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Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço Combinação Linear Representação dos vetores no espaço Dependência Linear Base de um Espaço Vetorial Mudança de Base

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Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler

Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares

•Introdução •Definição de Espaço Vetorial

•Subespaço •Combinação Linear •Representação dos vetores no espaço •Dependência Linear •Base de um Espaço Vetorial

•Mudança de Base

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Introdução Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial.

Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor pode ser escrito da seguinte forma.

),,( zyxOPv

v

zyxv

z

y

x

v

x

y

z

v

O

P(x,y,z)

V é um conjunto no espaço.

3

321 }/),,{( RRRRRxxxxV i

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Desta forma: Vetor nulo no espaço R3

Vetor oposto em R3

Operações com vetores no espaço V=R3

Dados: e Soma:

0

0

0

0

z

y

x

v

z

y

x

u

u

u

u

z

y

x

v

v

v

v

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

vu

vu

vu

v

v

v

u

u

u

vu

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Produto de um vetor com um escalar:

3

1

2

u

5

1

0

v

2

2

2

vuExemplo:

ux

y

v

z

vu

z

y

x

ku

ku

ku

uk Exemplo:

3

2

0

u

2k

6

4

0

3

2

0

2uk u

x

y

z u

2

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Propriedades:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

)()( wvuwvu

uvvu

uuV

0/0

0)(/

uuVu

vauavua

)(

vbvavba

)(

)()( vbavab

uu

1

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Definição de Espaço Vetorial

É um conjunto V≠ com duas operações VxV V e RxV V,

tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a viii sejam satisfeitas.

Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo. O vetor é um elemento do espaço vetorial. Desta forma um vetor poderá ser:

•Vetor n-dimensional •Matriz de qualquer ordem •Polinômio de qualquer grau

Vejamos alguns exemplos: Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço.

RxxxxRV i );,,( 321

3

5

3

1

u

4

2

1

v

1

5

0

vu

10

6

2

2u

É espaço vetorial

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RxxxxRV i );,,( 321

3

nx

x

x

u

.

.

2

1

Exemplo2: considerando n-uplos de nos reais

Ra

nn yx

yx

yx

vu

.

.

22

11

nn ax

ax

ax

x

x

x

aua

.

.

.

.

2

1

2

1

ny

y

y

v

.

.

2

1

n=5 RxxxxxxRV i );,,,,( 54321

5

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

u

55

44

33

22

11

yx

yx

yx

yx

yx

vu

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

2

2

2

2

2

22

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

u

5

4

3

2

1

y

y

y

y

y

v

Neste caso o vetor nulo é:

0

0

0

0

0

0

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Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar:

Rdcba

dc

baMV ,,,;)2,2(

43

21A

21

31B

22

10BA

63

933B Neste caso o vetor nulo é:

00

000

Exemplo4: V=Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero.

n=2 RaxaxaaP i );( 2

2102

2

1 21)( xxxf 2

2 43)( xxxf

xxff 64)(21 2

1 242)(2 xxxf

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•Subespaços Vetoriais

São espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior:

u

x

y

v

vu

W Exemplo: Seja V=R2, plano onde W é uma reta deste plano.

A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W. Nestas condições, W é “fechado” em relação à soma de vetores e o produto de um escalar pelos vetores de W.

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Definição:

Dado um espaço vetorial V, um supconjunto W, não vazio, será subespaço vetorial de V se:

1) Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W

2) Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W.

Obs:

a) Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois V V W;

b) Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a condição (2) quando a=0;

c) Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.

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Exemplo1: V=R3

e WTV, é um plano passando pela origem do sistema .

Se W não passar pela origem ele não é um subespaço vetorial.

Exemplo2: V=R5 e

W é um conjunto de vetores do R5 cuja primeira coordenada seja nula:

i)

ii)

RxxxxxW i );,,,,0( 5432

),,,,0( 5432 yyyyv

),,,,0( 5432 xxxxu

Wyxyxyxyxvu ),,,,0( 55443322

Wkxkxkxkxuk ),,,,0( 5432

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Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores. W W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do produto por um escalar é triangular superior.

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•Combinação Linear

Definição: Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) v1,v2,....,vn V e a1,a2,......,an X R (ou C)

nnvavavav

......2211

É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v2,....,vn

Fixando-se v 1,v2,....,vn em V, o conjunto W formado da combinação linear de todos os vetores de V, é subespaço vetorial.

Notação:

nvvvW ,......,, 21

Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v2,....,vn

Formalmente:

niRavavavavVvW inn 1,,......; 2211

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1

1

2

1v

Exemplo5: Dados dois vetores: v1=(1,3), v2=(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma combinação linear de v1 e v2: W=[v1,v2]

2

4

3

2v

21 2vvr

212 vvu

Solução:

0

6

1

2

4

3

1

1

2

2u

3

9

4

2

4

3

2

1

1

2

r

Exemplo4: Dados dois vetores: e determine os vetores:

Solução:

18

13

43

5

4

5

34

5

3

1

ba

ba

b

b

a

abau

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18

13

43

5

ba

ba

2

215133.513

3319

57

5719

1841539

184)513(31843

513135

a

a

bb

b

bb

bbba

baba

4

53

3

12u

21 32 vvu

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•Dependência Linear

Seja V um espaço vetoria e v1,v2,....,vn V . Dizemos que {v1,v2,....,vn } é LI (Linearmente independente se a1v1+a2v2+....+anvn =0 a1=a2=....=an=0 Se ai≠0 {v1,v2,....,vn } é LD (linearmente dependente)

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•Base de um Espaço Vetorial

Definição: Um conjunto {v1,v2,.....,vn} de vetores de V é uma base de V se: i) {v1,v2,.....,vn} é LI ii) [v1,v2,.....,vn] = V Exemplo1: , 2RV

)1,0(ˆ)0,1(ˆ21 eee

21ˆ,ˆ ee

0

0

0

00

0

0

0

1

0

0

1

0ˆˆ21

b

a

b

a

b

a

ba

ebea

é base de V, conhecida como base canônica de V=R3

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Exemplo2: Vamos examinar os vetores: )1,0()1,1( 21 vev

21

21

,0

0

0

00

0

0

1

0

1

1

0

vvb

a

ba

a

ba

a

ba

vbva

é uma base no espaço V

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Exemplo3: Verificar se é base em R2 21,vv

)2,0()1,0( 21 vv

baba

baba

ba

vbva

202

0

0

2

0

2

00

0

0

2

0

1

0

021

Portanto a e b não são necessariamente zero.

é LD e portanto não pode forma uma base. 21,vv

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•Mudança de Base

Dadas duas bases:

n

n

bbbB

eaaaA

,.......,,

,.......,,

21

21

Ordenadas de um espaço vetorial V. Dado o vetor vXV,

podemos escrevê-lo:

nn

nn

bybybyv

axaxaxv

...

...

2211

22111

Base A

Base B

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n

A

x

x

x

v

.

.

2

1

n

B

y

y

y

v

.

.

2

1

Base A Base B

Desta forma podemos escrever os vetores da base B (bi) como combinação linear dos vetores da base A (ai):

nnnnnn

nn

nn

aaaaaab

aaaaaab

aaaaaab

...

......

.....

...

...

2211

22221122

12211111

2

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Substituindo-se (2) em (1)

)...(

.

.

)...(

)...(

...

2211

22221122

12211111

2211

nnnnnn

nn

nn

nn

aaaaaay

aaaaaay

aaaaaay

bybybyv

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nnnnnn

nn

nn

nn

ayayaya

ayayaya

ayayaya

axaxax

)...(

....)...(

)...(

...

2211

22222121

11212111

2211

nnnnn

n

n

n y

y

y

aaa

aaa

aaa

x

x

x

.

.

..

..

.

.

2

1

11

22121

11211

2

1

Base B Base A Matriz de transformação da base B para base A

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BB

AA VIV

Portanto pode-se escrever simplificadamente

Onde é a matriz de transformação da base B para base A. A partir desta matriz é possível obter-se a matriz de transformação de A para utilizando-se a álgebra matricial desta forma:

BAI

BB

A

B

AA

B

A VIIVI11

I Que é a matriz identidade

AB

AB VIV1

E Portanto: 1

B

A

A

B II

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Exemplo 1: Sejam as bases:

},{)}1,0(),0,1{(

},{)}4,3(),1,2{(

212

211

eeB

iiB

Bases de R2

Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1:

Escreve-se os vetores de B2 momo combinação linear dos vetores de B1:

4

3

1

2

1

0

4

3

1

2

0

1

2212

2111

2221122

2211111

aa

aa

iaiae

iaiae

2

1

B

BI

1

2

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De (1):

11/44410

11/1381321

1121112111

2121212111

aaaaa

aaaaa

De (2):

11/2832

42

3141

11/32

3320

222222

22222212

1222122212

aaa

aaaa

aaaaa

11

2

11

111

3

11

4

2

1

B

BI

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Exemplo 2: Determinar v=[5,-8]B2 na base B1

2

2

11 B

B

BB VIV

1

4

8

5

21

34

11

11BV

Para passar da base B1 para base B2, basta fazer a inversão da matriz . 2

1

B

BI

11

4;

11

3;

11

1;

11

2;

11

1det 22211211

2

1

B

BI

41

321

2

2

1

1 B

B

B

B II

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Outra maneira de se obter é considerar a transformação algébrica inversa:

1

0

0

1

4

3

1

0

0

1

1

2

2212

2111

2221122

2211111

aa

aa

eaeai

eaeai

4;3

;1;2

2212

2111

aa

aa

41

321

2

B

BI

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Exemplo 3: Só para verificar o exemplo anterior Determinar v=[4,-1]B1 na base B2

8

5

1

4

41

322BV

Observando as bases graficamente no espaço R2:

2B

1B

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Exemplo 4: Consideremos em R2 a base B1={e1,e2} e a base B2={f1,f2} , obtida da base canônica B1 pela rotação do ângulo q. Dado o vetor vXR2 de

coordenadas:

2B

1B

1e

1f

2f

2e

2

1

1 x

xv B

2

1

2 y

yv B

Pode-se escrever f1 e f2 em função de e1 e e2 :

cos

cos

212

211

esenef

seneef

cos

cos2

1 sen

senI

B

B

cos

cos1

2 sen

senI

B

B

Como é ortogonal então: 2

1

B

BI

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Considerando:

E =600 Determinar:

3

21Bv

2Bv

2

1

2

32

3

2

1

1

2

B

BI

2

3232

332

3

2

2

1

2

32

3

2

1

2Bv

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