Algebra linear apostila i prof inacio

Prof. Inácio de A. Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álg. Linear / Geom. Analítica 1

ENGENHARIA AMBIENTAL

ÁLGEBRA LINEAR / GEOMETRIA ANALÍTICA 1º PERÍODO

2013/02

O sistema numérico real pode ser inteiramente descrito por um conjunto de axiomas1. Com esses

axiomas podemos deduzir as propriedades dos números reais das quais seguem as operações algébricas de

adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como os conceitos algébricos de resolução de equações,

fatoração e assim por diante.

As propriedades que podem ser obtidas como consequências lógicas dos axiomas são os teoremas. No

enunciado da maioria dos teoremas existem duas partes: a parte do “se”, chamada de hipótese e a parte do

“então”, chamada de conclusão. A argumentação que verifica a veracidade de um teorema é uma

demonstração (ou prova), a qual consiste em mostrar que a conclusão é conseqüência de se admitir a hipótese

como verdadeira.

AULA 01

MATRIZES

- Definição - Matriz simétrica

- Tipos de matrizes - Igualdade de matrizes

- Matriz transposta

As matrizes são utilizadas para gravar informações sobre sistemas de equações lineares e para facilitar a resolução dos mesmos. Elas

possuem propriedades algébricas próprias que nos capacitam a calcular seguindo as regras da álgebra de matrizes. Além disso,

observaremos que matrizes não são objetos estáticos que gravam informações e dados; mais do que isso, elas representam certos tipos

de funções e “agem” em vetores, transformando-os em outros vetores. Essas “transformações por meio de matrizes” começarão a

representar um papel-chave em nosso estudo de álgebra linear e darão uma nova visão do que aprendemos sobre vetores e sobre

sistemas lineares. Mais ainda, matrizes surgem em muitas formas além da forma de matrizes completas.

Uma matriz é uma tabela retangular de números chamados de elementos ou termos da matriz.

2

7 10 1 8,52 4 3 3 3 3log 16 0,13 2,12

2 4 5 , 2 3 0 , , , 4,33 12 ,6 1 3 3 3 33 1,4... 10 12

1 0 3 7 4

Definição: Sejam m 1 e n 1 dois números inteiros. Uma matriz m x n real é uma dupla sequência de

números reais, distribuídos em m linhas e n colunas, formando uma tabela que se indica do seguinte modo:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.... .... .... ....

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Abreviadamente esta matriz pode ser expressa por 11

i mijj n

a

ou apenas ija , se não houver

possibilidade de confusão quanto a variação dos índices.

Cada número que compõe uma matriz chama-se termo dessa matriz. Dada a matriz 11

i mijj n

a

, ao símbolo

aij que representa indistintamente todos os seus termos daremos o nome termo geral dessa matriz.

1 A palavra axioma é usada para indicar uma afirmação formal considerada verdadeira, dispensando provas.


Com o advento da computação e a crescente necessidade de se guardar muita informação, as matrizes

adquiriram uma grande importância. Para termos uma idéia dessa importância, basta saber que o que vemos na

tela do computador é uma enorme matriz, e que cada valor guardado nas linhas e colunas da matriz representa

um ponto colorido na tela (pixel).

Notações: Indicaremos por Mmxn (IR) o conjunto das matrizes reais m x n.

Se m = n, ao invés de Mnxn (IR), usa-se a notação Mn(IR). Cada matriz de Mn(IR) chama-se matriz quadrada de

ordem n. Em contraposição, quando m n, uma matriz

m x n se diz uma matriz retangular. Uma matriz 1x1 (a11) se identifica com o número real a11.

Cada matriz costuma ser denotada por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.

Ex.1: A matriz

1 0

1 3

0 4

A

é uma matriz real 3x2. Logo 3x2A M (IR) .

Ex.2: Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-

los na tabela:

Altura Peso (kg) Idade (anos)

Pessoa 1

Pessoa 2

Pessoa 3

Pessoa 4

1,70

1,75

1,60

1,81

70

60

52

72

23

45

25

30

Ao subtrairmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

1,70 70 23

1,75 60 45

1,60 52 25

1,81 72 30

.

Observe que em um problema em que o número de variáveis e de observações é muito grande, essa disposição

ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente indispensável.

Obs.: Quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas),

escreveremos Amxn. Também são utilizadas outras notações para matriz, além de parênteses, como colchetes ou

duas barras. Por exemplo:

2 1

0 4

e 2 1

0 4

Linhas e Colunas: Dada uma matriz

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.... .... .... ....

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

as m sequências horizontais A(1)

= (a11, a12, ...,

a1n), ..., A(m)

= (am1, am2, ..., amn) são chamadas linhas da matriz A, enquanto que as n sequências verticais

11

21

1

1

...

m

a

aA

a

, ...,

1

2

( )...

n

n

n

mn

a

aA

a

são as colunas de A. É de se notar que cada A(i)

M1xn (IR) e cada A(j) Mmx1

(IR).


Ex.: Na matriz 2x3, 1 0 1

0 6 5A

as linhas são (1, 0, 1) e (0, 6, -5) ao passo que as colunas são

1

0

, 0

6

e

1

5

.

Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está.

Por exemplo, na matriz 2 3

1 0 4

4 3 2xA

o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é -

4, isto é, a13 = -4.

Ainda neste exemplo, temos a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = -3 e a23 = 2.

Tipos especiais de matrizes

Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou

colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades que as diferenciam de uma matriz

qualquer. Além disso, estes tipos de matrizes aparecem frequentemente na prática e, por isso, recebem nomes

especiais.

Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por mxn:

Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas

( m = n).

12 3 5

1 2

9 2 7

0 0 3

4 1 2

8 12 8 6

9 0 1 5

7 4 3 1

1 4 5 9

No caso de matrizes quadradas Amxm, costumamos dizer que A é uma matriz de ordem m.

Matriz Nula é aquela em que aij=0, para todo i e j.

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Matriz Coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1).

x

y

7

9

1

0

Matriz Linha é aquela onde m = 1.

23 5 1 4

3

0 0 1

Matriz Diagonal é uma matiz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i j, isto é, os elementos que não estão na

“diagonal” são nulos.


1 0 0

0 4 0

0 0 2

7 0 0 0 0

0 6 0 0 0

0 0 8 0 0

0 0 0 4 0

0 0 0 0 6

Matriz Identidade Quadrada é aquela em que aij = 1 e aij = 0, para i j.

2

1 0

0 1I

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são

nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j.

2 1 0

0 1 4

0 0 3

0

a b

c

Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são

nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i < j.

5 0 0 0

7 1 0 0

2 12 3 0

6 5 0 4

Matriz Transposta (At) é a matriz obtida, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.

t

mxn nxmA A

2 12 4 3

4 71 7 0

3 0

tA A

5 1 2 5 4 0

4 3 0 1 3 8

0 8 9 2 0 9

tB B

Matriz Simétrica é aquela onde m = n e aij = aji.

4 3 1

3 2 0

1 0 5

a b c d

b e f g

c f h i

d g i k

Observe que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte inferior, em relação a

diagonal.

Igualdade de matrizes

Consideramos duas matrizes reais m n : A = (aij) e B = (bij).


Dizemos que A = B se, e somente se, aij = bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).

Ex.:

1)

1

1 2 1 2 1

0 0 1 0 0

1

x

y z y

x t t

z

2)

1 21 0 1

0 12 1 4

1 4

3)

1 2 41 2 4

1 3 31 3 3

0 0 0

AULA 02

GENÉRICA DE UMA MATRIZ

A ordem de uma matriz descreve o número de linhas e colunas que ela tem. Uma matriz é chamada m n

(pronuncia-se “m por n” ) quando tem m linhas n colunas.

Assim,

2

7 10 1 8,52 4 3 3 3 3log 16 0,13 2,12

2 4 5 , 2 3 0 , , , 4,33 12 , 6 1 3 3 3 33 1,4... 10 12

1 0 3 7 4

ordem 3 3 ordem 1 4 ordem 2 3 orde

m 2 2 ordem 3 2 ordem 2 4

Diagonal principal e diagonal secundária

É composta por todos os elementos da matiz ,Ai j aos quais seja igual a i j .

Para se determinar a genérica de uma matriz é importante seguir três passos básicos:

1º passo: Observar a ordem da matriz e construir sua genérica quantos elementos forem informados na ordem

identificando em cada um destes elementos seus subíndices i e j (posição do elemento na linha e na coluna):

11 12 13

21 22 233 3

31 32 33

M= ij

m m m

m m m m

m m m


2º passo: Tomar cada elemento da matriz genérica e substituir seus subíndices i e j na lei de formação

(fórmula) dada.

3º passo: Substituir os resultados obtidos para cada elemento em suas respectivas posições na matriz genérica.

Observe os exemplos:

Construir a matriz:

2

2 2

2

2

11

11 12 2

122 221 22 2

21

2

22

a)P= , tal que =4i 5 3

Lei de formação: 4i 5 3

4 1 5 1 3 4 5 3 2

P= 4 1 5 2 3 4 10 3 3 P=

4 2 5 1 3 16 5 3 14

4 2 5 2 3 16 10 3 9

ij ij

ij

p p j

j

pp p

p p pp p

p

p

2 2

2 3

14 9ij

22 2

11

2 2

12

2 2

13

2111 12 13

21 22 232 2

31 32 33

2 3, se b) Q , tal que =

5 10 , se

2 3 2 1 3 2 3 5

5 10 5 1 10 2 5 40 35

5 10 5 1 10 3 5 90 85

Q=

ij ij

ij

i i jq p

i j i j

q i

q i j

q i j

pq q q

Q q q q

q q q

2 2

22 2 2

2 2

23

2 2

31

2 2

32

33

5 10 5 2 10 1 10 10 0 5 35 8

2 3 2 2 3 4 3 7 Q=

5 10 5 2 10 3 10 90 80

5 10 5 3 10 1 15 10 5

5 10 5 3 10 2 15 40 25

2 3 2 3 3 6 3 9

ij

i j

p i q

p i j

p i j

p i j

p i

5

0 7 80

5 25 9


2 4

3 2

3

2 4 2 4

11

12

3 311 12

21

21 22 2 4 2 43 222

31 32 3

31

, se

c) R , tal que r = , se

, se

1 1 1 1 2

1 2 1

2 1 8 1 7R=

2 2 4 16 20

3

ij ij

ij

i j i j

r i j i j

i j i j

r i j

r i jr r

r i jR r r

r i jr r

r i j

2 2

3

3 3

32

2 1

= 7 20

26 251 27 1 26

3 2 27 2 25

ijR r

r i j

EXERCÍCIOS

01 – Com a ordem de cada matriz construa a sua genérica:

a) A3x1

b) B1x4

c) C2x3

d) D4x3

e) E1x1

f) F3x3

g) G1x3

h) H3x2

i) I3x4

02 – Construir a matriz:

a) A = [aij]2x3, tal que aij = (i + 2j)2

b) B = [bij]2x2, tal que bij = 5i – 3j

c) C = [cij]3x2, tal que cij = (3i – j)2

d) D = [dij]2x2, tal que dij = 2i + 3j – 4

e) E = [eij]3x3, tal que eij = 2 ,

2 ,

i j se i j

i j se i j

f) F = [fij]2x2, tal que fij = sen . , 2

cos . ,

i se i j

j se i j

Resp. a)9 25 49

16 36 64

; b) 2 1

7 4

; c)

4 1

25 16

64 49

; d) 1 4

3 6

; e)

3 0 1

3 6 1

5 4 9

; f)

1 1 1

1 0 1

1 1 1

;

03 – Dadas as matrizes A = [aij]2x2, sendo aij = j2i

e B = [bij]2x2, sendo bij = ij, determine:

a) a11 + b22

b) a12 – b11

c) a21 . b21

d) a22.(b12 + b22)

Resp. 1 4 1 1

A e B1 16 2 4

: a)5; b) 3; c) 2; d) 80;

04 – Dada a matriz A = (aij)3x3 definida por aij = 2i + j, determine:

a) a soma dos elementos da diagonal principal

b) a soma dos elementos da diagonal secundária

Resp.

3 4 5

A= 5 6 7

7 8 9

: a) 3 + 6 + 9 = 18; b) 5 + 6 + 7 = 18;

05 – Construa cada uma das matrizes a seguir:

8 Prof. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – [email protected] – AP 1

a) A = [aij]3x1, tal que aij = 3i – 2j g) G = [gij]4x2, tal que gij =

2 3,

3

3 5,

4

i se i jj

j se i ji

b) B = [bij]2x2, tal que bij = (i3 – 2j)

i h) H = [hij]3x2, tal que hij =

.sen , 4

( ).sen , 6

.cos , 3

j se i j

i j se i j

j se i j

c) C = [cij]2x3, tal que cij = ij – j

i i) I = [iij]4x3, tal que iij =

.sen , 2

( ).sen( ),

3.cos ,

2

i se i j

i j se i j

j se i j

d) D = [dij]1x3, tal que dij = 3i – 2j + 5 j) J = [jij]2x4, tal que jij =

2

3

5

log 4 ,

log .27 ,

log 25 ,

i se i j

j se i j

i j se i j

e) E = [eij]3x2, tal que eij = 5 2,

4 ,

i se i j

i j se i j

k) K = [kij]3x3, tal que kij =

3

5

81 ,

32 ,

12 ,

i se i j

j se i j

ij se i j

f) F = [fij]3x3, tal que fij =

sen , 2

cos . ,

jse i j

i se i j

l) L = [lij]3x3, tal que lij =

2+ ,

5- ,

3

5+ ,

4

ise i j

i j

ise i j

j

ise i j

j

AULA 03

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES/ MULTOPLICAÇÃO DE MATRIZ POR UM ESCALAR

Adição

Sejam A=( aij) e B = (bij) matrizes m n . Indicamos por A + B e chamamos soma de A com B a matriz

m n cujo termo geral é aij + bij, ou seja,

11 11 12 12 1 1

1 1 2 2

...

... ... ... ...

...

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

A B

a b a b a b

.

A operação que transforma cada par (A, B) de matrizes do mesmo tipo na matriz A + B chama-se adição de

matrizes. É uma operação no conjunto Mm n (IR).

Ex.: Se 1 2 1

0 1 2A

e 0 1 2

2 4 7B

, então 1 3 1

2 5 9A B

.


Para a adição de matrizes acima definida valem as seguintes propriedades:

(I) A + (B + C) = (A + B) + C, A, B, C Mm n (IR) (associativa);

(II) A + B = B + A, A, B Mm n (IR) (comutativa);

(III) Existe uma matriz 0 Mm n (IR) tal que A + 0 = A, A Mm n (IR) (existe elemento neutro).

(IV) Dada uma matriz A Mm n (IR), existe uma matriz (- A), também m n , tal que

A + (-A) = 0 (existe a oposta de qualquer matriz).

Problemas Resolvidos

01 – Dadas as matrizes 2

4 2 12 2A= e B=

9 4 9 53

y

x

, calcular x e y de modo que A seja igual a B, isto é:

2

4 2 12 2 =

9 4 9 53

y

x

Pela definição de igualdade de matrizes, deve-se ter:

y + 4 = 12 y = 12 – 4 y = 8

x2 + 4 = 53 x

2 = 53 – 4 x

2 = 49 x = 49 x = 7

Subtração

Sejam duas matriz A e B ambas de ordem m n . Para subtrairmos a matriz B da matriz A, isto é, para fazermos

A – B, basta operarmos a adição da matriz A com a matriz (-B), ou seja, basta fazermos

A + (-B).


01 – Dadas as matrizes

2 3 8 3 7 1 7 8 3

A= 5 9 6 , B = 4 2 5 e C= 4 3 2

7 4 1 0 9 4 9 5 1

.

a) Calcular A + B.

2 3 8 3 7 1 1 10 9

5 9 6 4 2 5 = 9 11 1

7 4 1 0 9 4 7 13 3

b) Calcular C – A.

7 8 3 2 3 8 7 8 3 2 3 8 5 11 5

4 3 2 5 9 6 4 3 2 5 9 6 9 12 8

9 5 1 7 4 1 9 5 1 7 4 1 2 9 0

C A


Multiplicação de uma matriz por um escalar

Dada uma matriz real A = (aij), m n , e dado um número real , o produto de por A é a matriz real

m n dada por:

11 1

1

...

... ... ...

...

n

m mn

a a

A

a a

Para essa operação que transforma cada par ( , A) de IR x Mm n (IR) na matriz real A Mm n (IR), valem

as seguintes propriedades:

(I) ( )A= ( A);

(II) ( + )A = A + A;

(III) (A + B) = A + B

(IV) 1A = A;

Quaisquer que sejam as matrizes A e B e quaisquer que sejam os números reais e .

Ex.: Se = 2 e

1 2 1

0 1 2

0 0 4

A

, então A=

2 4 2

0 2 4

0 0 8

.


2 3 8 3 7 1 7 8 3

A= 5 9 6 , B = 4 2 5 e C= 4 3 2

7 4 1 0 9 4 9 5 1

calcule 3A – 2B + 4C.

2 3 8 3 7 1 7 8 3

3 5 9 6 2 4 2 5 +4 4 3 2 =

7 4 1 0 9 4 9 5 1

6 9 24 6 14 2 28 32 12

15 27 18 - 8 4 10 + 16 12 8

21 12 3 0 18 8 36 20 4

12 5 22 28 32 12

7 23 28 + 16 12 8 =

21 6 11 36 20 4

40 37 34

9 11 20

57 26 7

02 – Sejam 2 1 0

1 2 1A

, 0 0 2

6 4 2B

e 3 2 0

0 1 0C

matrizes de M2x3(IR). Calcule 1

32

A B C

.

1 33 3

2 2A B C A B C

6 3 0 0 0 3 3 2 0 9 5 3

3 6 3 9 6 3 0 1 0 6 1 0

.


03 – Determinar a matriz XM2x3(IR) tal que 1

( ) 32

X A X B A C , sendo A, B e C as matrizes do

exercício 01.

1

( ) 3 6 22

X A X B A C X A X B A C

6 6 6 2 5 7 6 2X A X B A C X A B C

1

7 6 2 .5

X A B C Logo,

14 7 0 0 0 12 6 4 01

7 14 7 36 24 12 0 2 05X

11 124

20 11 121 5 5

29 8 5 29 851

5 5

.

EXERCÍCIOS

01 – Dadas as matrizes A =

73

42, B =

18

23 e C =

50

66, determine:

a) A + B

b) 3A + C

c) AT + B

d) 2A – 3B + 4C

e) – 3A + 2B – 3CT

Resp. a) 1 6

6 6

; b) 0 6

6 26

; c) 1 1

12 6

; d) 11 22

3 28

; e) 6 8

43 38

02 – Se 2 7

1 4A

e

3 2

6 0B

, determine a matriz X em cada caso:

a) A + X = B

b) X + B = A

c) X – B = 2A

d) 2A + X = 3B

Resp. a) 1 9

7 4

; b)

1 9

7 4

; c) 7 12

4 8

; d) 5 20

20 8

;

03 – Se 1 0

2 1A

e 4 2

1 0B

, então determine2A – 1

2B. Resp.

4 1

7 / 2 2

12 Prof. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica

AULA 04

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

É importante lembrar-se que só é possível multiplicar duas matrizes se, e somente se, a quantidade de colunas

da primeira matriz for igual a quantidade de linhas da primeira matriz. Ou seja,

Observe que se caso seja possível multiplicar as duas matrizes a ordem da matriz resposta será determinada

pela quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda matriz.

Veja as seguintes situações:

2 3 2 3A B : não é possível multiplicar estas duas matrizes uma vez que a quantidade de colunas da

primeira matriz é diferente da quantidade de linhas da segunda matriz.

4 3 3 1C D : é possível multiplicar estas duas matrizes uma vez que a quantidade de colunas da

primeira matriz é exatamente igual a quantidade de linhas da segunda matriz. Neste caso a matriz

resposta terá como ordem 4 1 .

2 5 5 2E F : é possível multiplicar estas duas matrizes uma vez que a quantidade de colunas da

primeira matriz é exatamente igual a quantidade de linhas da segunda matriz. Neste caso a matriz

resposta terá como ordem 2 2 .

4 3 2 4G H : não é possível multiplicar estas duas matrizes uma vez que a quantidade de colunas da

primeira matriz é diferente da quantidade de linhas da segunda matriz.

Consideremos a matriz A = (aij) de tipo m n e a matriz B = (bjk) de tipo n p . O produto A.B (também

indicado por AB) é a matriz m p cujo termo geral é dado por:

1 1

1

. . ... .n

ik ij jk i k in nk

j

c a b a b a b

Usando a notação de matriz linha e a de matriz coluna a definição acima significa que (1) (1)

(1) ( )

(2) (2)

(1) ( )

( ) ( )

(1) ( )

. ... .

. ... .

... ... ...

. ... .

p

p

m m

p

A B A B

A B A BAB

A B A B

Nas condições acima, a operação que transforma cada par de matrizes (A, B) na matriz AB chama-se

multiplicação de matrizes.


a) Sejam 2 1 0

0 1 2A

e

3 4 5

0 0 0

1 0 1

B

. Então,

2.3 1.0 0.1 2.4 2.0 0.0 2.5 1.0 0.1 6 8 10

0.3 1.0 2.1 0.4 1.0 2.0 0.5 1.0 2.1 2 0 2AB

.

13 Prof. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica

b) Dadas as matrizes

2 1

1 0

0 1

A

e 1 0 1

0 1 1B

, determinar os produtos AB e BA.

2.1 1.0 2.0 1.1 2.1 1.1 2 1 3

1.1 0.0 1.0 0.1 1.1 0.1 1 0 1

0.1 1.0 0.0 1.1 0.1 1.1 0 1 1

AB

Analogamente, 2 2

1 1BA

.

EXERCÍCIOS

01 – Efetue as multiplicações:

a)

32

15

41

32 b)

56

72

43

10 c)

15

42

31

524

132 d)

743

121

23

54

38

Resp. a) 16 7

3 13

; b) 6 5

18 41

; c) 3 19

25 9

; d)

1 28 13

19 12 39

9 2 17

;

02 – Se M =

10

21 e N =

11

02 , então MN – NM é:

a)

20

22 b)

00

00 c)

10

01 d)

11

24 e)

01

21

Resp.: a

03 – Se

95

75

2

1

41

23

b

a, então a + b é igual a:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 10

Resp.: b

04 – Sejam 1 2 3

2 1 1A

,

2 0 1

3 0 1B

,

1

2

4

C

e 2 1D . Encontre:

a ) A + B

b) A . C

c) B . C

d) C . D

e) D . A

f) D . B

g) – A

h) – D

Resp. a) 1 2 4

5 1 0

; b) 15

4

; c) 6

1

; d)

2 1

4 2

8 4

; e) 0 3 7 ; f) 7 0 1 ;g) 1 2 3

2 1 1

;

h) 2 1 ;

14 Prof. Inácio de A. Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álg. Linear / Geom. Analítica

05 – Se A2 = A . A, então calcule

22 1

3 2

. Resp. 7 0

0 7

06 – Considere as seguintes matrizes de M3 (IR)

1 0 0

0 2 0

0 0 4

A

e

4 0 0

0 2 0

0 0 1

B

.Mostre que AB = BA.

Resp.

4 0 0

A.B 0 4 0

0 0 4

e

4 0 0

B.A 0 4 0

0 0 4

07 – Efetue os produtos AB e BA onde

2

1

1

A

e 1 2 1B . Resp.

2 4 2

A.B= 1 2 1

1 2 1

e B.A = 5

08 – Mostrar que se 2 3

1 4A

, então A2 – 6A + 5I

2 = 0 (matriz nula).

Resp. 2 27 18 12 18 1 0 5 0 5 0 0 0

6 5 56 19 6 24 0 1 0 5 0 5 0 0

A A I

09 – Mostrar que as matrizes

11

1

y

y

onde y é um número real não nulo, verificam a equação X2 = 2X.

Resp.

1 1 1 1 21 1 1 1 2

1 1 1 1 2 2

1 21 2

2

1 2 2

y y y y y

y y y y y

y y

y y


1 3 2

2 1 3

4 3 1

A

,

1 4 1 0

2 1 1 1

1 2 1 2

B

e

2 1 1 2

3 2 1 1

2 5 1 0

C

mostre que AB = AC.

Resp.

3 5 0 1

A.B= 1 11 0 5

3 7 0 5

e

3 5 0 1

A.C= 1 11 0 5

3 7 0 5


AULA 05

SISTEMA DE EQUAÇÕES MATRICIAL

Para desenvolver um sistema de equações matricial primeiramente você deve efetuar o produto entre as

matrizes do primeiro membro igualando o resultado à matriz existente no segundo membro.

A B C

R C

m n n p m p

m p m p

Em seguida, igualando elemento a elementos você obterá dois ou mais sistemas de equações dependendo da

análise de ordem pré-definida no produto matricial.


a) Resolva o sistema de equações matricial 2 4 16 4

3 1 9 1

x y

z w

.

Desenvolvendo o produto matricial 2 4

3 1

x y

z w

obtemos como resultado a matriz resposta

2 4 2 4

3 3

x z y w

x z y w

.

Igualando a matriz resposta à matriz presente no segundo membro da equação teremos:

2 4 2 4 16 4

3 3 9 1

x z y w

x z y w

Desta igualdade de matrizes obteremos dois sistemas de equações

2 4 16 2 4 4

I e II3 9 3 1

x z y w

x z y w

Resolvendo ambos os sistemas encontramos como resposta para a matriz x y

z w

a matriz 2 0

3 1

.

EXERCÍCIOS

01 – Resolva os sistemas de equações matriciais a seguir:

a) 5 1 23 1

3 2 19 11

a b

c d

. Resp.

5 1

2 4

. d) 7 10 10 41

2 4 4 14

e f

g h

. Resp.

0 3

1 2

.

b) 2 3 8 12

4 5 14 22

x y

z t

. Resp.

1 3

2 2

. e) 3 1 13 3

4 2 16 8

i j

k l

. Resp.

5 1

2 6

.

c) 2 3 1 0

3 4 0 1

m n

p q

. Resp.

4 3

3 2

. f)

2 8 22 42

6 1 20 11

s t

u v

. Resp.

3 1

2 5

.


02 – Resolva os sistemas de equações matriciais a seguir:

a)

2 1 3 16

4 2 1 22

0 0 1 2

a

b

c

Resp.

5

0

2

. e)

10 2 8 28

5 0 0 25

3 2 0 13

x

y

z

Resp.

5

1

3

.

b)

3 5 1 18

4 2 3 3

0 4 0 8

d

e

f

Resp.

1

8

3

. f)

0 1 3 14

2 0 4 0

0 0 8 40

z

k

w

Resp.

10

1

5

.

c)

4 5 2 15

2 0 0 10

3 2 5 20

g

h

i

Resp.

5

5

5

. g)

5 4 0 20

0 3 0 15

0 1 2 15

s

t

u

Resp.

0

5

10

.

d)

0 3 0 6

4 1 2 4

3 2 1 4

i

j

k

Resp.

1

2

3

.

03– A equação matricial

1

2

3

100

211

012

z

y

x

é verdadeira se x, y e z são tais que x + y + z é igual a:

a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3

Resp. d

04 – Dada a matriz A =

11

12, escreva a matriz B, tal que A.B = I, sendo I =

10

01 e B.A = I.

Resp. 1 1

1 2B

05 – Seja 22

2 1 0

xA

x

. Se A´= A (A´ diz-se simétrica), determine o valor de x. Resp. x = 1;


AULA 06

MATRIZES INVERSÍVEIS

Uma matriz A de ordem n se diz inversível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n,

de modo que:

A B B A In

Esta matriz B, caso exista, é única e chama-se inversa de A, indica-se por A-1

.

Ex.1: A matriz

10

02A é inversível uma vez que, tomando

10

03

1

B temos

210

01IBAAB

.

Ex.2: Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é nula, então A não é inversível. Suponhamos a linha i-ésima

de A nula, isto é, A(i)

= (0, 0, ..., 0). Dada então uma matriz X qualquer de ordem n, como

(AX)(i)

= A(i)

X = 0...00

(ver definição de produto), então

nIAX

............

0...00

............

, para toda a matriz X.

Ex.3: Se A e B são matrizes de ordem n, ambas inversíveis, então AB também é inversível e (AB)-1

= B-1

. A-1

.

De fato

nn IAAAIAABBAABAB 111111 ,

E analogamente, nIABAB 11

Ex.4: Se A é inversível, então 1A também o é e vale a seguinte igualdade:

AA 11 .

Daremos aqui um algoritmo (método) para determinar a inversa de uma matriz A, caso A seja inversível.


Determinação da inversa de uma matriz de ordem 2

A inversa de uma matriz A de ordem 2 é a matriz genérica B, também de ordem 2, cujo o produto de A por B

resulta em uma matriz identidade de ordem 2. Observe:

a) Seja a matriz 7 4

C5 3

. Determine sua inversa 1C .

Seja 1Cx y

z w

. Então, 1

2C C I .

7 4 1 0 7 4 7 4 1 0

5 3 0 1 5 3 5 3 0 1

x y x z y w

z w x z y w

Daí, temos dois sistemas de equações:

7 4 1 7 4 0 e

5 3 0 5 3 1

x z y w

x z y w

Portanto, 13 4

C5 7

x y

z w

.

Determinação da inversa de uma matriz de ordem 3

Definição: Dada uma matriz A entendemos por operações elementares com as linhas de A, uma qualquer das

seguintes alternativas:

(I) Permutar duas linhas;

(II) Multiplicar uma linha de A por um número 0;

(III) Somar a uma linha de A uma outra linha de A multiplicada por um número.

Se uma matriz B puder ser obtida de A através de um número finito dessas operações, diz-se que B é

equivalente a A e escreve-se B~A. Para esta relação valem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

Teorema: Uma matriz A é inversível se, e somente se, In ~A. Neste caso, a mesma sucessão de operações

elementares que transformam A em In, transformam In em A-1

.

Exemplo 1: Verificar se a matriz

201

110

011

A é inversível e determinar A-1

, caso esta matriz exista.

Devemos orientar nosso trabalho no sentido de transformar (se possível) a matriz A na matriz I3. Como

essa sucessão de operações levará I3 em A-1

, então convém reunir A e I3 numa mesma matriz e operar a partir

daí.

100

010

001

201

110

011

3

2

1

L

L

L

~

101

010

001

210

110

011

' 133

2

1

LLL

L

L

~


~

3

1

3

1

3

1010

001

100

110

011

3

'''''

~

111

010

001

300

110

011

''' 3

3

2

1

323

2

1

LL

L

L

LLL

L

L

~

3

1

3

1

3

13

1

3

2

3

1001

100

110

011

'''

''''

3

322

1

L

LLL

L

~

3

1

3

1

3

13

1

3

2

3

1001

100

010

011

'''

''''

3

322

1

L

LLL

L

3

1

3

1

3

13

1

3

2

3

13

1

3

2

3

2

100

010

001

'''

'

''

3

2

211

L

L

LLL

Logo a matriz A é inversível e

111

121

122

3

1

3

1

3

1

3

13

1

3

2

3

13

1

3

2

3

2

1A

Exemplo 2: Vejamos o mesmo problema com a matriz

Como a matriz A é equivalente a matriz

que não é inversível (tem uma linha nula) então A também não é inversível.


EXERCÍCIOS

01 – Determine a matriz inversa das seguintes matrizes:

a) A =

21

10 c) C =

23

35 e) E =

32

85

b) B =

57

23 d) D=

53

12 f) F =

46

13

Resp. a) 1

2 1A

1 0

; b) 1

5 2B

7 3

; c) 1

2 3C =

3 5

; d) 1

5 1

13 13D

3 2

13 13

;

e) 13 8

E2 5

; f) 1

2 1

3 6F

11

2

.

02 – Dada a matriz A =

11

12, escreva a matriz B, tal que A.B = I, sendo I =

10

01 e B.A = I.

Resp. 1 1

B=1 2

03 – A matriz inversa de

21

32 é: Resp.: a

a)

21

32 b)

12

23 c)

21

32 d)

21

32

04 – Se A =

12

21 e B =

20

13, determine X = (A.B

-1)t.

05 – Dadas as matrizes A =

57

23 e B =

11

11, calcule A.B + A

-1.

06 – Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas:


EMENTA

Proposta de Avaliação para N1

a) Instrumentos e atividades b) Data de aplicação da avaliação de N1

- Prova escrita: 5,0 pontos; - 1º período A: 26/09/2013.

- T1: 1,5 ponto; - 1º período B: 26/09/2013.

- T2: 1,5 ponto;

- Eixo Temático: 2,0 pontos.


a) Instrumentos e atividades b) Data de aplicação da avaliação de N2

- Prova escrita: 5,0 pontos; - 1º período A: 05/12/2013.

- T1: 1,5 ponto; - 1º período B: 05/12/2013.

- T2: 1,5 ponto;

- Eixo Temático: 2,0 pontos.


a) Instrumentos e atividades

- Prova escrita – Todo o conteúdo trabalhado (10,0 pontos).

b) Data de aplicação da avaliação de N3: 17/12/2013

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. POOLE, DAVID., Álgebra Linear., Cengage Learning, São Paulo, 2004. 2. STEINBRUCH,A. WINTERLE, P., Álgebra linear, Pearson Education, São Paulo, 2010. 3. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P., Geometria analítica, Pearson Education, São Paulo, 2006.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

1. BOLDRINI, J. L. et alli. Álgebra linear, 3ª ed., Harper & Row do Brasil, São Paulo, 1980. 2. LIPSCHUTZ, S. - Álgebra linear: teoria e problemas, Makron Books, São Paulo, 1994. 3. VENTURI, J. - Álgebra vetorial e geometria analítica, Editora UFPR, Curitiba, 1989. 4. VENTURI, J. - Cônicas e Quadricas, Editora UFPR, Curitiba ,1989. Álgebra Linear. São Paulo:

McGraw- Hill, Ed. atualizada.

5. CALLIOLI, Carlos A. DOMINGUES, Hygino H. COSTA, Roberto C. F. Álgebra linear e Aplicações.

6a. edição. Atual Editora. 1998.

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