

p x det ) xI 0

p x det ) xI 0

3 2 0 x 0 0 3 x 2 0

p x det 2 3 0 0 x 0 p x det 2 3 x 0

0 0 % 0 0 x 0 0 % x

= =

= =

= =

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "M


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

2

2

2 2 3

3 2

p x 3 x 3 x % x $ % x

p x ' 3x 3x x % x 20 $x

p x ' &x x % x 20 $x

p x $% 'x 30x &x %x x 20 $x

p x x 11x 3%x 2%

=

= + +

= + +

= + + +

= + +

Autovalores de

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

2

2

2

2

p x 3 x 3 x % x $ % x

p x % x 3 x 3 x $

p x % x ' &x x $

p x % x x &x %

Cazendo p x 0

% x 0 x % x %% x x &x % 0

x &x % 0 x 1 e x %

= =

= +

= +

=

= = = + =

+ = = =

Autovalores: 1 2 31, % e % = = = .

b% Auto espao relacionado a cada auto valor de .

?ara cada autovalor encontrado devemos resolver a e+uao: ( )) I v 0 =

1 1!

3 2 0 1 0 0 x 0 2 2 0 x 0

2 3 0 0 1 0 y 0 2 2 0 y 0

0 0 % 0 0 1 z 0 0 0 $ z 0

$z 0 z 0

2x 2y 0

2x 2y 0

2 2 0 2 2 02x 2y 0 x y

2 2 0 0 0 0

)#

=

= =

= = =

+ =

= = :

( )1

#i*!

x

v y x, y, 0

0

= =

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina ";


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1 % !

3 2 0 % 0 0 x 0 2 2 0 x 0

2 3 0 0 % 0 y 0 2 2 0 y 0

0 0 % 0 0 % z 0 0 0 0 z 0

$0z 0 z

2x 2y 0

2x 2y 0

2 2 0 2 2 02x 2y

2 2 0 0 0 0

=

= =

=

= =

:

( )2,3

0 x y

)##i*!

x

v x x, x, z

z

= =

= =

c% ma base para cada autovetor encontrado.

1

2 3

1

v 1 u*a "a#e do autoe#pao de1

0e

1 2

v 1 = v 2 #o "a#e# do auto e#pao de %

0 2

=

= =

d% A Ratri' +ue *ia-onali'a e a Ratri' *ia-onal.

1 1 2

P 1 1 2

0 0 2

=

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina "


20/21


A matri' inversa de ? :

1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0

1 1 2 0 1 0 0 2 $ 1 1 0

0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1

1 1 2 1 0 01 1 2 1 0 0

1 10 2 $ 1 1 0 0 1 2 0

2 20 0 2 0 0 1

0 0 2 0 0 1

:

:

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina 3!


21/21


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

8nto !

D P )P

1 10

2 2 3 2 0 1 1 21 1

D 1 2 3 0 1 1 22 2

0 0 % 0 0 21

0 02

1 1 1 13 2 2 3 0

2 2 2 21 1 2

1 1 1 1D 3 2 2 3 1 % 1 1 2

2 2 2 20 0 2

%0 0 2

D

=

=

+ +

= + +

=

1 10

2 2 1 1 2 1 0 0 1 0 0% %

% 1 1 2 0 % 0 D 0 % 02 2

0 0 2 0 0 % 0 0 %2

0 0%

= =

Assim# a matri' +ue dia-onali'a

1 1 2

P 1 1 2

0 0 2

=

e a matri' dia-onal correspondente

1 0 0

D 0 % 0

0 0 %

=

.

A567S6 (8S6 9 (8: $3% ;"! ?)-ina 3"

ÁLGEBRA LINEAR - APOSTILA EM 11 ABR 2014

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